Tìm khoảng lồi của hàm số. Khoảng lồi và lõm của đồ thị hàm số

Đồ thị của hàm số y=f(x) gọi điện lồi trên khoảng thời gian (a; b), nếu nó nằm bên dưới bất kỳ tiếp tuyến nào của nó trên khoảng này.

Đồ thị của hàm số y=f(x) gọi điện lõm trên khoảng thời gian (a; b), nếu nó nằm phía trên bất kỳ tiếp tuyến nào của nó trong khoảng này.

Hình vẽ cho thấy một đường cong lồi tại (a; b) và lõm trên (b;c).

Ví dụ.

Chúng ta hãy xem xét một tiêu chuẩn đủ để xác định liệu đồ thị của hàm số có nằm trong khoảng nhất định lồi hoặc lõm.

Định lý. Cho phép y=f(x) có thể phân biệt bằng (a; b). Nếu tại mọi điểm của khoảng (a; b)đạo hàm bậc hai của hàm y = f(x) tiêu cực, tức là f ""(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f""(x) > 0 – lõm.

Bằng chứng. Chúng ta hãy giả định chắc chắn rằng f""(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

Hãy lấy các hàm trên đồ thị y = f(x) điểm tùy ý M0 với cơ hoành x 0 Î ( Một; b) và vẽ qua điểm M0đường tiếp tuyến. Phương trình của cô ấy. Ta phải chứng minh rằng đồ thị của hàm số trên (a; b) nằm bên dưới tiếp tuyến này, tức là ở cùng một giá trị x tọa độ của đường cong y = f(x) sẽ nhỏ hơn tọa độ của tiếp tuyến.

Vậy phương trình của đường cong là y = f(x). Chúng ta hãy biểu thị tọa độ của tiếp tuyến tương ứng với hoành độ x. Sau đó . Do đó, sự khác biệt giữa tọa độ của đường cong và tiếp tuyến đối với cùng một giá trị x sẽ .

Sự khác biệt f(x) – f(x 0) biến đổi theo định lý Lagrange, trong đó c giữa x Và x 0.

Như vậy,

Chúng ta lại áp dụng định lý Lagrange cho biểu thức trong ngoặc vuông: , trong đó c 1 giữa c 0 Và x 0. Theo điều kiện của định lý f ""(x) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

Do đó, bất kỳ điểm nào trên đường cong đều nằm dưới tiếp tuyến của đường cong đối với mọi giá trị x Và x 0 Î ( Một; b), có nghĩa là đường cong lồi. Phần thứ hai của định lý được chứng minh theo cách tương tự.

Ví dụ.

điểm đồ thị hàm liên tục, tách phần lồi của nó khỏi phần lõm, được gọi là điểm uốn.

Rõ ràng, tại điểm uốn, tiếp tuyến, nếu tồn tại, sẽ cắt đường cong, bởi vì ở một phía của điểm này, đường cong nằm dưới tiếp tuyến và ở phía bên kia - phía trên nó.

Hãy xác định điều kiện đủ để điểm nhất địnhđường cong là điểm uốn.

Định lý. Hãy để đường cong được xác định bởi phương trình y = f(x). Nếu như f ""(x 0) = 0 hoặc f ""(x 0) không tồn tại ngay cả khi truyền qua giá trị x = x 0 phái sinh f ""(x) đổi dấu thì điểm trên đồ thị của hàm số với hoành độ x = x 0 có một điểm uốn.

Bằng chứng. Cho phép f ""(x) < 0 при x < x 0 Và f ""(x) > 0 tại x > x 0. Sau đó tại x < x 0đường cong lồi và khi x > x 0– lõm. Vì thế, điểm MỘT, nằm trên đường cong, có cơ bụng x 0 có một điểm uốn. Trường hợp thứ hai có thể xét tương tự khi f ""(x) > 0 tại x < x 0 Và f ""(x) < 0 при x > x 0.

Vì vậy, các điểm uốn chỉ nên tìm trong số những điểm mà đạo hàm bậc hai triệt tiêu hoặc không tồn tại.

Ví dụ. Tìm các điểm uốn và xác định các khoảng lồi, lõm của các đường cong.

CÁC TÍN HIỆU CỦA ĐỒ HỌA HÀM

Khi nghiên cứu một hàm số, điều quan trọng là thiết lập hình dạng của đồ thị của nó ở khoảng cách không giới hạn từ điểm đồ thị đến gốc tọa độ.

Điều đặc biệt quan tâm là trường hợp khi đồ thị của một hàm số, khi điểm biến của nó bị loại bỏ đến vô cùng, tiến vô thời hạn đến một đường thẳng nhất định.

Đường thẳng được gọi là đường tiệm cậnđồ họa chức năng y = f(x), nếu khoảng cách từ điểm biến Mđồ họa vào dòng này khi xóa một điểm Mđến vô cùng có xu hướng bằng không, tức là một điểm trên đồ thị của một hàm số, vì nó có xu hướng tiến tới vô cùng, phải tiến tới tiệm cận vô hạn một cách vô hạn.

Một đường cong có thể tiến tới tiệm cận của nó trong khi vẫn ở một phía của nó hoặc ở phía trên các mặt khác nhau, tập vô hạn một lần đi qua đường tiệm cận và di chuyển từ bên này sang bên kia.

Nếu chúng ta biểu thị bằng d khoảng cách từ điểm Mđường cong tới tiệm cận thì rõ ràng d có xu hướng bằng 0 khi điểm di chuyển ra xa Mđến vô cùng.

Chúng ta sẽ phân biệt rõ hơn giữa các tiệm cận đứng và tiệm cận xiên.

tiệm cận dọc

Hãy để tại x→ x 0 từ bất kỳ chức năng bên nào y = f(x) tăng vô hạn về giá trị tuyệt đối, tức là hoặc hoặc . Khi đó từ định nghĩa đường tiệm cận suy ra rằng đường thẳng x = x 0 là một tiệm cận. Điều ngược lại cũng hiển nhiên nếu đường x = x 0 là một tiệm cận, tức là .

Như vậy, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x)được gọi là đường thẳng nếu f(x)→ ∞ theo ít nhất một trong các điều kiện x→ x 0– 0 hoặc x → x 0 + 0, x = x 0

Do đó, để tìm các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) cần tìm những giá trị đó x = x 0, tại đó hàm số tiến tới vô cùng (có sự gián đoạn vô hạn). Khi đó tiệm cận đứng có phương trình x = x 0.

Ví dụ.

TIỆN LỢI NGHỈ

Vì tiệm cận là một đường thẳng nên nếu đường cong y = f(x) có một tiệm cận xiên thì phương trình của nó sẽ là y = kx + b. Nhiệm vụ của chúng ta là tìm các hệ số k Và b.

Định lý. Thẳng y = kx + bđóng vai trò là một tiệm cận xiên tại x→ +∞ cho đồ thị của hàm số y = f(x) khi đó và chỉ khi nào . Một tuyên bố tương tự là đúng cho x → –∞.

Bằng chứng. Cho phép nghị sĩ- chiều dài của đoạn, bằng khoảng cách từ điểm Mđến tiệm cận. Theo điều kiện. Chúng ta hãy biểu thị bằng φ góc nghiêng của đường tiệm cận với trục Con bò đực. Sau đó từ ∆MNP nó theo sau đó. Vì φ là một góc không đổi (φ ≠ π/2), nên, nhưng

Khi vẽ đồ thị hàm số, điều quan trọng là xác định các khoảng lồi và điểm uốn. Chúng ta cần chúng, cùng với các khoảng giảm và tăng, để thể hiện rõ ràng hàm dưới dạng đồ họa.

Để hiểu chủ đề này đòi hỏi kiến thức về đạo hàm của hàm số là gì và cách đánh giá nó theo thứ tự nào đó, cũng như khả năng giải các loại khác nhau sự bất bình đẳng

Ở đầu bài viết, các khái niệm cơ bản được xác định. Sau đó, chúng ta sẽ chỉ ra mối quan hệ tồn tại giữa hướng của độ lồi và giá trị của đạo hàm bậc hai trong một khoảng nhất định. Tiếp theo, chúng ta sẽ chỉ ra các điều kiện để có thể xác định được điểm uốn của đồ thị. Tất cả các lập luận sẽ được minh họa bằng các ví dụ về giải pháp vấn đề.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Định nghĩa 1

Theo hướng đi xuống trong một khoảng nhất định trong trường hợp đồ thị của nó nằm không thấp hơn tiếp tuyến của nó tại bất kỳ điểm nào trong khoảng này.

Định nghĩa 2

Hàm cần lấy vi phân là hàm lồi hướng lên trong một khoảng nhất định nếu đồ thị của hàm số đã cho nằm không cao hơn tiếp tuyến của nó tại bất kỳ điểm nào trong khoảng này.

Hàm lồi hướng xuống cũng có thể được gọi là hàm lõm. Cả hai định nghĩa đều được thể hiện rõ ràng trong biểu đồ dưới đây:

Định nghĩa 3

Điểm uốn của hàm số– đây là điểm M (x 0 ; f (x 0)), tại đó có tiếp tuyến với đồ thị của hàm số, tuân theo sự tồn tại đạo hàm trong lân cận điểm x 0, trong đó tính từ bên trái Và bên phảiđồ thị của hàm số có các hướng lồi khác nhau.

Nói một cách đơn giản, điểm uốn là một vị trí trên đồ thị có tiếp tuyến và hướng lồi của đồ thị khi đi qua vị trí này sẽ làm thay đổi hướng của độ lồi. Nếu bạn không nhớ trong những điều kiện nào có thể tồn tại một tiếp tuyến thẳng đứng và không thẳng đứng, chúng tôi khuyên bạn nên lặp lại phần tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm.

Dưới đây là biểu đồ của hàm số có một số điểm uốn được đánh dấu màu đỏ. Hãy để chúng tôi làm rõ rằng sự hiện diện của các điểm uốn là không bắt buộc. Trên đồ thị của một hàm số có thể có một, hai, vài, vô số hoặc không có.

Trong phần này, chúng ta sẽ nói về một định lý mà nhờ đó bạn có thể xác định các khoảng lồi trên đồ thị của một hàm cụ thể.

Định nghĩa 4

Đồ thị của hàm số sẽ lồi hướng xuống hoặc hướng lên nếu hàm tương ứng y = f(x) có đạo hàm hữu hạn bậc hai trên khoảng x đã cho, với điều kiện là bất đẳng thức f "" (x) ≥ 0 ∀ x ∈ X (f "" (x) 0 ∀ x ∈ X) sẽ đúng.

sử dụng định lý này, bạn có thể tìm thấy các khoảng lõm và lồi trên bất kỳ đồ thị nào của hàm số. Để làm được điều này, bạn chỉ cần giải các bất đẳng thức f "" (x) ≥ 0 và f "" (x) ≤ 0 trên miền định nghĩa của hàm tương ứng.

Chúng ta hãy làm rõ rằng những điểm mà tại đó đạo hàm bậc hai không tồn tại nhưng hàm y = f (x) được xác định sẽ được đưa vào các khoảng lồi và lõm.

Hãy xem một ví dụ nhiệm vụ cụ thể cách áp dụng đúng định lý này.

Ví dụ 1

Tình trạng: cho hàm số y = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1 . Xác định khoảng thời gian đồ thị của nó có độ lồi và độ lõm.

Giải pháp

Miền định nghĩa của hàm này là toàn bộ tập hợp số thực. Hãy bắt đầu bằng cách tính đạo hàm bậc hai.

y " = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1 " = x 2 2 - 2 x + 3 ⇒ y " " = x 2 2 - 2 x + 3 = x - 2

Ta thấy miền định nghĩa của đạo hàm bậc hai trùng với miền của chính hàm số, nghĩa là để xác định các khoảng lồi, ta cần giải các bất đẳng thức f "" (x) ≥ 0 và f "" (x). ) ≤ 0.

y "" ≥ 0 ⇔ x - 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 y "" ≤ 0 ⇔ x - 2 ≤ 0 ⇔ x 2

Chúng tôi đã nhận được lịch trình đó hàm đã cho sẽ có độ lõm trên đoạn [ 2 ; + ∞) và độ lồi trên đoạn (- ∞; 2 ] .

Để rõ ràng, hãy vẽ đồ thị của hàm số và đánh dấu phần lồi bằng màu xanh lam và phần lõm bằng màu đỏ.

Trả lời:đồ thị của hàm số đã cho sẽ có độ lõm trên đoạn [ 2 ; + ∞) và độ lồi trên đoạn (- ∞; 2 ] .

Nhưng phải làm gì nếu miền định nghĩa của đạo hàm bậc hai không trùng với miền định nghĩa của hàm số? Ở đây nhận xét được đưa ra ở trên sẽ hữu ích cho chúng ta: chúng ta cũng sẽ bao gồm những điểm mà đạo hàm bậc hai hữu hạn không tồn tại trong các đoạn lõm và lồi.

Ví dụ 2

Tình trạng: cho hàm số y = 8 x x - 1 . Xác định trong khoảng thời gian nào đồ thị của nó sẽ lõm và trong khoảng thời gian nào nó sẽ lồi.

Giải pháp

Đầu tiên, chúng ta hãy tìm miền định nghĩa của hàm.

x ≥ 0 x - 1 ≠ 0 ⇔ x ≥ 0 x ≠ 1 ⇔ x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞)

Bây giờ chúng ta tính đạo hàm bậc hai:

y " = 8 x x - 1 " = 8 1 2 x (x - 1) - x 1 (x - 1) 2 = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 y "" = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 " = - 4 1 x x - 1 2 - (x + 1) x x - 1 2 " x (x - 1) 4 = = - 4 1 x x - 1 2 - x + 1 1 2 x ( x - 1) 2 + x 2 (x - 1) x x - 1 4 = = 2 3 x 2 + 6 x - 1 x 3 2 · (x - 1) 3

Miền định nghĩa của đạo hàm bậc hai là tập x ∈ (0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) . Ta thấy rằng x bằng 0 sẽ thuộc miền của hàm số ban đầu chứ không thuộc miền của đạo hàm bậc hai. Điểm này phải được bao gồm trong đoạn lõm hoặc lồi.

Sau đó, chúng ta cần giải các bất đẳng thức f "" (x) ≥ 0 và f "" (x) ≤ 0 trên miền định nghĩa của hàm đã cho. Chúng ta sử dụng phương pháp khoảng cho việc này: với x = - 1 - 2 3 3 ≈ - 2, 1547 hoặc x = - 1 + 2 3 3 ≈ 0, 1547 tử số 2 · (3 x 2 + 6 x - 1) x 2 3 · x - 1 3 trở thành 0 và mẫu số là 0 tại x, bằng 0 hoặc đơn vị.

Hãy vẽ các điểm kết quả trên biểu đồ và xác định dấu của biểu thức trên tất cả các khoảng sẽ nằm trong miền định nghĩa của hàm ban đầu. Khu vực này được biểu thị bằng cách tô bóng trên biểu đồ. Nếu giá trị là dương, chúng ta đánh dấu khoảng bằng dấu cộng, nếu âm thì bằng dấu trừ.

Kể từ đây,

f "" (x) ≥ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ 0 ; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) , và f "" (x) ≤ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1)

Chúng tôi bao gồm điểm được đánh dấu trước đó x = 0 và nhận được câu trả lời mong muốn. Đồ thị của hàm số ban đầu sẽ lồi xuống tại 0; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) , và trở lên – với x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1) .

Hãy vẽ biểu đồ, đánh dấu phần lồi màu xanh lam và phần lõm màu đỏ. tiệm cận đứngđược đánh dấu bằng một đường chấm màu đen.

Trả lời:Đồ thị của hàm số ban đầu sẽ lồi xuống tại 0; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) , và trở lên – với x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1) .

Điều kiện uốn của đồ thị hàm số

Hãy bắt đầu bằng cách xây dựng điều kiện cần thiết cho sự uốn của đồ thị của một hàm số nhất định.

Định nghĩa 5

Giả sử chúng ta có hàm y = f (x), đồ thị của hàm này có điểm uốn. Tại x = x 0 nó có đạo hàm bậc hai liên tục nên đẳng thức f "" (x 0) = 0 sẽ giữ nguyên.

Đang xem xét tình trạng này, chúng ta nên tìm các điểm uốn trong số những điểm mà tại đó đạo hàm bậc hai sẽ chuyển về 0. Điều kiện này sẽ không đủ: không phải tất cả những điểm như vậy đều phù hợp với chúng ta.

Cũng lưu ý rằng, theo định nghĩa chung, chúng ta sẽ cần một đường tiếp tuyến, thẳng đứng hoặc không thẳng đứng. Trong thực tế, điều này có nghĩa là để tìm các điểm uốn, bạn nên lấy những điểm mà tại đó đạo hàm bậc hai của một hàm số đã cho chuyển về 0. Do đó, để tìm hoành độ của các điểm uốn, ta cần lấy tất cả x 0 từ miền định nghĩa của hàm số, trong đó lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ và lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞. Thông thường, đây là những điểm mà mẫu số của đạo hàm bậc nhất trở thành 0.

Điều kiện đủ đầu tiên để tồn tại điểm uốn trong đồ thị hàm số

Chúng tôi đã tìm thấy tất cả các giá trị của x 0 có thể được coi là hoành độ của các điểm uốn. Sau này chúng ta cần áp dụng điều đầu tiên đủ điều kiện uốn cong.

Định nghĩa 6

Giả sử chúng ta có hàm y = f (x) liên tục tại điểm M (x 0 ; f (x 0)). Hơn nữa, nó có tiếp tuyến tại điểm này và bản thân hàm số có đạo hàm bậc hai ở gần điểm này x 0. Trong trường hợp này, nếu ở bên trái và bên phải đạo hàm bậc hai thu được dấu hiệu trái ngược, thì điểm này có thể được coi là điểm uốn.

Chúng ta thấy rằng điều kiện này không đòi hỏi đạo hàm bậc hai nhất thiết phải tồn tại ở điểm này; sự hiện diện của nó ở vùng lân cận điểm x 0 là đủ.

Thật thuận tiện khi trình bày tất cả những điều trên dưới dạng một chuỗi hành động.

Trước tiên, bạn cần tìm tất cả hoành độ x 0 của các điểm uốn có thể có, trong đó f "" (x 0) = 0, lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞, lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ .
Hãy tìm xem đạo hàm sẽ đổi dấu tại điểm nào. Các giá trị này là hoành độ của các điểm uốn và các điểm M (x 0 ; f (x 0)) tương ứng với chúng chính là các điểm uốn.

Để rõ ràng, chúng tôi sẽ phân tích hai vấn đề.

Ví dụ 3

Tình trạng: cho hàm số y = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x. Xác định nơi đồ thị của hàm số này sẽ có điểm uốn và điểm lồi.

Giải pháp

Hàm đã chỉ định được xác định trên toàn bộ tập hợp số thực. Chúng tôi tính toán đạo hàm đầu tiên:

y" = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x " = 1 10 4 x 3 12 - 3 x 2 6 - 6 x + 2 = = 1 10 x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2

Bây giờ chúng ta hãy tìm miền định nghĩa của đạo hàm bậc nhất. Nó cũng là tập hợp tất cả các số thực. Điều này có nghĩa là các đẳng thức lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ và lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ không thể thỏa mãn với bất kỳ giá trị nào của x 0 .

Chúng tôi tính đạo hàm thứ hai:

y " " = = 1 10 · x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2 " = 1 10 · 3 x 2 3 - 2 x 2 - 6 = 1 10 · x 2 - x - 6

y "" = 0 ⇔ 1 10 · (x 2 - x - 6) = 0 ⇔ x 2 - x - 6 = 0 D = (- 1) 2 - 4 · 1 · (- 6) = 25 x 1 = 1 - 25 2 = - 2, x 2 = 1 + 25 2 = 3

Chúng tôi đã tìm thấy trục hoành của hai điểm uốn có thể có - 2 và 3. Tất cả những gì chúng ta còn lại phải làm là kiểm tra xem đạo hàm đổi dấu tại điểm nào. Hãy vẽ một trục số và vẽ các điểm này trên đó, sau đó chúng ta sẽ đặt dấu của đạo hàm bậc hai trên các khoảng kết quả.

Các cung thể hiện hướng lồi của đồ thị trong mỗi khoảng.

Đạo hàm thứ hai đổi dấu ngược lại (từ cộng sang trừ) tại điểm có hoành độ 3, đi qua nó từ trái sang phải và cũng thực hiện điều này (từ trừ sang dương) tại điểm có hoành độ 3. Điều này có nghĩa là chúng ta có thể kết luận rằng x = - 2 và x = 3 là hoành độ của các điểm uốn của đồ thị hàm số. Chúng sẽ tương ứng với các điểm biểu đồ - 2; - 4 3 và 3; - 15 8 .

Chúng ta hãy quan sát lại hình ảnh trục số và các dấu thu được ở các khoảng để rút ra kết luận về vị trí lồi, lõm. Hóa ra độ lồi sẽ nằm trên đoạn - 2; 3, và độ lõm trên các đoạn (- ∞; - 2 ] và [ 3; + ∞).

Giải pháp cho vấn đề được mô tả rõ ràng trong biểu đồ: màu xanh da trời– độ lồi, màu đỏ – lõm, màu đen là điểm uốn.

Trả lời:độ lồi sẽ nằm trên đoạn - 2; 3, và độ lõm trên các đoạn (- ∞; - 2 ] và [ 3; + ∞).

Ví dụ 4

Tình trạng: tính hoành độ của tất cả các điểm uốn của đồ thị hàm số y = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 · x - 3 3 5 .

Giải pháp

Miền định nghĩa của một hàm số đã cho là tập hợp tất cả các số thực. Chúng tôi tính toán đạo hàm:

y " = 1 8 · (x 2 + 3 x + 2) · x - 3 3 5 " = = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 " · (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) x - 3 3 5 " = = 1 8 2 x + 3 (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) 3 5 x - 3 - 2 5 = 13 x 2 - 6 x - 39 40 · (x - 3) 2 5

Không giống như một hàm số, đạo hàm cấp một của nó sẽ không được xác định ở giá trị x bằng 3, nhưng:

lim x → 3 - 0 y " (x) = 13 · (3 - 0) 2 - 6 · (3 - 0) - 39 40 · 3 - 0 - 3 2 5 = + ∞ lim x → 3 + 0 y " (x) = 13 · (3 + 0) 2 - 6 · (3 + 0) - 39 40 · 3 + 0 - 3 2 5 = + ∞

Điều này có nghĩa là một tiếp tuyến thẳng đứng của đồ thị sẽ đi qua điểm này. Vì vậy, 3 có thể là hoành độ của điểm uốn.

Chúng tôi tính toán đạo hàm thứ hai. Chúng ta cũng tìm được miền xác định của nó và các điểm tại đó nó chuyển về 0:

y "" = 13 x 2 - 6 x - 39 40 x - 3 2 5 " = = 1 40 13 x 2 - 6 x - 39 " (x - 3) 2 5 - 13 x 2 - 6 x - 39 · x - 3 2 5 " (x - 3) 4 5 = = 1 25 · 13 x 2 - 51 x + 21 (x - 3) 7 5 , x ∈ (- ∞ ; 3) ∪ (3 ; + ∞ ) y " " (x) = 0 ⇔ 13 x 2 - 51 x + 21 = 0 D = (- 51) 2 - 4 13 21 = 1509 x 1 = 51 + 1509 26 ≈ 3, 4556, x 2 = 51 - 1509 26 ≈ 0,4675

Bây giờ chúng ta có thêm hai điểm uốn có thể xảy ra. Hãy vẽ tất cả chúng trên trục số và đánh dấu các khoảng kết quả bằng các dấu hiệu:

Dấu hiệu sẽ thay đổi khi đi qua từng điểm được chỉ định, nghĩa là chúng đều là điểm uốn.

Trả lời: Hãy vẽ đồ thị của hàm số, đánh dấu các chỗ lõm màu đỏ, độ lồi màu xanh lam và các điểm uốn màu đen:

Biết điều kiện đủ thứ nhất cho sự uốn, chúng ta có thể xác định các điểm cần thiết mà tại đó không cần có đạo hàm bậc hai. Dựa trên điều này, điều kiện đầu tiên có thể được coi là phổ biến nhất và phù hợp để giải quyết các loại khác nhau nhiệm vụ.

Lưu ý rằng còn có hai điều kiện uốn nữa nhưng chúng chỉ có thể được áp dụng khi có đạo hàm hữu hạn tại điểm đã xác định.

Nếu ta có f "" (x 0) = 0 và f """ (x 0) ≠ 0 thì x 0 sẽ là hoành độ của điểm uốn của đồ thị y = f(x).

Ví dụ 5

Tình trạng:đã cho hàm số y = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5. Xác định xem đồ thị của hàm số có điểm uốn tại điểm 3 hay không; 4 5 .

Giải pháp

Điều đầu tiên cần làm là đảm bảo rằng điểm này thường thuộc đồ thị của hàm này.

y (3) = 1 60 3 3 - 3 20 3 2 - 2 5 = 27 60 - 27 20 + 21 10 - 2 5 = 9 - 27 + 42 - 8 20 = 4 5

Hàm đã cho được xác định cho tất cả các đối số là số thực. Hãy tính đạo hàm bậc nhất và bậc hai:

y" = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5 " = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 y "" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 " = 1 10 x - 3 10 = 1 10 (x - 3)

Chúng tôi thấy rằng đạo hàm bậc hai sẽ tiến về 0 nếu x bằng 0. Có nghĩa, điều kiện cần thiết uốn cho điểm này sẽ được thực hiện. Bây giờ chúng ta sử dụng điều kiện thứ hai: tìm đạo hàm thứ ba và tìm xem liệu nó có chuyển về 0 tại 3 hay không:

y " " " = 1 10 (x - 3) " = 1 10

Đạo hàm bậc ba sẽ không biến mất đối với bất kỳ giá trị nào của x. Do đó, chúng ta có thể kết luận điểm này sẽ là điểm uốn của đồ thị hàm số.

Trả lời: Hãy thể hiện giải pháp trong hình minh họa:

Giả sử f "(x 0) = 0, f "" (x 0) = 0, ..., f (n) (x 0) = 0 và f (n + 1) (x 0) ≠ 0 . Trong trường hợp này, với n chẵn, ta có x 0 là hoành độ của điểm uốn của đồ thị y = f (x).

Ví dụ 6

Tình trạng: cho hàm y = (x - 3) 5 + 1. Tính các điểm uốn của đồ thị của nó.

Giải pháp

Hàm này được xác định trên toàn bộ tập số thực. Chúng ta tính đạo hàm: y " = ((x - 3) 5 + 1) " = 5 x - 3 4 . Vì nó cũng sẽ được xác định cho mọi người giá trị thực thì tại bất kỳ điểm nào trong đồ thị của nó sẽ có một tiếp tuyến không thẳng đứng.

Bây giờ hãy tính xem đạo hàm bậc hai sẽ chuyển sang giá trị nào:

y "" = 5 · (x - 3) 4 " = 20 · x - 3 3 y "" = 0 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3

Ta thấy rằng tại x = 3 đồ thị của hàm số có thể có một điểm uốn. Hãy sử dụng điều kiện thứ ba để xác nhận điều này:

y " " " = 20 · (x - 3) 3 " = 60 · x - 3 2 , y " " " (3) = 60 · 3 - 3 2 = 0 y (4) = 60 · (x - 3) 2 " = 120 · (x - 3) , y (4) (3) = 120 · (3 - 3) = 0 y (5) = 120 · (x - 3) " = 120 , y (5) (3 ) = 120 ≠ 0

Ta có n = 4 theo điều kiện đủ thứ ba. Cái này số chẵn, nghĩa là x = 3 sẽ là hoành độ của điểm uốn và điểm đồ thị của hàm (3; 1) tương ứng với nó.

Trả lời: Dưới đây là đồ thị của hàm này với các độ lồi, độ lõm và điểm uốn được đánh dấu:

Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter

Sử dụng máy tính trực tuyến, bạn có thể tìm thấy điểm uốn và khoảng lồi của đồ thị hàm số với việc thiết kế giải pháp trong Word. Hàm hai biến f(x1,x2) có lồi hay không được quyết định bằng ma trận Hessian.

Quy tắc nhập hàm:

Hướng lồi của đồ thị hàm số. Điểm uốn

Định nghĩa: Đường cong y=f(x) được gọi là lồi hướng xuống trong khoảng (a; b) nếu nó nằm phía trên tiếp tuyến tại bất kỳ điểm nào trong khoảng này.

Định nghĩa: Đường cong y=f(x) được gọi là lồi lên trong khoảng (a; b) nếu nó nằm dưới tiếp tuyến tại bất kỳ điểm nào trong khoảng này.

Định nghĩa: Các khoảng lồi lên hoặc lồi xuống của đồ thị hàm số gọi là khoảng lồi của đồ thị hàm số.

Độ lồi hướng xuống hoặc hướng lên của một đường cong là đồ thị của hàm số y=f(x) được đặc trưng bởi dấu của đạo hàm bậc hai: nếu trong một khoảng f''(x) > 0 thì đường cong đó là lồi đi xuống trong khoảng thời gian này; nếu f’’(x)< 0, то кривая выпукла вверх на этом промежутке.

Định nghĩa: Một điểm trên đồ thị của hàm số y=f(x) phân cách các khoảng lồi hướng ngược lại của đồ thị này được gọi là điểm uốn.

Điểm uốn chỉ có thể phục vụ điểm quan trọng Loại II, tức là các điểm thuộc miền định nghĩa của hàm y = f(x) tại đó đạo hàm bậc hai f’’(x) triệt tiêu hoặc gián đoạn.

Quy tắc tìm điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x)

Tìm đạo hàm bậc hai f’’(x) .
Tìm các điểm tới hạn thuộc loại thứ hai của hàm y=f(x), tức là điểm tại đó f''(x) biến mất hoặc trải qua một sự gián đoạn.
Xét dấu của đạo hàm bậc hai f''(x) trong khoảng mà các điểm tới hạn tìm được chia miền định nghĩa của hàm f(x). Nếu điểm tới hạn x 0 ngăn cách các khoảng lồi của các hướng ngược nhau thì x 0 là hoành độ của điểm uốn của đồ thị hàm số.
Tính các giá trị hàm tại các điểm uốn.

Ví dụ 1. Tìm các khoảng lồi và điểm uốn của đường cong sau: f(x) = 6x 2 –x 3.
Lời giải: Tìm f ‘(x) = 12x – 3x 2 , f ‘’(x) = 12 – 6x.
Hãy tìm các điểm tới hạn của đạo hàm bậc hai bằng cách giải phương trình 12-6x=0. x=2 .

f(2) = 6*2 2 – 2 3 = 16
Trả lời: Hàm lồi hướng lên trên x∈(2; +∞) ; hàm số lồi hướng xuống tại x∈(-∞; 2) ; điểm uốn (2;16) .

Ví dụ 2. Hàm số có điểm uốn không: f(x)=x 3 -6x 2 +2x-1

Ví dụ 3. Tìm các khoảng trong đó đồ thị của hàm số lồi và cong: f(x)=x 3 -6x 2 +12x+4

Khi nghiên cứu một hàm số và xây dựng đồ thị của nó, ở một giai đoạn chúng ta xác định các điểm uốn và các khoảng lồi. Những dữ liệu này, cùng với các khoảng tăng và giảm, giúp biểu diễn dưới dạng sơ đồ đồ thị của hàm đang nghiên cứu.

Phần trình bày tiếp theo giả định rằng bạn có thể thực hiện tối đa một số đơn đặt hàng và các loại khác nhau.

Hãy bắt đầu nghiên cứu tài liệu với định nghĩa cần thiết và các khái niệm. Tiếp theo, chúng ta sẽ nói về mối liên hệ giữa giá trị đạo hàm bậc hai của một hàm trên một khoảng nhất định và hướng lồi của nó. Sau này, chúng ta sẽ chuyển sang các điều kiện cho phép chúng ta xác định các điểm uốn của đồ thị hàm số. Theo văn bản chúng tôi sẽ cung cấp ví dụ điển hình với các giải pháp chi tiết.

Điều hướng trang.

Tính lồi, tính lõm của hàm số, điểm uốn.

Sự định nghĩa.

lồi xuống trên khoảng X nếu đồ thị của nó nằm không thấp hơn tiếp tuyến với nó tại bất kỳ điểm nào của khoảng X.

Sự định nghĩa.

Hàm cần lấy vi phân được gọi là lồi lên trên khoảng X nếu đồ thị của nó nằm không cao hơn tiếp tuyến của nó tại bất kỳ điểm nào trong khoảng X.

Hàm lồi hướng lên thường được gọi là lồi, và lồi xuống – lõm.

Nhìn vào hình vẽ minh họa các định nghĩa này.

Sự định nghĩa.

Điểm đó được gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số y=f(x) nếu tại một điểm cho trước có một tiếp tuyến với đồ thị của hàm số (nó có thể song song với trục Oy) và có một lân cận của điểm nằm bên trái và bên phải của điểm M đồ thị của hàm số có các hướng lồi khác nhau.

Nói cách khác, điểm M được gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số nếu có một tiếp tuyến tại điểm này và đồ thị của hàm thay đổi hướng của lồi, đi qua nó.

Nếu cần, hãy tham khảo phần để nhớ lại các điều kiện tồn tại của tiếp tuyến không thẳng đứng và tiếp tuyến thẳng đứng.

Hình dưới đây cho thấy một số ví dụ về điểm uốn (được đánh dấu bằng các chấm màu đỏ). Lưu ý rằng một số hàm có thể không có điểm uốn, trong khi những hàm khác có thể có một, một số hoặc vô số điểm uốn.

Tìm khoảng lồi của hàm số.

Chúng ta hãy xây dựng một định lý cho phép chúng ta xác định các khoảng lồi của một hàm số.

Định lý.

Nếu hàm y=f(x) có đạo hàm bậc hai hữu hạn trên khoảng X và nếu bất đẳng thức đúng (), thì đồ thị của hàm số có độ lồi hướng xuống (hướng lên) bởi X.

Định lý này cho phép bạn tìm các khoảng lõm và lồi của một hàm; bạn chỉ cần giải các bất đẳng thức và tương ứng trên miền định nghĩa của hàm ban đầu.

Cần lưu ý rằng các điểm tại đó hàm y=f(x) được xác định và đạo hàm bậc hai không tồn tại sẽ được đưa vào các khoảng lõm và lồi.

Hãy hiểu điều này bằng một ví dụ.

Ví dụ.

Tìm các khoảng mà đồ thị hàm số có độ lồi hướng lên trên và độ lồi hướng xuống dưới.

Giải pháp.

Miền xác định của hàm số là toàn bộ tập hợp số thực.

Hãy tìm đạo hàm thứ hai.

Miền định nghĩa của đạo hàm bậc hai trùng với miền định nghĩa của hàm số ban đầu, do đó, để tìm ra các khoảng lồi, lõm chỉ cần giải và theo đó là đủ.

Do đó, hàm số lồi xuống trên khoảng và lồi lên trên khoảng .

Minh họa đồ họa.

Phần của đồ thị hàm số trong khoảng lồi được hiển thị bằng màu xanh lam và trong khoảng lõm – có màu đỏ.

Bây giờ hãy xem xét một ví dụ khi miền định nghĩa của đạo hàm bậc hai không trùng với miền định nghĩa của hàm số. Trong trường hợp này, như chúng ta đã lưu ý, các điểm trong miền định nghĩa tại đó không tồn tại đạo hàm bậc hai hữu hạn nên được đưa vào các khoảng lồi và (hoặc) lõm.

Ví dụ.

Tìm các khoảng lồi và lõm của đồ thị hàm số.

Giải pháp.

Hãy bắt đầu với miền của hàm:

Hãy tìm đạo hàm thứ hai:

Miền định nghĩa của đạo hàm bậc hai là tập hợp . Như bạn có thể thấy, x=0 thuộc miền của hàm số ban đầu, nhưng không thuộc miền của đạo hàm bậc hai. Đừng quên điểm này; nó sẽ cần phải được đưa vào khoảng lồi và (hoặc) lõm.

Bây giờ chúng ta giải các bất đẳng thức trên miền định nghĩa của hàm ban đầu. Hãy nộp đơn. Tử số của biểu thức tiến tới 0 tại hoặc , mẫu số – tại x = 0 hoặc x = 1. Chúng tôi vẽ sơ đồ các điểm này trên trục số và tìm ra dấu của biểu thức trên mỗi khoảng có trong miền định nghĩa của hàm ban đầu (nó được hiển thị dưới dạng vùng bóng mờ trên trục số phía dưới). Tại giá trị dương Chúng ta đặt dấu “cộng”, nếu âm – dấu “trừ”.

Như vậy,

Và

Do đó, bằng cách đưa điểm x=0 vào, chúng ta sẽ có câu trả lời.

Tại đồ thị của hàm số có độ lồi hướng xuống dưới, khi - độ lồi hướng lên trên.

Minh họa đồ họa.

Phần đồ thị của hàm số trên khoảng lồi được mô tả bằng màu xanh lam, trên các khoảng lõm - màu đỏ, đường chấm màu đen là tiệm cận đứng.

Điều kiện cần và đủ để uốn.

Điều kiện cần để uốn.

Hãy xây dựng điều kiện cần để uốnđồ họa chức năng.

Giả sử đồ thị của hàm y=f(x) uốn tại một điểm và có đạo hàm bậc hai liên tục thì đẳng thức giữ nguyên.

Từ điều kiện này, suy ra rằng trục hoành của các điểm uốn phải được tìm trong số những điểm mà tại đó đạo hàm bậc hai của hàm số biến mất. NHƯNG, điều kiện này là không đủ, nghĩa là không phải tất cả các giá trị trong đó đạo hàm bậc hai bằng 0 đều là hoành độ của các điểm uốn.

Cũng cần lưu ý rằng định nghĩa về điểm uốn đòi hỏi sự tồn tại của một đường tiếp tuyến hoặc một đường thẳng đứng. Điều này có nghĩa là gì? Và điều này có nghĩa như sau: hoành độ của các điểm uốn có thể là mọi thứ từ miền định nghĩa của hàm mà tại đó Và . Đây thường là những điểm mà tại đó mẫu số của đạo hàm bậc nhất biến mất.

Điều kiện đủ thứ nhất để uốn.

Sau khi tất cả những gì có thể là điểm uốn đã được tìm thấy, bạn nên sử dụng điều kiện đủ thứ nhất để uốnđồ họa chức năng.

Giả sử hàm y=f(x) liên tục tại một điểm, có một tiếp tuyến (có thể thẳng đứng) tại nó, và để hàm này có đạo hàm bậc hai trong một lân cận nào đó của điểm. Sau đó, nếu trong vùng lân cận bên trái và bên phải của , đạo hàm bậc hai có dấu hiệu khác nhau, khi đó là điểm uốn của đồ thị hàm số.

Như bạn có thể thấy, điều kiện đủ thứ nhất không yêu cầu sự tồn tại của đạo hàm thứ hai tại chính điểm đó, nhưng yêu cầu sự tồn tại của nó trong lân cận của điểm.

Bây giờ hãy tóm tắt tất cả thông tin dưới dạng thuật toán.

Thuật toán tìm điểm uốn của hàm số.

Chúng tôi tìm thấy tất cả các điểm uốn có thể có của đồ thị hàm số (hoặc Và ) và tìm ra bằng cách đi qua đạo hàm bậc hai đổi dấu. Các giá trị như vậy sẽ là hoành độ của các điểm uốn và các điểm tương ứng sẽ là điểm uốn của đồ thị hàm số.

Hãy xem xét hai ví dụ về việc tìm điểm uốn để làm rõ.

Ví dụ.

Tìm các điểm uốn và các khoảng lồi, lõm của đồ thị hàm số .

Giải pháp.

Miền xác định của hàm số là toàn bộ tập hợp số thực.

Hãy tìm đạo hàm bậc nhất:

Miền định nghĩa của đạo hàm bậc nhất cũng là toàn bộ tập số thực, do đó các đẳng thức Và không được đáp ứng cho bất kỳ .

Hãy tìm đạo hàm thứ hai:

Hãy cùng tìm hiểu xem giá trị nào của đối số x đạo hàm bậc hai bằng 0:

Do đó, hoành độ của các điểm uốn có thể là x=-2 và x=3.

Bây giờ vẫn còn phải kiểm tra, sử dụng một dấu uốn vừa đủ, tại điểm nào trong số các điểm này đạo hàm bậc hai thay đổi dấu. Để làm điều này, hãy vẽ các điểm x=-2 và x=3 trên trục số và, như trong phương pháp khoảng tổng quát, chúng ta đặt dấu của đạo hàm bậc hai trên mỗi khoảng. Trong mỗi khoảng, hướng lồi của đồ thị hàm số được thể hiện dưới dạng sơ đồ bằng các cung.

Đạo hàm bậc hai đổi dấu từ cộng sang trừ, đi qua điểm x=-2 từ trái sang phải và đổi dấu từ âm sang dương, đi qua x=3. Do đó, cả x=-2 và x=3 đều là hoành độ của các điểm uốn của đồ thị hàm số. Chúng tương ứng với các điểm đồ thị và .

Nhìn lại trục số và dấu của đạo hàm bậc hai trên các khoảng của nó, chúng ta có thể rút ra kết luận về các khoảng lồi và lõm. Đồ thị của hàm số lồi trên khoảng và lõm trên các khoảng và .

Minh họa đồ họa.

Phần của đồ thị hàm số trên khoảng lồi được hiển thị bằng màu xanh lam, trên khoảng lõm – có màu đỏ và các điểm uốn được hiển thị dưới dạng các chấm đen.

Ví dụ.

Tìm hoành độ của tất cả các điểm uốn của đồ thị hàm số .

Giải pháp.

Miền định nghĩa của hàm này là toàn bộ tập hợp số thực.

Hãy tìm đạo hàm.

Đạo hàm cấp một, không giống như hàm số ban đầu, không được xác định tại x=3. Nhưng Và . Do đó, tại điểm có hoành độ x=3 có một tiếp tuyến thẳng đứng với đồ thị của hàm số ban đầu. Do đó, x=3 có thể là hoành độ của điểm uốn của đồ thị hàm số.

Chúng ta tìm đạo hàm bậc hai, phạm vi định nghĩa của nó và các điểm mà tại đó nó triệt tiêu:

Chúng tôi thu được thêm hai trục hoành của các điểm uốn. Chúng tôi đánh dấu cả ba điểm trên trục số và xác định dấu của đạo hàm bậc hai trên mỗi khoảng kết quả.

Đạo hàm bậc hai đổi dấu khi đi qua từng điểm nên đều là trục hoành của các điểm uốn.