Yamuğun yan kenarlarının orta noktalarını birleştiren düz çizgi parçasına yamuğun orta çizgisi denir. Nasıl bulunacağı hakkında orta hat yamuk ve bu şeklin diğer unsurlarıyla ilişkisini aşağıda açıklayacağız.
Merkez çizgisi teoremi
AD'nin olduğu bir yamuk çizelim - daha büyük taban, BC - daha küçük taban, EF - orta çizgi. AD tabanını D noktasının ötesine uzatalım. Bir BF çizgisi çizin ve AD tabanının devamı ile O noktasında kesişene kadar buna devam edin. ∆BCF ve ∆DFO üçgenlerini düşünün. ∟BCF = ∟DFO açıları dikeydir. CF = DF, ∟BCF = ∟FDО, çünkü VS // JSC. Bu nedenle, ∆BCF = ∆DFO üçgenleri. Dolayısıyla kenarları BF = FO.
Şimdi ∆ABO ve ∆EBF'yi düşünün. ∟ABO her iki üçgende de ortaktır. BE/AB = ½ koşula göre, BF/BO = ½, çünkü ∆BCF = ∆DFO. Bu nedenle ABO ve EFB üçgenleri benzerdir. Dolayısıyla EF/AO partilerinin oranı = ½ ve diğer partilerin oranı.
EF = ½ AO'yu buluyoruz. Çizim AO = AD + DO olduğunu göstermektedir. DO = BC kenar olarak eşit üçgenler AO = AD + BC anlamına gelir. Dolayısıyla EF = ½ AO = ½ (AD + BC). Onlar. Yamuğun orta çizgisinin uzunluğu tabanların toplamının yarısına eşittir.
Bir yamuğun orta çizgisi her zaman tabanların toplamının yarısına eşit midir?
Diyelim ki böyle bir şey var özel durum EF ≠ ½ (AD + BC) olduğunda. O halde BC ≠ DO, dolayısıyla ∆BCF ≠ ∆DCF olur. Ancak aralarında iki eşit açı ve kenar olduğundan bu imkansızdır. Bu nedenle teorem her koşulda doğrudur.
Orta hat sorunu
ABCD AD // BC yamukumuzda, ∟A = 90°, ∟C = 135°, AB = 2 cm, AC köşegeninin kenara dik olduğunu varsayalım. Yamuk EF'nin orta çizgisini bulun.
Eğer ∟A = 90° ise ∟B = 90° olur, bu da ∆ABC'nin dikdörtgen olduğu anlamına gelir.
∟BCA = ∟BCD - ∟ACD. ∟ACD = 90°, dolayısıyla ∟BCA = ∟BCD - ∟ACD = 135° - 90° = 45°. 
Eğer bir ∆ABC dik üçgeninde bir açı 45° ise, o zaman içindeki bacaklar eşittir: AB = BC = 2 cm.
Hipotenüs AC = √(AB² + BC²) = √8 cm.
∆ACD'yi ele alalım. ∟ACD = 90° duruma göre. Yamuğun paralel tabanlarının çaprazlarının oluşturduğu açılar olarak ∟CAD = ∟BCA = 45°. Bu nedenle bacaklar AC = CD = √8.
Hipotenüs AD = √(AC² + CD²) = √(8 + 8) = √16 = 4 cm.
Yamuğun orta çizgisi EF = ½(AD + BC) = ½(2 + 4) = 3 cm.
Bu yazıda yamuk ile ilgili problemlerden bir seçki daha sizin için yapıldı. Koşullar bir şekilde orta hattıyla bağlantılı. Alınan görev türleri açık banka tipik görevler. Dilerseniz bilgilerinizi yenileyebilirsiniz. teorik bilgi. Blog, koşulları ile ilgili olan görevleri zaten tartıştı. Kısaca orta çizgi hakkında:
Yamuğun orta çizgisi, yan tarafların orta noktalarını birleştirir. Tabanlara paralel ve yarı toplamlarına eşittir.
Sorunları çözmeden önce teorik bir örneğe bakalım.
Bir ABCD yamuğu verildiğinde. Orta çizgiyle kesişen AC köşegeni K noktasını, BD köşegeni L noktasını oluşturur. KL doğru parçasının doğru olduğunu kanıtlayın. yarıya eşit baz farklılıkları.
Öncelikle yamuğun orta çizgisinin, uçları tabanları üzerinde bulunan herhangi bir parçayı ikiye böldüğü gerçeğine dikkat edelim. Bu sonuç kendini göstermektedir. Tabanların iki noktasını birleştiren bir parça hayal edin, bölünecek bu yamuk diğer ikisine. Görünüşe göre segment tabanlara paralel yamuk olup bir tarafın ortasından geçerken diğer tarafta ortasından geçecektir.
Bu aynı zamanda Thales teoremine dayanmaktadır:
Eğer iki düz çizgiden birinde birkaç tane çizersek eşit segmentler ve uçlarından ikinci çizgiyi kesen paralel çizgiler çizin, ardından ikinci çizgide eşit parçalar kesecekler.
Yani, içinde bu durumda K, AC'nin ortasıdır ve L, BD'nin ortasıdır. Bu nedenle EK orta çizgidir ABC üçgeni LF, DCB üçgeninin orta çizgisidir. Üçgenin orta çizgisinin özelliğine göre:
Artık KL segmentini bazlar cinsinden ifade edebiliriz:
Kanıtlanmış!
Bu örnek bir nedenle verilmiştir. Görevlerde bağımsız karar böyle bir görev var. Ancak köşegenlerin orta noktalarını birleştiren doğru parçasının orta çizgide olduğunu söylemez. Görevleri ele alalım:
27819. Tabanları 30 ve 16 ise yamuğun orta çizgisini bulun.
Aşağıdaki formülü kullanarak hesaplıyoruz:
27820. Yamuğun orta çizgisi 28, küçük tabanı ise 18'dir. Yamuğun büyük tabanını bulun.
Daha büyük tabanı ifade edelim:
Böylece:
27836. Tepe noktasından dikey olarak düşürüldü geniş açı daha büyük bir temelde ikizkenar yamuk, uzunluğu 10 ve 4 olan parçalara böler. Bu yamuğun orta çizgisini bulun.
Orta çizgiyi bulmak için tabanları bilmeniz gerekir. AB tabanını bulmak kolaydır: 10+4=14. DC'yi bulalım.
İkinci dik DF'yi oluşturalım:
AF, FE ve EB segmentleri sırasıyla 4, 6 ve 4'e eşit olacaktır. Neden?
İkizkenar yamukta, daha büyük tabana indirilen dikmeler onu üç parçaya böler. Bunlardan ikisinin bacakları kesildi dik üçgenler, birbirine eşittir. Üçüncü bölüm daha küçük tabana eşittir, çünkü belirtilen yükseklikleri inşa ederken bir dikdörtgen oluşur ve dikdörtgenin içinde karşıt taraflar eşittir. Bu görevde:
Böylece DC=6 olur. Hesaplıyoruz:
27839. Yamuğun tabanları 2:3 oranındadır ve orta çizgi 5'tir. Daha küçük tabanı bulun.
Orantılılık katsayısı x'i tanıtalım. O halde AB=3x, DC=2x. Şunları yazabiliriz:
Bu nedenle küçük taban 2∙2=4'tür.
27840. İkizkenar yamuğun çevresi 80'dir, orta çizgisi yan tarafa eşittir. Bulmak taraf yamuk.
Koşula göre şunu yazabiliriz:
Orta çizgiyi x değeriyle gösterirsek şunu elde ederiz:
İkinci denklem şu şekilde yazılabilir:
27841. Yamuğun orta çizgisi 7'dir ve tabanlarından biri diğerinden 4 büyüktür. Yamuğun büyük tabanını bulun.
Küçük tabanı (DC) x olarak gösterelim, büyük olan (AB) x+4'e eşit olacaktır. Bunu yazabiliriz
Küçük tabanın erken beş olduğunu bulduk, bu da büyük olanın 9'a eşit olduğu anlamına geliyor.
27842. Yamuğun orta çizgisi 12'dir. Köşegenlerden biri onu iki parçaya ayırır, aralarındaki fark 2'dir. Yamuğun daha büyük tabanını bulun.
EO segmentini hesaplarsak yamuğun daha büyük tabanını kolaylıkla bulabiliriz. ADB üçgeninin orta çizgisidir ve AB=2∙EO'dur.
Elimizde ne var? Orta çizginin 12'ye, EO ve ОF doğru parçaları arasındaki farkın ise 2'ye eşit olduğu söylenir. İki denklem yazıp sistemi çözebiliriz:
Bu durumda hesaplama yapmadan bir çift sayı seçebileceğiniz açıktır, bunlar 5 ve 7'dir. Ancak yine de sistemi çözelim:
Yani EO=12–5=7. Böylece büyük taban AB=2∙EO=14'e eşittir.
27844. İkizkenar yamukta köşegenler diktir. Yamuğun yüksekliği 12'dir. Orta çizgisini bulun.
Bir ikizkenar yamukta köşegenlerin kesişme noktasından çizilen yüksekliğin simetri ekseni üzerinde yer aldığını ve yamuğu iki eşit parçaya böldüğünü hemen belirtelim. dikdörtgen yamuk yani bu yüksekliğin tabanları ikiye bölünmüştür.
Görünüşe göre orta çizgiyi hesaplamak için nedenler bulmamız gerekiyor. Burada küçük bir çıkmaz ortaya çıkıyor... Bu durumda yüksekliği bilerek tabanları nasıl hesaplayabiliriz? Mümkün değil! Sabit yüksekliğe ve 90 derecelik bir açıyla kesişen köşegenlere sahip bu tür pek çok yamuk vardır. Ne yapmalıyım?
Yamuğun orta çizgisi formülüne bakın. Sonuçta nedenlerin kendisini bilmemize gerek yok; bunların toplamını (veya yarısını) bilmek yeterlidir. Bunu yapabiliriz.
Köşegenler dik açıyla kesiştiğinden, EF yüksekliğinde ikizkenar dik üçgenler oluşturulur:
Yukarıdakilerden FO=DF=FC ve OE=AE=EB olduğu sonucu çıkar. Şimdi DF ve AE dilimleri aracılığıyla ifade edilen yüksekliğin neye eşit olduğunu yazalım:
Yani orta çizgi 12'dir.
*Genel olarak, anladığınız gibi bu bir görevdir. zihinsel sayma. Ama eminim ki sunulan detaylı açıklama gerekli. Ve böylece... Çizime baktığınızda (inşaat sırasında köşegenler arasındaki açıya dikkat edilmesi şartıyla) FO=DF=FC ve OE=AE=EB eşitliği hemen gözünüze çarpıyor.
Prototipler aynı zamanda trapezoidli görev türlerini de içerir. Bir kafes içindeki bir kağıt üzerine inşa edilmiştir ve orta çizgiyi bulmanız gerekir; kafesin kenarı genellikle 1'e eşittir, ancak farklı bir değer de olabilir.
27848. Yamuğun orta çizgisini bulun ABCD kare hücrelerin kenarları 1'e eşitse.
Çok basit, bazları hücrelere göre hesaplıyoruz ve şu formülü kullanıyoruz: (2+4)/2=3
Tabanlar hücre ızgarasına açılı olarak inşa edilmişse iki yol vardır. Örneğin!
Yamuğun orta çizgisi toplamın yarısına eşittir gerekçesiyle. Yamuğun kenarlarının orta noktalarını birleştirir ve daima tabanlara paraleldir.
Bir yamuğun tabanları a ve b'ye eşitse, o zaman orta çizgi m eşittir m=(a+b)/2.
Yamuğun alanı biliniyorsa, o zaman orta çizgi bulunabilir ve başka bir şekilde, yamuk S'nin alanını yamuk h'nin yüksekliğine bölerek:
Yani, yamuğun orta çizgisi m=S/saat
Bir yamuğun orta çizgisinin uzunluğunu bulmanın birçok yolu vardır. Yöntem seçimi ilk verilere bağlıdır.
Burada bir yamuğun orta çizgisinin uzunluğu için formüller:
Bir yamuğun orta çizgisini bulmak için beş formülden birini kullanabilirsiniz (zaten diğer cevaplarda oldukları için bunları yazmayacağım), ancak bu yalnızca ihtiyacımız olan ilk verilerin değerlerinin olduğu durumlarda biliniyor.
Uygulamada yeterli veri olmadığında birçok sorunu çözmek zorunda kalıyoruz ve doğru boyut yine de onu bulmamız gerekiyor.
Burada böyle seçenekler var
her şeyi formüle dahil etmek için adım adım bir çözüm;
diğer formülleri kullanarak gerekli denklemleri oluşturun ve çözün.
ihtiyacımız olan formülü kullanarak yamuğun ortasının uzunluğunu bulma geometri ve kullanımla ilgili diğer bilgilerin yardımıyla cebirsel denklemler:
Bir ikizkenar yamuğumuz var, köşegenleri dik açıyla kesişiyor, yüksekliği 9 cm.
Çizim yapıyoruz ve bu sorunun doğrudan çözülemeyeceğini görüyoruz (yeterli veri yok)
Bu nedenle biraz basitleştireceğiz ve köşegenlerin kesişme noktasından yüksekliği çizeceğiz.
Bu ilk önemli adım Bu da hızlı bir çözüme yol açar.
yüksekliği iki bilinmeyenle belirleyelim, ihtiyacımız olanları göreceğiz ikizkenar üçgenler taraflarla X Ve en
ve onu kolayca bulabiliriz gerekçelerin toplamı yamuklar
eşit 2х+2у
Ve ancak şimdi formülü şu şekilde uygulayabiliriz:
ve eşittir x+y ve problemin koşullarına göre bu, yüksekliğin uzunluğuna eşittir 9 cm.
Ve şimdi köşegenleri dik açılarla kesişen ikizkenar yamuk için birkaç moment türettik
bu tür yamuklarda
orta çizgi her zaman yüksekliğe eşittir
alan her zaman yüksekliğin karesine eşittir.
Bir yamuğun orta çizgisi, yamuğun kenarlarının orta noktalarını birleştiren bir segmenttir.
Aşağıdaki formülü kullanırsanız herhangi bir yamuğun orta çizgisini bulmak kolaydır:
m = (a + b)/2
m yamuğun orta çizgisinin uzunluğudur;
a, b yamuğun taban uzunlukları.
Bu yüzden, Bir yamuğun orta çizgisinin uzunluğu taban uzunluklarının toplamının yarısına eşittir.
Bir yamuğun orta çizgisi formülünün temel formülü: Bir yamuğun orta çizgisinin uzunluğu a ve b tabanlarının toplamının yarısına eşittir: MN=(a+b)2 Bu formülün kanıtı şudur: Bir üçgenin orta çizgisi formülü. Uçlardan daha küçük bir taban yüksekliği çizildikten sonra herhangi bir yamuk temsil edilebilir. Sonuçta elde edilen 2 üçgen ve bir dikdörtgen dikkate alınır. kolayca kanıtlanabilir.
Yamuğun orta çizgisini bulmak için tabanların değerlerini bilmemiz gerekir.
Bu değerleri bulduktan veya belki de bildiğimizden sonra bu sayıları toplayıp ikiye bölüyoruz.
Olacak olan bu yamuğun orta çizgisi.
Okuldaki geometri derslerimi hatırladığım kadarıyla, bir yamuğun orta çizgisinin uzunluğunu bulmak için tabanların uzunluklarını toplayıp ikiye bölmeniz gerekiyor. Böylece yamuğun orta çizgisinin uzunluğu tabanların toplamının yarısına eşittir.