Иррациональные уравнения типы идз. Способы решения иррациональных уравнений

Если в уравнении переменная содержится под знаком квадратного корня, то уравнение называют иррациональным .

Иногда математическая модель реальной ситуации представляет собой иррациональное уравнение. Поэтому нам следует научиться решать хотя бы простейшие иррациональные уравнения.

Рассмотрим иррациональное уравнение 2 x + 1 = 3 .

Обрати внимание!

Метод возведения в квадрат обеих частей уравнения - основной метод решения иррациональных уравнений.

Впрочем, это понятно: как же иначе освободиться от знака квадратного корня?

Из уравнения \(2x + 1 = 9\) находим \(x = 4\). Это корень как уравнения \(2х + 1 = 9\), так и заданного иррационального уравнения.

Метод возведения в квадрат технически несложен, но иногда приводит к неприятностям.

Рассмотрим, например, иррациональное уравнение 2 x − 5 = 4 x − 7 .

Возведя обе его части в квадрат, получим

2 x − 5 2 = 4x − 7 2 2 x − 5 = 4 x − 7

Но значение \(x = 1\), хоть и является корнем рационального уравнения \(2x - 5 = 4x - 7\), не является корнем заданного иррационального уравнения. Почему? Подставив \(1\) вместо \(x\) в заданное иррациональное уравнение, получим − 3 = − 3 .

Как же можно говорить о выполнении числового равенства, если и в левой, и в правой его части содержатся выражения, не имеющие смысла?

В подобных случаях говорят: \(x = 1\) - посторонний корень для заданного иррационального уравнения. Получается, что заданное иррациональное уравнение не имеет корней.

Посторонний корень - не новое для тебя понятие, посторонние корни уже встречались при решении рациональных уравнений, обнаружить их помогает проверка.

Для иррациональных уравнений проверка - обязательный этап решения уравнения, который поможет обнаружить посторонние корни, если они есть, и отбросить их (обычно говорят «отсеять»).

Обрати внимание!

Итак, иррациональное уравнение решают методом возведения обеих его частей в квадрат; решив полученное в итоге рациональное уравнение, надо обязательно сделать проверку и отсеять возможные посторонние корни.

Используя этот вывод, рассмотрим пример.

Пример:

реши уравнение 5 x − 16 = x − 2 .

Возведём обе части уравнения 5 x − 16 = x − 2 в квадрат: 5 x − 16 2 = x − 2 2 .

Преобразовываем и получаем:

5 x − 16 = x 2 − 4 x + 4 ; − x 2 + 9 x − 20 = 0 ; x 2 − 9 x + 20 = 0 ; x 1 = 5 ; x 2 = 4 .

Проверка. Подставив \(x = 5\) в уравнение 5 x − 16 = x − 2 , получим 9 = 3 - верное равенство. Подставив \(x = 4\) в уравнение 5 x − 16 = x − 2 , получим 4 = 2 - верное равенство. Значит, оба найденные значения - корни уравнения 5 x − 16 = x − 2 .

Ты уже накопил некоторый опыт в решении различных уравнений: линейных, квадратных, рациональных, иррациональных. Ты знаешь, что при решении уравнений выполняют различные преобразования, например: член уравнения переносят из одной части уравнения в другую с противоположным знаком; обе части уравнения умножают или делят на одно и то же отличное от нуля число; освобождаются от знаменателя, т. е. заменяют уравнение p x q x = 0 уравнением \(р(x)=0\); обе части уравнения возводят в квадрат.

Конечно, ты обратил внимание на то, что в результате некоторых преобразований могли появиться посторонние корни, а потому приходилось быть бдительными: проверять все найденные корни. Вот мы и попытаемся сейчас осмыслить всё это с теоретической точки зрения.

Два уравнения \(f (x) = g(x)\) и \(r(x) = s(х)\) называют равносильными , если они имеют одинаковые корни (или, в частности, если оба уравнения не имеют корней).

Обычно при решении уравнения стараются заменить данное уравнение более простым, но равносильным ему. Такую замену называют равносильным преобразованием уравнения.

Равносильными преобразованиями уравнения являются следующие преобразования:

1. перенос членов уравнения из одной части уравнения в другую с противоположными знаками.

Например, замена уравнения \(2x + 5 = 7x - 8\) уравнением \(2x - 7x = - 8 - 5\) есть равносильное преобразование уравнения. Это значит, что уравнения \(2x + 5 = 7x -8\) и \(2x - 7x = -8 - 5\) равносильны.

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Довольно часто в уравнениях встречается знак корня и многие ошибочно считают, что такие уравнения сложные в решении. Для таких уравнений в математике существует специальный термин, которым и именуют уравнения с корнем - иррациональные уравнения.

Главным отличием в решении уравнений с корнем от других уравнений, например, квадратных, логарифмических, линейных, является то, что они не имеют стандартного алгоритма решения. Поэтому чтобы решить иррациональное уравнение необходимо проанализировать исходные данные и выбрать более подходящий вариант решения.

В большинстве случаев для решения данного рода уравнений используют метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень

Допустим, дано следующее уравнение:

\[\sqrt{(5x-16)}=x-2\]

Возводим обе части уравнения в квадрат:

\[\sqrt{(5х-16))}^2 =(x-2)^2\], откуда последовательно получаем:

Получив квадратное уравнение, находим его корни:

Ответ: \

Если выполнить подстановку данных значений в уравнение, то получим верное равенство, что говорит о правильности полученных данных.

Где можно решить уравнение с корнями онлайн решателем?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Хотя пугающий вид символа квадратного корня и может заставить съежиться человека, не сильного в математике, задачи с квадратным корнем не такие уж и трудные, как это может вначале показаться. Простые задачи с квадратным корнем довольно часто можно решить так же легко, как обычные задачи с умножением или делением. С другой стороны, более сложные задачи могут потребовать некоторых усилий, но с правильным подходом даже они не составят вам труда. Начните решать задачи с корнем уже сегодня, чтобы научиться этому радикально новому математическому умению!

Шаги

Часть 1

Понимание квадратов чисел и квадратных корней

1. Возведите число в квадрат, умножив его само на себя. Для того чтобы понять квадратные корни, лучше начать с квадратов чисел. Квадраты чисел довольно просты: возведение числа в квадрат означает умножение его само на себя. Например, 3 в квадрате это то же самое, что и 3 × 3 = 9, а 9 в квадрате это то же самое, что и 9 × 9 = 81. Квадраты помечаются написанием небольшой цифры «2» справа над возводящим в квадрат числом. Пример: 3 2 , 9 2 , 100 2 и так далее.

   • Попробуйте сами возвести в квадрат еще несколько чисел, чтобы опробовать эту концепцию. Помните, возведение числа в квадрат означает, что это число следует умножить само на себя. Это можно сделать даже для отрицательных чисел. В таком случае результат всегда будет положительным. Например: -8 2 = -8 × -8 = 64 .

2. Когда речь идет о квадратных корнях, то здесь идет обратный процесс возведению в квадрат. Символ корня (√, его также называют радикалом) по существу означает противоположность символа 2 . Когда вы видите радикал, вы должны спросить себя: «Какое число может умножиться само на себя, чтобы получилось число под корнем?». Например, если вы видите √(9), тогда вы должны найти число, которое при возведении в квадрат давало бы число девять. В нашем случае этим числом будет три, потому что 3 2 = 9.

   • Рассмотрим еще один пример и найдем корень из 25 (√(25)). Это означает, что нам необходимо найти число, которое бы в квадрате давало нам 25. Так как 5 2 = 5 × 5 = 25, можно сказать, что √(25) = 5.
   • Вы также может думать об этом, как об «аннулировании» возведения в квадрат. Например, если нам необходимо найти √(64), квадратный корень 64, то давайте думать об этом числе, как о 8 2 . Так как символ корня «отменяет» возведение в квадрат, то мы можем сказать, что √(64) = √(8 2) = 8.

3. Знайте разницу между идеальным и не идеальным возведением в квадрат. До этих пор ответами на наши задачи с корнем были хорошие и круглые числа, но это не всегда так. Ответами задач с квадратным корнем могут быть очень длинные и неудобные числа с десятичной дробью. Числа, корень которых представляет собой целые числа (другими словами, числа которые не являются дробью) называются полными квадратами. Все вышеупомянутые примеры (9, 25 и 64) являются полными квадратами, потому что их корнем будет целое число (3,5 и 8).

   • С другой стороны, числа, которые при возведении под корень не дают целого числа, называются неполными квадратами. Если поставить одно из этих чисел под корень, то вы получите число с десятичной дробью. Иногда такое число может оказаться весьма длинным. Например, √(13) = 3,605551275464...

4. Запомните первые 1-12 полных квадратов. Как вы, вероятно, уже заметили, найти корень полного квадрата довольно легко! Из-за того, что эти задачи такие простые, стоит запомнить корни первой дюжины полных квадратов. Вы не раз столкнетесь с этими числами, так что потратьте немного времени, чтобы запомнить их пораньше и сэкономить время в будущем.

   • 1 2 = 1 × 1 = 1
   • 2 2 = 2 × 2 = 4
   • 3 2 = 3 × 3 = 9
   • 4 2 = 4 × 4 = 16
   • 5 2 = 5 × 5 = 25
   • 6 2 = 6 × 6 = 36
   • 7 2 = 7 × 7 = 49
   • 8 2 = 8 × 8 = 64
   • 9 2 = 9 × 9 = 81
   • 10 2 = 10 × 10 = 100
   • 11 2 = 11 × 11 = 121
   • 12 2 = 12 × 12 = 144

5. Упростите корни, убрав из него полные квадраты, если это возможно. Найти корень неполного квадрата иногда может оказаться нелегко, особенно если вы не используете калькулятор (в разделе ниже вы найдете несколько трюков, как сделать этот процесс легче). Однако зачастую можно упростить число под корнем, чтобы с ним было легче работать. Чтобы сделать это, вам просто необходимо разделить число под корнем на множители, а затем найти корень множителя, который является полным квадратом, и записать его снаружи корня. Это проще, чем кажется. Читайте далее, чтобы получить больше информации.

   • Давайте предположим, что нам необходимо найти квадратный корень 900. На первый взгляд это кажется довольно тяжелой задачей! Однако это не будет так тяжело, если мы разделим число 900 на множители. Множители – это числа, которые умножаются друг на друга для того, чтобы дать новое число. Например, число 6 можно получить, умножив 1 × 6 и 2 × 3, его множителями будут числа 1, 2, 3 и 6.
   • Вместо того чтобы искать корень числа 900, что немного затруднительно, давайте запишем 900, как умножение 9 × 100. Теперь, когда число 9, которое является полным квадратом, отделено от 100, мы можем найти его корень. √(9 × 100) = √(9) × √(100) = 3 × √(100). Другими словами, √(900) = 3√(100).
   • Мы даже можем пойти еще дальше, разделив 100 на два множителя, 25 и 4. √(100) = √(25 × 4) = √(25) × √(4) = 5 × 2 = 10. Поэтому мы можем сказать, что √(900) = 3(10) = 30

6. Используйте мнимые числа, чтобы найти корень отрицательного числа. Спросите себя, какое число при умножении само на себя даст -16? Это не 4 и не -4, так как возведение этих чисел в квадрат даст нам положительное число 16. Сдались? На самом деле не существует способа записать корень -16 или любого другого отрицательного числа обычными числами. В таком случае мы должны подставить мнимые числа (обычно в форме букв или символов), чтобы они оказались вместо корня отрицательного числа. Например, переменная «i» обычно используется для возведения под корень числа -1. Как правило, корнем отрицательного числа всегда будет мнимое число (или включенное в него).

   • Знайте, что хотя мнимые числа и не могут быть представлены обычными цифрами, к ним все равно можно относиться, как к таковым. Например, квадратный корень отрицательного числа можно возвести в квадрат, чтобы придать этим отрицательным числам, как и любым другим, квадратный корень. Например, i 2 = -1

   Часть 2

   Использование алгоритма деления столбиком

   1. Запишите задачу с корнем, как задачу деления столбиком. Хотя это может отнять довольно много времени, таким образом, вы сможете решить задачу с корнем неполных квадратов, не прибегая к помощи калькулятора. Для этого мы воспользуемся методом решения (или алгоритмом), который похож (но не точно такой же) на обычное деление столбиком.

      • Для начала запишите задачу с корнем в такую же форму, что и при делении столбиком. Предположим, что мы хотим найти квадратный корень числа 6,45, которое точно не является полным квадратом. Сперва мы напишем обычный символ квадрата, а затем под ним мы напишем число. Далее над числом мы нарисуем линию, чтобы оно оказалось в небольшой «коробочке», так же как и при делении столбиком. После этого у нас получится корень с длинным хвостом и числом 6,45 под ним.
      • Над корнем мы будем писать числа, так что обязательно оставьте там место.

   2. Сгруппируйте цифры по парам. Для того чтобы начать решать задачу, необходимо сгруппировать цифры числа под радикалом по парам, начав с точки в десятичной дроби. Если хотите, можете делать небольшие отметки (вроде точек, косой линии, запятых и прочего) между парами, чтобы не запутаться.

      • В нашем примере, мы должны разделить на пары число 6,45 следующим образом: 6-,45-00. Обратите внимание, что слева присутствует «оставшаяся» цифра – это нормально.

   3. Найдите наибольшее число, квадрат которого меньше или равен первой «группе». Начните с первого числа или пары слева. Выберите наибольшее число, квадрат которого меньше или равен оставшейся «группе». Например, если бы группа была равна 37, вы бы выбрали число 6, потому что 6 2 = 36 < 37, а 7 2 = 49 > 37. Запишите это число над первой группой. Это будет первой цифрой вашего ответа.

      • В нашем примере, первой группой в 6-,45-00 будет цифра 6. Наибольшее число, которое в квадрате будет меньше или равно 6 это 2 2 = 4. Напишите цифру 2 над цифрой 6, которая стоит под корнем.

   4. Удвойте только что написанное число, затем опустите его под корень и отнимите. Возьмите первую цифру вашего ответа (число, которое вы только что нашли) и удвойте ее. Запишите результат под первой своей группой и отнимите, чтобы найти разницу. Опустите следующую пару чисел рядом с ответом. И наконец, напишите слева последнюю цифру удвоения первой цифры своего ответа, а рядом оставьте пробел.

      • В нашем примере, мы начнем с удвоения цифры 2, которая является первой цифрой нашего ответа. 2 × 2 = 4. Затем мы отнимем 4 от 6 (нашей первой «группы»), получив при этом 2. Далее мы опустим следующую группу (45), чтобы получить 245. И наконец, слева мы еще раз напишем цифру 4, оставив в конце небольшой пробел, вот так: 4_

   5. Заполните пробел. Затем вы должны прибавить цифру к правой части записанного числа, которое находится слева. Выберите цифру, перемножив которую с вашим новым числом, вы получили бы максимально большой результат, но который бы был меньше или равен «опущенному «числу». Например, если ваше «опущенное» число равно 1700, а ваше число слева это 40_, в пробел необходимо написать цифру 4, так как 404 × 4 = 1616 < 1700, в то время как 405 × 5 = 2025. Найденная в этом шаге цифра и будет второй цифрой вашего ответа, так вы можете записать ее над знаком корня.

      • В нашем примере, мы должны найти число и записать его в пробелы 4_ × _, что сделает ответ как можно большим, но все же меньшим или равным 245. В нашем случае это цифра 5. 45 × 5 = 225, в то время как 46 × 6 = 276

   6. Продолжайте использовать «пустые» числа, чтобы найти ответ. Продолжайте решать это измененное деление столбиком, пока не начнете получать нули при вычитании «опущенного» числа или пока не получите желаемый уровень точности ответа. Когда вы закончите, числа, которые вы использовали, чтобы заполнить пробелы в каждом шаге (плюс самое первое число) будут составлять число вашего ответа.

      • Продолжая наш пример, мы отнимем 225 от 245, чтобы получить 20. Затем, мы опустим следующую пару чисел, 00, чтобы получить 2000. Удвоим число над знаком корня. Мы получим 25 × 2 = 50. Решив пример с пробелами, 50_ × _ =/< 2,000, мы получим 3. На этом этапе над радикалом у нас будет написано 253, а повторив этот процесс снова, следующим нашим числом будет цифра 9.

   7. Передвиньте точку десятичной дроби вперед от изначального «делимого» числа. Чтобы завершить свой ответ, вы должны поставить точку десятичной дроби в правильное место. К счастью, сделать это довольно легко. Все, что вам необходимо сделать, это выровнять ее относительно точки изначального числа. Например, если под корнем будет стоять число 49,8, вы должны будете поставить точку между двумя цифрами над девяткой и восьмеркой.

      • В нашем примере под радикалом стоит число 6,45, так что мы просто переместим точку и поставим ее между цифрами 2 и 5 в нашем ответе, получив при этом ответ равный 2,539.

   Часть 3

   Быстрый подсчет неполных квадратов

   1. Найдите неполные квадраты, подсчитав их. Когда вы запомните полные квадраты, поиск корня неполных квадратов станет намного проще. Так как вы уже знаете дюжину полных квадратов, любое число, которое попадает в область между этими двумя полными квадратами можно найти, сведя все к приблизительному подсчету между этих значений. Начните с поиска двух полных квадратов, между которыми находится ваше число. Затем определите, к которому из этих чисел ваше число находится ближе.

      • Например, предположим, что нам необходимо найти квадратный корень числа 40. Так как мы запомнили полные квадраты, мы можем сказать, что число 40 находится между 6 2 и 7 2 или числам 36 и 49. Так как 40 больше 6 2 , его корень будет больше 6, а так как оно меньше 7 2 , его корень также будет и меньше 7. 40 немного ближе к 36, чем к 49, так что ответ, скорее всего, будет немного ближе к 6. В следующих нескольких шагах мы сузим наш ответ.
      Следующее, что вы должны сделать, это возвести приблизительное число в квадрат. Вам, скорее всего, не повезет и вы не получите изначальное число. Оно будет или немного большим, или немного меньшим. Если ваш результат слишком большой, тогда попробуйте снова, но с немного меньшим приблизительным числом (и наоборот, если результат слишком низкий).
      • Умножьте 6,4 само на себя, и вы получите 6,4 × 6,4 = 40,96, что немного больше за изначальное число.
      • Так как наш ответ оказался больше, мы должны умножит число на одну десятую меньше за приблизительное и получить следующее: 6,3 × 6,3 = 39,69. Это немного меньше за изначальное число. Это значит, что квадратный корень 40 находится между 6,3 и 6,4. И снова, так как 39,69 ближе к 40, чем 40,96, мы знаем, что квадратный корень будет ближе к 6,3, чем к 6,4.

   2. Продолжайте расчет. На этом этапе, если вы довольны своим ответом, вы можете просто взять первое угаданное приблизительное значение. Однако если вы хотите получить более точный ответ, все что вам необходимо сделать, это выбрать приблизительное значение с двумя знаками десятичной дроби, которое ставит это приблизительное значение между первыми двумя числами. Продолжив этот подсчет, вы сможете получить для своего ответа три, четыре и больше знаков после запятой. Все зависит от того, насколько далеко вы захотите зайти.

      • В нашем примере давайте выберем 6,33 в качестве приблизительного значения с двумя знаками после запятой. Умножьте 6,33 само на себя, чтобы получить 6,33 × 6,33 = 40,0689. так как это немного больше нашего числа, мы возьмем число поменьше, например, 6,32. 6,32 × 6,32 = 39.9424. Этот ответ немного меньше нашего числа, так что мы знаем, что точный квадратный корень находится между 6,32 и 6,33. Если бы мы захотели продолжить, мы бы продолжали использовать тот же подход, чтобы получить ответ, который становился бы все точнее и точнее.
   • Для быстрого поиска решения, воспользуйтесь калькулятором. Большинство современных калькуляторов могут мгновенно найти квадратный корень числа. Все что вам необходимо сделать, это ввести свое число, а затем нажать на кнопку со знаком корня. Например, для того чтобы найти корень 841, вы должны будет нажать 8, 4, 1 и (√). В результате чего вы получите ответ 39.

Первая часть материала этой статьи формирует представление об иррациональных уравнениях. Изучив ее, Вы сможете с легкостью отличать иррациональные уравнения от уравнений других видов. Во второй части детально разобраны основные методы решения иррациональных уравнений, приведены подробные решения огромного количества характерных примеров. Если Вы осилите эту информацию, то почти наверняка справитесь практически с любым иррациональным уравнением из школьного курса математики. Успехов в получении знаний!

Что такое иррациональные уравнения?

Давайте для начала проясним, что такое иррациональные уравнения. Для этого найдем соответствующие определения в учебниках, рекомендованных Министерством образования и науки Российской Федерации.

Подробный разговор про иррациональные уравнения и их решение ведется на уроках алгебры и начал анализа в старших классах школы. Однако некоторые авторы вводят в рассмотрение уравнения этого вида раньше. Например, те, кто занимаются по учебникам Мордковича А. Г., узнают про иррациональные уравнения уже в 8 классе: в учебнике утверждается, что

Там же приводятся примеры иррациональных уравнений , , , и т.п. Очевидно, в каждом из приведенных уравнений под знаком квадратного корня содержится переменная x , значит, по приведенному выше определению эти уравнения – иррациональные. Здесь же сразу разбирается один из основных методов их решения – . Но о методах решения разговор пойдет чуть ниже, пока же приведем определения иррациональных уравнений из других учебников.

В учебниках Колмогорова А. Н. и Колягина Ю. М.

Определение

иррациональными называют уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная.

Обратим внимание на принципиальное отличие данного определения от предыдущего: здесь говорится просто корень, а не квадратный корень, то есть, не уточняется степень корня, под которым находится переменная. Значит, корень может быть не только квадратным, но и третьей, четвертой и т.д. степени. Таким образом, последнее определение задает более широкое множество уравнений.

Возникает закономерный вопрос, почему в старших классах мы начинаем использовать это более широкое определение иррациональных уравнений? Все объяснимо и просто: когда в 8 классе происходит знакомство с иррациональными уравнениями, нам хорошо известен лишь квадратный корень, ни о каких кубических корнях, корнях четвертой и более высоких степеней мы еще не знаем. А в старших классах обобщается понятие корня, мы узнаем про , и при разговоре об иррациональных уравнениях уже не ограничиваемся квадратным корнем, а имеем в виду корень произвольной степени.

Для наглядности продемонстрируем несколько примеров иррациональных уравнений. - здесь под знаком кубического корня расположена переменная x , поэтому это уравнение иррациональное. Другой пример: - здесь переменная x находится как под знаком квадратного корня, так и корня четвертой степени, то есть, это тоже иррациональное уравнение. Вот еще пара примеров иррациональных уравнений более сложного вида: и .

Приведенные определения позволяют для себя отметить, что в записи всякого иррационального уравнения имеются знаки корней. Также понятно, что если знаков корней нет, то уравнение не является иррациональным. Однако не все уравнения, содержащие знаки корней, являются иррациональными. Действительно, в иррациональном уравнении под знаком корня должна быть переменная, если переменной под знаком корня нет, то уравнение не является иррациональным. В качестве иллюстрации приведем примеры уравнений, которые содержат корни, но не являются иррациональными. Уравнения и не являются иррациональными, так как не содержат переменных под знаком корня – под корнями стоят числа, а переменных под знаками корней нет, поэтому эти уравнения не иррациональные.

Стоит сказать о количестве переменных, которые могут участвовать в записи иррациональных уравнений. Все приведенные выше иррациональные уравнения содержат единственную переменную x, то есть, являются уравнениями с одной переменной. Однако ничто не мешает рассматривать и иррациональные уравнения с двумя, тремя и т.д. переменными. Приведем пример иррационального уравнения с двумя переменными и с тремя переменными .

Заметим, что в школе в основном приходится работать с иррациональными уравнениями с одной переменной. Иррациональные уравнения с несколькими переменными встречаются значительно реже. Их можно встретить в составе , как, например, в задании «решите систему уравнений » или, скажем, при алгебраическом описании геометрических объектов, так полуокружности с центром в начале координат, радиусом 3 единицы, лежащей в верхней полуплоскости, соответствует уравнение .

Некоторые сборники задач для подготовки к ЕГЭ в разделе «иррациональные уравнения» содержат задания, в которых переменная находится не только под знаком корня, но еще и под знаком какой-либо другой функции, например, модуля, логарифма и т.п. Вот пример , взятый из книги , а вот - из сборника . В первом примере переменная x находится под знаком логарифма, а логарифм еще под знаком корня, то есть, мы имеем, если так можно выразиться, иррациональное логарифмическое (или логарифмическое иррациональное) уравнение. Во втором примере переменная находится под знаком модуля, а модуль еще и под знаком корня, с Вашего позволения назовем его иррациональным уравнением с модулем.

Считать ли уравнения подобного вида иррациональными? Вопрос хороший. Вроде переменная под знаком корня есть, но смущает что она не в «чистом виде», а под знаком еще одной или большего числа функции. Другими словами, вроде нет противоречия тому, как мы определили выше иррациональные уравнения, но присутствует некоторая степень неуверенности из-за наличия других функций. С нашей точки зрения, не стоит фанатично подходить к «называнию вещей своими именами». На практике достаточно сказать просто «уравнение» без уточнения, какого именно оно вида. А все эти добавки «иррациональное», «логарифмическое» и т.п. служат по большей части для удобства изложения и группировки материала.

В свете информации последнего абзаца интерес представляет определение иррациональных уравнений, данное в учебнике под авторством Мордковича А. Г. за 11 класс

Определение

Иррациональными называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень.

Здесь помимо уравнений с переменной под знаком корня иррациональными считаются и уравнения с переменными под знаком возведения в дробную степень. Например, согласно этому определению уравнение считается иррациональным. С чего вдруг? Мы же уже привыкли к корням в иррациональных уравнениях, а здесь не корень, а степень, и это уравнение больше хочется назвать, к примеру, степенным, а не иррациональным? Все просто: определяется через корни, и на переменной x для данного уравнения (при условии x 2 +2·x≥0 ) его можно переписать с использованием корня как , а последнее равенство представляет собой привычное нам иррациональное уравнение с переменной под знаком корня. Да и методы решения уравнений с переменными в основании дробных степеней абсолютно такие же, как и методы решения иррациональных уравнений (о них речь пойдет в следующем пункте). Так что удобно их назвать иррациональными и рассматривать в этом свете. Но будем честными с собой: изначально перед нами уравнение , а не , и язык не очень охотно поворачивается называть исходное уравнение иррациональным из-за отсутствия корня в записи. Уйти от подобных спорных моментов относительно терминологии позволяет все тот же прием: назвать уравнение просто уравнением безо всяких видовых уточнений.

Простейшие иррациональные уравнения

Стоит сказать про так называемые простейшие иррациональные уравнения . Сразу скажем, что в основных учебниках алгебры и начал анализа этот термин не фигурирует, но иногда встречается в задачниках и методичках, как, например, в . Не стоит его считать общепринятым, но не помешает знать, что обычно понимают под простейшими иррациональными уравнениями. Обычно так называют иррациональные уравнения вида , где f(x) и g(x) некоторые . В этом свете простейшим иррациональным уравнением можно назвать, например, уравнение или .

Чем можно объяснить появление такого названия «простейшие иррациональные уравнения»? Например, тем, что решение иррациональных уравнений часто требует изначального их приведения к виду и дальнейшему применению каких-либо стандартных методов решения. Вот иррациональные уравнения в таком виде и называют простейшими.

Основные методы решения иррациональных уравнений

По определению корня

Один из методов решения иррациональных уравнений базируется на . С его помощью обычно решаются иррациональные уравнения простейшего вида , где f(x) и g(x) – некоторые рациональные выражения (определение простейших иррациональных уравнений мы дали в ). Аналогично решаются и иррациональные уравнения вида , но в которых f(x) и/или g(x) являются выражениями, отличными от рациональных. Однако во многих случаях такие уравнения удобнее решать другими методами, о которых речь пойдет в следующих пунктах.

Для удобства изложения материала отделим иррациональные уравнения с четными показателями корня, то есть, уравнения , 2·k=2, 4, 6, … , от уравнений с нечетными показателями корня , 2·k+1=3, 5, 7, … Сразу озвучим подходы к их решению:

Приведенные подходы напрямую следуют из и .

Итак, метод решения иррациональных уравнений по определению корня состоит в следующем :

По определению корня наиболее удобно решать простейшие иррациональные уравнения с числами в правых частях, то есть, уравнения вида , где C – некоторое число. Когда в правой части уравнения находится число, то даже при четном показателе корня не приходится переходить к системе: если С – неотрицательное число, то по определению корня четной степени , а если С – отрицательное число, то сразу можно делать вывод об отсутствии корней уравнения , ведь по определению корень четной степени есть неотрицательное число, значит уравнение не обращается в верное числовое равенство ни при каких действительных значениях переменной x .

Переходим к решению характерных примеров.

Будем идти от простого к сложному. Начнем с решения простейшего иррационального уравнения, в левой части которого находится корень четной степени, а в правой части - положительное число, то есть, с решения уравнения вида , где C – положительное число. Определение корня позволяет перейти от решения заданного иррационального уравнения к решению более простого уравнения без корней С 2·k =f(x) .

Аналогично по определению корня решаются простейшие иррациональные уравнения с нулем в правой части.

Отдельно остановимся на иррациональных уравнениях, в левой части которых находится корень четной степени с переменной под его знаком, а в правой – отрицательное число. Такие уравнения не имеют решений на множестве действительных чисел (про комплексные корни мы будем говорить после знакомства с комплексными числами ). Это довольно очевидно: корень четной степени по определению есть неотрицательное число, значит, он не может быть равен отрицательному числу.

Левые части иррациональных уравнений из предыдущих примеров были корнями четных степеней, а правые - числами. Сейчас рассмотрим примеры с переменными в правых частях, то есть, будем решать иррациональные уравнения вида . Для их решения по определению корня осуществляется переход к системе , которая имеет то же множество решений что и исходное уравнение.

Нужно иметь в виду, что систему , к решению которой сводится решение исходного иррационального уравнения , желательно решать не механически, а, по возможности, рационально. Понятно, что это больше вопрос из темы «решение систем », но все же перечислим три часто встречающихся ситуации с иллюстрирующими их примерами:

1. К примеру, если первое ее уравнение g 2·k (x)=f(x) не имеет решений, то нет смысла решать еще и неравенство g(x)≥0 , ведь уже из отсутствия решений уравнения можно сделать вывод об отсутствии решений системы.

1. Аналогично, если неравенство g(x)≥0 не имеет решений, то не обязательно решать еще и уравнение g 2·k (x)=f(x) , ведь и без этого понятно, что в этом случае система не имеет решений.

1. Довольно часто неравенство g(x)≥0 вообще не решают, а лишь проверяют, какие из корней уравнения g 2·k (x)=f(x) ему удовлетворяют. Множество всех тех из них, которые удовлетворяют неравенству, является решением системы, значит, является и решением равносильного ей исходного иррационального уравнения.

Достаточно про уравнения с четными показателями корней. Пора уделить внимание и иррациональным уравнениям с корнями нечетных степеней вида . Как мы уже сказали, для их решения осуществляется переход к равносильному уравнению , которое решается любыми доступными методами.

В заключение этого пункта упомянем про проверку решений . Метод решения иррациональных уравнений по определению корня гарантирует равносильность переходов. Значит, проверку найденных решений проводить не обязательно. Этот момент можно отнести к преимуществам данного метода решения иррациональных уравнений, ведь в большинстве других методов проверка является обязательным этапом решения, позволяющем отсечь посторонние корни . Но при этом следует помнить, что проверка путем подстановки найденных решений в исходное уравнение никогда не бывает лишней: вдруг где закралась вычислительная ошибка.

Также отметим, что вопрос проверки и отсеивания посторонних корней очень важен при решении иррациональных уравнений, поэтому мы еще вернемся к нему в одном из следующих пунктов этой статьи.

Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень

Дальнейшее изложение подразумевает наличие у читателя представления о равносильных уравнениях и уравнениях-следствиях .

В основе метода возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень лежит следующее утверждение:

Утверждение

возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную натуральную степень дает уравнение-следствие, а возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную натуральную степень дает равносильное уравнение.

Доказательство

Докажем его для уравнений с одной переменной. Для уравнений с несколькими переменными принципы доказательства те же.

Пусть A(x)=B(x) – исходное уравнение и x 0 – его корень. Так как x 0 является корнем этого уравнения, то A(x 0)=B(x 0) – верное числовое равенство . Мы знаем такое свойство числовых равенств : почленное умножение верных числовых равенств дает верное числовое равенство. Умножим почленно 2·k , где k – натуральное число, верных числовых равенств A(x 0)=B(x 0) , это нам даст верное числовое равенство A 2·k (x 0)=B 2·k (x 0) . А полученное равенство означает, что x 0 является корнем уравнения A 2·k (x)=B 2·k (x) , которое получено из исходного уравнения путем возведения его обеих частей в одну и ту же четную натуральную степень 2·k .

Для обоснования возможности существования корня уравнения A 2·k (x)=B 2·k (x) , который не является корнем исходного уравнения A(x)=B(x) , достаточно привести пример. Рассмотрим иррациональное уравнение , и уравнение , которое получено из исходного путем возведением его обеих частей в квадрат. Несложно проверить, что нуль является корнем уравнения , действительно, , что то же самое 4=4 - верное равенство. Но при этом нуль является посторонним корнем для уравнения , так как после подстановки нуля получаем равенство , что то же самое 2=−2 , которое неверное. Этим доказано, что уравнение, полученное из исходного путем возведения его обеих частей в одну и ту же четную степень, может иметь корни, посторонние для исходного уравнения.

Так доказано, что возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную натуральную степень приводит к уравнению-следствию.

Остается доказать, что возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную натуральную степень дает равносильное уравнение.

Покажем, что каждый корень уравнения является корнем уравнения, полученного из исходного путем возведения его обеих частей в нечетную степень, и обратно, что каждый корень уравнения, полученного из исходного путем возведения его обеих частей в нечетную степень, является корнем исходного уравнения.

Пусть перед нами уравнение A(x)=B(x) . Пусть x 0 – его корень. Тогда является верным числовое равенство A(x 0)=B(x 0) . Изучая свойства верных числовых равенств, мы узнали, что верные числовые равенства можно почленно умножать. Почленно умножив 2·k+1 , где k – натуральное число, верных числовых равенств A(x 0)=B(x 0) получим верное числовое равенство A 2·k+1 (x 0)=B 2·k+1 (x 0) , которое означает, что x 0 является корнем уравнения A 2·k+1 (x)=B 2·k+1 (x) . Теперь обратно. Пусть x 0 – корень уравнения A 2·k+1 (x)=B 2·k+1 (x) . Значит числовое равенство A 2·k+1 (x 0)=B 2·k+1 (x 0) - верное. В силу существования корня нечетной степени из любого действительного числа и его единственности будет верным и равенство . Оно в свою очередь в силу тождества , где a – любое действительное число, которое следует из свойств корней и степеней, может быть переписано как A(x 0)=B(x 0) . А это означает, что x 0 является корнем уравнения A(x)=B(x) .

Так доказано, что возведение обеих частей иррационального уравнения в нечетную степень дает равносильное уравнение.

Доказанное утверждение пополняет известный нам арсенал, использующийся для решения уравнений, еще одним преобразованием уравнений – возведением обеих частей уравнения в одну и ту же натуральную степень. Возведение в одну и ту же нечетную степень обеих частей уравнения является преобразованием, приводящим к уравнению-следствию, а возведение в четную степень – равносильным преобразованием. На этом преобразовании базируется метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же натуральную степень в основном используется для решения иррациональных уравнений, так как в определенных случаях это преобразование позволяет освободиться от знаков корней. Например, возведение обеих частей уравнения в степень n дает уравнение , которое в дальнейшем можно преобразовать в уравнение f(x)=g n (x) , которое уже не содержит корня в левой части. Приведенный пример иллюстрирует суть метода возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень : при помощи соответствующего преобразования получить более простое уравнение, не имеющее в своей записи радикалов, и через его решение получить решение исходного иррационального уравнения.

Теперь можно переходить непосредственно к описанию метода возведения обеих частей уравнения в одну и ту же натуральную степень. Начнем с алгоритма решения по этому методу простейших иррациональных уравнений с четными показателями корня, то есть, уравнений вида , где k – натуральное число, f(x) и g(x) – рациональные выражения. Алгоритм решения простейших иррациональных уравнений с нечетными показателями корня, то есть, уравнений вида , приведем чуть позже. Затем пойдем еще дальше: распространим метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень на более сложные иррациональные уравнения, содержащие корни под знаками корней, несколько знаков корней и т.д.

методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень :

Из приведенной выше информации понятно, что после первого шага алгоритма мы придем к уравнению, среди корней которого содержатся все корни исходного уравнения, но которое может иметь и корни, посторонние для исходного уравнения. Поэтому алгоритм содержит пункт про отсеивание посторонних корней.

Давайте разберем применение приведенного алгоритма решения иррациональных уравнений на примерах.

Начнем с решения несложного и довольно типичного иррационального уравнения, возведение обеих частей которого в квадрат приводит к квадратному уравнению, не имеющему корней.

Вот пример, в котором все корни уравнения, полученного из исходного иррационального уравнения путем возведения его обеих частей в квадрат, оказываются посторонними для исходного уравнения. Вывод: оно не имеет корней.

Следующий пример чуть сложнее. Его решение, в отличие от двух предыдущих, требует возведения обеих частей уже не в квадрат, а в шестую степень, и это приведет уже не к линейному или квадратному уравнению, а к кубическому уравнению. Здесь проверка нам покажет, что все три его корня будут корнями иррационального уравнения, заданного изначально.

А здесь пойдем еще дальше. Для избавления от корня придется возводить обе части иррационального уравнения в четвертую степень, что в свою очередь приведет к уравнению четвертой степени. Проверка покажет, что лишь один из четырех потенциальных корней будет искомым корнем иррационального уравнения, а остальные будут посторонними.

Три последних примера являются иллюстрацией следующего утверждения: если при возведении обеих частей иррационального уравнения в одну и ту же четную степень получается уравнение, имеющее корни, то последующая их проверка может показать, что

• либо все они являются посторонними корнями для исходного уравнения, и оно не имеет корней,
• либо среди них вообще нет посторонних корней, и все они являются корнями исходного уравнения,
• либо посторонними являются лишь некоторые из них.

Пришло время перейти к решению простейших иррациональных уравнений с нечетным показателем корня, то есть, уравнений вида . Запишем соответствующий алгоритм.

Алгоритм решения иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную степень :

• Обе части иррационального уравнения возводятся в одну и ту же нечетную степень 2·k+1 .
• Решается полученное уравнение. Его решение есть решение исходного уравнения.

Обратите внимание: приведенный алгоритм, в отличие от алгоритма решения простейших иррациональных уравнений с четным показателем корня, не содержит пункта, касающегося отсеивания посторонних корней. Выше мы показали, что возведение обеих частей уравнения в нечетную степень является равносильным преобразованием уравнения, значит, такое преобразование не приводит к появлению посторонних корней, поэтому нет необходимости в их отсеивании.

Таким образом, решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей в одну и ту же нечетную степень можно проводить без отсеивания посторонних. При этом не забываем, что при возведении в четную степень проверка обязательна.

Знание этого факта позволяет на законных основаниях не проводить отсеивание посторонних корней при решении иррационального уравнения . Тем более в данном случае проверка связана с «неприятными» вычислениями. Посторонних корней и так не будет, так как проводится возведение в нечетную степень, а именно в куб, что является равносильным преобразованием. Понятно, что проверку можно и выполнить, но больше для самоконтроля, чтобы дополнительно убедиться в правильности найденного решения.

Подведем промежуточные итоги. В этом пункте мы, во-первых, пополнили уже известный нам арсенал решения различных уравнений еще одним преобразованием, заключающимся в возведении обеих частей уравнения в одну и ту же степень. При возведении в четную степень, данное преобразование может быть неравносильным, и при его использовании обязательно делать проверку для отсеивания посторонних корней. При возведении в нечетную степень, указанное преобразование является равносильным, и выполнять отсеивание посторонних корней необязательно. А во-вторых, научились пользоваться этим преобразованием для решения простейших иррациональных уравнений вида , где n – показатель корня, f(x) и g(x) – рациональные выражения.

Теперь пришло время взглянуть на возведение в одну и ту же степень обеих частей уравнения с общих позиций. Это позволит нам распространить базирующийся на нем метод решения иррациональных уравнений с простейших иррациональных уравнений на иррациональные уравнения более сложного вида. Давайте этим и займемся.

По сути, при решении уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень используется уже известный нам общий подход: исходное уравнение путем каких-либо преобразований преобразуется в более простое уравнение, оно преобразуется в еще более простое, и так далее, вплоть до уравнения, которое мы в состоянии решить. Понятно, что если в цепочке таких преобразований мы прибегаем к возведению обеих частей уравнения в одну и ту же степень, то можно сказать, что мы действуем по одноименному методу возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Остается лишь разобраться, какие именно преобразования и в какой последовательности нужно проводить для решения иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

Вот общий подход к решению иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень :

• Во-первых, нужно перейти от исходного иррационального уравнения к более простому уравнению, чего обычно позволяет добиться циклическое выполнение следующих трех действий:
  • Уединение радикала (или аналогичные приемы, например, уединение произведения радикалов, уединение дроби, числителем и/или знаменателем которой является корень, позволяющие при последующем возведении обеих частей уравнения в степень избавиться от корня).
  • Упрощение вида уравнения.
• Во-вторых, нужно решить полученное уравнение.
• Наконец, если в процессе решения были переходы к уравнениям-следствиям (в частности, если проводилось возведение обеих частей уравнения в четную степень), то нужно отсеять посторонние корни.

Отработаем полученные знания на практике.

Решим пример, в котором уединение радикала приводит иррациональное уравнение к простейшему виду, после чего остается выполнить возведение обеих частей в квадрат, решить полученное уравнение и отсеять посторонние корни при помощи проверки.

Следующее иррациональное уравнение может быть решено путем уединения дроби с радикалом в знаменателе, избавиться от которого позволяет последующее возведение в квадрат обеих частей уравнения. А дальше все просто: решается полученное дробно-рациональное уравнение и делается проверка, исключающая попадание в ответ посторонних корней.

Довольно характерными являются иррациональные уравнения, в записи которых присутствуют два корня. Они обычно с успехом решаются методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Если корни имеют одинаковую степень, и кроме них нет других слагаемых, то для избавления от радикалов достаточно уединить радикал и выполнить возведение в степень один раз, как в следующем примере.

А вот пример, в котором также два корня, помимо них также нет никаких слагаемых, но степени корней различны. В этом случае после уединения радикала целесообразно возводить обе части уравнения в степень, освобождающую от обоих радикалов сразу. В качестве такой степени выступает, например, показателей корней. В нашем случае степени корней равны 2 и 3 , НОК(2, 3)=6 , поэтому, мы будем возводить обе части в шестую степень. Заметим, что можно действовать и по стандартному пути, но в этом случае нам придется дважды прибегать к возведению обеих частей в степень: сначала во вторую, затем в третью. Покажем оба способа решения.

В более сложных случаях, решая иррациональные уравнения методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень, к возведению в степень приходится прибегать два раза, реже – три раза, еще реже - большее число раз. Первое иррациональное уравнение, иллюстрирующее сказанное, содержит в записи два радикала и еще одно слагаемое.

Решение следующего иррационального уравнения тоже требует двух последовательных возведений в степень. Если не забывать уединять радикалы, то двух возведений в степень достаточно, чтобы избавиться от трех присутствующих в его записи радикалов.

Метод возведения обеих частей иррационального уравнения в одну и ту же степень позволяет справляться и с иррациональными уравнениями, в которых под корнем, содержится еще один корень. Вот решение характерного примера.

Наконец, прежде чем переходить к разбору следующих методов решения иррациональных уравнений, нужно обязательно отметить тот факт, что возведение обеих частей иррационального уравнения в одну и ту же степень может в результате дальнейших преобразований дать уравнение, имеющее бесконечное множество решений. Уравнение, имеющее бесконечно много корней, получается, например, в результате возведения в квадрат обеих частей иррационального уравнения и последующего упрощения вида полученного уравнения. При этом по понятным причинам мы не имеем возможности выполнить проверку подстановкой. В таких случаях приходится либо прибегать к другим способам проверки, о которых мы поговорим , либо отказаться от метода возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень в пользу другого метода решения, например, в пользу метода, предполагающего .

Мы рассмотрели решения наиболее характерных иррациональных уравнения методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Изученный общий подход позволяет справиться и с другими иррациональными уравнениями, если для них вообще подходит этот метод решения.

Решение иррациональных уравнений методом введения новой переменной

Существуют общие методы решения уравнений . Они позволяют решать уравнения разных видов. В частности, общие методы применяются для решения иррациональных уравнений. В этом пункте мы рассмотрим один из общих методов – метод введения новой переменной , а точнее, его использование при решении именно иррациональных уравнений. Суть и детали самого метода изложены в статье, ссылка на которую дана в предыдущем предложении. Здесь же мы сосредоточим основное внимание на практической части, то есть разберем решения типовых иррациональных уравнений методом введения новой переменной.

Решению иррациональных уравнений другими общими методами посвящены следующие пункты данной статьи.

Сначала приведем алгоритм решения уравнений методом введения новой переменной . Необходимые пояснения дадим сразу после него. Итак, алгоритм:

Теперь обещанные пояснения.

Второй, третий и четвертый шаги алгоритма чисто технические и часто не представляют сложности. А основной интерес представляет первый шаг – введение новой переменной. Дело здесь в том, что часто далеко не очевидно, как ввести новую переменную, и во многих случаях требуется провести некоторые преобразования уравнения, чтобы проявилось удобное для замены на t выражение g(x) . Другими словами, введение новой переменной – часто процесс творческий, тем и сложный. Дальше мы постараемся затронуть самые основные и характерные примеры, поясняющие как вводить новую переменную при решении иррациональных уравнений.

Будем придерживаться следующей последовательности изложения:

Итак, начнем с простейших случаев введения новой переменной при решении иррациональных уравнений.

Решим иррациональное уравнение , которое мы уже приводили в пример чуть выше. Очевидно, что в данном случае возможна замена . Она нас приведет к рациональному уравнению, которое, как выяснится, имеет два корня, что при обратной замене даст совокупность двух простейших иррациональных уравнений, решение которой не представляет трудности. Для сравнения покажем альтернативный способ решения путем проведения преобразований, которые приведут к простейшему иррациональному уравнению.

В следующем иррациональном уравнении также очевидна возможность введения новой переменной. Но оно примечательно тем, что при его решении нам не придется возвращаться к исходной переменной. Дело в том, что полученное после введения переменной уравнение не имеет решений, что означает отсутствие решений у исходного уравнения.

Иррациональное уравнение , как и предыдущее, удобно решать методом введения новой переменной. Более того, оно, как и предыдущее, не имеет решений. Но отсутствие корней определяется иными средствами: здесь уравнение, полученное после введения переменной , решения имеет, а совокупность уравнений, записанная при проведении обратной замены, решений не имеет, поэтому не имеет решений и исходное уравнение. Разберем решение указанного уравнения.

Завершим серию примеров, в которых замена очевидна, сложным с виду иррациональным уравнением , содержащим в записи корень под корнем. Введение новой переменной часто делает структуру уравнения более понятной, что справедливо, в частности, для данного примера. Действительно, если принять , то исходное иррациональное уравнение преобразуется в более простое иррациональное уравнение , которое можно решать, например, методом возведения обеих частей уравнения в квадрат. Приведем решение методом введения новой переменной, а также для сравнения покажем решение методом возведения обеих частей уравнения в квадрат.

Записи всех предыдущих примеров содержали по несколько одинаковых выражений, которые мы и принимали за новую переменную. Все было просто и очевидно: видим подходящие одинаковые выражения и вместо них вводим новую переменную, что дает более простое уравнение с новой переменной. Сейчас мы продвинемся чуть дальше – будем разбираться, как решать иррациональные уравнения, в которых подходящее для замены выражение не столь очевидно, но довольно легко просматривается и выделяется в явном виде при помощи несложных преобразований.

Рассмотрим основные приемы, позволяющие явно выделить удобное для введения новой переменной выражение. Первый из них – это . Проиллюстрируем сказанное.

Очевидно, в иррациональном уравнении для того, чтобы ввести новую переменную, достаточно принять x 2 +x=t . А видна ли возможность также ввести новую переменную в уравнении ? Такая возможность просматривается, ведь очевидно, что . Последнее равенство позволяет провести равносильное преобразование уравнения , заключающееся в замене выражения тождественно равным ему выражением, не изменяющим ОДЗ, что дает возможность от исходного уравнения перейти к равносильному уравнению и решать уже его. Покажем полное решение иррационального уравнения методом введения новой переменной.

Что еще, помимо вынесения за скобки общего множителя, позволяет в иррациональном уравнении явно выделить удобное для введения новой переменной выражение? В определенных случаях – это , и . Разберем характерные примеры.

Как бы мы ввели новую переменную при решении иррационального уравнения ? Конечно, мы бы приняли . А если бы стояла задача решить иррациональное уравнение , видна ли возможность введения новой переменной как ? Явно – не видна, но такая возможность просматривается, так как на ОДЗ переменной x для этого уравнения в силу определения корня и свойств корней справедливо равенство , которое позволяет перейти к равносильному уравнению .

Позволим себе небольшое обобщение на основе предыдущего примера. В случаях, когда показатель одного корня кратен показателю другого (k·n и k ), обычно прибегают к равенству и вводят новую переменную как . Так мы и действовали, решая уравнение . Чуть дальше мы поговорим о том, как решать иррациональные уравнения с неравными и некратными показателями корней.

Стоит вкратце остановиться на введении новой переменной в иррациональных уравнениях, в которых содержится корень, а также подкоренное выражение и/или его некоторая степень. В этих случаях очевидно, что в качестве новой переменной следует принять корень. Например, при решении уравнения мы бы приняли , по определению корня преобразовали бы исходное уравнение к виду , и после введения новой переменной пришли бы к квадратному уравнению 2·t 2 +3·t−2=0 .

В случаях чуть посложнее может потребоваться еще одно дополнительное преобразование уравнения для выделения выражения, совпадающего с подкоренным. Поясним это. Как бы мы ввели новую переменную в уравнении ? Очевидно, выражение x 2 +5 совпадает с подкоренным выражением, поэтому, согласно информации предыдущего абзаца мы бы на базе определения корня перешли к равносильному уравнению и ввели бы новую переменную как . А как бы мы вводили новую переменную, если бы имели дело не с уравнением , а с уравнением ? Да также. Просто сначала нам бы пришлось x 2 +1 представить как x 2 +5−4 , чтобы явно выделить подкоренное выражение x 2 +5 . То есть, мы бы от иррационального уравнения перешли к равносильному уравнению , затем к уравнению , после чего с легкостью ввели бы новую переменную .

В подобных случаях имеет место и другой более универсальный подход к введению новой переменной: в качестве новой переменной брать корень и на базе этого равенства остальные старые переменный выражать через новую. Для уравнения мы бы приняли , из этого равенства выразили бы x 2 через t как t 2 −5 (, , x 2 +5=t 2 , x 2 =t 2 −5 ), откуда x 2 +1=t 2 −4 . Это позволяет перейти к уравнению с новой переменной t 2 −4+3·t=0 . Для отработки навыков решим типовое иррациональное уравнение.

Введение новой переменной в подобных примерах может приводить к возникновению под знаками корней выражений, представляющих собой полные квадраты. Например, если в иррациональном уравнении принять , то это приведет к уравнению , где первое подкоренное выражение – это квадрат линейного двучлена t−2, а второе подкоренное выражение – квадрат линейного двучлена t−3. А от таких уравнений лучше всего переходить к уравнениям с модулями: , , . Это связано с тем, что такие уравнения могут иметь бесконечное множество корней, при этом их решение путем возведением обеих частей уравнения в квадрат не позволит провести проверку подстановкой, а решение по определению корня приведет к необходимости решения иррационального неравенства. Решение такого примера мы покажем ниже в пункте переход от иррационального уравнения к уравнению с модулем .

Когда еще довольно легко просматривается возможность введения новой переменной? Когда в записи уравнения фигурируют «перевернутые» дроби и (с Вашего позволения будем называть их взаимно обратными по аналогии со ). Как бы мы решали рациональное уравнение с такими дробями? Мы бы одну из таких дробей приняли за новую переменную t , при этом другая дробь выразилась бы через новую переменную как 1/t. В иррациональных же уравнениях так вводить новую переменную не совсем практично, так как для дальнейшего избавления от корней, скорее всего, придется вводить еще одну переменную. Лучше сразу принимать в качестве новой переменной корень из дроби. Ну а дальше преобразовать исходное уравнение при помощи одного из равенств и , что позволит перейти к уравнению с новой переменной. Рассмотрим пример.

Не стоит забывать про уже известные варианты замен. Например, в записи иррационального уравнения могут фигурировать выражения x+1/x и x 2 +1/x 2 , что заставляет задуматься о возможности введения новой переменной x+1/x=t . Эта мысль возникает не случайно, ведь мы так уже делали, когда решали возвратные уравнения . Такой способ введения новой переменной, как и другие уже известные нам способы, следует иметь в виду при решении иррациональных уравнений, как впрочем, и уравнений других видов.

Переходим к более сложным иррациональным уравнениям, в которых подходящее для введения новой переменной выражение разглядеть сложнее. И начнем с уравнений, в которых подкоренные выражения одинаковы, но, в отличие от разобранного выше случая, больший показатель одного корня не делится нацело на меньший показатель другого корня. Давайте разберемся, как правильно выбрать выражение, подходящее для введения новой переменной в таких случаях.

Когда подкоренные выражения одинаковые, а больший показатель одного корня k 1 не делится нацело на меньший показатель другого корня k 2 , в качестве новой переменной можно принять корень степени НОК(k 1 , k 2) , где НОК – . Например, в иррациональном уравнении показатели корней равны 2 и 3 , три не кратно двум, НОК(3, 2)=6 , поэтому новую переменную можно ввести как . Дальше определение корня, а также свойства корней позволяют преобразовать исходное уравнение, чтобы явно выделить выражение и дальше заменить его новой переменной. Приведем полное и подробное решение этого уравнения.

По аналогичным принципам вводится новая переменная в случаях, когда выражения под корнями отличаются степенями. Например, если в иррациональном уравнении переменная содержится только под корнями, а сами корни имеют вид и , то следует вычислить наименьшее общее кратное показателей корней НОК(3, 4)=12 и принять . При этом по свойствам корней и степеней корни и следует преобразовать как и соответственно, что позволит ввести новую переменную.

Похожим образом можно действовать и в иррациональных уравнениях, в которых под корнями с разными показателями находятся взаимно обратные дроби и . То есть, в качестве новой переменной целесообразно принимать корень с показателем, равным НОК показателей корней. Ну а дальше переходить к уравнению с новой переменной, что позволяют сделать равенства и , определение корня, а также свойства корней и степеней. Рассмотрим пример.

Теперь поговорим об уравнениях, в которых возможность введения новой переменной можно лишь подозревать, и которая при удачном раскладе открывается только после довольно серьезных преобразований. Например, иррациональное уравнение лишь после ряда не самых очевидных преобразований приводится к виду , что открывает дорогу к замене . Приведем решение этого примера.

Напоследок внесем немного экзотики. Иногда иррациональное уравнение можно решить путем введения не одной, а нескольких переменных. Такой подход к решению уравнений предложен в учебнике . Там для решения иррационального уравнения предлагается ввести две переменные . В учебнике приведено краткое решение, давайте восстановим и детали.

Решение иррациональных уравнений методом разложения на множители

Помимо метода введения новой переменной, для решения иррациональных уравнений используются и другие общие методы, в частности, метод разложения на множители . В статье по указанной в предыдущем предложении ссылке подробно разобрано, когда применяется метод разложения на множители, в чем его суть и на чем он основан. Здесь нас больше интересует не сам метод, а его использование при решении иррациональных уравнений. Поэтому материал представим так: кратко напомним основные положения метода, после чего будем подробно разбирать решения характерных иррациональных уравнений методом разложения на множители.

Метод разложения на множители применяется для решения уравнений, в левых частях которых находится некоторое произведение, а в правых – нули, то есть, для решения уравнений вида f 1 (x)·f 2 (x)·…·f n (x)=0 , где f 1 , f 2 , …, f n – некоторые функции. Суть метода состоит в замене уравнения f 1 (x)·f 2 (x)·…·f n (x)=0 на переменной x для исходного уравнения.

Первая часть последнего предложения про переход к совокупности следует из известного с начальной школы факта: произведение нескольких чисел тогда и только тогда равно нулю, когда хотя бы одно из чисел равно нулю. Наличие второй части про ОДЗ объясняется тем, что переход от уравнения f 1 (x)·f 2 (x)·…·f n (x)=0 к совокупности уравнений f 1 (x)=0, f 2 (x)=0, …, f n (x)=0 может быть неравносильным и приводить к появлению посторонних корней , от которых в данном случае позволяет избавиться учет ОДЗ. Стоит отметить, что отсеивание посторонних корней, если это удобно, может быть проведено не только через ОДЗ, но и другими способами, например, проверкой через подстановку найденных корней в исходное уравнение.

Итак, чтобы решить уравнение f 1 (x)·f 2 (x)·…·f n (x)=0 методом разложения на множители, в том числе и иррациональное, нужно

• Перейти к совокупности уравнений f 1 (x)=0, f 2 (x)=0, …, f n (x)=0 ,
• Решить составленную совокупность,
• Если совокупность решений не имеет, то сделать вывод об отсутствии корней у исходного уравнения. Если же корни есть, то отсеять посторонние корни.

Переходим к практической части.

Левые части типичных иррациональных уравнений, которые решаются методом разложения на множители, представляют собой произведения нескольких алгебраических выражений, обычно линейных двучленов и квадратных трехчленов, и нескольких корней с алгебраическими выражениями под ними. В правых частях нули. Такие уравнения идеальны для получения начальных навыков их решения. С решения подобного уравнения начнем и мы. При этом попробуем достичь двух целей:

• рассмотреть все шаги алгоритма метода разложения на множители при решении иррационального уравнения,
• вспомнить три основных способа отсеивания посторонних корней (по ОДЗ, по условиям ОДЗ и при помощи непосредственной подстановки решений в исходное уравнение).

Следующее иррациональное уравнение типично в том плане, что при его решении методом разложения на множители отсеивание посторонних корней удобно проводить по условиям ОДЗ, а не по ОДЗ в виде числового множества, так как получить ОДЗ в виде числового множителя затруднительно. Сложность в том, что одно из условий, определяющих ОДЗ, представляет собой иррациональное неравенство . Указанный подход к отсеиванию посторонних корней позволяет обойтись без его решения, более того, иногда в школьном курсе математики вообще не знакомятся с решением иррациональных неравенств.

Хорошо, когда уравнение имеет в левой части произведение, а в правой – ноль. В этом случае сразу можно переходить к совокупности уравнений, решить ее, найти и отбросить посторонние для исходного уравнения корни, что даст искомое решение. Но чаще уравнения имеют иной вид. Если при этом просматривается возможность преобразовать их к виду, подходящему для применения метода разложения на множители, то почему бы не попробовать провести соответствующие преобразования. Например, чтобы получить произведение в левой части следующего иррационального уравнения, достаточно прибегнуть к разность квадратов.

Есть еще один класс уравнений, которые обычно решают методом разложения на множители. К нему относятся уравнения, обе части которых являются произведениями, имеющими одинаковый множитель в виде выражения с переменной. Таково, например, иррациональное уравнение . Можно пойти путем деления обеих частей уравнения на одинаковый множитель, но при этом нельзя забывать отдельно проверять значения, обращающие в нуль это выражения, иначе можно потерять решения, ведь деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение может быть неравносильным преобразованием. Надежнее действовать по методу разложения на множители, это позволяет гарантированно избежать потери корней при дальнейшем корректном решении. Понятно, что для этого надо сначала получить в левой части уравнения произведение, а в правой части получить ноль. Это легко: достаточно перенести выражение из правой части в левую, изменив его знак, и вынести общий множитель за скобки. Покажем полное решение подобного, но чуть более сложного иррационального уравнения.

Решение любого уравнения (как, впрочем, и решение многих других задач) полезно начинать с нахождения ОДЗ, особенно если ОДЗ находится легко. Приведем несколько самых очевидных доводов в пользу этого.

Итак, получив задание решить уравнение, не стоит без оглядки бросаться в преобразования-вычисления, может достаточно взглянуть на ОДЗ? Это ярко демонстрирует следующее иррациональное уравнение.

Функционально-графический метод

Функционально-графический метод – это еще один общий метод решения уравнений. Как любой общий метод, он позволяет решать уравнения различных видов, в частности, с его помощью можно решать иррациональные уравнения. Именно это применение функционально-графического метода нас больше всего и интересует в рамках текущей статьи.

Функционально-графический метод вовлекает в процесс решения уравнений функции, их свойства и графики. Это очень мощный инструмент. И, как к любому мощному инструменту, к нему обычно прибегают тогда, когда более простые инструменты оказываются бессильными.

Можно выделить три основных направления функционально-графического метода решения уравнений:

• Первое – использование графиков функций. Это направление называют графическим методом.
• Второе – использование свойств возрастающих и убывающих функций.
• Третье – использование свойств ограниченных функций. Наверное, под методом оценки, который в последнее время на слуху, понимают именно это направление функционально-графического метода.

Эти три направления позволяют справиться с подавляющим большинством иррациональных уравнений, для решения которых вообще подходит функционально-графический метод. В указанной последовательности – использование графиков, использование возрастания-убывания, использование свойств ограниченных функций - будем разбирать решения самых характерных примеров.

Графический метод

Итак, начнем с графического метода решения иррациональных уравнений.

Согласно графическому методу нужно:

• во-первых, в одной системе координат построить графики функций f и g , соответствующих левой и правой частям решаемого уравнения,
• во-вторых, по их взаимному расположению сделать выводы о корнях уравнения:
  • если графики функций не пересекаются, то уравнение не имеет решений,
  • если графики функций имеют точки пересечения, то корнями уравнения являются абсциссы этих точек.

Решение иррациональных уравнений через ОДЗ

Очень часто частью процесса решения уравнений является . Причины, заставляющие искать ОДЗ, могут быть разными: требуется провести преобразования уравнения, а они, как известно, проводятся на ОДЗ, выбранный метод решения подразумевает нахождение ОДЗ, осуществление проверки по ОДЗ и т.д. А в определенных случаях ОДЗ выступает не только как вспомогательный или контрольный инструмент, но и позволяет получить решение уравнения. Здесь мы имеем в виду две ситуации: когда ОДЗ есть пустое множество и когда ОДЗ есть конечный набор чисел.

Понятно, что если ОДЗ уравнения, в частности, иррационального, есть пустое множество, то уравнение не имеет решений. Так ОДЗ переменной x для следующего иррационального уравнения является пустым множеством, откуда следует, что уравнение не имеет решений.

Когда ОДЗ переменной для уравнения представляет собой конечный набор чисел, то последовательно осуществляя проверку подстановкой этих чисел можно получить решение уравнения. Для примера рассмотрим иррациональное уравнение, ОДЗ для которого состоит из двух чисел, а подстановка показывает, что только одно из них является корнем уравнения, откуда и делается вывод, что этот корень есть единственное решение уравнения.

Решение иррациональных уравнений вида «дробь равна нулю»

Любое уравнение вида «дробь равна нулю» , в частности, иррациональное, на ОДЗ переменной x для этого уравнения равносильно уравнению f(x)=0 . Из этого утверждения вытекают два подхода к решению уравнений такого вида:

Понятно, что к первому подходу к решению уравнения лучше прибегать тогда, когда проще найти ОДЗ, чем решить уравнение f(x)=0 . При этом ОДЗ может оказаться пустым множеством или состоять из нескольких чисел, в этих случаях можно будет вообще обойтись без решения уравнения f(x)=0 (смотрите ). Решим типовое иррациональное уравнение.

Второй озвученный подход к решению уравнения предпочтительнее тогда, когда решить уравнение f(x)=0 довольно легко. После решения уравнения f(x)=0 останется сделать проверку найденных корней, которая обычно проводится одним из следующих способов:

• через подстановку в знаменатель исходного уравнения, те из найденных корней, которые обращают знаменатель в нуль или в не имеющее смысла выражение, не являются корнями, а найденные корни, обращающие знаменатель в отличное от нуля число, являются корнями исходного уравнения.
• непосредственно по ОДЗ (когда ОДЗ находится довольно легко, при этом первый и второй подходы к решению иррациональных уравнений вида «дробь равна нулю» практически равносильны), найденные корни, принадлежащие ОДЗ, являются корнями исходного уравнения, а не принадлежащие – не являются.
• или через условия ОДЗ (часто записать условия, определяющие ОДЗ легко, а найти по ним ОДЗ в виде числового множества затруднительно), те из найденных корней, которые удовлетворяю всем условиям ОДЗ, являются корнями исходного уравнения, остальные – не являются.

Иррациональные уравнения, сводящиеся к числовым равенствам

Переход к модулям

Если в записи иррационального уравнения под знаком корня четной степени находится степень некоторого выражения с показателем, равным показателю корня, то можно осуществить переход к модулю. Такое преобразование имеет место в силу одного из , которому отвечает формула , где 2·m – четное число, a – любое действительное число. Стоит заметить, что это преобразование является равносильным преобразованием уравнения . Действительно, при таком преобразовании происходит замена корня тождественно равным ему модулем, при этом ОДЗ не изменяется.

Рассмотрим характерное иррациональное уравнение, решить которое позволяет переход к модулю.

Всегда ли стоит переходить к модулям, когда есть такая возможность? В подавляющем большинстве случаев такой переход оправдан. Исключение составляют те случаи, когда очевидно, что альтернативные методы решения иррационального уравнения требуют сравнительно меньших трудозатрат. Давайте возьмем иррациональное уравнение, которое можно решить и через переход к модулям и какими-нибудь еще методами, например, методом возведения обеих частей уравнения в квадрат или по определению корня, и посмотрим, какое из решений будет наиболее простым и компактным.

В решенном примере предпочтительнее всех выглядит решение по определению корня: оно короче и проще как решения через переход к модулю, так и решения по методу возведения обеих частей уравнения в квадрат. Могли ли мы это знать до решения уравнения всеми тремя методами? Скажем прямо, это было не очевидно. Так что когда просматриваются несколько методов решения и сразу непонятно, какой из них предпочесть, стоит пробовать получить решение любым из них. Если это получиться, то хорошо. Если же выбранный метод не приводит к результату или решение оказывается очень сложным, то стоит пробовать другой метод.

В заключение этого пункта вернемся к иррациональному уравнению . В предыдущем пункте мы его уже решали и увидели, что попытка его решения через уединение радикала и возведение обеих частей уравнения в квадрат привела к числовому равенству 0=0 и невозможности сделать вывод о корнях. А решение по определению корня было сопряжено с решением иррационального неравенства, что само по себе довольно сложно. Хорошим методом решения этого иррационального уравнения является переход к модулям. Приведем подробное решение.

Преобразование иррациональных уравнений

Решение иррациональных уравнений почти никогда не обходится без их преобразования. К моменту изучения иррациональных уравнений мы уже знакомы с равносильными преобразованиями уравнений . При решении иррациональных уравнений они используются так же, как и при решении ранее изученных видов уравнений. Примеры проведения таких преобразований иррациональных уравнений Вы видели в предыдущих пунктах, и, согласитесь, они довольно естественно воспринимались, так как хорошо нам знакомы. Выше мы узнали и про новое для нас преобразование – возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень, которое типично для иррациональных уравнений, оно в общем случае не является равносильным. Про все эти преобразования стоит поговорить детально, чтобы знать все тонкие моменты, возникающие при их проведении, и не допускать ошибок.

Будем разбирать преобразования иррациональных уравнений в следующей последовательности:

1. Замена выражений тождественно равными им выражениями, не изменяющими ОДЗ.
2. Прибавление одного и того же числа к обеим частям уравнения или вычитание одного и того же числа из обеих частей уравнения.
3. Прибавление одного и того же выражения, не изменяющего ОДЗ, к обеим частям уравнения или вычитание одного и того же выражения, не изменяющего ОДЗ, из обеих частей уравнения.
4. Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком.
5. Умножение и деление обеих частей уравнения на одно и то же число, отличное от нуля.
6. Умножение и деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение, не изменяющее область допустимых значений переменной и не обращающееся на ней в нуль.
7. Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

Итак, круг вопросов очерчен. Начнем разбираться с ними на примерах.

Первое интересующее нас преобразование – это замена выражений в уравнении тождественно равными им выражениями. Мы знаем, что оно является равносильным, если ОДЗ для уравнения, полученного в результате преобразования, такая же, как ОДЗ для исходного уравнения. Из этого понятно, что есть две основные причины возникновения ошибок при проведении этого преобразования: первая – это изменение ОДЗ, происходящее в результате проведенного преобразования, вторая – это замена выражения не тождественно равным ему выражением. Разберем эти аспекты подробно и по порядку, рассматривая примеры типичных преобразований этого вида.

Сначала пробежимся по типичным преобразованиям уравнений, заключающимся в замене выражения тождественно равным ему выражением, которые всегда являются равносильными. Вот соответствующий список.

• Перестановка местами слагаемых и множителей. Это преобразование можно проводить как в левой, так и в правой части иррационального уравнения. Оно может использоваться, например, для группировки и последующего приведения подобных слагаемых с целью упрощения вида уравнения. Перестановка местами слагаемых или множителей, очевидно, является равносильным преобразованием уравнения. Оно и понятно: исходное выражение и выражение с переставленными местами слагаемыми или множителями являются тождественно равными (если, конечно, перестановка осуществлена корректно), и очевидно, что такое преобразование не изменяет ОДЗ. Приведем пример. В левой части иррационального уравнения в произведении x·3·x можно переставить местами первый и второй множители x и 3 , что в дальнейшем позволит представить многочлен, находящийся под знаком корня, в стандартном виде. А в правой части уравнения в сумме 4+x+5 можно провести перестановку местами слагаемых 4 и x , что в дальнейшем позволит выполнить сложение чисел 4 и 5 . После указанных перестановок иррациональное уравнение примет вид , полученное уравнение равносильно исходному.
• Раскрытие скобок. Равносильность этого преобразования уравнений очевидна: выражения до и после раскрытия скобок являются тождественно равными и имеют одинаковую область допустимых значений. Для примера возьмем иррациональное уравнение . Его решение требует раскрытия скобок. Раскрыв скобки в левой части уравнения, а также в правой части уравнения придем к равносильному уравнению .
• Группировка слагаемых и/или множителей. Это преобразование уравнения по своей сути представляет замену какого-либо выражения, являющегося частью уравнения, тождественно равным ему выражением со сгруппированными слагаемыми или множителями. Очевидно, при этом не изменяется ОДЗ. Значит, указанное преобразование уравнения является равносильным. Для иллюстрации возьмем иррациональное уравнение . Перестановка слагаемых (о ней мы говорили двумя абзацами выше) и группировка слагаемых позволяет перейти к равносильному уравнению . Цель подобной группировки слагаемых отчетливо просматривается - провести следующее равносильное преобразование , что позволит ввести новую переменную.
• Вынесение за скобки общего множителя. Понятно, что выражения до вынесения общего множителя за скобки и после вынесения за скобки общего множителя являются тождественно равными. Также понятно, что вынесение общего множителя за скобки не изменяет ОДЗ. Поэтому, вынесение за скобки общего множителя в выражении, находящемся в составе уравнения, является равносильным преобразованием уравнения. Такое преобразование используется, например, для представления левой части уравнения в виде произведения с целью его решения методом разложения на множители. Вот конкретный пример. Рассмотрим иррациональное уравнение . Левую часть этого уравнения можно представить в виде произведения, для этого нужно вынести за скобки общий множитель . В результате этого преобразования будет получено иррациональное уравнение , равносильное исходному, которое может быть решено методом разложения на множители.
• Замена числовых выражений их значениями. Понятно, что если в записи уравнения присутствует некоторое числовое выражение, и мы заменим это числовое выражение его значением (правильно вычисленным), то такая замена будет равносильной. Действительно, ведь по сути происходит замена выражения тождественно равным ему выражением и при этом не изменяется ОДЗ уравнения. Так, заменив в иррациональном уравнении сумму двух чисел −3 и 1 значением этой суммы, которое равно −2 , получим равносильное иррациональное уравнение . Аналогично можно провести равносильное преобразование иррационального уравнения , выполнив действия с числами под знаком корня (1+2=3 и ), это преобразование приведет нас к равносильному уравнению .
• Выполнение действий с одночленами и многочленами, находящимися в записи иррационального уравнения. Понятно, что правильное выполнение этих действий будет приводить к равносильному уравнению. Действительно, при этом будет происходить замена выражения тождественно равным ему выражением и не будет изменяться ОДЗ. К примеру, в иррациональном уравнении можно сложить одночлены x 2 и 3·x 2 и перейти к равносильному ему уравнению . Еще пример: вычитание многочленов в левой части иррационального уравнения является равносильным преобразованием, которое приводит к равносильному уравнению .

Продолжаем рассматривать преобразования уравнений, состоящие в замене выражений тождественно равными им выражениями. Такие преобразования могут быть и неравносильными, так как могут изменять ОДЗ. В частности, может происходить расширение ОДЗ. Это может иметь место при приведении подобных слагаемых, при сокращении дробей, при замене нулем произведения с несколькими нулевыми множителями или дроби с равным нулю числителем и наиболее часто при использовании формул, соответствующих свойствам корней. Кстати, небрежное использование свойств корней может приводить и к сужению ОДЗ. И если преобразования, расширяющие ОДЗ, допустимы при решении уравнений (они могут быть причиной возникновения посторонних корней, которые определенным образом отсеиваются), то от преобразований, сужающих ОДЗ, нужно в обязательном порядке отказаться, так как они могут быть причиной потери корней. Остановимся на этих моментах.

Первое иррациональное уравнение таково . Его решение начинается с преобразования уравнения к виду на базе одного из свойств степеней. Это преобразование является равносильным, так как выражение заменяется тождественно равным выражением, и ОДЗ при этом не изменяется. А вот следующий переход к уравнению , проводящийся на базе определения корня, уже может быть неравносильным преобразованием уравнения, так как при таком преобразовании расширяется ОДЗ. Покажем полное решение этого уравнения.

Второе иррациональное уравнение, хорошо подходящее для иллюстрации того, что преобразования иррациональных уравнений с использованием свойств корней и определения корня могут быть неравносильными, имеет вид . Хорошо, если Вы не позволите себе начинать решение так

Или так

Начинаем с первого случая. Первое преобразование - переход от исходного иррационального уравнения к уравнению состоит в замене выражения x+3 выражением . Эти выражения тождественно равные. Но при такой замене происходит сужение ОДЗ с множества (−∞, −3)∪[−1, +∞) до множества [−1, +∞) . А мы договорились отказаться от преобразований, сужающих ОДЗ, так как они могут приводить к потере корней.

А что не так во втором случае? Расширение ОДЗ при последнем переходе от к числом −3 ? Не только это. Большую озабоченность вызывает первый переход от исходного иррационального уравнения к уравнению . Суть этого перехода – замена выражения x+3 выражением . Но эти выражения не являются тождественно равными: при x+3<0 значения этих выражений не совпадают. Действительно, согласно свойству квадратного корня из квадрата , откуда следует, что .

Так как же тогда решать это иррациональное уравнение ? Здесь лучше всего сразу вводить новую переменную , при этом (x+3)·(x+1)=t 2 . Приведем подробное решение.

Подведем итог по первому из разбираемых преобразований уравнений – замене выражения, находящегося в составе уравнения, тождественно равным ему выражением. Каждый раз при его проведении необходимо выполнение двух условий: первое - чтобы выражение заменялось именно тождественно равным выражением и второе - чтобы при этом не происходило сужение ОДЗ. Если при такой замене ОДЗ не изменяется, то в результате преобразования получится равносильное уравнение. Если при такой замене происходит расширение ОДЗ, то могут появиться посторонние корни, и необходимо позаботиться об их отсеивании.

Переходим ко второму преобразованию списка – прибавлению к обеим частям уравнения одного и того же числа и вычитанию из обеих частей уравнения одного и того же числа. Это равносильное преобразование уравнения. Обычно мы прибегаем к нему, когда в левой и правой части уравнения находятся одинаковые числа, вычитание из обеих частей уравнения этих чисел позволяет в дальнейшем избавиться от них. Например, и в левой и в правой части иррационального уравнения есть слагаемое 3 . Вычитание тройки из обеих частей уравнения приводит к уравнению , которое после выполнения действий с числами принимает вид и дальше упрощается до . По результату рассматриваемое преобразование перекликается с переносом слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, но об этом преобразовании чуть позже. Есть и другие примеры применения этого преобразования. Например, в иррациональном уравнении прибавление к обеим частям числа 3 нужно для организации полного квадрата в левой части уравнения и дальнейшего преобразования уравнения к виду с целью введения новой переменной.

Обобщение только что рассмотренного преобразования – это прибавление к обеим частям уравнения или вычитание из обеих частей уравнения одного и того же выражения. Это преобразование уравнений является равносильным тогда, когда не изменяется ОДЗ. Данное преобразование проводится в основном для того, чтобы в дальнейшем избавиться от одинаковых слагаемых, находящихся одновременно и в левой и в правой части уравнения. Приведем пример. Допустим перед нами иррациональное уравнение . Очевидно, что и в левой и в правой части уравнения присутствует слагаемое . Резонно вычесть это выражение из обеих частей уравнения: . В нашем случае при таком переходе не изменяется ОДЗ, поэтому проделанное преобразование является равносильным. А делается оно для того, чтобы дальше перейти к более простому иррациональному уравнению .

Следующее преобразование уравнений, которое мы затронем в этом пункте, это - перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком. Это преобразование уравнения всегда равносильное. Сфера его применения довольно широка. С его помощью можно, например, уединить радикал или собрать подобные слагаемые в одной части уравнения, чтобы потом привести их и тем самым упростить вид уравнения. Приведем пример. Для решения иррационального уравнения можно перенести слагаемые −1 и в правую часть, изменив их знак, это даст равносильное уравнение , которое можно решать дальше, например, методом возведения обеих частей уравнения в квадрат.

Движемся дальше по пути рассмотрения преобразований уравнений к умножению или делению обеих частей уравнения на одно и то же число, отличное от нуля. Это преобразование является равносильным преобразованием уравнения. Умножение обеих частей уравнения на одно и то же число используется в основном для перехода от дробей к целым числам. Например, чтобы в иррациональном уравнении избавиться от дробей следует умножить обе его части на 8 , что дает равносильное уравнение , которое дальше приводится к виду . Деление обеих частей уравнения проводится в основном с целью уменьшения числовых коэффициентов. Например, обе части иррационального уравнения целесообразно разделить на числовых коэффициентов 18 и 12 , то есть, на 6 , такое деление дает равносильное уравнение , от которого в дальнейшем можно перейти к уравнению , имеющему меньшие, но тоже целые коэффициенты.

Следующее преобразование уравнения – это умножение и деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение. Данное преобразование равносильное тогда, когда выражение, на которое производится умножение или деление, не изменяет область допустимых значений переменной и не обращается на ней в нуль. Обычно умножение обеих частей на одно и то же выражение по целям похоже на умножение обеих частей уравнения на одно и то же число. Наиболее часто к этому преобразованию прибегают, чтобы дальнейшими преобразованиями избавиться от дробей. Покажем это на примере.

Не обойдем стороной и иррациональные уравнения, для решения которых приходится прибегать к делению обеих частей уравнения на одно и то же выражение. Чуть выше мы отметили, что такое деление является равносильным преобразованием, если оно не влияет на ОДЗ и это выражение на ОДЗ не обращается в нуль. Но иногда деление приходится проводить и на выражение, обращающееся в нуль на ОДЗ. Так вполне можно поступать, если при этом отдельно проверять нули этого выражения на предмет того, нет ли среди них корней решаемого уравнения, иначе при таком делении эти корни могут потеряться.

Последнее преобразование иррациональных уравнений, которое мы затронем в этом пункте, заключается в возведении обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Это преобразование можно назвать типичным для иррациональных уравнений, так как практически не используется при решении уравнений других видов. Это преобразование мы уже упоминали в текущей статье, когда разбирали . Там же приведено и множество примеров проведения этого преобразования. Здесь не будем повторяться, а лишь напомним, что в общем случае это преобразование не является равносильным. Оно может приводить к появлению посторонних корней. Поэтому, если в процессе решения мы обращались к этому преобразованию, то найденные корни нужно обязательно проверить на наличие среди них посторонних корней.

О потере корней

Из-за чего может произойти потеря корней при решении уравнения? Главная причина потери корней – это проведение преобразований уравнения , при которых сужается ОДЗ. Для понимания этого момента обратимся к примеру.

Возьмем иррациональное уравнение , которое мы уже решили в рамках текущей статьи. Его решение мы начали с предостережения от проведения следующих преобразований уравнения

Первое же преобразование – переход от уравнения к уравнению – сужает ОДЗ. Действительно, ОДЗ для исходного уравнения есть (−∞, −3)∪[−1, +∞) , а для полученного - [−1, +∞) . Это влечет выпадение из рассмотрения промежутка (−∞, −3) и, как следствие, потерю всех корней уравнения из этого промежутка. В нашем случае при проведении указанного преобразования будут потеряны все корни уравнения, которых два и .

Итак, если преобразование уравнения приводит к сужению ОДЗ, то будут потеряны все корни уравнения, находящиеся в той части, на которую произошло сужение. Вот поэтому мы и призываем не прибегать к преобразованиям, сужающим ОДЗ. Однако есть одна оговорка.

Эта оговорка касается преобразований, при которых происходит сужение ОДЗ на одно или несколько чисел. Самым характерным преобразованием, при котором из ОДЗ выпадают несколько отдельных чисел, является деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение. Понятно, что при проведении подобного преобразования могут потеряться лишь корни, находящиеся среди этого конечного набора чисел, выпадающего при сужении ОДЗ. Поэтому, если отдельно проверить все числа этого набора на предмет того, есть ли среди них корни решаемого уравнения, например, путем подстановки, и включить найденные корни в ответ, то дальше можно проводить намеченное преобразование без боязни потери корней. Проиллюстрируем сказанное примером.

Рассмотрим иррациональное уравнение , которое тоже уже было решено в предыдущем пункте. Чтобы решить это уравнение методом введения новой переменной, полезно сначала провести деление обеих частей уравнения на 1+x . При таком делении из ОДЗ выпадает число −1 . Подстановка этого значения в исходное уравнение дает неверное числовое равенство (), откуда следует, что −1 не является корнем уравнения. После такой проверки можно спокойно проводить намеченное деление без боязни потерять корень.

В заключение этого пункта заметим, что наиболее часто при решении иррациональных уравнений к сужению ОДЗ приводит деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение, а также преобразования, базирующиеся на свойствах корней. Так что нужно быть очень аккуратным при проведении таких преобразований и не допускать потери корней.

О посторонних корнях и способах их отсеивания

Решение подавляющего числа уравнений проводится через преобразование уравнений . Определенные преобразования могут приводить к уравнениям-следствиям , а среди решений уравнения-следствия могут быть корни, посторонние для исходного уравнения . Посторонние корни не являются корнями исходного уравнения, поэтому, они не должны попасть в ответ. Другими словами, они должны быть отсеяны.

Итак, если в цепочке преобразований решаемого уравнения есть хотя бы одно уравнение-следствие, то нужно позаботиться об обнаружении и отсеивании посторонних корней.

Методы обнаружения и отсеивания посторонних корней зависят от причин, вызывающих их потенциальное появление. А причин возможного появления посторонних корней при решении иррациональных уравнений две: первая – это расширение ОДЗ в результате преобразования уравнения, вторая – это возведение обеих частей уравнения в четную степень. Разберем соответствующие методы.

Начнем с методов отсеивания посторонних корней, когда причиной их возможного появления выступает только расширение ОДЗ. В этом случае отсеивание посторонних корней проводится одним из трех следующих способов:

• По ОДЗ. Для этого находится ОДЗ переменной для исходного уравнения и проверяется принадлежность ей найденных корней. Те корни, которые принадлежат ОДЗ, являются корнями исходного уравнения, а те, которые не принадлежат ОДЗ, являются посторонними корнями для исходного уравнения.
• Через условия ОДЗ. Записываются условия, определяющие ОДЗ переменной для исходного уравнения, и в них по очереди подставляются найденные корни. Те корни, которые удовлетворяют всем условиям, являются корнями, а те, которые не удовлетворяют хотя бы одному условию, являются посторонними корнями для исходного уравнения.
• Через подстановку в исходное уравнение (или в любое равносильное ему уравнение). Найденные корни по очереди подставляются в исходное уравнение, те из них, при подстановке которых уравнение обращается в верное числовое равенство, являются корнями, а те из них, при подстановке которых получается выражение, не имеющее смысла, являются посторонними корнями для исходного уравнения.

Давайте при решении следующего иррационального уравнения проведем отсеивание посторонних корней каждым из указанных способов, чтобы получить общее представление о каждом из них.

Понятно, что мы не будем каждый раз выявлять и отсеивать посторонние корни всеми известными способами. Для отсеивания посторонних корней мы будем выбирать самый подходящий способ в каждом конкретном случае. Например, в следующем примере отсеивание посторонних корней удобнее всего провести через условия ОДЗ, так как по этим условиям сложно найти ОДЗ в виде числового множества.

Теперь поговорим про отсеивание посторонних корней, когда решение иррационального уравнения проводится методом возведения обеих частей уравнения в четную степень. Здесь уже не выручит отсеивание через ОДЗ или через условия ОДЗ, так как оно не позволит отсеять посторонние корни, возникающие по другой причине – из-за возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень. Почему появляются посторонние корни при возведении обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень? Появление посторонних корней в этом случае следует из того, что возведение в одну и ту же четную степень обеих частей неверного числового равенства может давать верное числовое равенство. Например, неверное числовое равенство 3=−3 после возведения его обеих частей в квадрат становится верным числовым равенством 3 2 =(−3) 2 , что то же самое 9=9 .

С причинами появления посторонних корней при возведении обеих частей уравнения в одну и ту же степень разобрались. Осталось указать, как в этом случае отсеиваются посторонние корни. Отсеивание в основном проводится через подстановку найденных потенциальных корней в исходное уравнение или в любое равносильное ему уравнение. Продемонстрируем это на примере.

Но стоит иметь в виду еще один способ, позволяющий отсеять посторонние корни в случаях, когда возводятся в одну и ту же четную степень обе части иррационального уравнения с уединенным радикалом. При решении иррациональных уравнений , где 2·k – четное число, методом возведения обеих частей уравнений в одну и ту же степень, отсеивание посторонних корней можно проводить через условие g(x)≥0 (то есть, фактически решать иррациональное уравнение по определению корня). Такой метод часто выручает тогда, когда отсеивание посторонних корней через подстановку оказывается связанным со сложными вычислениями. Следующий пример является хорошей иллюстрацией сказанного.

Литература

1. Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
2. Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2008. - 287 с.: ил. ISBN 978-5-346-01027-2.
3. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
4. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 2010.- 368 с.: ил.-ISBN 978-5-09-022771-1.
5. Математика. Повышенный уровень ЕГЭ-2012 (С1, С3). Тематические тесты. Уравнения, неравенства, системы / под редакцией Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. - Ростов-на-Дону: Легион-М, 2011. - 112 с.-(Готовимся к ЕГЭ) ISBN 978-5-91724-094-7
6. Выпускнику 2004. Математика. Сборник задач для подкотовки к ЕГЭ. Часть 1. И. В. Бойков, Л. Д. Романова.

Методические разработки к элективному курсу

«Методы решений иррациональных уравнений»»

ВВЕДЕНИЕ

Предлагаемый элективный курс «Методы решений иррациональных уравнений» предназначен для учащихся 11 класса общеобразовательной школы и является предметно-ориентированным, направлен на расширение теоретических и практических знаний учащихся. Элективный курс построен с опорой на знания и умения, получаемые учащимися при изучении математики в средней школе.

Специфика данного курса заключается в том, что он предназначен в первую очередь для учащихся, желающих расширить, углубить, систематизировать, обобщить свои математические знания, изучить единые методы и приемы решения иррациональных уравнений. В программу включены вопросы, частично выходящие за рамки ныне действующих программ по математике и нестандартные методы, которые позволяют более эффективно решать разные задачи.

Большинство заданий ЕГЭ требуют от выпускников владения различными методами решения разного рода уравнений и их систем. Материал, связанный с уравнениями и системами уравнений, составляет значительную часть школьного курса математики. Актуальность выбора темы элективного курса определяется значимостью темы «Иррациональные уравнения» в школьном курсе математики и, вместе с тем, нехваткой времени на рассмотрение нестандартных методов и подходов к решению иррациональных уравнений, которые встречаются в заданиях группы «С» ЕГЭ.

Наряду с основой задачей обучения математике -обеспечение прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений – данный элективный курс предусматривает формирование устойчивого интереса к предмету, развитие математических способностей, повышение уровня математической культуры учащихся, создает базу для успешной сдачи ЕГЭ и продолжения обучения в ВУЗах.

Цель курса:

Повысить уровень понимания и практической подготовки при решении иррациональных уравнений;

Изучить приёмы и методы решения иррациональных уравнений;

Формировать умение анализировать, выделять главное, формировать элементы творческого поиска на основе приёмов обобщения;

Расширить знания учащихся по данной теме, совершенствовать умения и навыки решения различных задач для успешной сдачи ЕГЭ.

Задачи курса:

Расширение знаний о методах и способах решения алгебраических уравнений;

Обобщение и систематизация знаний при обучении в 10-11 классах и подготовке к ЕГЭ;

Развитие умения самостоятельно приобретать и применять знания;

Приобщение учащихся к работе с математической литературой;

Развитие логического мышления учащихся, их алгоритмической культуры и математической интуиции;

Повышение математической культуры ученика.

Программа элективного курса предполагает изучение различных методов и подходов при решении иррациональных уравнений, отработку практических навыков по рассматриваемым вопросам. Курс рассчитан на 17 часов.

Программа усложнена, превосходит обычный курс обучения, способствует развитию абстрактного мышления, расширяет область познания учащегося. Вместе с тем она сохраняет преемственность с действующими программами, являясь их логическим продолжением.

Учебно-тематический план

№п/п

Тема занятий

Кол-во часов

Решение уравнений с учетом области допустимых значений

Решение иррациональных уравнений путем возведения в натуральную степень

Решение уравнений методом введения вспомогательных переменных (метод замены)

Решение уравнения с радикалом третьей степени.

Тождественные преобразования при решении иррациональных уравнений

Нетрадиционные задачи. Задачи группы «С» ЕГЭ

Формы контроля: домашние контрольные, самостоятельные работы, рефераты и исследовательские работы.

В результате обучения данного элективного курса учащиеся должны уметь решать различные иррациональные уравнения, используя стандартные и нестандартные методы и приемы;

усвоить алгоритм решения стандартных иррациональных уравнений;

уметь использовать свойства уравнений для решения нестандартных заданий;

уметь выполнять тождественные преобразования при решении уравнений;

иметь четкое представление о темах единого государственного экзамена, об основных методах их решений;

приобрести опыт в выборе методов для решения нестандартных задач.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ.

Уравнения, в которых неизвестная величина находится под знаком радикала, называются иррациональными.

К простейшим иррациональным уравнениям относятся уравнения вида:

Основная идея решения иррационального уравнения состоит в сведении его к рациональному алгебраическому уравнению, которое либо равносильно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием. При решении иррациональных уравнений речь всегда идет об отыскании действительных корней.

Рассмотрим некоторые способы решения иррациональных уравнений.

1.Решение иррациональных уравнений с учетом области допустимых значений (ОДЗ).

Область допустимых значений иррационального уравнения состоит из тех значений неизвестных, при которых неотрицательными являются все выражения, стоящие под знаком радикала четной степени.

Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение не имеет решений, а иногда позволяет найти решения уравнения непосредственной подстановкой чисел из ОДЗ .

Пример1 . Решить уравнение .

Решение . Найдя ОДЗ этого уравнения, приходим к выводу, что ОДЗ исходного уравнения – одноэлементное множество . Подставив х=2 в данное уравнение, приходим к выводу, что х=2 – корень исходного уравнения.

Ответ : 2 .

Пример2.

Уравнение не имеет решений, т.к. при каждом допустимом значении переменной сумма двух неотрицательных чисел не может быть отрицательна.

Пример 3.
+ 3 =
.

ОДЗ:

ОДЗ уравнения пустое множество.

Ответ: уравнение корней не имеет.

Пример4. 3
−4
−
=−(2+
).

ОДЗ:

ОДЗ:
. Проверкой убеждаемся, что х=1 - корень уравнения.

Ответ: 1.

Докажите, что уравнение не имеет

корней.

1.
= 0.

2.
=1.

3. 5
.

4.
+
=2.

5.
=
.

Решите уравнение.

1. .

2. = 0.

3.
= 92.

4. = 0.

5.
+
+(х+3)(2005−х)=0.

2. Возведение обеих частей уравнения в натуральную степень , то есть переход от уравнения

(1)

к уравнению

. (2)

Справедливы следующие утверждения:

1) при любом уравнение (2) является следствием уравнения (1);

2) если (n – нечетное число), то уравнения (1) и (2) равносильны ;

3) если (n – четное число), то уравнение (2) равносильно уравнению

, (3)

а уравнение (3) равносильно совокупности уравнений

. (4)

В частности, уравнение

(5)

равносильно совокупности уравнений (4).

Пример 1 . Решить уравнение

.

Уравнение равносильно системе

откуда следует, что х=1 , а корень не удовлетворяет второму неравенству. При этом грамотное решение не требует проверки.

Ответ: х=1 .

Пример 2 . Решить уравнение .

Решая первое уравнение этой системы, равносильное уравнению , получим корни и . Однако при этих значениях x не выполняется неравенство , и потому данное уравнение не имеет корней.

Ответ : корней нет.

Пример 3 . Решить уравнение

Уединив первый радикал, получаем уравнение

равносильное исходному.

Возводя обе части этого уравнения в квадрат, так как они обе положительны, получаем уравнение

,

которое является следствием исходного уравнения. Возводя обе части этого уравнения в квадрат при условии, что , приходим к уравнению

.

Это уравнение имеет корни , . Первый корень удовлетворяет исходному условию , а второй – не удовлетворяет.

Ответ : х=2 .

Если уравнение содержит два и более радикалов, то их сначала уединяют, а потом возводят в квадрат.

Пример 1.

Уединив первый радикал, получим уравнение , равносильное данному. Возведем в квадрат обе части уравнения:

Выполнив необходимые преобразования, полученное уравнение возведем в квадрат

Выполнив проверку, замечаем, что

не входит в область допустимых значений.

Ответ: 8.

Ответ: 2

Ответ: 3; 1,4 .

3. Многие иррациональные уравнения решаются методом введения вспомогательных переменных.

Удобным средством решения иррациональных уравнений иногда является метод введения новой переменной, или «метод замены». Метод обычно применяется в случае, если в уравнении неоднократно встречается некоторое выражение , зависящее от неизвестной величины. Тогда имеет смысл обозначить это выражение какой-нибудь новой буквой и попытаться решить уравнение сначала относительно введенной неизвестной, а потом уже найти исходную неизвестную.

Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной. Новая переменная иногда очевидна, иногда несколько завуалирована, но «ощущается», а иногда «проявляется» лишь в процессе преобразований.

Пример 1.

Пусть
t>0, тогда

t =
,

t 2 +5t-14=0,

t 1 =-7, t 2 =2. t=-7 не удовлетворяет условию t>0, тогда

,

х 2 -2х-5=0,

х 1 =1-
, х 2 =1+
.

Ответ: 1-
; 1+
.

Пример 2. Решить иррациональное уравнение

Замена:

Обратная замена: /

Ответ:

Пример 3. Решите уравнение .

Сделаем замены: , . Исходное уравнение перепишется в виде , откуда находим, что а = 4b и . Далее, возводя обе части уравнения в квадрат, получаем: Отсюда х = 15 . Осталось сделать проверку:

- верно!

Ответ: 15.

Пример 4 . Решить уравнение

Положив , получим существенно более простое иррациональное уравнение . Возведем обе части уравнения в квадрат: .

; ;

; ; , .

Проверка найденных значений, их подстановка в уравнение показывает, что – корень уравнения, а – посторонний корень.

Возвращаясь к исходной переменной x , получаем уравнение , то есть квадратное уравнение , решив которое находим два корня: ,. Оба корня удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ : , .

Замена особенно полезна, если в результате достигается новое качество, например, иррациональное уравнение превращается в рациональное.

Пример 6 . Решить уравнение .

Перепишем уравнение так: .

Видно, что если ввести новую переменную , то уравнение примет вид , откуда - посторонний корень и .

Из уравнения получаем , .

Ответ : , .

Пример 7 . Решить уравнение .

Введем новую переменную , .

В результате исходное иррациональное уравнение принимает вид квадратного

,

откуда учитывая ограничение , получаем . Решая уравнение , получаем корень . Ответ : 2,5.

Задания для самостоятельного решения.

1.
+
=
.

2.
+
=.

3.
.

5.
.

4.Метод введения двух вспомогательных переменных.

Уравнения вида (здесь a , b , c , d – некоторые числа, m , n – натуральные числа) и ряд других уравнений часто удается решить при помощи введения двух вспомогательных неизвестных: и , где и последующего перехода к эквивалентной системе рациональных уравнений .

Пример 1 . Решить уравнение .

Возведение обеих частей этого уравнения в четвертую степень не обещает ничего хорошего. Если же положить , , то исходное уравнение переписывается так: . Поскольку мы ввели две новые неизвестные, надо найти еще одно уравнение, связывающее y и z . Для этого возведем равенства , в четвертую степень и заметим, что . Итак, надо решить систему уравнений

Возведением в квадрат получаем:

После подстановки имеем: или . Тогда система имеет два решения: , ; , , а система не имеет решений.

Остается решить систему двух уравнений с одним неизвестным

и систему Первая из них дает , вторая дает .

Ответ : , .

Пример 2.

Пусть

Ответ:

5. Уравнения с радикалом третьей степени.
При решении уравнений, содержащих радикалы 3-й степени, бывает полезно пользоваться сложением тождествами:

Пример 1. .
Возведём обе части этого уравнения в 3-ю степень и воспользуемся выше приведённым тождеством:

Заметим, что выражение стоящее в скобках равно 1, что следует из первоначального уравнения. Учитывая это и приводя подобные члены, получим:
Раскроем скобки, приведём подобные члены и решим квадратное уравнение. Его корни и . Если считать (по определению), что корень нечётной степени можно извлекать и из отрицательных чисел, то оба полученных числа являются решениями исходного уравнения.
Ответ: .

6.Умножение обеих частей уравнения на сопряженное одной из них выражение.

Иногда иррациональное уравнение удается решить довольно быстро, если обе его части умножить на удачно подобранную функцию. Конечно, при умножении обеих частей уравнения на некоторую функцию могут появиться посторонние решения, ими могут оказаться нули самой этой функции. Поэтому предлагаемый метод требует обязательного исследования получающихся значений.

Пример 1. Решите уравнение

Решение: Выберем функцию

Умножим обе части уравнения на выбранную функцию:

Приведем подобные слагаемые и получим равносильное уравнение

Сложим исходное уравнение и последнее, получим

Ответ: .

7.Тождественные преобразования при решении иррациональных уравнений

При решении иррациональных уравнений часто приходится применять тождественные преобразования, связанные с использованием известных формул. К сожалению, эти действия иногда столь же небезопасны, так же как возведение в четную степень, – могут приобретаться или теряться решения.

Рассмотрим несколько ситуаций, в которых эти проблемы наступают, и научимся их распознать и предотвращать.

I. Пример 1 . Решить уравнение .

Решение. Здесь применима формула .

Только необходимо задуматься о безопасности ее применения. Нетрудно видеть, что ее левая и правая части имеют разные области определения и что это равенство верно лишь при условии . Поэтому исходное уравнение равносильно системе

Решая уравнение этой системы, получим корни и . Второй корень не удовлетворяет совокупности неравенств системы и, следовательно, является посторонним корнем исходного уравнения.

Ответ: -1 .

II .Следующее опасное преобразование при решении иррациональных уравнений, определяется формулой .

Если пользоваться этой формулой слева направо, расширяется ОДЗ и можно приобрести посторонние решения. Действительно, в левой части обе функции и должны быть неотрицательны; а в правой неотрицательным должно быть их произведение.

Рассмотрим пример, где реализуется проблема с использованием формулы .

Пример 2 . Решить уравнение .

Решение. Попробуем решить это уравнение разложением на множители

Заметим, что при этом действии оказалось потерянным решение , так как оно подходит к исходному уравнению и уже не подходит к полученному: не имеет смысла при . Поэтому это уравнение лучше решать обычным возведением в квадрат

Решая уравнение этой системы, получим корни и . Оба корня удовлетворяют неравенству системы.

Ответ: , .

III .Существует еще более опасное действие – сокращение на общий множитель.

Пример 3 . Решить уравнение .

Неверное рассуждение: Сократим обе части уравнения на , получим .

Нет ничего более опасного и неправильного, чем это действие. Во-первых, подходящее решение исходного уравнения было потеряно; во-вторых, было приобретено два посторонних решения . Получается, что новое уравнение не имеет ничего общего с исходным! Приведем правильное решение.

Решение . Перенесем все члены в левую часть уравнения и разложим ее на множители

.

Это уравнение равносильно системе

которая имеет единственное решение .

Ответ: 3 .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В рамках изучения элективного курса показаны нестандартные приемы решения сложных задач, которые успешно развивают логическое мышление, умение найти среди множества способов решения тот, который комфортен для ученика и рационален. Этот курс требует от учащихся большой самостоятельной работы, способствует подготовке учащихся к продолжению образования, повышения уровня математической культуры.

В работе были рассмотрены основные методы решения иррациональных уравнений, некоторые подходы к решению уравнений высших степеней, использование которых предполагается при решении заданий ЕГЭ, а также при поступлении в ВУЗы и продолжении математического образования. Также было раскрыто содержание основных понятий и утверждений, относящихся к теории решения иррациональных уравнений. Определив самый распространённый метод решения уравнений, выявили его применение в стандартных и не стандартных ситуациях. Кроме того, были рассмотрены типичные ошибки при выполнении тождественных преобразований и способы их преодоления.

При прохождении курса учащиеся получат возможность овладеть различными методами и приемами решения уравнений, при этом научатся систематизировать и обобщать теоретические сведения, самостоятельно заниматься поиском решения некоторых проблем и в связи с этим составлять ряд задач и упражнений по данным темам. Выбор сложного материала поможет школьникам проявить себя в исследовательской деятельности.

Положительной стороной курса является возможность дальнейшего применения учащимися изученного материала при сдаче ЕГЭ, поступлении в ВУЗы.

Отрицательной стороной является то, что не каждый учащийся в состоянии овладеть всеми приемами данного курса, даже имея на то желание, ввиду трудности большинства решаемых задач.

ЛИТЕРАТУРА:

Шарыгин И.Ф. « Математика для поступающих в вузы».-3-е изд.,-М.:Дрофа, 2000.

Уравнения и неравенства. Справочное пособие./ Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. –М.: Экзамен,1998.

Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. «Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену». – 8-е изд., испр. и доп. – М.:Айрис, 2003. – (Домашний репетитор)

Балаян Э.Н. Комплексные упражнения и варианты тренировочных заданий к ЕГЭ по математике. Ростов на – Дону: Изд-во «Феникс», 2004.

Сканави М.И. «Сборник задач по математике для поступающих в вузы». - М., «Высшая школа»,1998.

Игусман О.С. «Математика на устном экзамене». - М.,Айрис,1999.

Экзаменационные материалы для подготовки к ЕГЭ – 2008 – 2012.

В.В.Кочагин, М.Н.Кочагина «ЕГЭ – 2010. Математика. Репетитор» Москва «Просвещение» 2010г.

В.А.Гусев, А.Г.Мордкович «Математика. Справочные материалы» Москва «Просвещение» 1988г.