Алгебраическую геометрию, вещественный и комплексный анализ, математическую физику и , а также ) не были решены. На данный момент решены 16 проблем из 23. Ещё 2 не являются корректными математическими проблемами (одна сформулирована слишком расплывчато, чтобы понять, решена она или нет, другая, далёкая от решения, - физическая, а не математическая). Из оставшихся 5 проблем три не решены, а две решены только для некоторых случаев.
Список проблем
| 1 | решена | Проблема Кантора о мощности континуума () |
| 2 | решена | Непротиворечивость аксиом арифметики |
| 3 | решена | Равносоставность равновеликих |
| 4 | слишком расплывчатая | Перечислить , в которых прямые являются геодезическими |
| 5 | решена | Все ли непрерывные являются ? |
| 6 | не математическая | Математическое изложение аксиом физики |
| 7 | решена | Если a ≠ 0, 1 - , и b - алгебраическое, но иррациональное, верно ли, что a b - |
| 8 | открыта | Проблема простых чисел ( и ) |
| 9 | частично решена | Доказательство наиболее общего закона взаимности в любом числовом поле |
| 10 | решена | Задача о разрешимости |
| 11 | решена | Исследование квадратичных форм с произвольными алгебраическими числовыми коэффициентами |
| 12 | открыта | Распространение теоремы Кронекера об абелевых полях на произвольную алгебраическую область рациональности |
| 13 | решена | Невозможность решения общего уравнения седьмой степени с помощью функций, зависящих только от двух переменных |
| 14 | решена | Доказательство конечной порождённости алгебры инвариантов алгебраической группы |
| 15 | решена | Строгое обоснование исчислительной геометрии Шуберта |
| 16 | частично решена | Число и расположение овалов вещественной алгебраической кривой данной степени на плоскости; число и расположение предельных циклов полиномиального векторного поля данной степени на плоскости |
| 17 | решена | Представление определённых форм в виде суммы квадратов |
| 18 | частично решена | Нерегулярные заполнения пространства конгруэнтными многогранниками. Наиболее плотная упаковка шаров |
| 19 | решена | Всегда ли решения регулярной вариационной являются аналитическими? |
| 20 | решена | Общая задача о граничных условиях (?) |
| 21 | решена | Доказательство существования линейных дифференциальных уравнений с заданной группой монодромии |
| 22 | решена | Униформизация аналитических зависимостей с помощью автоморфных функций |
| 23 | решена | Развитие методов вариационного исчисления |
Сноски
- Результат Коэна (Cohen) показывает, что ни континуум-гипотеза, ни её отрицание не противоречит (стандартной системе аксиом теории множеств). Таким образом, континуум-гипотезу в этой системе аксиом невозможно ни доказать, ни опровергнуть.
- Согласно Рову (Rowe) и Грею (Gray) (см. далее), большинство проблем были решены. Некоторые из них не были достаточно точно сформулированы, однако достигнутые результаты позволяют рассматривать их как «решённые». Ров и Грей говорят о четвёртой проблеме как о такой, которая слишком нечётко поставлена, чтобы судить о том, решена она или нет.
- Ров и Грей также называют проблему № 18 «открытой» в своей книге за 2000 год, потому что задача упаковки шаров (известная также как задача Кеплера) не была решена к тому времени, однако на сегодняшний день есть сведения о том, что она уже решена (см. далее). Продвижения в решении проблемы № 16 были сделаны в недавнее время, а также в 1990-х.
- Проблема № 8 содержит две известные проблемы, обе из которых остаются нерешёнными. Первая из них, является одной из семи Millennium Prize Problems, которые были обозначены как «Проблемы Гильберта» 21-го века.
- Проблема № 9 была решена для абелевого случая; неабелев случай остаётся нерешённым.
- Утверждение о конечной порождённости алгебры инвариантов доказано для редуктивных групп. Нагата в 1958 году построил контрпример для общего случая. Доказано также, что если алгебра инвариантов любого (конечномерного) представления алгебраической группы конечно порождена, то группа редуктивна.
- Первая (алгебраическая) часть проблемы № 16 более точно формулируется так. Харнаком доказано, что максимальное число овалов равно M=(n-1)(n-2)/2+1, и что такие кривые существуют - их называют M-кривыми. Как могут быть расположены овалы M-кривой? Эта задача сделана до степени n=6 включительно, а для степени n=8 довольно много известно (хотя её ещё не добили). Кроме того, есть общие утверждения, ограничивающие то, как овалы M-кривых могут быть расположены - см. работы Гудкова, Арнольда, Роона, самого Гильберта (впрочем, стоит учитывать, что в доказательстве Гильберта для n=6 есть ошибка: один из случаев, считаемый им невозможным, оказался возможным и был построен Гудковым). Вторая (дифференциальная) часть остаётся открытой даже для квадратичных векторных полей - неизвестно даже, сколько даже их может быть, и даже что оценка сверху существует. Даже индивидуальная теорема конечности (то, что у каждого полиномиального векторного поля предельных циклов конечное число) была доказана только недавно. Она считалась доказанной Дюлаком, но в его доказательстве была обнаружена ошибка, и окончательно эта теорема была доказана Ильяшенко и Экалем - для чего каждому из них пришлось написать по книге.
(стандартной системе аксиом теории множеств). Таким образом, континуум-гипотезу в этой системе аксиом невозможно ни доказать, ни опровергнуть (при условии, что эта система аксиом непротиворечива).
А. А. Болибрух. Проблемы Гильберта (100 лет спустя)
Первая проблема Гильберта: континуум-гипотеза
Континуум-гипотеза, первая проблема Гильберта, относится к задачам оснований математики и теории множеств. Она тесно связана с такими простыми и естественными вопросами, как "Сколько?", "Больше или меньше?", и практически любой старшеклассник может понять, в чем состоит эта проблема. Тем не менее, нам потребуются некоторые дополнительные сведения, чтобы ее сформулировать.
Эквивалентность множеств
Рассмотрим следующий пример. В школе проходит вечер танцев. Как определить, кого больше на этом вечере: девочек или мальчиков?
Можно, конечно, пересчитать тех и других и сравнить два полученных числа. Но гораздо проще дать ответ, когда оркестр заиграет вальс и все танцующие разобьются на пары. Тогда, если все присутствующие танцуют, значит, каждому нашлась пара, т. е. мальчиков и девочек одинаковое количество. Если же остались только мальчики, значит, мальчиков больше, и наоборот.
Этот способ, иногда более естественный, чем непосредственный пересчет, называется принципом разбиения на пары , или принципом взаимно однозначного соответствия .
Рассмотрим теперь совокупность объектов произвольной природы --- множество . Объекты, входящие в множество, называются его элементами . Если элемент x входит в множество X , это обозначают так: x X . Если множество X 1 содержится в множестве X 2 , т. е. все элементы множества X 1 являются также элементами X 2 , то говорят, что X 1 --- подмножество X 2 , и кратко записывают так: X 1 X 2 .
Множество конечно , если в нем конечное число элементов. Множества могут быть как конечными (например, множество учеников в классе), так и бесконечными (например, --- множество всех натуральных чисел 1,2,3,... ). Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми .
Пусть X и Y --- два множества. Говорят, что между этими множествами установлено взаимно однозначное соответствие , если все элементы этих двух множеств разбиты на пары вида (x,y) , где x X , y Y , причем каждый элемент из X и каждый элемент из Y участвует ровно в одной паре.
Пример, когда все девочки и мальчики на танцевальном вечере разбиваются на пары, и есть пример взаимно однозначного соответствия между множеством девочек и множеством мальчиков.
Множества, между которыми можно установить взаимно однозначное соответствие, называются эквивалентными или равномощными . Два конечных множества эквивалентны тогда и только тогда, когда в них одинаковое количество элементов. Поэтому естественно считать, что если одно бесконечное множество эквивалентно другому, то в нем "столько же" элементов. Однако, опираясь на такое определение эквивалентности, можно получить весьма неожиданные свойства бесконечных множеств.
Бесконечные множества
Рассмотрим любое конечное множество и любое его собственное (непустое и не совпадающее с ним самим) подмножество. Тогда элементов в подмножестве меньше , чем в сам множестве, т. е. часть меньше целого .
Обладают ли бесконечные множества таким свойством? И может ли иметь смысл утверждение, что в одном бесконечном множестве "меньше" элементов, чем в другом, тоже бесконечном? Ведь про два бесконечных множества мы можем пока только сказать, эквивалентны они или нет. А существуют ли вообще неэквивалентные бесконечные множества?
Далее мы последовательно ответим на все эти вопросы. А для начала приведем забавную фантастическую историю из книги Н. Я. Виленкина "Рассказы о множествах". Действие происходит в далеком будущем, когда жители разных галактик могут встречаться друг с другом. Поэтому для всех путешествующих по космосу построена огромная гостиница, протянувшаяся через несколько галактик.
В этой гостинице бесконечно много номеров (комнат), но, как и положено, все комнаты пронумерованы, и для любого натурального числа n есть комната с этим номером.
Однажды в этой гостинице проходил съезд космозоологов, в котором участвовали представители всех галактик. Так как галактик тоже бесконечное множество, все места в гостинице оказались занятыми. Но в это время к директору гостиницы приехал его друг и попросил поселить его в эту гостиницу.
"После некоторых размышлений директор обратился к администратору и сказал:
Поселите его в # 1.
Куда же я дену жильца этого номера? --- удивленно спросил администратор.
А его переселите в # 2. Жильца же из # 2 отправьте в # 3, из # 3 --- в # 4 и т. д."
Вообще, пусть постоялец, живущий в номере k , переедет в номер k+1 , как это показано на следующем рисунке:
Тогда у каждого снова будет свой номер, а # 1 освободится.
Таким образом, нового гостя удалось поселить --- именно потому, что номеров в гостинице бесконечно много.
Первоначально участники съезда занимали все номера гостиницы, следовательно, между множеством космозоологов и множеством было установлено взаимно однозначное соответствие: каждому космозоологу дали по номеру, на двери которого написано соответствующее ему натуральное число. Естественно считать, что делегатов было "столько же", сколько имеется натуральных чисел. Но приехал еще один человек, его тоже поселили, и количество проживающих увеличилось на 1. Но их снова осталось "столько же", сколько и натуральных чисел: ведь все поместились в гостиницу! И если обозначить количество космозоологов через 0 , то мы получим "тождество" 0 = 0 +1 . Ни для какого конечного 0 оно, разумеется, не выполнено.
Мы пришли к удивительному выводу: если к множеству, которое эквивалентно , добавить еще один элемент, получится множество, которое снова эквивалентно . Но ведь совершенно ясно, что делегаты-космозоологи представляют собой часть того множества людей, которые разместились в гостинице после приезда нового гостя. Значит, в этом случае часть не "меньше" целого, а "равна" целому!
Итак, из определения эквивалентности (которое не приводит ни к каким "странностям" в случае конечных множеств) следует, что часть бесконечного множества может быть эквивалентна всему множеству.
Возможно, что известный математик Больцано , который пытался в своих рассуждениях применять принцип взаимно однозначного соответствия, испугался таких непривычных эффектов и поэтому не стал дальше развивать эту теорию. Она показалась ему совершенно абсурдной. Но Георг Кантор во второй половине XIX века вновь заинтересовался этим вопросом, стал исследовать его и создал теорию множеств , важный раздел оснований математики.
Продолжим наш рассказ про бесконечную гостиницу.
Новый постоялец "не удивился, когда на другое утро ему предложили переселиться в #1,000,000 . Просто в гостиницу прибыли запоздавшие космозоологи из галактики ВСК-3472, и надо было разместить еще 999,999 жильцов".
Но потом произошла какая-то накладка, и в эту же самую гостиницу приехали на съезд филателисты . Их тоже было бесконечное множество --- по одному представителю от каждой галактики. Как же их всех разместить?
Эта задача оказалась весьма сложной. Но и в этом случае нашелся выход.
"В первую очередь администратор приказал переселить жильца из # 1 в # 2.
А жильца из # 2 переселите в # 4, из # 3 --- в # 6, вообще, из номера n --- в номер 2n .
Теперь стал ясен его план: таким путем он освободил бесконечное множество нечетных номеров и мог расселять в них филателистов. В результате четные номера оказались занятыми космозоологами, а нечетные --- филателистами... Филателист, стоявший в очереди n -м, занимал номер 2n-1 ". И снова всех удалось разместить в гостинице. Итак, еще более удивительный эффект: при объединении двух множеств, каждое из которых эквивалентно , вновь получается множество, эквивалентное . Т. e. даже при "удвоении" множества мы получаем множество, эквивалентное исходному!
Счетные и несчетные множества
Рассмотрим следующую цепочку: . ( --- это множество целых чисел, а --- множество рациональных чисел, т. е. множество чисел вида p/q , где p и q --- целые, q0 .) Все эти множества бесконечны. Рассмотрим вопрос об их эквивалентности.
Установим взаимно однозначное соответствие между и : образуем пары вида (n,2n) и (-n,2n+1) , n , а также пару (0,1) (на первое место в каждой паре ставится число из , а на второе --- из ).
Есть и другой способ установить это соответствие, например, выписать все целые числа в таблицу, как показано на рисунке, и, обходя ее по стрелочкам, присваивать каждому целому числу некоторый номер. Таким образом, мы " пересчитаем " все целые числа: каждому z сопоставляется некоторое натуральное число (номер) и для каждого номера есть такое целое число, которому этот номер приписывается. При этом явную формулу выписывать не обязательно.
Таким образом, эквивалентно .
Всякое множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счетным . Такое множество можно "пересчитать": пронумеровать все его элементы натуральными числами.
На первый взгляд, рациональных чисел на прямой "намного больше" чем целых. Они расположены всюду плотно : в любом сколь угодно малом интервале их бесконечно много. Но оказывается, что множество также счетно. Докажем сначала счетность + (множества всех положительных рациональных чисел).
Выпишем все элементы + в такую таблицу: в первой строке --- все числа со знаменателем 1 (т. е. целые), во второй --- со знаменателем 2 и т. д. (см. рисунок). Каждое положительное рациональное число обязательно встретится в этой таблице, и не однажды (например, число 1====... встречается в каждой строке этой таблицы) .
А теперь мы пересчитаем эти числа: идя по стрелочкам, присваиваем каждому числу номер (или пропускаем это число, если оно уже встречалось нам раньше в другой записи). Поскольку мы двигаемся по диагоналям, то мы обойдем всю таблицу (т. е. рано или поздно доберемся до любого из чисел).
Итак, мы указали способ пронумеровать все числа из + , т. е. доказали, что + счетно.
Заметим, что этот способ нумерации не сохраняет порядка: из двух рациональных чисел большее может встретиться раньше, а может --- и позже.
Как же быть с отрицательными рациональными числами и нулем? Так же как с космозоологами и филателистами в бесконечной гостинице. Пронумеруем + не всеми натуральными числами, а только четными (давая им номера не 1, 2, 3, ..., а 2, 4, 6, ...), нулю присвоим номер 1, а всем отрицательным рациональным числам присвоим (по такой же схеме, что и положительным) нечетные номера, начиная с 3.
Теперь все рациональные числа занумерованы натуральными, следовательно, счетно.
Возникает естественный вопрос: Может быть, все бесконечные множества счетны?
Оказалось, что --- множество всех точек на числовой прямой --- несчетно. Этот результат, полученный Кантором в прошлом веке, произвел очень сильное впечатление на математиков.
Докажем этот факт так же, как это сделал Кантор: с помощью диагонального процесса .
Как мы знаем, каждое действительное число x
можно записать
в виде десятичной дроби:
x=A, 1 2 ... n ...,
где A
--- целое число,
не обязательно положительное, а 1 , 2 , ..., n , ... --- цифры (от 0 до 9). Это представление
неоднозначно: например,
½=0,50000...=0,49999...
(в одном варианте
записи, начиная со второй цифры после запятой, идут одни нули, а в
другом --- одни девятки). Чтобы запись была однозначной, мы в таких
случаях всегда будем выбирать первый вариант. Тогда каждому числу
соответствует ровно одна его десятичная запись.
Предположим теперь, что нам удалось пересчитать все
действительные числа. Тогда их можно расположить по порядку:
x 1 =A, 1 2 3 4 ...
x 2 =B, 1 2 3 4 ...
x 3 =C, 1 2 3 4 ...
x 4 =D, 1 2 3 4 ...
Чтобы прийти к противоречию, построим такое число y , которое не сосчитано , т. е. не содержится в этой таблице.
Для любой цифры a
определим цифру следующим образом:
=
Положим 
(у этого числа k
-я цифра после
запятой равна 1 или 2, в зависимости от того, какая цифра стоит на
k
-м месте после запятой в десятичной записи числа
x k
).
Например, если
x 1 = 2,1345...
x 2 =
-3,4215...
x 3 =
10,5146...
x 4 =
-13,6781...
.....................
то =0,2112...
Итак, с помощью диагонального процесса мы получили действительное число y , которое не совпадает ни с одним из чисел таблицы, ведь y отличается от каждого x k по крайней мере k -й цифрой десятичного разложения, а разным записям, как мы знаем, соответствуют различные числа.
Доказать континуум-гипотезу --- значит, вывести ее из этих аксиом. Опровергнуть ее --- значит, показать, что если ее добавить к этой системе аксиом, то получится противоречивый набор утверждений.
Решение проблемы
Оказалось, что первая проблема Гильберта имеет совершенно неожиданное решение.
В 1963 году американский математик Паул Коэн доказал, что континуум-гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть .
Это означает, что если взять стандартную систему аксиом Цермело---Френкеля (ZF ) и добавить к ней континуум-гипотезу в качестве еще одной аксиомы, то получится непротиворечивая система утверждений. Но если к ZF добавить отрицание континуум-гипотезы (т. е. противоположное утверждение), то вновь получится непротиворечивая система утверждений.
Таким образом, ни континуум-гипотезу, ни ее отрицание нельзя вывести из стандартной системы аксиом.
Этот вывод произвел очень сильный эффект и даже отразился в литературе (см. эпиграф).
Как же поступать с этой гипотезой? Обычно ее просто присоединяют к системе аксиом Цермело---Френкеля. Но каждый раз, когда что-либо доказывают, опираясь на континуум-гипотезу, обязательно указывают, что она была использована при доказательстве.
Вторая из знаменитых математических проблем, которые Давид Гильберт выдвинул в 1900 году в Париже на II Международном Конгрессе математиков. До сих пор среди математического сообщества нет консенсуса относительно того решена она или нет. Проблема звучит так: аксиомы арифметики противоречивы или нет? Курт Гёдель доказал, что непротиворечивость аксиом арифметики нельзя доказать, исходя из самих аксиом арифметики (если только арифметика не является на самом деле противоречивой). Кроме Гёделя многие другие выдающиеся математики занимались этой проблемой.
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Вторая проблема Гильберта" в других словарях:
Шестнадцатая проблема Гильберта одна из 23 задач, которые Давид Гильберт предложил 8 августа 1900 года на II Международном конгрессе математиков. Исходно, проблема называлась «Проблема топологии алгебраических кривых и поверхностей»… … Википедия
Проблемы Гильберта список из 23 кардинальных проблем математики, представленный Давидом Гильбертом на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Тогда эти проблемы (охватывающие основания математики, алгебру, теорию… … Википедия
Эта статья предлагается к удалению. Пояснение причин и соответствующее обсуждение вы можете найти на странице Википедия:К удалению/22 ноября 2012. Пока процесс обсуждени … Википедия
Проблемы Гильберта список из 23 кардинальных проблем математики, представленный Давидом Гильбертом на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Тогда эти проблемы (охватывающие основания математики, алгебру, теорию чисел,… … Википедия
В классическом определении алгебраическая теория (иногда называемая также алгебраической И. т.), изучающая алгебраич. выражения (многочлены, рациональные функции или их совокупности), изменяющиеся определенным образом при невырожденных линейных… … Математическая энциклопедия
В теории динамических систем и дифференциальных уравнений, предельным циклом векторного поля на плоскости или, более обобщённо, на каком либо двумерном многообразии называется замкнутая (периодическая) траектория этого векторного поля, в… … Википедия
логика - ЛОГИКА (от греч. logik (logos) слово, разум, рассуждение) наука о правильных (корректных) рассуждениях. Традиционно рассуждение состоит из последовательности предложений, названных посылками, из которых следует единственное предложение,… … Энциклопедия эпистемологии и философии науки
Теория чисел это раздел математики, занимающийся преимущественно изучением натуральных и целых чисел и их свойств, часто с привлечением методов математического анализа и других разделов математики. Теория чисел содержит множество проблем,… … Википедия
Отрасль философии, исследующая природу математических объектов и эпистемологические проблемы математического познания. Филос. проблемы математики можно разделить на две основные группы: онтологические и эпистемологические. Абстрактный характер… … Философская энциклопедия
- (англ. Wolstenholme s theorem) утверждает, что для любого простого числа выполняется сравнение где средний биномиальный коэффициент. Эквивалентное сравнение Неизвестны составные числа, удовлетворяющие теореме Вольстенхол … Википедия
Книги
- Аналитическая теория дифференциальных уравнений. Том 1 , Ильяшенко Ю.С.. Предлагаемая книга-первый том двухтомной монографии, посвящённой аналитической теории дифференциальных уравнений. В первой части этого тома излагается формальная и аналитическая теория…
ПРЕДИСЛОВИЕ
Сборник, предлагаемый вниманию читателя, содержит впервые переведенный на русский язык текст известного доклада Гильберта "Математические проблемы", произнесенного на II Международном Конгрессе математиков, проходившем в Париже с 6 по 12 августа 1900 г.В работе Конгресса приняло участие 226 человек: 90 человек из Франции, 25 из Германии, 17 из Соединенных Штатов, 15 из Италии, 13 из Бельгии, 9 из России, по 8 из Австрии и Швейцарии, по 7 из Англии и Швеции, 4 из Дании, по 3 из Голландии, Испании и Румынии, по 2 из Сербии и Португалии, 4 из Южной Америки, по одному делегату прислали Турция, Греция, Норвегия, Канада, Япония и Мексика.
Основными языками Конгресса были английский, французский, немецкий и итальянский.
Председателем Конгресса был избран Анри Пуанкаре, почетным председателем - отсутствовавший Шарль Эрмит (1822 - 1901), вице-председателями - Е. Чубер (Вена), К. Гейзер (Цюрих), П. Гордан (Эрланген), А. Гринхилл (Лондон), Л. Линделёф (Гельсингфорс), Ф. Линдеман (Мюнхен), Г. Миттаг-Леффлер (Стокгольм), отсутствовавший Э. Мур (Чикаго), М. А. Тихомандрицкий (Харьков), В. Вольтерра (Турин), Г. Цейтен (Копенгаген), секретарями Конгресса - И. Бендиксон (Стокгольм), А. Капелли (Неаполь), Г. Минковский (Цюрих), И. Л. Пташицкий (Петербург), отсутствовавший А. Уайтхед (Кембридж).
Генеральным секретарем Конгресса был избран Э. Дюпорк (Париж).
Работало шесть секций: 1) арифметики и алгебры (председатель Д. Гильберт, секретарь Э. Картан),
5-я и 6-я секции заседали вместе.В день открытия Конгресса на общем заседании состоялось два часовых доклада: М. Кантора "Об историографии математики", в котором он сделал обзор работ по истории математики, начиная с Ж. Монтюкла и Г. Либри, и В. Вольтерра о научной деятельности Э. Бетти, Ф. Бриоски и Ф. Казорати.
Затем начались секционные заседания, на которых было сделано 46 сообщений, в том числе Л. Диксоном, Г. Миттаг-Леффлером, Д. Гильбертом, Ж. Адамаром, А. Капелли, И. Фредгольмом, И. Бендиксоном, В. Вольтерра и др.
Русская математика была представлена на Конгрессе единственным сообщением М.А. Тихомандрицкого "Об исчезновении функции Н нескольких переменных".
На заключительном общем заседании выступили Г. Миттаг-Леффлер, который рассказал о последних годах жизни Вейерштрасса по его письмам к С. В. Ковалевской, и А. Пуанкаре, сделавший доклад "О роли интуиции и логики в математике".
Так проходил Конгресс, на котором 8 августа на совместном заседании 5-й и 6-й секций Д. Гильберт прочитал свой доклад "Математические проблемы".
Как пишет Д. Синцов *, "сообщение Гильберта вызвало ряд замечаний со стороны присутствовавших, указавших, что некоторые из перечисленных Гильбертом задач вполне или отчасти ими разрешены" **. К тому времени Гильберт, 38-летний гёттингенский профессор, был уже широко известен своими работами по теории инвариантов и теории алгебраических чисел. В 1899 г. вышли в свет его знаменитые "Основания геометрии", составившие эпоху в основаниях математики. Удивительная разносторонность и обобщающая сила дарования Гильберта позволяли ему легко ориентироваться в различных областях математики, почти в каждой из которых он получил выдающиеся результаты и поставил ряд важных проблем.
* Д. М. Синцов, Второй Международный математический конгресс, Физ.-матем. науки (2) 1, № 5 (1901), 129-137.
** Вероятно, число проблем в первоначальном тексте доклада превышало двадцать три.
Наиболее интересные, по мнению Гильберта, проблемы, "исследование которых может значительно стимулировать дальнейшее развитие науки", он и предложил математикам в своем докладе. С тех пор прошло уже две трети века. Проблемы Гильберта в течение всего этого срока не теряли актуальности, к их решению были приложены усилия талантливейших математиков. Развитие идей, связанных с содержанием указанных проблем, составило значительную часть математики XX в.
Перевод основной части доклада (исключая текст 15-й и 23-й проблем и заключения) осуществлен М. Г. Шестопал с текста, помещенного в Gottinger Nachrichten (1900, 253-297), и просмотрен И. Н. Бронштейном и И. М. Ягломом, которые внесли в него ряд редакционных поправок и изменений. Текст 15-й и 23-й проблем, а также заключительной части доклада переведен А. В. Дорофеевой. В перевод внесены дополнения, сделанные Гильбертом для издания доклада, помещенного в третьем томе его Собрания сочинений (Gesammelte Abhandlungen, Berlin, Springer, 1932-1935), - в тексте они заключены в квадратные скобки. Перевод был сверен с английским переводом (Bull. Amer. Math. Soc. 8, № 10 (1902), 403-479), также с переводом, осуществленным в кабинете истории математики и механики МГУ А. В. Дорофеевой и М. В. Чириковым *.
* Этот перевод послужил началом работы по историко-матема-тическому анализу проблем Гильберта, проводимой в кабинете истории математики и механики МГУ под руководством проф. К. А. Рыбникова.
Известную трудность составлял перевод некоторых старых математических терминов. В некоторых случаях рядом с переводом в круглых скобках помещен немецкий термин, а в одном случае термин (Polarenprocess) оставлен без перевода. Переводчики немало потрудились над тем, чтобы донести до русского читателя своеобразный, местами даже патетический язык гильбертовского доклада. Авторы комментариев к проблемам любезно согласились просмотреть переводы соответствующих проблем и внесли ряд существенных исправлений.
Оценить то выдающееся значение, которое сыграл доклад Гильберта для математики XX в. позволят, как мы надеемся, комментарии к проблемам, составляющие вторую часть сборника. Создание таких комментариев, содержащих обзор основных результатов, достигнутых в направлении решения гильбертовских проблем, ужепредпринималось отдельными авторами *. Однако работа такого рода с привлечением известных специалистов по соответствующим областям математики осуществляется, насколько нам известно, впервые.
* L. Bieberbach, Dber die Einfluss von Hilbert Pariser Vortrag liber "Mathematische Probleme", auf die Entwicklung der Matbematik in den letzen dreissig Jabren, Naturwissenschaften 18 (1930), 1101-1111; С.С.Демидов, К истории проблем Гильберта. ИМИ, вып. 17, "Наука", 1967, 91-121.
Выходу в свет этой книги в значительной мере способствовали внимание и помощь со стороны очень многих лиц, среди которых необходимо отметить участников семинара по истории математики и механики МГУ, в особенности его руководителей профессоров И.Г. Башмакову, К.А. Рыбникова, А.П. Юшкевича, покойную С.А. Яновскую, а также сотрудника Математического института имени В.А. Стеклова АН СССР А.Н. Паршина, советы и помощь которого в о многом помогли улучшить издание.
С. С. Демидов
НЕСКОЛЬКО СЛОВ О ПРОБЛЕМАХ ГИЛЬБЕРТА
На Международном математическом конгрессе в Париже в 1900 г. выдающийся немецкий математик Давид Гильберт выступил с докладом под названием "Математические проблемы". Доклад этот был затем несколько раз опубликован в подлиннике и в переводах *; последнее издание подлинника находим в третьем томе собрания сочинений Гильберта **.* Впервые напечатан в Arcbiv f. Math. u Phys., Ill серия, 1 (1901), 44-63, 213-237.
** D. Hilbert, Gesammelte Abhandlungen, т. Ill, 1935, 290-329.
На нижеследующих страницах печатается русский перевод доклада Гильберта.
Ни до доклада Гильберта 1900 г., ни после этого доклада математики, насколько я знаю, не выступали с научными сообщениями, охватывавшими проблемы математики в целом *. Таким образом, доклад Гильберта оказывается вполне уникальным явлением в истории математики и в математической литературе. И сейчас, почти через 70 лет после того, как Гильберт сделал свой доклад, он сохраняет свой интерес и значение.
* Доклад американского математика Дж. фон Неймана на Международном математическом конгрессе в Амстердаме в 1954 г. не является опровержением этого утверждения: правда, доклад фон Неймана назывался "Нерешенные проблемы в математике", но докладчик начал свой доклад высказыванием, что считал бы безумием в подражание Гильберту говорить о проблемах математики в целом, а предполагает ограничиться лишь проблемами в некоторых областях математики (главным образом в областях, близких к функциональному анализу). Доклад фон Неймана опубликован не был - единственное, что о нем напечатано в Трудах Амстердамского конгресса,- это то, что рукопись доклада не была доступна издателям; по-видимому, ее не существует. Поэтому об этом докладе можно в настоящее время судить лишь по воспоминаниям лиц, слушавших его.
Нa все развитие современной математики Гильберт оказал влияние исключительное, охватывающее почти все направления математической мысли; это объясняется тем, что Гильберт был математиком, в котором сила математической мысли соединялась с редкой широтой и разносторонностью. Разносторонность эта была, если так можно выразиться, вполне сознательной: Гильберт постоянно делает упор на то, что математика едина, что различные ее части находятся в постоянном взаимодействии между собой и с науками о природе и что в этом взаимодействии не только ключ к пониманию самой сущности математики, но и лучшее средство против расщепления математики на отдельные, не связанные друг с другом части,- опасности, которая в наше время огромного количественного роста и устрашающей специализации математических исследований
постоянно заставляет о себе думать. С большой силой и убежденностью говорит Гильберт, особенно в конце своего замечательного доклада, о целостном характере математики как основе всего точного естественнонаучного познания. Его убежденность в этом служит в значительной степени и путеводной нитью псого доклада в целом и, несомненно, во многих случаях руководила автором при отборе выдвигаемых им математических задач.Доклад начинается с интересно, я бы сказал вдохновенно, написанной общей вводной части, в которой говорится не только о значении для математики "хорошо поставленной" специальной проблемы, но и высказываются суждения о математической строгости, о связи математики с естествознанием и о других вещах, близких всякому активно думающему о своей науке математику. В заключение этой вводной части Гильберт с поражающей иной и убежденностью высказывает свой основной тезис, "аксиому" о разрешимости в широком смысле слова всякой математической задачи - тезис, содержанием которого являются глубокая уверенность в неограниченном могуществе человеческого познания и непримиримая борьба со всяким агностицизмом - с нелепым "Ignorabimus" * , как говорит в другом месте Гильберт.
* "Ignorabimus" (лат.) - "мы не будем знать" - одна из известных речей физиолога Э. Дюбуа-Реймона кончалась (в применении к некоторым невыясненным научным вопросам) восклицанием: "Ignoramus et ignorabimus" - мы не знаем и не будем знать!
Далее идут сами проблемы. Они начинаются с теории множеств (континуум-проблема) и обоснования математики, переходят далее к основаниям геометрии, теории непрерывных групп (знаменитая пятая проблема об освобождении понятия непрерывной группы от требования дифференцируемости), к теории чисел, алгебре и алгебраической геометрии и заканчиваются анализом (дифференциальные уравнения, особенно с частными производными, вариационное исчисление). Особое место занимает шестая проблема - об аксиоматике теории вероятностей и механики.
По своему характеру проблемы Гильберта очень разнородны. Иногда это - конкретно поставленный вопрос, на который ищется однозначный ответ - да или нет, - такова, например, геометрическая третья проблема или арифметическая седьмая проблема о трансцендентных числах. Иногда задача ставится менее определенно как, например, в двенадцатой проблеме (ей Гильберт придавал особо важное значение), в которой требуется найти как само обобщение теоремы Кронекера, так и соответствующий класс функций, которые должны заменить показательную и модулярную.
Пятнадцатая проблема есть, в сущности, проблема обоснования всей теории алгебраических многообразий.
Иногда проблема под данным номером в действительности содержит в себе несколько различных, хотя и тесно связанных между собой задач. Наконец, двадцать третья проблема есть, в сущности, проблема дальнейшего развития вариационного исчисления.
Сейчас, много лет после того, как Гильберт поставил свои проблемы, можно сказать, что они были поставлены хорошо. Они оказались подходящим объектом для того, чтобы сосредоточить вокруг себя творческие усилия математиков различных научных направлений и школ. Каковы были эти усилия и к каким результатам они привели, какие из гильбертовских проблем решены, какие еще нет, - об этом, хотя и не с исчерпывающей полнотой, читатель может узнать из комментариев к этим проблемам.
Характер этих комментариев несколько неоднороден, (что в значительной мере продиктовано характером самих проблем) - некоторые из них могут быть понятны читателю, знакомому с математикой в объеме первых двух курсов механико-математических или физико-математических факультетов университетов или педагогических институтов, для понимания других требуется довольно высокая математическая культура. Думаю, во всяком случае, что читатель будет благодарен авторам комментариев,
существенно облегчившим ознакомление с тем действительно выдающимся произведением общематематической литературы, каким является доклад Гильберта; кроме того, из комментариев можно, как мне кажется, понять и произведенное этим докладом воздействие на дальнейшее развитие математики.П. С. Александров
Кто из нас не хотел бы приоткрыть завесу, за которой скрыто наше будущее, чтобы хоть одним взглядом проникнуть в предстоящие успехи нашего знания и тайны его развития в ближайшие столетия? Каковы будут те особенные цели, которые поставят себе ведущие математические умы ближайшего поколения? Какие новые методы и новые факты будут открыты в новом столетии на широком и богатом поле математической мысли?
История учит, что развитие науки протекает непрерывно. Мы знаем, что каждый век имеет свои проблемы, которые последующая эпоха или решает, или отодвигает в сторону как бесплодные, чтобы заменить их новыми. Чтобы представить себе возможный характер развития математического знания в ближайшем будущем, мы должны перебрать в нашем воображении вопросы, которые еще остаются открытыми, обозреть проблемы, которые ставит современная наука, и решения которых мы ждем от будущего. Такой обзор проблем кажется мне сегодня, на рубеже нового столетия, особенно своевременным. Ведь большие даты не только заставляют нас оглянуться на прошедшее, но и направляют нашу мысль в неизвестное будущее.
Невозможно отрицать глубокое значение, какое имеют определенные проблемы для продвижения математической науки вообще и важную роль, которую они играют в работе отдельного исследователя. Всякая научная область жизнеспособна, пока в ней избыток новых проблем. Недостаток новых проблем означает отмирание или прекращение самостоятельного развития. Как вообще каждое человеческое начинание связано с той или иной целью, так и математическое творчество связано с постановкой проблем. Сила исследователя познается в решении проблем: он находит новые методы, новые точки зрения, он открывает более широкие и свободные горизонты.
Трудно, а часто и невозможно заранее правильно оценить значение отдельной задачи; ведь в конечном счете ее ценность определится пользой, которую она принесет науке. Отсюда возникает вопрос: существуют ли общие признаки, которые характеризуют хорошую математическую проблему?
Один старый французский математик сказал: "Математическую теорию можно считать совершенной только тогда, когда ты сделал ее настолько ясной, что берешься изложить ее содержание первому встречному". Это требование ясности и легкой доступности, которое здесь так резко ставится в отношении математической теории, я бы поставил еще резче в отношении математической проблемы, если она претендует на совершенство; ведь ясность и легкая доступность нас привлекают, а усложненность и запутанность отпугивают.
Математическая проблема, далее, должна быть настолько трудной, чтобы нас привлекать, и в то же время не совсем недоступной, чтобы не делать безнадежными наши усилия; она должна быть путеводным знаком на запутанных тропах, ведущих к сокрытым истинам; и она затем должна награждать нас радостью найденного решения.
Математики прошлого столетия со страстным рвением отдавались решению отдельных трудных задач; они знали цену трудной задаче. Я напомню только поставленную Иоганном Бернулли задачу о линии быстрейшего падения. "Как показывает опыт, - говорит Бернулли, оповещая о своей задаче, - ничто с такой силой не побуждает высокие умы к работе над обогащением знания, как постановка трудной и в то же время полезной задачи". И поэтому он надеется заслужить благодарность математического мира, если он, - следуя примеру таких мужей, как Мерсенн, Паскаль, Ферма, Вивиани и другие, которые (до него) поступали так же,- предложит задачу выдающимся аналитикам своего времени, чтобы они могли на ней, как на пробном камне, испытать достоинства своих методов и измерить свои силы. Этой задаче Бернулли и другим аналогичным задачам обязано своим зарождением вариационное исчисление.
Известно утверждение Ферма о том, что диофантово уравнение
x n + y n = z n
неразрешимо в целых числах х, у, z, если не считать известных очевидных исключений. Проблема доказательства этой неразрешимости являет разительный пример гого, какое побуждающее влияние на науку может оказать специальная и на первый взгляд малозначительная проблема. Ибо, побужденный задачей Ферма, Куммер пришел к введению идеальных чисел и к открытию теоремы об однозначном разложении чисел в круговых полях на идеальные простые множители - теоремы, которая теперь, благодаря обобщениям на любую алгебраическую числовую область, полученным Дедекиндом и Кронекером, является центральной в современной теории чисел и значение которой выходит далеко за пределы теории чисел в область алгебры и теории функций.
Напомню еще об одной интересной проблеме - задаче трех тел. То обстоятельство, что Пуанкаре предпринял новое рассмотрение и значительно продвинул эту трудную задачу, привело к плодотворным методам и далеко идущим принципам, введенным этим ученым в небесную механику, методам и принципам, которые сейчас признаются и применяются также и в практической астрономии.
Обе упомянутые проблемы - проблема Ферма и проблема трех тел - являются в нашем запасе проблем как бы противоположными полюсами: первая представляет свободное достижение чистого разума, принадлежащее области абстрактной теории чисел, вторая выдвинута астрономией и необходима для познания простейших основных явлений природы.
Часто, однако, случается, что одна и та же специальная проблема появляется в весьма различных областях математики. Так, проблема о кратчайшей линии играет важную историческую и принципиальную роль одновременно в основаниях геометрии, в теории кривых и поверхностей, в механике и в вариационном исчислении. А как убедительно демонстрирует Ф. Клейн в своей книге об икосаэдре *, проблема о правильных многогранниках имеет важное значение одновременно для элементарной геометрии, теории групп, теории алгебраических и теории линейных дифференциальных уравнений!
* F. Кlein, Vorlesungen uber das Ikosaeder und die Auflosung der Gleichungen von funften Grade, Leipzig, 1884.- Прим. ред.
Чтобы осветить важность отдельных проблем, я позволю себе еще сослаться на Вейерштрасса, считавшего большой удачей для себя то стечение обстоятельств, которое позволило ему в начале своей научной деятельности заняться такой значительной проблемой, как проблема Якоби об обращении эллиптического интеграла.
После того как мы рассмотрели общее значение проблемы в математике, обратимся к вопросу о том, из какого источника математика черпает свои проблемы. Несомненно, что первые и самые старые проблемы каждой математической области знания возникли из опыта и поставлены нам миром внешних явлений. Даже правила счета с целыми числами были открыты на этом пути еще на ранней ступени культурного развития человечества так же, как и теперь ребенок познает применение этих правил эмпирическим методом. То же относится к первым проблемам геометрии - пришедшим к нам из древности задачам удвоения куба, квадратуры круга, а также к старейшим проблемам теории численных уравнений, теории кривых, дифференциального и интегрального исчислений, вариационного исчисления, теории рядов Фурье и теории потенциала, не говоря уже о всем богатстве проблем собственно механики, астрономии и физики.
При дальнейшем развитии какой-либо математической дисциплины человеческий ум, обнадеженный удачами, проявляет уже самостоятельность; он сам ставит новые и плодотворные проблемы, часто без заметного влияния внешнего мира, с помощью только логического сопоставления, обобщения, специализирования, удачного расчленения и группировки понятий и выступает затем сам на первый план как постановщик задач. Так возникли задача о простых числах и другие задачи арифметики, теория Галуа, теория алгебраических инвариантов, теория абелевых и автоморфных функций и так возникали вообще почти все тонкие вопросы современной теории чисел и теории функций.
А между тем во время действия созидательной силы чистого мышления внешний мир снова настаивает на своих правах: он навязывает нам своими реальными фактами новые вопросы и открывает нам новые области математического знания. И в процессе включения этих новых областей знания в царство чистой мысли мы часто находим ответы на старые нерешенные проблемы и таким путем наилучшим образом продвигаем вперед старые теории. На этой постоянно повторяющейся и сменяющейся игре между мышлением и опытом, мне кажется, и основаны те многочисленные и поражающие аналогии и та кажущаяся предустановленная гармония, которые математик так часто обнаруживает в задачах, методах и понятиях различных областей знания.
Остановимся еще кратко на вопросе о том, каковы могут быть общие требования, которые мы вправе предъявить к решению математической проблемы. Я имею в виду прежде всего требования, благодаря которым удается убедиться в правильности ответа с помощью конечного числа заключений и притом на основании конечного числа предпосылок, которые кладутся в основу каждой задачи и которые должны быть в каждом случае точно сформулированы. Это требование логической дедукции с помощью конечного числа заключений есть не что иное, как требование строгости проведения доказательств. Действительно, требование строгости, которое в математике уже вошло в поговорку, соответствует общей философской потребности нашего разума; с другой стороны, только выполнение этого требования приводит к выявлению полного значения существа задачи и ее плодотворности. Новая задача, особенно если она вызвана к жизни явлениями внешнего мира, подобна молодому побегу, который может расти и приносить плоды, лишь если он будет заботливо и по строгим правилам искусства садоводства взращиваться на старом стволе - твердой основе нашего математического знания.
Будет большой ошибкой думать при этом, что строгость в доказательстве - это враг простоты. Многочисленные примеры убеждают нас в противоположном: строгие методы являются в то же время простейшими и наиболее доступными. Стремление к строгости как раз и приводит к отысканию простейших доказательств. Это же стремление часто прокладывает путь к методам, которые оказываются более плодотворными, чем старые менее строгие методы. Так, теория алгебраических кривых благодаря более строгим методам теории функций комплексного переменного и целесообразному применению трансцендентных средств значительно упростилась и приобрела большую цельность. Далее, доказательство правомерности применения четырех элементарных арифметических действий к степенным рядам, а также почленного дифференцирования и интегрирования этих рядов и основанное на этом признание степенного ряда [как инструмента математического анализа - П. А. ], несомненно, значительно упростили весь анализ, в частности, теорию исключения и теорию дифференциальных уравнений (вместе с ее теоремами существования).
Но особенно разительный пример, иллюстрирующий мою мысль, представляет вариационное исчисление. Исследование первой и второй вариаций определенного интеграла приводило к крайне сложным вычислениям, а соответствующие исследования старых математиков были лишены необходимой строгости. Вейерштрасс указал нам путь к новому и вполне надежному обоснованию вариационного исчисления. На примере простого и двойного интеграла я вкратце намечу в конце моего доклада, как следование этому пути приводит в то же время к поразительному упрощению вариационного исчисления вследствие того, что для установления необходимых и достаточных критериев максимума и минимума становится излишним вычисление второй вариации и даже частично отпадает необходимость в утомительных умозаключениях, относящихся к первой вариации. Я уже не говорю о тех преимуществах, которые возникают оттого, что исчезает надобность рассматривать лишь те вариации, для которых значения производных функций меняются незначительно.
Предъявляя к полному решению проблемы требование строгости в доказательстве, я хотел бы, с другой стороны, опровергнуть мнение о том, что совершенно строгие рассуждения применимы только к понятиям анализа или даже одной лишь арифметики. Такое мнение, поддерживаемое иногда и выдающимися умами, я считаю совершенно ложным. Такое одностороннее толкование требования строгости быстро приводит к игнорированию всех понятий, возникших из геометрии, механики, физики, приостанавливает приток [в математику - П. А. ] нового материала из внешнего мира и, в конце концов, приводит даже к отбрасыванию понятия континуума и иррационального числа. А существует ли более важный жизненный нерв, чем тот, который был бы отрезан от математики, если из нее изъять геометрию и математическую физику? Я, напротив, считаю, что всякий раз, когда математические понятия зарождаются со стороны теории познания или в геометрии, пли а естественнонаучных теориях, перед математикой возникает задача исследовать принципы, лежащие в основе этих понятий, и так обосновать эти понятия с помощью полной и простой системы аксиом, чтобы строгость новых понятий и их применимость к дедукции ни в какой мере не уступала старым арифметическим понятиям.
К новым понятиям относятся также новые обозначения. Мы их выбираем таким образом, чтобы они напоминали те явления, которые послужили поводом для образования этих понятий. Так, геометрические фигуры являются образами для напоминания пространственных представлений и в качестве таковых применяются всеми математиками. Кто не связывает с двумя неравенствами a > b > c между тремя величинами a, b, c, образ тройки прямолинейно расположенных и следующих друг за другом точек в качестве геометрической интерпретации понятия "между"? Кто не пользуется образом вложенных друг в друга отрезков и прямоугольников, если нужно провести полное и строгое доказательство трудной теоремы о непрерывности функций или существования предельной точки? Кто может обойтись без фигуры треугольника, окружности с заданным центром или без тройки взаимно перпендикулярных осей? Или кто хотел бы отказаться от образа векторного поля или семейства кривых, или поверхностей с их огибающей - понятий, которые играют такую существенную роль в дифференциальной геометрии, в теории дифференциальных уравнений, в основах вариационного исчисления и в других чисто математических областях знания?
Арифметические знаки - это записанные геометрические фигуры, а геометрические фигуры - это нарисованные формулы, и никакой математик не мог бы обойтись без этих нарисованных формул, так же как и не мог бы отказаться при счете от заключения в скобки или их раскрытия или применения других аналитических знаков.
Применение геометрических фигур в качестве строгого средства доказательства предполагает точное знание и полное владение теми аксиомами, которые лежат в основе теории этих фигур, и поэтому для того, чтобы эти геометрические фигуры можно было включить в общую сокровищницу математических знаков, необходимо строгое аксиоматическое исследование их наглядного содержания.
Подобно тому как при сложении двух чисел нельзя подписывать цифры слагаемых в неверном порядке, а нужно строго следовать правилам, т. е. тем аксиомам арифметики, которым подчиняются арифметические действия, так и операции над геометрическими образами определяются теми аксиомами, которые лежат в основе геометрических понятий и связей между ними.
Сходство между геометрическим и арифметическим мышлением проявляется также и в том, что в арифметических исследованиях мы так же мало, как и при геометрических рассмотрениях, прослеживаем до конца цепь логических рассуждений, вплоть до аксиом. Напротив, в особенности при первом подходе к проблеме, мы и в арифметике, совершенно так же как и в геометрии, сначала пользуемся некоторым мимолетным, бессознательным, не вполне отчетливым комбинированием, опирающимся на доверие к некоторому арифметическому чутью, к действенности арифметических знаков, - без чего мы не могли бы продвигаться в арифметике точно так же как мы не можем продвигаться в геометрии, не опираясь на силы геометрического воображения. Образцом арифметической теории, оперирующей строгим образом с геометрическими понятиями и знаками *, может служить работа Минковского "Геометрия чисел" **.
** Leipzig, 1896.
Сделаем еще несколько замечаний относительно трудностей, которые могут представлять математические проблемы, и о преодолении этих трудностей.
Если нам не удается найти решение математической проблемы, то часто причина этого заключается в том, что мы не овладели еще достаточно общей точкой зрения, с которой рассматриваемая проблема представляется лишь отдельным звеном в цепи родственных проблем. Отыскав эту точку зрения, мы часто не только делаем более доступной для исследования данную проблему, но и овладеваем методом, применимым и к родственным проблемам. Примерами могут служить введенное Коши в теорию определенного интеграла интегрирование по криволинейному пути и установление Куммером понятия идеала в теории чисел. Этот путь нахождения общих методов наиболее удобный и надежный, ибо, если ищут общие методы, не имея в виду какую-нибудь определенную задачу, то эти поиски, по большей части, напрасны.
При исследовании математических проблем специализация играет, как я полагаю, еще более важную роль, чем обобщение. Возможно, что в большинстве случаев, когда мы напрасно ищем ответа на вопрос, причина нашей неудачи заключается в том, что еще не разрешены или не полностью решены более простые и легкие проблемы, чем данная. Тогда все дело заключается в том, чтобы найти:)ти более легкие проблемы и осуществить их решение наиболее совершенными средствами, при помощи понятий, поддающихся обобщению. Это правило является одним из самых мощных рычагов для преодоления математических трудностей, и мне кажется, что в большинстве случаев этот рычаг и приводят в действие, подчас бессознательно.
Вместе с тем бывает и так, что мы добиваемся ответа при недостаточных предпосылках, или идя в неправильном направлении, и вследствие этого не достигаем цели. Тогда возникает задача доказать неразрешимость данной проблемы при принятых предпосылках и выбранном направлении. Такие доказательства невозможности проводились еще старыми математиками, например, когда они обнаруживали, что отношение гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника к его катету есть иррациональное число. В новейшей математике доказательства невозможности решений определенных проблем играют выдающуюся роль; там мы констатируем, что такие старые и трудные проблемы, как доказательство аксиомы о параллельных, как квадратура круга или решение уравнения пятой степени в радикалах, получили все же строгое, вполне удовлетворяющее нас решение, хотя и в другом направлении, чем то, которое сначала предполагалось.
Этот удивительный факт наряду с другими философскими основаниями создает у нас уверенность, которую разделяет, несомненно, каждый математик, но которую до сих пор никто не подтвердил доказательством,- уверенность в том, что каждая определенная математическая проблема непременно должна быть доступна строгому решению * или в том смысле, что удается получить oтвет на поставленный вопрос, или же в том смысле, что будет установлена невозможность ее решения и вместе с тем доказана неизбежность неудачи всех попыток ее решить.
* Это столь определяющее для всего научного мировоззрения Гильберта утверждение мы считаем нужным привести в подлиннике "...die uberzeugung, dass ein jedes bestimmte mathematische Problem einer strengen Erieitung notwendig fahig sein muss". - Прим. П. A.
Представим себе какую-либо нерешенную проблему, скажем, вопрос об иррациональности константы С Эйлера - Маскерони или вопрос о существовании бесконечного числа простых чисел вида 2 n + 1 . Как ни недоступными представляются нам эти проблемы и как ни беспомощно мы стоим сейчас перед ними, мы имеем все же твердое убеждение, что их решение с помощью конечного числа логических заключений все же должно удаться.
Является ли эта аксиома разрешимости каждой данной проблемы характерной особенностью только математического мышления или, быть может, имеет место общий, относящийся к внутренней сущности нашего разума закон, по которому все вопросы, которые он ставит, способны быть им разрешимы? Встречаются ведь в других областях знания старые проблемы, которые были самым удовлетворительным образом и к величайшей пользе науки разрешены путем доказательства невозможности их решения. Я вспоминаю проблему о perpetuum mobile (вечный двигатель) *. После напрасных попыток конструирования вечного двигателя стали, наоборот, исследовать соотношения, которые должны существовать между силами природы, в предположении, что perpetuum mobile невозможно. И эта постановка обратной задачи привела к открытию закона сохранения энергии, из которой и вытекает невозможность perpetuum mobile в первоначальном понимании его смысла.
Это убеждение в разрешимости каждой математической проблемы является для нас большим подспорьем в работе; мы слышим внутри себя постоянный призыв: в о т проблем а, ищи решение. Ты можешь найти его с помощью чистого мышления; ибо в математике не сушествует Ignorabimus! **
* Ср. H. HeImholtz, Uber die Wechselwirkung der Naturkrafte und die darauf bezuglichen neuesten ErmittIungen der Physik, доклад в Кенигсберге, 1854 (русский перевод: "О взаимодействии сил природы", в сб. Г. Гельмгольц, Популярные речи, изд. 2, ч. 1, СПб., 1898. - Прим. ред. ).
** См. сноску . - Прим. ред.
Неизмеримо множество проблем в математике, и как только одна проблема решена, на ее место всплывают бесчисленные новые проблемы. Разрешите мне в дальнейшем, как бы на пробу, назвать несколько определенных проблем из различных математических дисциплин, проблем, исследование которых может значительно стимулировать дальнейшее развитие науки.
Обратимся к основам анализа и геометрии. Наиболее значительными и важными событиями последнего столетия в этой области являются, как мне кажется, арифметическое овладение понятием континуума в работах Коши, Больцано, Кантора и открытие неевклидовой геометрии Гауссом, Бойяи и Лобачевским. Я привлекаю поэтому Ваше внимание к некоторым проблемам, принадлежащим к этим областям. <...>
1. Проблема Кантора о мощности континуума<...> Названные проблемы - это только образцы проблем; но их достаточно, чтобы показать, как богата, многообразна и широка математическая наука уже сейчас; перед нами встает вопрос, предстоит ли математике когда-нибудь то, что с другими науками происходит с давних пор, не распадется ли она на отдельные частные науки, представители которых будут едва понимать друг друга и связь между которыми будет поэтому становиться все меньше.2. Непротиворечивость арифметических аксиом
3. Равенство двух тетраэдров с равновеликими основаниями и равными высотами.
4. Проблема о прямой как кратчайшем соединении двух точек.
5. Понятие непрерывной группы преобразований Ли, без предположения о дифференцируемости функций, определяющих группу.
6. Математическое изложение аксиом физики.
7. Иррациональность и трпнсцендентность некоторых чисел.
8. Проблема простых чисел.
9. Доказательство наиболее общего закона взаимности в любом числовом поле.
10. Задача о разрешимости Диофантова уравнения.
11. Квадратичные формы с произвольными алгебраическими числовыми коэфициентами.
12. Распространение теоремы Кронекера об Абелевых полях на произвольную алгебраическую область рациональности.
13. Невозможность решения общего уравнения седьмой степени с помощью функции, зависящей только от двух переменных.
14. Доказательство конечности некоторой полной системы функций.
15. Строгое обоснование исчислительной геометрии Шуберта.
16. Проблема топологии алгебраических кривых и поверхностей.
17. Представление определенных форм в виде суммы квадратов.
18. Построение пространства из конгруэнтных многогранников.
19. Являются ли решения регулярной вариационной задачи необходимо аналитическими?
20. Общая задача о граничных условиях.
21. Доказательство существования линейных дифференциальных уравнений с заданной группой монодромии.
22. Униформизация аналитических зависимостей с помощью автоморфных функций.
23. Развитие методов вариационного исчисления
Я не верю в это и не хочу этого. Математическая наука на мой взгляд, представляет неделимое целое, организм, жизнеспособность которого обусловливается связностью его частей. Ведь при всем различии математического материала в частностях мы все же очень ясно видим тождественность логических вспомогательных средств, родство образования идей в математике в целом и многочисленные аналогии в ее различных областях. Мы также замечаем, что, чем дальше развивается математическая теория, тем гармоничнее и более едино оформляется ее сооружение и между до сих пор разделенными областями открываются неожиданные связи. Так получается, что при расширении математики ее единый характер не теряется, а становится все более отчетливым.
Но - спросим мы - при расширении математического знания не становится ли в конце концов невозможным для отдельного исследователя охватить все его части? В качестве ответа я хочу сослаться на то, что существо математической науки таково, что каждый действительный успех в ней идет рука об руку с нахождением более сильных вспомогательных средств и более простых методов, которые одновременно облегчают понимание более ранних теорий и устраняют затруднительные старые рассуждения; поэтому отдельному исследователю, благодаря тому что он усвоит эти более сильные вспомогательные средства и более простые методы, удастся легче ориентироваться в различных областях математики, чем это имеет место для какой-нибудь другой науки.
Единый характер математики обусловлен внутренним существом этой науки; ведь математика - основа всего точного естествознания. А для того чтобы в совершенстве выполнить это высокое назначение, пусть в грядущем столетии она обретет гениальных мастеров и многочисленных, пылающих благородным рвением приверженцев *.
* В подлиннике эти слова звучат
так: "Der einheitliche Charakter der Mathematik liegt im inneren Wesen
dieser Wissenschaft begrundet; denn die Mathematik ist die Grundlage alles
exakten naturwissenschaftlichen Erkennens. Damit sie diese hohe Bestimmung
vollkommen erfulle, mogen ihr im neuen Jahrhundert geniale Meister erstehen
und zahlreiche in edlem Eifer ergluhende Jungerl"
- Прим. ред.