Перейдем теперь к поставленной в главе I задаче о нахождении функции распределения для любого макроскопического тела, являющегося малой частью какой-либо большой замкнутой системы (подсистемой). Наиболее удобный и общий способ подхода к решению этой задачи основан на применении ко всей системе микроканонического распределения.

Выделим из замкнутой системы интересующее нас тело и будем рассматривать систему как составленную из двух частей: изданного тела и всей остальной ее области, которую мы будем называть по отношению к телу «средой».

Микроканоническое распределение (6,6) напишется в виде

где относятся соответственно к телу и среде, а - заданное значение энергии замкнутой системы; этому значению должна быть равна сумма энергий тела и среды.

Нашей целью является нахождение вероятности такого состояния всей системы, при котором данное тело находится в некотором определенном квантовом состоянии (с энергией ), т. е. в состоянии, описанном микроскопическим образом. Микроскопическим же состоянием среды мы при этом не интересуемся, т. е. будем считать, что она находится в некотором макроскопически описанном состоянии. Пусть есть статистический вес макроскопического состояния среды; обозначим также посредством интервал значений энергии среды, соответствующий интервалу квантовых состояний в указанном в § 7 смысле.

Искомую вероятность мы найдем, заменив в (28,1) единицей, положив и проинтегрировав по

Пусть - полное число квантовых состояний среды с энергией, меньшей или равной Е.

Поскольку подынтегральное выражение зависит только от Е, можно перейти к интегрированию по , написав:

Производную заменяем (ср. § 7) отношением

где - энтропия среды как функция ее энергии (функцией Е является, конечно, также и ). Таким образом,

Благодаря наличию - функции интегрирование сводится к замене Е на и получаем

(28,2)

Учтем теперь, что вследствие малости тела его энергия мала по сравнению с Величина относительно очень мало меняется при незначительном изменении ; поэтому в ней можно просто положить после чего она превратится в независящую от постоянную. В экспоненциальном же множителе надо разложить по степеням сохранив также и линейный член:

Но производная от энтропии S по энергии есть не что иное, как , где Т - температура системы (температура тела и среды одинакова, так как система предполагается находящейся в равновесии).

Таким образом, получаем окончательно для следующее выражение:

где А - не зависящая от нормировочная постоянная. Это - одна из важнейших формул статистики; она определяет статистическое распределение любого макроскопического тела, являющегося сравнительно малой частью некоторой большой замкнутой системы. Распределение (28,3) называется распределением Гиббса или каноническим распределением; оно было открыто Гиббсом (J. W. Gibbs) для классической статистики в 1901 г.

Нормировочная постоянная А определяется условием откуда

Среднее значение любой физической величины f, характеризующей данное тело, может быть вычислено с помощью распределения Гиббса по формуле

В классической статистике выражение, в точности соответствующее формуле (28,3), получается для функции распределения в фазовом пространстве:

где - энергия тела как функция его координат и импульсов. Нормировочная постоянная А определяется условием

На практике часто приходится иметь дело со случаями, когда квазиклассическим является не все микроскопическое движение частиц, а лишь движение, соответствующее части степеней свободы, в то время как по остальным степеням свободы движение является квантовым (так, например, может быть квазиклассическим поступательное движение молекул при квантовом характере внутримолекулярного движения атомов). В таком случае уровни энергии тела можно написать в виде функций от квазиклассических координат и импульсов: где обозначает совокупность квантовых чисел, определяющих «квантовую часть» движения, для которого значения и q играют роль параметров. Формула распределения Гиббса напишется тогда в виде

где - произведение дифференциалов «квазиклассических» координат и импульсов.

Наконец, необходимо сделать следующее замечание по поводу круга вопросов, для решения которых можно применять распределение Гиббса. Мы все время говорили о последнем как о статистическом распределении для подсистемы, каковым оно в действительности и является. Весьма важно, однако, что это же распределение можно с полным успехом применять и для определения основных статистических свойств замкнутых тел.

Действительно, такие свойства тела, как значения его термодинамических величин или распределения вероятностей для координат и скоростей отдельных его частиц, очевидно, не зависят от, того, рассматриваем ли мы тело как замкнутое или как помещенное в воображаемый термостат (§ 7). В последнем случае, однако, тело становится «подсистемой» и распределение Гиббса применимо к нему буквально. Отличие замкнутого тела от незамкнутого проявляется при применении распределения Гиббса по существу лишь при рассмотрении сравнительно мало интересного вопроса о флуктуациях полной энергии тела. Распределение Гиббса дает для средней флуктуации этой величины отличное от нуля значение, которое для тела, находящегося в среде, имеет реальный смысл, а для замкнутого тела совершенно фиктивно, так как энергия такого тела по определению постоянна и не флуктуирует.

Возможность применения (в указанном смысле) распределения Гиббса к замкнутым телам видна также и из того, что оно по существу очень слабо отличается от микроканонического (и в то же время несравненно удобнее для проведения конкретных расчетов). Действительно, микроканоническое распределение эквивалентно, грубо говоря, признанию равновероятными всех микросостояний тела, отвечающих заданному значению его энергии. Каноническое же распределение «размазано» по некоторому интервалу значений энергии, ширина которого (порядка величины средней флуктуации энергии), однако, для макроскопического тела ничтожно мала.

Канонический ансамбль. Распределение Гиббса. Статистическая сумма.

Рассмотрим скоростные и энергетические состояния, которые представляют изучаемую в данном случае систему. Но эта система уже теперь не замкнута. Поскольку она обменивается энергией с другими частицами, составляющими вместе с ней замкнутую систему.

Совокупность незамкнутых статистических систем называется каноническим ансамблем.

Отдельная система канонического ансамбля может содержать как одну, так и много частиц. Важным является только то, чтобы число ее частиц было значительно меньше числа частиц большой системы. Энергия различных систем канонического ансамбля различна. И проблема заключается в определении вероятности различных энергетических состояний систем этого ансамбля. Согласно распределению Гиббса или канонического распределения вероятность того, что система находится в состоянии с энергией ε а:

P a =A*e - βεа,

A=Гα 0 / Г 0 ,

где Г 0 - это число состояний, принадлежащих микроканоническому ансамблю, а Гα 0 - число микросостояний полной системы, посредством которых осуществляется состояние с нулевой энергией у рассматриваемой канонической подсистемы. Распределение Гиббса может быть также записано через статистическую сумму

P a =(e - βεа)/(∑ a e - βεа)

Статистическая сумма представляет собой функцию всех микросостояний одновременно.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газа (для давления)

Давление газа на стенки сосуда возникают вследствие ударов молекул. Молекулы движутся совершенно беспорядочно. Все направления движений равновероятны. Основанием для такого утверждения служит тот опытный факт, что давление газа на стенки сосуда всюду одинаков. Для математического упрощения решения задачи о вычисления давления примем два допущения:

1) Молекулы движутся вдоль трех взаимно перпендикулярных направлениях.

2) Все молекулы имеют одинаковое значение скорости.

Выделим в газе площадку площадью дельта S, положение которой будет задано внешней нормалью n. (3) За время дельта t до элемента дельта S долетят все молекулы, которые находятся в цилиндре с площадью основания ∆S и высотой v*∆t.

1/6n*v*∆t*∆S=N

∆k=2mv*1/6n*v*∆t*∆S=1/3nmv 2 ∆S

∆F=∆k/∆t=1/3 nmv 2 ∆S

P=∆F/∆S=1/3 nmv 2 =2/3nε

Данное выражение получено в предположении, что все молекулы движутся с одинаковой скоростью. Учет того факта, что молекулы движутся с разными скоростями, что давление равно

Если при данной температуре имеется смесь различных газов, то разные по массе молекулы будут иметь различную среднюю скорость, но средняя энергия молекул будет одинаковой. Полное давление в этом случае будет равно

p = nkT = (n 1 +n 2 +…+n i)kT= n 1 kT+n 2 kT+n i kT

Это закон Дальтона: давление в смеси газов равно сумме парциальных давлений газов, образующих данную смесь.

Воздух: 77% N 2 + 20% O 2

Это уравнение учитывает только энергию поступательного движения молекул. Однако возможно также вращение молекулы и колебание атомов, входящих в состав молекулы. Естественно, что эти оба вида движения также связаны с определенным запасом энергии, вычислить которые позволяет устанавливаемое статистической физикой положение о равнораспределении энергии по степеням свободы молекулы. Числом степеней свободы механической системы является число независимых величин, с помощью которых может быть задано положение системы. Материальная точка, например, имеет три степени свободы. Для того чтобы перейти от материальной точки к твердому телу необходимо ввести понятие центр инерции. Центр инерции твердого тела – это такая материальная точка, которая обладает массой этого тела и которая движется под действием сил действующих на тело так, как движется само тело. Абсолютно твердое тело обладает шестью степенями свободы.

Если положение атома, входящих в составе молекулы не фикс, то добавляется степень свободы колебания. Нужно иметь ввиду, что колебательная степень свободы обладает вдвое большей энергетической емкостью по сравнению с поступательной или вращательной. Это связано с тем, что при колебаниях изменяется как кинетическая, так и потенциальная энергия, средние значения которых равны.

i=n пост +n вращ +2n кол

Внутренняя энергия идеального газа

Поскольку молекулы идеального газа не взаимодействуют между собой на расстоянии, то внутренняя энергия системы будет складываться из энергий отдельных молекул

Теплоемкость – это физическая величина, равная количеству теплоты, которое необходимо сообщить телу для того, чтобы увеличить его температуру на один градус(К).

Помимо этого в молекулярной физике вводится теплоемкость при постоянном объеме и при постоянном давлении, в зависимости от того, при каких условиях к системе подводится тепло. Если нагревание происходит при постоянном объеме, то система не совершает работы над внешними телами и все тепло, которое сообщается системе, идет на изменение внутренней энергии.

В том случае, если нагревание происходит при постоянном давлении, то газ может расширяться и совершать работу над внешними телами

Используя уравнение Майера можно вычислить

Введение в термодинамику.

Макроскопическое описание систем с большим числом степеней свободы. Изолированные и замкнутые системы. Подсистемы макроскопической системы. Термодинамическое равновесие и нулевое начало термодинамики. Понятие температуры.

Формализм термодинамики.

Квазистационарные процессы, элементарная работа над замкнутой системой и канонически сопряженные макропараметры. Обмен теплом между подсистемами и первое начало термодинамики.

Второе начало термодинамики. Адиабатический процесс. Определение энтропии и температуры. Аддитивность энтропии. Принцип максимума энтропии.

Термодинамические потенциалы и их свойства (энтропия, свободная энергия, энтальпия, термодинамический потенциал Гиббса, большой термодинамический потенциал). Экстенсивные и интенсивные параметры в простых подсистемах. Принцип ле-Шателье и термодинамические неравенства.

Тепловые машины. Максимальная работа, извлекаемая из замкнутой неравновесной системы. Работа в циклических процессах, КПД цикла, цикл Карно. Максимальная работа тела во внешней среде. Модели двигателя внутреннего сгорания.

Формализм статистической физики

Микро-описание динамики макроскопической системы на основе канонических уравнений Гамильтона. Основная задача статистической физики. Парадокс обратимости и основные постулаты статистической физики. Макроскопические параметры как результат усреднения своих микроаналогов.

Эргодическая гипотеза и статистичекий анасамбль систем. Фазовое пространство, функция распределения и кинетическое уравнение Лиувиля. Расчет различных распределений вероятности по заданной функции распределения. Стационарные функции распределения в замкнутой системе. Адиабатический процесс и его интеграл.

Микроканоническое распределение.

Микроканоническое распределение как предел функции распределения, пригодной к расчету макроскопических параметров методом усреднения адиабатического процесса. Равновероятность микросостояний и неравновероятность макросостояний. Расчет распределений вероятностей по различным параметрам.

Статистическое определение энтропии замкнутой системы (принцип максимума и аддитивность энтропии, введение термодинамики).

Статистический расчет уравнения состояния идеального газа. Идеальный газ во внешнем потенциальном поле. Распределение Максвелла - Больцмана в идеальном газе.

Парадокс Гиббса и его разрешение в рамках классической статистической физики. Определение энтропии системы одинаковых частиц.

Распределение Гиббса

Статистическое описание равновесной подсистемы в термостате. Каноническое распределение в классической статистической физике. Статистический интеграл и свободная энергия системы.

Постулирование канонического распределения. Эквивалентность макроскопической термодинамики, построенной на базе канонического и микроканонического ансамблей.

Канонические распределения в термостатах различного типа и термодинамические потенциалы. Эквивалентность соответствующих формулировок термодинамических соотношений.

Анализ идеального газа в рамках распределения Гиббса. Уравнение состояния и теплоемкость одноатомного идеального газа. Идеальный газ во внешнем потенциальном поле. Закон равнораспределения кинетической энергии по степениям свободы. Теплоемкость многоатомных газов. Поражение классической статистической физики.

Квантовое распределение Гиббса

Квантовое обобщение канонического распределения Гиббса. Статистическая сумма и ее квазиклассическое представление. Формула Планка для средней энергии осциллятора. «Вымораживание» степеней свободы при низких температурах. Теорема Нернста.

Квантование поступательных степеней свободы. Понятие тождественных частиц, происхождение фактора и условия классического описания невырожденного идеального газа.

Тождественные частицы

Статистический расчет простейших систем тождественных частиц (ротатор, осциллятор).

Системы с большим числом невзаимодействующих тождественных частиц Ансамбль тождественных осцилляторов с нулевым спином. Представление чисел заполнения и большое каноническое распределение в квантовой статистической физике.

Идеальный газ тождественных частиц. Распределения Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака. Эффекты вырождения в газе тождественных частиц, конденсация бозе-газа, энергия Ферми и полностью вырожденный ферми-газ. Теплоемкость и термодинамика вырожденного ферми-газа. Вырожденный идеальный газ во внешних полях. Идеальный газ электронов в твердом теле (введение в зонную теорию).

Равновесное излучение

Равновесное излучение в замкнутом объеме (модель фотонного газа и модель осцилляторов поля). Распределение Планка. Энергия, давление и термодинамика фотонного газа.

Спектральные характеристики случайного поля (плотность энергии и интенсивность теплового излучения). Перенос теплового излучения в прозрачной неоднородной среде. Излучение "черного" и "серых" тел.

Неидеальные газы

Статистическое описание разреженного реального газа со слабым взаимодействием между молекулами. Термодинамика неидеального газа в рамках модели Ван-дер-Ваальса. Процесс Джоуля-Томпсона. Термодинамика классической плазмы.

Расширенная по сравнению с Максвеллом и Больцманом трактовка статистической физики была дана Гиббсом. В его трактовке задача заключается в вычислении средних значений физических величин. Вместо усреднения по времени в рамках одной системы рассматривается совокупность большого числа определенным образом неупорядоченных одинаковых систем. Замкнутая система определяется как система с постоянной энергией, постоянным числом частиц и постоянным объемом. Основополагающими понятиями в этом описании являются понятия ансамбля, совокупности частиц и фазового пространства.

Под фазовым Г-пространством понимают пространство всех обобщенных координат q и импульсов р. Микросостояние системы или ее фаза изображаются в этом пространстве точкой. При наличии n степеней свободы мы имеем пространство 2n-измерений.

Представим себе, что имеется N вариантов изучаемой системы, полностью адекватных в макроскопическом отношении: все они находятся в одинаковых внешних условиях, имеют одинаковый состав и строение. Такая условная совокупность тождественных, невзаимодействующих друг с другом систем называется ансамблем Гиббса. Различные системы ансамбля отличаются друг от друга микросостояниями. Будем предполагать, что в ансамбле представлены все возможные микроскопические состояния, совместимые с данными внешними условиями. С течением времени вследствие движения частиц микроскопические состояния сменяют друг друга.

В классической статистике каждое микросостояние системы характеризуется точкой. находящейся в объеме DpDq 6N-мерного пространства. Вероятность данного микросостояния системы, или вероятность того, что координаты и импульсы частиц находятся в заданном интервале Dx, Dp:

где N- полное число систем в ансамбле, DN- число микросостояний, изображаемых точками, лежащими внутри заданного объема.

Вероятность определенного состояния системы пропорциональна заданному фазовому объему DpDq и плотности распределения точек, изображающих состояния систем ансамбля в фазовом пространстве.

Функцией распределения (функцией состояния) f(p,q) называется плотность распределения (число точек в единице объема фазового пространства), отнесенных к полному количеству систем в ансамбле N.

(1.6.2)

Из определения вероятности следует, что должно иметь место условие нормировки

Таким образом, функция распределения для некоторой изолированной (находящейся в термостате) системы имеет вид

, (1.6.4)

где W(p,q) - полная энергия системы, а коэффициент A(T) определяется из условия нормировки (1.6.2). Полученное распределение называется распределением Гиббса или каноническим распределением.

В случае квантовой статистики необходимо заменить непрерывное распределение различных состояний их дискретным набором. Характеристикой замкнутой системы служит энтропия. Каждому значению энергии W i отвечает некоторая группа N(W i) квантовых состояний (степень вырождения).

Так как все состояния с заданной энергией равновероятны, вероятность нахождения системы в одном из состояний с данной энергией

Это микроканоническое распределение Гиббса. Оно показывает, что вероятность нахождения замкнутой системы в одном из состояний с данной энергией пропорциональна кратности его вырождения (см. библиографический список (3)).

Условие нормировки:

Отсюда следует каноническое распределение Гиббса

(1.6.6)

При помощи распределения Гиббса можно вычислить среднее значение любой величины, зависящей от состояния системы. Состояние, отвечающее максимуму распределения Гиббса, является наиболее вероятным.

Знаете ли Вы, в чем ложность понятия "физический вакуум"?

Физический вакуум - понятие релятивистской квантовой физики, под ним там понимают низшее (основное) энергетическое состояние квантованного поля, обладающее нулевыми импульсом, моментом импульса и другими квантовыми числами. Физическим вакуумом релятивистские теоретики называют полностью лишённое вещества пространство, заполненное неизмеряемым, а значит, лишь воображаемым полем. Такое состояние по мнению релятивистов не является абсолютной пустотой, но пространством, заполненным некими фантомными (виртуальными) частицами. Релятивистская квантовая теория поля утверждает, что, в согласии с принципом неопределённости Гейзенберга, в физическом вакууме постоянно рождаются и исчезают виртуальные, то есть кажущиеся (кому кажущиеся?), частицы: происходят так называемые нулевые колебания полей. Виртуальные частицы физического вакуума, а следовательно, он сам, по определению не имеют системы отсчета, так как в противном случае нарушался бы принцип относительности Эйнштейна, на котором основывается теория относительности (то есть стала бы возможной абсолютная система измерения с отсчетом от частиц физического вакуума, что в свою очередь однозначно опровергло бы принцип относительности, на котором постороена СТО). Таким образом, физический вакуум и его частицы не есть элементы физического мира, но лишь элементы теории относительности, которые существуют не в реальном мире, но лишь в релятивистских формулах, нарушая при этом принцип причинности (возникают и исчезают беспричинно), принцип объективности (виртуальные частицы можно считать в зависимсоти от желания теоретика либо существующими, либо не существующими), принцип фактической измеримости (не наблюдаемы, не имеют своей ИСО).

Когда тот или иной физик использует понятие "физический вакуум", он либо не понимает абсурдности этого термина, либо лукавит, являясь скрытым или явным приверженцем релятивистской идеологии.

Понять абсурдность этого понятия легче всего обратившись к истокам его возникновения. Рождено оно было Полем Дираком в 1930-х, когда стало ясно, что отрицание эфира в чистом виде, как это делал великий математик, но посредственный физик , уже нельзя. Слишком много фактов противоречит этому.

Для защиты релятивизма Поль Дирак ввел афизическое и алогичное понятие отрицательной энергии, а затем и существование "моря" двух компенсирующих друг друга энергий в вакууме - положительной и отрицательной, а также "моря" компенсирующих друг друга частиц - виртуальных (то есть кажущихся) электронов и позитронов в вакууме.