Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Министерство образования и науки АО
ГБОУ АО СПО «Астраханский государственный политехнический колледж»
Призма
Выполнили: студенты группы ТП 181
Увалиев Н.
Плеханов А.
Астрахань 2016
Введение
Свойства призмы
Виды призм
О развитии геометрии в Древней Греции до Евклида
Элементы призмы
Свойства правильной четырехугольной призмы
Формулы для правильной четырехугольной призмы
Призма в оптике
Измерение объемов
В ведение
Призма -- многогранник, две грани которого являются конгруэнтными (равными) многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани -- параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками. Эти параллелограммы называются боковыми гранями призмы, а оставшиеся два многоугольника называются её основаниями.
Призма является разновидностью цилиндра.
Свойства призмы
Основания призмы являются равными многоугольниками.
Боковые грани призмы являются параллелограммами.
Боковые ребра призмы параллельны и равны.
Объём призмы равен произведению её высоты на площадь основания:
Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания.
Площадь боковой поверхности произвольной призмы:
где P -- периметр перпендикулярного сечения, l -- длина бокового ребра.
Площадь боковой поверхности прямой призмы:
где P -- периметр основания призмы, h -- высота призмы.
Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым рёбрам призмы.
Углы перпендикулярного сечения -- это линейные углы двугранных углов при соответствующих боковых рёбрах.
Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым граням.
Виды призм
призма оптика грань ребро
Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.
Прямая призма -- это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Другие призмы называются наклонными.
Правильная призма -- это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы -- равные прямоугольники.
Правильная призма, боковые грани которой являются квадратами (высота которой равна стороне основания), является полуправильным многогранником.
О развитии геометрии в Древней Греции до Евклида
Ученые и философы Древней Греции восприняли и переработали достижения культуры и науки Древнего Востока. Фалес, Пифагор, Демокрит, Евдокс и др. ездили в Египет и Вавилон для изучения музыки, математики и астрономии. Не случайно зачатки греческой геометрической науки связаны с именем Фалеса Милетского, основателя ионийской школы. Ионийцы, населявшие территорию, которая граничила с восточными странами, первыми заимствовали знания Востока и стали их развивать. Ученые ионийской школы впервые подвергли логической обработке и систематизировали математические сведения, позаимствованные у древневосточных народов, в особенности у вавилонян. Фалесу, главе этой школы, Прокл и другие историки приписывают немало геометрических открытий. Об отношении Пифагора Самосского к геометрии Прокл пишет в своем комментарии к “Началам” Евклида следующее: “Он изучал эту науку (т. е. геометрию), исходя от первых ее оснований, и старался получать теоремы при помощи чисто логического мышления”. Прокл приписывает Пифагору, кроме известной теоремы о квадрате гипотенузы, еще построение пяти правильных многогранников:
1) тетраэдр, имеющий 4 грани, 4 вершины, 6 ребер;
2) куб - 6 граней, 8 вершин, 12 ребер;
3) октаэдр - 8 граней, 6 вершин, 12 ребер;
4) додекаэдр - 12 граней, 20 вершин, 30 ребер;
5) икосаэдр - 20 граней, 12 вершин, 30 ребер.
Грани додекаэдра являются правильными пятиугольниками. Диагонали же правильного пятиугольника образуют так называемый звездчатый пятиугольник - фигуру, которая служила эмблемой, опознавательным знаком для учеников Пифагора. Известно, что пифагорейский союз был одновременно философской школой, политической партией и религиозным братством. Согласно легенде, один пифагореец заболел на чужбине и не мог перед смертью расплатиться с ухаживавшим за ним хозяином дома. Последний нарисовал на стене своего дома звездчатый пятиугольник. Увидав через несколько лет этот знак, другой странствующий пифагореец осведомился о случившемся у хозяина и щедро его вознаградил.
Достоверных сведений о жизни и научной деятельности Пифагора не сохранилось. Ему приписывается создание учения о подобии фигур. Он, вероятно, был среди первых ученых, рассматривавших геометрию не как практическую и прикладную дисциплину, а как абстрактную логическую науку.
В школе Пифагора было открыто существование несоизмеримых величин, т. е. таких, отношение между которыми невозможно выразить никаким целым или дробным числом. Примером может служить отношение длины диагонали квадрата к длине его стороны, равное?2. Число это не является рациональным (т. е. целым или отношением двух целых чисел) и называется иррациональным, т.е. нерациональным (от латинского ratio - отношение).
Пифагорейцы не знали других чисел, кроме рациональных. Построив диагональ квадрата, сторона которого равна 1, они констатировали, что она не может быть выражена никаким числом, так как для них не было других чисел, кроме целых и дробных. Этот факт привел в большое смущение пифагорейцев, так как в основе их философии лежало понятие о числе как основе всех вещей и явлений природы.
Но вот эта великая основа - число - не в состоянии выразить длины простого отрезка в простой фигуре - диагонали квадрата. Вот почему открытие несоизмеримых величин явилось большим ударом по учению Пифагора и пифагорейцы долго его держали в строгой тайне. Согласно преданию, ученик Пифагора, раскрывший публично эту тайну, был наказан богами и погиб во время кораблекрушения. Открытие несоизмеримых величин было важным поворотным пунктом в развитии античной математики. Узнав, что существуют отношения величин, не выражаемые никакими рациональными числами, древнегреческие ученые стали представлять величины не арифметически, а геометрически, не числами, а отрезками. Таким образом, возникла геометрическая алгебра, а потом и теория отношений Евдокса.
Евклид, древнегреческий математик и основоположник элементарной геометрии, дал такое определение призмы - телесная фигура, заключенная между двумя равными и параллельными плоскостями (основаниями) и с боковыми гранями - параллелограммами. В античной математике еще не было понятия ограниченной части плоскости, которое ученый подразумевал под словом «телесная фигура». Таким образом, призма, также как и любая другая геометрическая фигура, не является пустой. Несколько основных определений:
* боковая поверхность - совокупность всех боковых граней.
* полная поверхность - совокупность всех граней (оснований и боковой поверхности);
* высота - отрезок, перпендикулярный основаниям призмы и соединяющий их;
* диагональ - отрезок, соединяющий две вершины призмы, которые не принадлежат одной грани;
* диагональная плоскость - это плоскость, проходящая через диагональ основания призмы и ее боковое ребро;
* диагональное сечение - параллелограмм, который получается при пересечении призмы и диагональной плоскости.
Частные случаи диагонального сечения: прямоугольник, квадрат, ромб;
* перпендикулярное сечение - плоскость, проходящая перпендикулярно боковым ребрам. Основные свойства призмы:
* основания призмы - параллельные и равные многоугольники;
* боковые грани призмы - всегда параллелограммы;
боковые ребра призмы параллельны друг другу и имеют равную длину. Различают прямую, наклонную и правильную призму:
* у прямой призмы все боковые ребра перпендикулярны основанию; * у наклонной призмы боковые ребра неперпендикулярны основанию;
* правильная призма - многогранник с правильными многоугольниками в основаниях, а боковые ребра перпендикулярны основаниям. Правильная призма является прямой.
Основные числовые характеристики призмы:
* объем призмы равен произведению площади основания на высоту; * площадь боковой поверхности - произведение периметра перпендикулярного сечения на длину бокового ребра;
* площадь полной поверхности призмы - сумма всех площадей ее боковых граней и площади основания, умноженной на два.
Элементы призмы
Основания - 2 грани, являющиеся конгруэнтными многоугольниками, которые лежат в плоскостях, параллельных друг другу.
Боковые грани - каждая из граней, не считая оснований. Все боковые грани - это параллелограммы.
Боковая поверхность - сумма боковых граней.
Полная поверхность - сумма основания и боковой поверхности.
Боковые ребра - общие стороны боковых граней.
Высота - отрезок, который соединяет плоскости, в них лежат основания призмы. Он перпендикулярен этим плоскостям.
Диагональ - отрезок, который соединяет 2 вершины призмы, которые не принадлежат одной грани.
Диагональная плоскость - плоскость, которая проходит через боковое ребро призмы, а также диагональ основания.
Диагональное сечение - пересечение призмы и диагональной плоскости. В сечении получается параллелограмм, либо -- ромб, прямоугольник, квадрат.
Перпендикулярное (ортогональное) сечение - пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной боковому ребру призмы.
Развертка призмы - представление всех граней призмы на одной плоскости без искажения размеров граней.
Свойства правильной четырехугольной призмы.
Основания правильной четырехугольной призмы - это 2 одинаковых квадрата;
Верхнее и нижнее основания параллельны;
Боковые грани имеют вид прямоугольников;
Все боковые грани равны между собой;
Боковые грани перпендикулярны основаниям;
Боковые ребра параллельны между собой и равны;
Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым ребрам и параллельно основаниям;
Углы перпендикулярного сечения - прямые;
Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы является прямоугольником;
Перпендикулярное (ортогональное сечение) параллельно основаниям.
Формулы для правильной четырехугольной призмы
V=S осн h = a 2 h
S бок =Pl=4al
S бок =Ph=4ah
S бок.сечения =ahv2=alv2
S перп.сечения =a 2
Призма в оптике
В оптике призмой называют объект в форме геометрического тела (призмы), выполненный из прозрачного материала. Свойства призм широко используются в оптике, в частности, в биноклях. В призматических биноклях применяются двойная призма Порро и призма Аббе, названные так в честь своих изобретателей. Эти призмы за счет особой структуры и расположения создают тот или иной оптический эффект.
Призма Порро - это призма, в основании которой лежит равнобедренный треугольник. Двойная призма Порро создается благодаря особому расположению в пространстве двух призм Порро. Двойная призма Порро позволяет переворачивать изображение, увеличивать оптическое расстояние между объективом и окуляром, сохраняя внешние габариты.
Призма Аббе - это призма, в основании которой лежит треугольник с углами - 30 о, 60 о, 90 о. призма Аббе используется, когда необходимо перевернуть изображение без отклонения линии взгляда на объект.
Измерение объемов
Объемы зерновых амбаров и других сооружений в виде кубов, призм и цилиндров египтяне и вавилоняне, китайцы и индийцы вычисляли путем умножения площади основания на высоту. Однако древнему Востоку были известны в основном только отдельные правила, найденные опытным путем, которыми пользовались для нахождения объемов для площадей фигур. В более позднее время, когда геометрия сформировалась как наука, был найден общий подход к вычислению объемов многогранников.
Среди замечательных греческих ученых V - IV вв. до н.э., которые разрабатывали теорию объемов, были Демокрит из Абдеры и Евдокс Книдский. Евклид не применяет термина “объем”. Для него термин “куб”, например, означает и объем куба. В ХI книге “Начал” изложены среди других и теоремы следующего содержания.
1. Параллелепипеды с одинаковыми высотами и равновеликими основаниями равновелики.
2. Отношение объемов двух параллелепипедов с равными высотами равно отношению площадей их оснований.
3. В равновеликих параллелепипедах площади оснований обратно пропорциональны высотам.
Теоремы Евклида относятся только к сравнению объемов, так как непосредственное вычисление объемов тел Евклид, вероятно, считал делом практических руководств по геометрии. В произведениях прикладного характера Герона Александрийского имеются правила для вычислений объема куба, призмы, параллелепипеда и других пространственных фигур.
Задачи
Задача 1. Нахождение площади поверхности призмы
Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы равно 12 см. Перпендикулярным сечением является ромб со стороной 5 см. Найти площадь боковой поверхности.
Дано: призма ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ;
АА 1 = 12 см;
перпендикулярное сечение - ромб со
стороной 5 см.
Найти: S бок
Мы доказали, что площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.
По условию, перпендикулярным сечением является ромб со стороной 5 см. Все стороны ромба равны. Значит, периметр перпендикулярного сечения равен:
Теперь вычислим площадь боковой поверхности:
Ответ: 240 см 2 .
Задача 2. Нахождение объема призмы
Найти объем прямой треугольной призмы, если; ; , а наибольшая из площадей боковых граней равна.
Дано: призма;
АА 1 = 12 см;
Найти: объем
Для нахождения объема нужно найти площадь основания и высоту. Площадь основания ищется сразу
Значит, наибольшая площадь будет, когда сторона основания наибольшая. Очевидно, это сторона, которая лежит против тупого угла.
Найдем ее по теореме косинусов:
А тогда высота призмы равна:
Окончательно,
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Определение призмы как геометрической фигуры. Свойства призмы, нормальное сечение. Правильная призма – призма, в основании которой лежит правильный многоугольник, а боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Диагональное сечение. Элементы призм и ее виды.
презентация , добавлен 19.09.2011
Основные свойства, прямой и наклонный виды призмы. Площадь поверхности призмы и площадь ее боковой поверхности: доказательство теоремы. Сечение призмы плоскостью. Свойства правильной призмы, особенности ее сечения и симметрия. Оси и плоскости симметрии.
презентация , добавлен 20.12.2010
Понятие призмы в геометрии. Прямые и наклонные призмы, характеристика их оснований, боковых ребер и граней. Площадь боковой поверхности, теорема, ее доказательство и следствие. Сечение призмы плоскостью. Особенности сечения и симметрии правильной призмы.
презентация , добавлен 08.03.2012
Изучение понятия и видов призм. Основные параметры прямой призмы, у которой все основания являются правильными многоугольниками. Понятие и свойства параллелепипеда – призмы, основанием которого является параллелограмм. Соотношения между элементами призмы.
реферат , добавлен 09.11.2010
Применение призмы и показателя её преломления. Виды призм - оптического элемента из прозрачного материала в форме геометрического тела - призмы, имеющий плоские полированные грани, через которые входит и выходит свет. Показатель преломления вещества.
курсовая работа , добавлен 18.05.2016
Краткий обзор развития геометрии. Призма. Площадь поверхности призмы. Призма и пирамида. Пирамида и площадь ее поверхности. Измерение объемов. О пирамиде и ее объеме. О призме и параллелепипеде. Симметрия в пространстве.
реферат , добавлен 08.05.2003
Понятие многогранной поверхности, виды многоугольников. Грани, стороны и вершины многогранников. Свойства пирамиды, призмы и параллелепипеда. Объем многогранника, его измерение с помощью выбранной единицы измерения объемов. Основные свойства объемов.
реферат , добавлен 08.05.2011
Обзор понятия геометрической фигуры призмы, ее основания и боковых граней. Построение отрезков, нахождение высоты прямой и наклонной призмы. Расчет полной и боковой площадей поверхности фигуры. Изучение теоремы о площади боковой поверхности прямой призмы.
презентация , добавлен 17.05.2012
Свойства куба, тетраэдра, октаэдра. Прямые и наклонные призмы. Учение о многоугольниках Пифагора. Деление циферблата часов. Создание колеса со спицами и астрономических сооружений. Виды и свойства пирамид. Теории построения правильных многоугольников.
презентация , добавлен 26.04.2015
Различные виды правильных и полуправильных многогранников, их основные свойства. Многогранные поверхности, многогранники, топологические, простейшие и правильные многогранники. Грани, ребра и вершины поверхности многогранника. Пирамиды и призмы.