Tam giác - một đa giác có ba cạnh hoặc khép kín đường gãy có ba liên kết hoặc một hình được tạo thành bởi ba đoạn nối ba điểm không nằm trên cùng một đường thẳng (xem Hình 1).
Yếu tố cơ bản tam giác abc
Đỉnh – các điểm A, B và C;
các bữa tiệc – các đoạn thẳng a = BC, b = AC và c = AB nối các đỉnh;
góc – α, β, γ tạo thành bởi ba cặp cạnh. Các góc thường được ký hiệu giống như các đỉnh, với các chữ cái A, B và C.
Góc tạo bởi các cạnh của một tam giác và nằm trong diện tích bên trong của tam giác đó được gọi là góc trong, góc kề với nó là góc kề của tam giác đó (2, tr. 534).
Đường cao, đường trung bình, đường phân giác và đường trung bình của một tam giác
Ngoài các yếu tố chính trong một tam giác, các đoạn khác có các tính chất thú vị cũng được xem xét: chiều cao, đường trung tuyến, đường phân giác và đường giữa.
Chiều cao
Chiều cao tam giác- đây là những đường vuông góc hạ từ các đỉnh của tam giác sang các cạnh đối diện.
Để vẽ chiều cao, bạn phải thực hiện các bước sau:
1) vẽ đường thẳng chứa một cạnh của tam giác (nếu chiều cao được vẽ từ đỉnh góc nhọn trong một tam giác tù);
2) từ đỉnh nằm đối diện với đường vẽ, vẽ một đoạn từ điểm đến đường thẳng này, tạo một góc 90 độ với nó.
Giao điểm của đường cao với cạnh của tam giác gọi là đế chiều cao (xem hình 2).
Tính chất đường cao của tam giác
Trong tam giác vuông, đường cao tính từ đỉnh góc vuông, chia nó thành hai hình tam giác đồng dạng với tam giác ban đầu.
Trong một tam giác nhọn, hai đường cao của nó cắt các tam giác đồng dạng khỏi nó.
Nếu tam giác nhọn thì tất cả các đáy của các đường cao đều thuộc các cạnh của tam giác và tam giác tù hai độ cao rơi vào sự tiếp tục của các bên.
Ba độ cao trong tam giác nhọn cắt nhau tại một điểm và điểm này được gọi là trực tâm tam giác.
trung vị
trung vị(từ tiếng Latin mediana - "giữa") - đây là các đoạn nối các đỉnh của tam giác với trung điểm của các cạnh đối diện (xem Hình 3).
Để xây dựng trung vị, bạn phải thực hiện các bước sau:
1) tìm phần giữa của cạnh;
2) nối điểm nằm giữa cạnh của tam giác với đỉnh đối diện bằng một đoạn thẳng.
Tính chất đường trung tuyến của tam giác
Đường trung tuyến chia tam giác thành hai tam giác có diện tích bằng nhau.
Các đường trung tuyến của một tam giác cắt nhau tại một điểm, điểm này chia mỗi đường trung tuyến theo tỷ lệ 2:1, tính từ đỉnh. Điểm này được gọi là trọng tâm tam giác.
Toàn bộ tam giác được chia bởi các đường trung tuyến của nó thành sáu hình tam giác bằng nhau.
Phân giác
Phân giác(từ tiếng Latin bis - hai lần và seko - cắt) là các đoạn thẳng nằm bên trong một hình tam giác chia đôi các góc của nó (xem Hình 4).
Để dựng đường phân giác ta thực hiện các bước sau:
1) dựng tia đi ra từ đỉnh của góc và chia nó thành hai phần bằng nhau (đường phân giác của góc);
2) Tìm giao điểm của đường phân giác của góc của tam giác với cạnh đối diện;
3) chọn đoạn nối đỉnh của tam giác với giao điểm ở cạnh đối diện.
Tính chất đường phân giác của tam giác
Đường phân giác của một góc trong tam giác chia cạnh đối diện theo tỉ số bằng tỷ lệ hai cạnh kề nhau.
Phân giác góc bên trong tam giác cắt nhau tại một điểm. Điểm này được gọi là tâm của đường tròn nội tiếp.
Các đường phân giác của góc trong và góc ngoài vuông góc với nhau.
Nếu đường phân giác của một góc ngoài của tam giác cắt phần tiếp theo phía đối diện, thì ADBD=ACBC.
Phân giác của một bên trong và hai góc bên ngoài tam giác cắt nhau tại một điểm. Điểm này là tâm của một trong ba điểm vòng ngoài tam giác này.
Hai đáy của các đường phân giác của hai góc trong và một góc ngoài của một tam giác nằm trên một đường thẳng nếu đường phân giác của góc ngoài không song song với cạnh đối diện của tam giác.
Nếu các đường phân giác của các góc ngoài của một tam giác không song song với các cạnh đối diện thì đáy của chúng cùng nằm trên một đường thẳng.
Định lý phân giác của tam giác:
Đường phân giác của một tam giác chia cạnh của nó cho
phần tỉ lệ với hai cạnh còn lại
MỘT
1
TRONG
DS
VD
=
AC
AB
2
D
VỚI
)
Cho ∆ABC có các cạnh AB, BC, AC và
phân giác AD thì các đẳng thức sau có giá trị:
MỘT
1
TRONG
BC AB
1) ĐB
,
AC AB
2
BC AC
2) DC
,
AC AB
D
VỚI Khẳng định sau đây liên quan đến đường phân giác
AD có cạnh ∆ABC:
Bình phương phân giác của một tam giác,
được vẽ từ bất kỳ đỉnh nào của nó,
bằng tích hai cạnh của nó,
MỘT
được thực hiện từ cùng một đỉnh cao,
trừ đi tích của các phân số thứ ba
1
TRONG
2
QUẢNG CÁO AB AC DB DC
2
D
VỚI Tính chất đường trung tuyến của một tam giác:
Các đường trung tuyến của một tam giác cắt nhau tại một
điểm chia mỗi đường trung tuyến tại
tỉ lệ 2:1 tính từ trên xuống.
VỚI
CÔNG TY CỔ PHẦN VÕ
2
=
=
OV1 A1O
1
B1
A1
VỀ
MỘT
TRONG Cho: ABC, BB1 = 15 cm
Tìm: VO, OV1
B1
Vấn đề 1
VỚI
5
A1
VỀ
10
MỘT
C1
TRONG Cho: ABC, OB1 = 4cm
Tìm: VO, BB1
B1
Vấn đề 2
VỚI
4
A1
VỀ
8
MỘT
C1
TRONG Định lý trung tuyến tam giác:
Bình phương đường trung tuyến của một tam giác vẽ từ
bất kỳ đỉnh nào của nó đều bằng một nửa tổng
hình vuông có hai cạnh của nó được vẽ từ cùng một
các đỉnh trừ đi 1/4 cạnh thứ ba
MỘT
AB AC BC
LÀ
2
2
4
2
2
2
2
1
2
2
2
LÀ
2 AB 2 AC BC
2
TRONG
M
VỚI Kết quả:
Tổng bình phương các đường chéo của hình bình hành
bằng tổng bình phương các cạnh của nó.
D
VỚI
AC2+VD2=AV2+BC2+SD2+AD2
AC2+VD2=2АВ2+2ВС2
MỘT
TRONG Vấn đề 3
Đáy của tam giác là 22 dm,
MỘT bên 13 dm và 19 dm.
Xác định đường trung bình của đáy.
MỘT
Đáp số: 12dm
TRONG
M
VỚI Vấn đề 4
Trong một tam giác, hai cạnh bằng 11
và 23 và trung tuyến của cạnh thứ ba là
10. Tìm bên thứ ba
MỘT
Đáp án: 30
TRONG
M
VỚI Vấn đề 5
Trong tam giác ABC, hãy xác định
phân giác A ở độ dài tiếp theo
các cạnh: 1) a = 7, b = 6, c = 8;
MỘT
2) a = 18, b = 15, c = 12;
1
2
Trả lời: 1) 6
Đáp án: 2) 10
TRONG
D
VỚI Vấn đề 6
Các cạnh của hình bình hành là 10 và 24,
và một trong các đường chéo bằng 26. Tìm
độ dài đường chéo kia.
D
MỘT
VỀ
Đáp án: 26
TRONG
VỚI trừu tượng
Cho tam giác ABC, xác định đường phân giác của góc A
có độ dài các cạnh như sau: a = 39, b = 20, c = 45.
câu hỏi 17 – 22 (trang 157)
Các cạnh của tam giác là 11, 13 và 12. Tìm
đường trung tuyến được vẽ về phía dài hơn.
№32, №
3311(tr.
158)
Các cạnh của hình bình hành
bình đẳng
và 23,
và các đường chéo
tỷ lệ là 2:3. Tìm độ dài các đường chéo
Ôn tập: công thức tính diện tích
Nếu một sinh viên tốt nghiệp dự định tham gia Kỳ thi Thống nhất về toán học cấp độ cơ bản và phấn đấu để đạt được điểm số cạnh tranh, anh ấy chắc chắn phải học cách giải các bài toán yêu cầu tìm chiều cao của một hình tam giác. Các nhiệm vụ đo độ phẳng tương tự cũng gặp phải trong bài kiểm tra chứng nhận từ năm này sang năm khác. Điều này có nghĩa là học sinh ở bất kỳ trình độ đào tạo nào cũng phải đối mặt với các bài toán trong Kỳ thi Thống nhất trong đó số lượng yêu cầu là chiều cao của một hình tam giác.
Thông tin hữu ích
Các bài thi Thống nhất trạng thái yêu cầu tìm góc giữa chiều cao và đường trung tuyến hoặc kích thước khác của một tam giác thường có thể được giải bằng cách nhớ lại các khái niệm cơ bản từ cơ bản. khóa học. Nên làm theo thuật toán cụ thể. Đầu tiên thực hiện một bản vẽ. Sau đó vẽ đồ thị tất cả các dữ liệu đã biết trên đó theo điều kiện. Sau này cần phải xác định mọi thứ khái niệm hình học(đường phân giác, đường trung bình của một tam giác, v.v.), đã biết và cần tìm trong bài thi Kỳ thi Thống nhất. Sau khi thực hiện điều này, hãy nhớ các định lý liên quan đến chúng và suy ngẫm về bản vẽ tất cả các mối quan hệ giữa các phần tử theo sau chúng một cách hợp lý. Hãy đưa ra một ví dụ. Nếu ở Nhiệm vụ thi quốc gia thống nhất chúng ta gặp khái niệm “đường phân giác của một góc của một tam giác”, cần nhớ định nghĩa và các tính chất cơ bản của nó, sau đó tìm và suy ngẫm về hình vẽ bằng hoặc phân đoạn tỷ lệ và các góc.
Làm thế nào để chuẩn bị cho kỳ thi?
Các bài tập trong Kỳ thi Thống nhất về tìm góc giữa các đường phân giác của một tam giác cũng như các phép tính có gây khó khăn cho bạn không? Cổng thông tin giáo dục Shkolkovo sẽ giúp bạn giải quyết vấn đề này. Với chúng tôi, bạn có thể xem lại tài liệu về các chủ đề khó đối với bạn. Các chuyên gia của chúng tôi đã thu thập và trình bày tất cả thông tin lý thuyết ở dạng dễ tiếp cận và dễ hiểu nhất.
Đối với mỗi nhiệm vụ trên cổng thông tin, bạn sẽ tìm thấy câu trả lời đúng và mô tả về thuật toán giải pháp. Bạn có thể luyện tập với bài tập đơn giản, cũng như với những cái phức tạp hơn. Sinh viên tốt nghiệp có thể thực hành giải các bài toán tìm góc giữa đường phân giác và đường trung tuyến của một tam giác, bài thi này được tìm thấy trong Kỳ thi Thống nhất trực tuyến từ bất kỳ khu vực nào của Nga. Sau khi hoàn thành nhiệm vụ, học sinh có cơ hội lưu nó vào phần “Yêu thích”, sau đó, nếu cần, có thể thảo luận với giáo viên ở trường hoặc gia sư.
Để giải các bài toán hình học liên quan đến hình tam giác, điều quan trọng là phải hiểu một sự thật đơn giản nhưng quan trọng. Có một tiêu chuẩn thứ ba về sự bằng nhau của các tam giác (“ba cạnh”), từ đó suy ra rằng không có hai tam giác nào bằng nhau. hình tam giác khác nhau Với các mặt giống hệt nhau. Do đó, khi biết độ dài tất cả các cạnh của một tam giác, bạn có thể tìm ra mọi thứ bạn cần về tam giác này. Bao gồm độ dài các đường trung tuyến, đường phân giác và đường cao của nó. Chúng ta hãy xem xét chi tiết hơn về cách thực hiện điều này.
Định lý độ dài độ cao tam giác
Để tìm độ dài đường cao của một hình tam giác, bạn có thể viết diện tích của nó theo hai cách. Thứ nhất, sử dụng công thức Heron, và thứ hai, bằng một nửa tích của chiều cao và đáy mà chiều cao đã cho được vẽ.
đây là nửa chu vi của tam giác.
Từ việc so sánh các công thức này, chúng tôi thấy:
Lưu ý rằng đây chỉ là một cách để tìm chiều dài của hình tam giác dọc theo các cạnh của nó, cách này không phải lúc nào cũng thuận tiện. tồn tại rất đa dạng những cách thay thế mà độc giả có thể làm quen ở các bài học trước.
| Ví dụ 1. Biết khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến cạnh AB tam giác ABC bằng một nửa bán kính của đường tròn này. Tìm chiều cao của hình tam giác ABC, hạ xuống một bên AB, nếu nó (chiều cao) nhỏ hơn và hai cạnh còn lại là 2 và 3.
|
Giải pháp. Tam giác BOA trong hình là hình cân, do đó ∠ OAH = ∠ OBH= 30° (chân tam giác vuông, nằm đối diện một góc 30°, bằng một nửa cạnh huyền). Sau đó ∠ BOA và cung tương ứng của đường tròn chứa nó bằng 120°. Khi đó cung mà ∠ BCA nằm trên đó bằng 240°, nghĩa là góc ∠ BCA = 120°.
Diện tích của một hình tam giác ABC chúng ta tìm theo công thức: 
Chiều dài cạnh AB chúng ta tìm thấy việc sử dụng định lý cosin cho một tam giác ABC, nó bằng . Mặt khác, diện tích của một hình tam giác bằng một nửa tích của chiều cao và đáy mà chiều cao đã cho được vẽ. Từ đây chúng ta biểu thị chiều dài chiều cao cần thiết mà trường hợp ít hơn với một tam giác nhọn ABC không phù hợp. Hãy tự mình kiểm tra nó.
Nhiệm vụ cho quyết định độc lập №1. Trong tam giác nhọn ABC BC = Một, A.C. = b, ∠ ACB bằng α . Tìm chiều cao đĩa CD và ∠ ABC.
Hiển thị câu trả lờiTrả lời:
Định lý về độ dài đường trung tuyến của một tam giác
Đường trung tuyến của một tam giác được xác định qua ba cạnh của nó bằng công thức:
Ở đâu Một, b, c- các cạnh của tam giác, tôi a là đường trung bình được vẽ tới Một. Bạn đọc quan tâm có thể xem bằng chứng của tuyên bố này trong video hướng dẫn.
| Ví dụ 2. Trong một hình tam giác ABC với bên AB= từ trên xuống B sang một bên A.C. trung vị được thực hiện B.M.= và chiều cao B.H.= 2. Tìm cạnh BC, nếu biết rằng ∠ B + ∠ C< 90°.
|
Giải pháp. Từ việc phân tích các điều kiện của bài toán, chúng ta kết luận rằng ∠ MỘT- thẳng thừng. Thật vậy, tổng các góc trong một tam giác bằng 180°. Sử dụng định lý Pythagore, chúng ta tìm được độ dài H.A.= 1. Tiếp theo, sử dụng định lý Pythagore, chúng ta tìm được độ dài H.M.= 2. Do đó, LÀ. = H.M. — H.A.= 1. Đồng thời LÀ. = MC= 1 (vì B.M.- trung vị). Vì thế, HC = H.A. + LÀ. + MC= 3. Do đó, theo định lý Pythagore BC= . Bằng cách thay thế trực tiếp, chúng tôi xác minh tính hợp lệ của công thức thu được trước đó về độ dài trung tuyến của một tam giác.
Bài toán tìm lời giải độc lập số 2. Trong một hình tam giác ABCđường trung tuyến kéo sang hai bên A.C. Và BC, cắt nhau vuông góc. Người ta biết rằng A.C. = b, BC = Một. Tìm độ dài cạnh AB.
Hiển thị câu trả lờiTrả lời:
Định lý độ dài đường phân giác của tam giác
Độ dài đường phân giác của một tam giác được xác định bởi công thức sau: 
trong đó - đường phân giác vẽ sang một bên - các đoạn mà đường phân giác chia cạnh liền kề với các cạnh và tương ứng. Bạn đọc quan tâm có thể xem bằng chứng của tuyên bố này trong video hướng dẫn.
Giải pháp.Đầu tiên chúng ta hãy tìm độ dài của các đoạn C.L. Và LA. Để làm điều này, chúng ta sử dụng tính chất phân giác của một tam giác. Đường phân giác của một tam giác bị đứt phía đối diện thành các đoạn tỉ lệ với các cạnh liền kề. Đó là C.L.: C.B. = LA: B.A. hoặc C.L.: 4 = LA: 8. Cũng xét rằng C.L.+ LA= 9, chúng tôi hiểu điều đó C.L. = 3, LA= 6. Theo định lý đã được chứng minh trước đó, độ dài đường phân giác B.L. có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng công thức sau: B.L. 2 = C.B. · B.A. — C.L. · LA= 4 8 - 3 6 = 14. Vì vậy, B.L. =
Bài toán tìm lời giải độc lập số 3. Trong một hình tam giác ABC bên AB bằng 21, phân giác BD bằng một đoạn DC bằng 8. Tìm chu vi của tam giác ABC.
Hiển thị câu trả lời