Лекция 26. Уравнения с одной переменной
1. Понятие уравнения с одной переменной
2. Равносильные уравнения. Теоремы о равносильности уравнений
3. Решение уравнений с одной переменной
Уравнения с одной переменной
Возьмем два выражения с переменной: 4 х и 5 х + 2. Соединив их знаком равенства, получим предложение 4х = 5 х + 2. Оно содержит переменную и при подстановке значений переменной обращается в высказывание. Например, при х = -2 предложение 4х = 5 х + 2 обращается в истинное числовое равенство 4 ·(-2) = 5 ·(-2) + 2, а при х = 1 - в ложное 4·1 = 5·1 + 2. Поэтому предложение 4х = 5х + 2 есть высказывательная форма. Ее называют уравнением с одной переменной.
В общем виде уравнение с одной переменной можно определить так:
Определение. Пусть f(х) и g(х) - два выражения с переменной х и областью определения X. Тогда высказывательная форма вида f(х) =g(х) называется уравнением с одной переменной.
Значение переменной х из множества X, при котором уравнение обращается в истинное числовое равенство, называется корнем уравнения (или его решением). Решить уравнение - это значит найти множество его корней.
Так, корнем уравнения 4х = 5х + 2, если рассматривать его на множестве R действительных чисел, является число -2. Других корней это уравнение не имеет. Значит множество его корней есть {-2}.
Пусть на множестве действительных чисел задано уравнение (х - 1)(х + 2) = 0. Оно имеет два корня - числа 1 и -2. Следовательно, множество корней данного уравнения таково: {-2,-1}.
Уравнение (3х + 1)-2 = 6 х + 2, заданное на множестве действительных чисел, обращается в истинное числовое равенство при всех действительных значениях переменной х : если раскрыть скобки в левой части, то получим 6х + 2 = 6х + 2. В этом случае говорят, что его корнем является любое действительное число, а множеством корней множество всех действительных чисел.
Уравнение (3х + 1)·2 = 6 х + 1, заданное на множестве действительных чисел, не обращается в истинное числовое равенство ни при одном действительном значении х: после раскрытия скобок в левой части получаем, что 6 х + 2 = 6х + 1, что невозможно ни при одном х. В этом случае говорят, что данное уравнение не имееткорней и что множество его корней пусто.
Чтобы решить какое-либо уравнение, его сначала преобразовывают, заменяя другим, более простым; полученное уравнение опять преобразовывают, заменяя более простым, и т.д. Этот процесс продолжают до тех пор, пока не получают уравнение, корни которого можно найти известным способом. Но чтобы эти корни были корнями заданного уравнения, необходимо, чтобы в процессе преобразований получились уравнения, множества корней которых совпадают. Такие уравнения называют равносильными.
Лекция 26. Уравнения с одной переменной
1. Понятие уравнения с одной переменной
2. Равносильные уравнения. Теоремы о равносильности уравнений
3. Решение уравнений с одной переменной
Возьмем два выражения с переменной: 4 х и 5 х + 2. Соединив их знаком равенства, получим предложение 4х = 5 х + 2. Оно содержит переменную и при подстановке значений переменной обращается в высказывание. Например, при х = -2 предложение 4х = 5 х + 2 обращается в истинное числовое равенство 4 ·(-2) = 5 ·(-2) + 2, а при х = 1 - в ложное 4·1 = 5·1 + 2. Поэтому предложение 4х = 5х + 2 есть высказывательная форма. Ее называют уравнением с одной переменной.
В общем виде уравнение с одной переменной можно определить так:
Определение. Пусть f(х) и g(х) - два выражения с переменной х и областью определения X. Тогда высказывательная форма вида f(х) =g(х) называется уравнением с одной переменной.
Значение переменной х из множества X, при котором уравнение обращается в истинное числовое равенство, называется корнем уравнения (или его решением). Решить уравнение - это значит найти множество его корней.
Так, корнем уравнения 4х = 5х + 2, если рассматривать его на множестве R действительных чисел, является число -2. Других корней это уравнение не имеет. Значит множество его корней есть {-2}.
Пусть на множестве действительных чисел задано уравнение (х - 1)(х + 2) = 0. Оно имеет два корня - числа 1 и -2. Следовательно, множество корней данного уравнения таково: {-2,-1}.
Уравнение (3х + 1)-2 = 6 х + 2, заданное на множестве действительных чисел, обращается в истинное числовое равенство при всех действительных значениях переменной х : если раскрыть скобки в левой части, то получим 6х + 2 = 6х + 2. В этом случае говорят, что его корнем является любое действительное число, а множеством корней множество всех действительных чисел.
Уравнение (3х + 1)·2 = 6 х + 1, заданное на множестве действительных чисел, не обращается в истинное числовое равенство ни при одном действительном значении х: после раскрытия скобок в левой части получаем, что 6 х + 2 = 6х + 1, что невозможно ни при одном х. В этом случае говорят, что данное уравнение не имееткорней и что множество его корней пусто.
Чтобы решить какое-либо уравнение, его сначала преобразовывают, заменяя другим, более простым; полученное уравнение опять преобразовывают, заменяя более простым, и т.д. Этот процесс продолжают до тех пор, пока не получают уравнение, корни которого можно найти известным способом. Но чтобы эти корни были корнями заданного уравнения, необходимо, чтобы в процессе преобразований получились уравнения, множества корней которых совпадают. Такие уравнения называют равносильными.
§ 23. Линейное уравнение с одной переменной. Решение линейных уравнений с одной переменной и уравнений, сводящихся к ним
Мы зна емо, как решать уравнения 2х = -8; х - 5; 0,01 х -17.
Каждое из этих уравнений имеет вид ах = b , где х - переменная, а и b - некоторые числа.
Числа а и b называют коэффициентами уравнения.
Если а ≠ 0, то уравнение ах = b называют уравнением первой степени с одной переменной. Поделив обе части уравнения на а, получим х = , то есть являетсяединственным корнем этого уравнения является число
Если а - 0 и b - 0, то линейное уравнение имеет вид 0х - 0. Корнем такого уравнения является любое число, так как при любом значении х значение левой и правой частей уравнения равны и равны нулю. Поэтому уравнение 0х = 0 множество корней.
Если а - 0, а b ≠ 0, то линейное уравнение примет вид 0х - b . При этом не существует никакого значения переменной х, которое бы превращало левую и правую части уравнения на одно и то же число. Ведь значение левой части уравнения при любом значении х равен нулю, а значение правой части - числу b , отличном от нуля. Поэтому уравнение 0х = b при b ≠ 0 не имеет корней.
Систематизируем данные о решения линейного уравнения ах = b в виде схемы:
Пример 1. Решить уравнение:
Р а з в ’ я з а н н я.
1) 0,2 х = 7; х = 7: 0,2; х = 35.
Ответ: - 4.
3)0х = 7; уравнение не имеет корней.
Ответ: корней не имеет.
Процесс решения многих уравнений является сводом этих уравнений к лилейным путем равносильных преобразований по свойствам уравнений.
Пример 2. Решить уравнение:
1) 3(х + 1) - 2х = 6 - 4х;
Р а з в ’ я з а н н я.
1. Избавимся от знаменателей (если они есть):
1)3(х + 3) - 2х = 6 - 4х.
Умножим обе частили уравнения на 6 (6 - наименьший общий знаменатель дробей). Имеем:
3(х + 1) + 2(5 - х) = х + 13.
2. Раскроем скобки (если они есть):
3х + 9 - 2х = 6 - 4х;
3х + 3 + 10 - 2х = х + 13.
3. Перенесем слагаемые, содержащие переменную, в левую часть, а остальные - в правую, изменив знаки этих слагаемых на противоположные:
3х - 2х + 4х = 6 - 9;
3х - 2х - х = 13 - 3 - 10.
4. Сведем подобные слагаемые:
5. Решим полученное линейное уравнение:
Ответ: -0,6.
х - любое число.
Ответ: любое число.
Пример 3. Решить уравнение 5(х + г) = 3х - 7р в отношении х.
Р а з в ’ я з а н н я. Раскроем скобки в левой части уравнения: 5х + 5р - 3х - 7р. Перенесем слагаемое 3х в левую часть, а 5р - в правую. Имеем: 5х - 3х = -7р - 5р; 2х = -12р. Тогда х = (-12р) : 2; х = (-12: 2)г; х = -6р.
Ответ: -6р.
Какое уравнение называют линейным уравнением с одной переменной? Приведите примеры линейных уравнений. В каком случае уравнение ах - b имеет единственный корень? В любом случае корнем уравнения ах - b -любое число? В каком случае уравнение ах = b не имеет корней?
848. (Устно) Какое из уравнений является линейным:
5) х + 7 = х 2 ;
849. (Устно) Сколько корней имеет уравнение:
850. Выясните, какое из данных уравнений имеет только одно решение, не имеет решений, имеет бесконечное множество решений:
851. (Устно) Решите уравнение:
2) 0,5 х = -2,5;
3) -2,5 х = 7,5;
852. Решите уравнение:
6) -0,01 х = 0,17;
8)-1,2 х = -4,2;
853. Найдите корень уравнения:
6) 0,1 х = 0,18.
854. Определите, что должно быть записано справа в уравнении вместо пробелов, если известно его корень:
855. Найдите корень уравнения:
1) 7х + 14 = 0;
2) 0, 3х - 21 = 0,5 х - 23;
3) 1х + 3 = 6х - 13;
4) 5х + (3х - 7) = 9;
5) 47 = 10 - (9х + 2);
6) (3х + 2) - (8х + 6) = 14.
856. Решите уравнение:
2) 1,4 х - 12 = 0,9 х + 4;
3) 3х + 14 = 5х - 16;
4) 12 - (5х + 10) = -3;
5) 6 - (8х + 11) = -1;
6) (3х - 4) - (6 - 4х) = 4.
857. Какое из уравнений равносильно уравнению 5х = 10:
3) х + 2 = х + 1;
5) х = 8 - 3х;
6)1х - 7 = 4х?
858. Являются ли уравнения равносильными:
1) 4х - х = 17 3х = 17;
2) 5х - 9 = 3х и 6х = 21;
3) 2х = -12 и х + 6 = 0;
4) 12х = 0 15х = 15?
859.
1) 3х + 7 равен -2;
2) 4(х + 1) равно значению выражения 5х - 9?
860. При каком значении у:
1) значение выражения 5у - 13 равна -3;
2) значения выражений 3(в - 2) и 13у - 8 равны между собой?
861. Решите уравнение:
2) 2х - у = 1;
862. Найдите корень уравнения:
863. Составьте линейное уравнение, корнем которого является:
1) число -2;
2) число -0,2.
864. Составьте линейное уравнение:
1) не имеет корней;
2) корнем которого является любое число.
865. Составьте линейное уравнение, корнем которого было бы:
1) число -8;
2) любое число.
866. Найдите корень уравнения:
1)(4х - 2) + (5х - 4) - 9 - (5 - 11х);
2) (7 - 8х) - (9 - 12х) - (5х + 4) = -16;
3) 3(4х - 5) - 10(2х - 1) = 33;
4) 9(3(х + 1) 2х) = 7(х + 1).
867. Решите уравнение:
1) (9х - 4) + (15х - 5) = 18 - (25 - 22х);
2) (10х + 6) - (9 - 9х) + (8 - 11х) = -19;
3) 7(х - 1) - 3(2х + 1) = -х - 15;
4) 5(4(х - 1) - 3х) = 9х.
868.
1) 2х + а = х + а;
2) b + х = с - х;
3) 6х + 2m = х - 8m ;
4) 9а + х = 3b - 2х.
Р а з в ’ я з а н н я.
4) 9a - х = 3b - 2х; х + 2х = 3b - 9а; 3х = 3(b - 3a). Поделим обе части уравнения на 3. Получим: х = b - 3а.
Ответ: b - 3а.
869. Решите уравнение относительно х:
1) 7х + m = 2х + m ;
2) а + х = 2m - х;
3) 3х + b = 9b - х;
4) 5р + 2х = 10 - 3х.
870. Являются ли равносильными уравнения:
1) 2х - 4 = 2 и 5(х - 3) + 1 = 3х - 8;
2) 5х + 3 = 8 и 7(х - 2) + 20 = 4х + 3;
3) 5х = 0 и 0 х = 5;
4) 7х + 1 = 7х 2 и 5(х + 1) = 5х + 5;
5) 0: х = 7 и 0 ∙ х = 7;
6) 3(х - 2) = 3х - 6 и 2(х + 7) - 2(х + 1) + 12?
871. При каком значении у значение выражения:
1) 5у + 7 в три раза больше значения выражения у + 5;
2) 2у - 4 на 7,4 больше значения выражения 3 - 7у?
872. При каком значении х значение выражения:
1) 7х + 8 вдвое больше значения выражения х + 7;
2) 5х - 8 па 17,2 меньше значения выражения х + 2 ?
873. Составьте уравнение, которое было бы равносильно уравнению 7(2х - 8) = 5(7х - 8) - 15х.
874. При каком значении а уравнение:
1) 2ах = 16 имеет корень, равный 4;
2) 3х имеет корень, равный ;
3) 5(а + 1)х = 40 имеет корень, равный -1 ?
875. При каком значении b корнем уравнения:
1) 3b х = -24 является число -4;
2) (2а - 5)х = 45 с число 3?
876. Решите уравнение:
1) 4х + 7 = 3(х - 2) + х:
2) 2х + 5 - 2(х - 4) + 13;
3) 2х(1 - 3х) + 5х(3 - х) = 17х - 8х 2 ;
4) (7х - 3 + 2х 2 - 4х - 5) - (6х 3 - х 2 + 2х) = 3х 2 - (6х - х 3).
877. Найдите корень уравнения:
1) 3(х - 2) + 4х = 7(х -1) + 1;
2) 2(х + 1) + х = 6(х + 3);
3) 3х(2 + х) - 4 (1 - х 2) = 7х 2 + 6х;
4) (х 2 + 4х - 8) - (7х - 2х 2 - 5) = 3х 2 - (3х + 3).
878. Решите уравнение.
Равенство с переменной f(х) = g(х) называется уравнением с одной переменной х. Любое значение переменной, при котором f(х) и g(х) принимают равные числовые значения, называется корнем такого уравнения. Следовательно, решить уравнение – значит найти все корни уравнения или доказать, что их нет.
Уравнение x 2 + 1 = 0 не имеет действительных корней, но имеет корни мнимые: в данном случае это корни х 1 = i, х 2 = -i. В дальнейшем нас же будут интересовать лишь действительные корни уравнения.
Если уравнения имеют одинаковые корни, то они называются равносильными. Те уравнения, которые корней не имеют, относятся к равносильным.
Определим, равносильны ли уравнения:
а) х + 2 = 5 и х + 5 = 8
1. Решим первое уравнение
2. Решим второе уравнение
Корни уравнений совпадают, поэтому х + 2 = 5 и х + 5 = 8 равносильны.
б) x 2 + 1 = 0 и 2x 2 + 5 = 0
Оба данных уравнения не имеют действительных корней, поэтому являются равносильными.
в) х – 5 = 1 и x 2 = 36
1. Найдем корни первого уравнения
2. Найдем корни второго уравнения
х 1 = 6, х 2 = -6
Корни уравнений не совпадают, поэтому х – 5 = 1 и x 2 = 36 неравносильны.
При решении уравнения его стараются заменить равносильным, но более простым уравнением. Поэтому важно знать, в результате каких преобразований данное уравнение переходит в уравнений, равносильное ему.
Теорема 1. Если в уравнении из одной части в другую перенести какое-либо слагаемое, изменив при этом знак, то получится уравнение, равносильное данному.
Например, уравнение x 2 + 2 = 3х равносильно уравнению x 2 + 2 – 3х = 0.
Теорема 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число (не равное нулю), то получится уравнение, равносильное данному.
Например, уравнение (x 2 – 1)/3 = 2х равносильно уравнению x 2 – 1 = 6х. Обе части первого уравнения мы умножили на 3.
Линейным уравнением с одной переменной называется уравнение вида ах = b, где а и b – действительные числа, причем а называется коэффициентом при переменной, а b – свободным членом.
Рассмотрим три случая для линейного уравнения ах = b.
1. а ≠ 0. В таком случае х = b/а (т.к. а отлично от нуля).
2. а = 0, b = 0. Уравнение примет вид: 0 ∙ х = 0. Это уравнение верно при любом х, т.е. корень уравнения – любое действительное число.
3. а = 0, b ≠ 0. В данном случае уравнение не будет иметь корней, т.к. деление на нуль запрещено (0 ∙ х = b).
В результате преобразований многие уравнения сводятся к линейным.
Решим уравнения
а) (1/5)х + 2/15= 0
1. Перенесем компонент 2/15 из левой части уравнения в правую с противоположным знаком. Такое преобразование регламентируется теоремой 1. Итак, уравнение примет вид: (1/5)х = -2/15.
2. Чтобы избавиться от знаменателя, домножим обе части уравнения на 15. Сделать это позволяет нам теорема 2. Итак, уравнение примет вид:
(1/5)х ∙ 15= – 2/15 ∙ 15
Т.о., корень уравнения равен -2/3.
б) 2/3 + х/4 + (1 – х)/6 = 5х/12 – 1
1. Чтобы избавиться от знаменателя, домножим обе части уравнения на 12 (по теореме 2). Уравнение примет вид:
12(2/3 + х/4 + (1 – х)/6) = 12(5х/12 – 1)
8 + 3х + 2 – 2х = 5х – 12
10 + х = 5х – 12
2. Пользуясь теоремой 1, «соберем» все числа справа, а компоненты с х – слева. Уравнение примет вид:
10 +12 = 5х – х
Т.о., корень уравнения равен 5,5.
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Уравнение - это равенство, содержащее переменную, обозначенную буквой.
Корень уравнения (или решение уравнения) - это такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство.
Пример: решим уравнение (то есть найдем корень уравнения): 4x - 15 = x + 15
Итак:
4х - х = 15 + 15
3х = 30
х = 30: 3
х = 10
Результат: уравнение имеет один корень - число 10.
Уравнение может иметь и два, три, четыре и более корней.
Например, уравнение (х
- 4)(х
- 5)(х
- 6) = 0 имеет три корня:
4, 5 и 6.
Уравнение может вовсе не иметь корней.
Например, уравнение х
+ 2 = х
не имеет корней, т.к. при любом значении х
равенство невозможно.
Равносильность уравнений.
Два уравнения являются равносильными, если они имеют одинаковые корни либо если оба уравнения не имеют корней.
Пример1 :
Уравнения х + 3 = 5 и 3х - 1 = 5 равносильны, так как в обоих уравнениях х = 2.
Пример 2 :
Уравнения х 4 + 2 = 1 и х 2 + 5 = 0 равносильны, так как оба уравнения не имеют корней.
Целое уравнение с одной переменной - это уравнение, левая и правая части которого являются целыми выражениями (о целых выражениях см.раздел «Рациональные выражения»).
Уравнение с одной переменной может быть записано в виде P (x ) = 0, где P (x ) - многочлен стандартного вида.
Например:
y
2 + 3y
- 6 = 0
(здесь P
(x
) представлен в виде многочлена y
2 + 3y
- 6).
В таком уравнении степень многочлена называют степенью уравнения .
В нашем примере представлено уравнение второй степени (так как в нем многочлен второй степени).
Уравнение первой степени.
Уравнение первой степени можно привести к виду:
ax + b = 0,
где x - переменная, a и b - некоторые числа, причем a ≠ 0.
Отсюда легко вывести значение x :
b
x = - —
a
Это значение x является корнем уравнения.
Уравнения первой степени имеют один корень.
Уравнение второй степени.
Уравнение второй степени можно привести к виду:
ax 2 + bx + c = 0,
где x - переменная, a, b, c - некоторые числа, причем a ≠ 0.
Число корней уравнения второй степени зависит от дискриминанта:
Если D > 0, то уравнение имеет два корня;
Если D = 0, то уравнение имеет один корень;
Если D < 0, то уравнение корней не имеет.
Уравнение второй степени может иметь не более двух корней.
(о том, что такое дискриминант и как находить корни уравнения, см.разделы «Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант» и «Другой способ решения квадратного уравнения»).
Уравнение третьей степени.
Уравнение третьей степени можно привести к виду:
ax 3 + bx 2 + cx + d = 0,
где x - переменная, a, b, c, d - некоторые числа, причем a ≠ 0.
Уравнение третьей степени может иметь не более трех корней.
Уравнение четвертой степени.
Уравнение четвертой степени можно привести к виду:
ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0,
где x - переменная, a, b, c, d, e - некоторые числа, причем a ≠ 0.
Уравнение третьей степени может иметь не более четырех корней.
Обобщение:
1) уравнение пятой, шестой и т.д. степеней можно легко вывести самостоятельно, следуя приведенной выше схеме;
2) уравнение n -й степени может иметь не более n корней.
Пример 1 : Решим уравнение
x 3 - 8x 2 - x + 8 = 0.
Мы видим, что это уравнение третьей степени. Значит, у него может быть от нуля до трех корней.
Найдем их и тем самым решим уравнение.
Разложим левую часть уравнения на множители:
x 2 (x - 8) - (x - 8) = 0.
Применим правило разложения многочлена способом группировки его членов. Для этого поставим перед вторыми скобками число 1:
x 2 (x - 8) - 1(x - 8) = 0.
Теперь сгруппируем многочлены x 2 и -1, являющиеся множителями многочлена x -8. Получим две группы многочленов: (x 2 -1) и (x - 8). Следовательно, наше уравнение примет новый вид:
(x - 8)(x 2 - 1) = 0.
Здесь выражение x 2 - 1 можно представить в виде x 2 - 1 2 . А значит, можем применить формулу сокращенного умножения: x 2 - 1 2 = (x - 1)(x + 1). Подставим в наше уравнение это выражение и получим:
(x - 8)(x - 1)(x + 1) = 0.
x - 8 = 0
x - 1 = 0
x + 1 = 0
Осталось найти корни нашего уравнения:
x 1 = 0 + 8 = 8
x 2 = 0 + 1 = 1
x 3 = 0 - 1 = -1.
Уравнение решено. Оно имеет три корня: 8, 1 и -1.
Пример 2 : Решим уравнение
(x 2 - 5x + 4)(x 2 - 5x +6) = 120
Это уравнение сложнее. Но его можно упростить оригинальным образом - методом введения новой переменной.
В нашем уравнении дважды встречается выражение x
2 - 5x
.
Мы можем обозначить его переменной y
. То есть представим, что x
2 - 5x
= y
.
Тогда наше уравнение обретает более простой вид:
(y + 4)(y + 6) = 120.
Раскроем скобки:
y 2 + 4y + 6y + 24 = 120
y 2 + 10y + 24 = 120
Приравняем уравнение к нулю:
y 2 + 10y + 24 - 120 = 0
y 2 + 10y - 96 = 0
Мы получили обычное квадратное уравнение. Найдем его корни. Нет необходимости производить расчеты: о том, как решать подобные уравнения, подробно написано в разделах «Квадратные уравнения» и «Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант». Здесь же мы сразу выведем результат. Квадратное уравнение y 2 + 10y - 96 = 0 имеет два корня:
y 1 = -16
y 2 = 6
Буквой y мы заменили выражение x 2 - 5x . А значит, мы уже можем подставить значения y и найти корни заданного уравнения, тем самым решив задачу:
1) Сначала применяем значение y 1 = -16:
x 2 - 5x = -16
Чтобы решить это уравнение, превращаем его в квадратное уравнение:
x 2 - 5x + 16 = 0
Решив его, мы обнаружим, что оно не имеет корней.
2) Теперь применяем значение y 2 = 6:
x 2 - 5x = 6
x 2 - 5x - 6 = 0
Решив это квадратное уравнение, мы увидим, что у него два корня:
x 1 = -1
x 2 = 6.
Уравнение решено. Оно имеет два корня: -1 и 6.
Метод введения новой переменной позволяет легко решать уравнения четвертой степени, которые являются квадратными относительно x 2 (такие уравнения называют биквадратными ).