Erdnigoryaeva Yat Limanı
Bu çalışma 8. sınıfta seçmeli olarak bir konunun işlenmesinin sonucudur. Grafiklerin geometrik dönüşümleri ve bunların modüllerle grafiklerin oluşturulmasına uygulanması burada gösterilmektedir. Modül kavramı ve özellikleri tanıtılmaktadır. Modüllerle grafiklerin çeşitli şekillerde nasıl oluşturulacağı gösterilmektedir: dönüşümler kullanılarak ve modül kavramına dayalı olarak Projenin konusu matematik dersindeki en zor konulardan biridir, seçmeli derslerde ele alınan konularla ilgilidir ve ileri matematik içeren sınıflarda okudu. Ancak bu tür görevler GIA'nın ikinci bölümünde Birleşik Devlet Sınavında verilmektedir. Bu çalışma, yalnızca doğrusal değil, aynı zamanda diğer işlevlerden (ikinci dereceden, ters orantılı vb.) oluşan modüllerle grafiklerin nasıl oluşturulacağını anlamanıza yardımcı olacaktır. Çalışma, Devlet Sınavına ve Birleşik Devlet Sınavına hazırlanmanıza yardımcı olacaktır.
İndirmek:
Önizleme:
Sunum önizlemelerini kullanmak için bir Google hesabı oluşturun ve bu hesaba giriş yapın: https://accounts.google.com
Slayt başlıkları:
Modüllü doğrusal fonksiyonun grafikleri Erdnigoryaeva Marina'nın çalışması, MCOU "Kamyshovskaya ortaokulu" 8. sınıf öğrencisi Danışman Goryaeva Zoya Erdnigoryaevna, MCOU "Kamyshovskaya ortaokulu" matematik öğretmeni s. Kamyşevo, 2013
Proje hedefi: Doğrusal fonksiyonların grafiklerinin modüllerle nasıl oluşturulacağı sorusuna cevap vermek. Proje hedefleri: Bu konuyla ilgili literatürü inceleyin. Grafiklerin geometrik dönüşümlerini ve bunların modüllerle grafiklerin oluşturulmasına uygulanmasını inceleyin. Modül kavramını ve özelliklerini inceleyin. Çeşitli şekillerde modüllerle grafikler oluşturmayı öğrenin.
Doğru orantılılık Doğrudan orantılılık, x'in bağımsız bir değişken, k'nin ise sıfır olmayan bir sayı olduğu y=kx formundaki bir formülle belirtilebilen bir fonksiyondur.
y = x x 0 2 y 0 2 fonksiyonunun grafiğini çizelim
Grafiklerin geometrik dönüşümü Kural No. 1 y = f (x) + k fonksiyonunun grafiği - doğrusal bir fonksiyon - y = f (x) fonksiyonunun grafiğinin O'ya + k birimler kadar paralel aktarılmasıyla elde edilir k> 0 veya |- k| için y ekseni k noktasında O y ekseninin aşağısındaki birimler
y=x+3 y=x-2 grafiklerini oluşturalım
Kural No. 2 y=kf(x) fonksiyonunun grafiği, y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin O y ekseni boyunca a kere a>1'de uzatılması ve O y ekseni a boyunca sıkıştırılmasıyla elde edilir. 0Slayt 9'daki zamanlar
Bir y=x y= 2 x grafiği oluşturalım
Kural No. 3 y = - f (x) fonksiyonunun grafiği, y = f (x) grafiğinin O x eksenine göre simetrik olarak görüntülenmesiyle elde edilir
Kural No. 4 y = f (- x) fonksiyonunun grafiği, y = f (x) fonksiyonunun grafiğinin O y eksenine göre simetrik olarak görüntülenmesiyle elde edilir
Kural No. 5 y=f(x+c) fonksiyonunun grafiği, c 0 ise, y=f(x) fonksiyonunun grafiğinin O x ekseni boyunca sağa paralel aktarılmasıyla elde edilir.
y=f(x) y=f(x+2) grafiklerini oluşturalım
Modülün tanımı Negatif olmayan bir a sayısının modülü, a sayısının kendisine eşittir; Negatif bir a sayısının modülü, karşısındaki pozitif sayı -a'ya eşittir. Veya |a|=a, eğer a ≥0 |a|=-a, eğer a
Modüllü doğrusal fonksiyonların grafikleri, bir modülün tanımını genişleterek geometrik dönüşümler kullanılarak oluşturulur.
Kural No. 6 y=|f(x)| fonksiyonunun grafiği şu şekilde elde edilir: y=f(x) grafiğinin Ox ekseninin üzerinde yer alan kısmı korunur; Ox ekseninin altında kalan kısım Ox eksenine göre simetrik olarak görüntülenir.
y=-2| fonksiyonunun grafiğini çizin x-3|+4 y'yi oluşturun ₁=| x | y₂= |x - 3 | → Ox ekseni boyunca +3 birim paralel öteleme (sağa kaydırma) y ₃ =+2|x-3| → O ekseni boyunca y'yi uzatıyoruz 2 kez = 2 y₂ y'yi oluşturuyoruz ₄ =-2|x-3| → x eksenine göre simetri = - y₃ y₅ =-2|x-3|+4 oluştururuz → O ekseni boyunca +4 birim paralel öteleme y (yukarı kaydırma) = y ₄ +4
y =-2|x-3|+4 fonksiyonunun grafiği
y= 3|x|+2 y₁=|x| fonksiyonunun grafiği y₂=3|x|= 3 y₁ → 3 kat uzuyor y₃=3|x| +2= y₄+2 → 2 birim yukarı kaydır
Kural 7 y=f(| x |) fonksiyonunun grafiği, y=f(x) fonksiyonunun grafiğinden aşağıdaki şekilde elde edilir: x > 0 için fonksiyonun grafiği korunur ve aynı Grafiğin bir kısmı O y eksenine göre simetrik olarak görüntülenir
y = || fonksiyonunun grafiğini çizin x-1 | -2 |
Y₁= |x| y₂=|x-1| y₃= y₂-2 y₄= |y₃| Y=||x-1|-2|
y=│f(│x│)│ fonksiyonunun grafiğini oluşturmak için algoritma y=f(│x│) fonksiyonunun grafiğini oluşturun. daha sonra oluşturulan grafiğin x ekseninin üzerinde yer alan tüm kısımlarını değiştirmeden bırakın. x ekseninin altında bulunan parçalar bu eksene göre simetrik olarak görüntülenir.
Y=|2|x|-3| Yapısı: a) x>0 için y=2x-3, b) x için y=-2x-3 Slayt 26
Kural #8 Bağımlılık Grafiği | f(x) > 0 olan tüm noktalar korunursa ve bunlar da apsis eksenine göre simetrik olarak aktarılırsa, y=f(x) fonksiyonunun grafiğinden y|=f(x) elde edilir.
Kartezyen koordinatları x ve y |y|=||x-1|-1| denklemini karşılayan düzlem üzerinde bir dizi nokta oluşturun.
| y|=||x-1| -1| iki grafik oluşturuyoruz 1) y=||x-1|-1| ve 2) y =-|| x-1|-1| y₁=|x| y₂=| x-1 | → Ox ekseni boyunca 1 birim sağa kaydırma y₃ = | x -1 |- 1= → 1 birim aşağı kaydırma y ₄ = || x-1|- 1| → O x'e göre y₃ 0 olan grafik noktalarının simetrisi
Denklemin grafiği |y|=||x-1|-1| şu şekilde elde ederiz: 1) y=f(x) fonksiyonunun bir grafiğini oluşturun ve y≥0 olduğu kısmı değiştirmeden bırakın 2) Ox eksenine göre simetriyi kullanarak grafiğin y'ye karşılık gelen başka bir kısmını oluşturun
y =|x | fonksiyonunun grafiğini çizin − | 2 - x | . Çözüm. Burada modül işareti iki farklı terimle görünür ve kaldırılması gerekir. 1) Alt modüler ifadelerin köklerini bulun: x=0, 2-x=0, x=2 2) Aralıklardaki işaretleri ayarlayın:
Bir fonksiyonun grafiği
Sonuç Projenin konusu matematik dersindeki zor konulardan biridir, seçmeli derslerde ele alınan konularla ilgilidir ve matematik dersinin derinlemesine çalışılması için derslerde işlenmektedir. Ancak GIA'nın ikinci bölümünde bu tür görevler verilmektedir. Bu çalışma, yalnızca doğrusal fonksiyonların değil aynı zamanda diğer fonksiyonların (ikinci dereceden, ters orantılı, vb.) modüllerini içeren grafiklerin nasıl oluşturulacağını anlamanıza yardımcı olacaktır. Çalışma, Devlet Sınavına ve Birleşik Devlet Sınavına hazırlanmanıza yardımcı olacak ve matematikte yüksek puanlar almanızı sağlayacaktır.
Edebiyat Vilenkin N.Ya. , Zhokhov V.I.. Matematik.” Ders kitabı 6. sınıf moskova. Yayınevi “Mnemosyne”, 2010 Vilenkin N.Ya., Vilenkin L.N., Survillo G.S. ve diğerleri. 8. sınıf: eğitici. İleri düzeyde matematik eğitimi alan öğrenciler ve sınıflar için bir el kitabı. - Moskova. Aydınlanma, 2009 Gaidukov I.I. “Mutlak değer.” Moskova. Aydınlanma, 1968. Gursky I.P. “Fonksiyonlar ve grafikler.” Moskova. Aydınlanma, 1968. Yashchina N.V. Modüller içeren grafikler oluşturma teknikleri. Dergi "Okulda Matematik", No. 3, 1994 Çocuk Ansiklopedisi. Moskova. “Pedagoji”, 1990. Dynkin E.B., Molchanova S.A. Matematik problemleri. M., “Bilim”, 1993. Petrakov I.S. 8-10.sınıf matematik kulüpleri. M., “Aydınlanma”, 1987. Galitsky M.L. ve diğerleri. 8-9. Sınıflar için cebir problemlerinin toplanması: İleri düzeyde matematik eğitimi olan öğrenciler ve sınıflar için bir ders kitabı. – 12. baskı. – M.: Eğitim, 2006. – 301 s. Makrychev Yu.N., Mindyuk N.G. Cebir: 9. sınıf okul ders kitabı için ek bölümler: Derinlemesine matematik çalışması olan okul ve sınıf öğrencileri için bir ders kitabı / Düzenleyen: G.V. – M.: Eğitim, 1997. – 224 s. Sadykina N. Modül işareti / Matematik içeren grafiklerin ve bağımlılıkların oluşturulması. - Hayır. 33. – 2004. – s. 19-21 .. Kostrikina N.P. “7-9. Sınıflar için cebir dersinde artan zorluk sorunları”... Moskova: Eğitim, 2008.
Modül işareti belki de matematikteki en ilginç olgulardan biridir. Bu bağlamda, birçok okul çocuğunun bir modül içeren fonksiyonların grafiklerinin nasıl oluşturulacağı konusunda bir sorusu vardır. Bu konuya ayrıntılı olarak bakalım.
1. Modül içeren fonksiyonların grafiklerinin çizilmesi
Örnek 1.
y = x 2 – 8|x| fonksiyonunun grafiğini çizin + 12.
Çözüm.
Fonksiyonun paritesini belirleyelim. y(-x)'in değeri y(x)'in değeriyle aynıdır, dolayısıyla bu fonksiyon çifttir. O halde grafiği Oy eksenine göre simetriktir. x ≥ 0 için y = x 2 – 8x + 12 fonksiyonunun grafiğini çiziyoruz ve negatif x için grafiği Oy'ya göre simetrik olarak gösteriyoruz (Şekil 1).
Örnek 2.
Aşağıdaki grafik y = |x 2 – 8x + 12| gibi görünüyor.
– Önerilen fonksiyonun değer aralığı nedir? (y ≥ 0).
– Program nasıl yer alıyor? (X ekseninin üstünde veya ona dokunarak).
Bu, fonksiyonun grafiğinin şu şekilde elde edildiği anlamına gelir: y = x 2 – 8x + 12 fonksiyonunun grafiğini çizin, grafiğin Ox ekseninin üzerinde kalan kısmını değiştirmeden bırakın ve grafiğin Ox ekseninin üzerinde kalan kısmını değiştirmeden bırakın apsis ekseninin altında Ox eksenine göre simetrik olarak görüntülenir (Şekil 2).
Örnek 3.
y = |x 2 – 8|x| fonksiyonunun grafiğini çizmek için + 12| dönüşümlerin bir kombinasyonunu gerçekleştirin:
y = x 2 – 8x + 12 → y = x 2 – 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|.
Cevap: Şekil 3.
Ele alınan dönüşümler her türlü fonksiyon için geçerlidir. Bir tablo yapalım:
2. Formülde “iç içe modüller” içeren fonksiyonların grafiklerinin çizilmesi
Modül içeren ikinci dereceden fonksiyon örneklerinin yanı sıra y = f(|x|), y = |f(x)| formundaki fonksiyonların grafiklerini oluşturmak için genel kuralları zaten biliyorduk. ve y = |f(|x|)|. Bu dönüşümler aşağıdaki örneği değerlendirirken bize yardımcı olacaktır.
Örnek 4.
y = |2 – |1 – |x||| formunda bir fonksiyon düşünün. İşlev ifadesi "iç içe geçmiş modüller" içerir.
Çözüm.
Geometrik dönüşüm yöntemini kullanalım.
Sıralı bir dönüşüm zinciri yazalım ve karşılık gelen bir çizim yapalım (Şekil 4):
y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.
Grafikleri oluştururken simetri ve paralel öteleme dönüşümlerinin ana teknik olmadığı durumları ele alalım.
Örnek 5.
y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 formundaki bir fonksiyonun grafiğini oluşturun.
Çözüm.
Bir grafik oluşturmadan önce, fonksiyonu tanımlayan formülü dönüştürürüz ve fonksiyonun başka bir analitik atamasını elde ederiz (Şekil 5). 
y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2)(x + 2)/|x + 2|.
Paydadaki modülü genişletelim:
x > -2 için y = x – 2 ve x için< -2, y = -(x – 2).
Tanım Alanı D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).
Değer aralığı E(y) = (-4; +∞).
Grafiğin koordinat ekseniyle kesiştiği noktalar: (0; -2) ve (2; 0).
Fonksiyon (-∞; -2) aralığındaki tüm x'ler için azalır, x için -2'den +∞'a artar.
Burada modül işaretini ortaya çıkarmamız ve her durum için fonksiyonun grafiğini çıkarmamız gerekiyordu.
Örnek 6.
y = |x + 1| fonksiyonunu düşünün – |x – 2|.
Çözüm.
Bir modülün işaretini genişletirken, alt modüler ifadelerin işaretlerinin olası her kombinasyonunu dikkate almak gerekir.
Dört olası durum vardır:
(x + 1 – x + 2 = 3, x ≥ -1 ve x ≥ 2 için;
(-x – 1 + x – 2 = -3, x'te< -1 и x < 2;
(x + 1 + x – 2 = 2x - 1, x ≥ -1 ve x için< 2;
(-x – 1 – x + 2 = -2x + 1, x'te< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.
Daha sonra orijinal fonksiyon şöyle görünecektir:
(3, x ≥ 2 için;
y = (-3, x'te< -1;
(2x – 1, -1 ≤ x ile< 2.
Grafiği Şekil 6'da gösterilen parçalı verilen bir fonksiyonu elde ettik.
3. Formun fonksiyonlarının grafiklerini oluşturmak için algoritma
y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + bir n |x – x n | + balta + b.
Önceki örnekte modül işaretlerini ortaya çıkarmak oldukça kolaydı. Daha fazla modül toplamı varsa, alt modüler ifadelerin tüm olası işaret kombinasyonlarını dikkate almak sorunlu olur. Bu durumda fonksiyonun grafiği nasıl oluşturulur?
Grafiğin, apsisleri -1 ve 2 olan noktalarda köşeleri olan kesikli bir çizgi olduğuna dikkat edin. x = -1 ve x = 2'de alt modüler ifadeler sıfıra eşittir. Pratikte bu tür grafikleri oluşturma kuralına yaklaştık:
y = a 1 |x – x 1 | formundaki bir fonksiyonun grafiği + a 2 |x – x 2 | + … + bir n |x – x n | + ax + b sonsuz uç bağlantılara sahip kesikli bir çizgidir. Böyle bir kesikli çizgi oluşturmak için tüm köşelerini (köşelerin apsisleri alt modüler ifadelerin sıfırlarıdır) ve sol ve sağ sonsuz bağlantılarda bir kontrol noktasını bilmek yeterlidir. 
Görev.
y = |x| fonksiyonunun grafiğini çizin + |x – 1| + |x + 1| ve en küçük değerini bulun.
Çözüm:
Alt modüler ifadelerin sıfırları: 0; -1; 1. Kesikli çizginin köşeleri (0; 2); (-1; 3); (1; 3). Kontrol noktası sağda (2; 6), solda (-2; 6). Bir grafik oluşturuyoruz (Şekil 7). min f(x) = 2.
Hala sorularınız mı var? Modüllü bir fonksiyonun grafiğini nasıl çizeceğinizi bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenden yardım almak için kaydolun.
web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.
Korumalı alan
Barack Adama 3 Mart 2013, 19:43GIA - modül işaretli fonksiyonların çizimi
Herkese selam! Bugün grafik gibi bir konuyu anlatmak istiyorum. Çoğu kişi muhtemelen y=x^2 veya y=1/x gibi fonksiyonların basit grafiklerinin nasıl çizileceğini biliyordur. Modül işaretiyle grafikler nasıl oluşturulur?
Görev 1. y=|x| fonksiyonlarının grafiklerini oluşturun y=|x-1|.
Çözüm. Bunu y=|x| fonksiyonunun grafiğiyle karşılaştıralım. Pozitif x için |x|=x elde ederiz. Bu, argümanın pozitif değerleri için y=|x| grafiğinin olduğu anlamına gelir. y=x grafiğine denk gelir, yani grafiğin bu kısmı orijinden apsis eksenine 45 derecelik açıyla çıkan bir ışındır. x'te< 0 имеем |x|= -x; значит, для отрицательных x график y=|x| совпадает с биссектрисой второго координатного угла.
Bununla birlikte, y=|x| fonksiyonunun olduğunu fark ederseniz, grafiğin ikinci yarısını (negatif X için) ilk yarıdan elde etmek kolaydır. - çift, çünkü |-a|=|a|. Bu, y=|x| fonksiyonunun grafiğinin olduğu anlamına gelir. Oy eksenine göre simetriktir ve grafiğin ikinci yarısı, pozitif x için çizilen kısmın y ekseni etrafında yansıtılmasıyla elde edilebilir. Ortaya çıkan grafik şuna benzer:
Oluşturmak için (-2; 2) (-1; 1) (0; 0) (1; 1) (2; 2) noktalarını alırız.
Şimdi grafik y=|x-1|'dir. A bir grafik noktası ise y=|x| (a;|a|) koordinatlarıyla, ardından y=|x-1| grafik noktası Y koordinatının aynı değerine sahip bir A1(a+1;|a|) noktası olacaktır. (Neden?) İkinci grafiğin bu noktası, birinci grafiğin A(a;|a|) noktasından Ox eksenine paralel olarak sağa kaydırılarak elde edilebilir. Bu, y=|x-1| fonksiyonunun grafiğinin tamamının y=|x| fonksiyonunun grafiğinden elde edildiği anlamına gelir. Ox eksenine paralel olarak sağa 1 kaydır.
Grafikler oluşturalım:
Y=|x-1|
Oluşturmak için (-2; 3) (-1; 2) (0; 1) (1; 0) (2; 1) noktalarını alırız.
Basit bir görevdi. Şimdi birçok kişiyi korkutan şey bu.
Görev 2. y=3*|x-4| fonksiyonunun grafiğini çizin - x + |x+1|.
Çözüm. Alt modüler ifadelerin kaybolduğu noktaları bulalım; fonksiyonun sözde “kritik” noktaları. Bu noktalar x=-1 ve x=4 olacaktır. Bu noktalarda alt modüler ifadeler işaret değiştirebilir.
x olsun<-1.
O halde x+1<0, |x+1|=-x-1; x-4<0, |x-4|=-x+4; Следовательно y= 3(-х+4)-х+(-х-1)= -5х+11.
-1 olsun< = x < = 4.
O halde x+1>0, |x+1|=x+1; x-4<0, |x-4|=-x+4; Следовательно y= 3(-х+4)-х+(х+1)= -3х+13.
x>4 olsun. O halde x+1>0, |x+1|=x+1, x-4>0; |x-4|=x-4; Dolayısıyla y= 3(x-4)-x+x+1= 3x-11.
Bu, fonksiyonun bir grafiğini oluşturmamız gerektiği anlamına gelir (tam olarak bir tane)
( y= -5x+11, x'te<-1
( y= -3х+13, -1'de< = x < = 4.
( y= 3x-11, x>4 için
İlkini inşa etmek için (1; 6) (2; 1) puanlarını alın
İkinciyi oluşturmak için (3; 4) (4; 1) noktalarını alın
Üçüncüyü oluşturmak için (3; -2) (4; 1) noktalarını alırız
Peki, bugün analiz edeceğimiz son görev.
Görev 3. y= |1/4 x^2 - |x| fonksiyonunun grafiğini çizin - 3|.
Çözüm. Fonksiyon y= |f(|x|)| eşit Fonksiyonun x>=0 y= f(x) grafiğini oluşturmak, ardından bunu Oy eksenine göre simetrik olarak yansıtmak gerekir (bu, y= |1/4 x^2 - x - 3| grafiğidir). .) ve son olarak, ortaya çıkan grafiğin alt yarı düzlemde yer alan kısmı Ox eksenine göre simetrik olarak yansıtılır (y= 1/4 x^2 - |x| - 3.) .
İşte bundan çıkanlar:
Y= |1/4 x^2 - |x| - 3|
Herkese teşekkür ederim! Artık grafikleri modül işaretiyle çizmek için gerekli bilgi tabanına sahibiz! Çünkü herkes ondan çok korkuyor.
Etiketler: matematik