Вспомним ответы на вопросы 1. Сформулируй понятие площади геометрической фигуры 2. Сформулируй основные свойства площадей геометрических фигур 3. Как можно вычислить площадь прямоугольника и параллелограмма?
Площадь геометрической фигуры Площадью геометрической фигуры называется величина, характеризующая размер данной фигуры
Основные свойства площадей геометрических фигур 1. Любая плоская геометрическая фигура имеет площадь. 2. Эта площадь – единственная. 3. Площадь любой геометрической фигуры выражается положительным числом. 4. Площадь квадрата со стороной,равной единице,равна единице. 5. Площадь фигуры равна сумме площадей частей,на которые она разбивается.
Площадь прямоугольника Площадь прямоугольника равна произведению двух соседних его сторон а в S = а · в
Площадь параллелограмма 1.Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, опущенную на эту сторону а S = а · h h
Площадь параллелограмма 2.Площадь параллелограмма равна произведению двух соседних его сторон на синус угла между ними а в А В С Д S= а · в · sin А
Площадь треугольника Теорема Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, опущенную на эту сторону А В С Д S= ½ AC · ВД
Доказательство теоремы А В Д С К S(АВС)= ½ S(АВДС)=1/2 АД · ВК
Следствия из теоремы Попробуй доказать самостоятельно следующие следствия из теоремы:
Следствие 1 Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов А В С S= ½ ВС · АС
Следствие 2 Площадь тупоугольного треугольника равна произведению любой из его сторон на высоту, опущенную на эту сторону А В СД
Следствие 3 Площадь треугольника равна половине произведения двух любых его сторон на синус угла между ними А В С S= ½ АВ · АС · sin А
Следствие 4 Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле: где а – сторона треугольника
Сначала реши легкие задачки 1. Найти площадь треугольника, основание которого равно 16 см, а высота, опущенная на это основание, равна 20 см. 2. Найти площадь равностороннего треугольника со стороной 6 см. 3. Найти площадь прямоугольного треугольника, катеты которого равны 9 см и 12 см.
Поясняющие чертежи к этим легким задачкам
Теперь реши задачки потруднее 1. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 13 см, а основание равно 10 см. Найдите площадь треугольника. 2. Дан равносторонний треугольник со стороной а. Найти площадь треугольника, составленного из средних линий данного треугольника 3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, а один из его катетов равен 8 см. Найдите площадь этого прямоугольного треугольника
Теперь реши самые трудные задачи 1. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна a, а угол при основании равен. Найдите площадь треугольника. 2. Высота равностороннего треугольника равна h. Вычислите его площадь. 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, а один из острых углов равен. Найдите площадь треугольника.
Ответы к легким задачкам см см см 2
Ответы к более трудным задачкам см см 2
Ответы к самым трудным задачкам Ответы к задачам: 1. ½ a 2 sin
Это интересно! Определение площадей геометрических фигур - одна из древнейших практических задач. Правильный подход к их решению был найден не сразу. Один из самых простых и доступных способов вычисления площадей был открыт Евклидом. При вычислении площадей он использовал простой прием, называемый методом разбиения.
Например, мы уже знаем,как можно вычислить площадь квадрата, прямоугольника и параллелограмма, а нам нужно вычислить площадь произвольного треугольника. Применим следующий алгоритм:
Отметим на одной из сторон треугольника точку, которая является серединой этой стороны. 2.Проведем через эту точку прямую, параллельную одной из сторон этого треугольника. 3.Прямая разбивает этот треугольник на малый треугольник и трапецию. 4.Переставим меньший треугольник к трапеции так, чтобы получился параллелограмм.
Исходный треугольник и полученный параллелограмм являются равносоставными фигурами, а значит и равновеликими.Мы знаем, что равновеликие фигуры - это фигуры, имеющие равные площади. Значит площадь исходного треугольника равна площади полученного параллелограмма.
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, а высота исходного треугольника по построению в 2 раза больше высоты параллелограмма. Значит площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту!
И в заключение… Надеюсь, что эта информация поможет тебе хорошо разобраться в этой теме, а значит получить на контрольной работе только «5»! Благодарю за внимание!
Теорема . Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на проведённую к ней высоту:
Доказательство проводится очень просто. Данный треугольник АВС (рис. 1.15) достроим до параллелограмма ABDC . Треугольники ABC и DCB равны по трём сторонам, поэтому их площади равны. Значит площадь треугольника АВС равна половине площади параллелограмма ABDC , т. е.
Но здесь возникает следующий вопрос: почему три возможных полупроизведения основания на высоту для всякого треугольника одинаковы? Это, впрочем, легко доказать из подобия прямоугольников с общим острым углом. Рассмотрим треугольник АВС (рис. 1.16):
И, следовательно,
Однако в школьных учебниках так не делается. Наоборот, равенство трёх полупроизведений устанавливается на основе того, что все эти полупроизведения выражают площадь треугольника. Таким образом, неявно используется существование единственной функции. А ведь здесь появляется удобная и поучительная возможность продемонстрировать пример математического моделирования. Действительно, за понятиям площади стоит физическая реальность, но прямая проверка равенства трёх полупроизведений показывает добротность перевода этого понятия на язык математики.
Пользуясь приведённой выше теоремой о площади треугольника очень часто бывает удобно сравнивать площади двух треугольников. Приведём ниже некоторые очевидные, но важные следствия из теоремы.
Следствие 1 . Если вершину треугольника передвигать по прямой, параллельной её основанию, то его площадь при этом не меняется.
На рис. 1.17 треугольники АВС и АВD имеют общее основание АВ и равные высоты, опущенные на это основание, т. к. прямая а , которая содержит вершины С и D параллельна основанию АВ , а поэтому площади этих треугольников равны.
Следствие 1 можно переформулировать следующим образом.
Следствие 1? . Пусть дан отрезок АВ . Множество точек М таких, что площадь треугольника АМВ равна заданной величине S , есть две прямые, параллельные отрезку АВ и находящиеся от него на расстоянии (рис. 1. 18)
Следствие 2 . Если одну из сторон треугольника, прилежащих к данному его углу, увеличить в k раз, то площадь его также увеличится в k раз.
На рис. 1.19 треугольники АВС и ABD имеют общую высоту ВH , поэтому отношение их площадей равно отношению оснований
Из следствия 2 следуют важные частные случаи:
1. Медиана делит треугольник на две рановеликие части.
2. Биссектриса угла треугольника, заключённая между его сторонами а и b , делит его на два треугольника, площади которых относятся как a : b .
Следствие 3 . Если два треугольника имеют общий угол, то их площади относятся как произведения сторон, заключающих этот угол.
Это следует из того, что (рис. 1.19)
В частности, имеет место следующее утверждение:
Если два треугольника подобны и сторона одного из них в k раз больше соответствующих сторон другого, то его площадь в k 2 раз больше площади второго.
Выведем формулу Герона для площади треугольника следующими двумя способами. В первом используем теорему косинусов:
где a, b, c - длины сторон треугольника, г - угол, противолежащий стороне с.
Из (1.3) находим.
Замечая, что
где - полупериметр треугольника, получаем.
«Доказательство теоремы Пифагора» - Доказательство. Значение теоремы состоит в том, что из неё или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Самое простое доказательство. Теорема Пифагора - это одна из самых важных теорем геометрии. Доказательство Евклида. Формулировка теоремы. И ныне теорема Пифагора Верна, как и в его далёкий век.
«Действия над векторами» - Геометрия. Правило треугольника. Сложение векторов. Векторы. Урок изучения нового материала. Вычитание векторов. Изучение правил сложения и вычитания векторов. Тема: «Векторы». Правило параллелограмма. Сложение векторов. Вектор – это отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом.
«Форма снежинок» - Небесная геометрия. Шарик из пылинки и молекулы воды растет, принимая форму шестигранной призмы. Величина, форма и узор снежинок зависят от температуры и влажности. Цели и задачи. Внутренне строение снежного кристалла определяет его внешний облик. Зависимость форм снежинок от внешних условий. Существуют снежные кристаллы 48 видов, разбитые на 9 классов.
«Теория числа Пи» - Фазовый радиус вселенной. Какие экспериментальные факты могли бы опровергнуть Теорию. Стрела времени имеет только одно направление. Фазовые объемы. Нарушение принципа причинности. Бесконечная скорость распространения взаимодействий. Применение К-принципа (частный случай). Фазовый и метрический объемы тела.
«Площадь треугольника» - Теорема. Площадь треугольника. АС- основание. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. ВС- основание. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. АН1- высота. Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.
«Геометрия в музыке» - Музыка - есть таинственная арифметика души. Музыка вычисляет, сама того не сознавая. Готфирд Лейбниц. Содружество математики и музыки. Морис Корнелис Эшер. Музыка – дисциплина квадривиума. Геометрия в музыке. Размышления Пифагора. Монохорд. Иоганн Бах. Инструмент с одной струной, которая могла пережиматься в разных местах.
Всего в теме 42 презентации
1) Сформулируй понятие площади геометрической фигуры.
1) Сформулируй понятие площади геометрической фигуры.
2) Сформулируй основные свойства площадей геометрических фигур.
3) Как можно вычислить площадь прямоугольника и параллелограмма?
- Любая плоская геометрическая фигура имеет площадь.
- Любая плоская геометрическая фигура имеет площадь.
- Эта площадь – единственная.
- Площадь любой геометрической фигуры выражается положительным числом.
- Площадь квадрата со стороной,равной единице,равна единице.
- Площадь фигуры равна сумме площадей частей,на которые она разбивается.
1. Найти площадь треугольника, основание которого равно 16 см,
1. Найти площадь треугольника, основание которого равно 16 см,
а высота, опущенная на это основание, равна 20 см.
2. Найти площадь равностороннего треугольника со стороной 6 см.
3. Найти площадь прямоугольного треугольника, катеты которого равны
9 см и 12 см.
1. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 13 см, а основание равно 10 см. Найдите площадь треугольника.
1. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 13 см, а основание равно 10 см. Найдите площадь треугольника.
2. Дан равносторонний треугольник со стороной а. Найти площадь треугольника, составленного из средних линий данного треугольника.
3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, а один из его катетов
равен 8 см. Найдите площадь этого прямоугольного треугольника
1. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна a, а угол при основании равен . Найдите площадь треугольника.
1. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна a, а угол при основании равен . Найдите площадь треугольника.
2. Высота равностороннего треугольника равна h. Вычислите его площадь.
3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, а один из острых углов равен . Найдите площадь треугольника.
Определение площадей геометрических фигур - одна из древнейших практических задач.
Определение площадей геометрических фигур - одна из древнейших практических задач.
Правильный подход к их решению был найден не сразу.
Один из самых простых и доступных способов вычисления площадей был открыт Евклидом. При вычислении площадей он использовал простой прием, называемый методом разбиения.
Например, мы уже знаем, как можно вычислить площадь квадрата, прямоугольника и параллелограмма, а нам нужно вычислить площадь произвольного треугольника. Применим следующий алгоритм:
Например, мы уже знаем, как можно вычислить площадь квадрата, прямоугольника и параллелограмма, а нам нужно вычислить площадь произвольного треугольника. Применим следующий алгоритм:
-Отметим на одной из сторон треугольника точку, которая является серединой этой стороны.
-Отметим на одной из сторон треугольника точку, которая является серединой этой стороны.
-Проведем через эту точку прямую, параллельную одной из сторон этого треугольника.
-Прямая разбивает этот треугольник на малый треугольник и трапецию.
-Переставим меньший треугольник к трапеции так, чтобы получился параллелограмм.
Исходный треугольник и полученный параллелограмм являются равносоставными фигурами, а значит и равновеликими.Мы знаем, что равновеликие фигуры - это фигуры, имеющие равные площади. Значит площадь исходного треугольника равна площади полученного параллелограмма.
Исходный треугольник и полученный параллелограмм являются равносоставными фигурами, а значит и равновеликими.Мы знаем, что равновеликие фигуры - это фигуры, имеющие равные площади. Значит площадь исходного треугольника равна площади полученного параллелограмма.
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, а высота исходного треугольника по построению в 2 раза больше высоты параллелограмма. Значит площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту!
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, а высота исходного треугольника по построению в 2 раза больше высоты параллелограмма. Значит площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту!
Надеюсь, что эта информация поможет вам хорошо разобраться в этой теме, а значит получить на контрольной работе только «5»!
Надеюсь, что эта информация поможет вам хорошо разобраться в этой теме, а значит получить на контрольной работе только «5»!
Благодарю за внимание!