Sayısal eşitsizliklerin özellikleri ve formülasyonu. Video dersi “Sayısal eşitsizliklerin özellikleri”

Referanslar.

• Moro M.I.. Matematik. Ders Kitabı 1 sınıf için. başlangıç okul 2 saat içinde. Bölüm 1. (Yılın ilk yarısı) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova - 6. baskı. - M.: Eğitim, 2006. - 112 s.: ill.+Add. (2 ayrı l. hasta.). - ISBN 5-09-014951-8.
• Matematik: ders kitabı 5. sınıf için. genel eğitim kurumlar / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. baskı, silindi. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: hasta. ISBN 5-346-00699-0.
• Cebir: ders kitabı 8. sınıf için. genel eğitim kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 16. baskı. - M.: Eğitim, 2008. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkoviç A.G. Cebir. 8. sınıf. 2 saat içinde Bölüm 1. Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı / A. G. Mordkovich. - 11. baskı, silindi. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: hasta. ISBN 978-5-346-01155-2.

Sayısal eşitsizlikleri kullandığımız okulda eşitsizlikleri öğrendik. Bu yazıda, onlarla çalışma ilkelerinin oluşturulduğu sayısal eşitsizliklerin özelliklerini ele alacağız.

Eşitsizliklerin özellikleri sayısal eşitsizliklerin özelliklerine benzer. Özellikleri, gerekçeleri ele alınacak ve örnekler verilecektir.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Sayısal eşitsizlikler: tanım, örnekler

Eşitsizlik kavramını tanıtırken kayıt türüne göre tanımının yapıldığını görüyoruz. ≠ işaretli cebirsel ifadeler vardır,< , >, ≤ , ≥ . Bir tanım verelim.

Tanım 1

Sayısal eşitsizlik her iki tarafın da sayılara ve sayısal ifadelere sahip olduğu eşitsizlik denir.

Doğal sayıları öğrendikten sonra okulda sayısal eşitsizlikleri dikkate alıyoruz. Bu tür karşılaştırma işlemleri adım adım incelenmektedir. İlk olanlar 1'e benziyor< 5 , 5 + 7 >3. Kurallar tamamlandıktan ve eşitsizlikler daha karmaşık hale geldikten sonra 5 2 3 > 5, 1 (2), ln 0 formundaki eşitsizlikleri elde ederiz. 73 - 17 2< 0 .

Sayısal eşitsizliklerin özellikleri

Eşitsizliklerle doğru şekilde çalışmak için sayısal eşitsizliklerin özelliklerini kullanmanız gerekir. Eşitsizlik kavramından geliyorlar. Bu kavram “daha ​​fazla” veya “daha ​​az” şeklinde ifade edilen bir ifade kullanılarak tanımlanır.

Tanım 2

• a - b farkı pozitif bir sayı olduğunda a sayısı b'den büyüktür;
• a - b farkı negatif bir sayı olduğunda a sayısı b'den küçüktür;
• a - b farkı sıfır olduğunda a sayısı b'ye eşittir.

Tanım, “küçük veya eşit”, “büyük veya eşit” ilişkileriyle eşitsizliklerin çözümünde kullanılır. bunu anladık

Tanım 3

• a - b negatif olmayan bir sayı olduğunda a, b'den büyük veya ona eşittir;
• a - b pozitif olmayan bir sayı olduğunda a, b'den küçük veya ona eşittir.

Tanımlar sayısal eşitsizliklerin özelliklerini kanıtlamak için kullanılacaktır.

Temel özellikler

3 ana eşitsizliğe bakalım. İşaretlerin kullanımı< и >aşağıdaki özelliklerin karakteristiği:

Tanım 4

• yansıma önleyici, bu da eşitsizliklerden herhangi bir a sayısının a olduğunu söylüyor< a и a >a yanlış kabul edilir. Herhangi bir a için a − a = 0 eşitliğinin sağlandığı bilinmektedir, dolayısıyla a = a sonucunu elde ederiz. Yani bir< a и a >a yanlıştır. Örneğin, 3< 3 и - 4 14 15 >- 4 14 15 yanlıştır.
• asimetri. A ve b sayıları a olacak şekilde olduğunda< b , то b >a ve eğer a > b ise b< a . Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a < b , тогда a − b является отрицательным числом. А b − a = − (a − b) положительное число, потому как число противоположно отрицательному числу a − b . Отсюда следует, что b >A. İkinci kısmı da benzer şekilde ispatlanmıştır.

Örnek 1

Örneğin, 5 eşitsizliği verildiğinde< 11 имеем, что 11 >5, yani sayısal eşitsizliği − 0, 27 > − 1, 3, − 1, 3 olarak yeniden yazılacaktır< − 0 , 27 .

Bir sonraki özelliğe geçmeden önce, asimetrinin yardımıyla eşitsizliği sağdan sola ve tam tersi şekilde okuyabileceğinizi unutmayın. Bu şekilde sayısal eşitsizlikler değiştirilebilir ve değiştirilebilir.

Tanım 5

• geçişlilik. a, b, c sayıları a koşulunu karşıladığında< b и b < c , тогда a < c , и если a >b ve b > c , ardından a > c .

Kanıt 1

İlk ifade kanıtlanabilir. Koşul a< b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать.

Geçişlilik özelliğinin bulunduğu ikinci kısım da benzer şekilde kanıtlanır.

Örnek 2

Analiz edilen özelliği eşitsizlik örneğini kullanarak ele alıyoruz - 1< 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 >1 8 ve 1 8 > 1 32, bundan 1 2 > 1 32 sonucu çıkar.

Zayıf eşitsizlik işaretleri kullanılarak yazılan sayısal eşitsizlikler yansıma özelliğine sahiptir çünkü a ≤ a ve a ≥ a, a = a eşitliği durumuna sahip olabilir. Asimetri ve geçişlilik ile karakterize edilirler.

Tanım 6

Yazılışında ≤ ve ≥ işaretleri bulunan eşitsizlikler aşağıdaki özelliklere sahiptir:

• dönüşlülük a ≥ a ve a ≤ a gerçek eşitsizlikler olarak kabul edilir;
• antisimetri, a ≤ b olduğunda b ≥ a olur ve a ≥ b olduğunda b ≤ a olur.
• geçişlilik, a ≤ b ve b ≤ c olduğunda a ≤ c olur ve ayrıca a ≥ b ve b ≥ c ise a ≥ c olur.

Kanıt benzer şekilde gerçekleştirilir.

Sayısal eşitsizliklerin diğer önemli özellikleri

Eşitsizliklerin temel özelliklerini desteklemek için pratik önemi olan sonuçlar kullanılır. Yöntemin prensibi, eşitsizlikleri çözme ilkelerinin dayandığı ifadelerin değerlerini tahmin etmek için kullanılır.

Bu paragraf, katı eşitsizliğin bir işareti için eşitsizliklerin özelliklerini ortaya koymaktadır. Aynı şey katı olmayanlar için de yapılır. Eşitsizliği formüle eden bir örneğe bakalım:< b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства:

• a > b ise a + c > b + c;
• a ≤ b ise a + c ≤ b + c;
• a ≥ b ise a + c ≥ b + c olur.

Uygun bir sunum için, yazılı olan ve kanıtların verildiği ilgili ifadeyi veriyoruz, kullanım örnekleri gösteriliyor.

Tanım 7

Her iki tarafa da sayı eklemek veya hesaplamak. Başka bir deyişle, a ve b, a eşitsizliğine karşılık geldiğinde< b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c .

Kanıt 2

Bunu kanıtlamak için denklemin a koşulunu sağlaması gerekir.< b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления противоположного числа – с.

Örnek 3

Örneğin, 7 > 3 eşitsizliğinin her iki tarafını da 15 artırırsak, 7 + 15 > 3 + 15 sonucunu elde ederiz. Bu 22 > 18'e eşittir.

Tanım 8

Eşitsizliğin her iki tarafı aynı c sayısıyla çarpıldığında veya bölündüğünde gerçek bir eşitsizlik elde edilir. Negatif bir sayı alırsanız işaret ters yönde değişir. Aksi takdirde şöyle görünür: a ve b için eşitsizlik a olduğunda geçerlidir< b и c являются положительными числами, то a· c < b · c , а если v является отрицательным числом, тогда a · c >b.c.

Kanıt 3

c > 0 durumu olduğunda eşitsizliğin sol ve sağ tarafları arasındaki farkı oluşturmak gerekir. O zaman a · c − b · c = (a − b) · c olduğunu elde ederiz. a koşulundan< b , то a − b < 0 , а c >0 ise (a − b) · c çarpımı negatif olacaktır. Bundan şu sonuç çıkar: a · c − b · c< 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом.

Kanıtlarken, bir tam sayıya bölme, verilen sayının tersiyle, yani 1 c ile çarpılarak değiştirilebilir. Belirli sayılardaki bir özellik örneğine bakalım.

Örnek 4

4 eşitsizliğinin her iki tarafına da izin verilir< 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 .

Şimdi eşitsizliklerin çözümünde kullanılan aşağıdaki iki sonucu formüle edelim:

• Sonuç 1. Sayısal bir eşitsizliğin parçalarının işaretleri değiştirildiğinde eşitsizliğin işareti de ters yönde değişir.< b , как − a >- b . Bu, her iki tarafı da -1 ile çarpma kuralını takip eder. Geçiş için geçerlidir. Örneğin, − 6< − 2 , то 6 > 2 .
• Sonuç 2. Sayısal bir eşitsizliğin parçalarını karşılıklı sayılarla değiştirirken işareti de değişir ve eşitsizlik doğru kalır. Dolayısıyla elimizde a ve b pozitif sayılardır, a< b , 1 a >1b.

Eşitsizliğin her iki tarafını bölerken< b разрешается на число a · b . Данное свойство используется при верном неравенстве 5 >3 2 elimizde 1 5 var< 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a < b , неравенство 1 a >1b yanlış olabilir.

Örnek 5

Örneğin, − 2< 3 , однако, - 1 2 >1 3 yanlış bir denklemdir.

Tüm noktalar, eşitsizliğin bazı kısımları üzerindeki eylemlerin çıktıda doğru eşitsizliği vermesiyle birleşiyor. Başlangıçta birkaç sayısal eşitsizliğin olduğu ve sonucunun parçalarının eklenmesi veya çarpılmasıyla elde edildiği özellikleri ele alalım.

Tanım 9

a, b, c, d sayıları a eşitsizlikleri için geçerli olduğunda< b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.

Kanıt 4

(a + c) − (b + d)'nin negatif bir sayı olduğunu kanıtlayalım ve sonra a + c sonucunu elde edelim.< b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a < b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.

Özellik üç, dört veya daha fazla sayısal eşitsizliğin dönem dönem eklenmesi için kullanılır. a 1 , a 2 , … , an n ve b 1 , b 2 , … , b n sayıları a 1 eşitsizliklerini karşılar< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод математической индукции, получив a 1 + a 2 + … + a n < b 1 + b 2 + … + b n .

Örnek 6

Örneğin, aynı işarete sahip üç sayısal eşitsizlik verildiğinde - 5< − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным.

Tanım 10

Her iki tarafın terimsel çarpımı pozitif bir sayıyla sonuçlanır. ne zaman bir< b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым.

Kanıt 5

Bunu kanıtlamak için eşitsizliğin her iki tarafına da ihtiyacımız var.< b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d .

Bu özellik, eşitsizliğin her iki tarafının çarpılması gereken sayıların sayısı için geçerli kabul edilir. Daha sonra bir 1, bir 2,…, bir n Ve b 1, b 2, …, b n pozitif sayılardır, burada a 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 · a 2 · … · bir n< b 1 · b 2 · … · b n .

Eşitsizlikleri yazarken pozitif olmayan sayıların bulunduğunu ve bunların terim terim çarpımının yanlış eşitsizliklere yol açtığını unutmayın.

Örnek 7

Örneğin eşitsizlik 1< 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством.

Sonuçlar: Eşitsizliklerin terimsel çarpımı a< b с положительными с a и b , причем получается a n < b n .

Sayısal eşitsizliklerin özellikleri

Sayısal eşitsizliklerin aşağıdaki özelliklerini ele alalım.

1. A< a , a >a - yanlış eşitsizlikler,
   a ≤ a, a ≥ a gerçek eşitsizliklerdir.
2. eğer bir< b , то b >a - antisimetri.
3. eğer bir< b и b < c то a < c - транзитивность.
4. eğer bir< b и c - любоое число, то a + b < b + c .
5. eğer bir< b и c - положительное число, то a · c < b · c ,
   eğer bir< b и c - отрицательное число, то a · c >b.c.

Sonuç 1: eğer bir< b , то - a >-B.

Sonuç 2: a ve b pozitif sayılar ise ve a< b , то 1 a >1b.

1. 1 ise< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 + a 2 + . . . + a n < b 1 + b 2 + . . . + b n .
2. Eğer 1 ise 2 ise . . . , bir n , b 1 , b 2 , . . . , b n pozitif sayılardır ve a 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 · a 2 · . . . · a n < b 1 · b 2 · . . . b n .

Sonuç 1: Eğer A< b , a Ve B pozitif sayılardır, o zaman bir n< b n .

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

1) Eşitsizliğin temel kavramı

2) Sayısal eşitsizliklerin temel özellikleri. Değişken içeren eşitsizlikler.

3) İkinci derece eşitsizliklerin grafiksel çözümü

4) Eşitsizlik sistemleri. Eşitsizlikler ve iki değişkenli eşitsizlik sistemleri.

5) Rasyonel eşitsizlikleri aralık yöntemini kullanarak çözme

6) Modül işareti altında değişken içeren eşitsizlikleri çözme

1. Eşitsizliğin temel kavramı

Eşitsizlik, sayılar (veya sayısal değer alabilen herhangi bir matematiksel ifade) arasındaki, hangisinin diğerinden büyük veya küçük olduğunu gösteren bir ilişkidir. Bu ifadeler üzerinde belirli kurallara göre şu işlemler yapılabilir: toplama, çıkarma, çarpma ve bölme (ve N.'yi negatif bir sayıyla çarptığınızda veya böldüğünüzde anlamı tersine değişir). Temel kavramlardan biri doğrusal programlama — doğrusal eşitsizlikler tür

A 1 X 1 + A 2 X 2 +... + bir n x n * B,

Nerede A 1 ,..., BİR, B- sabitler ve * işareti örneğin eşitsizlik işaretlerinden biridir. ≥,

cebirsel

· aşkın

Cebirsel eşitsizlikler birinci, ikinci vb. derecedeki eşitsizliklere ayrılır.

Eşitsizlik ikinci dereceden cebirseldir.

Eşitsizlik aşkındır.

2. Sayısal eşitsizliklerin temel özellikleri. Değişken içeren eşitsizlikler

1) İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği y = eksen 2 + bx + c dalları yukarıya bakan bir paraboldür a > 0 ve eğer aşağı a (bazen bir parabolün dışbükey olarak aşağı doğru yönlendirildiğini söylerler, eğer a > 0 ve yukarı doğru dışbükey ise A). Bu durumda üç durum mümkündür:

2) Parabol 0x eksenini kesiyor (yani denklem balta 2 + bx + c = 0 iki farklı kökü vardır). Yani eğer bir

y = eksen 2 + bx + ca>0 D>0 y = eksen 2 + bx + cA D>0,

Bir parabolün 0x ekseninde bir tepe noktası vardır (yani denklem balta 2 + x + c = 0çift ​​kök olarak adlandırılan bir kökü vardır) Yani, eğer d = 0 ise, o zaman a>0 için eşitsizliğin çözümü tüm sayı doğrusudur ve bir eksen için 2 + x + c

y = eksen 2 + bx + ca>0 D= 0 y = eksen 2 + bx + cA D=0,

3) Eğer d0 ve onun altında ise

y = eksen 2 + bx + ca>0 D0 y = eksen 2 + bx + cA D 0,

4) Eşitsizliği grafiksel olarak çözün

1. f(x) = 3x 2 -4x - 7 olsun, sonra f(x) ;

2. Fonksiyonun sıfırlarını bulalım.

f(x) x'te.

Cevap x'te f(x)'tir.

f(x)=x 2 +4x +5 olsun o zaman f(x)>0 olacak bir x bulalım,

D=-4 Sıfır yok.

4. Eşitsizlik sistemleri. Eşitsizlikler ve iki değişkenli eşitsizlik sistemleri

1) Bir eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi, bu sistemin içerdiği eşitsizliklerin çözüm kümesinin kesişimidir.

2) f(x;y)>0 eşitsizliğinin çözüm kümesi koordinat düzleminde grafiksel olarak gösterilebilir. Tipik olarak f(x;y) = 0 denklemiyle tanımlanan çizgi, düzlemi 2 parçaya böler; bunlardan biri eşitsizliğin çözümüdür. Hangi kısmı belirlemek için, f(x;y)=0 doğrusu üzerinde yer almayan rastgele bir M(x0;y0) noktasının koordinatlarını eşitsizliğin yerine koymanız gerekir. Eğer f(x0;y0) > 0 ise eşitsizliğin çözümü M0 noktasını içeren düzlemin parçasıdır. eğer f(x0;y0)

3) Bir eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi, içerdiği eşitsizliklerin çözüm kümesinin kesişimidir. Örneğin bir eşitsizlik sistemi verilsin:

İlk eşitsizlik için çözüm kümesi, yarıçapı 2 olan ve orijinde merkezli bir daire, ikinci eşitsizlik için ise 2x+3y=0 düz çizgisinin üzerinde yer alan bir yarım düzlemdir. Bu sistemin çözüm kümesi bu kümelerin kesişimidir, yani. yarım daire.

4) Örnek. Eşitsizlik sistemini çözün:

1. eşitsizliğin çözümü küme, 2. küme (2;7) ve üçüncü kümedir.

Bu kümelerin kesişimi, eşitsizlikler sisteminin çözüm kümesi olan (2;3] aralığıdır.

5. Rasyonel eşitsizlikleri aralık yöntemini kullanarak çözme

Aralık yöntemi, binomun aşağıdaki özelliğine dayanmaktadır ( Ha): nokta x=α sayı doğrusunu iki parçaya böler - noktanın sağında α binom (x‑α)>0 ve noktanın solunda α (x-α) .

Eşitsizliği çözmemiz gerektiğini varsayalım (x-α 1)(x-α 2)...(x-α n)>0, burada α 1, α 2 ...α n-1, α n, aralarında eşit olmayan sabit sayılardır ve öyle ki α 1 (x-α 1)(x-α 2)...(x Aralık yöntemini kullanarak ‑ α n)>0 aşağıdaki gibi: α 1, α 2 ...α n-1, α n sayıları sayı ekseninde çizilmiştir; en büyüğünün sağındaki aralıkta, yani. sayılar a n, bir “artı” işareti koyun, sağdan sola takip eden aralığa bir “eksi” işareti, sonra bir “artı” işareti, sonra bir “eksi” işareti vb. koyun. O halde eşitsizliğin tüm çözümlerinin kümesi (x-α 1)(x‑α 2)...(x-α n)>0 artı işaretinin yerleştirildiği tüm aralıkların birleşimi ve eşitsizliğin çözüm kümesi olacaktır (x-α 1)(x-α 2)...(x‑α n), eksi işaretinin yerleştirildiği tüm aralıkların birleşimi olacaktır.

1) Rasyonel eşitsizliklerin çözümü (yani polinomlar olan P(x) Q(x) formundaki eşitsizlikler) sürekli bir fonksiyonun aşağıdaki özelliğine dayanır: eğer sürekli fonksiyon x1 ve x2 (x1; x2) noktalarında sıfırsa ve bu noktalar arasında başka kökleri yoksa, (x1; x2) aralıklarında fonksiyon işaretini korur.

Bu nedenle, sayı doğrusunda y=f(x) fonksiyonunun sabit işaretli aralıklarını bulmak için, f(x) fonksiyonunun sıfır olduğu veya süreksizliğe maruz kaldığı tüm noktaları işaretleyin. Bu noktalar sayı doğrusunu her birinin içinde f(x) fonksiyonunun sürekli olduğu ve yok olmadığı çeşitli aralıklara böler. işareti kaydeder. Bu işareti belirlemek için sayı doğrusunda dikkate alınan aralığın herhangi bir noktasında fonksiyonun işaretini bulmak yeterlidir.

2) Sabit işaret aralıklarını belirlemek rasyonel fonksiyon yani Çözmek için rasyonel eşitsizlik, aynı zamanda rasyonel fonksiyonun kökleri ve kesme noktaları olan payın köklerini ve paydanın köklerini sayı doğrusu üzerinde işaretleriz.

Aralık yöntemini kullanarak eşitsizlikleri çözme

Çözüm. Bölge kabul edilebilir değerler eşitsizlik sistemi tarafından belirlenir:

İşlev için f(x)= - 20. Bul f(x):

Neresi X= 29 ve X = 13.

F(30) = - 20 = 0,3 > 0,

F(5) = - 1 - 20 = - 10

Cevap: }