Нехай задана прямокутна система координат.
Теорема 1.1.Для будь-яких двох точок М 1 (х 1; у 1) і М 2 (х 2; у 2) площині відстань d між ними виражається формулою
Доведення.Опустимо з точок М 1 і М 2 перпендикуляри М 1 В і М 2 А відповідно
на осі Оу та Ох і позначимо через К точку перетину прямих М 1 В і М 2 А (рис. 1.4). Можливі такі випадки:
1) точки М 1 , М 2 і К різні. Очевидно, що точка має координати (х 2 ;у 1). Неважко помітити, що М 1 К = ôх 2 - х 1 ô, М 2 К = ôу 2 - у 1 ô. Т.к. ∆М 1 КМ 2 прямокутний, то за теоремою Піфагора d = М 1 М 2 = 
= .
2) Точка До збігається з точкою М 2 але відмінна від точки М 1 (рис. 1.5). У цьому випадку у 2 = у 1
і d = М 1 М 2 = М 1 К = ôх 2 - х 1 ô = 
=
3) Точка До збігається з точкою М 1 але відмінна від точки М 2 . У цьому випадку х 2 = х 1 та d =
М 1 М 2 = КМ 2 = ôу 2 - у 1 ô = 
= .
4) Точка М2 збігається з точкою М1. Тоді х 1 = х 2 , у 1 = у 2
d = М 1 М 2 = О =.
Розподіл відрізка у цьому відношенні.
Нехай на площині дано довільний відрізок М 1 М 2 і нехай М ─ будь-яка точка цього
відрізка, відмінна від точки М2 (рис. 1.6). Число l, що визначається рівністю l = 
, називається ставленням,в якому точка М ділить відрізок М1 М2.
Теорема 1.2.Якщо точка М(х;у) ділить відрізок М1М2 щодо l, то координати цієї визначаються формулами
х = 
, у = 
,
(4)
де (х 1; у 1) - координати точки М 1, (х 2; у 2) - координати точки М2.
Доведення.Доведемо першу із формул (4). Друга формула доводиться аналогічно. Можливі два випадки.
х = х 1 = 
= 
= .
2) Пряма М 1 М 2 не перпендикулярна до осі Ох (рис. 1.6). Опустимо перпендикуляри з точок М1, М, М2 на вісь Ох і позначимо точки їх перетину з віссю Ох відповідно Р1, Р, Р2. По теоремі про пропорційних відрізках 
= l.
Т.к. Р 1 Р = ôх - х 1 ô, РР 2 = ôх 2 - хô і числа (х - х 1) і (х 2 - х) мають один і той же знак (при х 1< х 2 они положительны, а при х 1 >х 2 негативні), то
l = = 
,
х – х 1 = l(х 2 – х), х + lх = х 1 + lх 2
х = .
Наслідок 1.2.1.Якщо М 1 (х 1 ; у 1) і М 2 (х 2 ; у 2) - дві довільні точки і точка М (х; у) - середина відрізка М 1 М 2, то
х = 
, у = 
(5)
Доведення.Оскільки М 1 М = М 2 М, то l = 1 і за формулами (4) одержуємо формули (5).
Площа трикутника.
Теорема 1.3.Для будь-яких точок А(х 1 ;у 1), В(х 2 ;у 2) і С(х 3 ;у 3), що не лежать на одній
прямий, площа S трикутника АВСвиражається формулою
S = ô(х 2 – х 1)(у 3 – у 1) – (х 3 – х 1)(у 2 – у 1)ô (6)
Доведення.Площа ∆ АВС, зображеного на рис. 1.7, обчислюємо наступним
S ABC = S ADEC + S BCEF - S ABFD.
Обчислюємо площі трапецій:
S ADEC = 
,
S BCEF = 
S ABFD = 
Тепер маємо
S ABC = ((х 3 – х 1)(у 3 + у 1) + (х 3 – х 2)(у 3 + у 2) - (х 2 – -х 1)(у 1 + у 2)) = (х 3 у 3 – х 1 у 3 + х 3 у 1 – х 1 у 1 + + х 2 у 3 – -х 3 у 3 + х 2 у 2 – х 3 у 2 – х 2 у 1 + х 1 у 1 – х 2 у 2 + х 1 у 2) = (х 3 у 1 – х 3 у 2 + х 1 у 2 – х 2 у 1 + х 2 у 3 –
Х 1 у 3) = (х 3 (у 1 – у 2) + х 1 у 2 – х 1 у 1 + х 1 у 1 – х 2 у 1 + у 3 (х 2 – х 1)) = (х 1 (у 2 – у 1) – х 3 (у 2 – у 1) + +у 1 (х 1 – х 2) – у 3 (х 1 – х 2)) = ((х 1 – х 3)( у 2 – у 1) + (х 1 – х 2)(у 1 – у 3)) = ((х 2 – х 1)(у 3 – у 1) –
- (х 3 - х 1) (у 2 - у 1)).
Для іншого розташування ∆ АВС формула (6) доводиться аналогічно, але може бути зі знаком «-». Тому у формулі (6) ставлять знак модуля.
лекція 2.
Рівняння прямої лінії на площині: рівняння прямої з головним коефіцієнтом, загальне рівнянняпрямий, рівняння прямої у відрізках, рівняння прямої, що проходить через дві точки. Кут між прямими, умови паралельності та перпендикулярності прямих на площині.
2.1. Нехай на площині задана прямокутна система координат та деяка лінія L.
Визначення 2.1.Рівняння виду F(x; y) = 0, що зв'язує змінні величини x та y, називається рівняння лінії L(у заданій системікоординат), якщо цьому рівнянню задовольняють координати будь-якої точки, що лежить на лінії L, і не задовольняють координати жодної точки, що не лежить на цій прямій.
Приклади рівнянь ліній на площині.
1) Розглянемо пряму, паралельну осіОй прямокутної системи координат (рис. 2.1). Позначимо буквою A точку перетину цієї прямої з віссю Ox, (a;o) ─ її ор-
динати. Рівняння x = a є рівнянням даної прямої. Дійсно, цьому рівнянню задовольняють координати будь-якої точки M(a;y) цієї прямої і не задовольняють координати жодної точки, що не лежить на прямій. Якщо a = 0, то пряма збігається із віссю Oy, яка має рівняння x = 0.
2) Рівняння x - y = 0 визначає безліч точок площини, що становлять бісектрису I і III координатнихкутів.
3) Рівняння x 2 - y 2 = 0 ─ це рівняння двох бісектрис координатних кутів.
4) Рівняння x 2 + y 2 = 0 визначає площині єдину точку O(0;0).
5) Рівняння x 2 + y 2 = 25 ─ рівняння кола радіусу 5 із центром на початку координат.
Вітаю,
Використовується PHP:
З повагою, Олександр.
Вітаю,
Вже достатній час мучаюсь із проблемою: намагаюся розрахувати відстань між двома довільними точками, які знаходяться на відстані від 30 до 1500 метрів один від одного.
Використовується PHP:
$ cx = 31.319738; //координата x першої точки
$ Cy = 60.901638; //координата y першої точки$x=31.333312; //координата x другої точки
$y=60.933981; //координата у другої точки$mx=abs($cx-$x); //Вираховуємо різницю іксів (перший катет прямокутного трикутника), функція abs(x) - повертає модуль числа x
$my=abs($cy-$y); //Вираховуємо різницю ігреків (другий катет прямокутного трикутника)$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //Отримуємо відстань до метро (довжину гіпотенузи за правилом гіпотенуза дорівнює кореню із суми квадратів катетів)
Якщо незрозуміло, поясню: я уявляю, що відстань між двома точками - це гіпотенуза прямокутного трикутника. Тоді різниця між іксами кожної з двох точок буде одним із катетів, а іншим катетом буде різниця греків цих двох точок. Тоді, порахувавши різниці іксів та ігреків, можна за формулою обчислити довжину гіпотенузи (тобто відстань між двома точками).
Я знаю, що це правило добре працює для декартової системи координат, проте воно має більш-менш працювати і через координати longlat, т.к. вимірювана відстань між двома точками нехтує мало (від 30 до 1500 метрів).
Однак, відстань за даним алгоритмом обчислюється неправильно (наприклад, відстань1, розрахована за цим алгоритмом, перевищує відстань2 всього на 13%, тоді як в реальності відстань1 дорівнює 1450 метрів, я відстань2 дорівнює 970 метрів, тобто насправді різниця досягає майже 50% ).
Якщо хтось зможе допомогти, буду дуже вдячний.
З повагою, Олександр.
","contentType":"text/html"),"proposedBody":("source":"
Вітаю,
Вже достатній час мучаюсь із проблемою: намагаюся розрахувати відстань між двома довільними точками, які знаходяться на відстані від 30 до 1500 метрів один від одного.
Використовується PHP:
$ cx = 31.319738; //координата x першої точки
$ Cy = 60.901638; //координата y першої точки$x=31.333312; //координата x другої точки
$y=60.933981; //координата у другої точки$mx=abs($cx-$x); //Вираховуємо різницю іксів (перший катет прямокутного трикутника), функція abs(x) - повертає модуль числаx x
$my=abs($cy-$y); //Вираховуємо різницю ігреків (другий катет прямокутного трикутника)$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //Отримуємо відстань до метро (довжину гіпотенузи за правилом гіпотенуза дорівнює кореню із суми квадратів катетів)
Якщо незрозуміло, поясню: я уявляю, що відстань між двома точками - це гіпотенуза прямокутного трикутника. Тоді різниця між іксами кожної з двох точок буде одним із катетів, а іншим катетом буде різниця греків цих двох точок. Тоді, порахувавши різниці іксів та ігреків, можна за формулою обчислити довжину гіпотенузи (тобто відстань між двома точками).
Я знаю, що це правило добре працює для декартової системи координат, проте воно має більш-менш працювати і через координати longlat, т.к. вимірювана відстань між двома точками нехтує мало (від 30 до 1500 метрів).
Однак, відстань за даним алгоритмом обчислюється неправильно (наприклад, відстань1, розрахована за цим алгоритмом, перевищує відстань2 всього на 13%, тоді як в реальності відстань1 дорівнює 1450 метрів, я відстань2 дорівнює 970 метрів, тобто насправді різниця досягає майже 50% ).
Якщо хтось зможе допомогти, буду дуже вдячний.
З повагою, Олександр.
Вітаю,
Вже достатній час мучаюсь із проблемою: намагаюся розрахувати відстань між двома довільними точками, які знаходяться на відстані від 30 до 1500 метрів один від одного.
Використовується PHP:
$ cx = 31.319738; //координата x першої точки
$ Cy = 60.901638; //координата y першої точки$x=31.333312; //координата x другої точки
$y=60.933981; //координата у другої точки$mx=abs($cx-$x); //Вираховуємо різницю іксів (перший катет прямокутного трикутника), функція abs(x) - повертає модуль числаx x
$my=abs($cy-$y); //Вираховуємо різницю ігреків (другий катет прямокутного трикутника)$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //Отримуємо відстань до метро (довжину гіпотенузи за правилом гіпотенуза дорівнює кореню із суми квадратів катетів)
Якщо незрозуміло, поясню: я уявляю, що відстань між двома точками - це гіпотенуза прямокутного трикутника. Тоді різниця між іксами кожної з двох точок буде одним із катетів, а іншим катетом буде різниця греків цих двох точок. Тоді, порахувавши різниці іксів та ігреків, можна за формулою обчислити довжину гіпотенузи (тобто відстань між двома точками).
Я знаю, що це правило добре працює для декартової системи координат, проте воно має більш-менш працювати і через координати longlat, т.к. вимірювана відстань між двома точками нехтує мало (від 30 до 1500 метрів).
Однак, відстань за даним алгоритмом обчислюється неправильно (наприклад, відстань1, розрахована за цим алгоритмом, перевищує відстань2 всього на 13%, тоді як в реальності відстань1 дорівнює 1450 метрів, я відстань2 дорівнює 970 метрів, тобто насправді різниця досягає майже 50% ).
Якщо хтось зможе допомогти, буду дуже вдячний.
З повагою, Олександр.
","contentType":"text/html"),"authorId":"108613929","slug":"15001","canEdit":false,"canComment":false,"isBanned":false,"canPublish" :false,"viewType":"old","isDraft":false,"isOnModeration":false,"isSubscriber":false,"commentsCount:14,"modificationDate":"Wed Jun 27 2012 20:07:00 GMT +0000 (UTC)","showPreview":true,"approvedPreview":("source":"
Вітаю,
Вже достатній час мучаюсь із проблемою: намагаюся розрахувати відстань між двома довільними точками, які знаходяться на відстані від 30 до 1500 метрів один від одного.
Використовується PHP:
$ cx = 31.319738; //координата x першої точки
$ Cy = 60.901638; //координата y першої точки$x=31.333312; //координата x другої точки
$y=60.933981; //координата у другої точки$mx=abs($cx-$x); //Вираховуємо різницю іксів (перший катет прямокутного трикутника), функція abs(x) - повертає модуль числаx x
$my=abs($cy-$y); //Вираховуємо різницю ігреків (другий катет прямокутного трикутника)$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //Отримуємо відстань до метро (довжину гіпотенузи за правилом гіпотенуза дорівнює кореню із суми квадратів катетів)
Якщо незрозуміло, поясню: я уявляю, що відстань між двома точками - це гіпотенуза прямокутного трикутника. Тоді різниця між іксами кожної з двох точок буде одним із катетів, а іншим катетом буде різниця греків цих двох точок. Тоді, порахувавши різниці іксів та ігреків, можна за формулою обчислити довжину гіпотенузи (тобто відстань між двома точками).
Я знаю, що це правило добре працює для декартової системи координат, проте воно має більш-менш працювати і через координати longlat, т.к. вимірювана відстань між двома точками нехтує мало (від 30 до 1500 метрів).
Однак, відстань за даним алгоритмом обчислюється неправильно (наприклад, відстань1, розрахована за цим алгоритмом, перевищує відстань2 всього на 13%, тоді як в реальності відстань1 дорівнює 1450 метрів, я відстань2 дорівнює 970 метрів, тобто насправді різниця досягає майже 50% ).
Якщо хтось зможе допомогти, буду дуже вдячний.
З повагою, Олександр.
","html":"Доброго дня,","contentType":"text/html"),"proposedPreview":("source":"
Вітаю,
Вже достатній час мучаюсь із проблемою: намагаюся розрахувати відстань між двома довільними точками, які знаходяться на відстані від 30 до 1500 метрів один від одного.
Використовується PHP:
$ cx = 31.319738; //координата x першої точки
$ Cy = 60.901638; //координата y першої точки$x=31.333312; //координата x другої точки
$y=60.933981; //координата у другої точки$mx=abs($cx-$x); //Вираховуємо різницю іксів (перший катет прямокутного трикутника), функція abs(x) - повертає модуль числаx x
$my=abs($cy-$y); //Вираховуємо різницю ігреків (другий катет прямокутного трикутника)$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //Отримуємо відстань до метро (довжину гіпотенузи за правилом гіпотенуза дорівнює кореню із суми квадратів катетів)
Якщо незрозуміло, поясню: я уявляю, що відстань між двома точками - це гіпотенуза прямокутного трикутника. Тоді різниця між іксами кожної з двох точок буде одним із катетів, а іншим катетом буде різниця греків цих двох точок. Тоді, порахувавши різниці іксів та ігреків, можна за формулою обчислити довжину гіпотенузи (тобто відстань між двома точками).
Я знаю, що це правило добре працює для декартової системи координат, проте воно має більш-менш працювати і через координати longlat, т.к. вимірювана відстань між двома точками нехтує мало (від 30 до 1500 метрів).
Однак, відстань за даним алгоритмом обчислюється неправильно (наприклад, відстань1, розрахована за цим алгоритмом, перевищує відстань2 всього на 13%, тоді як в реальності відстань1 дорівнює 1450 метрів, я відстань2 дорівнює 970 метрів, тобто насправді різниця досягає майже 50% ).
Якщо хтось зможе допомогти, буду дуже вдячний.
З повагою, Олександр.
","html":"Привіт,","contentType":"text/html"),"titleImage":null,"tags":[("displayName":"вимір відстаней","slug":"izmerenie- rasstoyaniy","categoryId":"10615601","url":"/blog/mapsapi??tag=izmerenie-rasstoyaniy"),("displayName":"API 1.x","slug":"api-1 -x","categoryId":"150000131","url":"/blog/mapsapi??tag=api-1-x")],"isModerator":false,"commentsEnabled":true,"url": "/blog/mapsapi/15001","urlTemplate":"/blog/mapsapi/%slug%","fullBlogUrl":"https://yandex.ru/blog/mapsapi","addCommentUrl":"/blog/ createComment/mapsapi/15001","updateCommentUrl":"/blog/updateComment/mapsapi/15001","addCommentWithCaptcha":"/blog/createWithCaptcha/mapsapi/15001","changeCaptchaUrl ","putImageUrl":"/blog/image/put","urlBlog":"/blog/mapsapi","urlEditPost":"/blog/56a98d48b15b79e31e0d54c8/edit","urlSlug":"/blog/post/generateSlug ","urlPublishPost":"/blog/56a98d48b15b79e31e0d54c8/publish","urlUnpublishPost":"/blog/56a98d48b15b79e31e0d54c8/unpublish"5" 79e31e0d54c8/removePost","urlDraft":"/blog/mapsapi /15001/draft","urlDraftTemplate":"/blog/mapsapi/%slug%/draft","urlRemoveDraft":"/blog/56a98d48b15b79e31e0d54c8/removeDraft","urlTagSuggest ,"urlAfterDelete":"/blog/mapsapi","isAuthor":false,"subscribeUrl":"/blog/api/subscribe/56a98d48b15b79e31e0d54c8","unsubscribeUrl":"/blog/a5 d54c8","urlEditPostPage ":"/blog/mapsapi/56a98d48b15b79e31e0d54c8/edit","urlForTranslate":"/blog/post/translate","urlRelateIssue":"/blog/post/updateIssue","urlUpdateTranslate ","urlLoadTranslate":"/blog/post/loadTranslate","urlTranslationStatus":"/blog/mapsapi/15001/translationInfo","urlRelatedArticles":"/blog/api/relatedArticles/mapsapi/15001","author" :("id":"108613929","uid":("value":"108613929","lite":false,"hosted":false),"aliases":(),"login":"mrdds" ,"display_name":("name":"mrdds","avatar":("default":"0/0-0","empty":true)),"address":" [email protected]","defaultAvatar":"0/0-0","imageSrc":"https://avatars.mds.yandex.net/get-yapic/0/0-0/islands-middle","isYandexStaff": false),"originalModificationDate":"2012-06-27T16:07:49.000Z","socialImage":("orig":("fullPath":"https://avatars.mds.yandex.net/get-yablogs /47421/file_1456488726678/orig")))))">
Визначення відстані між двома точками ТІЛЬКИ за координатами longlat.
$my=abs($cy-$y); //Вираховуємо різницю ігреків (другий катет прямокутного трикутника)$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //Отримуємо відстань до метро (довжину гіпотенузи за правилом гіпотенуза дорівнює кореню із суми квадратів катетів)
Якщо незрозуміло, поясню: я уявляю, що відстань між двома точками - це гіпотенуза прямокутного трикутника. Тоді різниця між іксами кожної з двох точок буде одним із катетів, а іншим катетом буде різниця греків цих двох точок. Тоді, порахувавши різниці іксів та ігреків, можна за формулою обчислити довжину гіпотенузи (тобто відстань між двома точками).
Я знаю, що це правило добре працює для декартової системи координат, проте воно має більш-менш працювати і через координати longlat, т.к. вимірювана відстань між двома точками нехтує мало (від 30 до 1500 метрів).
Однак, відстань за даним алгоритмом обчислюється неправильно (наприклад, відстань1, розрахована за цим алгоритмом, перевищує відстань2 всього на 13%, тоді як в реальності відстань1 дорівнює 1450 метрів, я відстань2 дорівнює 970 метрів, тобто насправді різниця досягає майже 50% ).
Якщо хтось зможе допомогти, буду дуже вдячний.
З повагою, Олександр.
Вирішення задач з математики у учнів часто супроводжується багатьма труднощами. Допомогти учневі впоратися з цими труднощами, а також навчити застосовувати наявні в нього теоретичні знанняпри вирішенні конкретних завданьпо всіх розділах курсу «Математика» – основне призначення нашого сайту.
Приступаючи до вирішення завдань на тему , учні повинні вміти будувати крапку на площині за її координатами, а як і знаходити координати заданої точки.
Обчислення відстані між взятими на площині двома точками А(х А; у А) та В(х В; у В), виконується за формулою d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2), де d - Довжина відрізка, який з'єднує ці точки на площині.
Якщо один із кінців відрізка збігається з початком координат, а інший має координати М(х М; у М), то формула для обчислення d набуде вигляду ОМ = √(х М 2 + у М 2).
1. Обчислення відстані між двома точками за даними координатами цих точок
Приклад 1.
Знайти довжину відрізка, який з'єднує на координатній площині точки А(2; -5) та В(-4; 3) (рис. 1).
Рішення.
За умови завдання дано: х А = 2; х В = -4; у А = -5 та у В = 3. Знайти d.
Застосувавши формулу d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2), отримаємо:
d = АВ = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.
2. Обчислення координат точки, яка рівновіддалена від трьох заданих точок
приклад 2.
Знайти координати точки О 1 , яка рівновіддалена від трьох точок А(7; -1) та В(-2; 2) і С(-1; -5).
Рішення.
З формулювання умови завдання випливає, що О 1 А = О 1 В = О 1 С. Нехай шукана точкаПро 1 має координати (а; b). За формулою d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) знайдемо:
Про 1 А = √((а – 7) 2 + (b + 1) 2);
О 1 = √((а + 2) 2 + (b – 2) 2);
О 1 С = √ ((а + 1) 2 + (b + 5) 2).
Складемо систему з двох рівнянь:
(√((а – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((а + 2) 2 + (b – 2) 2),
(√((а – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((а + 1) 2 + (b + 5) 2).
Після зведення в квадрат лівої та правої частин рівнянь запишемо:
((а – 7) 2 + (b + 1) 2 = (а + 2) 2 + (b – 2) 2 ,
((а - 7) 2 + (b + 1) 2 = (а + 1) 2 + (b + 5) 2 .
Спростивши, запишемо
(-3а + b + 7 = 0,
(-2а - b + 3 = 0).
Вирішивши систему, отримаємо: а = 2; b = -1.
Точка О 1 (2; -1) рівновіддалена від трьох заданих за умови точок, які лежать однієї прямої. Ця точка - є центр кола, що проходить через три задані точки (Рис. 2).
3. Обчислення абсциси (ординати) точки, що лежить на осі абсцис (ординат) і перебуває в заданій відстанівід цієї точки
приклад 3.
Відстань від точки В(-5; 6) до точки А, що лежить на осі Ох дорівнює 10. Знайти точку А.
Рішення.
З формулювання умови завдання випливає, що ордината точки А дорівнює нулю та АВ = 10.
Позначивши абсцис точки А через а, запишемо А(а; 0).
АВ = √((а + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((а + 5) 2 + 36).
Отримуємо рівняння √((а + 5) 2 + 36) = 10. Спростивши його, маємо
а 2 + 10а - 39 = 0.
Коріння цього рівняння а1 = -13; а 2 = 3.
Отримуємо дві точки А 1 (-13; 0) та А 2 (3; 0).
Перевірка:
А 1 = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.
А 2 = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.
Обидві одержані точки підходять за умовою задачі (Рис. 3).
4. Обчислення абсциси (ординати) точки, що лежить на осі абсцис (ординат) і знаходиться на однаковій відстані від двох заданих точок
приклад 4.
Знайти на осі Оу точку, яка знаходиться на однаковій відстані від точок А(6; 12) та В(-8; 10).
Рішення.
Нехай координати потрібної за умовою задачі точки, що лежить на осі Оу, будуть О 1 (0; b) (у точки, що лежить на осі Оу, абсцис дорівнює нулю). З умови випливає, що О1А = О1В.
За формулою d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) знаходимо:
О 1 А = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);
Про 1 В = √((а + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).
Маємо рівняння √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) або 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2 .
Після спрощення отримаємо: b - 4 = 0, b = 4.
Необхідна за умовою завдання точка О1 (0; 4) (Рис. 4).
5. Обчислення координат точки, яка знаходиться на однаковій відстані від осей координат та деякої заданої точки
Приклад 5.
Знайти точку М, розташовану на координатній площині на однаковій відстані від осей координат і точки А(-2; 1).
Рішення.
Необхідна точка М, як і точка А(-2; 1), розташовується у другому координатному кутку, оскільки вона рівновіддалена від точок А, Р 1 і Р 2 (рис. 5). Відстань точки М від осей координат однакові, отже, її координатами будуть (-a; a), де а > 0.
З умови завдання випливає, що МА = МР 1 = МР 2 МР 1 = а; МР 2 = |-a|,
тобто. |-a| = а.
За формулою d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) знаходимо:
МА = √((-а + 2) 2 + (а - 1) 2).
Складемо рівняння:
√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.
Після зведення квадрат і спрощення маємо: а 2 – 6а + 5 = 0. Розв'яжемо рівняння, знайдемо а 1 = 1; а 2 = 5.
Отримуємо дві точки М 1 (-1; 1) та М 2 (-5; 5), що задовольняють умові задачі. 
6. Обчислення координат точки, яка знаходиться на однаковій заданій відстані від осі абсцис (ординат) та від даної точки
Приклад 6.
Знайти точку М таку, що відстань її від осі ординат і від точки А(8; 6) дорівнюватиме 5.
Рішення.
З умови завдання випливає, що МА = 5 і абсцис точки М дорівнює 5. Нехай ордината точки М дорівнює b, тоді М(5; b) (Рис. 6).
За формулою d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) маємо:
МА = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).
Складемо рівняння:
√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Спростивши його, отримаємо: b 2 – 12b + 20 = 0. Коріння цього рівняння b 1 = 2; b 2 = 10. Отже, є дві точки, що задовольняють умову задачі: М 1 (5; 2) та М 2 (5; 10).
Відомо, що багато учнів при самостійне рішеннязадач потребують постійних консультацій щодо прийомів та методів їх вирішення. Найчастіше знайти шлях до вирішення завдання без допомоги викладача учню не під силу. Необхідні консультації щодо вирішення завдань учень і може отримати на нашому сайті.
Залишились питання? Не знаєте як знайти відстань між двома точками на площині?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!
сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
ТЕОРЕТИЧНІ ПИТАННЯ
АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ
1. Метод координат: числова пряма, координати прямої; прямокутна (декартова) система координат на площині; полярні координати.
Розглянемо якусь пряму. Виберемо на ній напрямок (тоді вона стане віссю) та деяку точку 0 (початок координат). Пряма з обраним напрямком та початком координат називається координатної прямої(при цьому вважаємо, що одиниця масштабу вибрано).
Нехай М- Довільна точка на координатній прямій. Поставимо відповідно до точки Мдійсне число x, рівну величині ОМвідрізка: x=ОМ.Число xназивається координатою точки М.
Таким чином, кожній точці координатної прямої відповідає певне речове число - її координата. Справедливо і зворотне, кожному речовому числу x відповідає деяка точка на координатній прямій, а саме така точка Мкоордината якої дорівнює x. Така відповідність називається взаємно однозначним.
Отже, речові числа можна зображати точками координатної прямої, тобто. координатна пряма служить зображенням множини всіх дійсних чисел. Тому безліч всіх дійсних чисел називають числовий прямий, А будь-яке число - точкою цієї прямої. Біля точки на числовій прямій часто вказують число – її координату.
Прямокутна (або декартова) система координат на площині.
Дві взаємно перпендикулярні осі Про xі Про y, що мають загальний початок Прота однакову одиницю масштабу, утворюють прямокутну (або декартову) систему координат на площині.
Ось ОХназивається віссю абсцис, вісь ОY- віссю ординат. Крапка Проперетин осей називається початком координат. Площина, в якій розташовані осі ОХі ОY, називається координатною площиною та позначається Про xy.
Отже, прямокутна система координат на площині встановлює взаємно однозначну відповідність між безліччю всіх точок площини та безліччю пар чисел, що дає можливість при вирішенні геометричних завданьзастосувати методи алгебри. Осі координат розбивають площину на 4 частини їх називають чвертями, квадратнимиабо координатними кутами.
Полярні координати.
Полярна система координат складається з деякої точки Прозваної полюсом, і променя, що виходить з неї ОЕзваного полярною віссю.Крім того, визначається одиниця масштабу для вимірювання довжин відрізків. Нехай задана полярна системакоординат та нехай М- Довільна точка площини. Позначимо через Р- Відстань точки Мвід крапки Про, а через φ - Кут, на який промінь повернути проти годинникової стрілки полярну вісь для суміщення з променем ОМ.
Полярними координатамикрапки Мназивають числа Рі φ . Число Рвважають першою координатою та називають полярним радіусом, число φ – другою координатою та називають полярним кутом.
Крапка Мз полярними координатами Рі φ
позначаються так: М(;φ).Встановимо зв'язок між полярними координатами точки та її прямокутними координатами.
При цьому припускатимемо, що початок прямокутної системи координат знаходиться в полюсі, а позитивна піввісь абсцис збігається з полярною віссю.
Нехай точка М має прямокутні координати Xі Yта полярні координати Рі φ .
| (1) |
Доведення.
Опусти з крапок М 1і М 2перпендикуляри М 1 Ві М 1 А,. так як (x 2; y 2). По теоремі, якщо М 1 (х 1)і М 2 (х 2)– будь-які дві точки та α– відстань між ними, то α = |x 2 - x 1 | .
У цій статті розглянемо способи визначити відстань від точки до точки теоретично та на прикладі конкретних завдань. І спочатку введемо деякі визначення.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Визначення 1
Відстань між точками– це довжина відрізка, що їх з'єднує, у наявному масштабі. Задати масштаб необхідно, щоб мати для виміру одиницю довжини. Тому в основному завдання знаходження відстані між точками вирішується при використанні їх координат на координатній прямій, координатній площині або тривимірному просторі.
Вихідні дані: координатна пряма O x і лежача на ній довільна точка А. Будь-якій точці прямої властиво одне дійсне число: нехай для точки А це буде деяке число х A ,воно ж - координата точки А.
У цілому нині можна говорити, що оцінка довжини деякого відрізка відбувається у порівнянні з відрізком, прийнятим за одиницю довжини в заданому масштабі.
Якщо точці А відповідає ціле дійсне число, відклавши послідовно від точки О до точки прямої О А відрізки – одиниці довжини, ми можемо визначити довжину відрізка O A за підсумковою кількістю відкладених одиничних відрізків.
Наприклад, точці А відповідає число 3 – щоб потрапити до неї з точки Про, потрібно буде відкласти три одиничних відрізка. Якщо точка А має координату - 4 - поодинокі відрізки відкладаються аналогічним чином, але в іншому негативному напрямку. Таким чином у першому випадку, відстань О А дорівнює 3; у другому випадку ПРО = 4 .
Якщо точка A має як координату раціональне числото від початку відліку (точка О) ми відкладаємо ціле число одиничних відрізків, а потім його необхідну частину. Але геометрично який завжди можна зробити вимір. Наприклад, важко відкласти на координатній прямий дріб 4 111 .
Вищезазначеним способом відкласти на прямий ірраціональне числоі зовсім неможливо. Наприклад, коли координата точки А дорівнює 11. У такому разі можна звернутися до абстракції: якщо задана координата точки А більша за нуль, то O A = x A (число приймається за відстань); якщо координата менша за нуль, то O A = - x A . Загалом ці твердження справедливі для будь-якого дійсного числа x A .
Резюмуючи: відстань від початку відліку до точки, якій відповідає дійсне число на координатній прямій, дорівнює:
- 0 якщо точка збігається з початком координат;
- x A, якщо x A > 0;
- - x A якщо x A< 0 .
При цьому очевидно, що сама довжина відрізка не може бути негативною, тому використовуючи знак модуля запишемо відстань від точки O до точки A з координатою x A: O A = x A
Вірним буде твердження: відстань від однієї точки до іншої дорівнюватиме модулю різниці координат.Тобто. для точок A і B , що лежать на одній координатній прямій за будь-якого їх розташування і мають відповідно координати x Aі x B: A B = x B - x A.
Вихідні дані: точки A і B , що лежать на площині прямокутної системикоординат O x y з заданими координатами: A (x A , y A) та B (x B , y B) .
Проведемо через точки А і B перпендикуляри до осей координат O x і O y і отримаємо в результаті точки проекції: A x, A y, B x, B y. Виходячи з розташування точок А та B далі можливі наступні варіанти:
Якщо точки А та В збігаються, то відстань між ними дорівнює нулю;
Якщо точки А та В лежать на прямій, перпендикулярної осі O x (осі абсцис), то точки і збігаються, а | А В | = | А y B y | . Оскільки відстань між точками дорівнює модулю різниці їх координат, то A y B y = y B - y A , а, отже A B = A y B y = y B - y A .
Якщо точки A і B лежать на прямій, перпендикулярній до осі O y (осі ординат) – за аналогією з попереднім пунктом: A B = A x B x = x B - x A
Якщо точки A і B не лежать на прямій, перпендикулярній до однієї з координатних осей, знайдемо відстань між ними, вивівши формулу розрахунку:
Ми бачимо, що трикутник АВС є прямокутним за побудовою. При цьому A C = A x B x і B C = A y B y. Використовуючи теорему Піфагора, складемо рівність: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 а потім перетворимо його: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2
Сформуємо висновок з отриманого результату: відстань від точки А до точки на площині визначається розрахунком за формулою з використанням координат цих точок
A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2
Отримана формула також підтверджує раніше сформовані твердження для випадків збігу точок або ситуацій, коли лежать точки на прямих, перпендикулярних осях. Так, для випадку збігу точок A і B буде правильна рівність: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0
Для ситуації, коли точки A та B лежать на прямій, перпендикулярній осі абсцис:
A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A
Для випадку коли точки A і B лежать на прямій, перпендикулярній осі ординат:
A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A
Вихідні дані: прямокутна система координат O x y z з довільними точками з заданими координатами A (x A , y A , z A) і B (x B , y B , z B) . Необхідно визначити відстань між цими точками.
Розглянемо загальний випадок, коли точки A і B не лежать у площині, паралельній одній з координатних площин. Проведемо через точки A та B площини, перпендикулярні координатним осям, і отримаємо відповідні точкипроекцій: A x , A y , A z , B x , B y , B z
Відстань між точками A і B є діагональ отриманого в результаті побудови паралелепіпеда. Відповідно до побудови вимірювання цього паралелепіпеда: A x B x , A y B y та A z B z
З курсу геометрії відомо, що квадрат діагоналі паралелепіпеда дорівнює суміквадратів його вимірів. Виходячи з цього твердження отримаємо рівність: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2
Використовуючи отримані висновки, запишемо наступне:
A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A
Перетворимо вираз:
A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2
Підсумкова формула для визначення відстані між точками у просторібуде виглядати так:
A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2
Отримана формула дійсна також для випадків, коли:
Крапки збігаються;
Лежать на одній координатної осіабо прямий, паралельний одній з координатних осей.
Приклади розв'язання задач на знаходження відстані між точками
Приклад 1Вихідні дані: задана координатна пряма та точки, що лежать на ній із заданими координатами A (1 - 2) та B (11 + 2) . Необхідно знайти відстань від точки початку відліку O до точки A між точками A і B .
Рішення
- Відстань від точки початку відліку до точки дорівнює модулю координати цієї точки відповідно O A = 1 - 2 = 2 - 1
- Відстань між точками A і B визначимо як модуль різниці координат цих точок: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2
Відповідь: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2
Приклад 2
Вихідні дані: задана прямокутна система координат і дві точки, що на ній лежать A (1 , - 1) і B (λ + 1 , 3) . λ – деяке дійсне число. Необхідно знайти всі значення цього числа, при яких відстань АВ дорівнює 5 .
Рішення
Щоб знайти відстань між точками A і B необхідно використовувати формулу A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2
Підставивши реальні значення координат, отримаємо: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16
А також використовуємо наявну умову, що АВ = 5 і тоді буде вірним рівність:
λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3
Відповідь: АВ = 5 , якщо λ = ± 3 .
Приклад 3
Вихідні дані: задано тривимірний простіру прямокутній системі координат O x y z і точки A (1 , 2 , 3) і B - 7 , - 2 , 4 , що лежать у ньому.
Рішення
Для розв'язання задачі використовуємо формулу A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2
Підставивши реальні значення, отримаємо: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9
Відповідь: | А В | = 9
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter