Một hàm được gọi là hàm chẵn (lẻ) nếu với bất kỳ và đẳng thức 
.
Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục 
.
Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ.
Ví dụ 6.2. Kiểm tra hàm số chẵn hay lẻ
1)
;
2)
;
3)
.
Giải pháp.
1) Hàm được xác định khi 
. Chúng tôi sẽ tìm thấy 
.
Những thứ kia. 
. Có nghĩa, chức năng này là chẵn.
2) Hàm được xác định khi 
Những thứ kia. 
. Vì vậy, hàm số này là số lẻ.
3) hàm được xác định cho , tức là Vì
,
. Do đó hàm số không chẵn cũng không lẻ. Hãy gọi nó là một hàm có dạng tổng quát.
3. Nghiên cứu hàm số đơn điệu.
Chức năng 
được gọi là tăng (giảm) trong một khoảng nhất định nếu trong khoảng này mỗi giá trị cao hơnđối số tương ứng với giá trị lớn hơn (nhỏ hơn) của hàm.
Hàm tăng (giảm) trong một khoảng nhất định được gọi là hàm đơn điệu.
Nếu chức năng 
khả vi trên khoảng 
và có đạo hàm dương (âm) 
, thì hàm 
tăng (giảm) trong khoảng thời gian này.
Ví dụ 6.3. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số
1)
;
3)
.
Giải pháp.
1) Hàm này được xác định trên toàn bộ trục số. Hãy tìm đạo hàm.
Đạo hàm bằng 0 nếu 
Và 
. Miền định nghĩa là trục số, chia cho các dấu chấm 
,
theo từng khoảng thời gian. Hãy xác định dấu của đạo hàm trong mỗi khoảng.
Trong khoảng thời gian 
đạo hàm âm, hàm số giảm trên khoảng này.
Trong khoảng thời gian 
đạo hàm là dương, do đó, hàm số tăng trong khoảng này.
2) Hàm này được xác định nếu 
hoặc
.
Chúng ta xác định dấu của tam thức bậc hai trong mỗi khoảng.
Vì vậy, miền định nghĩa của hàm
Hãy tìm đạo hàm 
,
, Nếu như 
, tức là 
, Nhưng 
. Hãy xác định dấu của đạo hàm trong các khoảng 
.
Trong khoảng thời gian 
đạo hàm âm nên hàm số giảm trên khoảng 
. Trong khoảng thời gian 
đạo hàm dương, hàm số tăng trong khoảng 
.
4. Nghiên cứu hàm số cực trị.
chấm 
gọi là điểm cực đại (cực tiểu) của hàm số 
, nếu có một lân cận như vậy của điểm 
cái đó dành cho tất cả mọi người 
từ vùng lân cận này sự bất bình đẳng giữ nguyên 
.
Điểm cực đại và cực tiểu của hàm số được gọi là điểm cực trị.
Nếu chức năng 
tại điểm 
có cực trị thì đạo hàm của hàm số tại điểm này bằng 0 hoặc không tồn tại (điều kiện cần để tồn tại cực trị).
Các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại được gọi là tới hạn.
5. Điều kiện đủ để tồn tại cực trị.
Quy tắc 1. Nếu trong quá trình chuyển tiếp (từ trái sang phải) qua điểm tới hạn 
phái sinh 
đổi dấu từ “+” thành “–”, sau đó tại điểm 
chức năng 
có mức tối đa; nếu từ “–” đến “+”, thì mức tối thiểu; Nếu như 
không đổi dấu thì không có cực trị.
Quy tắc 2. Hãy để tại điểm 
đạo hàm đầu tiên của hàm 
bằng 0 
, và đạo hàm bậc hai tồn tại và khác 0. Nếu như 
, Cái đó 
– điểm tối đa, nếu 
, Cái đó 
- điểm cực tiểu của hàm số.
Ví dụ 6.4 . Khám phá các hàm tối đa và tối thiểu:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Giải pháp.
1) Hàm số được xác định và liên tục trên khoảng 
.
Hãy tìm đạo hàm 
và giải phương trình 
, tức là 
.Từ đây 
- điểm quan trọng.
Hãy xác định dấu của đạo hàm trong các khoảng , 
.
Khi đi qua các điểm 
Và 
đạo hàm đổi dấu từ “–” thành “+”, do đó tuân theo quy tắc 1 
- điểm tối thiểu.
Khi đi qua một điểm 
đạo hàm đổi dấu từ “+” thành “-”, do đó 
- điểm tối đa.
,
.
2) Hàm số được xác định và liên tục trong khoảng 
. Hãy tìm đạo hàm 
.
Đã giải được phương trình 
, chúng ta sẽ tìm thấy 
Và 
- điểm quan trọng. Nếu mẫu số 
, tức là 
, thì đạo hàm không tồn tại. Vì thế, 
- điểm tới hạn thứ ba. Hãy xác định dấu của đạo hàm trong các khoảng.
Do đó hàm số đạt cực tiểu tại điểm 
, số điểm tối đa 
Và 
.
3) Một hàm số được xác định và liên tục nếu 
, tức là Tại 
.
Hãy tìm đạo hàm 
.
Hãy tìm những điểm quan trọng: 
Vùng lân cận của các điểm 
không thuộc phạm vi định nghĩa nên chúng không phải là cực trị. Vì vậy, hãy xem xét các điểm quan trọng 
Và 
.
4) Hàm số được xác định và liên tục trên khoảng 
. Hãy sử dụng quy tắc 2. Tìm đạo hàm 
.
Hãy tìm những điểm quan trọng:
Hãy tìm đạo hàm bậc hai 
và xác định dấu của nó tại các điểm 
Tại các điểm 
hàm số có giá trị tối thiểu.
Tại các điểm 
hàm số có cực đại.
Chức năng- đây là một trong những điều quan trọng nhất khái niệm toán học. Hàm - phụ thuộc biến Tại từ biến x, nếu mỗi giá trị X khớp với một giá trị duy nhất Tại. Biến Xđược gọi là biến hoặc đối số độc lập. Biến Tại gọi là biến phụ thuộc. Tất cả các giá trị của biến độc lập (biến x) tạo thành miền định nghĩa của hàm. Tất cả các giá trị mà biến phụ thuộc lấy (biến y), tạo thành phạm vi giá trị của hàm.
Đồ thị hàm số gọi tập hợp tất cả các điểm mặt phẳng tọa độ, các hoành độ của nó bằng các giá trị của đối số và các tọa độ bằng các giá trị tương ứng của hàm, tức là các giá trị của biến được vẽ dọc theo trục abscissa x, và các giá trị của biến được vẽ dọc theo trục tọa độ y. Để vẽ đồ thị hàm số, bạn cần biết các tính chất của hàm số. Các thuộc tính chính của hàm sẽ được thảo luận dưới đây!
Để xây dựng đồ thị của hàm số, chúng tôi khuyên bạn nên sử dụng chương trình của chúng tôi - Vẽ đồ thị hàm số trực tuyến. Nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào khi nghiên cứu tài liệu trên trang này, bạn luôn có thể hỏi họ trên diễn đàn của chúng tôi. Ngoài ra trên diễn đàn họ sẽ giúp bạn giải các bài toán, hóa học, hình học, lý thuyết xác suất và nhiều môn học khác!
Các tính chất cơ bản của hàm.
1) Miền chức năng và phạm vi chức năng.
Miền của hàm là tập hợp tất cả các giá trị đối số hợp lệ x(biến x), trong đó hàm y = f(x) xác định.
Phạm vi của hàm là tập hợp tất cả các giá trị thực y, mà hàm chấp nhận.
TRONG toán tiểu học Hàm số chỉ được nghiên cứu trên tập số thực.
2) Các số 0 của hàm.
Giá trị X, tại đó y=0, gọi điện hàm số không. Đây là các hoành độ của các giao điểm của đồ thị hàm số với trục Ox.
3) Các khoảng hằng dấu của hàm số.
Khoảng dấu hằng số của hàm số là các khoảng giá trị như vậy x, trên đó các giá trị của hàm y chỉ tích cực hoặc chỉ tiêu cực được gọi là các khoảng dấu không đổi của hàm số.
4) Tính đơn điệu của hàm số.
Hàm tăng (trong một khoảng nhất định) là hàm trong đó giá trị lớn hơn của đối số trong khoảng này tương ứng với giá trị lớn hơn của hàm.
Hàm giảm (trong một khoảng nhất định) là hàm trong đó giá trị lớn hơn của đối số trong khoảng này tương ứng với giá trị nhỏ hơn của hàm.
5) Hàm chẵn (lẻ).
Hàm chẵn là hàm có miền định nghĩa đối xứng với gốc tọa độ và với mọi X f(-x) = f(x). Lịch trình hàm số chẵnđối xứng qua trục tọa độ.
Hàm lẻ là hàm có miền định nghĩa đối xứng với gốc tọa độ và với mọi X từ miền định nghĩa thì đẳng thức là đúng f(-x) = - f(x). Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ.
Hàm chẵn
1) Miền định nghĩa đối xứng với điểm (0; 0), nghĩa là nếu điểm Một thuộc miền định nghĩa thì điểm -Một cũng thuộc miền định nghĩa.
2) Với mọi giá trị x f(-x)=f(x)
3) Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục Oy.
Hàm lẻ có các tính chất sau:
1) Miền định nghĩa đối xứng qua điểm (0; 0).
2) với mọi giá trị x, thuộc miền định nghĩa, đẳng thức f(-x)=-f(x)
3) Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ (0; 0).
Không phải mọi hàm đều chẵn hoặc lẻ. Chức năng cái nhìn tổng quát không chẵn cũng không lẻ.
6) Chức năng giới hạn và không giới hạn.
Một hàm được gọi là bị chặn nếu tồn tại một hàm như vậy số dương M sao cho |f(x)| ≤ M với mọi giá trị của x. Nếu số đó không tồn tại thì chức năng là không giới hạn.
7) Tính tuần hoàn của hàm số.
Một hàm f(x) là tuần hoàn nếu có một số T khác 0 sao cho với mọi x từ miền định nghĩa của hàm thì thỏa mãn: f(x+T) = f(x). Cái này số nhỏ nhấtđược gọi là chu kỳ của hàm số. Tất cả hàm lượng giác mang tính định kỳ. (Các công thức lượng giác).
Chức năng fđược gọi là tuần hoàn nếu có một số sao cho bất kỳ x từ miền định nghĩa sự bình đẳng f(x)=f(x-T)=f(x+T). T là chu kỳ của hàm số.
Mọi hàm tuần hoàn đều có tập vô hạn thời kỳ. Trong thực tế, chu kỳ dương nhỏ nhất thường được xem xét.
Các giá trị của hàm tuần hoàn được lặp lại sau một khoảng bằng dấu chấm. Điều này được sử dụng khi xây dựng đồ thị.
Chuyển đổi đồ thị.
Mô tả chức năng bằng lời nói.
Phương pháp đồ họa.
Phương pháp đồ họa để xác định hàm là phương pháp trực quan nhất và thường được sử dụng trong công nghệ. TRONG phân tích toán học Phương pháp đồ họa để xác định chức năng được sử dụng làm minh họa.
Đồ thị hàm số f là tập hợp tất cả các điểm (x;y) của mặt phẳng tọa độ, trong đó y=f(x) và x “chạy qua” toàn bộ miền định nghĩa của hàm này.
Một tập con của mặt phẳng tọa độ là đồ thị của hàm nếu nó có nhiều nhất một điểm chung từ bất kỳ đường thẳng nào, trục song songỒ.
Ví dụ. Các hình vẽ dưới đây có phải là đồ thị của hàm số không?
Lợi thế nhiệm vụ đồ họa là khả năng hiển thị của nó. Bạn có thể thấy ngay cách thức hoạt động của hàm, nơi nó tăng và nơi nó giảm. Từ biểu đồ, bạn có thể tìm ra ngay một số đặc điểm quan trọng của hàm.
Nhìn chung, việc phân tích và cách đồ họa nhiệm vụ chức năng đi đôi với nhau. Làm việc với công thức giúp xây dựng biểu đồ. Và biểu đồ thường gợi ý các giải pháp mà bạn thậm chí không nhận thấy trong công thức.
Hầu như bất kỳ học sinh nào cũng biết ba cách định nghĩa một hàm số mà chúng ta vừa xem xét.
Hãy thử trả lời câu hỏi: "Có cách nào khác để xác định hàm số không?"
Có một cách như vậy.
Chức năng này có thể được chỉ định khá rõ ràng bằng từ ngữ.
Ví dụ: hàm y=2x có thể được xác định bằng mô tả bằng lời sau đây: mỗi hàm giá trị thực tếđối số x được gán giá trị kép của nó. Quy tắc được thiết lập, chức năng được chỉ định.
Hơn nữa, bạn có thể chỉ định bằng lời một hàm cực kỳ khó, nếu không nói là không thể xác định bằng cách sử dụng công thức.
Ví dụ: mỗi giá trị của đối số tự nhiên x được liên kết với tổng các chữ số tạo nên giá trị của x. Ví dụ: nếu x=3 thì y=3. Nếu x=257 thì y=2+5+7=14. Và vân vân. Việc viết điều này ra dưới dạng công thức là một vấn đề. Nhưng thật dễ dàng để tạo ra một dấu hiệu.
Đường mô tả bằng lời nói- một phương pháp khá hiếm khi được sử dụng. Nhưng đôi khi nó có.
Nếu có luật tương ứng một-một giữa x và y thì sẽ tồn tại một hàm. Luật nào, được thể hiện dưới hình thức nào - một công thức, một bảng, một biểu đồ, từ ngữ - không làm thay đổi bản chất của vấn đề.
Chúng ta hãy xem xét các hàm có miền định nghĩa đối xứng với gốc tọa độ, tức là cho bất cứ ai X từ miền định nghĩa số (- X) cũng thuộc miền định nghĩa. Trong số các chức năng này có chẵn và lẻ.
Sự định nghĩa. Hàm f được gọi là thậm chí, nếu vì bất kỳ X từ miền định nghĩa của nó
Ví dụ. Hãy xem xét chức năng 
Nó thậm chí còn. Hãy kiểm tra xem nó ra.
Dành cho bất cứ ai Xđẳng thức được thỏa mãn
Như vậy, cả hai điều kiện đều được đáp ứng, nghĩa là hàm số chẵn. Dưới đây là biểu đồ của chức năng này.
Sự định nghĩa. Hàm f được gọi là số lẻ, nếu vì bất kỳ X từ miền định nghĩa của nó 
Ví dụ. Hãy xem xét chức năng 
Thật là kỳ lạ. Hãy kiểm tra xem nó ra.
Miền định nghĩa là toàn bộ trục số, có nghĩa là nó đối xứng qua điểm (0;0).
Dành cho bất cứ ai Xđẳng thức được thỏa mãn
Như vậy, cả hai điều kiện đều được đáp ứng, có nghĩa là hàm số lẻ. Dưới đây là biểu đồ của chức năng này.
Các đồ thị ở hình thứ nhất và hình thứ ba đối xứng qua trục tọa độ và các đồ thị ở hình thứ hai và hình thứ tư đối xứng qua gốc tọa độ.
Những hàm số nào có đồ thị trong hình là hàm số chẵn và hàm số nào là số lẻ?
Ẩn hiển thị
Các phương pháp xác định hàm
Giả sử hàm số được cho theo công thức: y=2x^(2)-3. Bằng cách gán bất kỳ giá trị nào cho biến độc lập x, bạn có thể tính toán, sử dụng công thức này, các giá trị tương ứng của biến phụ thuộc y. Ví dụ: nếu x=-0,5 thì bằng cách sử dụng công thức, chúng ta thấy rằng giá trị tương ứng của y là y=2 \cdot (-0.5)^(2)-3=-2.5.
Lấy bất kỳ giá trị nào được lấy bởi đối số x trong công thức y=2x^(2)-3, bạn chỉ có thể tính một giá trị của hàm tương ứng với nó. Hàm này có thể được biểu diễn dưới dạng bảng:
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | −4 | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 |
Sử dụng bảng này, bạn có thể thấy rằng đối với giá trị đối số −1 thì giá trị hàm −3 sẽ tương ứng; và giá trị x=2 sẽ tương ứng với y=0, v.v. Điều quan trọng cần biết là mỗi giá trị đối số trong bảng chỉ tương ứng với một giá trị hàm.
Nhiều chức năng hơn có thể được chỉ định bằng cách sử dụng biểu đồ. Sử dụng biểu đồ, người ta xác định giá trị nào của hàm tương quan với một giá trị nhất định x. Thông thường, đây sẽ là giá trị gần đúng của hàm.
Hàm chẵn và lẻ
Chức năng là hàm số chẵn, khi f(-x)=f(x) với mọi x từ miền định nghĩa. Hàm như vậy sẽ đối xứng qua trục Oy.
Chức năng là hàm lẻ, khi f(-x)=-f(x) với mọi x từ miền định nghĩa. Hàm như vậy sẽ đối xứng qua gốc O (0;0) .
Chức năng là thậm chí không, không có gì lạ và được gọi là chức năng chung, khi nó không có sự đối xứng qua trục hoặc gốc tọa độ.
Chúng ta hãy kiểm tra hàm sau đây để biết tính chẵn lẻ:
f(x)=3x^(3)-7x^(7)
D(f)=(-\infty ; +\infty) s diện tích đối xứngđịnh nghĩa liên quan đến nguồn gốc. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).
Điều này có nghĩa là hàm f(x)=3x^(3)-7x^(7) là số lẻ.
hàm tuần hoàn
Hàm y=f(x) , trong miền mà đẳng thức f(x+T)=f(x-T)=f(x) đúng với mọi x, được gọi là hàm tuần hoàn với chu kỳ T \neq 0 .
Lặp lại đồ thị của hàm số trên bất kỳ đoạn nào của trục x có độ dài T.
Các khoảng trong đó hàm số dương, tức là f(x) > 0, là các đoạn của trục hoành độ tương ứng với các điểm của đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành độ.
f(x) > 0 bật (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)
Các khoảng trong đó hàm số âm, tức là f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.
f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cup (x_(2); x_(3))
Chức năng hạn chế
Bị giới hạn từ bên dưới Thông thường, người ta gọi một hàm y=f(x), x \in X khi có một số A mà bất đẳng thức f(x) \geq A đúng với mọi x \in X .
Một ví dụ về hàm giới hạn từ bên dưới: y=\sqrt(1+x^(2)) vì y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 với mọi x .
Bị giới hạn từ trên cao một hàm y=f(x), x \in X được gọi khi có một số B mà bất đẳng thức f(x) \neq B đúng với mọi x \in X .
Một ví dụ về hàm giới hạn dưới đây: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] vì y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 cho mọi x \in [-1;1] .
Giới hạn Người ta thường gọi hàm y=f(x), x \in X khi có số K > 0 thỏa mãn bất đẳng thức \left | f(x)\right | \neq K với mọi x \in X .
Ví dụ chức năng giới hạn: y=\sin x bị giới hạn trên toàn bộ trục số, vì \trái | \sin x \right | \neq 1.
Chức năng tăng giảm
Người ta thường nói hàm số tăng trên khoảng đang xét là chức năng tăng dần khi đó, khi giá trị lớn hơn của x tương ứng với giá trị lớn hơn của hàm y=f(x) . Theo đó, lấy hai giá trị tùy ý của đối số x_(1) và x_(2) từ khoảng đang xét, với x_(1) > x_(2) , kết quả sẽ là y(x_(1)) > y(x_(2)).
Hàm giảm trong khoảng đang xét được gọi là hàm giảm khi giá trị lớn hơn của x tương ứng với giá trị nhỏ hơn của hàm y(x) . Từ đó suy ra rằng lấy hai từ khoảng đang xét giá trị tùy ýđối số x_(1) và x_(2) , với x_(1) > x_(2) , sẽ là y(x_(1))< y(x_{2}) .
Rễ hàm Người ta thường gọi các điểm mà tại đó hàm F=y(x) cắt trục hoành (chúng thu được bằng cách giải phương trình y(x)=0).
a) Nếu với x > 0, hàm chẵn tăng thì nó giảm với x< 0
b) Khi hàm chẵn giảm tại x > 0 thì nó tăng tại x< 0
.png)
c) Khi tại x > 0 hàm lẻ tăng thì nó cũng tăng khi x< 0
d) Khi hàm lẻ giảm khi x > 0 thì nó cũng giảm khi x< 0
.png)
Cực trị của hàm
Điểm tối thiểu của hàm y=f(x) thường được gọi là một điểm x=x_(0) mà lân cận của nó sẽ có các điểm khác (ngoại trừ điểm x=x_(0)), và đối với chúng thì bất đẳng thức f(x) > f sẽ là hài lòng (x_(0)) . y_(min) - chỉ định hàm tại điểm tối thiểu.
Điểm cực đại của hàm y=f(x) thường được gọi là một điểm x=x_(0) mà lân cận của nó sẽ có các điểm khác (ngoại trừ điểm x=x_(0)), và đối với chúng thì bất đẳng thức f(x) sẽ được thỏa mãn< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.
Điều kiện tiên quyết
Theo định lý Fermat: f"(x)=0 khi hàm f(x) khả vi tại điểm x_(0) sẽ đạt cực trị tại điểm này.
Đủ điều kiện
- Khi đạo hàm đổi dấu từ cộng sang trừ thì x_(0) sẽ là điểm cực tiểu;
- x_(0) - sẽ chỉ đạt điểm cực đại khi đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm cố định x_(0) .
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng
Các bước tính toán:
- Đạo hàm f"(x) được tìm kiếm;
- Các điểm cố định và quan trọng của hàm được tìm thấy và những điểm thuộc phân khúc được chọn;
- Các giá trị của hàm f(x) được tìm thấy ở dạng dừng và điểm quan trọng và điểm cuối của đoạn đó. Kết quả thu được càng nhỏ thì giá trị nhỏ nhất của hàm, và hơn thế nữa - lớn nhất.
Sự phụ thuộc của biến y vào biến x, trong đó mỗi giá trị của x tương ứng với một giá trị duy nhất của y được gọi là hàm. Để ký hiệu, hãy sử dụng ký hiệu y=f(x). Mỗi hàm có một số tính chất cơ bản, chẳng hạn như tính đơn điệu, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn và các tính chất khác.
Coi như biết thêm chi tiết sự ngang bằng.
Hàm y=f(x) được gọi ngay cả khi nó thỏa mãn hai điều kiện sau:
2. Giá trị của hàm số tại điểm x thuộc miền định nghĩa của hàm số phải bằng giá trị của hàm số tại điểm -x. Nghĩa là, với bất kỳ điểm x nào, đẳng thức sau phải được thỏa mãn từ miền định nghĩa của hàm: f(x) = f(-x).
Đồ thị hàm số chẵn
Nếu vẽ đồ thị của hàm chẵn thì nó sẽ đối xứng qua trục Oy.
Ví dụ: hàm y=x^2 là hàm chẵn. Hãy kiểm tra xem nó ra. Miền định nghĩa là toàn bộ trục số, có nghĩa là nó đối xứng qua điểm O.
Hãy lấy x=3 tùy ý. f(x)=3^2=9.
f(-x)=(-3)^2=9. Do đó f(x) = f(-x). Như vậy, cả hai điều kiện đều được đáp ứng, nghĩa là hàm số chẵn. Dưới đây là đồ thị của hàm y=x^2.
Hình vẽ cho thấy đồ thị đối xứng qua trục Oy.
Đồ thị hàm số lẻ
Hàm y=f(x) được gọi là hàm số lẻ nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau:
1. Miền định nghĩa của hàm số cho trước phải đối xứng với điểm O. Nghĩa là nếu một điểm a nào đó thuộc miền định nghĩa của hàm số thì điểm tương ứng-a cũng phải thuộc phạm vi của hàm đã cho.
2. Với mọi điểm x, đẳng thức sau phải được thỏa mãn từ miền định nghĩa của hàm số: f(x) = -f(x).
Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua điểm O - gốc tọa độ. Ví dụ: hàm y=x^3 là số lẻ. Hãy kiểm tra xem nó ra. Miền định nghĩa là toàn bộ trục số, có nghĩa là nó đối xứng qua điểm O.
Hãy lấy x=2 tùy ý. f(x)=2^3=8.
f(-x)=(-2)^3=-8. Do đó f(x) = -f(x). Như vậy, cả hai điều kiện đều được đáp ứng, có nghĩa là hàm số lẻ. Dưới đây là đồ thị của hàm y=x^3.
Hình vẽ cho thấy rõ rằng hàm số lẻ y=x^3 đối xứng qua gốc tọa độ.