Düz bir çizgi arasındaki açının tanımını formüle edin. Düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açı: tanımı, bulma örnekleri

İki bilinmeyenli doğrusal olmayan denklemler

Tanım 1. A biraz olsun sayı çiftleri kümesi (X; sen). A kümesinin verildiğini söylüyorlar sayısal fonksiyon z iki değişkenden

x ve y A kümesindeki her sayı çiftinin belirli bir sayıyla ilişkilendirildiği bir kural belirtilirse. Egzersiz yapmak sayısal fonksiyon z genellikle iki değişken x ve y'den belirtmek

Bu yüzden: Nerede (X , sen) F

Nerede (X , sen) = – fonksiyon dışında herhangi bir fonksiyon ,

balta+by+c burada a, b, c –.

verilen sayılar Tanım 3. Denklem çözme (2) X; sen bir çift numarayı arayın (

) , bunun için formül (2) gerçek bir eşitliktir.

Örnek 1. Denklemi çöz

Herhangi bir sayının karesi negatif olmadığından, formül (4)'ten x ve y bilinmeyenlerinin denklem sistemini sağladığı sonucu çıkar.

çözüm bir çift sayıdır (6; 3).

Cevap: (6; 3)

Örnek 2. Denklemi çöz Bu nedenle, denklem (6)'nın çözümü şu şekildedir: sonsuz küme sayı çiftleri

(1 + sen ; sen) ,

tür

burada y herhangi bir sayıdır.

doğrusal Tanım 4.

Bir denklem sistemini çözme X; sen bir çift numarayı arayın ( ) , bunları bu sistemin denklemlerinin her birine yerleştirdiğimizde şunu elde ederiz:.

gerçek eşitlik

Biri doğrusal olan iki denklemli sistemler şu şekildedir:(X , sen)

Örnek 4. Denklem sistemini çözme

Çözüm . Sistemin (7) ilk denklemindeki bilinmeyen y'yi bilinmeyen x'e kadar ifade edelim ve elde edilen ifadeyi sistemin ikinci denkleminde yerine koyalım:

X 1 = - 1 , X 2 = 9 .

Denklemin çözümü

sen 1 = 8 - X 1 = 9 ,
sen 2 = 8 - X 2 = - 1 .

Buradan,

Biri homojen olan iki denklemli sistemler

Biri homojen olan iki denklemin sistemleri şu şekildedir: Biri doğrusal olan iki denklemli sistemler şu şekildedir:(X , sen) a, b, c'ye sayılar verilmiştir ve

– iki değişken x ve y'nin fonksiyonu.

Örnek 6. Denklem sistemini çözme

3X 2 + 2Çözüm . Homojen denklemi çözelim - sen 2 = 0 ,

3X 2 + 17Çözüm . Homojen denklemi çözelim + 10sen 2 = 0 ,

bunu bilinmeyen x'e göre ikinci dereceden bir denklem olarak ele alırsak: X = - 5sen Durumunda

5sen 2 = - 20 ,

, sistemin (11) ikinci denkleminden denklemi elde ederiz

kökleri olmayan.

Durumunda

(11) sisteminin ikinci denkleminden denklemi elde ederiz sen 1 = 3 , sen 2 = - 3 . kökleri sayılar olan

Bu y değerlerinin her biri için karşılık gelen x değerini bularak sisteme iki çözüm elde ederiz: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .

Cevap: (- 2 ; 3), (2 ; - 3)

Diğer türdeki denklem sistemlerinin çözüm örnekleri

Çözüm . Aşağıdaki formüllere göre x ve y aracılığıyla ifade edilen yeni bilinmeyen u ve v'yi tanıtalım:

(12) sistemini yeni bilinmeyenler cinsinden yeniden yazmak için öncelikle x ve y bilinmeyenlerini u ve v cinsinden ifade ederiz. Sistem (13)'ten şu sonuç çıkıyor:

Lineer sistemi (14) bu sistemin ikinci denkleminden x değişkenini çıkararak çözelim.

Bu amaçla sistem (14) üzerinde aşağıdaki dönüşümleri gerçekleştiriyoruz:
Sistemin ilk denklemini değiştirmeden bırakacağız;

ikinci denklemden birinci denklemi çıkarırız ve sistemin ikinci denklemini ortaya çıkan farkla değiştiririz.

Sonuç olarak sistem (14) eşdeğer bir sisteme dönüştürülür.

nereden buluyoruz

Formül (13) ve (15)'i kullanarak orijinal sistemi (12) şu şekilde yeniden yazıyoruz:

(16) sisteminin ilk denklemi doğrusaldır, dolayısıyla bilinmeyen u'yu bilinmeyen v'ye doğru ifade edebilir ve bu ifadeyi sistemin ikinci denkleminde yerine koyabiliriz.

Ders konusu: "Homojen trigonometrik denklemler"

(10. sınıf) Hedef: homojen kavramını tanıtmak trigonometrik denklemler

I ve II derece; derece I ve II'nin homojen trigonometrik denklemlerini çözmek için bir algoritma formüle etmek ve geliştirmek; öğrencilere I ve II derecelerinin homojen trigonometrik denklemlerini çözmeyi öğretmek; kalıpları belirleme ve genelleme yeteneğini geliştirmek; Konuya olan ilgiyi teşvik eder, dayanışma duygusunu ve sağlıklı rekabeti geliştirir. Ders türü:

yeni bilginin oluşumu dersi. Biçim:

gruplar halinde çalışın. Teçhizat:

bilgisayar, multimedya kurulumu

Ders ilerlemesi

Organizasyon anı

Öğrencileri selamlamak, dikkati harekete geçirmek. sınıfta derecelendirme sistemi bilgi değerlendirmesi (öğretmen, öğrenciler arasından seçtiği bağımsız bir uzman tarafından değerlendirme formunu doldurarak bilgi değerlendirme sistemini açıklar). .

Derse bir sunum eşlik etmektedir.

Temel bilgilerin güncellenmesi. Ödevler dersten önce bağımsız bir uzman ve danışmanlar tarafından kontrol edilip notlandırılır ve tamamlanır..

puan tablosu Öğretmen performansı özetler.

Ev ödevi Öğretmen:

“Trigonometrik denklemler” konusunu incelemeye devam ediyoruz. Bugün derste size başka tür trigonometrik denklemleri ve bunları çözme yöntemlerini tanıtacağız ve bu nedenle öğrendiklerimizi tekrarlayacağız. Her türlü trigonometrik denklemi çözerken, en basit trigonometrik denklemlerin çözümüne indirgenirler.

Grup halinde yapılan bireysel ödevler kontrol edilir. Sunumun savunması “En basit trigonometrik denklemlerin çözümleri”

(Grubun çalışmaları bağımsız bir uzman tarafından değerlendirilir)

Ev ödevi Bulmacayı çözmek için yapmamız gereken işler var. Bunu çözdükten sonra bugün sınıfta çözmeyi öğreneceğimiz yeni denklem türünün adını öğreneceğiz.

Sorular tahtaya yansıtılır. Öğrenciler tahminde bulunur ve bağımsız bir uzman, cevap veren öğrencilerin puanlarını puan cetveline girer.

Bulmacayı çözen çocuklar “homojen” kelimesini okuyacaklar.

Yeni bilginin asimilasyonu.

Ev ödevi Dersin konusu “Homojen trigonometrik denklemler.”

Dersin konusunu bir deftere yazalım. Homojen trigonometrik denklemler birinci ve ikinci derecedendir.

Birinci dereceden homojen bir denklemin tanımını yazalım. Bu tür bir denklemin çözümüne ilişkin bir örnek gösteriyorum; birinci dereceden homojen bir trigonometrik denklemi çözmek için bir algoritma yaratıyorsunuz.

Formun denklemi A sinx + B cosx = 0 birinci dereceden homojen trigonometrik denklem olarak adlandırılır.

Katsayılar eşitlendiğinde denklemin çözümünü ele alalım. A Ve V 0'dan farklıdır.

Örnek: sinx + cosx = 0

R Denklem teriminin her iki tarafını da cosx'e bölerek şunu elde ederiz:

Dikkat! Ancak bu ifade hiçbir yerde 0'a dönmüyorsa 0'a bölebilirsiniz. Kosinüs 0'a eşitse, katsayıların 0'dan farklı olduğu göz önüne alındığında sinüs de 0'a eşit olacaktır, ancak sinüs ve kosinüsün sıfıra gittiğini biliyoruz. çeşitli noktalar. Dolayısıyla bu tür denklemlerin çözümünde bu işlem yapılabilir.

Birinci dereceden homojen bir trigonometrik denklemi çözmek için algoritma: denklemin her iki tarafını da cosx, cosx 0'a bölmek

Formun denklemi A günah mx +B çünkü mx = 0 birinci dereceden homojen trigonometrik denklem olarak da adlandırılır ve denklemin her iki tarafının kosinüs mx'e bölünmesini de çözer.

Formun denklemi A günah 2 x+B sinx cosx +C cos2x = 0 ikinci dereceden homojen trigonometrik denklem denir.

Örnek : günah 2 x + 2sinx cosx – 3cos 2 x = 0

a katsayısı 0'dan farklıdır ve bu nedenle önceki denklem gibi cosx 0'a eşit değildir ve bu nedenle denklemin her iki tarafını da cos 2 x'e bölme yöntemini kullanabilirsiniz.

tg 2 x + 2tgx – 3 = 0 elde ederiz

Yeni bir değişken ekleyerek çözüyoruz, tgx = a, sonra denklemi elde ediyoruz

a 2 + 2a – 3 = 0

D = 4 – 4 (–3) = 16

a 1 = 1 a 2 = –3

Değiştirmeye geri dön

Cevap:

Katsayısı a = 0 ise denklem 2sinx cosx – 3cos2x = 0 formunu alacaktır, bunu çıkarma yöntemini kullanarak çözeriz ortak çarpan cosx parantez dışında. Eğer katsayı c = 0 ise denklem sin2x +2sinx cosx = 0 formunu alır, bunu sinx ortak faktörünü parantezlerden çıkararak çözeriz. Birinci dereceden homojen bir trigonometrik denklemi çözmek için algoritma:

Denklemin asin2 x terimini içerip içermediğine bakın.

Denklemde asin2 x terimi yer alıyorsa (yani a 0), denklem, denklemin her iki tarafının cos2x'e bölünmesi ve ardından yeni bir değişken eklenmesiyle çözülür.

Asin2 x terimi denklemde yer almıyorsa (yani a = 0), denklem çarpanlara ayırma yoluyla çözülür: cosx parantezlerden çıkarılır. a sin2m x + b sin mx cos mx + c cos2mx = 0 formundaki homojen denklemler aynı şekilde çözülür

Homojen trigonometrik denklemleri çözme algoritması ders kitabının 102. sayfasında yazılmıştır.

Beden eğitimi dakikası

Homojen trigonometrik denklemleri çözme becerilerinin oluşturulması

Sorunlu kitapların açılması sayfa 53

1. ve 2. gruplar 361-v sayılı kararı verir

3. ve 4. gruplar 363-v sayılı kararı verir

Çözümü tahtada gösterin, açıklayın, tamamlayın. Bağımsız bir uzman değerlendirir.

361-v numaralı problem kitabından örnekleri çözme
sinx – 3cosx = 0
Denklemin her iki tarafını da cosx 0'a bölersek şunu elde ederiz:

363-v
sin2x + sinxcosx – 2cos2x = 0
Denklemin her iki tarafını cos2x'e bölersek tg2x + tanx – 2 = 0 elde ederiz

yeni bir değişken ekleyerek çöz
tgx = a olsun, o zaman denklemi elde ederiz
a2 + a – 2 = 0
D = 9
a1 = 1 a2 = –2
değiştirmeye geri dön

Bağımsız çalışma.

Denklemleri çözün.

2 cosx – 2 = 0

2cos2x – 3cosx +1 = 0

3 sin2x + sinx cosx – 2 cos2x = 0

Bağımsız çalışmanın sonunda iş değiştirirler ve karşılıklı kontrol ederler. Doğru cevaplar tahtaya yansıtılır.

Daha sonra bağımsız bir uzmana teslim ediyorlar.

Self servis çözüm

Dersi özetlemek.

Derste ne tür trigonometrik denklemleri öğrendik?

Birinci ve ikinci derece trigonometrik denklemleri çözmek için algoritma.

Ev ödevi: § 20.3 okuyun. 361(g), 363(b), artan zorluk ek olarak No. 380(a).

Bulmaca.

Eğer girersen doğru sözler, o zaman trigonometrik denklem türlerinden birinin adını alırsınız.

Denklemi doğru yapan değişkenin değeri? (Kök)

Açıların ölçü birimi? (Radyan)

Bir üründe sayısal faktör? (Katsayı)

Trigonometrik fonksiyonları inceleyen matematik dalı? (Trigonometri)

Hangi matematiksel model yerleştirme için gerekli trigonometrik fonksiyonlar? (Daire)

Hangi trigonometrik fonksiyon çifttir? (Kosinüs)

Gerçek eşitliğe ne denir? (Kimlik)

Bir değişkenle eşitlik? (Denklem)

Denklemler özdeş kökler? (eş değer)

Bir denklemin kökleri kümesi ? (Çözüm)

Skor sayfası

№
n\n

Öğretmenin soyadı, adı

Ev ödevi

Sunum

Bilişsel aktivite
ders çalışıyor

Denklemleri çözme

Bağımsız
İş

Ödev – 12 puan (3 denklem 4 x 3 = 12 ödev olarak verilmiştir)

Sunum – 1 puan

Öğrenci etkinliği – 1 cevap – 1 puan (maksimum 4 puan)

Denklem çözme 1 puan

Bağımsız çalışma – 4 puan

Grup derecelendirmesi:

“5” – 22 puan veya daha fazla
“4” – 18 – 21 puan
“3” – 12 – 17 puan

Durmak! Bu hantal formülü anlamaya çalışalım.

Güçteki bazı katsayılara sahip ilk değişken önce gelmelidir. Bizim durumumuzda öyle

Bizim durumumuzda öyle. Bulduğumuz gibi bu, ilk değişkendeki derecenin yakınsadığı anlamına gelir. Ve birinci dereceden ikinci değişken yer alıyor. Katsayı.

Bizde var.

İlk değişken bir kuvvettir ve ikinci değişken bir katsayı ile karelidir. Bu denklemdeki son terimdir.

Gördüğünüz gibi denklemimiz formül formundaki tanıma uyuyor.

Tanımın ikinci (sözlü) kısmına bakalım.

İki bilinmeyenimiz var ve. Burada birleşiyor.

Tüm şartları ele alalım. Bunlarda bilinmeyenlerin dereceleri toplamı aynı olmalıdır.

Derecelerin toplamı eşittir.

Güçlerin toplamı eşittir (at ve at).

Derecelerin toplamı eşittir.

Gördüğünüz gibi her şey uyuyor!!!

Şimdi homojen denklemleri tanımlamaya çalışalım.

Denklemlerden hangisinin homojen olduğunu belirleyin:

Homojen denklemler - sayılarla denklemler:

Denklemi ayrı ayrı ele alalım.

Her terimi çarpanlara ayırarak bölersek, şunu elde ederiz:

Ve bu denklem tamamen homojen denklemlerin tanımına girmektedir.

Homojen denklemler nasıl çözülür?

Örnek 2.

Denklemi ikiye bölelim.

Koşulumuza göre y eşit olamaz. Bu nedenle güvenle bölebiliriz

Değiştirmeyi yaparak basit bir ikinci dereceden denklem elde ederiz:

Bu indirgenmiş ikinci dereceden bir denklem olduğu için Vieta teoremini kullanıyoruz:

Ters değiştirmeyi yaptıktan sonra cevabı buluruz.

Cevap:

Örnek 3.

Denklemi (koşula) göre bölelim.

Cevap:

Örnek 4.

Varsa bulun.

Burada bölmeniz değil çarpmanız gerekiyor. Denklemin tamamını şu şekilde çarpalım:

Hadi yerine koyalım ve ikinci dereceden denklemi çözelim:

Ters değiştirmeyi yaptıktan sonra cevabı elde ederiz:

Cevap:

Homojen trigonometrik denklemlerin çözümü.

Homojen trigonometrik denklemlerin çözümü yukarıda açıklanan çözüm yöntemlerinden farklı değildir. Ancak burada diğer şeylerin yanı sıra biraz trigonometri bilmeniz gerekir. Ve trigonometrik denklemleri çözebilme (bunun için bölümü okuyabilirsiniz).

Örnekleri kullanarak bu tür denklemlere bakalım.

Örnek 5.

Denklemi çözün.

Tipik olanı görüyoruz homojen denklem: ve bilinmeyenlerdir ve her terimdeki kuvvetlerinin toplamı eşittir.

Bu tür homojen denklemlerin çözülmesi zor değildir, ancak denklemleri bölmeden önce şu durumu düşünün:

Bu durumda denklem şu şekli alacaktır: yani. Ancak sinüs ve kosinüs aynı anda eşit olamaz çünkü temelde trigonometrik özdeşlik. Bu nedenle, onu güvenle şu şekilde bölebiliriz:

Denklem verildiğine göre Vieta teoremine göre:

Cevap:

Örnek 6.

Denklemi çözün.

Örnekte olduğu gibi denklemi ikiye bölmeniz gerekir. Aşağıdaki durumlarda durumu ele alalım:

Ancak sinüs ve kosinüs aynı anda eşit olamaz çünkü temel trigonometrik özdeşliğe göre. Bu yüzden.

Hadi yerine koyalım ve ikinci dereceden denklemi çözelim:

Ters yerine koyma işlemini yapalım ve bulalım:

Cevap:

Homojen üstel denklemlerin çözümü.

Homojen denklemler yukarıda tartışılanlarla aynı şekilde çözülür. Nasıl karar vereceğinizi unuttuysanız üstel denklemler- ilgili bölüme bakın ()!

Birkaç örneğe bakalım.

Örnek 7.

Denklemi çöz

Bunu şöyle hayal edelim:

İki değişkenli ve kuvvetlerin toplamı olan tipik bir homojen denklem görüyoruz. Denklemi ikiye ayıralım:

Gördüğünüz gibi, ikameyi yaparak aşağıdaki ikinci dereceden denklemi elde ediyoruz (sıfıra bölmekten korkmanıza gerek yok - her zaman kesinlikle sıfırdan büyüktür):

Vieta teoremine göre:

Cevap: .

Örnek 8.

Denklemi çöz

Bunu şöyle hayal edelim:

Denklemi ikiye ayıralım:

Hadi yerine koyalım ve ikinci dereceden denklemi çözelim:

Kök koşulu karşılamıyor. Ters değiştirmeyi yapalım ve bulalım:

Cevap:

HOMOJEN DENKLEMLER. ORTA SEVİYE

Öncelikle bir problem örneğini kullanarak şunu hatırlatmama izin verin. homojen denklemler nedir ve homojen denklemlerin çözümü nedir.

Sorunu çözün:

Varsa bulun.

Burada ilginç bir şeyi fark edebilirsiniz: Her terimi şuna bölersek şunu elde ederiz:

Yani, artık ayrı bir şey yok ve - şimdi denklemdeki değişken istenen değerdir. Ve bu, Vieta teoremi kullanılarak kolayca çözülebilen sıradan bir ikinci dereceden denklemdir: köklerin çarpımı eşittir ve toplam, ve sayılarıdır.

Cevap:

Formun denklemleri

homojen denir. Yani bu, her terimi bu bilinmeyenlerin kuvvetleri toplamına sahip olan iki bilinmeyenli bir denklemdir. Örneğin yukarıdaki örnekte bu miktar eşittir. Homojen denklemlerin çözümü bilinmeyenlerden birine şu dereceye kadar bölünerek gerçekleştirilir:

Ve değişkenlerin daha sonra değiştirilmesi: . Böylece bir bilinmeyenli bir güç denklemi elde ederiz:

Çoğu zaman ikinci dereceden (yani ikinci dereceden) denklemlerle karşılaşacağız ve bunları nasıl çözeceğimizi biliyoruz:

Denklemin tamamını bir değişkene ancak bu değişkenin sıfıra eşit olamayacağına ikna olursak bölebileceğimizi (ve çarpabileceğimizi) unutmayın! Mesela bulmamız istense bölmenin imkansız olduğunu hemen anlarız. Bunun çok açık olmadığı durumlarda bu değişkenin sıfıra eşit olduğu durumu ayrıca kontrol etmek gerekir. Örneğin:

Denklemi çözün.

Çözüm:

Burada tipik bir homojen denklem görüyoruz: ve bilinmeyenlerdir ve her terimdeki kuvvetlerinin toplamı eşittir.

Ancak, bölmeden ve ikinci dereceden göreceli bir denklem elde etmeden önce, ne zaman olduğu durumunu düşünmeliyiz. Bu durumda denklem şu şekilde olacaktır: , yani. Ancak sinüs ve kosinüs aynı anda sıfıra eşit olamaz çünkü temel trigonometrik özdeşliğe göre: . Bu nedenle, onu güvenle şu şekilde bölebiliriz:

Umarım bu çözüm tamamen açıktır? Değilse, bölümü okuyun. Nereden geldiği belli değilse, bölüme daha erken dönmeniz gerekir.

Kendiniz karar verin:

Varsa bulun.
Varsa bulun.
Denklemi çözün.

Burada homojen denklemlerin çözümünü kısaca doğrudan yazacağım:

Çözümler:

Cevap: .

Ancak burada bölmek yerine çarpmamız gerekiyor:

Cevap:

Henüz trigonometrik denklemleri almadıysanız bu örneği atlayabilirsiniz.

Burada bölmemiz gerektiğine göre öncelikle yüz olmadığından emin olalım. sıfıra eşit:

Ve bu imkansızdır.

Cevap: .

HOMOJEN DENKLEMLER. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA

Tüm homojen denklemlerin çözümü, bilinmeyenlerden birinin kuvvetine ve değişkenlerin daha fazla değişmesine bölünmeye indirgenir.

Algoritma:

"İnsanın büyüklüğü düşünme yeteneğinde yatar."
Blaise Pascal.

Ders hedefleri:

1) eğitici– öğrencilere homojen denklemleri tanıtmak, bunları çözme yöntemlerini düşünmek ve daha önce çalışılan trigonometrik denklem türlerini çözme becerilerinin geliştirilmesini teşvik etmek.

2) Gelişimsel– öğrencilerin yaratıcı aktivitelerini geliştirmek, bilişsel aktivite, mantıksal düşünme, hafıza, çalışma yeteneği sorunlu durum, düşüncelerini doğru, tutarlı, rasyonel bir şekilde ifade etme becerisine ulaşmak, öğrencilerin ufkunu genişletmek, matematik kültür seviyelerini yükseltmek.

3) eğitici- kendini geliştirme arzusunu geliştirmek, sıkı çalışma, matematiksel notları yetkin ve doğru bir şekilde yerine getirme yeteneğini geliştirmek, aktiviteyi geliştirmek, matematiğe olan ilgiyi teşvik etmeye yardımcı olmak.

gruplar halinde çalışın.

Altı öğrenciye yönelik delikli kartlar.
Bağımsızlar için kartlar ve bireysel çalışmaöğrenciler.
“Trigonometrik denklemlerin çözümü”, “Sayısal birim çember” standları.
Elektrikli trigonometri tabloları.
Ders için sunum (Ek 1).

bilgisayar, multimedya kurulumu

1. Organizasyon aşaması(2 dakika)

Karşılıklı selamlama; Öğrencilerin derse hazır olup olmadıklarının kontrol edilmesi ( işyeri, dış görünüş); dikkatin organizasyonu.

Öğretmen öğrencilere dersin konusunu, hedeflerini anlatır. (slayt 2) ve ders sırasında bu seçeneğin kullanılacağını açıklıyor bildiri, masaların üzerinde.

2. Tekrarlama teorik materyal(15 dakika)

Delikli kart görevleri(6 kişi) . Delikli kartları kullanarak çalışma süresi – 10 dakika (Ek 2)

Öğrenciler görevleri çözdükten sonra nereye başvuracaklarını öğrenecekler trigonometrik hesaplamalar. Şu yanıtlar elde edilir: üçgenleme (astronomide yakındaki yıldızlara olan mesafelerin ölçülmesine olanak sağlayan bir teknik), akustik, ultrason, tomografi, jeodezi, kriptografi.

(slayt 5)

Ön anket.

Hangi denklemlere trigonometrik denir?
Ne tür trigonometrik denklemleri biliyorsunuz?
Hangi denklemlere en basit trigonometrik denklemler denir?
Hangi denklemlere ikinci dereceden trigonometri denir?
a'nın ark sinüsünün tanımını formüle edin.
a'nın ark kosinüsünün tanımını formüle edin.
a'nın arktanjantının tanımını formüle edin.
a sayısının yay kotanjantının tanımını formüle edin.

Oyun "Şifrelenmiş kelimeyi tahmin et"

Blaise Pascal bir keresinde matematiğin çok ciddi bir bilim olduğunu ve onu biraz daha eğlenceli hale getirme fırsatını kaçırmamak gerektiğini söylemişti. Bu yüzden oynamanızı öneririm. Örnekleri çözdükten sonra şifreli kelimeyi oluşturmak için kullanılan sayıların sırasını belirleyin. Latince'de bu kelime "sinüs" anlamına gelir. (slayt 3)

2) ark tg (-√3)

4) tg (yay cos (1/2))

5) tg (yay ctg √3)

Cevap: "Bükme"

Oyun "Soyut Matematikçi"»

Sözlü çalışmaya yönelik görevler ekrana yansıtılır:

Denklemlerin doğru çözülüp çözülmediğini kontrol edin.(Doğru cevap öğrencinin cevabından sonra slaytta görünür). (slayt 4)

	Hatalı cevaplar	Doğru Cevaplar
	x = ± π/6+2πn	x = ± π/3+2πn
	x = π/3+πn	X = (-1) nπ/3+πn
tg x = π/4	x = 1 +πn	tg x =1, x = π/4+πn
	x = ±π/6+ π N	x = ± π/6+2πN
	x = (-1)n yaysin1/3+ 2πn	x = (-1)n yaysin1/3+ πn
	x = ± π/6+2πn	x = ± 5π/6+2πn
çünkü x = π/3	x = ± 1/2 +2πn	çünkü x = 1/2, x = ± π/3+2πn

Ev ödevlerini kontrol ediyorum.

Öğretmen tüm öğrencilerin ödevlerini tamamlamalarının doğruluğunu ve farkındalığını sağlar; bilgideki boşlukları belirler; Öğrencilerin basit trigonometrik denklemleri çözme alanındaki bilgi, beceri ve yeteneklerini geliştirir.

1 denklem. Öğrenci, çizgileri slaytta yorum sırasına göre görünen denklemin çözümü hakkında yorum yapar). (slayt 6)

√3tg2x = 1;

tg2x =1/√3;

2х= arktan 1/√3 +πn, n ∈Z.

2х= π/6 +πn, n ∈Z.

x= π/12 + π/2 N, N ∈Z.

2 denklem. Çözüm Höğrencilere tahtaya yazılır.

2 günah 2 x + 3 cosx = 0.

3. Yeni bilgilerin güncellenmesi (3 dakika)

Öğrenciler öğretmenin isteği üzerine trigonometrik denklemleri çözmenin yollarını hatırlarlar. Nasıl çözeceklerini zaten bildikleri denklemleri seçerler, denklemi çözme yöntemini ve ortaya çıkan sonucu adlandırırlar. . Cevaplar slaytta görünür. (slayt 7) .

Yeni bir değişkenle tanışın:

1 numara. 2sin 2 x – 7sinx + 3 = 0.

sinx = t olsun, o zaman:

2t 2 – 7t + 3 = 0.

Faktorizasyon:

№2. 3sinx cos4x – cos4x = 0;

сos4x(3sinx – 1) = 0;

cos4x = 0 veya 3 sinx – 1 = 0; ...

3 numara. 2 sinx – 3 cosx = 0,

4 numara. 3 günah 2 x – 4 sinx cosx + cos 2 x = 0.

Öğretmen: Son iki denklem türünü nasıl çözeceğinizi hâlâ bilmiyorsunuz. İkisi de aynı tür. ile ilgili bir denkleme indirgenemezler. işlevler sinx veya cosx. çağrıldı homojen trigonometrik denklemler. Ancak yalnızca birincisi birinci dereceden homojen bir denklem, ikincisi ise ikinci dereceden homojen bir denklemdir. Bugün derste bu tür denklemlerle tanışacağız ve bunları nasıl çözeceğimizi öğreneceğiz.

4. Yeni materyalin açıklanması (25 dakika)

Öğretmen öğrencilere homojen trigonometrik denklemlerin tanımlarını verir ve bunları çözme yöntemlerini tanıtır.

Tanım. a sinx + b cosx =0 formundaki bir denklem, burada a ≠ 0, b ≠ 0 olarak adlandırılır birinci dereceden homojen trigonometrik denklem.(slayt 8)

Böyle bir denklemin bir örneği denklem No. 3'tür. Bunu yazacağız genel görünüm denklemini bulun ve analiz edin.

a sinx + b cosx = 0.

Eğer cosx = 0 ise sinx = 0 olur.

– Böyle bir durum olabilir mi?

- HAYIR. Temel trigonometrik özdeşliğe bir çelişki elde ettik.

Bu, cosx ≠ 0 anlamına gelir. Cosx'e göre terim terim bölme işlemi yapalım:

a tgx + b = 0

tgx = –b / a– en basit trigonometrik denklem.

Çözüm: Birinci dereceden homojen trigonometrik denklemler, denklemin her iki tarafının cosx (sinx)'e bölünmesiyle çözülür.

Örneğin: 2 sinx – 3 cosx = 0,

Çünkü cosx ≠ 0 ise

tgx = 3/2 ;

x = arktan (3/2) +πn, n ∈Z.

Tanım. a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0 formundaki bir denkleme, burada a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 denir İkinci derecenin trigonometrik denklemi. (slayt 8)

Böyle bir denklemin bir örneği 4 numaralı denklemdir. Denklemin genel formunu yazıp analiz edelim.

a günah 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0.

Eğer cosx = 0 ise sinx = 0 olur.

Yine temel trigonometrik özdeşlikle bir çelişkiyle karşılaştık.

Bu, cosx ≠ 0 anlamına gelir. Cos 2 x'e terim terim bölme işlemi yapalım:

ve tg 2 x + b tgx + c = 0 ikinci dereceden ifadeye indirgenen bir denklemdir.

Sonuç: Ah ikinci dereceden homojen trigonometrik denklemler, denklemin her iki tarafının cos 2 x (sin 2 x) ile bölünmesiyle çözülür.

Örneğin: 3 günah 2 x – 4 sinx cosx + cos 2 x = 0.

Çünkü çünkü 2 x ≠ 0, o halde

3tg 2 x – 4 tgx + 1 = 0 (Öğrenciyi tahtaya gidip denklemi bağımsız olarak tamamlamaya davet edin).

Değiştirme: tgx = y. 3 yıl 2 – 4 yıl + 1 = 0

D = 16 – 12 = 4

y 1 = 1 veya y 2 = 1/3

tgx = 1 veya tgx = 1/3

x = arktan (1/3) + πn, n ∈Z.

x = arktan + πn, n ∈Z.

x = π/4 + πn, n ∈Z.

5. Öğrencilerin yeni materyali anlamalarını kontrol etme aşaması (1 dk.)

Tuhaf olanı seçin:

sinx = 2cosx; 2sinx + cosx = 2;

√3sinx + cosx = 0; sin 2 x – 2 sinx cosx + 4cos 2 x = 0;

4cosx + 5sinx = 0; √3sinx – cosx = 0.

(slayt 9)

6. Yeni malzemenin konsolidasyonu (24 dakika).

Öğrenciler cevaplayanlarla birlikte tahtadaki denklemleri çözerler yeni malzeme. Görevler tablo şeklinde bir slayta yazılır. Bir denklemi çözerken slayttaki resmin karşılık gelen kısmı açılır. 4 denklemin tamamlanması sonucunda öğrencilere trigonometrinin gelişiminde önemli etkisi olan bir matematikçinin portresi sunulur. (Öğrenciler trigonometriye büyük katkılarda bulunan ve indirgenmiş denklemlerin köklerinin özelliğini keşfeden büyük matematikçi François Vieta'nın portresini tanıyacaklardır. ikinci dereceden denklem ve kriptografide çalıştı) . (slayt 10)

1) √3sinx + cosx = 0,

Çünkü cosx ≠ 0 ise

√3tgx + 1 = 0;

tgx = –1/√3;

x = arktan (–1/√3) + πn, n ∈Z.

x = –π/6 + πn, n ∈Z.

2) günah 2 x – 10 sinx cosx + 21cos 2 x = 0.

Çünkü cos 2 x ≠ 0, bu durumda tg 2 x – 10 tgx + 21 = 0

Yenisiyle değiştirme: tgx = y.

y 2 – 10 y + 21 = 0

y 1 = 7 veya y 2 = 3

tgx = 7 veya tgx = 3

x = arktan7 + πn, n ∈Z

x = arktan3 + πn, n ∈Z

3) günah 2 2x – 6 sin2x cos2x + 5cos 2 2x = 0.

Çünkü cos 2 2x ≠ 0, bu durumda 3tg 2 2x – 6tg2x +5 = 0

Yenisiyle değiştirme: tg2x = y.

3 yıl 2 – 6 yıl + 5 = 0

D = 36 – 20 = 16

y 1 = 5 veya y 2 = 1

tg2x = 5 veya tg2x = 1

2х = arktan5 + πn, n ∈Z

x = 1/2 arktan5 + π/2 n, n ∈Z

2х = arktan1 + πn, n ∈Z

x = π/8 + π/2 n, n ∈Z

4) 6sin 2 x + 4 sin(π-x) cos(2π-x) = 1.

6sin 2 x + 4 sinx cosx = 1.

6sin 2 x + 4 sinx cosx – sin 2 x – cos 2 x = 0.

5sin 2 x + 4 sinx cosx – çünkü 2 x = 0.

Çünkü cos 2 x ≠0, bu durumda 5tg 2 x + 4 tgx –1 = 0

Yenisiyle değiştirme: tg x = y.

5у 2 + 4у – 1 = 0

D = 16 + 20 = 36

y 1 = 1/5 veya y 2 = –1

tg x = 1/5 veya tg x = –1

x = arktan1/5 + πn, n ∈Z

x = arktan(–1) + πn, n ∈Z

x = –π/4 + πn, n ∈Z

Ek olarak (kartta):

Denklemi çözün ve önerilen dört seçenekten birini seçerek indirgeme formüllerini türeten matematikçinin adını tahmin edin:

2sin 2 x – 3 sinx cosx – 5cos 2 x = 0.

Olası cevaplar:

x = arktan2 + 2πn, n ∈Z x = –π/2 + πn, n ∈Z – P. Chebyshev

x = arktan 12,5 + 2πn, n ∈Z x = –3π/4 + πn, n ∈Z – Öklid

x = arktan 5 + πn, n ∈Z x = –π/3 + πn, n ∈Z – Sofya Kovalevskaya

x = arctan2,5 + πn, n ∈Z x = –π/4 + πn, n ∈Z – Leonhard Euler

Doğru cevap: Leonhard Euler.

7. Farklılaştırılmış bağımsız çalışma (8 dk.)

Büyük matematikçi ve filozof, 2500 yıldan fazla bir süre önce, düşünme yeteneklerini geliştirmenin bir yolunu önerdi. "Düşünmek merakla başlar" dedi. Bugün bu sözlerin doğru olduğunu defalarca gördük. 2 seçenek üzerinde bağımsız çalışmayı tamamladıktan sonra, materyale nasıl hakim olduğunuzu gösterebilecek ve bu matematikçinin adını öğrenebileceksiniz. Bağımsız çalışma için masanızdaki broşürleri kullanın. Önerilen üç denklemden birini kendiniz seçebilirsiniz. Ancak şunu unutmayın: karşılık gelen denklemi çözerek sarı renk, yalnızca yeşil renge - "4", kırmızı renge - "5" karşılık gelen denklemi çözerek "3" elde edebilirsiniz. (Ek 3)

Öğrenciler hangi zorluk seviyesini seçerse seçsin, doğru karar Denklemin ilk versiyonu “ARIST” kelimesini, ikincisi ise “OTEL” kelimesini üretir. Slayttaki kelime: “ARIST-HOTEL.” (slayt 11)

Şununla ayrılır: bağımsız çalışma Doğrulama için gönderilir. (Ek 4)

8. Ödevi kaydetme (1 dk)

D/z: §7.17. Birinci dereceden 2 homojen denklemi ve ikinci dereceden 1 homojen denklemi oluşturun ve çözün (oluşturmak için Vieta teoremini kullanın). (slayt 12)

9. Dersin özetlenmesi, not verilmesi (2 dakika)

Öğretmen sınıfta hatırlanan bu tür denklemlere ve teorik gerçeklere bir kez daha dikkat çeker ve bunların öğrenilmesinin gerekliliğinden bahseder.

Öğrenciler şu soruları yanıtlıyor:

Ne tür trigonometrik denklemlere aşinayız?
Bu denklemler nasıl çözülür?

Öğretmen en çok not alır başarılı çalışma Bireysel öğrencilere derste not verir.

Bu, bu çizgi ile onun belirli bir düzleme izdüşümü arasındaki açıyı bulmak anlamına gelir.

Görevi gösteren mekansal bir model şekilde sunulmaktadır.

Sorun çözüm planı:
1. Nereden keyfi nokta A∈A düzleme dik olanı indirin α ;
2. Bu dikmenin düzlemle buluşma noktasını belirleyin α . Nokta bir α - ortografik projeksiyon A uçağa α ;
3. Doğrunun kesişme noktasını bulun A uçakla α . Nokta bir α- düz yol A uçakta α ;
4. Gerçekleştiriyoruz ( bir α bir α) - düz bir çizginin izdüşümü A uçağa α ;
5. Gerçek değeri ∠ belirleyin Aa α Bir α, yani ∠ φ .

Sorun çözümü bir doğru ile bir düzlem arasındaki açıyı bulun∠'ı tanımlamazsak büyük ölçüde basitleştirilebilir φ düz bir çizgi ile bir düzlem arasında ve 90° ∠'nin tamamlayıcısı γ . Bu durumda noktanın izdüşümünü belirlemeye gerek yoktur. A ve düz çizgi projeksiyonları A uçağa α . Büyüklüğünü bilmek γ , aşağıdaki formülle hesaplanır:

$ φ = 90° - γ $

A ve uçak α paralel çizgilerle tanımlanan M Ve N.

A α
Yatay etrafında dönen puanlarla verilir 5 ve 6'da gerçek boyutu ∠ belirliyoruz γ . Büyüklüğünü bilmek γ , aşağıdaki formülle hesaplanır:

$ φ = 90° - γ $

Düz bir çizgi arasındaki açının belirlenmesi A ve uçak α , bir üçgen tarafından verilen BCD.

Bir çizgi üzerinde rastgele bir noktadan A düzleme dik olanı indirin α
3 ve 4 numaralı noktalarla belirtilen yatay çizgi etrafında dönerek doğal boyutu ∠ belirleriz γ . Büyüklüğünü bilmek γ formülünü kullanarak hesaplıyoruz.