Завдання 16 ЄДІ 2015. Тіла обертання.
Іванова Є.М.
МБОУ ЗОШ №8 м. Кам'янськ-Шахтинський
Відрізок AB c, паралельною цьому відрізку і віддаленого від нього на відстань, що дорівнює 2. Знайдіть площу поверхні обертання.
Відповідь. Шуканою поверхнею обертання є бічна поверхняциліндра, радіус основи якого дорівнює 2, що утворює рівну 1. Площа цієї поверхні дорівнює 4 .
Відрізок ABдовжини 1 обертається навколо прямої c, перпендикулярної цьому відрізку та віддаленої від найближчого його кінця Aна відстань, що дорівнює 2 (прямі ABі злежать у одній площині). Знайдіть площу поверхні обертання.
Відповідь. Поверхнею, що шукається, є кільце, внутрішній радіус якого дорівнює 2, а зовнішній – 3. Площа цього кільця дорівнює 5 .
Відрізок AB c, Перпендикулярна цьому відрізку і проходить через його середину. Знайдіть площу поверхні обертання.
Відповідь. Поверхнею, що шукається, є коло радіуса 1. Його площа дорівнює.
Відрізок ABдовжини 2 обертається навколо прямої c A. Знайдіть площу поверхні обертання.
Відрізок AB c, перпендикулярної цьому відрізку та проходить через точку C, Що ділить цей відрізок щодо 1:2. Знайдіть площу поверхні обертання.
Відповідь. Поверхнею, що шукається, є коло радіуса 2. Його площа дорівнює 4 .
Відрізок ABдовжини 2 обертається навколо прямої c, що проходить через точку Aі утворює з цим відрізком кут 30 про. Знайдіть площу поверхні обертання.
Відповідь. Поверхнею, що шукається, є бічна поверхня конуса, що утворює якого дорівнює 2, радіус основи дорівнює 1. Її площа дорівнює 2 .
Відрізок ABдовжини 3 обертається навколо прямої c, що проходить через точку Aі віддаленої від точки Bна відстань, що дорівнює 2. Знайдіть площу поверхні обертання.
Відповідь. Поверхнею, що шукається, є бічна поверхня конуса, що утворює якого дорівнює 3, радіус основи дорівнює 2. Її площа дорівнює 6 .
Відрізок ABдовжини 2 обертається навколо прямої c, Що проходить через середину цього відрізка і утворює з ним кут 30 про. Знайдіть площу поверхні обертання.
Відповідь. Поверхня, що шукається, складена з двох бічних поверхонь конусів, що утворюють яких рівні 1, а радіуси основ – 0,5. Її площа дорівнює.
Відрізок ABдовжини 3 обертається навколо прямої c, що проходить через точку C, Що ділить цей відрізок щодо 1:2 і утворює з ним кут 30 о. Знайдіть площу поверхні обертання.
Відповідь. Поверхня, що шукається, складена з двох бічних поверхонь конусів, що утворюють яких рівні 2 і 1, а радіуси основ рівні відповідно 1 і 0,5. Її площа дорівнює 2,5.
Відрізок ABдовжини 3 обертається навколо прямої c, що лежить з ним в одній площині і віддалена від кінців Aі Bвідповідно на відстані 1 та 2. Знайдіть площу поверхні обертання.
Відповідь. Поверхнею, що шукається, є бічна поверхня усіченого конуса, що утворює якого дорівнює 3, радіуси основ рівні 1 і 2. Її площа дорівнює 9 .
Відрізок ABдовжини 2 обертається навколо прямої c, що лежить з ним в одній площині, що віддаляється від найближчого кінця Aна відстань, що дорівнює 1, і утворює з цим відрізком кут 30 про. Знайдіть площу поверхні обертання.
Відповідь. Поверхнею, що шукається, є бічна поверхня усіченого конуса, що утворює якого дорівнює 2, радіуси основ рівні 1 і 2. Її площа дорівнює 6 .
Знайдіть площу бічної поверхні циліндра, отриманого обертанням одиничного квадрата ABCDнавколо прямої AD .
Відповідь. Циліндр зображений на малюнку. Радіус його основи і утворює рівні 1. Площа бічної поверхні цього циліндра дорівнює 2 .
Знайдіть площу поверхні обертання прямокутника ABCDзі сторонами AB = 4, BC = 3 навколо прямої ABі CD .
Відповідь. Шуканим тілом є циліндр, радіус основи якого дорівнює 2, а твірна дорівнює 3. Його площа поверхні дорівнює 20 .
Знайдіть площу поверхні тіла, отриманого обертанням одиничного квадрата ABCDнавколо прямої AC .
Відповідь. Шуканим тілом обертання є об'єднання двох конусів, радіуси основ якого та висоти рівні. Його площа поверхні дорівнює.
Знайдіть площу поверхні тіла, отриманого обертанням прямокутного трикутника ABCз катетами AC = BC = 1 навколо прямої AC .
Відповідь. Конус зображений на малюнку. Радіус його основи дорівнює 1, а твірна дорівнює. Площа поверхні цього конуса дорівнює.
Знайдіть площу повної поверхні тіла, отриманого обертанням рівностороннього трикутника ABCзі стороною 1 навколо прямої, що містить бісектрису CDцього трикутника.
Відповідь. Конус зображений на малюнку. Радіус його основи дорівнює 0,5, а твірна дорівнює 1. Площа повної поверхні цього конуса дорівнює 3/4.
Знайдіть площу поверхні обертання рівностороннього трикутника ABCзі стороною 1 навколо прямої AB .
Відповідь. Шукане тіло обертання складено з двох конусів з загальною основою, радіус якого дорівнює, а висоти – 0,5. Його площа поверхні дорівнює.
Знайдіть об'єм тіла обертання рівнобедреної трапеції ABCDз бічними сторонами ADі BC, рівними 1, та основами ABі CD, рівними відповідно 2 і 1, навколо прямої AB .
Відповідь. Шуканим тілом обертання є циліндр з радіусом основи та висотою 1, на основах якого добудовані конуси, висотою 0,5. Його обсяг дорівнює.
Знайдіть об'єм тіла обертання прямокутної трапеції ABCDз основами ABі CD, рівними відповідно 2 і 1, меншою бічною стороною, що дорівнює 1, навколо прямої AB .
Відповідь. Шуканим тілом обертання є циліндр з радіусом основи та висотою, рівними 1, на підставі якого добудований конус, висотою 1. Його об'єм дорівнює.
Знайдіть об'єм тіла обертання правильного шестикутника ABCDEFзі стороною 1 навколо прямої AD .
Відповідь. Тело обертання, що шукається, складається з циліндра, радіус основи якого дорівнює, а висота дорівнює 1 і двох конусів з основами радіуса і висотою 0,5. Його обсяг дорівнює.
ABCDEF, зображеного на малюнку та складеного з трьох одиничних квадратів, навколо прямої AF .
Відповідь. Тело обертання, що шукається, складається з двох циліндрів з основами радіусів 2 і 1, висотою 1. Його об'єм дорівнює 5 .
Знайдіть об'єм тіла обертання багатокутника ABCDEFGH, зображеного на малюнку і складеного з чотирьох одиничних квадратів, навколо прямої c, що проходить через середини сторін ABі EF .
Відповідь. Тело обертання, що шукається, складено з двох циліндрів висотою 1 і радіусами основ 1,5 і 0,5. Його обсяг дорівнює 2,5.
Знайдіть об'єм тіла обертання багатокутника ABCDEFGH, зображеного на малюнку та складеного з п'яти одиничних квадратів, навколо прямої c, що проходить через середини сторін ABі EF .
Відповідь. 1. Тело обертання, що шукається, є циліндром з радіусом основи 1,5 і висотою 2, з якого вирізаний циліндр з радіусом основи 0,5 і висотою 1. Його об'єм дорівнює 4,25 .
Знайдіть об'єм тіла обертання одиничного куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 навколо прямої AA 1 .
Відповідь. Шуканим тілом обертання є циліндр, радіус основи якого дорівнює, а висота дорівнює 1. Його об'єм дорівнює 2 .
Знайдіть об'єм тіла обертання правильною трикутної призми ABCA 1 B 1 C AA 1 .
Відповідь. Шуканим тілом обертання є циліндр, радіус основи та висота якого рівні 1. Його об'єм дорівнює.
Знайдіть об'єм тіла обертання правильною шестикутної призми ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , всі ребра якої рівні 1, навколо прямої AA 1 .
Відповідь. Шуканим тілом обертання є циліндр, радіус основи якого дорівнює 2, а висота дорівнює 1. Його об'єм дорівнює 4 .
Знайдіть об'єм тіла обертання правильною чотирикутної піраміди SABCDвсі ребра якої рівні 1, навколо прямої з, що містить висоту SHцієї піраміди.
Відповідь. Шуканим тілом обертання є конус, радіус основи та висота якого рівні.
Його обсяг дорівнює.
Знайдіть об'єм тіла обертання одиничного тетраедра ABCDнавколо ребра AB .
Відповідь. 1. Тело обертання, що шукається, складено з двох конусів із загальною основою радіуса і висотою 0,5. Його обсяг дорівнює 0,25.
Знайдіть об'єм тіла обертання одиничного правильного октаедра S'ABCDS”навколо прямої S"S" .
Відповідь. Тело обертання, що шукається, складається з двох конусів із загальною основою радіусу і висотами, рівними. Його обсяг дорівнює.
Усі двогранні кутибагатогранника, зображеного малюнку, прямі. Знайдіть об'єм тіла обертання цього багатогранника навколо прямої AD .
Відповідь. Шуканим тілом обертання є циліндр, радіус основи якого дорівнює, а висота дорівнює 2. Його об'єм дорівнює 10 .
Нехай T - тіло обертання, утворене обертанням навколо осі абсцис криволінійної трапеції, розташованої у верхній напівплощині та обмеженою віссю абсцис, прямими x=a та x=b та графіком безперервної функції y=f(x).
Доведемо, що це тіло обертання кубується і його обсяг виражається формулою
V=\pi \int\limits_(a)^(b) f^2(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)y^2\,dx\,.
Спочатку доведемо, що це тіло обертання регулярно, якщо як \Pi виберемо площину Oyz , перпендикулярну до осіобертання. Зазначимо, що перетин, що знаходиться на відстані x від площини Oyz є кругом радіуса f(x) і його площа S(x) дорівнює \pi f^2(x) (рис. 46). Тому функція S(x) безперервна через безперервність f(x) . Далі, якщо S(x_1)\leqslant S(x_2), Це означає, що . Але проекціями перерізів на площину Oyz є кола радіусів f(x_1) і f(x_2) з центром O і з f(x_1)\leqslant f(x_2)випливає, що коло радіусу f(x_1) міститься у колі радіусу f(x_2) .
Отже, тіло обертання регулярно. Отже, воно кубується і його обсяг обчислюється за формулою
V=\pi \int\limits_(a)^(b) S(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)f^2(x)\,dx\,.
Якби криволінійна трапеція була обмежена і знизу і зверху кривими y_1=f_1(x), y_2=f_2(x) , то
V= \pi \int\limits_(a)^(b)y_2^2\,dx- \pi \int\limits_(a)^(b)y_1^2\,dx= \pi\int\limits_(a )^(b)\Bigl(f_2^2(x)-f_1^2(x)\Bigr)dx\,.
Формулою (3) можна скористатися і для обчислення об'єму тіла обертання у випадку, коли межа фігури, що обертається, задана параметричними рівняннями. В цьому випадку доводиться користуватися заміною змінної під знаком певного інтегралу.
У деяких випадках виявляється зручним розкладати тіла обертання не так на прямі кругові циліндри, але в постаті іншого виду.
Наприклад, знайдемо об'єм тіла, що отримується при обертанні криволінійної трапеції навколо осі ординат. Спочатку знайдемо об'єм, який отримується при обертанні прямокутника з висотою y#, в основі якого лежить відрізок . Цей об'єм дорівнює різниці об'ємів двох прямих кругових циліндрів.
\Delta V_k= \pi y_k x_(k+1)^2- \pi y_k x_k^2= \pi y_k \bigl(x_(k+1)+x_k\bigr) \bigl(x_(k+1)- x_k\bigr).
Але тепер ясно, що об'єм оцінюється зверху і знизу наступним чином:
2\pi \sum_(k=0)^(n-1) m_kx_k\Delta x_k \leqslant V\leqslant 2\pi \sum_(k=0)^(n-1) M_kx_k\Delta x_k\,.
Звідси легко випливає формула об'єму тіла обертання навколо осі ординат:
V=2\pi \int\limits_(a)^(b) xy\,dx\,.
приклад 4.Знайдемо об'єм кулі радіусу R .
Рішення.Не втрачаючи спільності, будемо розглядати коло радіусу R з центром на початку координат. Це коло, обертаючись навколо осі Ox, утворює кулю. Рівняння кола має вигляд x^2+y^2=R^2, тому y^2=R^2-x^2. Враховуючи симетрію кола щодо осі ординат, знайдемо спочатку половину шуканого обсягу
\frac(1)(2)V= \pi\int\limits_(0)^(R)y^2\,dx= \pi\int\limits_(0)^(R) (R^2-x^ 2)\,dx= \left.(\pi\!\left(R^2x- \frac(x^3)(3)\right))\right|_(0)^(R)= \pi\ !\left(R^3- \frac(R^3)(3)\right)= \frac(2)(3)\pi R^3.
Отже, обсяг усієї кулі дорівнює \frac(4)(3)\pi R^3.
Приклад 5.Обчислити обсяг конуса, висота якого і радіус основи r .
Рішення.Виберемо систему координат так, щоб вісь Ox збіглася з висотою h (рис. 47), а вершину конуса візьмемо за початок координат. Тоді рівняння прямої OA запишеться у вигляді y = frac (r) (h) \, x.
Користуючись формулою (3), отримаємо:
V=\pi \int\limits_(0)^(h) y^2\,dx= \pi \int\limits_(0)^(h) \frac(r^2)(h^2)\,x ^2\,dx= \left.(\frac(\pi r^2)(h^2)\cdot \frac(x^3)(3))\right|_(0)^(h)= \ frac(\pi)(3)\,r^2h\,.
Приклад 6.Знайдемо об'єм тіла, одержаного при обертанні навколо осі абсцис астроїди \begin(cases)x=a\cos^3t\,\\y=a\sin^3t\,.\end(cases)(Рис. 48).
Рішення.Побудуємо астроіду. Розглянемо половину верхньої частини астроіди, розташованої симетрично щодо осі ординат. Використовуючи формулу (3) та змінюючи змінну під знаком певного інтеграла, знайдемо для нової змінної t межі інтегрування.
Якщо x=a\cos^3t=0 , то t=\frac(\pi)(2) , якщо x=a\cos^3t=a , то t=0 . Враховуючи, що y^2=a^2\sin^6t і dx=-3a\cos^2t\sin(t)\,dt, отримуємо:
V=\pi \int\limits_(a)^(b) y^2\,dx= \pi \int\limits_(\pi/2)^(0) a^2\sin^6t \bigl(-3a \cos^2t\sin(t)\bigr)\,dt= \ldots= \frac(16\pi)(105)\,a^3.
Об'єм всього тіла, освіченого обертаннямастроїди, буде \frac(32\pi)(105)\,a^3.
Приклад 7.Знайдемо об'єм тіла, що отримується при обертанні навколо осі ординат криволінійної трапеції, обмеженою віссю абсцис та першою аркою циклоїди \begin(cases)x=a(t-sin(t)),\y=a(1-cos(t)).\end(cases).
Рішення.Скористаємося формулою (4): V=2\pi \int\limits_(a)^(b)xy\,dx, і замінимо змінну під знаком інтеграла, враховуючи, що перша арка циклоїди утворюється за зміни змінної t від 0 до 2\pi . Таким чином,
\begin(aligned)V&= 2\pi \int\limits_(0)^(2\pi) a(t-sin(t))a(1-cos(t))a(1-cos( t))\,dt= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi) (t-sin(t))(1-cos(t))^2\,dt= \\ &= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi)\bigl(t-sin(t)- 2tcos(t)+ 2sin(t)\cos( t)+ t\cos^2t- \sin(t)\cos^2t\bigr)\,dt=\\ &= \left.(2\pi a^3\!\left(\frac(t^2) )(2)+ \cos(t)- 2t\sin(t)- 2\cos(t)+ \sin^2t+ \frac(t^2)(4)+ \frac(t)(4)\sin2t+ \frac(1)(8)\cos2t+ \frac(1)(3)\cos^3t\right))\right|_(0)^(2\pi)=\\ &= 2\pi a^3 \!\left(2\pi^2+1-2+\pi^2+\frac(1)(8)+ \frac(1)(3)-1+2- \frac(1)(8) - \frac(1)(3)\right) = 6pi^3a^3. \end(aligned)
У вашому браузері вимкнено Javascript.Щоб розрахувати, необхідно дозволити елементи ActiveX!
"Обсяг тіла обертання" - Завдання на тему "Обсяги тіл обертання". Знайти об'єм отриманого тіла обертання.
«Рівність прямокутних трикутників» - (По гіпотенузі та гострому кутку). Властивості прямокутних трикутників. Падаючий промінь і відбитий промінь паралельні. Сформулюйте ознаку рівності прямокутних трикутників за катетом та гострим кутом. В основі чого лежить одна з властивостей прямокутного трикутника? Ознаки рівності прямокутних трикутників.
«Прямокутний трикутник 7 клас» - Розв'язання задач: Перевір себе: Самостійне рішеннязадач із наступною самоперевіркою. Заповніть перепустки у розв'язанні задачі: Розвивати навички розв'язання задач на застосування властивостей прямокутного трикутника. Закріпити основні властивості прямокутних трикутників. Теоретичне опитування: Розглянути ознаку прямокутного трикутника та властивість медіани прямокутного трикутника.
«Об'єм прямокутного паралелепіпеда» - Об'ємна. Т е с т. Рівні. ( Геометрична фігура). Ребрами. Зробіть висновок. Які вершини належать до основи? 4. У паралелепіпеда 8 ребер. Кубом. 5. У куба всі ребра рівні. Можуть бути різними чи рівними. (Плоска, об'ємна). Запишіть формулу. Прямокутник. 2. Будь-який прямокутний паралелепіпед є кубом.
«Ознаки рівності прямокутних трикутників» - Вкажіть правильний запис 5 ознаки рівності прямокутних трикутників. 2.Вкажіть НЕВЕРНЕ продовження затвердження. Прямокутні трикутники рівні По катету та протилежному гострому куту По катету і прямому кутуПо катету та гіпотенузі За трьома катетами. Вкажіть правильний запис 2 ознаки рівності прямокутних трикутників.
"Прямокутний паралелепіпед" - Паралелепіпед, всі грані якого квадрати, називається кубом. Слово зустрічалося у давньогрецьких вчених Евкліда та Герона. Довжина Ширина Висота. Паралелепіпед – шестигранник, усі грані якого (підстави) – паралелограми. Прямокутний паралелепіпед. Паралелепіпед має 8 вершин і 12 ребер. Грані паралелепіпеда, які мають загальних вершин, називаються протилежними.
Приклади тіл обертання
- Куля - утворена півколом, що обертається навколо діаметра розрізу
- Циліндр - утворений прямокутником, що обертається навколо однієї зі сторін
За площу бічної поверхні циліндра приймається площа його розгортки: Sбок = 2πrh.
- Конус - утворений прямокутним трикутником, що обертається навколо одного з катетів
За площу бічної поверхні конуса приймається площа її розгортки: Sбок = πrl Площа повної поверхні конуса: Sкон = πr(l+ r)
При обертанні контурів фігур виникає поверхня обертання (наприклад, сфера, утворена колом), тоді як при обертанні заповнених контурів виникають тіла (як куля, утворена колом).
Об'єм та площа поверхні тіл обертання
- Перша теорема Гульдіна-Паппа говорить:
- Друга теорема Гульдіна-Паппа говорить:
Література
А.В. Погорєлов. Геометрія. 10-11 клас » § 21. Тіла обертання. - 2011
Примітки
Wikimedia Foundation. 2010 .
Дивитись що таке "Тіла обертання" в інших словниках:
деталь із закритим уступом – тіла обертання- частина деталі, поверхня якої обмежена з обох сторін поверхнями обертання, що мають більший діаметр. Наявність закритих уступів не впливає визначення ступінчастості зовнішньої поверхні. Проточки для виходу інструменту не вважається.
оболонка, що має форму тіла обертання- - [А.С.Гольдберг. Англо-російський енергетичний словник. 2006 р.] Тематики енергетика загалом EN shell of revolution … Довідник технічного перекладача
тонкого тіла теорія Енциклопедія «Авіація»
тонкого тіла теорія- Обтікання тонкого тіла при відмінному від нуля вугіллі атаки. тонкого тіла теорія теорія просторової безвихрової течії ідеальної рідиниблизько тонких тіл[тіла, у яких поперечний розмір l (товщина, розмах) малий порівняно з… … Енциклопедія «Авіація»
Теорія просторової безвихрової течії ідеальної рідини біля тонких тіл (тіла, у яких поперечний розмір l (товщина, розмах) малий у порівнянні з поздовжнім розміром L: (τ) = l/LЕнциклопедія техніки
Кутова швидкість(синя стрілка) в одну одиницю за годинниковою стрілкою Кутова швидкість (синя стрілка) в півтори одиниці за годинниковою стрілкою Кутова швидкість (синя стрілка) в одну одиницю проти годинникової стрілки Уг …
Розділ фізики, що вивчає структуру та властивості твердих тіл. Наукові дані про мікроструктуру твердих речовині про фізичні та хімічні властивостіскладових їх атомів необхідні розробки нових матеріалів і технічних пристроїв. Фізика… … Енциклопедія Кольєра
Рух тіла у полі тяжіння Землі з поч. швидкістю, дорівнює нулю. П. т. відбувається під дією сили тяжіння, що залежить від відстані r до центру Землі, і сили опору середовища (повітря або води), що залежить від швидкості v руху. На… … Фізична енциклопедія
Пряма, нерухома щодо обертається навколо неї твердого тіла. Для твердого тіла, що має нерухому точку (наприклад, для дитячого дзиги), пряма, що проходить через цю точку, поворотом навколо якої тіло переміщається з даного. Енциклопедичний словник
Рух тіла в полі тяжіння Землі з початковою швидкістю, що дорівнює нулю. П. т. відбувається під дією сили тяжіння, яка залежить від відстані r до центру Землі, і сили опору середовища (повітря або води), яка залежить від швидкості. Велика радянська енциклопедія
Книги
- Набір таблиць. Математика. Багатогранники. Тіла обертання. 11 таблиць + 64 картки + методика, . Навчальний альбом із 11 аркушів (формат 68 х 98 см): - Паралельне проектування. - Зображення плоских фігур. - Поетапне ілюстрування доказів теорем. - Взаємне розташування прямих і ...
- Інтегрування рівнянь рівноваги пружного тіла обертання при симетричному щодо його осі розподілі об'ємних та поверхневих сил, Г.Д. Гродський. Відтворено в оригінальній авторській орфографії видання 1934 року (видавництво "Известия академии наук СССР"). У…