Khai triển đa thức để thu được tích đôi khi có vẻ khó hiểu. Nhưng nó không khó lắm nếu bạn hiểu rõ quy trình từng bước. Bài viết mô tả chi tiết cách phân tích tam thức bậc hai.
Nhiều người không hiểu cách phân tích một tam thức bình phương và tại sao phải làm như vậy. Lúc đầu, nó có vẻ giống như một bài tập vô ích. Nhưng trong toán học không có gì được thực hiện mà không có kết quả. Việc chuyển đổi là cần thiết để đơn giản hóa biểu thức và dễ tính toán.
Một đa thức có dạng – ax²+bx+c, gọi là tam thức bậc hai. Thuật ngữ "a" phải là tiêu cực hoặc tích cực. Trong thực tế, biểu thức này được gọi là phương trình bậc hai. Vì vậy, đôi khi họ nói khác đi: cách khai triển phương trình bậc hai.
Hấp dẫn! Một đa thức được gọi là bình phương vì bậc lớn nhất của nó là bình phương. Và một tam thức - vì có 3 thành phần.
Một số loại đa thức khác:
- nhị thức tuyến tính (6x+8);
- tứ giác bậc ba (x³+4x²-2x+9).
Phân tích thành nhân tử của tam thức bậc hai
Đầu tiên, biểu thức bằng 0, sau đó bạn cần tìm giá trị của các nghiệm x1 và x2. Có thể không có rễ, có thể có một hoặc hai rễ. Sự hiện diện của rễ được xác định bởi sự phân biệt đối xử. Bạn cần phải thuộc lòng công thức của nó: D=b2-4ac.
Nếu kết quả D âm tính thì không có nghiệm. Nếu dương thì có hai gốc. Nếu kết quả bằng 0 thì gốc là một. Các gốc cũng được tính bằng công thức.
Nếu khi tính toán biệt thức, kết quả bằng 0, bạn có thể sử dụng bất kỳ công thức nào. Trong thực tế, công thức được rút gọn đơn giản: -b / 2a.
Các công thức cho các giá trị phân biệt khác nhau là khác nhau.
Nếu D dương:
Nếu D bằng 0:
Máy tính trực tuyến
Có một máy tính trực tuyến trên Internet. Nó có thể được sử dụng để thực hiện nhân tố hóa. Một số tài nguyên cung cấp cơ hội để xem giải pháp từng bước. Những dịch vụ như vậy giúp hiểu rõ hơn về chủ đề, nhưng bạn cần cố gắng hiểu rõ về nó.
Video hữu ích: Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử
Ví dụ
Chúng tôi khuyên bạn nên xem xét các ví dụ đơn giản về cách phân tích một phương trình bậc hai.
ví dụ 1
Điều này cho thấy rõ rằng kết quả là hai x vì D dương. Chúng cần được thay thế vào công thức. Nếu các nghiệm âm, dấu trong công thức sẽ thay đổi ngược lại.
Chúng ta biết công thức phân tích thành thừa số của một tam thức bậc hai: a(x-x1)(x-x2). Chúng ta đặt các giá trị trong ngoặc: (x+3)(x+2/3). Không có số nào đứng trước một thuật ngữ trong lũy thừa. Điều này có nghĩa là có một cái ở đó, nó sẽ đi xuống.
Ví dụ 2
Ví dụ này cho thấy rõ cách giải phương trình có một nghiệm.
Chúng tôi thay thế giá trị kết quả:
Ví dụ 3
Cho: 5x²+3x+7
Đầu tiên, hãy tính giá trị phân biệt, như trong các trường hợp trước.
D=9-4*5*7=9-140= -131.
Phân biệt đối xử là tiêu cực, có nghĩa là không có gốc rễ.
Sau khi nhận được kết quả, bạn nên mở ngoặc và kiểm tra kết quả. Tam thức ban đầu sẽ xuất hiện.
Giải pháp thay thế
Một số người không bao giờ có thể kết bạn với người phân biệt đối xử. Có một cách khác để phân tích một tam thức bậc hai thành nhân tử. Để thuận tiện, phương pháp này được hiển thị với một ví dụ.
Cho: x2+3x-10
Chúng tôi biết rằng chúng tôi sẽ nhận được 2 dấu ngoặc: (_)(_). Khi biểu thức trông như thế này: x²+bx+c, ở đầu mỗi dấu ngoặc, chúng ta đặt x: (x_)(x_). Hai số còn lại là tích cho ra “c”, tức là trong trường hợp này là -10. Cách duy nhất để tìm ra những con số này là bằng cách chọn lọc. Các số được thay thế phải tương ứng với số hạng còn lại.
Ví dụ: nhân các số sau sẽ cho -10:
- -1, 10;
- -10, 1;
- -5, 2;
- -2, 5.
- (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. KHÔNG.
- (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. KHÔNG.
- (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. KHÔNG.
- (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Phù hợp.
Điều này có nghĩa là phép biến đổi của biểu thức x2+3x-10 trông giống như sau: (x-2)(x+5).
Quan trọng! Bạn nên cẩn thận để không nhầm lẫn các dấu hiệu.
Khai triển tam thức phức
Nếu “a” lớn hơn một thì khó khăn bắt đầu. Nhưng mọi thứ không khó khăn như nó có vẻ.
Để phân tích thành nhân tử, trước tiên bạn cần xem liệu có điều gì có thể được phân tích thành nhân tử hay không.
Ví dụ: cho biểu thức: 3x²+9x-30. Ở đây số 3 được lấy ra khỏi ngoặc:
3(x2+3x-10). Kết quả là tam thức đã được biết đến. Câu trả lời như sau: 3(x-2)(x+5)
Làm thế nào để phân hủy nếu số hạng trong hình vuông là số âm? Trong trường hợp này, số -1 được lấy ra khỏi ngoặc. Ví dụ: -x²-10x-8. Biểu thức khi đó sẽ trông như thế này:
Đề án này khác một chút so với kế hoạch trước. Chỉ có một vài điều mới. Giả sử biểu thức đã cho: 2x²+7x+3. Đáp án cũng được viết bằng 2 dấu ngoặc cần điền (_)(_). Trong dấu ngoặc thứ 2 được viết là x, và ở dấu ngoặc thứ 1 là phần còn lại. Nó trông như thế này: (2x_)(x_). Nếu không, sơ đồ trước đó sẽ được lặp lại.
Số 3 được cho bởi các số:
- -1, -3;
- -3, -1;
- 3, 1;
- 1, 3.
Chúng tôi giải phương trình bằng cách thay thế những con số này. Tùy chọn cuối cùng là phù hợp. Điều này có nghĩa là phép biến đổi của biểu thức 2x²+7x+3 trông giống như sau: (2x+1)(x+3).
Các trường hợp khác
Không phải lúc nào cũng có thể chuyển đổi một biểu thức. Với phương pháp thứ hai, việc giải phương trình là không cần thiết. Nhưng khả năng chuyển đổi các thuật ngữ thành sản phẩm chỉ được kiểm tra thông qua yếu tố phân biệt.
Cần luyện tập giải phương trình bậc hai để khi sử dụng các công thức không gặp khó khăn.
Video hữu ích: phân tích thành thừa số tam thức
Phần kết luận
Bạn có thể sử dụng nó theo bất kỳ cách nào. Nhưng tốt hơn hết là hãy luyện tập cả hai cho đến khi chúng trở nên tự động. Ngoài ra, việc học cách giải tốt các phương trình bậc hai và nhân tử đa thức là cần thiết cho những ai đang có ý định gắn kết cuộc sống của mình với toán học. Tất cả các chủ đề toán học sau đây đều được xây dựng trên cơ sở này.
Việc nghiên cứu nhiều mô hình vật lý và hình học thường dẫn đến việc giải các bài toán bằng tham số. Một số trường đại học còn đưa các phương trình, bất đẳng thức và hệ thống của chúng vào bài thi, chúng thường rất phức tạp và yêu cầu cách giải không chuẩn. Ở trường, đây là một trong những phần khó nhất của môn đại số ở trường chỉ được xem xét trong một số môn học tự chọn hoặc môn học.
Theo tôi, phương pháp đồ thị hàm số là một cách thuận tiện và nhanh chóng để giải phương trình có tham số.
Như đã biết, liên quan đến các phương trình có tham số, có hai công thức của bài toán.
- Giải phương trình (với mỗi giá trị tham số, tìm tất cả nghiệm của phương trình).
- Tìm tất cả các giá trị của tham số sao cho nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện đã cho.
Trong bài báo này, một bài toán loại thứ hai được xem xét và nghiên cứu liên quan đến nghiệm của một tam thức bình phương, việc tìm ra nó được rút gọn thành việc giải một phương trình bậc hai.
Tác giả hy vọng công trình này sẽ giúp ích cho giáo viên khi soạn bài và chuẩn bị cho học sinh bước vào kỳ thi Thống nhất.
1. Tham số là gì
Biểu thức của hình thức Ah 2 + bx + c trong khóa học đại số ở trường họ gọi là tam thức bậc hai đối với X,Ở đâu một, b, c được cho số thực và, Một=== 0. Các giá trị của biến x mà tại đó biểu thức trở thành 0 được gọi là nghiệm của tam thức bình phương. Để tìm nghiệm của một tam thức bậc hai, bạn cần giải phương trình bậc hai Ah 2 + bх + c = 0.
Hãy nhớ lại các phương trình cơ bản trong khóa học đại số ở trường rìu + b = 0;
aх2 + bх + c = 0. Khi tìm kiếm nghiệm của chúng, giá trị của các biến một, b, c, bao gồm trong phương trình được coi là cố định và cho trước. Bản thân các biến được gọi là tham số. Vì không có định nghĩa về tham số trong sách giáo khoa ở trường nên tôi đề xuất lấy phiên bản đơn giản nhất sau đây làm cơ sở.
Sự định nghĩa.Tham số là một biến độc lập, giá trị của nó trong bài toán được coi là một số thực cố định hoặc tùy ý cho trước hoặc một số thuộc một tập hợp xác định trước.
2. Các dạng và phương pháp cơ bản giải bài toán có tham số
Trong số các tác vụ có tham số, có thể phân biệt các loại tác vụ chính sau đây.
- Các phương trình phải được giải đối với bất kỳ giá trị nào của (các) tham số hoặc đối với các giá trị tham số thuộc một tập hợp được chỉ định trước. Ví dụ. Giải phương trình: rìu = 1, (Một - 2)x = một 2 – 4.
- Các phương trình cần xác định số lượng nghiệm tùy thuộc vào giá trị của tham số (tham số). Ví dụ. Ở giá trị tham số nào Một phương trình 4X 2 – 4rìu + 1 = 0 có một gốc duy nhất?
- Các phương trình trong đó, đối với các giá trị tham số bắt buộc, tập hợp các nghiệm thỏa mãn các điều kiện đã chỉ định trong miền định nghĩa.
Ví dụ: tìm các giá trị tham số mà tại đó nghiệm của phương trình ( Một - 2)X 2
–
2rìu + một + 3 =
0
tích cực.
Các cách chính để giải quyết vấn đề với một tham số: phân tích và đồ họa.
Phân tích- Đây là một phương pháp được gọi là giải trực tiếp, lặp lại các quy trình chuẩn để tìm đáp án trong các bài toán không có tham số. Hãy xem xét một ví dụ về một nhiệm vụ như vậy.
Nhiệm vụ số 1
Tại giá trị nào của tham số a phương trình thực hiện X 2 – 2rìu + một 2 – 1 = 0 có hai nghiệm khác nhau thuộc đoạn (1; 5)?
Giải pháp
X 2 –
2rìu + một 2 –
1 = 0.
Theo điều kiện của bài toán, phương trình phải có hai nghiệm khác nhau và điều này chỉ có thể thực hiện được với điều kiện: D > 0.
Ta có: D = 4 Một 2 – 2(MỘT 2 – 1) = 4. Như chúng ta có thể thấy, phân biệt đối xử không phụ thuộc vào a, do đó, phương trình có hai nghiệm khác nhau cho bất kỳ giá trị nào của tham số a. Hãy tìm nghiệm nguyên của phương trình: X 1 = MỘT + 1, X 2
= MỘT – 1
Các nghiệm của phương trình phải thuộc khoảng (1; 5), tức là
Vì vậy, vào lúc 2<MỘT < 4 данное уравнение имеет
два различных корня, принадлежащих промежутку (1;
5)
Trả lời: 2<MỘT < 4.
Cách tiếp cận này để giải các bài toán thuộc loại đang được xem xét là khả thi và hợp lý trong trường hợp phân biệt của phương trình bậc hai là “tốt”, tức là. là bình phương chính xác của bất kỳ số hoặc biểu thức nào, hoặc có thể tìm ra nghiệm của phương trình bằng định lý nghịch đảo của Vieta. Khi đó, các nghiệm không biểu diễn các biểu thức vô tỉ. Mặt khác, việc giải quyết các vấn đề thuộc loại này bao gồm các thủ tục khá phức tạp xét theo quan điểm kỹ thuật. Và việc giải các bất đẳng thức vô tỉ đòi hỏi học sinh phải có kiến thức mới.
Đồ họa- đây là phương pháp sử dụng đồ thị trong mặt phẳng tọa độ (x; y) hoặc (x; a). Sự rõ ràng và vẻ đẹp của phương pháp giải quyết này giúp tìm ra cách giải quyết vấn đề nhanh chóng. Hãy giải quyết vấn đề số 1 bằng đồ họa.
Như bạn đã biết từ một khóa học đại số, nghiệm của một phương trình bậc hai (tam thức bậc hai) là các số 0 của hàm bậc hai tương ứng: Y = X 2
– 2Ồ + MỘT 2 – 1. Đồ thị của hàm số là parabol, các nhánh hướng lên trên (hệ số thứ nhất là 1). Một mô hình hình học đáp ứng mọi yêu cầu của bài toán sẽ trông như thế này.
Bây giờ tất cả những gì còn lại là “cố định” parabol ở vị trí mong muốn bằng các điều kiện cần thiết.
- Vì parabol có hai điểm giao nhau với trục X, thì D > 0.
- Đỉnh của parabol nằm giữa các đường thẳng đứng X= 1 và X= 5, do đó trục hoành của đỉnh parabol x o thuộc khoảng (1; 5), tức là
1 <Xồ< 5. - Chúng tôi nhận thấy rằng Tại(1) > 0, Tại(5) > 0.
Vì vậy, chuyển từ mô hình hình học của bài toán sang mô hình phân tích, chúng ta thu được hệ bất đẳng thức.
Trả lời: 2<MỘT < 4.
Như có thể thấy từ ví dụ, có thể sử dụng phương pháp đồ họa để giải các bài toán thuộc loại đang được xem xét trong trường hợp nghiệm "xấu", tức là. chứa một tham số dưới dấu căn (trong trường hợp này, phân biệt của phương trình không phải là một bình phương hoàn hảo).
Trong phương pháp giải thứ hai, chúng ta đã làm việc với các hệ số của phương trình và phạm vi của hàm số Tại = X 2 – 2Ồ + MỘT 2
– 1.
Phương pháp giải này không thể chỉ gọi là đồ họa, bởi vì ở đây chúng ta phải giải một hệ bất đẳng thức. Đúng hơn, phương pháp này được kết hợp: chức năng và đồ họa. Trong hai phương pháp này, phương pháp sau không chỉ thanh lịch mà còn quan trọng nhất, vì nó cho thấy mối quan hệ giữa tất cả các loại mô hình toán học: mô tả bằng lời của bài toán, mô hình hình học - đồ thị của tam thức bậc hai, phân tích mô hình - mô tả mô hình hình học bằng hệ bất đẳng thức.
Vì vậy, chúng ta đã xem xét một bài toán trong đó nghiệm của một tam thức bậc hai thỏa mãn các điều kiện cho trước trong miền định nghĩa đối với các giá trị tham số mong muốn.
Những điều kiện khả dĩ nào khác mà các nghiệm của một tam thức bậc hai có thể thỏa mãn để có được các giá trị tham số mong muốn?
Xét phương trình bậc hai:
(1)
.
Căn nguyên của một phương trình bậc hai(1) được xác định theo công thức:
;
.
Những công thức này có thể được kết hợp như thế này:
.
Khi nghiệm của một phương trình bậc hai đã biết, thì đa thức bậc hai có thể được biểu diễn dưới dạng tích của các thừa số (được phân tích thành nhân tử):
.
Tiếp theo chúng ta giả sử đó là số thực.
Hãy xem xét biệt thức của phương trình bậc hai:
.
Nếu biệt thức là dương thì phương trình bậc hai (1) có hai nghiệm thực khác nhau:
;
.
Khi đó hệ số hóa của tam thức bậc hai có dạng:
.
Nếu phân biệt bằng 0 thì phương trình bậc hai (1) có hai nghiệm thực bội số (bằng):
.
Nhân tố hóa:
.
Nếu phân biệt âm thì phương trình bậc hai (1) có hai nghiệm liên hợp phức:
;
.
Đây là đơn vị tưởng tượng, ;
và là phần thực và phần ảo của nghiệm:
;
.
Sau đó
.
Giải thích đồ họa
Nếu bạn vẽ đồ thị hàm
,
là một parabol thì giao điểm của đồ thị với trục sẽ là nghiệm của phương trình
.
Tại , đồ thị cắt trục x (trục) tại hai điểm.
Khi , đồ thị chạm vào trục x tại một điểm.
Khi , đồ thị không cắt trục x.
Dưới đây là ví dụ về các biểu đồ như vậy.
Các công thức hữu ích liên quan đến phương trình bậc hai
(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .
Dẫn xuất công thức nghiệm của phương trình bậc hai
Chúng tôi thực hiện các phép biến đổi và áp dụng các công thức (f.1) và (f.3):
,
Ở đâu
;
.
Vì vậy, chúng ta có công thức đa thức bậc hai có dạng:
.
Điều này cho thấy phương trình
biểu diễn tại
Và .
Đó là, và là nghiệm của phương trình bậc hai
.
Ví dụ về việc xác định nghiệm của phương trình bậc hai
ví dụ 1
(1.1)
.
Giải pháp
.
So sánh với phương trình (1.1) ta tìm được giá trị của các hệ số:
.
Chúng tôi tìm thấy sự phân biệt đối xử:
.
Vì biệt thức là dương nên phương trình có hai nghiệm thực:
;
;
.
Từ đó ta thu được hệ số hóa của tam thức bậc hai:
.
Đồ thị của hàm số y = 2 x 2 + 7 x + 3 cắt trục Ox tại hai điểm.
Hãy vẽ đồ thị hàm số
.
Đồ thị của hàm này là một parabol. Nó cắt trục hoành (trục) tại hai điểm:
Và .
Những điểm này là nghiệm của phương trình ban đầu (1.1).
Trả lời
;
;
.
Ví dụ 2
Tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc hai:
(2.1)
.
Giải pháp
Viết phương trình bậc hai ở dạng tổng quát:
.
So sánh với phương trình ban đầu (2.1), ta tìm được giá trị của các hệ số:
.
Chúng tôi tìm thấy sự phân biệt đối xử:
.
Vì phân biệt bằng 0 nên phương trình có hai nghiệm bội (bằng):
;
.
Khi đó hệ số hóa của tam thức có dạng:
.
Đồ thị của hàm số y = x 2 - 4 x + 4 chạm vào trục x tại một điểm.
Hãy vẽ đồ thị hàm số
.
Đồ thị của hàm này là một parabol. Nó chạm vào trục x (trục) tại một điểm:
.
Điểm này là nghiệm của phương trình ban đầu (2.1). Bởi vì gốc này được tính hai lần:
,
thì căn như vậy thường được gọi là bội số. Nghĩa là, họ tin rằng có hai gốc bằng nhau:
.
Trả lời
;
.
Ví dụ 3
Tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc hai:
(3.1)
.
Giải pháp
Viết phương trình bậc hai ở dạng tổng quát:
(1)
.
Viết lại phương trình ban đầu (3.1):
.
So sánh với (1), ta tìm được giá trị của các hệ số:
.
Chúng tôi tìm thấy sự phân biệt đối xử:
.
Sự phân biệt đối xử là tiêu cực, . Vì vậy không có rễ thực sự.
Bạn có thể tìm thấy rễ phức tạp:
;
;
Hãy vẽ đồ thị hàm số
.
Đồ thị của hàm này là một parabol. Nó không giao nhau với trục x (trục). Vì vậy không có rễ thực sự.
Trả lời
Không có rễ thực sự. Rễ phức tạp:
;
;
.
Hãy tìm tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai. Sử dụng công thức (59.8) để tìm nghiệm của phương trình trên, ta thu được
(bình đẳng thứ nhất là hiển nhiên, đẳng thức thứ hai có được sau một phép tính đơn giản mà người đọc sẽ thực hiện độc lập; rất thuận tiện khi sử dụng công thức nhân tổng của hai số với hiệu của chúng).
Điều sau đây đã được chứng minh
Định lý Vieta. Tổng các nghiệm của phương trình bậc hai trên bằng hệ số thứ hai có dấu ngược lại và tích của chúng bằng số hạng tự do.
Trong trường hợp phương trình bậc hai không rút gọn, ta thay các biểu thức của công thức (60.1) thành công thức (60.1) và có dạng
Ví dụ 1. Viết phương trình bậc hai sử dụng các nghiệm của nó:
Giải: a) Tìm phương trình có dạng
Ví dụ 2. Tìm tổng các bình phương của các nghiệm của phương trình mà không cần giải chính phương trình đó.
Giải pháp. Tổng và tích của rễ đã biết. Chúng ta hãy biểu diễn tổng các căn bậc hai dưới dạng
và chúng tôi nhận được
Từ công thức của Vieta dễ dàng thu được công thức
phát biểu quy tắc phân tích tam thức bậc hai.
Thật vậy, ta hãy viết công thức (60.2) dưới dạng
Bây giờ chúng tôi có
đó là những gì chúng tôi cần để có được.
Việc rút ra các công thức Vieta ở trên đã quen thuộc với người đọc từ khóa học đại số ở trường trung học. Một kết luận khác có thể được đưa ra bằng cách sử dụng định lý Bezout và phân tích nhân tử của đa thức (đoạn 51, 52).
Giả sử nghiệm của phương trình khi đó, theo quy tắc tổng quát (52.2), tam thức ở vế trái của phương trình được phân tích thành nhân tử:
Mở dấu ngoặc ở vế phải của đẳng thức giống hệt này, chúng ta thu được
và so sánh các hệ số có cùng lũy thừa sẽ cho ta công thức Vieta (60.1).
Ưu điểm của cách dẫn xuất này là nó có thể được áp dụng cho các phương trình bậc cao hơn để thu được biểu thức cho các hệ số của phương trình theo nghiệm của nó (mà không cần tìm ra nghiệm của chính nó!). Ví dụ, nếu nghiệm của phương trình bậc ba đã cho
bản chất là theo đẳng thức (52.2) chúng ta tìm thấy
(trong trường hợp của chúng ta, mở dấu ngoặc ở vế phải của đẳng thức và thu thập các hệ số ở các mức độ khác nhau, chúng ta nhận được
Khi giải các bài toán số học và đại số, đôi khi cần phải xây dựng phân số V. quảng trường. Cách dễ nhất để làm điều này là khi phân số số thập phân - một máy tính thông thường là đủ. Tuy nhiên, nếu phân số thông thường hoặc hỗn hợp thì khi nâng con số đó lên quảng trường Một số khó khăn có thể phát sinh.
Bạn sẽ cần
- máy tính, máy tính, ứng dụng Excel.
Hướng dẫn
Để nâng cao một số thập phân phân số V. quảng trường, lấy một bản kỹ thuật, gõ vào đó những gì đang được xây dựng quảng trường phân số và nhấn nâng lên phím nguồn thứ hai. Trên hầu hết các máy tính, nút này được gắn nhãn "x²". Trên máy tính Windows tiêu chuẩn, chức năng nâng lên quảng trường trông giống như "x^2". Ví dụ, quảng trường phân số thập phân 3,14 sẽ bằng: 3,14² = 9,8596.
Để xây dựng thành quảng trường số thập phân phân số trên máy tính (kế toán) thông thường, nhân số này với chính nó. Nhân tiện, một số mẫu máy tính cung cấp khả năng nâng một số lên quảng trường ngay cả khi không có nút đặc biệt. Vì vậy, trước tiên hãy đọc hướng dẫn dành cho máy tính cụ thể của bạn. Đôi khi những phép tính lũy thừa "khó" được đưa ra ở bìa sau hoặc trên máy tính. Ví dụ, trên nhiều máy tính, để nâng một số lên quảng trường Chỉ cần nhấn nút “x” và “=”.
Dùng cho xây dựng ở quảng trường phân số chung (gồm tử số và mẫu số), nâng lên quảng trường riêng tử số và mẫu số của phân số này. Nghĩa là, sử dụng quy tắc sau: (h / z)² = h² / z², trong đó h là tử số của phân số, z là mẫu số của phân số. Ví dụ: (3/4)² = 3²/4² = 9. /16.
Nếu được xây dựng trong quảng trường phân số– hỗn hợp (bao gồm một phần nguyên và một phân số thông thường), sau đó chuyển nó về dạng thông thường. Nghĩa là, áp dụng công thức sau: (c h/z)² = ((c*z+ch) / z)² = (c*z+ch)² / z², trong đó c là phần nguyên của phân số hỗn hợp. Ví dụ: (3 2/5)2 = ((3*5+2) / 5)2 = (3*5+2)2 / 52 = 172 / 52 = 289/25 = 11 14/25.
Nếu ở quảng trường(không phải ) phân số luôn xảy ra, thì hãy sử dụng MS Excel. Để thực hiện việc này, hãy nhập công thức sau vào một trong các bảng: = DEGREE (A2;2) trong đó A2 là địa chỉ của ô sẽ nhập giá trị tăng lên quảng trường phân số.Để báo cho chương trình biết rằng số đầu vào phải được coi là phân số yu (tức là không chuyển nó sang số thập phân), gõ trước phân số Tôi có số “0” và ký hiệu “khoảng trắng”. Nghĩa là, để nhập, ví dụ phân số 2/3, bạn cần nhập: “0 2/3” (và nhấn Enter). Trong trường hợp này, biểu diễn thập phân của phân số đã nhập sẽ được hiển thị trên dòng đầu vào. Giá trị và cách biểu diễn của phân số sẽ được lưu ở dạng ban đầu. Ngoài ra, khi sử dụng các hàm toán học có đối số là phân số thông thường thì kết quả cũng sẽ được trình bày dưới dạng phân số thông thường. Kể từ đây quảng trường phân số 2/3 sẽ được biểu diễn là 4/9.