Bu materyal çerçevesinde bu tür konulara değineceğiz. önemli konu eklemeyi beğen negatif sayılar. İlk paragrafta size bu eylemin temel kuralını anlatacağız, ikincisinde ise analiz edeceğiz. spesifik örnekler benzer sorunları çözmek.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Doğal sayıları toplamanın temel kuralı
Kuralı türetmeden önce pozitif ve negatif sayılar hakkında genel olarak bildiklerimizi hatırlayalım. Daha önce negatif sayıların borç, kayıp olarak algılanması gerektiği konusunda anlaşmıştık. Negatif bir sayının modülü ifade eder kesin boyutlar bu kayıp. O zaman negatif sayıların toplamı iki kaybın toplamı olarak gösterilebilir.
Bu mantığı kullanarak negatif sayıları toplamanın temel kuralını formüle ediyoruz.
Tanım 1
Tamamlamak için negatif sayılar ekleme, modüllerinin değerlerini toplamanız ve sonucun önüne bir eksi koymanız gerekir. Kelimenin tam anlamıyla formül şuna benzer: (− a) + (− b) = − (a + b) .
Bu kurala dayanarak, negatif sayıların eklenmesinin pozitif sayıların eklenmesine benzer olduğu sonucuna varabiliriz, ancak sonunda negatif bir sayı elde etmeliyiz çünkü modüllerin toplamının önüne bir eksi işareti koymalıyız.
Bu kural için hangi kanıtlar sunulabilir? Bunu yapmak için, gerçek sayılarla (veya tam sayılarla veya rasyonel sayılarla - bunlar tüm bu sayı türleri için aynıdır) işlemlerin temel özelliklerini hatırlamamız gerekir. Bunu kanıtlamak için (− a) + (− b) = − (a + b) eşitliğinin sol ve sağ tarafları arasındaki farkın 0'a eşit olacağını göstermemiz yeterli.
Bir sayıyı diğerinden çıkarmak, aynı zıt sayıyı ona eklemekle aynıdır. Bu nedenle, (− a) + (− b) − (− (a + b)) = (− a) + (− b) + (a + b) . Toplamalı sayısal ifadelerin iki ana özelliğe sahip olduğunu hatırlayın: ilişkisel ve değişmeli. O zaman (− a) + (− b) + (a + b) = (− a + a) + (− b + b) olduğu sonucuna varabiliriz. Zıt sayıları topladığımızda her zaman 0 elde ettiğimiz için (− a + a) + (− b + b) = 0 + 0 ve 0 + 0 = 0 olur. Eşitliğimiz kanıtlanmış sayılabilir, bu da şu kural anlamına gelir: Negatif sayıların eklenmesini de kanıtladık.
İkinci paragrafta ele alacağız belirli görevler Negatif sayıları eklemeniz gereken yere ve öğrenilen kuralı onlara uygulamaya çalışalım.
Örnek 1
İki negatif sayının - 304 ve - 18.007 - toplamını bulun.
Çözüm
Adımları adım adım gerçekleştirelim. Öncelikle eklenen sayıların modüllerini bulmamız gerekiyor: - 304 = 304, - 180007 = 180007. Daha sonra sütun sayma yöntemini kullandığımız toplama işlemini gerçekleştirmemiz gerekiyor:
Geriye kalan tek şey sonucun önüne bir eksi koyup - 18.311 elde etmek.
Cevap: - - 18 311 .
Hangi sayılara sahip olduğumuz, toplama eylemini neye indirgeyebileceğimize bağlıdır: toplamı bulma doğal sayılar, sıradan veya eklenmesiyle ondalık sayılar. Sorunu bu sayılarla analiz edelim.
Örnek N
İki negatif sayının toplamını bulun - 2 5 ve − 4, (12).
Çözüm
Gerekli sayıların modüllerini bulup 2 5 ve 4, (12) elde ediyoruz. İki tane var farklı kesirler. Sorunu iki eklemeye indirgeyelim sıradan kesirler, neden hayal edelim periyodik kesir sıradan bir formda:
4 , (12) = 4 + (0 , 12 + 0 , 0012 + . . .) = 4 + 0 , 12 1 - 0 , 01 = 4 + 0 , 12 0 , 99 = 4 + 12 99 = 4 + 4 33 = 136 33
Sonuç olarak, ilk orijinal terimle eklenmesi kolay olacak bir kesir aldık (eğer kesirleri doğru şekilde nasıl ekleyeceğinizi unuttuysanız) farklı paydalar, ilgili materyali tekrarlayın).
2 5 + 136 33 = 2 33 5 33 + 136 5 33 5 = 66 165 + 680 165 = 764 165 = 4 86 105
Sonunda elimizde karışık sayı, önüne sadece bir eksi koymamız gerekiyor. Bu hesaplamaları tamamlar.
Cevap: - 4 86 105 .
Gerçek negatif sayılar da benzer şekilde toplanır. Böyle bir eylemin sonucu genellikle yazılır sayısal ifade. Değeri hesaplanamaz veya yaklaşık hesaplamalarla sınırlandırılamaz. Yani örneğin - 3 + (− 5) toplamını bulmamız gerekiyorsa cevabı - 3 − 5 olarak yazarız. Ek gerçek sayılar Başka örnekler bulabileceğiniz ayrı bir materyal ayırdık.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Bu yazımızda bunun nasıl yapıldığına bakacağız negatif sayıları çıkarma keyfi sayılardan. Burada negatif sayılarda çıkarma işlemine ilişkin bir kural vereceğiz ve bu kuralın uygulanmasına ilişkin örnekleri ele alacağız.
Sayfada gezinme.
Negatif sayılarda çıkarma kuralı
Aşağıdakiler meydana gelir Negatif sayılarda çıkarma kuralı: Bir sayıdan negatif bir b sayısını çıkarmak için, eksilen a'ya, çıkan b'nin karşısındaki −b sayısını eklemeniz gerekir.
Kelimenin tam anlamıyla, negatif bir b sayısını çıkarma kuralı herhangi bir sayı bir şuna benziyor: a−b=a+(−b) .
Sayıları çıkarma konusunda bu kuralın geçerliliğini kanıtlayalım.
Öncelikle a ve b sayılarını çıkarmanın anlamını hatırlayalım. A ve b sayıları arasındaki farkı bulmak, b sayısıyla toplamı a'ya eşit olan bir c sayısını bulmak anlamına gelir (çıkarma ve toplama arasındaki bağlantıya bakın). Yani, c+b=a olacak şekilde bir c sayısı bulunursa a−b farkı c'ye eşit olur.
Dolayısıyla, belirtilen çıkarma kuralını kanıtlamak için, b sayısının a+(−b) toplamına eklenmesinin a sayısını vereceğini göstermek yeterlidir. Bunu göstermek için şuraya dönelim: Gerçek sayılarla işlemlerin özellikleri. yürürlükte ilişkisel özellikler ve toplama doğrudur: (a+(−b))+b=a+((−b)+b) . Zıt sayıların toplamı sıfıra eşit olduğundan a+((−b)+b)=a+0 olur ve a+0'ın toplamı a'ya eşittir, çünkü sıfır eklemek sayıyı değiştirmez. Böylece a−b=a+(−b) eşitliği kanıtlanmış oldu, yani negatif sayıları çıkarma kuralının geçerliliği de kanıtlanmış oldu.
Bu kuralı a ve b reel sayıları için kanıtladık. Ancak bu kural herhangi bir a ve b rasyonel sayısı için ve ayrıca herhangi bir a ve b tamsayısı için de geçerlidir, çünkü rasyonel ve tamsayılarla yapılan eylemler de ispatta kullandığımız özelliklere sahiptir. Analiz edilen kuralı kullanarak negatif bir sayıyı hem pozitif bir sayıdan, hem negatif bir sayıdan hem de sıfırdan çıkarabileceğinizi unutmayın.
Geriye, ayrıştırılmış kural kullanılarak negatif sayıların çıkarılmasının nasıl gerçekleştirileceği dikkate alınacaktır.
Negatif sayıları çıkarma örnekleri
düşünelim Negatif Sayılarda Çıkarma Örnekleri. Çözümle başlayalım basit örnek, hesaplamalarla uğraşmadan sürecin tüm inceliklerini anlamak.
Örnek.
Negatif sayı −7'yi negatif sayı −13'ten çıkarın.
Çözüm.
-7 çıkarmanın karşısındaki sayı 7 sayısıdır. O zaman negatif sayıları çıkarma kuralına göre (−13)−(−7)=(−13)+7 elde ederiz. Geriye farklı işaretli sayıları toplamaya devam ediyor, (−13)+7=−(13−7)=−6 elde ediyoruz.
İşte çözümün tamamı: (−13)−(−7)=(−13)+7=−(13−7)=−6 .
Cevap:
(−13)−(−7)=−6 .
Negatif kesirlerin çıkarılması, karşılık gelen kesirlere, karışık sayılara veya ondalık sayılara dönüştürülerek gerçekleştirilebilir. Burada hangi sayılarla çalışmanın daha uygun olduğu ile başlamaya değer.
Örnek.
3,4'ten negatif bir sayı çıkarın.
Çözüm.
Negatif sayılarda çıkarma kuralını uygulayarak, 
. Şimdi 3,4 ondalık kesirini karışık bir sayıyla değiştirin: 
(ondalık kesirlerin sıradan kesirlere dönüştürülmesine bakın), şunu elde ederiz: 
. Geriye karışık sayıların eklenmesini gerçekleştirmek kalıyor: .
Bu, negatif bir sayının 3,4'ten çıkarılmasını tamamlar. İşte çözümün kısa bir özeti: .
Cevap:
.
Örnek.
Negatif sayı −0.(326)'yı sıfırdan çıkarın.
Çözüm.
Negatif sayıları çıkarma kuralına göre elimizdeki 0−(−0,(326))=0+0,(326)=0,(326) . Son geçiş, sayının sıfırla eklenmesi özelliğinden dolayı geçerlidir.
Basit bir örnekle başlayalım. 2-5 ifadesinin neye eşit olduğunu belirleyelim. +2 noktasından itibaren ikisi sıfıra ve üçü sıfırın altına olmak üzere beş bölüm koyacağız. -3 noktasında duralım. Yani 2-5=-3. Şimdi 2-5'in hiçbir şekilde 5-2'ye eşit olmadığına dikkat edin. Sayıların eklenmesi durumunda sıraları önemli değilse, çıkarma durumunda her şey farklıdır. Sayıların sırası önemlidir.
Şimdi gidelim negatif alan terazi. +5'i -2'ye eklememiz gerektiğini varsayalım. (Bundan sonra sayıların önündeki işaretleri toplama ve çıkarma işaretleriyle karıştırmamak için pozitif sayıların önüne "+" işaretini koyacağız ve hem pozitif hem de negatif sayıları parantez içine alacağız.) Artık problemimiz yazılabilir. (-2)+(+5) şeklindedir. Bunu çözmek için -2 noktasından beş bölüm yukarı çıkıp +3 noktasına ulaşıyoruz.
var mı pratik anlam? Elbette var. Diyelim ki 2$ borcunuz var ve 5$ kazandınız. Bu şekilde borcunuzu ödedikten sonra elinizde 3$ kalacaktır.
Ayrıca ölçeğin negatif alanını da aşağı doğru hareket ettirebilirsiniz. -2'den veya (-2)-(+5)'ten 5 çıkarmanız gerektiğini varsayalım. Ölçekteki -2 noktasından beş bölüm aşağıya inin ve -7 noktasına gelin. Bu görevin pratik anlamı nedir? Diyelim ki 2$ borcunuz var ve 5$ daha borç almak zorunda kaldınız. Borcunuz artık 7$ oldu.
Negatif sayılarla da aynı işlemi yapabileceğimizi görüyoruz. toplama ve çıkarma işlemleri olumlu olanlarda olduğu gibi.
Doğru, henüz tüm operasyonlara hakim değiliz. Negatif sayılara yalnızca ekleme yaptık ve negatif sayılardan yalnızca pozitif olanları çıkardık. Negatif sayıları toplamanız veya negatif sayıları negatif sayılardan çıkarmanız gerekirse ne yapmalısınız?
Uygulamada bu, borç işlemlerine benzer. Diyelim ki sizden 5 dolar borç alındı, bu, 5 dolar almış olmanızla aynı anlama geliyor. Öte yandan, sizi bir şekilde başka birinin 5 dolarlık borcunun sorumluluğunu üstlenmeye zorlarsam, bu, o 5 doları sizden almakla aynı şey olur. Yani -5'i çıkarmak +5 eklemekle aynı şeydir. Ve -5 eklemek +5 çıkarmakla aynı şeydir.
Bu da çıkarma işleminden kurtulmamızı sağlar. Aslında “5-2”, (+5)-(+2) ile aynıdır veya kuralımıza göre (+5)+(-2)'dir. Her iki durumda da aynı sonucu elde ederiz. Skalada +5 noktasından itibaren iki basamak aşağı inmemiz gerekiyor ve +3 elde ediyoruz. 5-2 durumunda bu açıktır, çünkü çıkarma işlemi aşağı doğru bir harekettir.
(+5)+(-2) durumunda bu daha az belirgindir. Bir sayı ekleriz, bu ölçeği yukarı taşıdığımız anlamına gelir, ancak negatif bir sayı ekleriz, bu da ölçeğin yukarı çıktığı anlamına gelir ters eylem ve bu iki faktör birlikte ele alındığında ölçeği yukarıya değil, daha yukarılara taşımamız gerektiği anlamına gelir. ters yön yani aşağı.
Böylece yine +3 cevabını alıyoruz.
Tam olarak neden gerekli? çıkarma işlemini toplama ile değiştirin? Neden “tam tersi anlamda” yukarı çıkalım? Aşağı inmek daha kolay değil mi? Bunun nedeni, toplama durumunda terimlerin sırasının önemli olmaması, çıkarma durumunda ise çok önemli olmasıdır.
(+5)-(+2)'nin (+2)-(+5) ile hiçbir şekilde aynı olmadığını daha önce öğrenmiştik. İlk durumda cevap +3, ikincisinde ise -3'tür. (-2)+(+5) ve (+5)+(-2) ise +3 sonucunu verir. Böylece toplama ve çıkarma işlemlerini bırakarak, toplamaların yeniden düzenlenmesinden kaynaklanan rastgele hataları önleyebiliriz.
Bir negatifi çıkarırken de aynısını yapabilirsiniz. (+5)-(-2), (+5)+(+2) ile aynıdır. Her iki durumda da +7 cevabını alıyoruz. +5 noktasından başlayıp “ters yönde aşağı” yani yukarı doğru hareket ediyoruz. (+5)+(+2) ifadesini çözerken de aynı şekilde hareket edeceğiz.
Öğrenciler cebir çalışmalarına başladıklarında çıkarma işlemini toplama işlemiyle değiştirmeyi aktif olarak kullanırlar ve bu nedenle bu işleme denir. « cebirsel toplama» . Aslında bu tamamen adil değildir, çünkü böyle bir işlem açıkça aritmetiktir ve hiç de cebirsel değildir.
Bu bilgi herkes için değişmez, dolayısıyla Avusturya'da www.salls.ru aracılığıyla eğitim alsanız bile, yurtdışında eğitime daha fazla değer verilmesine rağmen, bu kuralları orada da uygulayabileceksiniz.
Bu yazıda bunun hakkında konuşacağız negatif sayılar ekleme. Öncelikle negatif sayıların toplanması kuralını verip ispatlıyoruz. Ondan sonra hallederiz tipik örnekler Negatif sayıların eklenmesi.
Sayfada gezinme.
Negatif sayıların eklenmesi kuralını formüle etmeden önce makaledeki materyale dönelim: pozitif ve negatif sayılar. Negatif sayıların borç olarak algılanabileceğini ve bu durumda sayının modülünün bu borcun miktarını belirlediğini belirtmiştik. Dolayısıyla iki negatif sayının toplamı iki borcun toplamıdır.
Bu sonuç anlamamızı sağlar Negatif sayıları toplama kuralı. İki negatif sayıyı eklemek için şunlara ihtiyacınız vardır:
- modüllerini katlayın;
- alınan tutarın önüne eksi işareti koyun.
−a ve −b negatif sayılarını toplama kuralını harf biçiminde yazalım: (−a)+(−b)=−(a+b) .
Belirtilen kuralın negatif sayıların toplamını pozitif sayıların toplamına indirgediği açıktır (negatif bir sayının modülü pozitif bir sayıdır). Modüllerin toplamının önüne yerleştirilen eksi işaretinden de anlaşılacağı üzere, iki negatif sayının toplamının sonucunun negatif bir sayı olduğu da açıktır.
Negatif sayıları toplama kuralı şu şekilde kanıtlanabilir: Gerçek sayılarla işlemlerin özellikleri(veya rasyonel veya tamsayı sayılarla yapılan işlemlerin aynı özellikleri). Bunu yapmak için (−a)+(−b)=−(a+b) eşitliğinin sol ve sağ tarafları arasındaki farkın sıfıra eşit olduğunu göstermek yeterlidir.
Bir sayıyı çıkarmak, karşıt sayıyı eklemekle aynı şey olduğundan (tam sayılarda çıkarma kuralına bakın), bu durumda (−a)+(−b)−(−(a+b))=(−a)+(−b) +(a+b) . Toplamanın değişmeli ve birleştirici özelliklerinden dolayı, (−a)+(−b)+(a+b)=(−a+a)+(−b+b) elde ederiz. Karşıt sayıların toplamı sıfıra eşit olduğundan, bir sayının sıfırla toplanması özelliğinden dolayı (−a+a)+(−b+b)=0+0 ve 0+0=0 olur. Bu, (−a)+(−b)=−(a+b) eşitliğini ve dolayısıyla negatif sayıları toplama kuralını kanıtlar.
Dolayısıyla bu toplama kuralı hem negatif tam sayılar hem de rasyonel sayılar için geçerli olduğu gibi reel sayılar için de geçerlidir.
Geriye kalan tek şey, bir sonraki paragrafta yapacağımız negatif sayıları toplama kuralının pratikte nasıl uygulanacağını öğrenmek.
Negatif sayıların eklenmesine örnekler
Hadi halledelim Negatif sayıları toplama örnekleri. En baştan başlayalım basit durum– Negatif tam sayıların toplanması; önceki paragrafta tartışılan kurala göre toplama işlemi gerçekleştirilecektir.
−304 ve −18,007 negatif sayılarını ekleyin.
Negatif sayıları toplama kuralının tüm adımlarını izleyelim.
İlk önce eklenen sayıların modüllerini buluyoruz: ve 
. Şimdi ortaya çıkan sayıları buraya eklemeniz gerekiyor; sütun ekleme işlemi yapmak uygundur: 
Şimdi ortaya çıkan sayının önüne eksi işareti koyuyoruz, sonuç olarak -18,311 elde ediyoruz.
Çözümün tamamını yazalım kısa biçim: (−304)+(−18 007)= −(304+18 007)=−18 311 .
Negatifin eklenmesi rasyonel sayılar sayıların kendisine bağlı olarak, doğal sayıların eklenmesine, sıradan kesirlerin eklenmesine veya ondalık kesirlerin eklenmesine indirgenebilir.
Negatif bir sayı ve negatif bir sayı −4,(12) ekleyin.
Negatif sayıların eklenmesi kuralına göre öncelikle modüllerin toplamını hesaplamanız gerekir. Toplanan negatif sayıların modülleri sırasıyla 2/5 ve 4'e (12) eşittir. Ortaya çıkan sayıların eklenmesi, sıradan kesirlerin eklenmesine indirgenebilir. Bunu yapmak için periyodik ondalık kesri sıradan bir kesire dönüştürüyoruz: . Böylece 2/5+4,(12)=2/5+136/33 olur. Şimdi farklı paydalara sahip kesirlerin toplama işlemini gerçekleştirelim: .
Geriye kalan tek şey, ortaya çıkan sayının önüne bir eksi işareti koymaktır: . Bu, orijinal negatif sayıların eklenmesini tamamlar.
Negatif sayıların toplanmasında aynı kural kullanıldığında, negatif gerçek sayılar da eklenir. Burada, gerçek sayıların eklenmesi sonucunun çoğunlukla sayısal bir ifade biçiminde yazıldığını ve bu ifadenin değerinin yaklaşık olarak ve daha sonra yalnızca gerekirse hesaplandığını belirtmekte fayda var.
Örneğin toplamı bulalım negatif sayılar ve −5. Bu sayıların modülleri eşittir karekök sırasıyla üç ve beştir ve orijinal sayıların toplamı . Cevap bu şekilde yazılmıştır. Diğer örnekleri makalede bulabilirsiniz gerçek sayıların eklenmesi.
www.cleverstudents.ru
İki negatif sayının eklenmesi kuralı
Negatif ve pozitif sayılarla yapılan işlemler
Mutlak değer (modül). Ek.
Çıkarma. Çarpma. Bölüm.
Mutlak değer (modül). İçin negatif sayı– işareti “–”den “+”ya değiştirilerek elde edilen pozitif bir sayıdır; İçin pozitif sayı ve sıfır– bu sayının kendisidir. Bir sayının mutlak değerini (modülünü) belirtmek için bu sayının içine yazıldığı iki düz çizgi kullanılır.
ÖRNEKLER: | – 5 | = 5, | 7 | = 7, | 0 | = 0.
1) iki sayıyı toplarken aynı işaretler katlamak
mutlak değerleri ve toplamın önüne ortak bir işaret konur.
2) iki sayıyı toplarken farklı işaretler onların mutlak
miktarlar çıkarılır (büyükten küçüğe) ve işaret konur
Mutlak değeri daha büyük olan sayılar.
Çıkarma. İki sayının çıkarılmasını, eksinin işaretini koruduğu ve çıkanın zıt işaretle alındığı toplama ile değiştirebilirsiniz.
(+ 8) – (+ 5) = (+ 8) + (– 5) = 3;
(+ 8) – (– 5) = (+ 8) + (+ 5) = 13;
(– 8) – (– 5) = (– 8) + (+ 5) = – 3;
(– 8) – (+ 5) = (– 8) + (– 5) = – 13;
Çarpma. İki sayı çarpılırken mutlak değerleri çarpılır ve çarpanların işaretleri aynı ise çarpım “+”, çarpanların işaretleri farklı ise “-” işaretini alır.
Aşağıdaki diyagram faydalıdır ( çarpma işareti kuralları):
Birkaç sayıyı (iki veya daha fazla) çarparken, negatif faktörlerin sayısı çift ise çarpımın "+" işareti, sayıları tek ise "-" işareti vardır.
Bölüm. İki sayıyı bölerken bölünen payın mutlak değeri şuna bölünür: mutlak değer Bölen ve bölenin işaretleri aynı ise bölüm “+” işaretini, bölenin ve bölenin işaretleri farklı ise “-” işaretini alır.
Burada harekete geçin aynısı işaret kuralları çarpma işlemiyle aynıdır:
Negatif Sayılar Ekleme
Pozitif ve negatif sayıların eklenmesi sayı ekseni kullanılarak ayrıştırılabilir.
Koordinat çizgisi kullanarak sayı ekleme
Sayıyı belirten noktanın sayı ekseni boyunca nasıl hareket ettiğini zihinsel olarak hayal ederek, bir koordinat çizgisine küçük modülo sayılarının eklenmesini gerçekleştirmek uygundur.
Bir sayı alalım, örneğin 3. Sayı ekseninde “A” noktasıyla gösterelim.
Sayıya pozitif sayı olan 2'yi ekleyelim. Bu, “A” noktasının pozitif yönde, yani sağa doğru iki birim parça hareket ettirilmesi gerektiği anlamına gelecektir. Sonuç olarak koordinat 5 ile "B" noktasını elde ederiz.
Negatif “−5” sayısını pozitif bir sayıya, örneğin 3’e eklemek için, “A” noktasının negatif yönde yani sola 5 birim kaydırılması gerekir.
Bu durumda “B” noktasının koordinatı “2”ye eşit olur.
Dolayısıyla sayı doğrusu kullanılarak rasyonel sayıların toplanma sırası şu şekilde olacaktır:
- 2 noktasından sola doğru hareket edersek (6'nın önünde eksi işareti olduğundan), - 8 elde ederiz.
Aynı işaretli sayıların toplanması
Modül kavramını kullanırsanız rasyonel sayıları eklemek daha kolay olabilir.
İşaretleri aynı olan sayıları toplamamız gerekiyor.
Bunu yapmak için sayıların işaretlerini atıp bu sayıların modüllerini alıyoruz. Modülleri toplayalım ve bu sayıların ortak toplamının önüne işaret koyalım.
Negatif sayıların eklenmesine bir örnek.
Aynı işarete sahip sayıları toplamak için, bunların modüllerini eklemeniz ve toplamın önüne, terimlerden önceki işareti koymanız gerekir.
Farklı işaretli sayıların toplanması
Sayıların farklı işaretleri varsa, aynı işaretli sayıları toplarken olduğundan biraz farklı davranırız.
Negatif ve pozitif bir sayının eklenmesi örneği.
Karışık sayıların eklenmesine bir örnek.
İle farklı işaretlerin sayısını ekleyin gerekli:
- küçük modülü büyük modülden çıkarın;
- Ortaya çıkan farkın önüne, modülü daha büyük olan sayının işaretini koyun.
- modüllerinin eklenmesini gerçekleştirin;
- Alınan miktara “-” işareti ekleyin.
- sayıların modüllerini hesaplamak;
- ortaya çıkan sayıları karşılaştırın:
- küçük olanı büyük modülden çıkarın;
- Ortaya çıkan değerin önüne modülü daha büyük olan sayının işaretini koyun.
Pozitif ve negatif sayıları toplama ve çıkarma
Açık olmayan bir şey var mı?
Öğretmenlerinizden yardım istemeyi deneyin
Negatif sayıları toplama kuralı
İki negatif sayıyı eklemek için ihtiyacınız olan:
Toplama kuralına göre şunu yazabiliriz:
Negatif sayıları toplama kuralı negatif tam sayılara, rasyonel sayılara ve gerçek sayılara uygulanır.
Negatif sayıları $−185$ ve $−23\789.$ ekleyin
Negatif sayıları toplama kuralını kullanalım.
Ortaya çıkan sayıları toplayalım:
$185+23 \ 789=23 \ 974$.
Bulunan sayının önüne $“–”$ işaretini koyun ve $−23,974$ alın.
Kısa çözüm: $(−185)+(−23\789)=−(185+23\789)=−23\974$.
Negatif rasyonel sayılar toplanırken doğal sayılara, sıradan veya ondalık kesirlere dönüştürülmeleri gerekir.
Negatif sayıları $-\frac $ ve $−7,15$ ekleyin.
Negatif sayıların eklenmesi kuralına göre önce modüllerin toplamını bulmanız gerekir:
Elde edilen değerleri ondalık kesirlere indirgemek ve eklemelerini yapmak uygundur:
Ortaya çıkan değerin önüne $“–”$ işaretini koyalım ve $–7.4$ elde edelim.
Çözümün kısa özeti:
Zıt işaretli sayıların toplanması
Sayıları ekleme kuralı zıt işaretler:
eğer eşitlerse, orijinal sayılar zıttır ve toplamları sıfırdır;
eşit değillerse modülü daha büyük olan sayının işaretini hatırlamanız gerekir;
Zıt işaretli sayıların toplanması, daha büyük bir pozitif sayıdan daha küçük bir negatif sayının çıkarılması anlamına gelir.
Zıt işaretli sayıları toplama kuralı tamsayılar, rasyonel sayılar ve gerçel sayılar için geçerlidir.
$4$ ve $−8$ sayılarını ekleyin.
Zıt işaretli sayıları eklemeniz gerekir. İlgili toplama kuralını kullanalım.
Bu sayıların modüllerini bulalım:
$−8$ sayısının modülü $4$ sayısının modülünden daha büyüktür, yani. $“–”$ işaretini unutmayın.
Ortaya çıkan sayının önüne hatırladığımız $“–”$ işaretini koyalım ve $−4.$ elde edelim.
Okumak için çok tembel misiniz?
Uzmanlara soru sorun ve bilgi alın
15 dakika içinde yanıt!
Zıt işaretli rasyonel sayıları toplamak için bunları sıradan veya ondalık kesirler biçiminde göstermek uygundur.
Negatif Sayılarla Çıkarma
Negatif sayılarda çıkarma kuralı:
Negatif bir $b$ sayısını $a$ sayısından çıkarmak için, $−b$ sayısını eksilen $a$'a eklemek gerekir; bu, $b$ çıkarmanın tersidir.
Çıkarma kuralına göre şunu yazabiliriz:
Bu kural tamsayılar, rasyonel sayılar ve reel sayılar için geçerlidir. Kural, negatif bir sayıyı pozitif bir sayıdan, negatif bir sayıdan ve sıfırdan çıkarmak için kullanılabilir.
Negatif sayıyı $−5$ negatif sayıdan $−28$ çıkarın.
$–5$ sayısının karşıt sayısı $5$ sayısıdır.
Negatif sayıları çıkarma kuralına göre şunu elde ederiz:
Zıt işaretli sayıları toplayalım:
Kısa çözüm: $(−28)−(−5)=(−28)+5=−(28−5)=−23$.
Negatifi çıkarırken kesirli sayılar Sayıları sıradan kesirler, karışık sayılar veya ondalık sayılar biçimine dönüştürmek gerekir.
Zıt işaretli sayıların çıkarılması
Zıt işaretli sayıların çıkarılması kuralı, negatif sayıların çıkarılması kuralıyla aynıdır.
$7$ pozitif sayısını negatif sayıdan $−11$ çıkarın.
$7$'ın tersi $–7$'dır.
Zıt işaretli sayıları çıkarma kuralına göre şunu elde ederiz:
Negatif sayıları toplayalım:
Zıt işaretli kesirli sayıları çıkarırken, sayıları sıradan veya ondalık kesir biçimine dönüştürmek gerekir.
Cevabı asla bulamadım
sorunuza mı?
İhtiyacınız olanı yazmanız yeterli
yardıma ihtiyacım var
Negatif sayıların eklenmesi: kural, örnekler
Bu materyalde negatif sayıların toplanması gibi önemli bir konuya değineceğiz. İlk paragrafta size bu eylemin temel kuralını anlatacağız ve ikincisinde bu tür sorunları çözmenin belirli örneklerini analiz edeceğiz.
Doğal sayıları toplamanın temel kuralı
Kuralı türetmeden önce pozitif ve negatif sayılar hakkında genel olarak bildiklerimizi hatırlayalım. Daha önce negatif sayıların borç, kayıp olarak algılanması gerektiği konusunda anlaşmıştık. Negatif bir sayının modülü bu kaybın tam boyutunu ifade eder. O zaman negatif sayıların toplamı iki kaybın toplamı olarak gösterilebilir.
Bu mantığı kullanarak negatif sayıları toplamanın temel kuralını formüle ediyoruz.
Tamamlamak için negatif sayılar ekleme, modüllerinin değerlerini toplamanız ve sonucun önüne bir eksi koymanız gerekir. Kelimenin tam anlamıyla formül şuna benzer: (− a) + (− b) = − (a + b) .
Bu kurala dayanarak, negatif sayıların eklenmesinin pozitif sayıların eklenmesine benzer olduğu sonucuna varabiliriz, ancak sonunda negatif bir sayı elde etmeliyiz çünkü modüllerin toplamının önüne bir eksi işareti koymalıyız.
Bu kural için hangi kanıtlar sunulabilir? Bunu yapmak için, gerçek sayılarla (veya tam sayılarla veya rasyonel sayılarla - bunlar tüm bu sayı türleri için aynıdır) işlemlerin temel özelliklerini hatırlamamız gerekir. Bunu kanıtlamak için (− a) + (− b) = − (a + b) eşitliğinin sol ve sağ tarafları arasındaki farkın 0'a eşit olacağını göstermemiz yeterli.
Bir sayıyı diğerinden çıkarmak, aynı zıt sayıyı ona eklemekle aynıdır. Bu nedenle, (− a) + (− b) − (− (a + b)) = (− a) + (− b) + (a + b) . Toplamalı sayısal ifadelerin iki ana özelliğe sahip olduğunu hatırlayın: ilişkisel ve değişmeli. O zaman (− a) + (− b) + (a + b) = (− a + a) + (− b + b) olduğu sonucuna varabiliriz. Zıt sayıları topladığımızda her zaman 0 elde ettiğimiz için (− a + a) + (− b + b) = 0 + 0 ve 0 + 0 = 0 olur. Eşitliğimiz kanıtlanmış sayılabilir, bu da şu kural anlamına gelir: Negatif sayıların eklenmesini de kanıtladık.
Negatif sayıların eklenmesiyle ilgili sorunlar
İkinci paragrafta, negatif sayıları toplamamız gereken belirli problemleri ele alacağız ve öğrenilen kuralı onlara uygulamaya çalışacağız.
İki negatif sayının - 304 ve - 18.007 - toplamını bulun.
Çözüm
Adımları adım adım gerçekleştirelim. Öncelikle eklenen sayıların modüllerini bulmamız gerekiyor: - 304 = 304, - 180007 = 180007. Daha sonra sütun sayma yöntemini kullandığımız toplama işlemini gerçekleştirmemiz gerekiyor:
Geriye kalan tek şey sonucun önüne bir eksi koyup - 18.311 elde etmek.
Cevap: — — 18 311 .
Hangi sayılara sahip olduğumuza, toplama eylemini neye indirgeyebileceğimize bağlıdır: doğal sayıların toplamını bulmak, sıradan veya ondalık kesirleri eklemek. Sorunu bu sayılarla analiz edelim.
İki negatif sayının toplamını bulun - 2 5 ve − 4, (12).
Gerekli sayıların modüllerini bulup 2 5 ve 4, (12) elde ediyoruz. İki farklı kesirimiz var. Sorunu, periyodik kesri sıradan bir kesir biçiminde temsil ettiğimiz iki sıradan kesirin eklenmesine indirgeyelim:
4 , (12) = 4 + (0 , 12 + 0 , 0012 + . . .) = 4 + 0 , 12 1 — 0 , 01 = 4 + 0 , 12 0 , 99 = 4 + 12 99 = 4 + 4 33 = 136 33
Sonuç olarak, ilk orijinal terimle eklenmesi kolay olacak bir kesir elde ettik (farklı paydalarla kesirlerin doğru şekilde nasıl ekleneceğini unuttuysanız, ilgili materyali tekrarlayın).
2 5 + 136 33 = 2 33 5 33 + 136 5 33 5 = 66 165 + 680 165 = 764 165 = 4 86 105
Sonuç olarak, önüne yalnızca eksi koymamız gereken karışık bir sayı elde ettik. Bu hesaplamaları tamamlar.
Cevap: — 4 86 105 .
Gerçek negatif sayılar da benzer şekilde toplanır. Böyle bir eylemin sonucu genellikle sayısal bir ifade olarak yazılır. Değeri hesaplanamaz veya yaklaşık hesaplamalarla sınırlandırılamaz. Yani örneğin - 3 + (− 5) toplamını bulmamız gerekiyorsa cevabı - 3 − 5 olarak yazarız. Gerçek sayıların toplanmasına başka örnekler bulabileceğiniz ayrı bir materyal ayırdık.
Negatif sayıların eklenmesi.
Negatif sayıların toplamı negatif bir sayıdır. Toplama modülü toplamına eşit terim modülleri.
Negatif sayıların toplamının da neden negatif sayı olacağını bulalım. Üzerine -3 ve -5 sayılarını ekleyeceğimiz koordinat çizgisi bu konuda bize yardımcı olacaktır. Koordinat doğrusu üzerinde -3 sayısına karşılık gelen bir noktayı işaretleyelim.
-3 sayısına -5 sayısını eklememiz gerekiyor. -3 sayısına karşılık gelen noktadan nereye gidiyoruz? Bu doğru, sol! 5 birim segment için. Bir noktayı işaretleyip ona karşılık gelen sayıyı yazıyoruz. Bu sayı -8'dir.
Yani koordinat doğrusunu kullanarak negatif sayılar toplarken her zaman orijinin solundayız, dolayısıyla negatif sayıların eklenmesi sonucunun da negatif bir sayı olacağı açıktır.
Not.-3 ve -5 rakamlarını ekledik, yani. -3+(-5) ifadesinin değerini buldu. Genellikle rasyonel sayıları eklerken sanki eklenmesi gereken tüm sayıları listeliyormuş gibi bu sayıları işaretleriyle birlikte yazarlar. Böyle bir kayıt denir cebirsel toplam. (Örneğimizde) şu girişi uygulayın: -3-5=-8.
Örnek. Negatif sayıların toplamını bulun: -23-42-54. (Bu girişin şu şekilde daha kısa ve daha kullanışlı olduğunu kabul ediyor musunuz: -23+(-42)+(-54))?
Haydi karar verelim Negatif sayıları toplama kuralına göre: 23+42+54=119 terimlerinin modüllerini topluyoruz. Sonuçta eksi işareti olacaktır.
Genellikle şu şekilde yazarlar: -23-42-54=-119.
Farklı işaretli sayıların eklenmesi.
Farklı işaretli iki sayının toplamı, mutlak değeri büyük bir terimin işaretine sahiptir. Bir toplamın modülünü bulmak için küçük modülü büyük modülden çıkarmanız gerekir..
Koordinat doğrusu kullanarak farklı işaretli sayıların toplama işlemini gerçekleştirelim.
1) -4+6. -4 sayısına 6 sayısını eklemeniz gerekiyor. Koordinat doğrusunda -4 sayısını nokta ile işaretleyelim. 6 sayısı pozitiftir yani koordinatı -4 olan noktadan itibaren 6 birim parça sağa gitmemiz gerekir. Kendimizi referans noktasının (sıfırdan itibaren) 2 birim segment sağında bulduk.
-4 ve 6 sayılarının toplamının sonucu pozitif sayı 2'dir:
- 4+6=2. 2 numarayı nasıl elde edebildin? 6'dan 4'ü çıkarın, yani küçük olanı büyük modülden çıkarın. Sonuç, modülü büyük olan terimle aynı işarete sahiptir.
2) Koordinat doğrusunu kullanarak -7+3'ü hesaplayalım. Noktayı işaretleyin sayıya karşılık gelen-7. 3 birim doğru sağa giderek koordinatı -4 olan bir nokta elde ediyoruz. Orjinin solundaydık ve öyle kalacağız: cevap negatif bir sayıdır.
— 7+3=-4. Bu sonucu şu şekilde elde edebiliriz: Büyük modülden küçük olanı çıkardık, yani. 7-3=4. Sonuç olarak, modülü daha büyük olan terimin işaretini koyduk: |-7|>|3|.
Örnekler. Hesaplamak: A) -4+5-9+2-6-3; B) -10-20+15-25.