Для решения большинства задач в математике средней школы необходимо знание по составлению пропорций. Это несложное умение поможет не только выполнять сложные упражнения из учебника, но и углубиться в саму суть математической науки. Как составить пропорцию? Сейчас разберем.
Самым простым примером является задача, где известны три параметра, а четвертый необходимо найти. Пропорции бывают, конечно, разные, но часто требуется найти по процентам какое-нибудь число. Например, всего у мальчика было десять яблок. Четвертую часть он подарил своей маме. Сколько осталось яблок у мальчика? Это самый простой пример, который позволит составить пропорцию. Главное это сделать. Изначально было десять яблок. Пусть это 100%. Это мы обозначили все его яблоки. Он отдал одну четвертую часть. 1/4=25/100. Значит, у него осталось: 100% (было изначально) - 25% (он отдал) = 75%. Эта цифра показывает процентное отношение количества оставшихся фруктов к количеству имевшихся сначала. Теперь у нас есть три числа, по которым уже можно решить пропорцию. 10 яблок - 100%, х яблок - 75%, где х - искомое количество фруктов. Как составить пропорцию? Необходимо понимать, что это такое. Математически это выглядит так. Знак равно поставлен для вашего понимания.
10 яблок = 100%;
x яблок = 75%.
Оказывается, что 10/x = 100%/75. Это и есть основное свойство пропорций. Ведь чем больше x, тем больше процентов составляет это число от исходного. Решаем эту пропорцию и получаем, что x=7,5 яблок. Почему мальчик решил отдать нецелое количество, нам неизвестно. Теперь вы знаете, как составить пропорцию. Главное, найти два соотношения, в одном из которых есть искомое неизвестное.
Решение пропорции часто сводится к простому умножению, а потом к делению. В школах детям не объясняют, почему это именно так. Хотя важно понимать, что пропорциональные отношения есть математическая классика, сама суть науки. Для решения пропорций необходимо уметь обращаться с дробями. Например, часто приходится переводить проценты в обыкновенные дроби. То есть запись 95% не подойдет. А если сразу написать 95/100, то можно провести солидные сокращения, не начиная основного подсчета. Сразу стоит сказать, что если ваша пропорция получилась с двумя неизвестными, то ее не решить. Никакой профессор вам здесь не поможет. А ваша задача, скорее всего, имеет более сложный алгоритм правильных действий.
Рассмотрим еще один пример, где нет процентов. Автомобилист купил 5 литров бензина за 150 рублей. Он подумал о том, сколько он бы заплатил за 30 литров топлива. Для решения этой задачи обозначим за x искомое количество денег. Можете самостоятельно решить эту задачу и потом проверить ответ. Если вы еще не поняли, как составить пропорцию, то смотрите. 5 литров бензина - это 150 рублей. Как и в первом примере, запишем 5л - 150р. Теперь найдем третье число. Конечно, это 30 литров. Согласитесь, что пара 30 л - х рублей уместна в данной ситуации. Перейдем на математический язык.
5 литров - 150 рублей;
30 литров - х рублей;
Решаем эту пропорцию:
x = 900 рублей.
Вот и решили. В своей задаче не забудьте проверить на адекватность ответ. Бывает, что при неправильном решении автомобили достигают нереальных скоростей в 5000 километров в час и так далее. Теперь вы знаете, как составить пропорцию. Также вы сможете ее решить. Как видите, в этом нет ничего сложного.
Пропорция в переводе с латинского языка (proportio) означает соотношение, выравненность частей, то есть равенство двух отношений. Умение вычислять пропорции часто бывает необходимым в бытовых ситуациях.
Инструкция
Простой пример, когда необходимо применить знания о решении пропорций: как вычислить 13% от вашей заработной платы – те самые проценты, которые уходят в Пенсионный фонд.
Напишите две строчки пропорции. В первой укажите общую сумму зарплаты, которая представляет собой 100%, то есть, например, 15 000 (рублей) = 100%.
Строчкой ниже обозначьте ту сумму, которую нужно вычислить, знаком «Х», который равен 13%, то есть Х = 13%.
Основное свойство пропорции звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов. Это значит, что если вы помножите 15 000 на 13, то полученное число будет равняться значению Х, помноженному на 100. То есть перемножая члены пропорции крест накрест, вы получите одинаковое значение.
Чтобы вычислить, чему равен в конечном итоге Х, умножьте 15 000 на 13 и разделите на 100. У вас получится, что 13 процентов от вашей зарплаты составляет 1950 рублей, таким образом, на руки вы получаете 15 000 – 1950 = 13 050 рублей чистой зарплаты.
Если вам нужно взять для пирога 100 граммов сахарной пудры, а вы знаете, что в одном граненом стакане помещается 140 граммов, составьте следующую пропорцию:
Подсчитайте, чему равен Х.
Х = 100 х 1 / 140 = 0,7
То есть вам понадобится 0,7 стакана сахарной пудры.
Бывает, что нужно вычислить целое, зная только процентную часть. Например, вы знаете, что 21 человек на предприятии, а это 5% от общего количества сотрудников, имеют среднее специальное образование. Составьте пропорцию, чтобы вычислить общее количество сотрудников: Х (человек) = 100%, 21 = 5%. 21 х 100 / 5 = 420 человек.
Таким образом, записав в две строки имеющиеся данные, значение неизвестного члена нужно находить так: помножьте между собой те члены пропорции, которые оказываются рядом и сверху неизвестного и разделите полученное число на значение, которое находится по диагонали от неизвестного.
А = Б х С / Д- Б = А х Д / С- С = А х Д / Б- Д = С х Б / А
В прошлом видеоуроке мы рассматривали решение задач на проценты с помощью пропорций. Тогда по условию задачи нам требовалось найти значение той или иной величины.
В этот раз исходное и конечное значения нам уже даны. Поэтому в задачах будет требоваться найти проценты. Точнее, на сколько процентов изменилась та или иная величина. Давайте попробуем.
Задача. Кроссовки стоили 3200 рублей. После повышения цены они стали стоить 4000 рублей. На сколько процентов была повышена цена на кроссовки?
Итак, решаем через пропорцию. Первый шаг — исходная цена была равна 3200 рублей. Следовательно, 3200 рублей — это 100%.
Кроме того, нам дана конечная цена — 4000 рублей. Это неизвестное количество процентов, поэтому обозначим его за x . Получим следующую конструкцию:
3200 — 100%
4000 — x
%
Что ж, условие задачи записано. Составляем пропорцию:
Дробь слева прекрасно сокращается на 100: 3200: 100 = 32; 4000: 100 = 40. Кроме того, можно сократить на 4: 32: 4 = 8; 40: 4 = 10. Получим следующую пропорцию:
Воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних. Получаем:
8 · x
= 100 · 10;
8x
= 1000.
Это обычное линейное уравнение. Отсюда находим x :
x = 1000: 8 = 125
Итак, мы получили итоговый процент x = 125. Но является ли число 125 решением задачи? Нет, ни в коем случае! Потому что в задачи требуется узнать, на сколько процентов была повышена цена на кроссовки.
На сколько процентов — это значит, что нам нужно найти изменение:
∆ = 125 − 100 = 25
Получили 25% — именно настолько была повышена исходная цена. Это и является ответом: 25.
Задача B2 на проценты №2
Переходим ко второй задаче.
Задача. Рубашка стоила 1800 рублей. После снижения цены она стала стоить 1530 рублей. На сколько процентов была снижена цена на рубашку?
Переводим условие на математический язык. Исходная цена 1800 рублей — это 100%. А итоговая цена 1530 рублей — она нам известна, но неизвестно, сколько процентов она составляет от исходной величины. Поэтому обозначим ее за x . Получим следующую конструкцию:
1800 — 100%
1530 — x
%
На основе полученной записи составляем пропорцию:
Давайте для упрощения дальнейших вычислений разделим обе части данного уравнения на 100. Другими словами, у числителя левой и правой дроби мы зачеркнем два нуля. Получим:
Теперь снова воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних.
18 · x
= 1530 · 1;
18x
= 1530.
Осталось найти x :
x = 1530: 18 = (765 · 2) : (9 · 2) = 765: 9 = (720 + 45) : 9 = 720: 9 + 45: 9 = 80 + 5 = 85
Мы получили, что x = 85. Но, как и в прошлой задаче, это число само по себе не является ответом. Давайте вернемся к нашему условию. Теперь мы знаем, что новая цена, полученная после снижения, составляет 85% от старой. И для того, чтобы найти изменения, нужно из старой цены, т.е. 100%, вычесть новую цену, т.е. 85%. Получим:
∆ = 100 − 85 = 15
Это число и будет ответом: Обратите внимание: именно 15, а ни в коем случае не 85. Вот и все! Задача решена.
Внимательные ученики наверняка спросят: почему в первой задаче мы при нахождении разности вычитали из конечного числа начальное, а во второй задаче поступили в точности до наоборот: из исходных 100% вычли конечные 85%?
Давайте проясним этот момент. Формально, в математике изменением величины всегда называется разность между конечным значением и начальным. Другими словами, во второй задаче у нас должно было получиться не 15, а −15.
Однако этот минус ни в коем случае не должен попасть в ответ, потому что он уже учтен в условии исходной задачи. Там прямо сказано о снижении цены. А снижение цены на 15% — это то же самое, что повышение цены на −15%. Именно поэтому в решении и ответе задачи достаточно написать просто 15 — без всяких минусов.
Все, надеюсь, с этим моментом мы разобрались. На этом наш сегодняшний урок закончен. До новых встреч!
Один процент - это сотая часть от числа. Данное понятие используется, когда нужно обозначить отношение доли к целому. Кроме этого, в процентах можно сравнивать несколько величин, при этом обязательно указывая, относительного какого целого проценты вычисляются. Например, расходы выше доходов на 10 % или цена на железнодорожные билеты возросла на 15 % в сравнении с тарифами прошлого года. Число процентов выше 100 означает, что доля превышает целое, как часто бывает при статистических расчетах.
Процент как финансовое понятие - плата, заемщика кредитору за предоставление денег во временное пользование. В бизнесе встречается выражение «работать за проценты». В данном случае подразумевается, что размер вознаграждения зависит от прибыли или оборота (комиссионные). Обойтись без вычисления процентов невозможно в бухгалтерии, бизнесе, банковском деле. Чтобы упростить расчеты, разработан онлайн-калькулятор процентов.
Калькулятор позволяет вычислить:
- Процент от заданного значения.
- Процент из суммы (налог по фактической зарплате).
- Процент от разницы (НДС из ).
- И многое другое...
При решении задач на калькуляторе процентов нужно оперировать тремя значениями, одно из которых неизвестно (по заданным параметрам вычисляется переменная). Сценарий расчета следует выбирать, исходя из заданных условий.
Примеры расчетов
1. Вычисление процента от числа
Чтобы найти число, составляющее 25 % от 1 000 руб., нужно:
- 1 000 × 25 / 100 = 250 руб.
- Или 1 000 × 0,25 = 250 руб.
Для расчета на обычном калькуляторе, нужно 1 000 умножить на 25 и нажать кнопку %.
2. Определение целого числа (100 %)
Мы знаем, что 250 руб. составляет 25 % от какого-то числа. Как его вычислить?
Составим простую пропорцию:
- 250 руб. - 25 %
- Y руб. - 100 %
- Y = 250 × 100 / 25 = 1 000 руб.
3. Процент между двумя числами
Допустим, предполагалась прибыль 800 руб., а получили 1 040 руб. Каков процент превышения?
Пропорция будет такой:
- 800 руб. - 100 %
- 1 040 руб. – Y %
- Y = 1 040 × 100 / 800 = 130 %
Перевыполнения плана по прибыли - 30 %, то есть выполнение - 130 %.
4. Расчет не из 100 %
Например, в магазин, состоящий из трех отделов, приходят 100 % покупателей. В продуктовый отдел - 800 человек (67 %), в отдел бытовой химии - 55. Какой процент покупателей приходит в отдел бытовой химии?
Пропорция:
- 800 посетителей – 67 %
- 55 посетителей - Y %
- Y = 55 × 67 / 800 = 4,6 %
5. На сколько процентов одно число меньше другого
Цена товара упала с 2 000 до 1 200 руб. На сколько процентов подешевел товар или на сколько процентов 1 200 меньше 2 000?
- 2 000 - 100 %
- 1 200 – Y %
- Y = 1 200 × 100 / 2 000 = 60 % (60 % к цифре 1 200 от 2 000)
- 100 % − 60 % = 40 % (число 1 200 меньше 2 000 на 40 %)
6. На сколько процентов одно число больше другого
Зарплата выросла с 5 000 до 7 500 рублей. На сколько процентов увеличилась зарплата? На сколько процентов 7 500 больше 5 000?
- 5 000 руб. - 100 %
- 7 500 руб. - Y %
- Y = 7 500 × 100 / 5 000 = 150 % (в цифре 7 500 150 % от 5 000)
- 150 % − 100 % = 50 % (число 7 500 больше 5 000 на 50 %)
7. Увеличение числа на определенный процент
Цена товара S выше 1 000 руб. на 27 %. Какова цена товара?
- 1 000 руб. – 100 %
- S - 100 % + 27 %
- S = 1 000 × (100 + 27) / 100 = 1 270 руб.
Онлайн-калькулятор делает вычисления намного проще: вам нужно выбрать вид расчета, ввести число и процент (в случае вычисления процентного соотношения - второе число), указать точность расчета и дать команду о начале действий.
Сегодня мы продолжаем серию видеоуроков, посвященных задачам на проценты из ЕГЭ по математике. В частности, разберем две вполне реальных задачи из ЕГЭ и еще раз убедимся, насколько важно внимательно читать условие задачи и правильно его интерпретировать.
Итак, первая задача:
Задача. Только 95% и 37 500 выпускников города правильно решили задачу B1. Сколько человек правильно решили задачу B1?
На первый взгляд кажется, что это какая-то задача для кэпов. Наподобие:
Задача. На дереве сидело 7 птичек. 3 из них улетело. Сколько птичек улетело?
Тем не менее, давай все-таки сосчитаем. Решать будем методом пропорций. Итак, у нас есть 37 500 учеников — это 100%. А также есть некое число x учеников, которое составляет 95% тех самых счастливчиков, которые правильно решили задачу B1. Записываем это:
37 500 — 100%
X
— 95%
Нужно составить пропорцию и найти x . Получаем:
Перед нами классическая пропорция, но прежде чем воспользоваться основным свойством и перемножить ее крест-накрест, предлагаю разделить обе части уравнения на 100. Другими словами, зачеркнем в числителе каждой дроби по два нуля. Перепишем полученное уравнение:
По основному свойству пропорции, произведение крайних членов равно произведению средних членов. Другими словами:
x = 375 · 95
Это довольно большие числа, поэтому придется умножать их столбиком. Напоминаю, что пользоваться калькулятором на ЕГЭ по математике категорически запрещено. Получим:
x = 35 625
Итого ответ: 35 625. Именно столько человек из исходных 37 500 решили задачу B1 правильно. Как видите, эти числа довольно близки, что вполне логично, потому что 95% тоже очень близки к 100%. В общем, первая задача решена. Переходим к второй.
Задача на проценты №2
Задача. Только 80% из 45 000 выпускников города правильно решили задачу B9. Сколько человек решили задачу B9 неправильно?
Решаем по той же самой схеме. Изначально было 45 000 выпускников — это 100%. Затем из этого количества надо выбрать x выпускников, которые должны составить 80% от исходного количества. Составляем пропорцию и решаем:
45 000 — 100%
x
— 80%
Давайте сократим по одному нулю в числителе и знаменателе 2-й дроби. Еще раз перепишем полученную конструкцию:
Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних. Получаем:
45 000 · 8 = x · 10
Это простейшее линейное уравнение. Выразим из него переменную x :
x = 45 000 · 8: 10
Сокращаем по одному нулю у 45 000 и у 10, в знаменателе остается единица, поэтому все, что нам нужно — это найти значение выражения:
x = 4500 · 8
Можно, конечно, поступить так же, как в прошлый раз, и перемножить эти числа столбиком. Но давайте не будем сами себе усложнять жизнь, и вместо умножения столбиком разложим восьмерку на множители:
x = 4500 · 2 · 2 · 2 = 9000 · 2 · 2 = 36 000
А теперь — самое главное, о чем я говорил в самом начале урока. Нужно внимательно читать условие задачи!
Что от нас требуется узнать? Сколько человек решили задачу B9 неправильно . А мы только что нашли тех людей, которые решили правильно. Таких оказалось 80% от исходного числа, т.е. 36 000. Это значит, что для получения окончательного ответа надо вычесть из исходной численности учеников наши 80%. Получим:
45 000 − 36 000 = 9000
Полученное число 9000 — это и есть ответ к задаче. Итого в этом городе из 45 000 выпускников 9000 человек решили задачу B9 неправильно. Все, задача решена.