Розкладання многочлена на множники. Частина 1
Розкладання на множники- це універсальний прийом, що допомагає вирішити складні рівняннята нерівності. Перша думка, яка має спасти на думку при розв'язанні рівнянь і нерівностей, у яких у правій частині стоїть нуль - спробувати розкласти ліву частинуна множники.
Перерахуємо основні способи розкладання багаточлена на множники:
- винесення загального множника за дужку
- використання формул скороченого множення
- за формулою розкладання на множники квадратного тричлена
- спосіб угруповання
- розподіл багаточлена на двочлен
- метод невизначених коефіцієнтів
У цій статті ми докладно зупинимося на перших трьох способах, решту розглянемо в наступних статтях.
1. Винесення загального множника за дужку.
Щоб винести за дужку, загальний множник треба спочатку його знайти. Коефіцієнт загального множникадорівнює найбільшому загальному дільнику всіх коефіцієнтів.
Літерна частиназагального множника дорівнює добутку виразів, що входять до складу кожного доданка з найменшим показником ступеня.
Схема винесення загального множника виглядає так:
Увага!
Кількість членів у дужках дорівнює кількості доданків у вихідному вираженні. Якщо один із доданків збігається з спільним множником, то при його розподілі на загальний множник отримуємо одиницю.
приклад 1.
Розкласти на множники багаточленів:
Винесемо за дужки загальний множник. Для цього спочатку його знайдемо.
1.Знаходимо найбільший спільний дільниквсіх коефіцієнтів многочлена, тобто. чисел 20, 35 та 15. Він дорівнює 5.
2. Встановлюємо, що змінна міститься у всіх доданків, причому найменший із її показників ступеня дорівнює 2. Змінна міститься у всіх доданків, і найменший із її показників ступеня дорівнює 3.
Змінна міститься тільки у другому доданку, тому вона не входить до складу загального множника.
Отже, загальний множник дорівнює
3. Виносимо за дужки множник, користуючись схемою, наведеною вище:
приклад 2.Розв'язати рівняння:
Рішення. Розкладемо ліву частину рівняння на множники. Винесемо за дужки множник:
Отже, здобули рівняння 
Прирівняємо кожен множник до нуля:
Отримуємо – корінь першого рівняння.
Коріння:
Відповідь: -1, 2, 4
2. Розкладання на множники за допомогою формул скороченого множення.
Якщо кількість доданків у многочлені, який ми збираємося розкласти на множники менше чи дорівнює трьох, ми намагаємося застосувати формули скороченого множення.
1. Якщо багаточлен єрізницю двох доданків, то намагаємося застосувати формулу різниці квадратів:
або формулу різниці кубів:
Тут літери і позначають число або вираз алгебри.
2. Якщо многочлен є сумою двох доданків, то, можливо, його можна розкласти на множники за допомогою формули суми кубів:
3. Якщо багаточлен складається з трьох доданків, то намагаємося застосувати формулу квадрата суми:
або формулу квадрата різниці:
Або намагаємося розкласти на множники по формулі розкладання на множники квадратного тричлена:
Тут і - коріння квадратного рівняння 
приклад 3.Розкласти на множники вираз:
Рішення. Перед нами сума двох доданків. Спробуємо застосувати формулу суми кубів. Для цього потрібно спочатку кожне доданок подати у вигляді куба якогось виразу, а потім застосувати формулу для суми кубів:
приклад 4.Розкласти на множники вираз: 
Рішення. Перед нами різниця квадратів двох виразів. Перший вираз: , другий вираз:
Застосуємо формулу для різниці квадратів:
Розкриємо дужки та наведемо подібні члени, отримаємо:
Розкладання багаточленів на множники – це тотожне перетворення, в результаті якого багаточлен перетворюється на твір кількох співмножників – багаточленів чи одночленів.
Існує кілька способів розкладання багаточленів на множники.
Спосіб 1. Винесення загального множника за дужку.
Це перетворення ґрунтується на розподільчому законі множення: ac + bc = c(a + b). Суть перетворення полягає в тому, щоб виділити у двох компонентах, що розглядаються, загальний множник і «винести» його за дужки.
Розкладемо на множники многочленів 28х3 – 35х4.
Рішення.
1. Знаходимо у елементів 28х3 і 35х4 спільний дільник. Для 28 та 35 це буде 7; для х 3 та х 4 – х 3 . Іншими словами, наш спільний множник 7х3.
2. Кожен із елементів подаємо у вигляді твору множників, один з яких
7х 3: 28х 3 – 35х 4 = 7х 3 ∙ 4 – 7х 3 ∙ 5х.
3. Виносимо за дужки загальний множник
7х 3: 28х 3 – 35х 4 = 7х 3 ∙ 4 – 7х 3 ∙ 5х = 7х 3 (4 – 5х).
Спосіб 2. Використання формул скороченого множення. "Майстерність" володінням цим способом полягає в тому, щоб помітити у виразі одну з формул скороченого множення.
Розкладемо на множники многочлен х 6 – 1.
Рішення.
1. До цього виразу ми можемо застосувати формулу різниці квадратів. І тому представимо х 6 як (х 3) 2 , а 1 як 1 2 , тобто. 1. Вираз набуде вигляду:
(х 3) 2 - 1 = (х 3 + 1) ∙ (х 3 - 1).
2. До отриманого виразу ми можемо застосувати формулу суми та різниці кубів:
(х 3 + 1) ∙ (х 3 – 1) = (х + 1) ∙ (х 2 – х + 1) ∙ (х – 1) ∙ (х 2 + х + 1).
Отже,
х 6 – 1 = (х 3) 2 – 1 = (х 3 + 1) ∙ (х 3 – 1) = (х + 1) ∙ (х 2 – х + 1) ∙ (х – 1) ∙ (х 2+х+1).
Спосіб 3. Угруповання. Спосіб угруповання полягає в об'єднанні компонентів многочлена таким чином, щоб над ними було легко здійснювати дії (складання, віднімання, винесення загального множника).
Розкладемо на множники многочленів х 3 – 3х 2 + 5х – 15.
Рішення.
1. Згрупуємо компоненти таким чином: 1-ий з 2-им, а 3-ий з 4-им
(Х 3 - 3х 2) + (5х - 15).
2. У виразі винесемо загальні множники за дужки: х 2 в першому випадку і 5 - в другому.
(х 3 - 3х 2) + (5х - 15) = х 2 (х - 3) + 5 (х - 3).
3. Виносимо за дужки загальний множник х – 3 та отримуємо:
х 2 (х - 3) + 5 (х - 3) = (х - 3) (х 2 + 5).
Отже,
х 3 – 3х 2 + 5х – 15 = (х 3 – 3х 2) + (5х – 15) = х 2 (х – 3) + 5(х – 3) = (х – 3) ∙ (х 2 + 5) ).
Закріпимо матеріал.
Розкласти на множники многочленів a 2 – 7ab + 12b 2 .
Рішення.
1. Представимо одночлен 7ab як суми 3ab + 4ab. Вираз набуде вигляду:
a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 . 
Розкриємо дужки та отримаємо:
a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 .
2. Згрупуємо компоненти многочлена таким чином: 1-ий з 2-им і 3-ий з 4-им. Отримаємо:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2).
3. Винесемо за дужки спільні множники:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = а(а – 3b) – 4b(а – 3b).
4. Винесемо за дужки загальний множник (а – 3b):
а(а – 3b) – 4b(а – 3b) = (а – 3 b) ∙ (а – 4b).
Отже,
a 2 - 7ab + 12b 2 =
= a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 =
= (a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) =
= а (а - 3b) - 4b (а - 3b) =
= (а – 3b) ∙ (а – 4b).
сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
Наводиться 8 прикладів розкладання багаточленів на множники. Вони включають приклади з рішенням квадратних і біквадратних рівнянь, Приклади зі зворотними багаточленами і приклади з знаходженням цілих коренів у багаточленів третього і четвертого ступеня.
1. Приклади з розв'язуванням квадратного рівняння
Приклад 1.1
x 4 + х 3 - 6 х 2.
Рішення
Виносимо x 2
за дужки:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Коріння рівняння:
, .
.
Відповідь
Приклад 1.2
Розкласти на множники багаточлен третього ступеня:
x 3 + 6 x 2 + 9 x.
Рішення
Виносимо x за дужки:
.
Вирішуємо квадратне рівняння x 2 + 6 x + 9 = 0:
Його дискримінант: .
Оскільки дискримінант дорівнює нулю, то коріння рівняння кратні: ;
.
Звідси отримуємо розкладання багаточлена на множники:
.
Відповідь
приклад 1.3
Розкласти на множники багаточлен п'ятого ступеня:
x 5 – 2 x 4 + 10 x 3.
Рішення
Виносимо x 3
за дужки:
.
Вирішуємо квадратне рівняння x 2 - 2 x + 10 = 0.
Його дискримінант: .
Оскільки дискримінант менший за нуль, то коріння рівняння комплексне: ;
, .
Розкладання многочлена на множники має вигляд:
.
Якщо нас цікавить розкладання на множники з дійсними коефіцієнтами, то:
.
Відповідь
Приклади розкладання багаточленів на множники за допомогою формул
Приклади з біквадратними багаточленами
Приклад 2.1
Розкласти біквадратний багаточлен на множники:
x 4 + x 2 - 20.
Рішення
Застосуємо формули:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b).
;
.
Відповідь
Приклад 2.2
Розкласти на множники багаточлен, що зводиться до біквадратного:
x 8+x4+1.
Рішення
Застосуємо формули:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b):
;
;
.
Відповідь
Приклад 2.3 зі зворотним багаточленом
Розкласти на множники зворотний багаточлен:
.
Рішення
Поворотний многочлен має непарний ступінь. Тому він має корінь x = - 1
. Ділимо багаточлен на x - (-1) = x + 1. В результаті отримуємо:
.
Робимо підстановку:
, ;
;
;
.
Відповідь
Приклади розкладання багаточленів на множники з цілим корінням
Приклад 3.1
Розкласти багаточлен на множники:
.
Рішення
Припустимо, що рівняння
6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6
.
(-6) 3 - 6 · (-6) 2 + 11 · (-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6 · (-3) 2 + 11 · (-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6 · (-2) 2 + 11 · (-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6 · (-1) 2 + 11 · (-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 · 1 2 + 11 · 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 · 2 2 + 11 · 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 · 3 2 + 11 · 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 · 6 2 + 11 · 6 - 6 = 60.
Отже, ми знайшли три корені:
x 1 = 1
, x 2 = 2
, x 3 = 3
.
Оскільки вихідний многочлен - третього ступеня, він має трохи більше трьох коренів. Оскільки ми знайшли три корені, то вони прості. Тоді
.
Відповідь
Приклад 3.2
Розкласти багаточлен на множники:
.
Рішення
Припустимо, що рівняння
має хоча б один ціле коріння. Тоді він є дільником числа 2
(Члена без x). Тобто цілий корінь може бути одним із чисел:
-2, -1, 1, 2
.
Підставляємо ці значення по черзі:
(-2) 4 + 2 · (-2) 3 + 3 · (-2) 3 + 4 · (-2) + 2 = 6
;
(-1) 4 + 2 · (-1) 3 + 3 · (-1) 3 + 4 · (-1) + 2 = 0
;
1 4 + 2 · 1 3 + 3 · 1 3 + 4 · 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 · 2 3 + 3 · 2 3 + 4 · 2 + 2 = 54
.
Якщо припустити, що це рівняння має ціле коріння, він є дільником числа 2
(Члена без x). Тобто цілий корінь може бути одним із чисел:
1, 2, -1, -2
.
Підставимо x = -1
:
.
Отже, ми знайшли ще один корінь x 2
= -1
. Можна було б, як і в попередньому випадку, поділити багаточлен на , але ми згрупуємо члени:
.
Оскільки рівняння x 2 + 2 = 0 не має дійсних коренів, то розкладання многочлена на множники має вигляд.
Розкладання багаточленів для отримання твору іноді видається заплутаним. Але це не так складно, якщо розібратися в покроковому процесі. У статті докладно розказано, як розкласти на множники квадратний тричлен.
Багатьом незрозуміло, як розкласти на множники квадратний тричлен, і навіщо це робиться. Спочатку може здатися, що це марна справа. Але в математиці нічого не робиться просто так. Перетворення необхідне спрощення висловлювання і зручності обчислення.
Багаточлен, що має вигляд – ax²+bx+c, називається квадратним тричленом.Доданок «a» має бути негативним або позитивним. Насправді цей вираз називається квадратним рівнянням. Тому іноді кажуть і інакше: як розкласти квадратне рівняння.
Цікаво!Квадратним багаточленом називають через саму його великого ступеня- Квадрату. А тричленом - через 3-х складових доданків.
Деякі інші види багаточленів:
- лінійний двочлен (6x+8);
- кубічний чотиричлен (x³+4x²-2x+9).
Розкладання квадратного тричлена на множники
Спочатку вираз дорівнює нулю, потім потрібно знайти значення коренів x1 і x2. Коріння може не бути, може бути один або два корені. Наявність коренів визначається дискримінантом. Його формулу треба знати напам'ять: D=b2-4ac.
Якщо результат D виходить негативний, коріння немає. Якщо позитивний – кореня два. Якщо в результаті вийшов нуль – корінь один. Коріння теж обчислюється за формулою.
Якщо при обчисленні дискримінанта виходить нуль, можна застосовувати будь-яку формулу. Насправді формула просто скорочується: -b / 2a.
Формули для різних значеньдискримінанти різняться.
Якщо D позитивний:
Якщо D дорівнює нулю:
Онлайн калькулятори
В інтернеті є онлайн калькулятор. З його допомогою можна виконати розкладання на множники. На деяких ресурсах надається можливість подивитися рішення покроково. Такі послуги допомагають краще зрозуміти тему, але потрібно постаратися добре вникнути.
Корисне відео: Розкладання квадратного тричлена на множники
Приклади
Пропонуємо переглянути прості прикладиЯк розкласти квадратне рівняння на множники
Приклад 1
Тут показано, що в результаті вийде два x, тому що D позитивний. Їх і треба підставити у формулу. Якщо коріння вийшло негативне, знак у формулі змінюється на протилежний.
Нам відома формула розкладання квадратного тричлена на множники: a(x-x1)(x-x2). Ставимо значення у дужки: (x+3)(x+2/3). Перед складником ступеня немає числа. Це означає, що там одиниця, вона опускається.
Приклад 2
Цей приклад наочно показує, як розв'язувати рівняння, що має один корінь.
Підставляємо значення, що вийшло:
Приклад 3
Дано: 5x²+3x+7
Спочатку обчислимо дискримінант, як у попередніх випадках.
D = 9-4 * 5 * 7 = 9-140 = -131.
Дискримінант негативний, отже, коріння немає.
Після отримання результату варто розкрити дужки та перевірити результат. Повинен з'явитися вихідний тричлен.
Альтернативний спосіб вирішення
Деякі люди так і не змогли потоваришувати з дискримінантом. Можна ще одним способом розкласти квадратний тричлен на множники. Для зручності спосіб показано на прикладі.
Дано: x²+3x-10
Ми знаємо, що повинні вийти 2 дужки: (_) (_). Коли вираз має такий вигляд: x²+bx+c, на початку кожної дужки ставимо x: (x_)(x_). Дві числа, що залишилися – твір, що дає «c», тобто в цьому випадку -10. Дізнатися, які це числа, можна лише шляхом підбору. Підставлені числа повинні відповідати доданку, що залишився.
Наприклад, перемноження наступних чиселдає -10:
- -1, 10;
- -10, 1;
- -5, 2;
- -2, 5.
- (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Ні.
- (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Ні.
- (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Ні.
- (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Підходить.
Отже, перетворення виразу x2+3x-10 має такий вигляд: (x-2)(x+5).
Важливо!Варто уважно стежити, щоб не переплутати знаки.
Розкладання складного тричлена
Якщо "a" більше одиниці, починаються складнощі. Але все не так важко, як здається.
Щоб виконати розкладання на множники, потрібно спочатку подивитися, чи можна щось винести за дужку.
Наприклад, вираз: 3x²+9x-30. Тут виноситься за дужку число 3:
3(x²+3x-10). В результаті виходить вже відомий тричлен. Відповідь виглядає так: 3(x-2)(x+5)
Як розкладати, якщо доданок, який знаходиться у квадраті негативний? У даному випадкуза дужку виноситься число -1. Наприклад: -x²-10x-8. Після вираз виглядатиме так:
Схема мало відрізняється від попередньої. Є лише кілька нових моментів. Допустимо, дано вираз: 2x²+7x+3. Відповідь також записується у 2-х дужках, які потрібно заповнити (_) (_). У 2-у дужку записується х, а в 1-у те, що залишилося. Це так: (2x_)(x_). В іншому повторюється попередня схема.
Число 3 дають числа:
- -1, -3;
- -3, -1;
- 3, 1;
- 1, 3.
Вирішуємо рівняння, підставляючи дані числа. Підходить останній варіант. Отже, перетворення виразу 2x2+7x+3 виглядає так: (2x+1)(x+3).
Інші випадки
Перетворити вираз вийде який завжди. При другому способі рішення рівняння не буде потрібно. Але можливість перетворення доданків у твір перевіряється лише через дискримінант.
Варто потренуватися вирішувати квадратні рівняннящоб при використанні формул не виникало труднощів.
Корисне відео: розкладання тричлена на множники
Висновок
Користуватися можна будь-яким способом. Але краще обоє відпрацювати до автоматизму. Також навчитися добре вирішувати квадратні рівняння та розкладати багаточлени на множники потрібно тим, хто має намір пов'язати своє життя з математикою. На цьому будуються всі математичні теми.
Поняття "багаточлен" та "розкладання багаточлена на множники" по алгебрі зустрічаються дуже часто, адже їх необхідно знати, щоб з легкістю проводити обчислення з великими багатозначними числами. У цій статті буде описано кілька способів розкладання. Всі вони досить прості у застосуванні, варто лише правильно підібрати потрібний у кожному конкретному випадку.
Поняття багаточлена
Багаточлен є сумою одночленів, тобто виразів, що містять лише операцію множення.
Наприклад, 2 * x * y - це одночлен, а ось 2 * x * y + 25 - багаточлен, який складається з 2 одночленів: 2 * x * y і 25. Такі багаточлени називає двочленами.
Іноді для зручності вирішення прикладів з багатозначними значеннямивираз необхідно перетворити, наприклад, розкласти на деяку кількість множників, тобто чисел або виразів, між якими виробляється дія множення. Є низка способів розкладання многочлена на множники. Варто розглянути їх починаючи з найпримітивнішого, який застосовують ще у початкових класах.
Угруповання (запис у загальному вигляді)
Формула розкладання багаточлена на множники способом угруповання в загальному виглядівиглядає таким чином:
ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)
Необхідно згрупувати одночлени так, щоб у кожній групі з'явився спільний множник. У першій дужці це множник с, а другий - d. Це потрібно зробити для того, щоб потім винести його за дужку, тим самим спростивши обчислення.
Алгоритм розкладання на конкретному прикладі
Найпростіший приклад розкладання многочлена на множники способом угруповання наведено нижче:
10ас + 14bc - 25a - 35b = (10ас - 25а) + (14bc - 35b)
У першу дужку потрібно взяти доданки з множником а, який і буде загальним, а другу - з множником b. Зверніть увагу на знаки + і – у готовому вираженні. Ми ставимо перед одночленом той знак, який був у початковому виразі. Тобто, потрібно працювати не з виразом 25а, а з виразом -25. Знак мінус як би «приклеїти» до виразу, що стоїть за ним, і завжди враховувати його при обчисленнях.
на наступному кроціпотрібно винести множник, що є загальним, за дужку. Саме для цього і робиться угруповання. Винести за дужку - значить виписати перед дужкою (опускаючи знак множення) усі ті множники, які з точністю повторюються у всіх складових, що знаходяться у дужці. Якщо у дужці не 2, а 3 доданків і більше, загальний множник повинен утримуватися в кожному з них, інакше його не можна винести за дужку.
У нашому випадку - тільки по 2 доданків у дужках. Загальний множник одразу видно. У першій дужці – це а, у другій – b. Тут слід звернути увагу до цифрові коефіцієнти. У першій дужці обидва коефіцієнти (10 і 25) кратні 5. Це означає, що можна винести за дужку не тільки а, а й 5а. Перед дужкою виписати 5а, а потім кожну із доданків у дужках поділити на загальний множник, який був винесений, і також записати приватне у дужках, не забуваючи про знаки + і - З другою дужкою вчинити також, винести 7b, так як і 14 і 35 кратно 7.
10ас + 14bc - 25a - 35b = (10ас - 25а) + (14bc - 35b) = 5а (2c - 5) + 7b (2c - 5).
Вийшло 2 доданків: 5а(2c - 5) та 7b(2c - 5). Кожне з них містить загальний множник (увесь вираз у дужках тут збігається, значить, є загальним множником): 2с - 5. Його теж потрібно винести за дужку, тобто в другій дужці залишаються доданки 5а і 7b:
5а (2c - 5) + 7b (2c - 5) = (2c - 5) * (5а + 7b).
Отже, повний вираз:
10ас + 14bc - 25a - 35b = (10ас - 25а) + (14bc - 35b) = 5а (2c - 5) + 7b (2c - 5) = (2c - 5) * (5а + 7b).
Таким чином, багаточлен 10ас + 14bc - 25a - 35b розкладається на 2 множники: (2c - 5) та (5а + 7b). Знак множення між ними під час запису можна опускати
Іноді зустрічаються вирази такого типу: 5а 2 + 50а 3 тут можна винести за дужку не тільки а або 5а, а навіть 5а 2 . Завжди потрібно намагатися винести найбільший загальний множник за дужку. У нашому випадку, якщо розділити кожен доданок на загальний множник, то виходить:
5а 2/5а 2 = 1; 50а 3/5а 2 = 10а(при обчисленні частки кількох ступенів з рівними підставамиоснова зберігається, а показник ступеня віднімається). Таким чином, у дужці залишається одиниця (у жодному разі не забувайте писати одиницю, якщо виносите за дужку цілком одне із доданків) і приватне від поділу: 10а. Виходить, що:
5а 2 + 50а 3 = 5а 2 (1 + 10а)
Формули квадратів
Для зручності обчислень було виведено кілька формул. Вони називаються формулами скороченого множення та використовуються досить часто. Ці формули допомагають розкласти на множники багаточлени, що містять ступеня. Це ще один дієвий спосіброзкладання на множники. Отже, ось вони:
- a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 -формула, що отримала назву "квадрат суми", тому що в результаті розкладання в квадрат береться сума чисел, укладена в дужки, тобто значення цієї суми множиться саме на себе 2 рази, а отже, є множником.
- a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - Формула квадрата різниці, вона аналогічна попередньої. В результаті виходить різниця, укладена в дужки, що міститься у квадратному ступені.
- a 2 - b 2 = (a + b) (а - b)- це формула різниці квадратів, тому що спочатку багаточлен складається з 2 квадратів чисел або виразів, між якими виробляється віднімання. Мабуть, із трьох названих вона найчастіше використовується.
Приклади на обчислення за формулами квадратів
Обчислення з них виробляються досить просто. Наприклад:
- 25x 2 + 20xy + 4y 2 - Використовуємо формулу "квадрат суми".
- 25x2 є квадратом виразу 5х. 20ху - подвоєний твір 2 * (5х * 2у), а 4y 2 - це квадрат 2у.
- Отже, 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2у) 2 = (5x + 2у)(5x + 2у). Цей багаточленрозкладається на 2 множники (множники однакові, тому записується у вигляді виразу з квадратним ступенем).
Дії за формулою квадрата різниці виконуються аналогічно цим. Залишається формула різниця квадратів. Приклади на цю формулу дуже легко визначити та знайти серед інших виразів. Наприклад:
- 25а 2 - 400 = (5а - 20) (5а + 20). Оскільки 25а 2 = (5а) 2 , а 400 = 20 2
- 36х 2 - 25у 2 = (6х - 5у) (6х + 5у). Оскільки 36х 2 = (6х) 2 , а 25у 2 = (5у 2)
- з 2 - 169b2 = (с - 13b) (c + 13b). Оскільки 169b 2 = (13b) 2
Важливо, щоб кожен із доданків був квадратом будь-якого висловлювання. Тоді цей многочлен підлягає розкладанню на множники за формулою різниці квадратів. Для цього не обов'язково, щоб над числом стояв саме другий ступінь. Зустрічаються багаточлени. великі ступені, але однаково підходять до цих формул.
a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2
У даному прикладіа 8 можна як (a 4) 2 , тобто квадрат деякого висловлювання. 25 - це 5 2, а 10а 4 - це подвоєне твір доданків2 * a 4 * 5. Тобто даний вираз, незважаючи на наявність ступенів з великими показниками, можна розкласти на 2 множники, щоб згодом працювати з ними.
Формули кубів
Такі ж формули існують для розкладання на множники багаточленів, що містять куби. Вони трохи складніші за ті, що з квадратами:
- a 3 + b 3 = (а + b) (a 2 - ab + b 2)- цю формулу називають сумою кубів, оскільки в початковому виглядімногочлен є сумою двох виразів чи чисел, укладених у куб.
- a 3 - b 3 = (а - b) (a 2 + ab + b 2) -формула, ідентична попередньої, позначена як різниця кубів.
- a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - куб суми, в результаті обчислень виходить сума чисел або виразів, укладена в дужки і помножена сама на себе 3 рази, тобто в кубі
- a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 -формула, складена за аналогією попередньої із зміною лише деяких знаків математичних операцій(плюс та мінус), має назву "куб різниці".
Останні дві формули практично не використовуються з метою розкладання багаточлена на множники, оскільки вони складні, і досить рідко зустрічаються багаточлени, що повністю відповідають саме такій будові, щоб їх можна було розкласти за цими формулами. Але їх все одно потрібно знати, тому що вони будуть потрібні при діях в зворотному напрямку- при розкритті дужок.
Приклади на формули кубів
Розглянемо приклад: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).
Тут взяті досить прості числа, тому відразу можна побачити, що 64а 3 – це (4а) 3 , а 8b 3 – це (2b) 3 . Таким чином, цей многочлен розкладається за формулою різниця кубів на 2 множники. Дії за формулою суми кубів провадяться за аналогією.
Важливо розуміти, що далеко не всі багаточлени підлягають розкладу хоча б одним із способів. Але є такі вирази, які містять більші ступені, ніж квадрат або куб, але їх також можна розкласти за формами скороченого множення. Наприклад: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y)( x 8 − 5x 4 y + 25y 2).
У цьому прикладі міститься аж 12 ступінь. Але навіть його можна розкласти на множники за формулою суми кубів. Для цього потрібно представити х 12 як (x 4) 3 тобто як куб якого-небудь виразу. Тепер у формулу замість а потрібно підставляти саме його. Ну а вираз 125у 3 – це куб 5у. Далі слід скласти твір за формулою та провести обчислення.
Спочатку або у разі виниклих сумнівів, ви завжди можете провести перевірку зворотним множенням. Вам потрібно лише розкрити дужки в виразі і виконати дії з подібними доданками. Цей метод відноситься до всіх перерахованих способів скорочення: як до роботи із загальним множником та угруповання, так і до дій за формулами кубів та квадратних ступенів.