Як вирішуються нерівності. Вирішення лінійних нерівностей

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Що таке "квадратна нерівність"?Не питання!) Якщо взяти будь-якеквадратне рівняння та замінити в ньому знак "=" (рівно) на будь-який значок нерівності ( > ≥ < ≤ ≠ ), вийде квадратна нерівність. Наприклад:

1. x 2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x 2 ≤ 4

Ну, ви зрозуміли...)

Я не дарма тут зв'язав рівняння та нерівності. Справа в тому, що перший крок у вирішенні будь-якого квадратної нерівності - вирішити рівняння, з якого ця нерівність зроблена.З цієї причини – нездатність вирішувати квадратні рівнянняавтоматично призводить до повного провалу та в нерівностях. Натяки зрозумілі?) Якщо що, подивіться, як вирішувати будь-які квадратні рівняння. Там все докладно розписано. А у цьому уроці ми займемося саме нерівностями.

Готова для вирішення нерівність має вигляд: ліворуч - квадратний тричлен ax 2 +bx+c, праворуч - нуль.Знак нерівності може бути абсолютно будь-яким. Перші два приклади тут вже готові до вирішення.Третій приклад треба ще підготувати.

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Наприклад, нерівністю є вираз (x> 5).

Види нерівностей:

Якщо \(a\) і \(b\) – це числа або , то нерівність називається числовим. Фактично, це просто порівняння двох чисел. Такі нерівності поділяються на вірніі невірні.

Наприклад:
\(-5<2\) - верное числова нерівністьадже \(-5\) дійсно менше \(2\);

\(17+3\geq 115\) - неправильна числова нерівність, так як \(17+3=20\), а \(20\) менше \(115\) (а не більше або одно).


Якщо ж \(a\) і \(b\) - це вирази, що містять змінну, то у нас нерівність зі змінною. Такі нерівності поділяють за типами залежно від вмісту:

\(2x+1\geq4(5-x)\)

Змінна тільки в першому ступені

\(3x^2-x+5>0\)

Є змінна в другому ступені (квадраті), але немає старших ступенів (третього, четвертого і т.д.)

\(\log_(4)((x+1))<3\)

\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)
... і таке інше.

Що таке розв'язання нерівності?

Якщо в нерівність замість змінної підставити якесь число, воно перетвориться на числове.

Якщо це значення для ікса перетворює вихідне нерівність вірне числове, воно називається вирішенням нерівності. Якщо ж ні - то це значення рішенням не є. І щоб вирішити нерівність- Треба знайти всі його рішення (або показати, що їх немає).

Наприклад,якщо ми в лінійну нерівність \(x+6>10\), підставимо замість ікса число \(7\) - отримаємо правильну числову нерівність: \(13>10\). А якщо підставимо \(2\), буде неправильна числова нерівність \(8>10\). Тобто \(7\) - це рішення вихідної нерівності, а \(2\) - ні.

Проте, нерівність (x+6>10) має й інші рішення. Справді, ми отримаємо вірні числові нерівності при підстановці і (5), і (12), і (138) ... І як же нам знайти все можливі рішення? Для цього використовують Для нашого випадку маємо:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Тобто нам підійде будь-яке число більше чотирьох. Тепер слід записати відповідь. Вирішення нерівностей, як правило, записують числовими , додатково позначаючи їх на числовій осі штрихуванням. Для нашого випадку маємо:

Відповідь: \(x\in(4;+\infty)\)

Коли змінюється знак у нерівності?

У нерівностях є одна велика пастка, в яку дуже люблять траплятися учні:

При множенні (або розподілі) нерівності на від'ємне число, змінюється на протилежний («більше» на «менше», «більше чи одно» на «менше чи одно» тощо)

Чому так відбувається? Щоб це зрозуміти, давайте подивимося перетворення числової нерівності \(3>1\). Воно вірне, трійка справді більше одиниці. Спочатку спробуємо помножити його на будь-яке позитивне число, наприклад, двійку:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Як бачимо, після множення нерівність залишилася вірною. І на яке б позитивне число ми не множили – завжди отримуватимемо правильна нерівність. А тепер спробуємо помножити на негативне число, наприклад, мінус трійку:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Вийшла невірна нерівність, адже мінус дев'ять менше, ніж мінус три! Тобто для того, щоб нерівність стала вірною (а значить, перетворення множення на негативне було «законним»), потрібно перевернути знак порівняння, ось так: \(−9<− 3\).
З розподілом вийде аналогічно, можете перевірити самі.

Записане вище правило поширюється попри всі види нерівностей, а чи не лише на числові.

Приклад: Розв'язати нерівність \(2(x+1)-1<7+8x\)
Рішення:

\(2x+2-1<7+8x\)

Перенесемо \(8x\) вліво, а \(2\) і \(-1\) вправо, не забуваючи при цьому міняти знаки

\(2x-8x<7-2+1\)

\(-6x<6\) \(|:(-6)\)

Поділимо обидві частини нерівності на \(-6\), не забувши поміняти з "менше" на "більше"

Зазначимо на осі числовий проміжок. Нерівність, тому саме значення \(-1\) «виколюємо» і у відповідь не беремо

Запишемо відповідь у вигляді інтервалу

Відповідь: \(x\in(-1;\infty)\)

Нерівності та ОДЗ

Нерівності, як і рівняння можуть мати обмеження на , тобто значення ікса. Відповідно, із проміжку рішень мають бути виключені ті значення, які неприпустимі за ОДЗ.

Приклад: Розв'язати нерівність \(\sqrt(x+1)<3\)

Рішення: Зрозуміло, що для того щоб ліва частина була меншою (3), підкорене вираз має бути менше (9) (адже з (9) саме (3)). Отримуємо:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

Усі? Нам підійде будь-яке значення ікса менше (8)? Ні! Тому що якщо ми візьмемо, наприклад, начебто підходяще під вимогу значення \(-5\) - воно рішенням вихідної нерівності не буде, тому що призведе нас до обчислення кореня з негативного числа.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Тому ми повинні враховувати обмеження на значення ікса – він може бути таким, щоб під коренем було негативне число. Таким чином, маємо другу вимогу на ікс:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

І щоб ікс був остаточним рішенням, він повинен задовольняти відразу обом вимогам: він повинен бути меншим (8) (щоб бути рішенням) і більше (-1) (щоб бути допустимим у принципі). Наносячи на числову вісь, маємо остаточну відповідь:

Відповідь: \(\left[-1;8\right)\)

Порівнювати величини та кількості при вирішенні практичних завдань доводилося ще з давніх часів. Тоді ж з'явилися і такі слова, як більше і менше, вище і нижче, легше і важче, тихіше і голосніше, дешевше і дорожче, що позначають результати порівняння однорідних величин.

Поняття більше і менше виникли у зв'язку з рахунком предметів, виміром та порівнянням величин. Наприклад, математики Стародавньої Греції знали, що сторона будь-якого трикутника менша за суму двох інших сторін і що проти більшого кута в трикутнику лежить велика сторона. Архімед, займаючись обчисленням довжини кола, встановив, що периметр будь-якого кола дорівнює потрійному діаметру з надлишком, який менше сьомої частини діаметра, але більше десяти сімдесят перших діаметра.

Символічно записувати співвідношення між числами та величинами за допомогою знаків > та b. Записи, у яких два числа з'єднані одним із знаків: > (більше), З числовими нерівностями ви зустрічалися й у молодших класах. Знаєте, що нерівності можуть бути вірними, а можуть бути й невірними. Наприклад, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \) правильна числова нерівність, 0,23 > 0,235 - неправильна числова нерівність.

Нерівності, до яких входять невідомі, можуть бути вірними за одних значень невідомих і невірними за інших. Наприклад, нерівність 2x+1>5 правильна при х = 3, а при х = -3 - неправильна. Для нерівності з одним невідомим можна поставити завдання вирішити нерівність. Завдання розв'язання нерівностей практично ставляться і вирішуються не рідше, ніж завдання розв'язання рівнянь. Наприклад, багато економічних проблем зводяться до дослідження та вирішення систем лінійних нерівностей. Багато розділах математики нерівності зустрічаються частіше, ніж рівняння.

Деякі нерівності є єдиним допоміжним засобом, що дозволяє довести або спростувати існування певного об'єкта, наприклад, кореня рівняння.

Числові нерівності

Ви вмієте порівнювати цілі числа, десяткові дроби. Знаєте правила порівняння звичайних дробів із однаковими знаменниками, але різними чисельниками; з однаковими чисельниками, але різними знаменниками. Тут ви навчитеся порівнювати будь-які два числа за допомогою знаходження знака їх різниці.

Порівняння чисел широко застосовується практично. Наприклад, економіст порівнює планові показники з фактичними, лікар порівнює температуру хворого з нормальною, токар порівнює розміри деталі, що виточується, з еталоном. У таких випадках порівнюються деякі числа. Внаслідок порівняння чисел виникають числові нерівності.

Визначення.Число а більше від числа b, якщо різниця а-b позитивна. Число а менше від числа b, якщо різниця а-b негативна.

Якщо більше b, то пишуть: а > b; якщо а менше b, то пишуть: а Отже, нерівність а > b означає, що різницю а - b позитивна, тобто. а - b > 0. Нерівність а Для будь-яких двох чисел а і b з наступних трьох співвідношень a > b, a = b, a Порівняти числа а і b - означає з'ясувати, який із знаків >, = або Теорема.Якщо a > b та Ь > с, то а > с.

Теорема.Якщо до обох частин нерівності додати те саме число, то знак нерівності не зміниться.
Слідство.Будь-яке доданок можна перенести з однієї частини нерівності до іншої, змінивши знак цього доданка на протилежний.

Теорема.Якщо обидві частини нерівності помножити на те саме позитивне число, то знак нерівності не зміниться. Якщо обидві частини нерівності помножити на те саме негативне число, то знак нерівності зміниться на протилежний.
Слідство.Якщо обидві частини нерівності поділити на те саме позитивне число, то знак нерівності не зміниться. Якщо обидві частини нерівності поділити на те саме негативне число, то знак нерівності зміниться на протилежний.

Ви знаєте, що числові рівностіможна почленно складати та множити. Далі ви навчитеся виконувати аналогічні дії з нерівностями. Вміння почленно складати і множити нерівності часто застосовуються практично. Ці дії допомагають вирішувати завдання оцінювання та порівняння значень виразів.

При вирішенні різних завданьчасто доводиться складати чи множити почленно ліві та праві частини нерівностей. При цьому іноді кажуть, що нерівності складаються чи множаться. Наприклад, якщо турист пройшов у перший день понад 20 км, а в другий – понад 25 км, то можна стверджувати, що за два дні він пройшов понад 45 км. Так само якщо довжина прямокутника менше 13 см, а ширина менше 5 см, то можна стверджувати, що площа цього прямокутника менше 65 см2.

При розгляді цих прикладів застосовувалися такі теореми про складання та множення нерівностей:

Теорема.При додаванні нерівностей однакового знака виходить нерівність того ж знака: якщо а > b і c > d, то a + c > b + d.

Теорема.При множенні нерівностей однакового знака, у яких ліві та праві частини позитивні, виходить нерівність того ж знака: якщо а > b, c > d і а, b, с, d – позитивні числа, то ac > bd.

Нерівності зі знаком > (більше) та 1/2, 3/4 b, c Поряд зі знаками суворих нерівностей> і Точно так само нерівність \(a \geq b \) означає, що число а більше або дорівнює b, тобто а не менше b.

Нерівності, що містять знак (geq) або знак (leq), називають нестрогими. Наприклад, \ (18 \ geq 12 , \; 11 \ leq 12 \) - Нестрогі нерівності.

Усі властивості суворих нерівностей справедливі й у нестрогих нерівностей. При цьому якщо для суворих нерівностей протилежними вважалися знаки і ви знаєте, що для вирішення ряду прикладних завданьдоводиться становити математичну модель як рівняння чи системи рівнянь. Далі ви дізнаєтеся, що математичними моделями на вирішення багатьох завдань є нерівності з невідомими. Буде введено поняття розв'язання нерівності та показано, як перевірити, чи є це числовирішенням конкретної нерівності.

Нерівності виду
\(ax > b, \quad ax у яких а та b - задані числа, а x - невідоме, називають лінійними нерівностями з одним невідомим.

Визначення.Рішенням нерівності з одним невідомим називається значення невідомого, у якому ця нерівність звертається у правильне числове нерівність. Вирішити нерівність - це означає знайти всі його рішення або встановити, що їх немає.

Вирішення рівнянь ви здійснювали шляхом приведення їх до найпростіших рівнянь. Аналогічно при розв'язанні нерівностей їх прагнуть за допомогою властивостей призвести до найпростіших нерівностей.

Розв'язання нерівностей другого ступеня з однією змінною

Нерівності виду
\(ax^2+bx+c >0 \) і (ax^2+bx+c де x - змінна, a, b і c - деякі числа і \(a \neq 0 \), називають нерівностями другого ступеня з однією змінною.

Розв'язання нерівності
\(ax^2+bx+c >0 \) або \(ax^2+bx+c можна розглядати як знаходження проміжків, у яких функція \(y= ax^2+bx+c \) набуває позитивних або негативних значень .Для цього достатньо проаналізувати, як розташований графік функції \(y= ax^2+bx+c \) в координатній площині: куди спрямовані гілки параболи - вгору чи вниз, чи перетинає парабола вісь x і якщо перетинає, то в яких точках.

Алгоритм розв'язання нерівностей другого ступеня з однією змінною:
1) знаходять дискримінант квадратного тричлена(ax^2+bx+c) і з'ясовують, чи має тричлен коріння;
2) якщо тричлен має коріння, то відзначають їх на осі x і через зазначені точки проводять схематично параболу, гілки якої спрямовані вгору при a > 0 або вниз при a 0 або в нижній при a 3) знаходять на осі x проміжки, для яких точки параболи розташовані вище осі x (якщо вирішують нерівність \(ax^2+bx+c >0 \)) або нижче осі x (якщо вирішують нерівність
\(ax^2+bx+c Розв'язання нерівностей методом інтервалів

Розглянемо функцію
f(x) = (х + 2)(х - 3)(х - 5)

Область визначення цієї функції є безліч всіх чисел. Нулями функції служать числа -2, 3, 5. Вони розбивають область визначення функції на проміжки \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5) \) і \( (5; + \ infty) \)

З'ясуємо, які знаки цієї функції у кожному із зазначених проміжків.

Вираз (х + 2) (х - 3) (х - 5) є твір трьох множників. Знак кожного з цих множників у розглянутих проміжках зазначений у таблиці:

Взагалі, нехай функція задана формулою
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
де x-змінна, а x 1, x 2, ..., x n - не рівні один одному числа. Числа x 1 , x 2 ..., x n є нулями функції. У кожному проміжку, на який область визначення розбивається нулями функції, знак функції зберігається, а при переході через нуль її знак змінюється.

Ця властивість використовується для вирішення нерівностей виду
(x-x 1) (x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) де x 1 , x 2 , ..., x n - не рівні один одному числа

Розглянутий спосіб Розв'язання нерівностей називають методом інтервалів.

Наведемо приклади розв'язання нерівностей шляхом інтервалів.

Вирішити нерівність:

\(x(0,5-x)(x+4) Очевидно, що нулями функції f(x) = x(0,5-x)(x+4) є точки \(x=0, \; x= \frac(1)(2) , \;

Наносимо на числову вісь нулі функції та обчислюємо знак на кожному проміжку:

Вибираємо проміжки, на яких функція менша або дорівнює нулю і записуємо відповідь.

Відповідь:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

  • Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

  • Збирається нами персональна інформаціядозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальних пропозиціях, акціях та інших заходах та найближчих подіях.
  • Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
  • Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних дослідженьз метою покращення послуг наданих нами та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
  • Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

  • Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, в судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органівна території РФ – розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
  • У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Нерівності та системи нерівностей - це одна з тем, яка проходить у середній школіз алгебри. За рівнем складності вона є не найважчою, тому що має нехитрі правила (про них трохи пізніше). Як правило, розв'язання систем нерівностей школярі засвоюють досить легко. Це пов'язано ще й з тим, що вчителі просто "натягують" своїх учнів на цю тему. І вони не можуть цього не робити, адже вона вивчається і надалі із застосуванням інших математичних величин, а також перевіряється на ОДЕ та ЄДІ. У шкільних підручникахтема, присвячена нерівностям і системам нерівностей, розкрита дуже докладно, тому якщо ви збираєтеся її вивчити, то найкраще вдатися саме до них. Ця стаття лише переказує великі матеріали, і в ній можуть бути деякі опущення.

Поняття системи нерівностей

Якщо звернутися до наукової мови, можна дати визначення поняття " система нерівностей " . Це така математична модель, яка є кілька нерівностей. Від даної моделі, звичайно ж, потрібне рішення, і в його якості виступатиме спільна відповідь для всіх нерівностей системи, запропонованої в завданні (зазвичай у ньому так і пишуть, наприклад: "Розв'яжіть систему нерівностей 4 x + 1 > 2 і 30 - x > 6...”). Однак перед тим як перейти до видів і методів рішень, потрібно ще дещо розібратися.

Системи нерівностей та системи рівнянь

У процесі вивчення нової темидуже часто виникають непорозуміння. З одного боку, все ясно і скоріше хочеться приступити до вирішення завдань, а з іншого - якісь моменти залишаються в "тіні", не зовсім добре осмислюються. Також деякі елементи вже здобутих знань можуть переплітатися з новими. Внаслідок такого "накладення" найчастіше трапляються помилки.

Тому перед тим як розпочати розбір нашої теми, слід згадати про відмінності рівнянь та нерівностей, їх систем. Для цього потрібно ще раз пояснити, що являють собою дані математичні поняття. Рівняння - це завжди рівність, і воно завжди чомусь рівне (в математиці це слово позначається знаком "="). Нерівність ж являє собою таку модель, в якій одна величина або більше, або менша за іншу, або містить у собі твердження, що вони неоднакові. Таким чином, у першому випадку доречно говорити про рівність, а в другому, як би це очевидно не звучало із самої назви, про нерівність вихідних даних. Системи рівнянь і нерівностей одна від одної практично не відрізняються і методи їх вирішення однакові. Єдина відмінність у тому, що у першому випадку використовуються рівності, тоді як у другому застосовуються нерівності.

Види нерівностей

Виділяють два види нерівностей: числові та з невідомою змінною. Перший тип є надані величини (цифри), нерівні один одному, наприклад, 8 > 10. Другий - це нерівності, що містять у собі невідому змінну (позначається будь-якою буквою латинського алфавіту, Найчастіше X). Ця змінна вимагає свого знаходження. Залежно від того, скільки їх, у математичній моделі розрізняють нерівності з однією (становлять систему нерівностей з однією змінною) або декількома змінними (складають систему нерівностей з кількома змінними).

Два останні види за рівнем своєї побудови та рівнем складності рішення діляться на прості та складні. Прості називають ще лінійними нерівностями. Вони, у свою чергу, поділяються на суворі та несуворі. Суворі конкретно "говорять", що одна величина обов'язково повинна бути або меншою, або більшою, тому це в чистому виглядінерівність. Можна навести кілька прикладів: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 і т. д. Нестрогі включають ще й рівність. Тобто одна величина може бути більшою або дорівнює іншій величині (знак "≥") або менше або дорівнює іншій величині (знак "≤"). Ще в лінійних нерівностях змінна не стоїть докорінно, квадрат, не ділиться на що-небудь, через що вони називаються "простими". Складні включають невідомі змінні, знаходження яких вимагає виконання більшої кількості математичних операцій. Вони часто знаходяться у квадраті, кубі або під коренем, можуть бути модульними, логарифмічними, дробовими та ін. Але оскільки нашим завданням стає необхідність розібратися у вирішенні систем нерівностей, то ми поговоримо про систему лінійних нерівностей. Однак перед цим слід сказати кілька слів про їхні властивості.

Властивості нерівностей

До властивостей нерівностей відносяться такі положення:

  1. Знак нерівності змінюється на зворотний, якщо застосовується операція зі зміни сторін (наприклад, якщо t 1 ≤ t 2 , то t 2 ≥ t 1).
  2. Обидві частини нерівності дозволяють додати себе одне й те число (наприклад, якщо t 1 ≤ t 2 , то t 1 + число ≤ t 2 + число).
  3. Дві та більше нерівностей, що мають знак одного напрямку, дозволяють складати їх ліві та праві частини (наприклад, якщо t 1 ≥ t 2 , t 3 ≥ t 4 , то t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4).
  4. Обидві частини нерівності дозволяють себе множити або ділити на те саме позитивне число (наприклад, якщо t 1 ≤ t 2 і число ≤ 0, то число t 1 ≥ число t 2).
  5. Дві і більше нерівностей, що мають позитивні члениі знак одного напрямку, дозволяють множити себе один на одного (наприклад, якщо t 1 ≤ t 2 , t 3 ≤ t 4 , t 1 , t 2 , t 3 , t 4 ≥ 0 то t 1 · t 3 ≤ t 2 · t 4).
  6. Обидві частини нерівності дозволяють себе множити або ділити на те саме негативне число, але при цьому знак нерівності змінюється (наприклад, якщо t 1 ≤ t 2 і число ≤ 0, то число t 1 ≥ число t 2).
  7. Всі нерівності мають властивість транзитивності (наприклад, якщо t 1 ≤ t 2 і t 2 ≤ t 3 , то t 1 ≤ t 3).

Тепер після вивчення основних положень теорії, що стосується нерівностей, можна приступити безпосередньо до розгляду правил розв'язання їх систем.

Вирішення систем нерівностей. Загальні відомості. Способи вирішення

Як мовилося раніше вище, рішенням виступають значення змінної, відповідні всім нерівностей цієї системи. Вирішення систем нерівностей - це здійснення математичних дій, які у результаті призводять до вирішення всієї системи чи доводять, що вона рішень немає. У такому разі кажуть, що змінна відноситься до порожнього числовій множині(Записується так: літера, що позначає змінну∈ (знак "належить") ø (знак "порожнє безліч"), наприклад, x ∈ ø (читається так: "Змінна "ікс" належить порожній множиніВиділяють кілька способів вирішення систем нерівностей: графічний, алгебраїчний, спосіб підстановки. Варто зауважити, що вони відносяться до тих математичним моделямякі мають кілька невідомих змінних. У разі, коли є лише одна, підійде метод інтервалів.

Графічний спосіб

Дозволяє вирішити систему нерівностей із кількома невідомими величинами (від двох і вище). Завдяки цьому методу система лінійних нерівностей вирішується досить легко і швидко, тому він є найпоширенішим способом. Це тим, що побудова графіка скорочує обсяг написання математичних операцій. Особливо стає приємним трохи відволіктися від ручки, взяти в руки олівець з лінійкою і почати подальші дії з їх допомогою, коли виконано багато роботи і хочеться невеликого розмаїття. Однак даний методдеякі недолюблюють через те, що доводиться відриватися від завдання та перемикати свою розумову діяльністьмалювання. Проте це дуже дієвий спосіб.

Щоб виконати розв'язання системи нерівностей за допомогою графічного способу, необхідно всі члени кожної нерівності перенести до них ліву частину. Знаки зміняться на протилежні, праворуч слід записати нуль, потім потрібно записати кожну нерівність окремо. У результаті нерівностей вийдуть функції. Після цього можна діставати олівець та лінійку: тепер потрібно намалювати графік кожної отриманої функції. Все безліч чисел, яке опиниться в інтервалі їх перетину, буде рішенням системи нерівностей.

Алгебраїчний спосіб

Дозволяє вирішити систему нерівностей із двома невідомими змінними. Також нерівності повинні мати однаковим знакомнерівності (тобто зобов'язані містити або тільки знак "більше", або тільки знак "менше" та ін) Незважаючи на свою обмеженість, цей спосіб до того ж і складніший. Він застосовується у двох етапах.

Перший включає себе дії з позбавлення однієї з невідомих змінних. Спочатку потрібно її вибрати, потім перевірити наявність чисел перед цієї змінної. Якщо їх немає (тоді змінна виглядатиме, як одиночна буква), то нічого не змінюємо, якщо є (вигляд змінної буде, наприклад, таким - 5y або 12y), то тоді необхідно зробити так, щоб у кожній нерівності число перед обраною змінною було однаковим. Для цього потрібно помножити кожен член нерівностей на загальний множникнаприклад, якщо в першій нерівності записано 3y, а в другому 5y, то необхідно всі члени першої нерівності помножити на 5, а другої - на 3. Вийде 15y і 15y відповідно.

Другий етап розв'язання. Потрібно ліву частину кожної нерівності перенести до їхніх правих частин зі зміною знака кожного члена на протилежний, праворуч записати нуль. Потім настає найцікавіше: порятунок від обраної змінної (по-іншому це називається "скорочення") під час складання нерівностей. Вийде нерівність з однією змінною, яку необхідно вирішити. Після цього слід зробити те саме, тільки з іншою невідомою змінною. Отримані результати будуть рішенням системи.

Спосіб підстановки

Дозволяє вирішити систему нерівностей за наявності можливості запровадити нову змінну. Зазвичай цей спосіб застосовується, коли невідома змінна в одному члені нерівності зведена на четвертий ступінь, а в іншому члені має квадрат. Таким чином, даний спосіб спрямований на зниження ступеня нерівностей у системі. Нерівність зразка х 4 - х 2 - 1 ≤ 0 даним способом вирішується так. Вводиться нова змінна, наприклад, t. Пишуть: "Нехай t = х 2", далі модель переписують у новому вигляді. У нашому випадку вийде t 2 - t - 1 ≤0. Цю нерівність потрібно вирішити методом інтервалів (про неї трохи пізніше), потім повернутися до змінної X, потім виконати те саме з іншим нерівністю. Отримані відповіді будуть рішення системи.

Метод інтервалів

Це найпростіший спосіб розв'язання систем нерівностей, і водночас є універсальним і поширеним. Він використовується і в середній школі, і навіть у вищій. Його суть полягає в тому, що учень шукає проміжки нерівності на числовій прямій, що малюється в зошиті (це не графік, а просто звичайна пряма з числами). Там, де проміжки нерівностей перетинаються, є рішення системи. Щоб використати метод інтервалів, необхідно виконати такі кроки:

  1. Усі члени кожної нерівності переносяться до лівої частини зі зміною знака на протилежний (праворуч пишеться нуль).
  2. Нерівності виписуються окремо, визначається рішення кожного з них.
  3. Знаходяться перетину нерівностей на числовій прямій. Усі числа, що перебувають на цих перетинах, будуть рішенням.

Який спосіб використати?

Очевидно той, який здається найлегшим та зручнішим, але бувають такі випадки, коли завдання вимагають певного методу. Найчастіше в них написано, що потрібно вирішувати або за допомогою графіка або методом інтервалів. Алгебраїчний спосіб і підстановка використовуються вкрай рідко або взагалі не використовуються, оскільки вони досить складні і заплутані, та й до того ж більше застосовуються для вирішення систем рівнянь, а не нерівностей, тому слід вдаватися до малювання графіків і інтервалів. Вони привносять наочність, яка може сприяти ефективному і швидкому проведенню математичних операцій.

Якщо щось не виходить

Під час вивчення тієї чи іншої теми з алгебри, звісно, ​​можуть виникнути проблеми з її розумінням. І це нормально, адже наш мозок влаштований так, що він не здатний усвідомити складний матеріал за один раз. Часто потрібно перечитати параграф, скористатися допомогою вчителя або зайнятися практикою за рішенням типових завдань. У нашому випадку вони виглядають, наприклад, так: "Розв'яжіть систему нерівностей 3 x + 1 ≥ 0 і 2 x - 1 > 3". Таким чином, особисте прагнення, допомога сторонніх людей та практика допомагають у розумінні будь-якої складної теми.

Решник?

А ще дуже добре підійде ґедзь, тільки не для списування домашніх завдань, а для самодопомоги. У них можна знайти системи нерівностей із рішенням, подивитися на них (як на шаблони), спробувати зрозуміти, як саме автор рішення впорався із поставленим завданням, а потім спробувати виконати подібне в самостійному порядку.

Висновки

Алгебра - це один із самих складних предметіву школі. Ну що ж тут вдієш? Математика завжди була такою: комусь вона дається легко, а комусь важко. Але в будь-якому випадку слід пам'ятати, що загальноосвітня програмапобудована так, що з нею може впоратися будь-який учень. До того ж треба мати на увазі величезну кількість помічників. Деякі з них були згадані вище.