Прямі відстань, що схрещуються. Визначення відстані між схрещувальними прямими

Геометрія. 11 клас

Тема уроку: Відстань між схрещуючими прямими

Тер-Ованесян Г.Л., вчитель вищої категорії, лауреат премії Фонду Сороса

м. Москва

Розглянемо завдання на знаходження відстані між прямими, що схрещуються. Відстань між схрещуються прямими - це довжина загального перпендикуляра до цих прямих.

Нехай нам дано куб АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 ребро якого дорівнює одиниці АВ = 1. Потрібно знайти відстань між прямими АВ та DC 1: ρ(АВ; DС 1) - ?

Ці дві прямі лежать у паралельних площинах: АВ лежить у площині АА 1 В 1 В, DС 1 лежить у площині D 1 DС 1 С. Знайдемо спочатку перпендикуляр до цих двох площин. Таких перпендикулярів малюнку багато. Це відрізок ВС, 1 З 1 , А 1 D 1 і AD. З них має сенс вибрати той відрізок, який не тільки перпендикулярний до цих площин, а значить перпендикулярний і нашим прямим АВ і DC 1 , а й проходить через ці прямі. Такий відрізок – AD. Він одночасно перпендикулярний прямий АВ, тому що перпендикулярний площині АА 1 В 1 В і прямий DC 1 , тому що перпендикулярний площині D 1 DС 1 С. І означає, що AD - це загальний перпендикуляр до прямих АВ і DC 1 , що схрещуються. Відстань між цими прямими – довжина цього перпендикуляра, тобто довжина відрізка АD. Але AD – це ребро куба. Отже, відстань дорівнює 1:

ρ(АВ; DС 1) = AD = 1

Розглянемо ще одну задачу, трохи складнішу, про знаходження відстані між прямими, що схрещуються.

Нехай нам дано знову куб, ребро якого дорівнює одиниці. Потрібно знайти відстань між діагоналями протилежних граней. Тобто, дано куб АВСDА 1 В 1 З 1 D 1 . Ребро АВ=1. Потрібно знайти відстань між прямими ВА 1 і DC 1: ρ(А 1 В; DС 1) -?

Ці дві прямі схрещуються, отже відстань - це довжина загального перпендикуляра. Можна не малювати загальний перпендикуляр, а сформулювати в такий спосіб: це довжина перпендикуляра між паралельними площинами, у яких лежать ці прямі. Пряма ВА 1 лежить у площині АВВ 1 А 1 , а пряма DC 1 лежить у площині D 1 DCC 1 . Вони паралельні, отже відстань між ними і є відстань між цими прямими. А відстань між гранями куба – це довжина ребра. Наприклад, довжина ребра НД. Тому що ПС перпендикулярно і площині АВВ 1 А 1, і площині DСС 1 D 1 . Отже, відстань між прямими, даними в умові, дорівнює відстані між паралельними площинами і дорівнює 1:

ρ(А 1 У;DС 1)=ВС=1

Розглянемо ще одне завдання про знаходження відстані між прямими, що схрещуються.

Нехай у нас дана правильна трикутна призма, яка має всі ребра. Потрібно знайти відстань між ребрами верхньої та нижньої основ. Тобто нам дано призм АВСА 1 В 1 С 1 . Причому АВ=3=АА 1 . Потрібно знайти відстань між прямими НД і А1С1: ρ(ВС;А1С1) - ?

Оскільки ці прямі схрещуються, то відстань між ними - це довжина загального перпендикуляра, або довжина перпендикуляра до паралельним площинамв яких вони лежать. Знайдемо ці паралельні площини.

Пряма НД лежить в площині АВС, а пряма А1С1 лежить у площині А1В1С1. Ці дві площини паралельні, оскільки це верхня та нижня основи призми. Отже, відстань між нашими прямими – це відстань між цими паралельними площинами. А відстань між ними дорівнює точності довжині бокового ребраАА 1 , тобто 3:

ρ(ВС;А 1 З 1)=АА 1 =3

У цій конкретному завданніможна знайти як довжину загального перпендикуляра, а й побудувати його. Для цього ми з усіх бічних ребер вибираємо таке, що має спільні точкиз прямою ВС та А 1 С 1 . На малюнку це ребро СС 1 . Воно буде перпендикулярно прямій А 1 С 1 оскільки перпендикулярно площині верхньої основи, і прямий ВС, оскільки перпендикулярно площині нижньої основи. Отже, ми можемо знайти як відстань, а й побудувати цей загальний перпендикуляр.

Сьогодні на уроці ми згадали, як знаходити довжину загального перпендикуляра між прямими, що схрещуються.

Опис презентації з окремих слайдів:

1 слайд

Опис слайду:

Відстань між схрещуючими прямими Координатним і векторним способом Алфьорова Наталія Василівна, вчитель математики МКОУ «Горячеключівська ЗОШ» Омського району Омської області

2 слайд

Опис слайду:

Основні поняття Відстанню між схрещуючими прямими називається довжина загального перпендикуляра до даних прямим Відстанню між схрещуючими прямими називається відстань від точки однієї прямої до площини паралельної даної прямої і містить другу пряму.

3 слайд

Опис слайду:

У одиничному кубі ABCDA1B1C1D1 знайдіть відстань між прямими BA1 та DB1. х y z Точки A1 (1; 0; 1), B (1; 1; 0) Вектор A1B (0; 1; -1) Точки D (0; 0; 0), B1 (1; 1; 1) Вектор DB1 (1;1;1) Нехай КМ ┴А1В і КМ┴DВ1, значить КМ - відстань, що шукається. Нехай точка лежить на прямий A1B, а точка М на прямий DB1. Розглянемо вектори А1К та DM, співспрямовані з напрямними векторами даних прямих. По лемі про колінеарні векторивектор А1К = а · А1В, тобто. вектор А1К(0;a;-a), вектор DM = b · DB1, тобто. вектор DM (b; b; b). Тоді К(1;а;1-а), М(b;b;b) і вектор КМ (b-1;b-a;b-1+a). К М

4 слайд

Опис слайду:

Вирішимо систему з умови перпендикулярності двох векторів KM·A1B=0 0·(b-1)+1·(b-a)-1·(b-1+a) = 0, KM·DB1=0 1·(b-1) +1·(b-a)+1·(b-1+a) = 0 Вирішивши систему отримуємо a=1/2, b=2/3, підставимо ці значення координати вектора КМ: КМ ( -1/3; 1/ 6; 1/6). Знайдемо довжину вектора | КМ | =√х²+y²+z², |КМ| =√1/9+1/36+1/36=√6/6. Відповідь: √6/6 a·b = x1x2+y1y2+z1z2 = 0

5 слайд

Опис слайду:

У одиничному кубі ABCDA1B1C1D1 знайдіть відстань між прямими BA1 та DB1. K M x y z KM=MB1+BB1+BK=a·DB1+B1B+b·BA1 DB1(1;1;1), BA1 (0;-1;1), B1B(0;0;1) KM = (a ; a) + (0; 0; 1) + (0; -b; b)= = (a; a- b; a+1+b) KM·BA1=0 0·a-1·(a-b ) +1·(a+1+b)=0, KM·DB1=0 1·a+1·(a-b)+1·(a+1+b) = 0 b= -½, a= -⅓ KM (-1/3; 1/6;1/6) |KM|= √1/9+1/36+1/36 =√6/6

6 слайд

Опис слайду:

У правильній трикутної призмиАВСА1В1С1, усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань між прямими АВ і СВ1 z y x Розглянемо площину (А1В1С), що містить пряму В1С та паралельну до прямої АВ. Відстанню між схрещуючими прямими буде відстань від точки прямої АВ, наприклад, від А до площини (А1В1С). Введемо прямокутну систему координат ОХУZ так, щоб вісь ОХ була паралельна висоті ВН основи, вісь ОУ збігалася з АС, вісь ОZ збігалася з АА1. Н

7 слайд

Опис слайду:

Розглянемо ∆АВС у площині ОХУ x y A C B H ∆ ABC – правильний, АВ=ВС=АС=1, ВН=√3/2. Складемо рівняння площини (А1В1С): Ax+By+Cz+D=0. A1(0;0;1), B1(√3/2; 1/2 ;1), C(0;1;0) , підставляємо координати точок у рівняння площини, отримаємо систему: 0A+0B+1C+D= 0, (√3/2)A+(1/2)B+1C+D=0, 0A+1B+0C+D=0. Отримуємо C=-D, B=-D, A=(√3/3)D. Рівняння площини (А1В1С1): (√3/3)Dx-Dy-Dz+D=0, (√3/3)x-1y-1z+1=0, Формула відстані від точки до площини: d= де (х0 ; у0; z0) - координати точки A, d = | √3/3 · 0-1 · 0-1 · 0 +1 | /√(√3/3)²+1+1 =√21/7. Відповідь: √21/7. х у z H

Цілі та завдання:

освітня - формування та розвиток у учнів просторових уявлень; вироблення навичок вирішення завдань на знаходження відстані між прямими схрещуються
виховна - виховувати волю і наполегливість для досягнення кінцевих результатів при знаходженні відстані між прямими, що схрещуються; виховувати любов та інтерес до вивчення математики.
розвиваюча – розвиток в учнів логічного мислення, просторових уявлень, розвиток навичок самоконтролю.

Проект відповідає наступним пунктам тематичного навчального планушкільного предмета

Схрещуються прямі.
Ознака паралельності прямої та площини
Ортогональна проекціяу просторі.
Об'єм багатогранників.

Вступ.

Прямі, що схрещуються, - це дивно!

Якби їх не було, життя було б у сто разів менш цікавим. Так і хочеться сказати, що якщо і стереометрію варто вивчати, то через те, що в ній є прямі, що схрещуються. Скільки у них глобальних, найцікавіших властивостей: архітектура, будівництво, медицина, природа.

Так хочеться, щоб наше здивування перед унікальністю прямих, що схрещуються, передалося і вам. Але як це зробити?

Чи може бути відповіддю на це питання буде наш проект?

Відомо, що довжина загального перпендикуляра прямих, що схрещуються, дорівнює відстані між цими прямими.

Теорема: Відстань між двома схрещуються прямими дорівнює відстані між паралельними площинами, що проходять через ці прямі.

Наступна теорема дає один із способів знаходження відстані і кута між прямими, що схрещуються.

Відстань між схрещуються прямими дорівнює відстані від точки, що є проекцією однієї з даних прямих на перпендикулярну їй площину, до проекції іншої прямої на цю площину.

Основне питання:

А можна знайти відстань між схрещувальними прямими без побудови їхнього спільного перпендикуляра?

Розглянемо завдання із кубом.

Чому із кубом? Та тому що в кубі прихована вся геометрія, в тому числі і геометрія прямих, що схрещуються.

Завдання.

Ребро куба одно a. Знайти відстань між прямими, на яких лежать діагоналі, що схрещуються, двох суміжних граней куба.

Застосуємо різні методидослідження до цього завдання.

за визначенням;
методом проекцій;
методом обсягів;
методом координат.

Дослідження.

Клас поділяється на групи за методом дослідження задачі. Перед кожною групою стоїть завдання – показати і довести застосування даного методу для знаходження відстані між прямими, що схрещуються. Завершальним етапом дослідження завдання є захист проектів у вигляді презентацій, публікацій чи сайтів. Діти та вчителі мають можливість оцінити проект кожної групи за критеріями, розробленими для публікацій, презентацій.

Метод обсягів.

побудувати піраміду, в якій висота, опущена з вершини цієї піраміди на площина основи, є шуканою відстанню між двома прямими, що схрещуються;
довести, що ця висота і є відстань, яку шукає;
знайти обсяг цієї піраміди двома;
способами та виразити цю висоту;

Цей метод дуже цікавий своєю нестандартністю, красою та індивідуальністю. Метод обсягів сприяє розвитку просторової уяви та вмінню подумки створювати уявлення про форму фігур.

Внаслідок додаткових побудов ми отримали піраміду DAB 1 C.

У піраміді DAB 1 C, висота, опущена з вершини D на площину основи AB 1 C буде шуканою відстанню між схрещуються прямими АС і DC 1 .

Розглянемо піраміду Висновок: Розглянемо цю ж піраміду, але вже з вершиною в точці D:

Враховуючи, що V1 = V2 отримаємо d=

Шукаюча відстань.

Метод проекцій.

Вибираємо площину, перпендикулярну одній з прямих, що схрещуються.
Проектуємо кожну пряму на цю площину.
Відстань між проекціями буде відстанню між прямими, що схрещуються.

Відстань між схрещувальними прямими можна визначити як відстань між ортогональними проекціями цих прямих на площину проекцій.

Використання визначення прямих, що схрещуються.

Додаткові шикування: А1В, ВD, AK.

А 1 ПРО ВD, ОС BD

BD прямим А 1 Про і ОС, що перетинається

Стаття націлена на знаходження відстані між прямими методом координат, що схрещуються. Буде розглянуто визначення відстані між цими прямими, отримаємо алгоритм за допомогою якого перетворимо знаходження відстані між прямими, що схрещуються. Закріпимо тему вирішенням таких прикладів.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Попередньо необхідно довести теорему, яка визначає зв'язок між заданими прямими, що схрещуються.

Розділ взаємного розташуванняпрямих у просторі говорить про те, що якщо дві прямі називають схрещуються, якщо їхнє розташування не в одній площині.

Теорема

Через кожну пару прямих, що схрещуються, може проходити площину, паралельна даній, причому тільки одна.

Доказ

За умовою нам дано схрещувальні прямі a і b. Необхідно довести прохідність єдиної площини через пряму b, паралельну даній прямій a. Аналогічний доказ необхідно застосовувати для прямої a через яку проходить площина, паралельна даної прямої b.

Для початку необхідно відзначити точку Q на прямій b. Якщо випливати з визначення паралельності прямих, то отримуємо, що через точку простору можна провести пряму, паралельну заданій прямій, причому лише одну. Отже, через точку Q проходить лише одна пряма, паралельна до прямої a . Приймемо позначення а 1 .

Розділ способів завдання площини говорилося про те, що проходження єдиної площини можливе через дві прямі, що перетинаються. Отже, отримуємо, що прямі b і а 1 – прямі, що перетинаються, через які проходить площина, що позначається χ .

З ознаки паралельності прямої з площиною, можна дійти невтішного висновку, що задана пряма a паралельна щодо площині χ , оскільки пряма a паралельна прямий а 1 , що у площині χ .

Площина є єдиною, так як пряма, що проходить через задану пряму, що знаходиться в просторі, паралельна заданої прямої. Розглянемо малюнку, наданому нижче.

При переході від визначення відстані між прямими, що схрещуються, визначаємо відстань через відстань між прямою і паралельною їй площиною.

Визначення 1

Називають відстань між однією з прямих, що схрещуються, і паралельною їй площиною, що проходить через іншу пряму.

Тобто відстань між прямою та площиною є відстанню від заданої точкидо площини. Тоді застосовується формулювання визначення відстані між прямими, що схрещуються.

Визначення 2

Відстанню між схрещуючими прямиминазивають відстань від деякої точки прямих, що схрещуються, до площини, що проходить через іншу пряму, паралельну першій прямій.

Виробимо докладний розглядпрямих a і b. Точка М 1 розташовується на прямій a через пряму b проводиться площина χ, паралельна прямий a. З точки М 1 проводимо перпендикуляр М 1 Н 1 до площини. Довжина цього перпендикуляра є відстанню між схрещуючими прямими a і b. Розглянемо малюнку, наведеному нижче.

Знаходження відстані між схрещувальними прямими – теорія, приклади, рішення

Відстані між схрещуються прямими знаходяться при побудові відрізка. Відстань, що шукається, дорівнює довжині цього відрізка. За умовою завдання його довжина перебуває за теореми Піфагора, за ознаками рівності чи подібності трикутників чи іншим.

Коли маємо тривимірне простір із системою координат О х у z із заданими в ній прямими a і b , то обчислення слід проводити, починаючи з відстані між заданими схрещуються за допомогою методу координат. Зробимо докладний розгляд.

Нехай за умовою є площиною, що проходить через пряму b , яка паралельна прямій a . Шукана відстань між прямими схрещуються a і b дорівнює відстані від точки М 1 , розташованої на прямій a , до площини _ χ . Для того, щоб отримати нормальне рівнянняплощині χ необхідно визначити координати точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) , розташованої на прямій a . Тоді отримаємо cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0, яке необхідно для визначення відстані M 1 H 1 від точки M 1 x 1, y 1, z 1 до площини χ. Обчислення проводяться за формулою M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p. Необхідна відстань дорівнює шуканій відстані між прямими, що схрещуються.

Це завдання передбачає отримання координат точки М 1 , яка розташовується на прямій a , знаходження нормального рівняння площини χ .

Визначення координат точки М 1 необхідне і можливе при знанні основних видів рівнянь прямої в просторі. Щоб отримати рівняння площини, необхідно зупинитися докладніше на алгоритмі обчислення.

Якщо координати x 2 , y 2 , z 2 будуть визначені за допомогою точки М 2 через яку проведена площина χ отримуємо нормальний вектор площини χ у вигляді вектора n → = (A , B , C) . Виходячи з цього, можна записати загальне рівняння площини у вигляді A · x - x 2 + B · (y - y 2) + C · (z - z 2) = 0 .

Замість точки М 2 може бути взята будь-яка інша точка, що належить прямий b тому, як площина проходить через неї. Отже, координати точки М2 знайдені. Необхідно перейти до знаходження нормального вектора площини.

Маємо, що площина проходить через пряму b , причому паралельна прямий a . Значить, нормальний вектор площини χ перпендикулярний напрямному вектору прямої a позначимо a → і напрямному вектору прямої b позначимо b → . Вектор n → дорівнюватиме векторному твору a → та b → , що означає, n → = a → × b → . Після визначення координат a x , a y , a z та b x , b y , b z напрямних векторів заданих прямих a та b , обчислюємо

n → = a → x b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Звідси знаходимо значення координат A, B, C нормального вектора до площини.

Знаємо, що загальне рівняння площини має вигляд A · (x - x 2) + B · (y - y 2) + C · (z - z 2) = 0 .

Необхідно привести рівняння до нормального вигляду cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 . Після чого потрібно провести обчислення шуканої відстані між схрещуючими прямими a і b, виходячи з формули M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p.

Щоб знайти відстань між схрещувальними прямими a і b необхідно слідувати алгоритму:

визначення координат (x 1 , y 1 , z 1) і x 2 , y 2 , z 2 точок М 1 і М 2 розташованих на прямих a і b відповідно;
одержання координат a x , a y , a z і b x , b y , b z , що належать напрямним векторам прямих a і b ;
знаходження координат A , B , C , що належить вектору n → на площині χ , що проходить через пряму b , розташовану паралельно a , по рівності n → = a → × b → = i → j →
запис загального рівнянняплощині у вигляді A · x - x 2 + B · (y - y 2) + C · (z - z 2) = 0 ;
приведення отриманого рівняння площини до рівняння нормального виду cosα · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0;
обчислення відстані M 1 H 1 від M 1 x 1 , y 1 , z 1 до площини χ , виходячи з формули M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p .

Приклад 1

Є дві схрещуючі прямі у прямокутної системикоординат О х у z тривимірного простору. Пряма a визначена параметричним рівняннямпрямий у просторі x = - 2 y = 1 + 2 · λ z = 4 - 3 · λ , пряма b за допомогою канонічного рівнянняпрямий у просторі x 1 = y - 1 - 2 = z + 4 6 . Знайти відстань між прямими, що схрещуються.

Рішення

Зрозуміло, що пряма а перетинає точку M 1 (- 2 , 1 , 4) з напрямним вектором a → = (0 , 2 , - 3) , а пряма b перетинає точку M 2 (0 , 1 , - 4) з напрямним вектором b → = (1, - 2, 6).

Для початку слід провести обчислення напрямних векторів a → = (0 , 2 , - 3) та b → = (1 , - 2 , 6) за формулою. Тоді отримуємо, що

a → × b → = i → j → k → 0 2 - 3 1 - 2 6 = 6 · i → - 3 · j → - 2 · k →

Звідси отримуємо, що n → = a → × b → - це вектор площини χ, який проходить через пряму b паралельно з координатами 6 , - 3 , - 2 . Отримаємо:

6 · (x - 0) - 3 · (y - 1) - 2 · (z - (- 4)) = 0 ⇔ 6 x - 3 y - 2 z - 5 = 0

Знаходимо нормуючий множник для загального рівняння площини 6 x – 3 y – 2 z – 5 = 0 . Обчислимо за формулою 1 6 2 + - 3 2 + - 2 2 = 1 7 . Значить, нормальне рівняння набуде вигляду 6 7 x - 3 7 y - 2 7 z - 5 7 = 0 .

Необхідно скористатися формулою, щоб знайти відстань від точки M 1 - 2 , 1 , 4 до площини, заданою рівнянням 6 7 x - 3 7 y - 2 7 z - 57 = 0 . Отримуємо, що

M 1 H 1 = 6 7 · (- 2) - 3 7 · 1 - 2 7 · 4 - 5 7 = - 28 7 = 4

Звідси випливає, що шуканою відстанню є відстань між заданими прямими, що схрещуються, є значення 4 .

Відповідь: 4 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Серед величезної кількості стереометричних завдань у підручниках геометрії, у різних збірниках завдань, посібниках з підготовки до ВНЗ вкрай рідко зустрічаються завдання на знаходження відстані між прямими схрещуються. Можливо, це обумовлено як вузькістю їх практичного застосування (щодо шкільної програми, на відміну від "виграшних" завдань на обчислення площ та обсягів), так і складністю цієї теми.

Практика проведення ЄДІпоказує, що багато учнів взагалі не приступають до виконання завдань з геометрії, що входять до екзаменаційної роботи. Для забезпечення успішного виконання геометричних завдань підвищеного рівня складності необхідно розвивати гнучкість мислення, здатність аналізувати передбачувану конфігурацію та вичленяти в ній частини, розгляд яких дозволяє знайти шлях вирішення задачі.

Шкільний курс передбачає вивчення чотирьох способів розв'язання задач на знаходження відстані між прямими, що схрещуються. Вибір методу обумовлений, насамперед, особливостями конкретної завдання, наданими нею можливостями вибору, і, у другу чергу, здібностями і особливостями " просторового мислення " конкретного учня. Кожен із цих способів дозволяє вирішити саму головну частинуЗавдання - побудова відрізка, перпендикулярного обом схрещується прямим (для обчислювальної частини завдань поділ на способи не потрібно).

Основні способи вирішення завдань на знаходження відстані між прямими схрещуються

Знаходження довжини загального перпендикуляра двох прямих, що схрещуються, тобто. відрізка з кінцями цих прямих і перпендикулярного кожної з цих прямих.

Знаходження відстані від однієї з прямих, що схрещуються, до паралельної їй площині, що проходить через іншу пряму.

Знаходження відстані між двома паралельними площинами, що проходять через задані прямі, що схрещуються.

Знаходження відстані від точки, що є проекцією однієї з прямих, що схрещуються, на перпендикулярну їй площину (так званий "екран") до проекції іншої прямої на ту ж саму площину.

Проведемо демонстрацію всіх чотирьох способів на наступній найпростішій задачі: "У кубі з рубом азнайти відстань між будь-яким рубом і діагоналлю не перетинає його грані". Відповідь: .

Малюнок 1

h скр перпендикулярна площині бічної грані, що містить діагональ dі перпендикулярна ребру, отже, h скрі є відстанню між рубом ата діагоналлю d.

Малюнок 2

Площина A паралельна ребру і проходить через дану діагональ, отже, дана h скрє не тільки відстанню від ребра до площини A, але й відстанню від ребра до даної діагоналі.

Малюнок 3

Площини A і B паралельні і проходять через дві дані прямі, що схрещуються, отже, відстань між цими площинами дорівнює відстані між двома схрещуються прямими.

Малюнок 4

Площина A перпендикулярна до ребра куба. При проекції на діагоналі A dдана діагональ перетворюється на одну зі сторін основи куба. Дана h скрє відстанню між прямою, що містить ребро, і проекцією діагоналі на площину C, а значить і між прямою, що містить ребро, і діагоналлю.

Зупинимося докладніше на застосуванні кожного способу для багатогранників, що вивчаються в школі.

Застосування першого способу досить обмежене: він добре застосовується лише в деяких завданнях, так як досить складно визначити і обґрунтувати в найпростіших завданнях точне, а в складних - орієнтовне місце розташування загального перпендикуляра двох прямих, що схрещуються. Крім того, при знаходженні довжини цього перпендикуляра у складних завданнях можна зіткнутися з непереборними труднощами.

Завдання 1. прямокутному паралелепіпедіз розмірами a, b, hзнайти відстань між бічним ребром і діагоналлю основи, що не перетинається з ним.

Малюнок 5

Нехай AHBD. Оскільки А 1 А перпендикулярна площині АВСD , то А 1 А AH.

AH перпендикулярна обом з двох прямих, що схрещуються, отже AH?- відстань між прямими А 1 А і BD. У прямокутному трикутнику ABD, знаючи довжини катетів AB і AD, знаходимо висоту AH, використовуючи формули для обчислення площі прямокутного трикутника. Відповідь:

Завдання 2. У правильній 4-кутній піраміді з боковим ребром Lта стороною заснування aзнайти відстань між апофемою та стороною основи, що перетинає бічну грань, що містить цю апофему.

Малюнок 6

SHCD як апофема, ADCD, оскільки ABCD – квадрат. Отже, DH - відстань між прямими SH та AD. DH дорівнює половині сторони CD. Відповідь:

Застосування цього способу також обмежено у зв'язку з тим, що якщо можна швидко побудувати (або знайти вже готову) проходить через одну з прямих площину, що схрещуються, паралельну іншій прямій, то потім побудова перпендикуляра з будь-якої точки другої прямої до цієї площини (всередині багатогранника) викликає Проблеми. Однак у нескладних завданнях, де побудова (або відшукування) зазначеного перпендикуляра труднощів не викликає, цей спосіб є найшвидшим і найлегшим, і тому доступний.

Завдання 2. Вирішення зазначеної вище завдання даним способом особливих труднощів не викликає.

Малюнок 7

Площина EFM паралельна до прямої AD, т. до AD || EF. Пряма MF лежить у цій площині, отже відстань між прямою AD і площиною EFM дорівнює відстані між прямою AD і прямий MF. Проведемо OHAD. OHEF, OHMO, отже, OH(EFM), отже, OH - відстань між прямий AD і площиною EFM, отже, і відстань між прямий AD і прямий MF. Знаходимо OH із трикутника AOD.

Завдання 3. У прямокутному паралелепіпеді з розмірами a,bі hзнайти відстань між бічним ребром і діагоналлю паралелепіпеда, що не перетинається з ним.

Малюнок 8

Пряма AA 1 паралельна площині BB 1 D 1 D, B 1 D належить цій площині, отже відстань від AA 1 до площини BB 1 D 1 D дорівнює відстані між прямими AA 1 і B 1 D. Проведемо AHBD. Також, AH B 1 B, отже AH(BB 1 D 1 D), отже AHB 1 D, тобто AH - відстань, що шукається. Знаходимо AH із прямокутного трикутника ABD.

Відповідь:

Задача 4. У правильній шестикутній призмі A:F 1 з висотою hта стороною заснування aзнайти відстань між прямими:

Малюнок 9 Малюнок 10

а) AA 1 та ED 1 .

Розглянемо площину E 1 EDD 1 . A 1 E 1 EE 1 , A 1 E 1 E 1 D 1 , отже

A 1 E 1 (E 1 EDD 1). Також A 1 E 1 AA 1 . Отже, A 1 E 1 є відстанню від прямої AA 1 до площини E 1 EDD 1 . ED 1 (E 1 EDD 1)., отже AE 1 - відстань від прямої AA 1 до прямої ED 1 . Знаходимо A 1 E 1 із трикутника F 1 A 1 E 1 за теоремою косінусів. Відповідь:

б) AF та діагоналлю BE 1 .

Проведемо з точки F пряму FH перпендикулярно до BE. EE 1 FH, FHBE, отже FH(BEE 1 B 1), отже FH є відстанню між прямою AF і (BEE 1 B 1), а значить і відстанню між прямою AF і діагоналлю BE 1 . Відповідь:

СПОСІБ III

Застосування цього способу вкрай обмежене, так як площину, паралельну одній з прямих (спосіб II) будувати легше, ніж дві паралельні площини, проте спосіб IIIможна використовувати в призмах, якщо прямі, що схрещуються, належать паралельним граням, а також у тих випадках, коли в багатограннику нескладно побудувати паралельні перерізи, що містять задані прямі.

Завдання 4.

Малюнок 11

а) Площини BAA 1 B 1 і DEE 1 D 1 паралельні, оскільки AB | ED та AA 1 || EE 1 . ED 1 DEE 1 D 1 , AA 1 (BAA 1 B 1), отже, відстань між прямими AA 1 і ED 1 дорівнює відстані між площинами BAA 1 B 1 і DEE 1 D 1 . A 1 E 1 AA 1 , A 1 E 1 A 1 B 1 , отже, A 1 E 1 BAA 1 B 1 . Аналогічно доводимо, що A1E1 (DEE1D1). Т.ч., A 1 E 1 є відстанню між площинами BAA 1 B 1 і DEE 1 D 1 а отже, і між прямими AA 1 і ED 1 . Знаходимо A 1 E 1 із трикутника A 1 F 1 E 1 , який є рівнобедреним з кутом A 1 F 1 E 1 , рівним. Відповідь:

Малюнок 12

б) Відстань між AF та діагоналлю BE 1 знаходиться аналогічно.

Завдання 5. У кубі з ребром азнайти відстань між двома непересічними діагоналями двох суміжних граней.

Ця задача розглядається як класична в деяких посібниках, але, як правило, її рішення дається способом IV, однак є цілком доступним для вирішення за допомогою способу III.

Малюнок 13

Деяку труднощі у цій задачі викликає доказ перпендикулярності діагоналі A 1 C обох паралельних площин (AB 1 D 1 || BC 1 D). B 1 CBC 1 і BC 1 A 1 B 1 , отже, пряма BC 1 перпендикулярна площині A 1 B 1 C, а отже, BC 1 A 1 C. Також, A 1 CBD. Отже, пряма A 1 C перпендикулярна площині BC 1 D. Обчислювальна частина завдання особливих труднощів не викликає, так як h скр= EF знаходиться як різниця між діагоналлю куба та висотами двох однакових правильних пірамід A 1 AB 1 D 1 та CC 1 BD.

СПОСІБ IV.

Цей спосібмає досить широке застосування. Для завдань середньої та підвищеної складності його можна вважати основним. Немає необхідності застосовувати його тільки тоді, коли один із трьох попередніх способів працює простіше і швидше, тому що в таких випадках спосіб IV може лише ускладнити вирішення завдання, або зробити його важкодоступним. Даний спосіб дуже вигідно використовувати у разі перпендикулярності прямих, що схрещуються, так як немає необхідності побудови проекції однієї з прямих на "екран"

Завдання 5. Все те ж "класичне" завдання (з діагоналями двох суміжних граней куба, що не перетинаються) перестає здаватися складним, як тільки знаходиться "екран" - діагональний перетин куба.

Малюнок 14

Екран :

Малюнок 15

Розглянемо площину A1B1CD. C 1 F (A 1 B 1 CD), тому що C 1 FB 1 C і C 1 FA 1 B 1 . Тоді проекцією C 1 D на "екран" буде відрізок DF. Проведемо EMDF. Відрізок EM і буде відстанню між двома непересічними діагоналями двох суміжних граней. Знаходимо EM із прямокутного трикутника EDF. Відповідь:.

Завдання 6. У правильній трикутній піраміді знайти відстань і кут між прямими схрещуються: бічним ребром lта стороною заснування a.

Малюнок 16

У цій та аналогічних їй завданнях спосіб IV швидше за інших способів призводить до вирішення, так як побудувавши перетин, що грає роль "екрана", перпендикулярно AC (трикутник BDM), видно, що далі немає необхідності будувати проекцію інший прямий (BM) на цей екран. DH - відстань, що шукається. DH знаходимо із трикутника MDB, використовуючи формули площі. Відповідь: .