Кожен математичний об'єкт має певні властивості. Наприклад, ромб має 4 кути, 4 сторони, протилежні сторони паралельні. Можна вказати інші властивості, наприклад, діагональ АСрозташована горизонтально.
Серед властивостей розрізняють суттєві та несуттєві. Властивість вважають суттєвим для об'єкта, якщо воно притаманне цьому об'єкту і без нього він не може існувати. Несуттєві властивості – це властивості, відсутність яких впливає існування об'єкта.
Істотні властивості: мати 4 рівні сторони, 4 кути.
Несуттєві властивості: вершина Улежить навпроти вершини D, діагональ АСрозташована горизонтально.
Щоб розуміти, що є даний об'єкт, треба знати його суттєві властивості. І тут кажуть, що є уявлення про цей об'єкт.
Коли говорять про математичне поняття, зазвичай мають на увазі безліч об'єктів, що позначаються одним терміном. Так, говорячи про трикутник, мають на увазі всі геометричні фігури, що є трикутниками.
Будь-яке поняття має обсяг та зміст.
Визначення. Обсяг поняття – це багато всіх об'єктів, що позначаються одним терміном.
Визначення. Зміст поняття – це багато всіх істотних властивостей об'єкта, відбитих у понятті.
приклад. Розглянемо поняття «паралелограм». Обсяг поняття – це безліч різних паралелограмів (зокрема і ромбів, прямокутників, квадратів). До змісту поняття входять такі властивості паралелограмів, як «мати 4 сторони», «мати паралельні протилежні сторони», «мати рівні протилежні кути» тощо.
Між обсягом і змістом поняття існує такий зв'язок: чим більше обсяг поняття, тим менше його зміст і навпаки. Наприклад, обсяг поняття «ромб» є частиною поняття «паралелограм», а зміст поняття «ромб» містить більше властивостей, ніж зміст поняття «паралелограм». Наприклад, у змісті поняття «ромб» є властивість «всі сторони рівні», якого немає у змісті поняття «паралелограм».
Відносини між поняттями тісно пов'язані зі стосунками між їх обсягами.
Умовимося поняття позначати малими літерами а, b, з, d,…, а їх обсяги відповідно А, У, З, D,… .
Якщо обсяги понять аі bне перетинаються, тобто. А Ç У= Æ, то кажуть, що поняття аі bнесумісні. Прикладами несумісних понять є поняття трапеції та трикутника.
Якщо обсяги понять аі bперетинаються, тобто. А Ç У¹ Æ, то кажуть, що поняття аі bсумісні. Приклад – прямокутник та ромб.
Якщо обсяги понять аі bзбігаються, тобто. А = У, то кажуть, що поняття аі bтотожні. Приклад – квадрат та ромб із прямим кутом.
Якщо обсяг поняття ає власним підмножиною обсягу поняття b, тобто. АÌ У, А ¹ У, то кажуть, що:
а) поняття ає видовим по відношенню до поняття b, поняття b– родовим по відношенню до поняття а;
б) поняття авже, ніж поняття b, поняття bширше, ніж поняття а;
в) поняття ає окремий випадок поняття b, а поняття b- Узагальнення поняття а.
Приклад: поняття "квадрат" - видове по відношенню до поняття "прямокутник", а поняття "прямокутник" - родове по відношенню до поняття "квадрат".
Зупинимося докладніше на останньому плані.
1) Поняття роду та виду відносні. Те саме поняття може бути видовим по відношенню до одного поняття і родовим по відношенню до іншого. Наприклад, поняття «прямокутник» є родовим по відношенню до поняття «квадрат» і видовим по відношенню до поняття «паралелограм».
2) Для цього поняття часто можна вказати кілька пологових понять, серед яких можна вказати найближче. Наприклад, родовими для поняття "квадрат" будуть поняття "прямокутник", "паралелограм", "чотирикутник". Найближчим у тому числі буде поняття «прямокутник».
3) Видове поняття має всі властивості родового поняття. Наприклад, поняття «ромб» є видовим по відношенню до поняття «паралелограм»; ромби мають всі властивості, властиві паралелограмам.
Розглянемо відносини між поняттями «відрізок» та «пряма». Обсяги цих понять не перетинаються, т.к. жоден відрізок не можна назвати прямий і навпаки. Про ці поняття можна сказати, що вони у відношенні цілого і частини: відрізок – частина прямої, а чи не її вид. Зауважимо, що частина не завжди має властивість цілого. Пряма нескінченна, а відрізок – ні.
Визначення через найближчий рід та видову відмінність.
Завданням будь-якого визначення є відмінність предмета, що визначається, від подібних з ним предметів і розкриття його сутності. Здавалося б, що найбільш ефективно це завдання можна вирішити шляхом перерахування всіх ознак предмета, що визначається. Однак, як показує досвід, такий спосіб визначення понять виявляється непридатним; а здебільшого нездійсненним. По-перше, всякий предмет має безліч ознак, перерахувати які практично неможливо. По-друге, просте перерахування великої кількості ознак не наближає, а видаляє нас від предмета, що визначається, тому що при такому перерахуванні не відбувається розрізнення суттєвих ознак від не істотних. За такого визначення дослідник за одиничним, несуттєвим не бачить загального, сутності предмета, що визначається.
Визначення, що містить вказівку на клас предметів, серед яких потрібно виділити предмет, що визначається, і на ознаку, за допомогою якого він виділяється з цього класу, називається визначенням через найближчий рід і видову відмінність.
При такому визначенні замість повного перерахування ознак вказують лише на належність предмета, що визначається, до того чи іншого класу і на ознаку, яким визначається предмет відрізняється від інших предметів класу.
Сутність цього виду визначення полягає у вказівці на найближчий рід, видом якого є поняття, що визначається нами, і видотворчий ознака, яким, як відомо, визначається вид відрізняється від інших видів цього роду.
Це визначення застосовується у тих випадках, коли необхідно провести різницю між класом (родом) та його підкласами (видами). Наприклад, у визначенні "Космонавтика - це наука, що вивчає, комплекс питань, пов'язаних з освоєнням космосу" космонавтика як вид виділяється з класу наук.
При визначенні через рід і видову відмінність у визначальному понятті розрізняється найближчий рід і видотворний ознака (видова відмінність). У наведеному нами визначенні космонавтики найближчим родом є поняття «наука», а видовою відзнакою ознака, що "вивчає комплекс питань, пов'язаних з освоєнням космосу".
Якщо позначити найближчий рід через b, a видоутворюючу ознаку через А, то будь-яке визначення через найближчий рід та видову відмінність можна виразити формулою
де а - Dfd, А (Ь) -Dfn
Визначення через найближчий рід і видову відмінність позбавляє необхідності довгого перерахування ознак предмета, що визначається. У короткій формі воно вирішує зазначені вище завдання, що стоять перед визначенням. Можливість вирішення цих завдань визначається наступними моментами. По-перше, як відомо вже з сутності закону зворотного відношення між змістом та обсягом понять, сукупність суттєвих ознак родового поняття становить частину змісту видового поняття. Частина суттєвих ознак передбачена у змісті родового поняття, яке передбачається вже відомим, а тому необхідність їх перерахування відпадає. Залишається перерахувати ті суттєві ознаки, які притаманні лише даному виду. Зазвичай цими ознаками є видотворні ознаки. Їх, як правило, небагато – один чи кілька, – тому перерахування їх не складає труднощів.
Вказавши на найближчий рід і видову відмінність отримуємо визначення, яке в найкоротшому і стислішому формулюванні виділяє предмет з класу однорідних предметів і одночасно розкриває його сутність. По-друге, можливість таких визначень обумовлена тим, що визначення не є початковим етапом пізнання; формулювання його можливе лише на відомому рівні розвитку людських знань, після детального вивчення певної галузі предметів та явищ об'єктивної дійсності, коли вже вироблені деякі поняття та певним чином класифіковані предмети досліджуваної галузі. Тільки після цього можна знайти їх найближчий рід по відношенню до поняття, що визначається.
Визначення, таким чином, є підсумками тривалого процесу пізнання тієї чи іншої предметної сфери дійсності.
Процес визначення через найближчий рід і видову відмінність розпадається на два етапи. У першому їх відбувається підведення визначається поняття під ширше за обсягом родове поняття. Правильне визначення починається з, вказівки роду, видом якого визначається поняття. При цьому береться не перший-ліпший, а найближчий рід.
Якщо при визначенні поняття ми вказуємо на більш віддалений рід, то цим ускладнюємо процес визначення, тому що при цьому ми стикаємося з необхідністю вказувати не тільки видову відмітну ознаку, але й ознаку найближчого роду. Наприклад, якщо при визначенні поняття «квадрат» як родове взяти поняття «паралелограм», то в процесі визначення ми змушені будемо вказувати не лише на видову відмітну ознаку квадрата («мати рівні сторони»), а й на відмітну ознаку найближчого родового поняття « прямокутник» («мати прямі кути»). Наше визначення матиме такий вигляд: «Квадрат є паралелограм, що має прямі кути та рівні сторони».
Отже, щоб визначення в найкоротшій і стислішій формі розкривало сутність предмета і виділяло його з однорідних класів предметів, необхідно вказувати найближчий рід. Наприклад, для поняття "квадрат" таким родом є або поняття "ромб", або поняття "прямокутник". Підвівши поняття "квадрат" під будь-яке з них, ми отримаємо найбільш коротке формулювання його визначення: "Квадрат-це прямокутний ромб", або "Квадрат-це рівносторонній прямокутник". З другого краю етапі перебуває ознака, який відрізняє поняття з інших понять, що входять у той же рід. Так як поняття, що визначається, є видом, то такою ознакою є видотворчий ознака.
Математичні поняття
Поняття, що вивчаються у початковому курсі математики, зазвичай представляють у вигляді чотирьох груп. У першу включаються поняття, пов'язані з числами та операціями над ними: число, додавання, доданок, більше та ін. У другу входять алгебраїчні поняття: вираз, рівність, рівняння та ін. .д. Четверту групу утворюють поняття, пов'язані з величинами та їх виміром.
Щоб вивчати всю різноманітність понять, треба мати уявлення про поняття як логічну категорію та особливості математичних понять.
У логіці поняттярозглядають як форму думки, що відображає об'єкти (предмети та явища) у їх суттєвих та загальних властивостях. Мовною формою поняття є слово (термін) чи група слів.
Скласти поняття об'єкт – це означає вміти відрізнити його з інших подібних із нею об'єктів. Математичні поняття мають низку особливостей. Головна полягає в тому, що математичні об'єкти, про які необхідно скласти поняття, насправді не існують. Математичні об'єкти створені розумом людини. Це ідеальні об'єкти, що відбивають реальні предмети чи явища. Наприклад, у геометрії вивчають форму та розміри предметів, не зважаючи на інші властивості: колір, масу, твердість тощо. Від цього абстрагуються. Тому в геометрії замість слова "предмет" кажуть "геометрична фігура".
Результатом абстрагування є такі математичні поняття, як «число» і «величина».
Взагалі математичні об'єкти існують лише у мисленні людини й у знаках і символах, які утворюють математичну мову.
До сказаного можна додати, що, вивчаючи просторові форми та кількісні відносини матеріального світу, математика як користується різними прийомами абстрагування, а й саме абстрагування постає як многоступенчатый процес. У математиці розглядають як поняття, що виникли щодо реальних предметів, а й поняття, що виникли з урахуванням перших. Наприклад, загальне поняття функції як відповідності є узагальненням понять конкретних функцій, тобто. абстракції від абстракцій.
- Обсяг та зміст поняття. Відносини між поняттями
Кожен математичний об'єкт має певні властивості. Наприклад, квадрат має чотири сторони, чотири прямі кути, рівні діагоналі. Можна вказати інші його властивості.
Серед властивостей об'єкта розрізняють суттєві та несуттєві. Властивість вважають суттєвим для об'єкта, якщо воно притаманне цьому об'єкту і без нього він не може існувати. Наприклад, для квадрата суттєвими є властивості, названі вище. Несуттєво для квадрата АВСD властивість "сторона АВ горизонтальна".
Коли говорять про математичне поняття, то зазвичай мають на увазі безліч об'єктів, що позначаються одним терміном(Словом або групою слів). Так, говорячи про квадрат, мають на увазі всі геометричні фігури, які є квадратами. Вважають, що багато всіх квадратів становить обсяг поняття «квадрат».
Взагалі, Обсяг поняття – це безліч всіх об'єктів, що позначаються одним терміном.
Будь-яке поняття має як обсяг, а й зміст.
Розглянемо, наприклад, поняття прямокутник.
Обсяг поняття – це безліч різних прямокутників, а його зміст входять такі властивості прямокутників, як «мати чотири прямих кута», «мати рівні протилежні боку», «мати рівні діагоналі» тощо.
Між обсягом поняття та його змістом існує взаємозв'язок: якщо збільшується обсяг поняття, то зменшується його зміст, і навпаки. Так, наприклад, обсяг поняття «квадрат» є частиною обсягу поняття «прямокутник», а зміст поняття «квадрат» містить більше властивостей, ніж зміст поняття «прямокутник» («всі сторони рівні», «діагоналі взаємно перпендикулярні» та інших. ).
Будь-яке поняття не можна засвоїти, не усвідомивши його взаємозв'язку коїться з іншими поняттями. Тому важливо знати, у яких відносинах можуть бути поняття, і вміти встановлювати ці зв'язки.
Відносини між поняттями тісно пов'язані з відносинами між їх обсягами, тобто. множинами.
Умовимося поняття позначати малими літерами латинського алфавіту: а, b, c, d, …, z.
Нехай задані два поняття а та b. Обсяги їх позначимо відповідно до А і В.
Якщо А ⊂ В (А ≠ В), то кажуть, що поняття а – видове по відношенню до поняття b, а поняття b – родове по відношенню до поняття а.
Наприклад, якщо а – «прямокутник», b – «чотирьохкутник», то їх обсяги А та В знаходяться щодо включення (А⊂В і А≠В), тому кожен прямокутник є чотирикутником. Тому можна стверджувати, що поняття "прямокутник" - видове по відношенню до поняття "чотирикутник", а поняття "чотирикутник" - родове по відношенню до поняття "прямокутник".
Якщо А = В, то кажуть, що поняття А та В тотожні.
Наприклад, тотожні поняття «рівносторонній трикутник» і «рівностегновий трикутник», оскільки їх обсяги збігаються.
Розглянемо докладніше відношення роду та виду між поняттями.
1. По-перше, поняття роду і виду відносні: те саме поняття може бути родовим по відношенню до одного поняття і видовим по відношенню до іншого. Наприклад, поняття "прямокутник" - родове по відношенню до поняття "квадрат" і видове по відношенню до поняття "чотирикутник".
2. По-друге, для цього поняття часто можна вказати кілька пологів. Так, для поняття "прямокутник" родовими є поняття "чотирикутник", "паралелограм", "багатокутник". Серед зазначених можна вказати найближче. Для поняття «прямокутник» найближчим є поняття «паралелограм».
3. По-третє, видове поняття має всі властивості родового поняття. Наприклад, квадрат, будучи видовим поняттям по відношенню до поняття «прямокутник», має всі властивості, властиві прямокутнику.
Оскільки обсяг поняття – безліч, зручно, встановлюючи відносини між обсягами понять, зображати їх з кіл Ейлера.
Встановимо, наприклад, відносини між наступними парами понять а та b, якщо:
1) а - "прямокутник", b - "ромб";
2) а - "багатокутник", b - "паралелограм";
3) а - "пряма", b - "відрізок".
Відносини між множинами відображені на малюнку відповідно
2. Визначення понять. Визначаються та невизначені поняття.
Поява в математиці нових понять, отже, і нових термінів, що означають ці поняття, передбачає їх визначення.
Визначеннямзазвичай називають пропозицію, що роз'яснює суть нового терміна (або позначення). Як правило, роблять це на основі раніше введених понять. Наприклад, прямокутник можна визначити так: "Прямокутником називається чотирикутник, у якого всі кути прямі". У цьому вся визначенні є дві частини – поняття (прямокутник), що визначається, і визначальне поняття (чотирикутник, у якого всі кути прямі). Якщо позначити через перше поняття, а через b – друге, то дане визначення можна представити в такому вигляді:
а є (за визначенням) b.
Слова "є (за визначенням)" зазвичай замінюють символом ⇔, і тоді визначення виглядає так:
Читають: "а рівносильно b за визначенням". Можна прочитати цей запис ще й так: а тоді і тільки тоді, коли b.
Визначення, що мають таку структуру, називаються явними. Розглянемо їх докладніше.
Звернемося до другої частини визначення прямокутник.
У ньому можна виділити:
1) поняття «чотирикутник», яке є родовим по відношенню до поняття «прямокутник».
2) властивість «мати всі кути прямі», що дозволяє виділити з різних чотирикутників один вид - прямокутники; тому його називають видовою відзнакою.
Взагалі видова відмінність - це властивості (одне або кілька), які дозволяють виділити об'єкти, що визначаються, з обсягу родового поняття.
Підсумки нашого аналізу можна подати у вигляді схеми:
Знак "+" використовується як заміна частка "і".
Нам відомо, що будь-яке поняття має обсяг. Якщо поняття а визначено через рід і видову відмінність, то про його обсяг – безліч А – можна сказати, що в ньому містяться такі об'єкти, які належать безлічі С (обсягу родового поняття с) і мають властивість Р:
А = (х/х ∈С та Р(х)).
Так як визначення поняття через рід і видову відмінність є по суті умовною угодою про введення нового терміна для заміни будь-якої сукупності відомих термінів, то про визначення не можна сказати, чи вірне воно чи неправильне; його не доводять та не спростовують. Але, формулюючи визначення, дотримуються низки правил. Назвемо їх.
1. Визначення має бути пропорційним. Це означає, що обсяги визначального та визначального понять повинні збігатися.
2. У визначенні (або їх системі) не повинно бути порочного кола. Це означає, що не можна визначати поняття через себе.
3. Визначення має бути ясним. Потрібно, наприклад, щоб значення термінів, що входять до визначального поняття, були відомі на момент введення визначення нового поняття.
4. Те саме поняття визначити через рід і видову відмінність, дотримуючись сформульованих вище правил, можна по-різному. Так, квадрат можна визначити як:
а) прямокутник, у якого сусідні сторони рівні;
б) прямокутник, у якого діагоналі взаємно перпендикулярні;
в) ромб, який має прямий кут;
г) паралелограм, у якого всі сторони рівні, а кути прямі.
Різні визначення однієї й тієї ж поняття можливі оскільки з великої кількості властивостей, які входять у зміст поняття, у визначення включаються лише деякі. І тоді з можливих визначень обирають одне, виходять із того, яке з них простіше і доцільніше для подальшої побудови теорії.
Назвемо ту послідовність дій, яку ми повинні дотримуватись, якщо хочемо відтворити визначення знайомого поняття або побудувати визначення нового:
1. Назвати поняття (термін).
2. Вказати найближче родове поняття (стосовно визначеного) поняття.
3. Перерахувати властивості, що виділяють об'єкти, що визначаються, з обсягу родового, тобто сформулювати видову відмінність.
4. Перевірити, чи виконані правила визначення поняття (чи пропорційно воно, чи немає порочного кола тощо).
Будь-який математичний об'єкт має якісь властивостями.Так, наприклад, трикутник має такі властивості: має три сторони; 2) три внутрішні кути; 3) шість попарно рівних зовнішніх кутів і т. д. Подібні твердження про наявність чи відсутність у даного об'єкта будь-якої властивості називаються судженнями.Ось ще приклади суджень: 1) чотирикутник має дві діагоналі; 2) за кожним натуральним числом безпосередньо слідує в натуральному ряду інше натуральне число; 3) парне число ділиться на два і т.д.
Судженнями є також пропозиції,що вказують на відносини або зв'язки об'єктів, наприклад: "5 більше 3", " АВє стороною трикутника ABC", "Кут Ане є суміжним з кутом Уі т. д. А ось питання чи вимоги не є судженнями.?
Серед властивостей будь-якого об'єкта є суттєві та несуттєві для його визначення. Властивість є суттєвим, якщо вона притаманна цьому об'єкту і без нього вона не може існувати. Несуттєві властивості - зазвичай випадкові, їх відсутність, зазвичай, впливає існування об'єкта. Зауважимо, що з вирішенні конкретних завдань несуттєві взагалі властивості об'єктів може мати й важливе значення на вирішення цього завдання.
Розглянемо, наприклад, рівнобедрений трикутник, зображений на рис. 3. Його властивості: 1) сторони трикутника АВі НДрівні; 2) медіана BDперпендикулярна до основи АСі ділить кут Унавпіл – це суттєві властивості цього трикутника. А ось властивості: 3) основа АСрівнобедреного трикутника ABCгоризонтально або 4) вершина рівнобедреного трикутника позначена буквою У- є несуттєвими. Якщо ми якось повернемо цей трикутник і його основа при цьому виявиться розташована не горизонтально або позначимо вершину якоюсь іншою буквою, то трикутник не перестане бути рівнобедреним.
Тому, щоб розуміти, що це за об'єкт, достатньо знати його суттєві властивості. У цьому випадку кажуть, що є поняттяпро цей об'єкт. Отже, поняття- це цілісна сукупність суджень про суттєві властивості відповідного об'єкта. Ця сукупність взаємозалежних властивостей об'єкта (тому вона називається цілісною) називається змістом поняттяпро цей об'єкт.
Зауважимо, що коли говорять про математичний об'єкт, то зазвичай мають на увазі все безліч об'єктів, що позначаються одним терміном (назвою). Так, коли говорять про математичний об'єкт - трикутник, то мають на увазі всі геометричні фігури, що є трикутниками. Безліч всіх трикутників складає обсяг поняттяпро трикутник. Так само безліч всіх натуральних чисел становить обсяг понять про натуральне число. Отже, обсяг поняття- це безліч всіх об'єктів, що позначаються одним і тим самим терміном.
Отже, будь-яке поняття має певний обсяг і зміст. Вони взаємопов'язані: що більше обсяг поняття, то менше його зміст, і навпаки: що менше обсяг, то більше вписувалося зміст поняття.Так, наприклад, обсяг поняття "рівностегновий трикутник" менше обсягу поняття "трикутник", бо обсяг першого поняття входять не всі трикутники, а лише рівнобедрені. А ось зміст першого поняття, очевидно, більше змісту другого, бо рівнобедрений трикутник має не тільки всі властивості трикутника, але й особливі властивості, властиві тільки рівнобедреним трикутникам.
До змісту поняття про якийсь математичний об'єкт входять багато різних істотних властивостей цього об'єкта. Проте, щоб розпізнати об'єкт, встановити, належить він до цього поняття чи ні, досить перевірити наявність в нього лише деяких істотних властивостей. Вказівка цих істотних властивостей об'єкта поняття, які є достатніми для розпізнавання цього об'єкта, називається визначенням поняття.
Будь-яке визначення математичного поняття будується зазвичай так: спочатку вказується назва об'єктацього поняття, потім перераховуються такі його суттєві властивості, які дозволяють встановити, чи той чи інший предмет об'єктом даного поняття чи ні.
Наприклад, визначення паралелограма: "Паралелограмом називається чотирикутник, протилежні сторони якого паралельні". Як бачимо, це визначення побудовано так: спочатку вказано назву об'єкта поняття, що визначається - паралелограм, потім зазначені такі його властивості: 1) паралелограм - це чотирикутник; 2) протилежні його сторони паралельні. Перше властивість - це вказівку більш загального поняття, якого належить обумовлене поняття. Це загальне поняття називається родовимпо відношенню до поняття, що визначається. У разі родовим поняттям для паралелограма є чотирикутник. Друга властивість – це вказівка видовоговластивості, що відрізняє паралелограм від інших видів чотирикутників. Ось ще приклад визначення: "парними числами називаються такі натуральні числа, які кратні числу 2". Це визначення, так само як і попереднє, побудоване за такою схемою:
В даному випадку ми маємо: назва поняття - парні числа, родове поняття - натуральні числа, видові відмінності - кратні числу 2.
Визначення понять за цією схемою називається визначенням через рід та видові відмінності.
Іноді у математиці зустрічаються та інші способи визначення понять. Розглянемо, наприклад, визначення трикутника: "Трикутником називається фігура, яка складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох попарно з'єднують їх відрізків". У цьому визначенні зазначено родове поняття для трикутника - фігура, а як видова відмінність зазначений спосіб побудови такої фігури, яка є трикутником: потрібно взяти три точки, що не лежать на одній прямій, і з'єднати кожну їх пару відрізком. Таке визначення називається генетичним(від слова генезис- Походження). Ось ще приклад генетичного визначення: "Симетрією щодо точки називається таке перетворення фігури Fу фігуру F "при якому кожна точка Xфігури Fпереходить у крапку X"фігури F ", побудованої наступним чином: на продовженні відрізка ОХза крапку Провідкладається відрізок ОХ ", рівний ОХТут як видових відмінностей перетворення симетрії щодо точки від інших видів перетворень зазначений спосіб побудови точок фігури F "симетричної фігури Fщодо точки Про.
Зустрічаються в математиці і такі визначення, в яких вказується, як можна отримати об'єкти поняття, що визначається по порядку. Наприклад, визначення арифметичної прогресії дається таким чином: "Числова послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, складеному з одним і тим самим числом, називається арифметичною прогресією". Тут визначається поняття - арифметична прогресія, родове поняття - числова послідовність, як видова відмінність зазначений спосіб отримання всіх членів прогресії, починаючи з другого, що полягає в тому, що для отримання будь-якого члена треба до попереднього члена додати одне і те ж число. Це визначення можна записати у вигляді наступної формули:
Таке визначення називається індуктивним(від слова індукція- наведення на висновоквід приватного до загального) або рекурентним(від слова рекурсія- Повернення).
Проте чи все математичні поняття може бути логічно визначені зазначеними вище способами. Справді, кожне визначення математичного поняття зводить поняття до ширшого (більш загального, тобто має більший обсяг) родового поняття, визначення родового поняття зводить його до ще ширшого поняття і т. д. Очевидно, що цей процес зведення одних понять до більш широким, загальнішим поняттям повинен мати кінець, він може бути нескінченним. Інакше кажучи, зрештою визначення понять ми маємо дійти таких понять, які не зводяться до іншим, т. е. вони логічно не определяемы. Такі поняття в математиці називаються первиннимиабо основними.
Наприклад, визначаючи паралелограм, ми зводимо його до поняття чотирикутника, визначаючи чотирикутник, ми зводимо його до поняття багатокутника, потім поняття геометричної фігури, яка зводиться при визначенні до поняття точки. Поняття точки вже не визначається, т. е. первинним. Первинними поняттями в математиці, крім точки, є поняття прямої, площини, належати, числа, множини (сукупність) та деякі інші.
Отже, друге, чого треба навчитися в математиці, - це вміння будувати визначення математичних понять у будь-який спосіб. Це вміння досить складне і ми про нього поговоримо ще в наступній бесіді. А поки що виконайте наступне завдання, щоб закріпити ті відомості, які ви отримали у цій розмові.
Завдання 3
3.1. Які з наведених нижче властивостей трапеції є суттєвими, а які є несуттєвими:
а) Дві сторони трапеції паралельні.
б) Обидва кути при більшій підставі гострі.
в) Сума кутів трапеції, що належать до одного боку, дорівнює 180°.
г) Підстави трапеції горизонтальні.
д) Обидва кути при меншій підставі трапеції тупі.
3.2. Як пов'язані між собою математичні об'єкти та математичні поняття?
3.3. Вкажіть, які з наведених нижче пропозицій є судженнями, а які не є:
а) У трикутнику проведено три медіани.
б) Медіани трикутника перетинаються лише у точці.
в) Чому дорівнює добуток ступенів з однаковими основами?
г) Логарифм добутку позитивних чисел дорівнює сумі логарифмів множників.
3.4. У наведених нижче визначеннях виділіть назву об'єктів визначених понять, родове поняття та видові відмінності:
а) Числа, які можна записати у вигляді звичайних дробів, називаються раціональними.
б) Арифметичним квадратним коренем із числа аназивається невід'ємне число, квадрат якого дорівнює а.
в) Дві прямі на площині називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.
г) Якщо точка Проє серединою відрізка АВ, то точки Aі Уназиваються симетричними точками щодо точки Про.
3.5. Сформулюйте генетичне визначення кола, знаючи, що воно утворюється в результаті обертання відрізка на площині навколо одного з його кінців, другий кінець цього відрізка в цьому випадку описує коло.
3.6. Члени послідовності Фібоначчі (бл. 1170-1250) задаються за допомогою наступної формули: а n+2 = n+1 +a n. Сформулюйте визначення цієї послідовності. Яке це визначення?
3.7. Наводимо такий опис побудови перпендикулярних прямих: "Нехай аі b- дві прямі, що перетинаються. При їх перетині утворюються чотири кути. Нехай α – один із цих кутів. Тоді будь-який з інших трьох кутів буде суміжним з кутом α, або вертикальним з кутом α. Звідси випливає, що й один з кутів прямий, інші кути теж прямі. У цьому випадку ми говоримо, що прямі перетинаються під прямим кутом, і називаємо їх перпендикулярними".
На основі цього опису сформулюйте визначення перпендикулярних до прямих.
3.8. Модуль числа визначається такою формулою:
Сформулюйте словесне визначення модуля числа.
3.9. Послідовність називається зростаючою, якщо кожен її член більший за попередній член. Запишіть це визначення за допомогою формули.
3.10. Як ви знаєте, рівнобедрений трикутник – це такий трикутник, у якого дві сторони рівні, а правильний трикутник – це такий, у якого всі сторони рівні. Чи є правильний трикутник рівнобедреним?
3.11. Вкажіть найближчі поняття для наступних понять: а) квадрат; б) ступінь із натуральним показником; в) вертикальні кути; г) просте число; д) хорда.
3.12. Вкажіть кілька пологів для поняття ромб.
3.13. Чи потрібно (і чи можна) доводити визначення?
По-перше , поняття роду та виду відносні : одне й те саме поняття може бути родовим по відношенню до одного поняття та видовим по відношенню до іншого. Наприклад, Поняття «прямокутник» - родове по відношенню до поняття «квадрат» і видове по відношенню до поняття «чотирикутник».
По-друге, для цього поняття часто можна вказати кілька пологів. Так, для поняття "прямокутник" родовими є поняття "чотирикутник", "паралелограм", "багатокутник". Серед них можна вказати найближче. Для поняття «прямокутник» найближчим є поняття «паралелограм».
По-третє, видове поняття має всі властивості родового поняття. Наприклад, Квадрат, будучи видовим поняттям по відношенню до поняття «прямокутник», має всі властивості, властиві прямокутнику.
Оскільки обсяг поняття – безліч, зручно, встановлюючи відносини між обсягами понять, зображати їх з кіл Ейлера.
| У |
Обсяги понять не перетинаються, тому що ні про один відрізок не можна сказати, що він є прямим, і жодна пряма не може бути названа відрізком. Отже, дані поняття немає щодо роду і виду.
Про поняття «пряма» і «відрізок» можна сказати, що вони у відношенні цілого і частини: відрізок – частина прямої, а чи не її вид.
Якщо видове поняття має всі властивості родового поняття, то частина не обов'язково має всі властивості цілого.
Наприклад, відрізок не має таких властивостей прямої, як її нескінченність.
3. Визначення понять
Поява в математиці нових понять, отже, і нових термінів, що означають ці поняття, передбачає їх визначення.
Визначенням зазвичай називають пропозицію, яка роз'яснює суть нового терміна (або позначення).Як правило, роблять це на основі раніше введених понять. Наприклад,прямокутник можна визначити так: "Прямокутником називається чотирикутник, у якого всі кути прямі". У цьому визначенні є дві частини. обумовлене поняття(прямокутник) та визначальне поняття(Чотирикутник, у якого всі кути прямі). Якщо позначити через перше поняття, а через b – друге, то дане визначення можна представити в такому вигляді:
а є (за визначенням) b
Слова «є (за визначенням)» зазвичай замінюють символом і тоді визначення виглядає так: а b
Читають: "а рівносильно b за визначенням". Можна прочитати цей запис ще й так: а тоді і тільки тоді, коли b.
Визначення, що мають таку структуру, називаються явними. Розглянемо їх докладніше.
Звернемося знову до визначення прямокутника, вірніше, для його другої частини – визначальному поняттю. У ньому можна виділити:
1) поняття «чотирикутник», яке є родовимпо відношенню до поняття «прямокутник»,
2) властивість «мати всі кути прямі», що дозволяє виділити з різних чотирикутників один вид - прямокутники; тому його називають видовою відзнакою.
Визначення. Видова відмінність – це властивості (одне або кілька), які дозволяють виділяти об'єкти, що визначаються, з обсягу родового поняття.
Підсумки нашого аналізу можна подати у вигляді схеми
Визначальне поняття
Зауважимо, що у наочному поданні структури визначення через рід і видову відмінність ми припустилися деяких неточностей. По-перше, Слова «родове поняття» означають, що йдеться про родове поняття стосовно обумовленого. По-друге, не зовсім ясно, що означає знак +, який, як відомо, використовується для позначення складання чисел. Сенс цього знака стане зрозумілим трохи згодом, коли ми розглянемо математичний сенс спілки «і». А поки що познайомимося з ще однією можливістю наочного уявлення визначення через рід та видову відмінність. Якщо поняття позначити літерою а, Що визначає буквою b, родове поняття (стосовно визначеного) – буквою з, а видова відмінність – буквою Р, то визначення через рід і видову відмінність можна так:
а 
Чому видове відмінність позначено великою літерою, ми дізнаємося пізніше.
Нам відомо, що будь-яке поняття має обсяг. Якщо поняття а визначено через рід і видову відмінність, то про його обсяг – множину А – можна сказати, що в ньому містяться такі об'єкти, які належать множині С (обсягу родового поняття с) і мають властивість Р: А = (х | хÎ С та Р(х)).
Наприклад, якщо дано визначення: «Гострим кутом називається кут, який менший за прямий», - то обсяг поняття «гострий кут» – це підмножина безлічі всіх кутів площини, які мають властивість «бути менше прямого».
Так як визначення поняття через рід і видову відмінність є по суті умовною угодою про введення нового терміна для заміни якоїсь сукупності відомих термінів, то про визначення не можна сказати, вірне воно чи неправильне; його не доводять та не спростовують. Але, формулюючи визначення, дотримуються низки правил. Назвемо основні.
Вимоги до визначення понять
Визначення має бути пропорційним.
Це означає, що обсяги визначального та визначального понять повинні збігатися. Це випливає з те, що визначальне і визначальне поняття взаємозамінні.
Пропорційні, наприклад, поняття «прямокутник» і «чотирикутник, у якому всі кути прямі». Якщо ж обсяг визначального поняття включає обсяг поняття визначається, то говорять про помилку занадто широкого визначення. Так, визначення «Прямі aі bназиваються паралельними, якщо вони не мають спільних точок або збігаються занадто широко, оскільки йому задовольняють і схрещують прямі. Якщо ж обсяг визначального поняття вже обсягу поняття, то має місце помилка занадто вузького визначення. Наприклад, визначення «Прямі aі bназиваються паралельними, якщо вони не мають спільних точок» занадто вузько, оскільки йому не задовольняють прямі, що збігаються.
У визначенні (або їх системі) не повинно бути хибного кола.
Це означає, що не можна визначати поняття через саме себе (у визначенні не повинно бути визначеного терміну) або визначати його через інше поняття, яке визначається через нього.
Візьмемо такі поняття початкової математики, як “множення” та “твір”, і дамо їм такі визначення:
Множенням чисел називається дія, з допомогою якого знаходять добуток цих чисел.
Добутком чисел називається результат їх множення.
Бачимо, що множення визначається через поняття твір, а твір через поняття множення. Визначення утворили, як у математиці, порочне коло. У результаті ланцюжок послідовних визначень, вибудуваних у межах курсу, переривається.
Порочне коло міститься і в такому визначенні: «Рішенням рівняння називається число, яке є його розв'язком». Тут поняття «рішення рівняння» визначається, по суті, через рішення рівняння.
Визначення має бути зрозумілим.
Це, на перший погляд, очевидне правило, але означає воно багато. Насамперед, потрібно, щоб значення термінів, які входять у визначальне поняття, були відомі на момент введення визначення нового поняття.
Наприклад,не можна визначати прямокутник як паралелограм із прямим кутом, якщо поняття «паралелограм» ще не розглянуто.
До умов ясності визначення відносять також рекомендацію включати у видову відмінність лише стільки властивостей, скільки необхідно і достатньо виділення об'єктів, що визначаються з обсягу родового поняття.
Розглянемо, наприклад,таке визначення прямокутника: "Прямокутником називається чотирикутник, у якого всі кути прямі та протилежні сторони рівні".
Неважко переконається, що це визначення пропорційне і в ньому немає порочного кола. Але можна показати, що включена до визначення властивість «в прямокутнику протилежні сторони рівні» випливає з властивості «в прямокутнику всі кути прямі». У цьому випадку вважають, що в даному визначенні прямокутника друга властивість надмірна. Отже, правильніше визначати прямокутник так: «Прямокутником називається чотирикутник, у якого всі кути прямі».
Зауваження. Щоб визначення було зрозумілим, бажано, щоб воно містило надлишкових властивостей у визначальній частині, тобто. таких властивостей, які можуть бути виділені з інших, включених до цього визначення.Однак іноді для простати викладу це правило порушують.
Для забезпечення ясності визначення важлива також наявність поняття, родового по відношенню до обумовленого.Перепустка родового поняття робить визначення невідповідним. Неприйнятно, наприклад, таке визначення квадрата: "Квадрат - це коли всі сторони рівні".
До сказаного слід додати, що, формулюючи визначення, треба прагнути в визначальному вказати не просто родове по відношенню до поняття, що визначається, а найближче.Це часто дозволяє скоротити кількість властивостей, що включаються у видову відмінність.
Наприклад, якщо визначення квадрата як родового вибрати поняття «чотирикутник», тоді треба буде включати у видове відмінність дві властивості: «мати всі прямі кути» і «мати всі рівні сторони». В результаті отримаємо визначення: "Квадратом називається чотирикутник, у якого всі кути прямі і всі сторони рівні".
Якщо ж як родовий вибрати найближче для квадрата родове поняття - прямокутник, то отримаємо більш коротке визначення квадрата: "Квадратом називається прямокутник, у якого всі сторони рівні".
Те саме поняття визначити через рід і видову відмінність, дотримуючись сформульованих вище правил, можна по-різному.
Так, квадрат можна визначити як:
а) прямокутник, у якого сусідні сторони рівні;
б) прямокутник, який має прямий кут;
в) ромб, який має прямий кут;
г) паралелограм, у якого всі сторони рівні, а кути прямі.
Різні визначення однієї й тієї ж поняття можливі оскільки з більшої кількості властивостей, які входять у зміст поняття, у визначення включаються лише деякі. І коли з можливих визначень вибирають одне, виходять із того, яке з них простіше і доцільніше для подальшої побудови теорії.
Якщо ж одному й тому поняттю даються, наприклад, два різних визначення, необхідно доводити їх рівносильність, тобто. переконуватись у тому, що з властивостей, включених до одного визначення, випливають властивості, включені до іншого, і навпаки.
Завершуючи розгляд визначень понять через рід та видову відмінність, назвемо ту послідовність дій, яку ми повинні дотримуватись, якщо хочемо відтворити визначення знайомого поняття або побудувати визначення нового:
1. Назвати поняття (термін).
2. Вказати найближче родове (стосовно визначеного) поняття.
3. Перелічити властивості, виділяють обумовлені об'єкти з обсягу родового, тобто. сформулювати видову відмінність.
4. Перевірити, чи виконані правила визначення поняття (чи пропорційно воно, чи немає порочного кола тощо).
Прикладів явних родовидових відносин серед безлічі математичних понять, які розглядаються в початкових класах, не так вже й багато. Але з урахуванням важливості визначення через рід та видову ознаку в подальшому навчанні бажано домагатися розуміння учнями сутності визначення цього виду вже у початкових класах.
5. Неявні визначення
При вивченні математики у початкових класах визначення через рід та видову відмінність використовуються рідко. Пов'язано це з особливостями курсу, і з можливостями дітей. Але понять у початковому курсі математики дуже багато – про це ми говорили на початку лекції. Як їх визначають?
При вивченні математики у початковій школі найчастіше використовують так звані неявнівизначення. У тому структурі не можна виділити обумовлене і визначальне.
У навчанні молодших школярів особливий інтерес серед неявних визначень становлять контекстуальні і остенсивні визначення.
У контекстних визначеннях зміст нового поняття розкривається через уривок тексту, через контекст, через аналіз конкретної ситуації, що описує сенс визначається поняття з іншими, відомими, і тим самим побічно розкривається його зміст. Наприклад, вживаючи у роботі з дітьми такі вирази, як «знайти значення виразу», «порівняти значення виразів 5 + а і (а - 3) × 2, якщо а = 7», «прочитати вирази, які є сумами», «прочитати вирази , і потім прочитати рівняння», ми розкриваємо поняття «математичний вираз» як запис, що складається з чисел чи змінних та знаків дій.
Або, прикладом контекстуального визначення може бути визначення рівняння та його рішення, наведеного у підручнику математики для 3 класу. Тут після запису ð + 6= 15 та переліку чисел 0,5,9,10 йде текст: «До якого числа треба додати 6, щоб вийшло 15? Позначимо невідоме число латинською літерою х (ікс):
Х + 6 = 15 – це рівняння.
Вирішити рівняння – це знайти невідоме число. У цьому рівнянні невідоме число дорівнює 9, оскільки 9+6=15.
Поясні, чому числа 0; 5 та 10 не підходять».
З наведеного тексту випливає, що рівняння – це рівність, де є невідоме число. Воно може бути позначено літерою х, і це число треба знайти. Крім того, з цього тексту випливає, що рішення рівняння – це число, яке при підстановці замість x звертає рівняння у правильну рівність.
Майже всі визначення, з якими ми зустрічаємось у повсякденному житті – це контекстуальні визначення. Почувши невідоме слово, ми намагаємося самі встановити його значення на підставі всього сказаного.
Подібне має місце й у навчанні молодших школярів. Багато математичних понять у початковій школі визначаються через контекст. Це, наприклад, такі поняття, як "великий - маленький", "який-небудь", "будь-який", "один", "багато", "число", "арифметичну дію", "рівняння", "завдання" і т.д.
Контекстуальні визначення залишаються здебільшого неповними та незавершеними. Вони застосовуються у зв'язку з непідготовленістю молодшого школяра до засвоєння повного і більше наукового визначення.
Остенсивні визначення - це визначення шляхом демонстрації. Вони нагадують звичайні контекстуальні визначення, але контекстом тут не уривок будь-якого тексту, а ситуація, у якій виявляється об'єкт, позначений поняттям.
Наприклад, вчитель показує квадрат (малюнок чи паперову модель) і каже «Дивіться - це квадрат». Це типове остенсивне визначення.
Вони також використовуються для введення термінів шляхом показу об'єктів, які цими термінами позначають. Наприклад, у такий спосіб можна визначити у початковій школі поняття рівності та нерівності:
2×7 > 2×6 9×3 = 27
78- 9 < 78 6 × 4 = 4 × 6
37+ 6 > 37 17 - 5 = 8 + 4
У початкових класах остенсивні визначення застосовуються при розгляді таких понять як «червоний (білий, чорний тощо) колір», «лівий - правий», «зліва направо», «цифра», «попереднє та наступне число», «знаки арифметичних дій», «знаки порівняння», «трикутник», «чотирьохкутник», «куб» тощо.
На основі засвоєння остенсивним шляхом значень слів є можливість вводити до словника дитини вже вербальне значення нових слів та словосполучень. Остенсивні визначення – і лише вони – пов'язують слово з речами. Без них мова - лише словесне мереживо, яке не має об'єктивного, предметного змісту.
Остенсивні визначення, як контекстуальні, характеризуються деякою незавершеністю. Справді, визначення у вигляді показу не виділяє поняття з інших речень, у ньому не вказуються властивості, притаманні даних понять. Тому після контекстуального чи остенсивного визначення поняття необхідне подальше вивчення властивостей певних об'єктів.
Зауважимо, що у початкових класах допустимі визначення на кшталт «Словом «п'ятикутник» ми називатимемо багатокутник із п'ятьма сторонами». Це так зване «номінальне визначення» .
Окремі визначення можуть розглядати поняття і за способом утворення або виникнення. Визначення такого типу називають генетичними.
Приклади генетичних визначень: «Кут – це промені, які виходять з однієї точки», «Діагональ прямокутника – відрізок, який з'єднує протилежні вершини прямокутника». У початкових класах генетичні визначення застосовують таких понять, як «відрізок», «ламана», «прямий кут», «коло».
До генетичних понять можна віднести і визначення через список .
Наприклад, "Натуральний ряд чисел - це числа 1, 2, 3, 4 і т.д.".
Деякі поняття у початкових класах вводять лише через термін.
Наприкладодиниці часу рік, місяць, година, хвилина.
Є у початкових класах поняття, що подаються символічною мовою у вигляді рівності, наприклад, а × 1 = а, а × 0 = 0
У початкових класах багато математичних понять спочатку засвоюються поверхово, розпливчасто. При першому ознайомленні школярі дізнаються лише деякі властивості понять, дуже вузько представляють їх обсяг. І це є закономірним. Не всі поняття легко засвоїти. Але безперечно, що розуміння та своєчасне використання вчителем тих чи інших видів визначень математичних понять – одна з умов формування у учнів твердих знань про ці поняття.