Bu yazıda ne olduğunu anlayacağız derecesi. Burada bir sayının kuvvetinin tanımlarını vereceğiz ve doğal üsle başlayıp irrasyonel üsle biten tüm olası üsleri ayrıntılı olarak ele alacağız. Materyalde, ortaya çıkan tüm incelikleri kapsayan birçok derece örneği bulacaksınız.

Sayfada gezinme.

Doğal üslü kuvvet, sayının karesi, sayının küpü

İle başlayalım . İleriye baktığımızda, bir a sayısının kuvvetinin tanımının doğal gösterge n, diyeceğimiz a için verilmiştir derece esası, ve n diyeceğiz üs. Ayrıca, doğal üslü bir derecenin bir çarpım yoluyla belirlendiğini de not ediyoruz; bu nedenle, aşağıdaki materyali anlamak için sayıları çarpma konusunda bilgi sahibi olmanız gerekir.

Tanım.

Doğal üssü n olan bir sayının kuvveti değeri, her biri a'ya eşit olan n faktörün çarpımına eşit olan, yani n formunun bir ifadesidir.
Özellikle üssü 1 olan bir a sayısının kuvveti a sayısının kendisidir, yani a 1 =a'dır.

Derece okuma kurallarından hemen bahsetmeye değer. Evrensel yöntem a n girdisini okumak şu şekildedir: “a üzeri n”. Bazı durumlarda şu seçenekler de kabul edilebilir: "a'nın n'inci kuvveti" ve "a'nın n'inci kuvveti". Örneğin, 8 12'nin kuvvetini ele alalım, bu "sekiz üssü on iki" veya "sekiz üssü on ikinci" veya "sekizin on ikinci kuvveti".

Bir sayının ikinci kuvvetinin yanı sıra bir sayının üçüncü kuvvetinin de kendi isimleri vardır. Bir sayının ikinci kuvvetine denir sayının karesini almakörneğin 7 2, "yedi kare" veya "yedi sayısının karesi" olarak okunur. Bir sayının üçüncü kuvvetine denir küplü sayılarörneğin 5 3 “beşin küpü” olarak okunabilir veya “5 sayısının küpü” diyebilirsiniz.

getirme zamanı geldi doğal üslü derece örnekleri. Derece 5 7 ile başlayalım, burada 5 derecenin tabanı, 7 ise üssü. Bir örnek daha verelim: 4,32 taban, 9 doğal sayısı ise (4,32) 9 üssüdür.

Lütfen şunu unutmayın: son örnek 4.32 derecesinin tabanı parantez içinde yazılmıştır: tutarsızlıkları önlemek için, doğal sayılardan farklı olan tüm derece tabanlarını parantez içine alacağız. Örnek olarak aşağıdaki dereceleri doğal üslerle birlikte veriyoruz , tabanları doğal sayı olmadığından parantez içinde yazılırlar. Tam bir açıklık sağlamak için, bu noktada (−2) 3 ve −2 3 formundaki kayıtların içerdiği farkı göstereceğiz. (−2) 3 ifadesi, doğal üssü 3 olan −2'nin kuvvetidir ve −2 3 ifadesi (−(2 3) olarak da yazılabilir) 2 3 kuvvetinin değeri olan sayıya karşılık gelir. .

a^n biçiminde bir n üssüne sahip bir a sayısının kuvveti için bir gösterim olduğuna dikkat edin. Ayrıca n çok değerli bir doğal sayı ise üs parantez içine alınır. Örneğin, 4^9, 4 9'un kuvvetinin başka bir gösterimidir. Ve burada “^” sembolünü kullanarak derece yazmanın birkaç örneği daha var: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Aşağıda öncelikle a n formunun derece gösterimini kullanacağız.

Doğal üslü bir kuvvete yükseltmenin ters problemlerinden biri de kuvvetin tabanını bulma problemidir. bilinen değer derece ve bilinen gösterge. Bu görev şuna yol açar.

Rasyonel sayılar kümesinin tam sayılardan ve kesirlerden oluştuğu ve her birinin kesirli bir sayı pozitif veya negatif olarak temsil edilebilir ortak kesir. Tamsayı üssü olan bir dereceyi şu şekilde tanımladık: önceki paragraf bu nedenle derecenin tanımını tamamlamak için rasyonel gösterge a sayısının kuvvetine m/n kesirli üssüyle anlam vermeniz gerekir; burada m bir tamsayı ve n bir doğal sayıdır. Hadi yapalım.

Formun kesirli üssü olan bir dereceyi ele alalım. Güç-güç özelliğinin geçerli kalması için eşitliğin sağlanması gerekir . Ortaya çıkan eşitliği ve nasıl belirlediğimizi dikkate alırsak, m, n ve a verildiğinde ifadenin anlamlı olması koşuluyla bunu kabul etmek mantıklıdır.

Tamsayı üslü bir derecenin tüm özelliklerinin geçerli olup olmadığını kontrol etmek kolaydır (bu, rasyonel üslü bir derecenin bölüm özelliklerinde yapılmıştır).

Yukarıdaki mantık aşağıdakileri yapmamızı sağlar çözüm: m, n ve a ifadesi anlamlıysa, o zaman a'nın kesirli üssü m/n olan kuvvetine a'nın m üssünün n'inci kökü denir.

Bu ifade bizi kesirli üslü bir derecenin tanımına yaklaştırıyor. Geriye kalan tek şey m, n ve a ifadesinin hangi noktada anlamlı olduğunu açıklamaktır. M, n ve a'ya getirilen kısıtlamalara bağlı olarak iki ana yaklaşım vardır.

En kolay yol, pozitif m için a≥0 ve negatif m için a>0 alarak a'ya bir kısıtlama getirmektir (çünkü m≤0 için m'nin 0 derecesi tanımlanmamıştır). Sonra alırız aşağıdaki tanım kesirli bir üs ile derece.

Tanım.

Kesirli üssü m/n olan pozitif bir a sayısının kuvveti m bir tamsayı ve n bir doğal sayı olmak üzere, a sayısının m üssü n'inci kökü olarak adlandırılır.

Sıfırın kesirli kuvveti de göstergenin pozitif olması gerektiği yönündeki tek uyarıyla belirlenir.

Tanım.

Kesirli sayı ile sıfırın kuvveti olumlu gösterge a/n m pozitif bir tam sayı ve n bir doğal sayı olmak üzere şu şekilde tanımlanır: .
Derece belirlenmediğinde, yani sıfır sayısının kesirli derecesi negatif gösterge mantıklı değil.

Kesirli üslü derecenin bu tanımında bir uyarı bulunduğunu belirtmek gerekir: bazı negatif a ve bazı m ve n için ifade anlamlıdır ve a≥0 koşulunu getirerek bu durumları göz ardı ettik. Örneğin, girişler anlamlıdır veya , ve yukarıda verilen tanım bizi formun kesirli üssüne sahip kuvvetlerin olduğunu söylemeye zorluyor tabanın negatif olmaması gerektiği için mantıklı değil.

Kesirli m/n üssüyle bir derece belirlemeye yönelik başka bir yaklaşım, kökün çift ve tek üslerini ayrı ayrı dikkate almaktır. Bu yaklaşım gerektirir ek koşul: üssü olan bir sayının kuvveti, üssü buna karşılık gelen bir sayının kuvveti olarak kabul edilir indirgenemez kesir(Bu durumun önemi aşağıda anlatılacaktır). Yani, eğer m/n indirgenemez bir kesir ise, o zaman herhangi bir k doğal sayısı için derece ilk önce ile değiştirilir.

Çift n ve pozitif m için ifade, negatif olmayan herhangi bir a için anlamlıdır (negatif bir sayının çift kökü anlamlı değildir); negatif m için a sayısı yine de sıfırdan farklı olmalıdır (aksi takdirde bölme olacaktır). sıfır). Tek n ve pozitif m için a sayısı herhangi bir sayı olabilir (herhangi bir gerçek sayı için tek derecenin kökü tanımlanır) ve negatif m için a sayısı sıfır olmamalıdır (böylece sayıya bölünme olmaz) sıfır).

Yukarıdaki mantık bizi kesirli üslü bir derecenin tanımına götürür.

Tanım.

m/n indirgenemez bir kesir, m bir tam sayı ve n bir doğal sayı olsun. İndirgenebilir herhangi bir kesir için derece, ile değiştirilir. İndirgenemez kesirli üssü m/n olan bir sayının kuvveti



İndirgenebilir kesirli üssü olan bir derecenin neden ilk önce indirgenemez üssü olan bir dereceyle değiştirildiğini açıklayalım. Dereceyi basitçe olarak tanımlasaydık ve m/n kesirinin indirgenemezliği konusunda bir çekince koymasaydık aşağıdakine benzer durumlarla karşı karşıya kalırdık: 6/10 = 3/5 olduğuna göre eşitliğin sağlanması gerekir. , Ancak , A .

çarpma işlemiyle bulunabilir. Örneğin: 5+5+5+5+5+5=5x6. Böyle bir ifadeye, eşit terimlerin toplamının bir çarpıma katlanması denir. Tam tersi, bu eşitliği sağdan sola okursak eşit terimlerin toplamını genişlettiğimizi görürüz. Benzer şekilde, 5x5x5x5x5x5=5 6 gibi birkaç eşit faktörün çarpımını daraltabilirsiniz.

Yani altı özdeş çarpanı 5x5x5x5x5x5 ile çarpmak yerine 5 6 yazıp “beşin altıncı kuvveti” diyorlar.

5 6 ifadesi bir sayının kuvvetidir, burada:

5 - derece tabanı;

6 - üs.

Eşit faktörlerin çarpımının bir kuvvete indirgendiği eylemlere denir bir güce yükseltiyor.

İÇİNDE Genel görünüm"a" tabanı ve "n" üssü olan derece şu şekilde yazılır

A sayısını n üssüne çıkarmak, her biri a'ya eşit olan n faktörün çarpımını bulmak anlamına gelir.

“a” derecesinin tabanı 1 ise herhangi bir n doğal sayısının derece değeri 1 olacaktır. Örneğin 1 5 =1, 1 256 =1

Eğer “a” sayısını yükseltirseniz Birinci derece, o zaman a sayısının kendisini alırız: bir 1 = bir

Herhangi bir sayıyı yükseltirseniz sıfır derece, o zaman hesaplamalar sonucunda bir tane elde ederiz. 0 = 1

Bir sayının ikinci ve üçüncü kuvvetleri özel kabul edilir. Onlar için isimler buldular: ikinci dereceye denir sayının karesini almak, üçüncü - küp bu numara.

Herhangi bir sayının üssü pozitif, negatif veya sıfır olabilir. Bu durumda aşağıdaki kurallar geçerli değildir:

Pozitif bir sayının kuvveti bulunurken sonuç pozitif bir sayıdır.

Sıfırın doğal gücünü hesapladığımızda sıfır elde ederiz.

xm · xn = x m + n

örneğin: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7+(- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

İle Güçleri aynı temellere göre bölmek Tabanı değiştirmiyoruz, ancak üsleri çıkarıyoruz:

xm / xn = x m - n , Nerede, m > n,

örneğin: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

Hesaplarken bir gücü bir güce yükseltmek Tabanı değiştirmiyoruz, üsleri birbiriyle çarpıyoruz.

(m'de ) N = ym N

örneğin: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · n) n = x n · y m ,

örneğin:(2 3) 3 = 2 n 3 m,

Buna göre hesaplamalar yapılırken bir kesri bir kuvvete yükseltmek içerideyiz bu derece kesrin payını ve paydasını artırın

(x/y)n = x n / y n

örneğin: (2 / 5) 3 = (2 / 5) · (2 ​​/ 5) · (2 ​​/ 5) = 2 3 / 5 3.

Derece içeren ifadelerle çalışırken hesaplama sırası.

Parantezsiz ancak üs içeren ifadelerin hesaplamalarını yaparken öncelikle üs alma, sonra çarpma ve bölme, ardından da toplama ve çıkarma işlemlerini gerçekleştirirler.

Parantez içeren bir ifadeyi hesaplamanız gerekiyorsa, önce parantez içindeki hesaplamaları yukarıda belirtilen sırayla, ardından geri kalan işlemleri soldan sağa aynı sırayla yapın.

Hesaplamaları basitleştirmek için pratik hesaplamalarda çok yaygın olarak kullanılır. hazır masalar derece.

İlk seviye

Derece ve özellikleri. Kapsamlı rehber (2019)

Derecelere neden ihtiyaç duyulur? Onlara nerede ihtiyacınız olacak? Bunları incelemek için neden zaman ayırmalısınız?

Dereceler hakkında her şeyi, ne işe yaradıklarını, bilginizi eğitimde nasıl kullanacağınızı öğrenmek için Gündelik Yaşam bu makaleyi okuyun.

Ve elbette derece bilgisi sizi başarıya yaklaştıracaktır OGE'yi geçmek veya Birleşik Devlet Sınavı ve hayallerinizdeki üniversiteye kabul.

Hadi gidelim, hadi gidelim!)

Önemli Not! Formüller yerine gobbledygook'u görürseniz önbelleğinizi temizleyin. Bunu yapmak için CTRL+F5 (Windows'ta) veya Cmd+R (Mac'te) tuşlarına basın.

İLK SEVİYE

Bir güce yükselmek aynıdır matematiksel operasyon toplama, çıkarma, çarpma veya bölme gibi.

Şimdi her şeyi açıklayacağım insan diliçok basit örnekler. Dikkat olmak. Örnekler basit ama önemli şeyleri açıklıyor.

Eklemeyle başlayalım.

Burada açıklanacak bir şey yok. Zaten her şeyi biliyorsun: sekiz kişiyiz. Herkesin iki şişe kolası var. Ne kadar kola var? Bu doğru - 16 şişe.

Şimdi çarpma.

Kola ile aynı örneği farklı şekilde yazabiliriz: . Matematikçiler kurnaz ve tembel insanlardır. Önce bazı kalıpları fark ediyorlar, sonra bunları daha hızlı "saymanın" bir yolunu buluyorlar. Bizim durumumuzda sekiz kişiden her birinin aynı sayıda kola şişesine sahip olduğunu fark ettiler ve çarpma adı verilen bir teknik geliştirdiler. Katılıyorum, bundan daha kolay ve daha hızlı kabul ediliyor.

Yani daha hızlı, daha kolay ve hatasız saymak için sadece şunu hatırlamanız gerekir: çarpım tablosu. Elbette her şeyi daha yavaş, daha zor ve hatalarla yapabilirsiniz! Ancak…

İşte çarpım tablosu. Tekrarlamak.

Ve bir tane daha, daha güzeli:

Tembel matematikçiler başka hangi zekice sayma hilelerini buldular? Sağ - bir sayıyı bir kuvvete yükseltmek.

Bir sayıyı bir kuvvete yükseltmek

Bir sayıyı kendisiyle beş kez çarpmak gerekiyorsa matematikçiler bu sayının beşinci kuvvetine çıkarmanız gerektiğini söylerler. Örneğin, . Matematikçiler ikinin beşinci kuvvetinin... Ve bu tür sorunları kafalarında çözüyorlar - daha hızlı, daha kolay ve hatasız.

Tek yapmanız gereken sayıların kuvvetleri tablosunda neyin renkli olarak vurgulandığını hatırlayın. İnanın bu hayatınızı çok kolaylaştıracak.

Bu arada neden ikinci derece deniyor? kare sayılar ve üçüncüsü - küp? Bu ne anlama geliyor? Çok iyi soru. Artık hem karelere hem de küplere sahip olacaksınız.

Gerçek hayattan örnek #1

Sayının karesi veya ikinci kuvvetiyle başlayalım.

Bir metreye bir metre ölçülerinde kare bir havuz hayal edin. Havuz sizin kulübenizde. Hava sıcak ve gerçekten yüzmek istiyorum. Ama... havuzun dibi yok! Havuzun altını fayanslarla kaplamanız gerekiyor. Kaç tane fayansa ihtiyacınız var? Bunu belirlemek için havuzun taban alanını bilmeniz gerekir.

Havuzun tabanının metre metre küplerden oluştuğunu parmağınızla işaret ederek kolayca hesaplayabilirsiniz. Bir metreye bir metrelik fayanslarınız varsa parçalara ihtiyacınız olacaktır. Çok kolay... Peki bu tür fayansları nerede gördünüz? Fayans büyük olasılıkla cm x cm olacak ve sonra "parmağınızla sayarak" işkence göreceksiniz. O zaman çoğalmanız gerekir. Böylece havuzun tabanının bir tarafına fayans (parçalar), diğer tarafına da fayans yerleştireceğiz. İle çarptığınızda fayans () elde edersiniz.

Havuz tabanının alanını belirlemek için aynı sayıyı kendisiyle çarptığımızı fark ettiniz mi? Bu ne anlama geliyor? Aynı sayıyı çarptığımız için “üs alma” tekniğini kullanabiliriz. (Elbette, yalnızca iki sayınız olduğunda, yine de bunları çarpmanız veya bir üssüne çıkarmanız gerekir. Ancak sayıların çoğuna sahipseniz, o zaman onları bir üssüne yükseltmek çok daha kolaydır ve ayrıca hesaplamalarda daha az hata olur. . Birleşik Devlet Sınavı için bu çok önemlidir).
Yani otuz üzeri ikinci kuvvet () olacaktır. Ya da otuzun karesi olacak diyebiliriz. Başka bir deyişle, bir sayının ikinci kuvveti her zaman kare olarak gösterilebilir. Ve tam tersi, eğer bir kare görürseniz, bu HER ZAMAN bir sayının ikinci kuvvetidir. Kare, bir sayının ikinci kuvvetinin görüntüsüdür.

Gerçek hayattan örnek #2

İşte size bir görev: Sayının karesini kullanarak satranç tahtasında kaç kare olduğunu sayın... Hücrelerin bir tarafında ve diğer tarafında da. Sayılarını hesaplamak için sekizi sekizle çarpmanız gerekir veya... eğer satranç tahtasının bir kenarı olan bir kare olduğunu fark ederseniz, o zaman sekizin karesini alabilirsiniz. Hücreleri alacaksınız. () Bu yüzden?

Gerçek hayattan örnek #3

Şimdi bir sayının küpü veya üçüncü kuvveti. Aynı havuz. Ama şimdi bu havuza ne kadar su dökülmesi gerektiğini öğrenmeniz gerekiyor. Hacmi hesaplamanız gerekir. (Bu arada hacimler ve sıvılar ölçülür metreküp. Beklenmedik, değil mi?) Bir havuz çizin: bir metre ölçülerinde bir taban ve bir metre derinlikte ve havuzunuza bir metreye bir metre ölçülerinde kaç küpün sığacağını saymaya çalışın.

Sadece parmağınızı doğrultun ve sayın! Bir, iki, üç, dört...yirmi iki, yirmi üç...Kaç tane aldın? Kayıp değil? Parmağınızla saymak zor mu? Böylece! Matematikçilerden bir örnek alın. Tembeller, bu yüzden havuzun hacmini hesaplamak için uzunluğunu, genişliğini ve yüksekliğini birbiriyle çarpmanız gerektiğini fark ettiler. Bizim durumumuzda havuzun hacmi küplere eşit olacaktır... Daha kolay değil mi?

Şimdi bunu da basitleştirirlerse matematikçilerin ne kadar tembel ve kurnaz olacağını hayal edin. Her şeyi tek bir eyleme indirgedik. Uzunluk, genişlik ve yüksekliğin eşit olduğunu ve aynı sayının kendisiyle çarpıldığını fark ettiler... Bu ne anlama geliyor? Bu, derecenin avantajlarından yararlanabileceğiniz anlamına gelir. Yani bir zamanlar parmağınızla saydığınız şeyi tek bir hareketle yapıyorlar: üçün küpü eşittir. Şu şekilde yazılmıştır: .

Geriye kalan tek şey derece tablosunu hatırla. Tabii matematikçiler kadar tembel ve kurnaz değilseniz. Çok çalışmayı ve hata yapmayı seviyorsanız parmağınızla saymaya devam edebilirsiniz.

Nihayet sizi derecelerin pes edenler ve kurnaz insanlar tarafından kendi sorunlarını çözmek için icat edildiğine ikna etmek için. hayat problemleri ve size sorun yaratmamak için işte hayattan birkaç örnek daha.

Gerçek hayattan örnek #4

Bir milyon rublen var. Her yılın başında kazandığınız her milyona karşılık bir milyon daha kazanırsınız. Yani, sahip olduğunuz her milyon, her yılın başında iki katına çıkar. Yıllar sonra ne kadar paran olacak? Eğer şimdi oturuyorsanız ve "parmağınızla sayıyorsanız" bu çok iyi olduğunuz anlamına gelir. Çalışkan adam ve aptal. Ama büyük olasılıkla birkaç saniye içinde cevap vereceksiniz çünkü akıllısınız! Yani, ilk yılda - iki çarpı iki... ikinci yılda - ne oldu, ikiyle daha, üçüncü yılda... Durun! Sayının kendisi ile çarpıldığını fark ettiniz. Yani ikinin beşinci kuvveti bir milyondur! Şimdi hayal edin, bir yarışmanız var ve en hızlı sayabilen bu milyonları alacak... Sayıların kuvvetlerini hatırlamakta fayda var değil mi?

Gerçek hayattan örnek #5

Bir milyonun var. Her yılın başında kazandığınız her milyona karşılık iki tane daha kazanırsınız. Harika değil mi? Her milyon üçe katlanır. Bir yılda ne kadar paran olacak? Hadi sayalım. İlk yıl - çarpın, sonra sonucu başka biriyle çarpın... Zaten sıkıcı, çünkü zaten her şeyi anladınız: üç, kendisiyle çarpılır. Yani dördüncü kuvveti bir milyona eşittir. Sadece üçün dördüncü kuvvetinin veya olduğunu hatırlamanız gerekiyor.

Artık bir sayıyı bir kuvvete yükselterek hayatınızı çok daha kolaylaştıracağınızı biliyorsunuz. Derecelerle neler yapabileceğinize ve bunlar hakkında bilmeniz gerekenlere daha detaylı bir göz atalım.

Terimler ve kavramlar... kafanızın karışmaması için

O halde öncelikle kavramları tanımlayalım. Ne düşünüyorsun, üs nedir? Çok basit; sayının kuvvetinin "en üstünde" olan sayıdır. Bilimsel değil ama açık ve hatırlanması kolay...

Peki aynı zamanda ne böyle bir derece temeli? Daha da basit - bu, tabanda aşağıda bulunan sayıdır.

İşte iyi bir önlem için bir çizim.

Yani genel hatlarıyla genelleme yapmak ve daha iyi hatırlamak adına... Tabanı “ ” ve üssü “” olan derece, “dereceye” şeklinde okunur ve yazılır Aşağıdaki şekilde:

Doğal üssü olan bir sayının kuvveti

Muhtemelen zaten tahmin etmişsinizdir: çünkü üs bir doğal sayıdır. Evet ama nedir bu doğal sayı? İlköğretim! Doğal sayılar, nesneleri sıralarken saymada kullanılan sayılardır: bir, iki, üç... Nesneleri sayarken “eksi beş”, “eksi altı”, “eksi yedi” demeyiz. Ayrıca “üçte bir” ya da “sıfır nokta beş” demiyoruz. Bunlar doğal sayılar değil. Sizce bunlar hangi rakamlar?

“Eksi beş”, “eksi altı”, “eksi yedi” gibi sayılar bütün sayılar. Genel olarak tamsayılar, tüm doğal sayıları, doğal sayıların karşısındaki sayıları (yani eksi işaretiyle alınan) ve sayıları içerir. Sıfırın anlaşılması kolaydır; hiçbir şeyin olmadığı zamandır. Negatif (“eksi”) sayılar ne anlama geliyor? Ancak bunlar öncelikle borçları belirtmek için icat edildi: Telefonunuzda ruble cinsinden bakiyeniz varsa, bu, operatöre ruble borçlu olduğunuz anlamına gelir.

Tüm kesirler rasyonel sayılar. Sizce nasıl ortaya çıktılar? Çok basit. Birkaç bin yıl önce atalarımız uzunluk, ağırlık, alan vb. ölçmek için doğal sayıların eksik olduğunu keşfettiler. Ve şunu buldular rasyonel sayılar... İlginç, değil mi?

Biraz daha var mı irrasyonel sayılar. Bu sayılar nedir? Kısacası sonsuz ondalık. Örneğin bir dairenin çevresini çapına bölerseniz irrasyonel bir sayı elde edersiniz.

Özet:

Üssü doğal sayı (yani tamsayı ve pozitif) olan derece kavramını tanımlayalım.

1. Herhangi bir sayının birinci kuvveti kendisine eşittir:
2. Bir sayının karesini almak, onu kendisiyle çarpmak anlamına gelir:
3. Bir sayının küpü, onu kendisiyle üç kez çarpmak anlamına gelir:

Tanım. Sayıyı yükseltin doğal derece- bir sayının kendisi ile çarpılması anlamına gelir:
.

Derecelerin özellikleri

Bu özellikler nereden geldi? Şimdi sana göstereceğim.

Bakalım: nedir bu Ve ?

A-tarikatı:

Toplamda kaç çarpan var?

Çok basit: Faktörlere çarpanlar ekledik ve sonuç çarpanlardı.

Ancak tanım gereği bu, üslü bir sayının kuvvetidir, yani: kanıtlanması gereken şey budur.

Örnek: Ifadeyi basitleştir.

Çözüm:

Örnek: Ifadeyi basitleştir.

Çözüm: Kurallarımızda şunu belirtmek önemlidir: mutlaka olmalıdır aynı gerekçeler!
Bu nedenle güçleri tabanla birleştiriyoruz ancak bu ayrı bir faktör olarak kalıyor:

sadece güçlerin ürünü için!

Hiçbir durumda bunu yazamazsınız.

2. işte bu bir sayının kuvveti

Bir önceki özellikte olduğu gibi derecenin tanımına dönelim:

İfadenin kendisi ile çarpıldığı, yani tanıma göre bu sayının inci kuvveti olduğu ortaya çıktı:

Buna özünde “göstergeyi parantez dışına çıkarmak” da denilebilir. Ancak bunu asla toplamda yapamazsınız:

Kısaltılmış çarpma formüllerini hatırlayalım: Kaç kez yazmak istedik?

Ama sonuçta bu doğru değil.

Negatif tabanlı güç

Buraya kadar sadece üssün ne olması gerektiğini tartıştık.

Ama temeli ne olmalı?

yetkilerinde doğal gösterge temel olabilir herhangi bir numara. Aslında pozitif, negatif ve hatta herhangi bir sayıyı birbiriyle çarpabiliriz.

Hangi işaretlerin ("" veya "") pozitif ve negatif sayıların derecelerine sahip olacağını düşünelim?

Örneğin sayı pozitif mi negatif mi? A? ? İlkinde her şey açık: Ne kadar pozitif sayıyı birbirimizle çarparsak çarpalım sonuç pozitif olacaktır.

Ancak olumsuz olanlar biraz daha ilginç. 6. sınıftan kalma basit kuralı hatırlıyoruz: “eksi eksiye artı verir.” Yani ya da. Ama eğer çarparsak işe yarar.

Aşağıdaki ifadelerin hangi işarete sahip olacağını kendiniz belirleyin:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Becerebildin mi?

İşte yanıtlar: İlk dört örnekte umarım her şey açıktır? Sadece tabana ve üsse bakıp uygun kuralı uyguluyoruz.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Örnek 5'te her şey göründüğü kadar korkutucu değildir: sonuçta tabanın neye eşit olduğu önemli değildir - derece çifttir, bu da sonucun her zaman pozitif olacağı anlamına gelir.

Tabanın sıfır olduğu durumlar hariç. Taban eşit değil mi? Açıkçası hayır, çünkü (çünkü).

Örnek 6) artık o kadar basit değil!

Uygulamaya yönelik 6 örnek

Çözümün analizi 6 örnek

Sekizinci kuvveti göz ardı edersek burada ne görürüz? 7. sınıf programını hatırlayalım. Peki hatırlıyor musun? Bu kısaltılmış çarpma formülü, yani kareler farkıdır! Şunu elde ederiz:

Paydaya dikkatlice bakalım. Pay faktörlerinden birine çok benziyor ama sorun ne? Terimlerin sırası yanlış. Tersine çevrilmeleri durumunda kural geçerli olabilir.

Peki bunu nasıl yapmalı? Bunun çok kolay olduğu ortaya çıktı: paydanın eşit derecesi burada bize yardımcı oluyor.

Terimler sihirli bir şekilde yer değiştirdi. Bu “olgu” her ifade için eşit derecede geçerlidir: Parantez içindeki işaretleri kolaylıkla değiştirebiliriz.

Ancak şunu hatırlamak önemlidir: tüm işaretler aynı anda değişir!

Örneğe geri dönelim:

Ve yine formül:

Tüm doğal sayılara, onların karşıtlarına (yani " " işaretiyle alınanlara) ve sayı diyoruz.

pozitif tamsayı ve doğal olandan hiçbir farkı yok, o zaman her şey tam olarak önceki bölümdeki gibi görünüyor.

Şimdi yeni vakalara bakalım. Eşit bir göstergeyle başlayalım.

Herhangi bir sayı sıfır derece bire eşit:

Her zaman olduğu gibi kendimize şu soruyu soralım: Neden böyle?

Bir tabanı olan bir dereceyi düşünelim. Örneğin şunu alın ve şununla çarpın:

Yani sayıyı ile çarptık ve - ile aynı sonucu elde ettik. Hiçbir şeyin değişmemesi için hangi sayıyla çarpmanız gerekir? Aynen öyle. Araç.

Aynısını isteğe bağlı bir sayıyla da yapabiliriz:

Kuralı tekrarlayalım:

Herhangi bir sayının sıfır kuvveti bire eşittir.

Ancak birçok kuralın istisnaları vardır. Ve burada da orada - bu bir sayıdır (temel olarak).

Bir yandan herhangi bir dereceye eşit olmalıdır - sıfırı kendisiyle ne kadar çarparsanız çarparsanız çarpın yine sıfır elde edersiniz, bu açık. Ancak öte yandan herhangi bir sayının sıfır üssü gibi eşit olması gerekir. Peki bunun ne kadarı doğru? Matematikçiler bu işe karışmamaya karar verdiler ve sıfırın sıfır kuvvetini yükseltmeyi reddettiler. Yani artık sadece sıfıra bölmekle kalmıyoruz, aynı zamanda sıfırıncı kuvvetine de çıkarıyoruz.

Hadi devam edelim. Tam sayılar, doğal sayılar ve sayıların yanı sıra negatif sayıları da içerir. Negatif derecenin ne olduğunu anlamak için şu şekilde yapalım: son kez: biraz çarpın normal sayı aynısı için negatif derece:

Buradan aradığınızı ifade etmek kolaydır:

Şimdi ortaya çıkan kuralı keyfi bir dereceye kadar genişletelim:

O halde bir kural oluşturalım:

Bir sayının negatif kuvveti aynı sayının tersidir pozitif derece. Ama aynı zamanda Taban boş olamaz:(çünkü bölemezsiniz).

Özetleyelim:

I. İfade durumda tanımlanmamıştır. Eğer öyleyse.

II. Herhangi bir sayının sıfır kuvveti bire eşittir: .

III. Sayı değil sıfıra eşit, negatif derecede, aynı sayının pozitif derecede tersidir: .

Bağımsız çözüm için görevler:

Her zamanki gibi örnekler bağımsız karar:

Bağımsız çözüm için problemlerin analizi:

Biliyorum, rakamlar korkutucu ama Birleşik Devlet Sınavında her şeye hazırlıklı olmalısınız! Bu örnekleri çözün veya çözemediyseniz çözümlerini inceleyin, sınavda bunlarla kolayca baş etmeyi öğreneceksiniz!

Üslü olarak “uygun” sayı aralığını genişletmeye devam edelim.

Şimdi düşünelim rasyonel sayılar. Hangi sayılara rasyonel denir?

Cevap: Kesir olarak temsil edilebilecek her şey, burada ve tam sayıdır ve.

Ne olduğunu anlamak için "kesirli derece", kesri düşünün:

Denklemin her iki tarafının da üssünü alalım:

Şimdi şu kuralı hatırlayalım: "dereceden dereceye":

Almak için hangi sayının bir güce yükseltilmesi gerekir?

Bu formülasyon inci derecenin kökünün tanımıdır.

Size hatırlatmama izin verin: bir sayının () inci kuvvetinin kökü, bir kuvvete yükseltildiğinde eşit olan bir sayıdır.

Yani, inci kuvvetin kökü, bir kuvvete yükseltme işleminin ters işlemidir: .

Şekline dönüştü. Açıkçası bu özel durum genişletilebilir: .

Şimdi payı ekliyoruz: nedir bu? Güç-güç kuralını kullanarak cevabı elde etmek kolaydır:

Peki taban herhangi bir sayı olabilir mi? Sonuçta tüm sayıların kökü çıkarılamaz.

Hiçbiri!

Kuralı hatırlayalım: Çift kuvvete yükseltilen herhangi bir sayı pozitif bir sayıdır. Yani negatif sayılardan çift kök çıkarmak imkansızdır!

Bu, bu sayıların yükseltilemeyeceği anlamına gelir. kesirli güç eşit bir paydayla, yani ifadenin bir anlamı yoktur.

Peki ya ifade?

Ancak burada bir sorun ortaya çıkıyor.

Sayı, örneğin veya gibi diğer indirgenebilir kesirler biçiminde temsil edilebilir.

Ve var olduğu ortaya çıktı ama yok, ama bunlar sadece iki farklı girişler aynı numara.

Veya başka bir örnek: Bir kez, sonra yazabilirsiniz. Ancak göstergeyi farklı yazarsak başımız yine belaya girer: (yani tamamen farklı bir sonuç elde ettik!).

Bu tür paradokslardan kaçınmak için şunu düşünüyoruz: kesirli üssü olan tek pozitif taban üssü.

Yani eğer:

• - doğal sayı;
• - tamsayı;

Örnekler:

Rasyonel üsler, kökleri olan ifadeleri dönüştürmek için çok kullanışlıdır, örneğin:

Uygulamaya yönelik 5 örnek

Eğitim için 5 örneğin analizi

Eh, şimdi en zor kısım geliyor. Şimdi çözeceğiz irrasyonel üslü derece.

Buradaki derecelerin tüm kuralları ve özellikleri, istisna dışında, rasyonel üslü bir dereceyle tamamen aynıdır.

Sonuçta, tanım gereği irrasyonel sayılar, kesir olarak temsil edilemeyen sayılardır; burada ve tamsayılardır (yani, irrasyonel sayıların rasyonel olanlar dışında tümü gerçek sayılardır).

Doğal, tamsayılı ve rasyonel üslü dereceleri incelerken, her seferinde daha tanıdık terimlerle belirli bir "görüntü", "analoji" veya açıklama yarattık.

Örneğin, doğal üslü bir derece, kendisiyle birkaç kez çarpılan bir sayıdır;

...sayının sıfırıncı kuvveti- bu, kendisiyle bir kez çarpılmış bir sayıdır, yani onu çarpmaya henüz başlamamışlardır, bu da sayının henüz ortaya çıkmadığı anlamına gelir - bu nedenle sonuç yalnızca belirli bir "boş sayıdır" yani bir sayı;

...negatif tamsayı derecesi- sanki bir şey olmuş gibi " ters süreç"yani sayı kendisiyle çarpılmadı, bölündü.

Bu arada, bilimde bir derece karmaşık gösterge yani gösterge eşit değil gerçek Numara.

Ama okulda bu tür zorlukları düşünmüyoruz, enstitüde bu yeni kavramları kavrama fırsatı bulacaksınız.

NEREYE GİDECEĞİNİZDEN EMİN OLDUĞUMUZ! (bu tür örnekleri çözmeyi öğrenirseniz :))

Örneğin:

Kendin için karar ver:

Çözümlerin analizi:

1. Bir gücü bir güce yükseltmek için olağan kuralla başlayalım:

Şimdi göstergeye bakın. Sana hiçbir şey hatırlatmıyor mu? Kareler farkının kısaltılmış çarpımı formülünü hatırlayalım:

Bu durumda,

Şekline dönüştü:

Cevap: .

2. Üslü kesirleri aynı forma indirgeriz: ya her iki ondalık sayı ya da her ikisi de sıradan. Örneğin şunu elde ederiz:

Cevap: 16

3. Özel bir şey yok, derecelerin olağan özelliklerini kullanıyoruz:

İLERİ DÜZEY

Derecenin belirlenmesi

Derece, şu formun bir ifadesidir: , burada:

• — derece tabanı;
• - üs.

Doğal göstergeli derece (n = 1, 2, 3,...)

Bir sayıyı n'nin doğal kuvvetine yükseltmek, sayıyı kendisi ile çarpmak anlamına gelir:

Tam sayı üssü olan derece (0, ±1, ±2,...)

Üs ise pozitif tamsayı sayı:

Yapı sıfır dereceye kadar:

İfade belirsizdir, çünkü bir yanda herhangi bir dereceye kadar bu, diğer yanda ise herhangi bir sayının 1. derecesine kadar bu olur.

Üs ise negatif tamsayı sayı:

(çünkü bölemezsiniz).

Bir kez daha sıfırlar hakkında: ifade bu durumda tanımlanmamıştır. Eğer öyleyse.

Örnekler:

Rasyonel üslü kuvvet

• - doğal sayı;
• - tamsayı;

Örnekler:

Derecelerin özellikleri

Sorunları çözmeyi kolaylaştırmak için şunu anlamaya çalışalım: Bu özellikler nereden geldi? Bunları kanıtlayalım.

Bakalım: nedir ve?

A-tarikatı:

Yani bu ifadenin sağ tarafında aşağıdaki çarpımı elde ederiz:

Ancak tanım gereği bu, üssü olan bir sayının kuvvetidir, yani:

Q.E.D.

Örnek : Ifadeyi basitleştir.

Çözüm : .

Örnek : Ifadeyi basitleştir.

Çözüm : Kurallarımızda şunu belirtmek önemlidir: mutlaka aynı sebepler olmalı. Bu nedenle güçleri tabanla birleştiriyoruz ancak bu ayrı bir faktör olarak kalıyor:

Bir başka önemli not: bu kural - yalnızca güçlerin ürünü için!

Hiçbir durumda bunu yazamazsınız.

Bir önceki özellikte olduğu gibi derecenin tanımına dönelim:

Bu çalışmayı şu şekilde yeniden gruplayalım:

İfadenin kendisi ile çarpıldığı, yani tanıma göre bu sayının inci kuvveti olduğu ortaya çıktı:

Buna özünde “göstergeyi parantez dışına çıkarmak” da denilebilir. Ancak bunu asla toplamda yapamazsınız: !

Kısaltılmış çarpma formüllerini hatırlayalım: Kaç kez yazmak istedik? Ama sonuçta bu doğru değil.

Negatif tabanlı güç.

Bu noktaya kadar sadece nasıl olması gerektiğini tartıştık. dizin derece. Ama temeli ne olmalı? yetkilerinde doğal gösterge temel olabilir herhangi bir numara .

Aslında pozitif, negatif ve hatta herhangi bir sayıyı birbiriyle çarpabiliriz. Hangi işaretlerin ("" veya "") pozitif ve negatif sayıların derecelerine sahip olacağını düşünelim?

Örneğin sayı pozitif mi negatif mi? A? ?

İlkinde her şey açık: Ne kadar pozitif sayıyı birbirimizle çarparsak çarpalım sonuç pozitif olacaktır.

Ancak olumsuz olanlar biraz daha ilginç. 6. sınıftan kalma basit kuralı hatırlıyoruz: “eksi eksiye artı verir.” Yani ya da. Ancak () ile çarparsak - elde ederiz.

Ve bu böyle sonsuza kadar devam eder: Sonraki her çarpma işleminde işaret değişecektir. Aşağıdakileri formüle edebiliriz Basit kurallar:

1. eşit derece, - sayı pozitif.
2. Negatif sayı yükseltildi garip derece, - sayı olumsuz.
3. Pozitif sayı herhangi bir dereceye kadar pozitif bir sayıdır.
4. Sıfırın herhangi bir kuvveti sıfıra eşittir.

Aşağıdaki ifadelerin hangi işarete sahip olacağını kendiniz belirleyin:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Becerebildin mi? İşte yanıtlar:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

İlk dört örnekte umarım her şey açıktır? Sadece tabana ve üsse bakıp uygun kuralı uyguluyoruz.

Örnek 5'te her şey göründüğü kadar korkutucu değildir: sonuçta tabanın neye eşit olduğu önemli değildir - derece çifttir, bu da sonucun her zaman pozitif olacağı anlamına gelir. Tabanın sıfır olduğu durumlar hariç. Taban eşit değil mi? Açıkçası hayır, çünkü (çünkü).

Örnek 6) artık o kadar basit değil. Burada hangisinin daha az olduğunu bulmanız gerekiyor: veya? Bunu hatırlarsak, tabanın sıfırdan küçük olduğu anlaşılır. Yani kural 2'yi uyguluyoruz: sonuç negatif olacak.

Ve yine derecenin tanımını kullanıyoruz:

Her şey her zamanki gibi - derecelerin tanımını yazıp bunları birbirine bölüyoruz, çiftlere ayırıyoruz ve şunu elde ediyoruz:

Onu ayırmadan önce son kural, birkaç örnek çözelim.

İfadeleri hesaplayın:

Çözümler :

Sekizinci kuvveti göz ardı edersek burada ne görürüz? 7. sınıf programını hatırlayalım. Peki hatırlıyor musun? Bu kısaltılmış çarpma formülü, yani kareler farkıdır!

Şunu elde ederiz:

Paydaya dikkatlice bakalım. Pay faktörlerinden birine çok benziyor ama sorun ne? Terimlerin sırası yanlış. Eğer bunlar tersine çevrilseydi Kural 3 geçerli olabilirdi. Ama nasıl? Bunun çok kolay olduğu ortaya çıktı: paydanın eşit derecesi burada bize yardımcı oluyor.

Bunu çarparsanız hiçbir şey değişmez, değil mi? Ama şimdi durum şu şekilde ortaya çıkıyor:

Terimler sihirli bir şekilde yer değiştirdi. Bu “olgu” her ifade için eşit derecede geçerlidir: Parantez içindeki işaretleri kolaylıkla değiştirebiliriz. Ancak şunu hatırlamak önemlidir: Tüm işaretler aynı anda değişir! Hoşumuza gitmeyen tek bir dezavantajı değiştirerek değiştiremezsiniz!

Örneğe geri dönelim:

Ve yine formül:

Şimdi son kural:

Bunu nasıl kanıtlayacağız? Elbette her zamanki gibi: Derece kavramını genişletelim ve basitleştirelim:

Şimdi parantezleri açalım. Toplamda kaç harf var? çarpanlara göre çarpı - bu size neyi hatırlatıyor? Bu bir operasyonun tanımından başka bir şey değil çarpma işlemi: Orada sadece çarpanlar vardı. Yani, tanım gereği bu, üssü olan bir sayının kuvvetidir:

Örnek:

İrrasyonel üslü derece

Ortalama seviye için derecelerle ilgili bilgilere ek olarak, dereceyi irrasyonel bir üsle analiz edeceğiz. Buradaki derecelerin tüm kuralları ve özellikleri, rasyonel üslü bir derece ile tamamen aynıdır; ancak, sonuçta, tanım gereği, irrasyonel sayılar, kesir olarak temsil edilemeyen sayılardır; burada ve tamsayılardır (yani irrasyonel sayılar, rasyonel sayılar dışında tüm gerçek sayılardır).

Doğal, tamsayılı ve rasyonel üslü dereceleri incelerken, her seferinde daha tanıdık terimlerle belirli bir "görüntü", "analoji" veya açıklama yarattık. Örneğin, doğal üslü bir derece, kendisiyle birkaç kez çarpılan bir sayıdır; sıfır üssü bir sayı, olduğu gibi, kendisiyle bir kez çarpılmış bir sayıdır, yani onu çarpmaya henüz başlamamışlardır, bu da sayının kendisinin henüz ortaya çıkmadığı anlamına gelir - bu nedenle sonuç yalnızca belirlidir “boş sayı”, yani bir sayı; tamsayı negatif üssü olan bir derece - sanki bir tür "ters süreç" gerçekleşmiş gibi, yani sayı kendisiyle çarpılmamış, bölünmüş gibi.

İrrasyonel bir üste sahip bir dereceyi hayal etmek son derece zordur (tıpkı 4 boyutlu bir uzayı hayal etmenin zor olması gibi). Oldukça temiz matematiksel nesne matematikçilerin derece kavramını tüm sayılar uzayına yaymak için yarattığı.

Bu arada, bilimde karmaşık üslü bir derece sıklıkla kullanılır, yani üs gerçek bir sayı bile değildir. Ama okulda bu tür zorlukları düşünmüyoruz, enstitüde bu yeni kavramları kavrama fırsatı bulacaksınız.

Peki görürsek ne yapacağız? irrasyonel gösterge derece? Bundan kurtulmak için elimizden geleni yapıyoruz :)

Örneğin:

Kendin için karar ver:

1)

2)

3)

Yanıtlar:

1. Kareler farkı formülünün farkını hatırlayalım. Cevap: .
2. Kesirleri aynı forma indirgeriz: ya her ikisi de ondalık sayı ya da her ikisi de sıradan. Örneğin şunu elde ederiz: .
3. Özel bir şey yok, derecelerin olağan özelliklerini kullanıyoruz:

BÖLÜMÜN ÖZETİ VE TEMEL FORMÜLLER

Derece formun ifadesi olarak adlandırılır: , burada:

Tamsayı üssü olan derece

üssü bir doğal sayı olan (yani tamsayı ve pozitif) bir derece.

Rasyonel üslü kuvvet

Üssü negatif ve kesirli sayılar olan derece.

İrrasyonel üslü derece

üssü sonsuz bir ondalık kesir veya kök olan bir derece.

Derecelerin özellikleri

Derecelerin özellikleri.

• Negatif sayı yükseltildi eşit derece, - sayı pozitif.
• Negatif sayı yükseltildi garip derece, - sayı olumsuz.
• Herhangi bir dereceye kadar pozitif bir sayı pozitif bir sayıdır.
• Sıfır herhangi bir kuvvete eşittir.
• Herhangi bir sayının sıfır kuvveti eşittir.

ARTIK SÖZ SİZDE...

Makaleyi nasıl buldunuz? Beğenip beğenmediğinizi aşağıya yorum olarak yazın.

Derece özelliklerini kullanma deneyiminizi bize anlatın.

Belki sorularınız vardır. Veya öneriler.

Yorumlara yazın.

Ve sınavlarınızda iyi şanslar!

Aşağıdaki formül tanım olacaktır doğal üslü dereceler(a, kuvvetin tabanı ve tekrarlanan faktördür ve n, faktörün kaç kez tekrarlandığını gösteren üstür):

Bu ifade, faktörlerin her biri a'ya eşit olmasına rağmen, doğal üssü n olan bir a sayısının kuvvetinin n faktörün çarpımı olduğu anlamına gelir.

17^5=17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17=1\,419\,857

17 - temel derece,

5 - üs,

1419857 — derece değeri.

Üssü sıfır olan bir kuvvet, a\neq 0 olması şartıyla 1'e eşittir:

a^0=1 .

Örneğin: 2^0=1

Ne zaman yazmalı Büyük sayı Genellikle 10'un kuvvetleri kullanılır.

Örneğin Dünya üzerindeki en eski dinozorlardan biri yaklaşık 280 milyon yıl önce yaşamıştır. Yaşı şu şekilde yazılmıştır: 2,8 \cdot 10^8 .

1'den büyük her sayı \cdot 10^n şeklinde yazılabilir, ancak 1'dir.< a < 10 и n является положительным целым числом . Такую запись называют standart görünüm sayılar.

Bu tür sayılara örnekler: 6978=6,978 \cdot 10^3, 569000=5,69 \cdot 10^5.

Hem “a üzeri n'inci kuvvet” hem de “a sayısının n'inci kuvveti” ve “a üzeri n'inci kuvvet” diyebilirsiniz.

4^5 - “dört üssü 5” veya “4 üssü beşinci” ya da “4'ün beşinci kuvveti” de diyebilirsiniz

İÇİNDE bu örnekte 4 derecenin tabanı, 5 ise üssüdür.

Şimdi kesirlerle ve negatif sayılarla bir örnek verelim. Karışıklığı önlemek için, doğal sayılar dışındaki tabanları parantez içinde yazmak gelenekseldir:

(7,38)^2 , \left(\frac 12 \right)^7, (-1)^4 vb.

Şu farka da dikkat edin:

(-5)^6 - doğal üssü 6 olan negatif bir −5 sayısının kuvveti anlamına gelir.

5^6 - karşıt sayı olan 5^6'ya karşılık gelir.

Doğal üslü kuvvetlerin özellikleri

Derecenin temel özelliği

a^n \cdot a^k = a^(n+k)

Taban aynı kalır ancak üsler eklenir.

Örneğin: 2^3 \cdot 2^2 = 2^(3+2)=2^5

Aynı tabanlara sahip bölüm kuvvetlerinin özelliği

a^n: a^k=a^(n-k), eğer n > k ise.

Üsler çıkarılır ancak taban aynı kalır.

Bu n > k kısıtlaması doğal üslerin dışına çıkmamak için getirilmiştir. Aslında, n > k için a^(n-k) üssü şöyle olacaktır: doğal sayı, aksi takdirde ya negatif sayı(k< n ), либо нулем (k-n ).

Örneğin: 2^3: 2^2 = 2^(3-2)=2^1

Bir gücü bir güce yükseltme özelliği

(a^n)^k=a^(nk)

Taban aynı kalır, sadece üsler çarpılır.

Örneğin: (2^3)^6 = 2^(3 \cdot 6)=2^(18)

Bir çarpımın üssünün özelliği

Her faktör n kuvvetine yükseltilir.

a^n \cdot b^n = (ab)^n

Örneğin: 2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3=6^3

Bir kesrin üssünün özelliği

\frac(a^n)(b^n)=\left(\frac(a)(b) \right) ^n, b \neq 0

Bir kesrin hem payı hem de paydası bir kuvvete yükseltilir. \left(\frac(2)(5) \right)^3=\frac(2^3)(5^3)=\frac(8)(125)