«Физика - 10 класс»
В этой главе речь пойдёт о следствиях, которые можно извлечь из понятия температуры и других макроскопических параметров. Основное уравнение молекулярнокинетической теории газов вплотную приблизило нас к установлению связей между этими параметрами.
Мы детально рассмотрели поведение идеального газа с точки зрения молекулярно-кинетической теории. Была определена зависимость давления газа от концентрации его молекул и температуры (см. формулу (9.17)).
На основе этой зависимости можно получить уравнение, связывающее все три макроскопических параметра р, V и Т, характеризующие состояние идеального газа данной массы.
Формулой (9.17) можно пользоваться только до давления порядка 10 атм.
Уравнение, связывающее три макроскопических параметра р, V и Т, называют уравнением состояния идеального газа .
Подставим в уравнение р = nkT выражение для концентрации молекул газа. Учитывая формулу (8.8), концентрацию газа можно записать так:
где N A - постоянная Авогадро, m - масса газа, М - его молярная масса. После подстановки формулы (10.1) в выражение (9.17) будем иметь
Произведение постоянной Больцмана k и постоянной Авогадро N A называют универсальной (молярной) газовой постоянной и обозначают буквой R:
R = kN A = 1,38 10 -23 Дж/К 6,02 10 23 1/моль = 8,31 Дж/(моль К). (10.3)
Подставляя в уравнение (10.2) вместо kN A универсальную газовую постоянную R, получаем уравнение состояния идеального газа произвольной массы
Единственная величина в этом уравнении, зависящая от рода газа, - это его молярная масса.
Из уравнения состояния вытекает связь между давлением, объёмом и температурой идеального газа, который может находиться в двух любых состояниях.
Если индексом 1 обозначить параметры, относящиеся к первому состоянию, а индексом 2 - параметры, относящиеся ко второму состоянию, то согласно уравнению (10.4) для газа данной массы
Правые части этих уравнений одинаковы, следовательно, должны быть равны и их левые части:
Известно, что один моль любого газа при нормальных условиях (р 0 = 1 атм = 1,013 10 5 Па, t = 0 °С или Т = 273 К) занимает объём 22,4 л. Для одного моля газа, согласно соотношению (10.5), запишем:
Мы получили значение универсальной газовой постоянной R.
Таким образом для одного моля любого газа
Уравнение состояния в форме (10.4) было впервые получено великим русским учёным Д. И. Менделеевым. Его называют уравнением Менделеева-Клапейрона .
Уравнение состояния в форме (10.5) называется уравнением Клапейрона и представляет собой одну из форм записи уравнения состояния.
Б. Клапейрон в течение 10 лет работал в России профессором в институте путей сообщения. Вернувшись во Францию, участвовал в постройке многих железных дорог и составил множество проектов по постройке мостов и дорог.
Его имя внесено в список величайших учёных Франции, помещённый на первом этаже Эйфелевой башни.
Уравнение состояния не надо выводить каждый раз, его надо запомнить. Неплохо было бы помнить и значение универсальной газовой постоянной:
R = 8,31 Дж/(моль К).
До сих пор мы говорили о давлении идеального газа. Но в природе и в технике мы очень часто имеем дело со смесью нескольких газов, которые при определённых условиях можно считать идеальными.
Самый важный пример смеси газов - воздух, являющийся смесью азота, кислорода, аргона, углекислого газа и других газов. Чему же равно давление смеси газов?
Для смеси газов справедлив закон Дальтона.
Закон Дальтона
Давление смеси химически невзаимодействующих газов равно сумме (ЦЩй их парциальных давлений
p = p 1 + p 2 + ... + p i + ... .
где р i - парциальное давление i-й компоненты смеси.
>>Физика и астрономия >>Физика 10 класс >>Физика: Уравнение состояния идеального газа
Состояние идеального газа
Сегодняшний урок физики мы посвятим рассмотрению темы об уравнении состояния идеального газа. Однако, вначале, попробуем разобраться с таким понятием, как состояние идеального газа. Нам известно, что частицы реально существующих газов, такие как атомы и молекулы имеют свои размеры и естественно, что заполняют какой-то объем в пространстве, и соответственно они немного зависимы друг от друга.
При взаимодействии между частицами газа, физические силы обременяют их перемещение и за счет этого ограничивают их маневренность. Поэтому газовые законы и их следствия, как правило, не нарушаются лишь для разреженных реальных газов. То есть, для газов, расстояние между частицами которых ощутимо превосходят собственный размер частиц газа. Кроме того, взаимодействие между такими частицами, как правило, минимально.
Поэтому, газовые законы при естественном атмосферном давлении имеют приблизительное значение и если это давление высокое, то законы не действуют.
Поэтому в физике принято рассматривать такое понятие, как состояние идеального газа. При таких обстоятельствах частицы принято расценивать, как некие геометрические точки, которые имеют микроскопические размеры и не имеют никакого взаимодействия между собой.
Уравнение состояния идеального газа
А вот, уравнение, которое связывает эти микроскопические параметры, и определяет состояние газа, принято называть уравнением состояния идеального газа.
К таким нулевым параметрам, без которых невозможно определить состояние газа, является:
К первому параметру относится давление, которое обозначают символом - Р;
Второй параметр – это объем –V;
И к третьему параметру относится температура – Т.
Из предыдущего раздела нашего урока, мы уже знаем, что газы могут выступать в роли реагентов или быть продуктами в химических реакциях, поэтому, при нормальных условиях, газы сложно заставить реагировать между собой, и для этого необходимо уметь определять число молей газов в условиях, которые отличаются от нормальных.
А вот для этих целей и используют уравнение состояния идеального газа. Это уравнение еще принято называть уравнением Клапейрона-Менделеева.
Такое уравнение состояния идеального газа можно легко получить из формулы зависимости давления и температуры, расписав в этой формуле концентрацию газа.
Такое уравнение и называется уравнением состояния идеального газа.
n – является числом молей газа;
P – давление газа, Па;
V – объем газа, м3;
T – абсолютная температура газа, К;
R – универсальная газовая постоянная 8,314 Дж/моль×K.
Впервые уравнение, которое помогает установить связь между давлением, объемом и температурой газов, получил и сформулировал в 1834 году знаменитый французский физик Бенуа Клапейрон, который длительное время работал в Петербурге. А вот Дмитрий Иванович Менделеев, великий русский ученый, в 1874 году впервые его применил, но перед тем он получил формулу методом объединения закона Авогадро с законом, который сформулировал Клапейрон.
Поэтому, закон, позволяющий сделать выводы о характере поведения газов, в Европе было принято называть законом Менделеева-Клапейрона.
Также, следует обратить внимание на то, что когда объём газа выражен в литрах, то уравнение Клапейрона-Менделеева будет иметь такой вид:
Надеюсь, что у вас не возникли проблемы при изучении этой темы и теперь вы имеете понятие о том, что такое уравнение состояния идеального газа и знаете, что с его помощью можно проводить расчеты параметров реальных газов в том случае, когда физические условия газов приближены к нормальным условиям.
Идеальным газом
называется такой газ, у которого отсутствуют силы взаимного притяжения и отталкивания между молекулами и пренебрегают размерами молекул. Все реальные газы при высоких температурах и малых давлениях можно практически считать как идеальные газы.
Уравнение состояния как для идеальных, как и для реальных газов описываются тремя параметрами по уравнению (1.7).
Уравнение состояния идеального газа можно вывести из молекулярно-кинетической теории или из совместного рассмотрения законов Бойля-Мариотта и Гей-Люссака.
Это уравнение было выведено в 1834 г. французким физиком Клапейроном и для 1 кг массы газа имеет вид:
Р·υ = R·Т, (2.10)
где: R - газовая постоянная и представляет работу 1 кг газа в процессе при постоянном давлении и при изменении температуры на 1 градус.
Уравнение (2.7) называют термическим уравнением состояния
или характеристическим уравнением
.
Для произвольного количества газа массой m уравнение состояния будет:
Р·V = m·R·Т. (2.11)
В 1874 г. Д.И.Менделеев основываясь на законе Дальтона ("В равных объемах разных идеальных газов, находящихся при одинаковых температурах и давлениях, содержится одинаковое количество молекул" ) предложил универсальное уравнение состояния для 1 кг газа, которую называют уравнением Клапейрона-Менделеева :
Р·υ = R μ ·Т/μ , (2.12)
где: μ - молярная (молекулярная) масса газа, (кг/кмоль);
R μ = 8314,20 Дж/кмоль (8,3142 кДж/кмоль) - универсальная газовая постоянная
и представляет работу 1 кмоль идеального газа в процессе при постоянном давлении и при изменении температуры на 1 градус.
Зная R μ можно найти газовую постоянную R = R μ /μ.
Для произвольной массы газа уравнение Клапейрона-Менделеева будет иметь вид:
Р·V = m·R μ ·Т/μ . (2.13)
Смесь идеальных газов.
Газовой смесью
понимается смесь отдельных газов, вступающих между собой ни в какие химические реакции. Каждый газ (компонент) в смеси независимо от других газов полностью сохраняет все свои свойства и ведет себя так, как если бы он один занимал весь объем смеси.
Парциальное давление
– это давление, которое имел бы каждый газ, входящий в состав смеси, если бы этот газ находился один в том же количестве, в том же оюъеме и при той же температуре, что и в смеси.
Газовая смесь подчиняется закону Дальтона
:
║Общее давление смеси газов равно сумме парциальных давлений
║отдельных газов, составляющих смесь.
Р = Р 1 + Р 2 + Р 3 + . . . Р n = ∑ Р i , (2.14)
где Р 1 , Р 2 , Р 3 . . . Р n – парциальные давления.
Состав смеси задается объемными, массовыми и мольными долями, которые определяются соответственно по следующим формулам:
r 1 = V 1 / V см; r 2 = V 2 / V см; … r n = V n / V см, (2.15)
g 1 = m 1 / m см; g 2 = m 2 / m см; … g n = m n / m см, (2.16)
r 1 ′ = ν 1 / ν см; r 2 ′ = ν 2 / ν см; … r n ′ = ν n / ν см, (2.17)
где V 1 ; V 2 ; … V n ; V см –объемы компонентов и смеси;
m 1 ; m 2 ; … m n ; m см – массы компонентов и смеси;
ν 1 ; ν 2 ; … ν n ; ν см – количество вещества (киломолей)
компонентов и смеси.
Для идеального газа по закону Дальтона:
r 1 = r 1 ′ ; r 2 = r 2 ′ ; … r n = r n ′ . (2.18)
Так как V 1 +V 2 + … + V n = V см и m 1 + m 2 + … + m n = m см,
то r 1 + r 2 + … + r n = 1 , (2.19)
g 1 + g 2 + … + g n = 1. (2.20)
Связь между объемными и массовыми долями следующее:
g 1 = r 1 ∙μ 1 /μ см; g 2 = r 2 ∙μ 2 /μ см; … g n = r n ∙μ n /μ см, (2.21)
где: μ 1 , μ 2 , … μ n , μ см – молекулярные массы компонентов и смеси.
Молекулярная масса смеси
:
μ см = μ 1 r 1 + r 2 μ 2 + … + r n μ n . (2.22)
Газовая постоянная смеси :
R см = g 1 R 1 + g 2 R 2 + … + g n R n =
= R μ (g 1 /μ 1 + g 2 /μ 2 + … + g n /μ n) =
= 1 / (r 1 /R 1 + r 2 /R 2 + … + r n /R n) . (2.23)
Удельные массовые теплоемкости смеси :
с р см. = g 1 с р 1 + g 2 с р 2 + … + g n с р n . (2.24)
с v см. = g 1 с р 1 + g 2 с v 2 + … + g n с v n . (2.25)
Удельные молярные (молекулярные) теплоемкости смеси :
с рμ см. = r 1 с рμ 1 + r 2 с рμ 2 + … + r n с рμ n . (2.26)
с vμ см. = r 1 с vμ 1 + r 2 с vμ 2 + … + r n с vμ n . (2.27)
Тема 3. Второй закон термодинамики.
Основные положения второго закона термодинамики.
Первый закон термодинамики утверждает, что теплота может превращаться в работу, а работа в теплоту и не устанавливает условий, при которых возможны эти превращения.
Превращение работы в теплоту происходит всегда полностью и безусловно. Обратный процесс превращения теплоты в работу при непрерывном её переходе возможен только при определенных условиях и не полностью. Теплота сам собой может переходит от более нагретых тел к холодным. Переход теплоты от холодных тел к нагретым сам собой не происходит. Для этого нужно затратить дополнительную энергию.
Таким образом для полного анализа явления и процессов необходимо иметь кроме первого закона термодинамики еще дополнительную закономерность. Этим законом является второй закон термодинамики
. Он устанавливает, возможен или невозможен тот или иной процесс, в каком направлении протекает процесс, когда достигается термодинамическое равновесие и при каких условиях можно получить максимальную работу.
Формулировки второго закона термодинамики.
Для существования теплового двигателя необходимы 2 источника – горячий источник и холодный источник
(окружающая среда). Если тепловой двигатель работает только от одного источника то он называется вечным двигателем 2-го рода.
1 формулировка (Оствальда):
| "Вечный двигатель 2-го рода невозможен".
Вечный двигатель 1-го рода это тепловой двигатель, у которого L>Q 1 , где Q 1 - подведенная теплота. Первый закон термодинамики "позволяет" возможность создать тепловой двигатель полностью превращающий подведенную теплоту Q 1 в работу L, т.е. L = Q 1 . Второй закон накладывает более жесткие ограничения и утверждает, что работа должна быть меньше подведенной теплоты (L Вечный двигатель 2-го рода можно осуществить, если теплоту Q 2 передать от холодного источника к горячему. Но для этого теплота самопроизвольно должна перейти от холодного тела к горячему, что невозможно. Отсюда следует 2-я формулировка (Клаузиуса):
|| "Теплота не может самопроизвольно переходит от более
|| холодного тела к более нагретому".
Для работы теплового двигателя необходимы 2 источника – горячий и холодный. 3-я формулировка (Карно):
|| "Там где есть разница температур, возможно совершение
|| работы".
Все эти формулировки взаимосвязаны, из одной формулировки можно получить другую.
Энтропия.
Одним из функций состояния термодинамической системы является энтропия. Энтропией называется величина определяемая выражением:
dS = dQ / T. [Дж/К] (3.1)
или для удельной энтропии:
ds = dq / T. [Дж/(кг·К)] (3.2)
Энтропия есть однозначная функция состояния тела, принимающая для каждого состояния вполне определенное значение. Она является экстенсивным (зависит от массы вещества) параметром состояния и в любом термодинамическом процессе полностью определяется начальным и конечным состоянием тела и не зависит от пути протекания процесса.
Энтропию можно определить как функцию основных параметров состояния:
S = f 1 (P,V) ; S = f 2 (P,T) ; S = f 3 (V,T) ; (3.3)
или для удельной энтропии:
s = f 1 (P,υ) ; s = f 2 (P,T) ; S = f 3 (υ,T) ; (3.4)
Так как энтропия не зависит от вида процесса и определяется начальными и конечными состояниями рабочего тела, то находят только его изменение в данном процессе, которые можно найти по следующим уравнениям:
Ds = c v ·ln(T 2 /T 1) + R·ln(υ 2 /υ 1) ; (3.5)
Ds = c p ·ln(T 2 /T 1) - R·ln(P 2 /P 1) ; (3.6)
Ds = c v ·ln(Р 2 /Р 1) + c р ·ln(υ 2 /υ 1) . (3.7)
Если энтропия системы возрастает (Ds > 0), то системе подводится тепло.
Если энтропия системы уменьшается (Ds < 0), то системе отводится тепло.
Если энтропия системы не изменяется (Ds = 0, s = Const), то системе не подводится и не отводится тепло (адиабатный процесс).
Цикл и теоремы Карно.
Циклом Карно называется круговой цикл, состоящий из 2-х изотермических и из 2-х адиабатных процессов. Обратимый цикл Карно в p,υ- и T,s- диаграммах показан на рис.3.1.
1-2 – обратимое адиабатное расширение при s 1 =Const. Температура уменьшается от Т 1 до Т 2 .
2-3 – изотермическое сжатие, отвод теплоты q 2 к холодному источнику от рабочего тела.
3-4 – обратимое адиабатное сжатие при s 2 =Const. Температура повышается от Т 3 до Т 4 .
4-1 – изотермическое расширение, подвод теплоты q 1 к горячего источника к рабочему телу.
Основной характеристикой любого цикла является термический коэффициент полезного действия
(т.к.п.д.).
h t = L ц / Q ц, (3.8)
h t = (Q 1 – Q 2) / Q 1 .
Для обратимого цикла Карно т.к.п.д. определяется по формуле:
h tк = (Т 1 – Т 2) / Т 1 . (3.9)
Отсюда следует 1-я теорема Карно
:
|| "Термический к.п.д. обратимого цикла Карно не зависит от
|| свойств рабочего тела и определяется только температурами
|| источников".
Bиз сравнения произвольного обратимого цикла и цикла Карно вытекает 2-я теорема Карно:
|| "Обратимый цикл Карно является наивогоднейшим циклом в || заданном интервале температур"
Т.е. т.к.п.д. цикла Карно всегда больше т.к.п.д. произвольного цикла:
h tк > h t . (3.10)
Тема 4. Термодинамические процессы.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Для того чтобы формулы и законы в физике были более простыми для понимания и использования применяют разного рода модели и упрощения. Такой моделью является идеальный газ . Модель в науке - это упрощенная копия реальной системы.
Модель отражает наиболее существенные характеристики и свойства процессов и явлений. В модели идеального газа учитываются только основные свойства молекул, которые требуются для того, чтобы объяснить основы поведения газа. Идеальный газ напоминает реальный газ в довольно узком интервале давлений (p) и температур (T).
Самым важным упрощением идеального газа является то, что кинетическая энергия молекул считается гораздо большей, чем потенциальная энергия их взаимодействия. Столкновения молекул газа описывают при помощи законов упругого соударения шаров. Движение молекул считают прямолинейными в промежутках между столкновениями. Эти допущения позволяют получить специальные уравнения, которые называют уравнениям состояния идеального газа. Данные уравнения можно применять к описанию состояний реального газа при невысоких температурах и давлениях. Уравнения состояния и можно назвать формулами для идеального газа. Приведем также другие основные формулы, которые используют при исследовании поведения и свойств идеального газа.
Уравнения состояния идеального
Уравнение Менделеева — Клапейрона
где p - давление газа; V - объем газа; T — температура газа по шкале Кельвина; m - масса газа; - молярная масса газа; 
— универсальная газовая постоянная.
Уравнением состояния идеального газа так же является выражение:
где n - концентрация молекул газа в рассматриваемом объеме; .
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории
При помощи такой модели, как идеальный газ, получают основное уравнение молекулярно-кинетической теории (МКТ) (3). Которое говорит о том, что давление газа -это результат огромного числа ударов его молекул о стенки сосуда, в котором газ находится.
где — средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа; — концентрация молекул газа (N - число молекул газа в сосуде; V - объем сосуда); - масса молекулы газа; - среднеквадратичная скорость молекулы.
Внутренняя энергия идеального газа
Так как в идеальном газе принимают потенциальную энергию взаимодействия молекул равной нулю, то внутренняя энергия равна сумме кинетических энергий молекул:
где i - число степеней свободы молекулы идеального газа; - число Авогадро; - количество вещества. Внутренняя энергия идеального газа определена его термодинамической температурой (T) и пропорциональна массе.
Работа идеального газа
Для идеального газа в изобарном процессе () работу вычисляют при помощи формулы:
В изохорном процессе работа газа равна нулю, так как изменения объема нет:
Для изотермического процесса ():
Для адиабатного процесса () работа равна:
где i - число степеней свободы молекулы газа.
Примеры решения задач по теме «Идеальный газ»
ПРИМЕР 1
| Задание | Какова плотность смеси идеальных газов при температуре T и давлении p, если масса одного газа его молярная масса , масса второго газа молярная масса ? |
| Решение | По определению плотность однородного вещества () это:
где m - масса всего вещества; V - его объем. Масса смеси газов находится как сумма отдельных компонент смеси: Осталось найти объем, который занимает смесь газов при заданных условиях. Для этого запишем уравнение Менделеева - Клапейрона для смеси: |
Уравнение состояния идеального газа (иногда уравнение Клапейрона или уравнение Менделеева - Клапейрона ) - формула, устанавливающая зависимость между давлением, молярным объёмом и абсолютной температурой идеального газа. Уравнение имеет вид:
Так как , где-количество вещества, а , где- масса,-молярная масса, уравнение состояния можно записать:
Эта форма записи носит имя уравнения (закона) Менделеева - Клапейрона.
В случае постоянной массы газа уравнение можно записать в виде:
Последнее уравнение называют объединённым газовым законом . Из него получаются законы Бойля - Мариотта, Шарля и Гей-Люссака:
- закон Бойля - Мариотта .
- Закон
Гей-Люссака
.
- закон
Шарля
(второй
закон Гей-Люссака, 1808 г.).А
в форме пропорции 
этот
закон удобен для расчёта перевода газа
из одного состояния в другое. С точки
зрения химика этот закон может звучать
несколько иначе: Объёмы вступающих в
реакцию газов при одинаковых условиях
(температуре, давлении) относятся друг
к другу и к объёмам образующихся
газообразных соединений как простые
целые числа. Например, 1 объёмводородасоединяется
с 1 объёмом хлора,
при этом образуются 2 объёма хлороводорода:
1 Объём азота соединяется с 3 объёмами водорода с образованием 2 объёмов аммиака:
- закон Бойля - Мариотта . Закон Бойля - Мариотта назван в честь ирландского физика, химика и философа Роберта Бойля (1627-1691), открывшего его в 1662 г., а также в честь французского физика Эдма Мариотта (1620-1684), который открыл этот закон независимо от Бойля в 1677 году. В некоторых случаях (в газовой динамике) уравнение состояния идеального газа удобно записывать в форме
где -показатель адиабаты, - внутренняя энергия единицы массы вещества.Эмиль Амага обнаружил, что при высоких давлениях поведение газов отклоняется от закона Бойля - Мариотта. И это обстоятельство может быть прояснено на основании молекулярных представлений.
С одной стороны, в сильно сжатых газах размеры самих молекул являются сравнимыми с расстояниями между молекулами. Таким образом, свободное пространство, в котором движутся молекулы, меньше, чем полный объём газа. Это обстоятельство увеличивает число ударов молекул в стенку, так как благодаря ему сокращается расстояние, которое должна пролететь молекула, чтобы достигнуть стенки. С другой стороны, в сильно сжатом и, следовательно, более плотном газе молекулы заметно притягиваются к другим молекулам гораздо большую часть времени, чем молекулы в разреженном газе. Это, наоборот, уменьшает число ударов молекул в стенку, так как при наличии притяжения к другим молекулам молекулы газа движутся по направлению к стенке с меньшей скоростью, чем при отсутствии притяжения. При не слишком больших давлениях более существенным является второе обстоятельство и произведение немного уменьшается. При очень высоких давлениях большую роль играет первое обстоятельство и произведениеувеличивается.
5. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов
Для вывода основного уравнения молекулярно-кинетической теории рассмотрим одноатомный идеальный газ. Предположим, что молекулы газа движутся хаотически, число взаимных столкновений между молекулами газа пренебрежимо мало по сравнению с числом ударов о стенки сосуда, а соударения молекул со стенками сосуда абсолютно упругие. Выделим на стенке сосуда некоторую элементарную площадку DS и вычислим давление, оказываемое на эту площадку. При каждом соударении молекула, движущаяся перпендикулярно площадке, передает ей импульс m 0 v-(-m 0 v)=2m 0 v, где т 0 - масса молекулы, v - ее скорость.
За время Dt площадки DS достигнут только те молекулы, которые заключены в объеме цилиндра с основанием DS и высотой v Dt .Число этих молекул равно n DSv Dt (n- концентрация молекул).
Необходимо, однако, учитывать, что реально молекулы движутся к площадке
DS под разными углами и имеют различные скорости, причем скорость молекул при каждом соударении меняется. Для упрощения расчетов хаотическое движение молекул заменяют движением вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений, так что в любой момент времени вдоль каждого из них движется 1 / 3 молекул, причем половина молекул (1 / 6) движется вдоль данного направления в одну сторону, половина - в противоположную. Тогда число ударов молекул, движущихся в заданном направлении, о площадку DS будет 1 / 6 nDSvDt. При столкновении с площадкой эти молекулы передадут ей импульс
DР = 2m 0 v 1 / 6 n DSv Dt = 1 / 3 nm 0 v 2 DS Dt .
Тогда давление газа, оказываемое им на стенку сосуда,
p =DP/(DtDS)= 1 / 3 nm 0 v 2 . (3.1)
Если газ в объеме V содержит N молекул,
движущихся со скоростями v 1 , v 2 , ..., v N , то
целесообразно рассматривать среднюю квадратичную скорость
характеризующую всю совокупность молекул газа.
Уравнение (3.1) с учетом (3.2) примет вид
р
=
1
/
3
пт
0
Выражение (3.3) называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеальных газов. Точный расчет с учетом движения молекул по все-
возможным направлениям дает ту же формулу.
Учитывая, что n = N/V, получим
где Е - суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа.
Так как масса газа m =Nm 0 , то уравнение (3.4) можно переписать в виде
pV
= 1 / 3 m
Для одного моля газа т = М (М - молярная масса), поэтому
pV
m = 1 / 3 M
где V m - молярный объем. С другой стороны, по уравнению Клапейрона - Менделеева, pV m =RT. Таким образом,
RT= 1 / 3 М
Так как М = m 0 N A , где m 0 -масса одной молекулы, а N А - постоянная Авогадро, то из уравнения (3.6) следует, что
где k = R/N A -постоянная Больцмана. Отсюда найдем, что при комнатной температуре молекулы кислорода имеют среднюю квадратичную скорость 480 м/с, водорода - 1900 м/с. При температуре жидкого гелия те же скорости будут соответственно 40 и 160 м/с.
Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы идеального газа
(использовали
формулы (3.5) и (3.7)) пропорциональна
термодинамической температуре и
зависит только от нее. Из этого уравнения
следует, что при T=0