İntegralin uygulamalı problemlerin çözümüne uygulanması
Alan hesaplaması
Sürekli negatif olmayan bir f(x) fonksiyonunun belirli integrali, sayısal olarak y = f(x) eğrisi, O x ekseni ve x = a ve x düz çizgileriyle sınırlanan eğrisel bir yamuğun alanına eşittir. = b. Buna göre alan formülü şu şekilde yazılır:
Düzlem figürlerin alanlarının hesaplanmasına ilişkin bazı örneklere bakalım.
Görev No. 1. y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2 çizgileriyle sınırlanan alanı hesaplayın.
Çözüm. Alanı hesaplamamız gereken bir şekil oluşturalım.
y = x 2 + 1, dalları yukarıya doğru yönlendirilen ve parabolün O y eksenine göre bir birim yukarıya doğru kaydırıldığı bir paraboldür (Şekil 1).
Şekil 1. y = x 2 + 1 fonksiyonunun grafiği
Görev No. 2. y = x 2 – 1, y = 0 doğrularının sınırladığı alanı 0 ila 1 aralığında hesaplayın.
 |
Çözüm. Bu fonksiyonun grafiği yukarıya doğru uzanan dallardan oluşan bir paraboldür ve parabol O y eksenine göre bir birim aşağı doğru kaydırılmıştır (Şekil 2).
Şekil 2. y = x 2 – 1 fonksiyonunun grafiği
Görev No. 3. Bir çizim yapın ve çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın
y = 8 + 2x – x 2 ve y = 2x – 4.
Çözüm. Bu iki çizgiden ilki, x2 katsayısı negatif olduğundan dalları aşağı doğru yönlendirilmiş bir paraboldür, ikinci çizgi ise her iki koordinat eksenini kesen düz bir çizgidir.
Bir parabol oluşturmak için tepe noktasının koordinatlarını buluruz: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – tepe noktasının apsisi; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 ordinatı, N(1;9) tepe noktasıdır.
Şimdi denklem sistemini çözerek parabol ile doğrunun kesişme noktalarını bulalım:
Sol tarafları eşit olan bir denklemin sağ taraflarını eşitleme.
8 + 2x – x 2 = 2x – 4 veya x 2 – 12 = 0 elde ederiz, dolayısıyla 
.
Yani noktalar bir parabol ile bir doğrunun kesişme noktalarıdır (Şekil 1).
Şekil 3 y = 8 + 2x – x 2 ve y = 2x – 4 fonksiyonlarının grafikleri
y = 2x – 4 şeklinde bir doğru çizelim. Koordinat eksenlerinde (0;-4), (2;0) noktalarından geçer.
Bir parabol oluşturmak için 0x ekseniyle kesişme noktalarını, yani 8 + 2x – x 2 = 0 veya x 2 – 2x – 8 = 0 denkleminin köklerini de kullanabilirsiniz. Vieta teoremini kullanarak bunu yapmak kolaydır. köklerini bulmak için: x 1 = 2, x 2 = 4.
Şekil 3, bu çizgilerle sınırlandırılmış bir şekli (M 1 N M 2 parabolik segmenti) göstermektedir.
Sorunun ikinci kısmı bu şeklin alanını bulmaktır. Alanı aşağıdaki formüle göre belirli bir integral kullanılarak bulunabilir: 
.
Bu koşula bağlı olarak integrali elde ederiz: 
2 Dönen cismin hacminin hesaplanması
y = f(x) eğrisinin Ox ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmi aşağıdaki formülle hesaplanır:
O y ekseni etrafında dönerken formül şöyle görünür:
Görev No.4. x = 0 x = 3 düz çizgileri ve y = eğrisi ile sınırlanan kavisli bir yamuğun O x ekseni etrafında dönmesinden elde edilen cismin hacmini belirleyin.
Çözüm. Bir resim çizelim (Şekil 4).
Şekil 4. y = fonksiyonunun grafiği
Gerekli hacim 
Görev No.5. y = x 2 eğrisi ve y = 0 ve y = 4 düz çizgileriyle sınırlanan eğri bir yamuğun O y ekseni etrafında dönmesinden elde edilen cismin hacmini hesaplayın.
Çözüm. Sahibiz:
Soruları gözden geçirin
A)
Çözüm.
Karardaki ilk ve en önemli nokta çizimdir.
Çizimi yapalım:
Denklem y=0“x” eksenini ayarlar;
- x=-2 Ve x=1- düz, eksene paralel kuruluş birimi;
- y=x 2 +2 - tepe noktası (0;2) noktasında olan, dalları yukarı doğru yönlendirilmiş bir parabol.
Yorum. Bir parabol oluşturmak için koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını bulmak yeterlidir; koyarak x=0 eksenle kesişimi bulun kuruluş birimi ve karşılık gelen ikinci dereceden denklemi çözerek eksenle kesişimi bulun Ah .
Bir parabolün tepe noktası aşağıdaki formüller kullanılarak bulunabilir: 
Ayrıca noktadan noktaya çizgiler de oluşturabilirsiniz.
[-2;1] aralığında fonksiyonun grafiği y=x 2 +2 eksenin üstünde bulunur Öküz, Bu yüzden:
Cevap: S=9 metrekare birim
Görev tamamlandıktan sonra çizime bakıp cevabın gerçek olup olmadığını anlamak her zaman faydalıdır. Bu durumda, çizimdeki hücre sayısını "gözle" sayıyoruz - yaklaşık 9 olacak, doğru gibi görünüyor. Diyelim ki 20 birim kare cevabını alırsak, bir yerde bir hata yapıldığı açıktır - 20 hücrenin söz konusu rakama, en fazla bir düzine sığmadığı açıktır. Cevap olumsuzsa, görev de yanlış çözülmüştür.
Eksenin altına kavisli bir yamuk yerleştirilmişse ne yapmalı Ah?
b) Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın y=-ex , x=1 ve eksenleri koordine edin.
Çözüm.
Bir çizim yapalım.
Kavisli bir yamuk tamamen eksenin altına yerleştirilmişse Ah , daha sonra alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:
Cevap: S=(e-1) metrekare birimler" 1,72 metrekare birimler
Dikkat! İki tür görev karıştırılmamalıdır:
1) Sizden herhangi bir geometrik anlamı olmayan basit bir integrali çözmeniz istenirse bu negatif olabilir.
2) Belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanını bulmanız istenirse alan her zaman pozitiftir! Bu nedenle az önce tartışılan formülde eksi görünüyor.
Uygulamada, çoğu zaman şekil hem üst hem de alt yarı düzlemde bulunur.
c) Çizgilerle sınırlanan düz bir şeklin alanını bulun y=2x-x 2, y=-x.
Çözüm.
İlk önce çizimi tamamlamanız gerekiyor. Genel olarak konuşursak, alan problemlerinde çizim oluştururken en çok çizgilerin kesişme noktalarıyla ilgileniriz. Parabolün kesişim noktalarını bulalım 
ve düz 
Bu iki şekilde yapılabilir. İlk yöntem analitiktir.
Denklemi çözüyoruz:
Bu, entegrasyonun alt sınırının a=0, entegrasyonun üst sınırı b=3 .
|
Verilen çizgileri oluşturuyoruz: 1. Parabol - (1;1) noktasındaki tepe noktası; eksen kesişimi Ah -(0;0) ve (0;2) noktaları. 2. Düz çizgi - 2. ve 4. koordinat açılarının ortaortayı. Ve şimdi Dikkat! Eğer segmentteyse [ a;b] bazı sürekli fonksiyonlar f(x) Sürekli bir fonksiyondan büyük veya ona eşit g(x), daha sonra karşılık gelen şeklin alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir: Ve şeklin nerede bulunduğu önemli değildir - eksenin üstünde veya altında, ancak önemli olan hangi grafiğin YÜKSEK (başka bir grafiğe göre) ve hangisinin ALTTA olduğudur. Söz konusu örnekte, parabolün segment üzerinde düz çizginin üzerinde yer aldığı ve bu nedenle çıkarmanın gerekli olduğu açıktır. |
.Nokta nokta çizgiler çizebilirsiniz ve entegrasyonun sınırları "kendiliğinden" netleşir. Bununla birlikte, örneğin grafik yeterince büyükse veya ayrıntılı yapı entegrasyon sınırlarını ortaya çıkarmıyorsa (kesirli veya irrasyonel olabilirler) bazen limit bulmanın analitik yönteminin kullanılması gerekir.
İstenilen şekil üstte bir parabol ve altta düz bir çizgi ile sınırlıdır.
Segmentte 
karşılık gelen formüle göre:
Cevap: S=4,5 metrekare birim
Bir web sitesine matematiksel formüller nasıl eklenir?
Bir web sayfasına bir veya iki matematik formülü eklemeniz gerekirse, bunu yapmanın en kolay yolu makalede anlatıldığı gibidir: matematiksel formüller, Wolfram Alpha tarafından otomatik olarak oluşturulan resimler biçiminde siteye kolayca eklenir. . Bu evrensel yöntem, basitliğin yanı sıra sitenin arama motorlarındaki görünürlüğünün artırılmasına da yardımcı olacaktır. Uzun zamandır çalışıyor (ve sanırım sonsuza kadar çalışacak), ancak ahlaki açıdan zaten modası geçmiş.
Sitenizde düzenli olarak matematik formülleri kullanıyorsanız, MathML, LaTeX veya ASCIIMathML işaretlemesini kullanan web tarayıcılarında matematiksel gösterimleri görüntüleyen özel bir JavaScript kitaplığı olan MathJax'i kullanmanızı öneririm.
MathJax'i kullanmaya başlamanın iki yolu vardır: (1) basit bir kod kullanarak, uzak bir sunucudan doğru zamanda (sunucu listesi) otomatik olarak yüklenecek bir MathJax komut dosyasını web sitenize hızlı bir şekilde bağlayabilirsiniz; (2) MathJax betiğini uzak bir sunucudan sunucunuza indirin ve sitenizin tüm sayfalarına bağlayın. Daha karmaşık ve zaman alıcı olan ikinci yöntem, sitenizin sayfalarının yüklenmesini hızlandıracaktır ve eğer ana MathJax sunucusu herhangi bir nedenle geçici olarak kullanılamaz hale gelirse, bu durum kendi sitenizi hiçbir şekilde etkilemeyecektir. Bu avantajlarına rağmen daha basit, hızlı olması ve teknik beceri gerektirmemesi nedeniyle ilk yöntemi tercih ettim. Örneğimi takip edin ve sadece 5 dakika içinde MathJax'in tüm özelliklerini sitenizde kullanabileceksiniz.
MathJax kütüphane komut dosyasını, ana MathJax web sitesinden veya dokümantasyon sayfasından alınan iki kod seçeneğini kullanarak uzak bir sunucudan bağlayabilirsiniz:
Bu kod seçeneklerinden birinin kopyalanıp web sayfanızın koduna, tercihen etiketlerin arasına ve/veya etiketin hemen sonrasına yapıştırılması gerekir. İlk seçeneğe göre MathJax daha hızlı yükleniyor ve sayfayı daha az yavaşlatıyor. Ancak ikinci seçenek MathJax'in en son sürümlerini otomatik olarak izler ve yükler. İlk kodu eklerseniz periyodik olarak güncellenmesi gerekecektir. İkinci kodu girerseniz sayfalar daha yavaş yüklenir ancak sürekli MathJax güncellemelerini takip etmenize gerek kalmaz.
MathJax'e bağlanmanın en kolay yolu Blogger veya WordPress'tir: site kontrol paneline, üçüncü taraf JavaScript kodunu eklemek için tasarlanmış bir widget ekleyin, yukarıda sunulan indirme kodunun birinci veya ikinci sürümünü buraya kopyalayın ve widget'ı daha yakına yerleştirin şablonun başına (bu arada, MathJax betiği eşzamansız olarak yüklendiğinden bu hiç de gerekli değil). Bu kadar. Artık MathML, LaTeX ve ASCIIMathML'in işaretleme sözdizimini öğrenin ve sitenizin web sayfalarına matematiksel formüller eklemeye hazırsınız.
Herhangi bir fraktal, sürekli olarak sınırsız sayıda uygulanan belirli bir kurala göre oluşturulur. Bu tür zamanların her birine yineleme adı verilir.
Bir Menger süngeri oluşturmanın yinelemeli algoritması oldukça basittir: Kenarı 1 olan orijinal küp, yüzlerine paralel düzlemlerle 27 eşit küpe bölünür. Bir merkezi küp ve yüzleri boyunca ona bitişik 6 küp ondan çıkarılır. Sonuç, kalan 20 küçük küpten oluşan bir settir. Bu küplerin her biriyle aynı işlemi yaparak 400 küçük küpten oluşan bir set elde ediyoruz. Bu işlemi sonsuza kadar sürdürerek Menger süngeri elde ediyoruz.
$$ doğru parçası üzerinde negatif olmayan sürekli bir $f(x)$ fonksiyonunun grafiği ve $y=0, \ x=a$ ve $x=b$ doğruları ile sınırlanan şekle eğrisel yamuk denir.
Karşılık gelen eğrisel yamuğun alanı aşağıdaki formülle hesaplanır:
$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)
Eğrisel bir yamuğun alanını bulmak için problemleri koşullu olarak $4$ türlerine ayıracağız. Her türe daha ayrıntılı olarak bakalım.
Tip I: kavisli bir yamuk açıkça belirtilmiştir. Daha sonra hemen formülü (*) uygulayın.
Örneğin, $y=4-(x-2)^(2)$ fonksiyonunun grafiği ve $y=0, \ x=1$ ve $x çizgileriyle sınırlanan eğrisel bir yamuğun alanını bulun =3$.
Bu kavisli yamuğu çizelim.
Formül (*) kullanarak bu eğrisel yamuğun alanını buluyoruz.
$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\right|_(1)^(3)=$
$=4(3-1)-\frac(1)(3)\left((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\right)=4 \cdot 2 – \frac (1)(3)\left((1)^(3)-(-1)^(3)\right) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$
$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (birimler$^(2)$).
Tip II: kavisli yamuk örtülü olarak belirtilmiştir. Bu durumda, $x=a, \ x=b$ düz çizgileri genellikle belirtilmez veya kısmen belirtilir. Bu durumda $y=f(x)$ ve $y=0$ fonksiyonlarının kesişim noktalarını bulmanız gerekir. Bu noktalar $a$ ve $b$ noktaları olacaktır.
Örneğin, $y=1-x^(2)$ ve $y=0$ fonksiyonlarının grafikleriyle sınırlanan bir şeklin alanını bulun.
Kesişme noktalarını bulalım. Bunu yapmak için fonksiyonların sağ taraflarını eşitliyoruz.
Yani $a=-1$ ve $b=1$. Bu kavisli yamuğu çizelim.
Bu kavisli yamuğun alanını bulalım.
$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \left.\frac(x^(3))(3)\right|_ (-1)^(1)=$
$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\left(1^(3)-(-1)^(3)\right)=2 – \frac(1)(3) \left(1+1\right) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (birim$^(2)$).
Tip III: iki sürekli negatif olmayan fonksiyonun kesişimiyle sınırlı bir şeklin alanı. Bu şekil kavisli bir yamuk olmayacaktır, yani alanını formül (*) kullanarak hesaplayamazsınız. Nasıl olunur? Bu şeklin alanının, üst fonksiyon ve $y=0$ ($S_(uf)$) ile alt fonksiyon ve $y tarafından sınırlanan eğrisel yamukların alanları arasındaki fark olarak bulunabileceği ortaya çıktı. =0$ ($S_(lf)$), burada $x=a, \ x=b$ rolü bu fonksiyonların kesişme noktalarının $x$ koordinatları tarafından oynanır, yani.
$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)
Bu tür alanları hesaplarken en önemli şey üst ve alt fonksiyonların seçimini “kaçırmamak”tır.
Örneğin, $y=x^(2)$ ve $y=x+6$ fonksiyonlarıyla sınırlanan bir şeklin alanını bulun.
Bu grafiklerin kesişim noktalarını bulalım:
Vieta'nın teoremine göre,
$x_(1)=-2,\ x_(2)=3.$
Yani, $a=-2,\b=3$. Bir şekil çizelim:
Böylece, üstteki işlev $y=x+6$ ve alttaki işlev $y=x^(2)$ olur. Daha sonra, (*) formülünü kullanarak $S_(uf)$ ve $S_(lf)$'ı buluyoruz.
$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2) )^(3)(6dx)=\left.\frac(x^(2))(2)\right|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 0,5$ (birim$^(2)$).
$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\left.\frac(x^(3))(3)\right|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (birim$^(2)$).
Bulduklarımızı (**) yerine koyalım ve şunu elde edelim:
$S=32.5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (birimler$^(2)$).
Tip IV: Negatif olmama koşulunu sağlamayan bir fonksiyon (lar) tarafından sınırlanan bir şeklin alanı. Böyle bir şeklin alanını bulmak için $Ox$ eksenine göre simetrik olmanız gerekir ( Diğer bir deyişle, fonksiyonların önüne “eksiler” koyun) alanı görüntüleyin ve tip I – III'te belirtilen yöntemleri kullanarak görüntülenen alanın alanını bulun. Bu alan gerekli alan olacaktır. Öncelikle fonksiyon grafiklerinin kesişim noktalarını bulmanız gerekebilir.
Örneğin, $y=x^(2)-1$ ve $y=0$ fonksiyonlarının grafikleriyle sınırlanan bir şeklin alanını bulun.
Fonksiyon grafiklerinin kesişim noktalarını bulalım:
onlar. $a=-1$ ve $b=1$. Alanı çizelim.
Alanı simetrik olarak gösterelim:
$y=0 \ \Rightarrow \ y=-0=0$
$y=x^(2)-1 \ \Rightarrow \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.
Sonuç, $y=1-x^(2)$ ve $y=0$ fonksiyonunun grafiğiyle sınırlanan eğrisel bir yamuktur. Bu, ikinci tipte kavisli bir yamuk bulmak için bir sorundur. Biz bunu zaten çözdük. Cevap şuydu: $S= 1\frac(1)(3)$ (birimler $^(2)$). Bu, gerekli eğrisel yamuğun alanının şuna eşit olduğu anlamına gelir:
$S=1\frac(1)(3)$ (birimler$^(2)$).
Ox ekseni, y=f(x) eğrisi ve iki düz çizgiyle (x=a ve x=b) sınırlanan kavisli bir yamuk düşünelim (Şekil 85). X'in keyfi bir değerini alalım (sadece a değil, b değil). Buna bir h = dx artışı verelim ve AB ve CD düz çizgileri, Ox ekseni ve söz konusu eğriye ait BD yayı ile sınırlanmış bir şerit düşünelim. Bu şeride temel şerit adını vereceğiz. Temel bir şeridin alanı, ACQB dikdörtgeninin alanından BQD eğrisel üçgeni ile farklıdır ve ikincisinin alanı, kenarları BQ = = h= olan BQDM dikdörtgeninin alanından daha azdır. dx) QD=Ay ve alan hAy = Ay dx'e eşittir. h tarafı azaldıkça Du tarafı da azalır ve h ile eş zamanlı olarak sıfıra doğru yönelir. Bu nedenle BQDM'nin alanı ikinci dereceden sonsuz küçüktür. Temel bir şeridin alanı, alanın artmasıdır ve AB-AC ==/(x) dx>'e eşit olan ACQB dikdörtgeninin alanı, alanın diferansiyelidir. Sonuç olarak, diferansiyelini entegre ederek alanın kendisini buluyoruz. Söz konusu şekilde, bağımsız değişken l: a'dan b'ye değişir, dolayısıyla gerekli alan 5, 5= \f(x) dx'e eşit olacaktır. (I) Örnek 1. y - 1 -x* parabolünün, X =--Fj-, x = 1 düz çizgilerinin ve O* ekseninin sınırladığı alanı hesaplayalım (Şekil 86). Şek. 87. Şek. 86. 1 Burada f(x) = 1 - l?, integralin sınırları a = - ve £ = 1'dir, dolayısıyla J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Örnek 2. Sinüsoid y = sinXy, Ox ekseni ve düz çizgi ile sınırlanan alanı hesaplayalım (Şekil 87). Formül (I)'i uygulayarak A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf elde ederiz. Örnek 3. Sinüsoidin yayı ile sınırlı alanı hesaplayın ^у = sin jc, ekte Ox ekseni ile iki bitişik kesişme noktası arasında (örneğin, orijin ile apsis i'nin bulunduğu nokta arasında). Geometrik değerlendirmelerden bu alanın önceki örneğin alanının iki katı olacağı açıktır. Ancak hesaplamaları yapalım: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Gerçekten de varsayımımızın doğru olduğu ortaya çıktı. Örnek 4. Bir periyotta sinüzoidin ve Ox ekseninin sınırladığı alanı hesaplayın (Şekil 88). Ön hesaplamalar, alanın Örnek 2'dekinden dört kat daha büyük olacağını göstermektedir. Ancak hesaplamaları yaptıktan sonra şunu elde ederiz: “i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l - (-cos 0) = - 1 + 1 = 0. Bu sonuç açıklama gerektirir. Konunun özünü açıklığa kavuşturmak için, aynı sinüzoid y = sin l: ve Ox ekseni tarafından l ila 2i aralığında sınırlanan alanı da hesaplıyoruz. Formül (I)'i uygulayarak, 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2 elde ederiz. Böylece bu alanın negatife döndüğünü görüyoruz. Bunu alıştırma 3'te hesaplanan alanla karşılaştırdığımızda mutlak değerlerinin aynı olduğunu ancak işaretlerin farklı olduğunu görüyoruz. V özelliğini uygularsak (bkz. Bölüm XI, § 4), 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0Bu örnekte yaşananlar bir kaza değildir. İntegraller kullanılarak hesaplandığında, bağımsız değişkenin soldan sağa değişmesi koşuluyla her zaman Ox ekseninin altında bulunan alan elde edilir. Bu derste her zaman işaretlerin bulunmadığı alanları ele alacağız. Bu nedenle, az önce tartışılan örnekteki cevap şöyle olacaktır: gerekli alan 2 + |-2| = 4. Örnek 5. Şekil 2'de gösterilen BAB'nin alanını hesaplayalım. 89. Bu alan Ox ekseni, y = - xr parabolü ve y - = -x+\ düz çizgisiyle sınırlıdır. Eğrisel bir yamuğun alanı Gerekli alan OAB iki bölümden oluşur: OAM ve MAV. A noktası bir parabol ile düz bir çizginin kesişme noktası olduğundan, koordinatlarını 3 2 Y = mx denklem sistemini çözerek bulacağız. (Sadece A noktasının apsisini bulmamız gerekiyor). Sistemi çözerek l'yi buluyoruz; = ~. Bu nedenle alanın ilk kare olarak parçalar halinde hesaplanması gerekir. OAM ve ardından pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x)