จากมุมมองเชิงปฏิบัติความสนใจที่ยิ่งใหญ่ที่สุดคือการใช้อนุพันธ์เพื่อค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับอะไร? เพิ่มผลกำไรสูงสุด ลดต้นทุน กำหนดภาระของอุปกรณ์ที่เหมาะสมที่สุด... กล่าวอีกนัยหนึ่ง ในหลาย ๆ ด้านของชีวิต เราต้องแก้ไขปัญหาในการปรับพารามิเตอร์บางตัวให้เหมาะสม และนี่คือภารกิจในการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน
ควรสังเกตว่าค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันมักจะหาในช่วงเวลาหนึ่ง X ซึ่งเป็นโดเมนทั้งหมดของฟังก์ชันหรือส่วนหนึ่งของโดเมนคำจำกัดความ ช่วง X เองสามารถเป็นส่วนได้ ซึ่งเป็นช่วงเปิด 
, ช่วงเวลาอันไม่มีที่สิ้นสุด
ในบทความนี้เราจะพูดถึงการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดอย่างชัดเจน ฟังก์ชันที่กำหนดตัวแปรหนึ่งตัว y=f(x) .
การนำทางหน้า
ค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน - คำจำกัดความ ภาพประกอบ
ลองดูคำจำกัดความหลักโดยย่อ
ค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน 
นั่นสำหรับใครก็ตาม 
ความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริง
ค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน y=f(x) บนช่วง X เรียกว่าค่าดังกล่าว 
นั่นสำหรับใครก็ตาม ความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริง
คำจำกัดความเหล่านี้เข้าใจง่าย: ค่าที่ใหญ่ที่สุด (น้อยที่สุด) ของฟังก์ชันคือค่าที่ยอมรับมากที่สุด (น้อยที่สุด) ในช่วงเวลาที่กำลังพิจารณาที่ abscissa
จุดคงที่– นี่คือค่าของอาร์กิวเมนต์ที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันกลายเป็นศูนย์
เหตุใดเราจึงต้องมีจุดคงที่เมื่อค้นหาค่าที่มากที่สุดและน้อยที่สุด? คำตอบสำหรับคำถามนี้ได้มาจากทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ จากทฤษฎีบทนี้ เป็นไปตามว่าหากฟังก์ชันหาอนุพันธ์มีจุดสุดโต่ง (ค่าต่ำสุดเฉพาะจุดหรือค่าสูงสุดเฉพาะจุด) ณ จุดใดจุดหนึ่ง จุดนี้จะคงที่ ดังนั้น ฟังก์ชันมักจะใช้ค่าที่ใหญ่ที่สุด (น้อยที่สุด) ในช่วง X ในช่วงใดช่วงหนึ่ง จุดคงที่จากช่องว่างนี้
นอกจากนี้ฟังก์ชันมักจะรับค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุด ณ จุดที่ไม่มีอนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชันนี้และมีการกำหนดฟังก์ชันเอง
มาตอบคำถามที่พบบ่อยที่สุดในหัวข้อนี้ทันที: “เป็นไปได้หรือไม่ที่จะกำหนดค่าที่ใหญ่ที่สุด (น้อยที่สุด) ของฟังก์ชัน”? ไม่ไม่เสมอไป บางครั้งขอบเขตของช่วง X ตรงกับขอบเขตของโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน หรือช่วง X เป็นอนันต์ และฟังก์ชันบางฟังก์ชันที่อนันต์และที่ขอบเขตของโดเมนของคำจำกัดความสามารถรับทั้งค่าที่มากเป็นอนันต์และที่เล็กเป็นอนันต์ได้ ในกรณีเหล่านี้ ไม่สามารถพูดได้เกี่ยวกับค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน
เพื่อความชัดเจนเราจะให้ภาพประกอบกราฟิก ดูภาพแล้วจะชัดเจนขึ้นมาก
บนส่วน
ในรูปแรก ฟังก์ชันจะใช้ค่าที่ใหญ่ที่สุด (สูงสุด y) และค่าน้อยที่สุด (ต่ำสุด y) ที่จุดคงที่ซึ่งอยู่ภายในส่วน [-6;6]
พิจารณากรณีที่ปรากฎในรูปที่สอง มาเปลี่ยนส่วนเป็น. ในตัวอย่างนี้ ค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันจะได้มา ณ จุดที่อยู่นิ่ง และค่าที่ใหญ่ที่สุดที่จุดนั้นด้วยค่า Abscissa ที่สอดคล้องกับขอบเขตด้านขวาของช่วงเวลา
ในรูปที่ 3 จุดขอบเขตของเซ็กเมนต์ [-3;2] คือจุดขาดของจุดที่สอดคล้องกับค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน
ในช่วงเวลาเปิด
ในรูปที่สี่ ฟังก์ชันจะใช้ค่าที่ใหญ่ที่สุด (สูงสุด y) และค่าน้อยที่สุด (ต่ำสุด y) ที่จุดคงที่ซึ่งอยู่ภายในช่วงเปิด (-6;6)
ในช่วงเวลา ไม่สามารถสรุปเกี่ยวกับค่าที่มากที่สุดได้
ที่อนันต์
ในตัวอย่างที่แสดงในรูปที่ 7 ฟังก์ชันจะใช้ มูลค่าสูงสุด(max y) ที่จุดคงที่โดยมี abscissa x=1 และค่าที่น้อยที่สุด (min y) จะเกิดขึ้นบนขอบเขตด้านขวาของช่วง ที่ค่าอนันต์ลบ ค่าฟังก์ชันจะเข้าใกล้ y=3 เชิงซีมโตติคัล
ในช่วงเวลาดังกล่าว ฟังก์ชันจะไม่ได้ค่าที่น้อยที่สุดหรือค่าที่มากที่สุด เมื่อ x=2 เข้าใกล้จากทางขวา ค่าของฟังก์ชันมีแนวโน้มที่จะลบอนันต์ (เส้นตรง x=2 เป็นเส้นกำกับแนวตั้ง) และเมื่อ Abscissa มีแนวโน้มที่จะบวกอนันต์ ค่าของฟังก์ชันจะเข้าใกล้ y=3 ในรูปแบบเชิงเส้นกำกับ ภาพประกอบกราฟิกของตัวอย่างนี้แสดงในรูปที่ 8
อัลกอริทึมในการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันต่อเนื่องบนเซ็กเมนต์
ให้เราเขียนอัลกอริทึมที่ช่วยให้เราสามารถค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์
- เราค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันและตรวจสอบว่ามีส่วนทั้งหมดหรือไม่
- เราค้นหาจุดทั้งหมดที่ไม่มีอนุพันธ์อันดับหนึ่งและมีอยู่ในเซ็กเมนต์ (โดยปกติแล้วจุดดังกล่าวจะพบในฟังก์ชันที่มีอาร์กิวเมนต์ภายใต้เครื่องหมายโมดูลัสและใน ฟังก์ชั่นพลังงานด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน-ตรรกยะ) หากไม่มีจุดดังกล่าวให้ไปยังจุดถัดไป
- เรากำหนดจุดคงที่ทั้งหมดที่อยู่ในส่วนนั้น ในการทำเช่นนี้เราจัดให้มันเป็นศูนย์แก้สมการผลลัพธ์และเลือกรากที่เหมาะสม หากไม่มีจุดที่อยู่นิ่งหรือไม่มีจุดใดตกอยู่ในส่วน ให้ไปยังจุดถัดไป
- เราคำนวณค่าของฟังก์ชัน ณ จุดคงที่ที่เลือก (ถ้ามี) ณ จุดที่ไม่มีอนุพันธ์อันดับหนึ่ง (ถ้ามี) รวมถึงที่ x=a และ x=b
- จากค่าที่ได้รับของฟังก์ชันเราเลือกค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด - มันจะเป็นค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันที่ต้องการตามลำดับ
มาวิเคราะห์อัลกอริทึมในการแก้ตัวอย่างเพื่อค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์
ตัวอย่าง.
ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน
- ในส่วน;
- ในส่วน [-4;-1] .
สารละลาย.
โดเมนของฟังก์ชันคือเซตทั้งหมด ตัวเลขจริงยกเว้นศูนย์นั่นคือ ทั้งสองส่วนอยู่ในโดเมนคำจำกัดความ
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยคำนึงถึง: 
แน่นอนว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันมีอยู่ที่ทุกจุดของเซ็กเมนต์และ [-4;-1]
เราหาจุดคงที่จากสมการ เพียงผู้เดียว, เพียงคนเดียว รากที่แท้จริงคือ x=2 . จุดคงที่นี้อยู่ในส่วนแรก
ในกรณีแรก เราคำนวณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของส่วนและที่จุดคงที่ นั่นคือสำหรับ x=1, x=2 และ x=4: 
ดังนั้นค่าสูงสุดของฟังก์ชัน 
ทำได้ที่ x=1 และมีค่าน้อยที่สุด 
– ที่ x=2.
สำหรับกรณีที่สองเราคำนวณค่าฟังก์ชันเฉพาะที่ส่วนท้ายของส่วน [-4;-1] (เนื่องจากไม่มีจุดคงที่จุดเดียว): 
ในหลายด้านของชีวิต คุณอาจต้องเผชิญกับความจริงที่ว่าคุณต้องแก้ปัญหาบางอย่างโดยใช้ตัวเลข เช่น ในเศรษฐศาสตร์และการบัญชี คุณสามารถค้นหาค่าต่ำสุดและสูงสุดของตัวบ่งชี้บางตัวได้โดยการปรับพารามิเตอร์ที่กำหนดให้เหมาะสมเท่านั้น และนี่ก็ไม่มีอะไรมากไปกว่าการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด ส่วนที่กำหนดฟังก์ชั่น. ตอนนี้เรามาดูวิธีการหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันกัน
การค้นหาค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุด: คำแนะนำ
- ค้นหาว่าส่วนใดของฟังก์ชันที่คุณต้องการในการคำนวณค่า กำหนดด้วยจุด ช่วงเวลานี้สามารถเปิดได้ (เมื่อฟังก์ชันเท่ากับเซ็กเมนต์), ปิด (เมื่อฟังก์ชันอยู่ในเซ็กเมนต์) และไม่มีที่สิ้นสุด (เมื่อฟังก์ชันไม่สิ้นสุด)
- ค้นหาฟังก์ชันอนุพันธ์
- ค้นหาจุดบนส่วนของฟังก์ชันโดยที่อนุพันธ์เท่ากับศูนย์ เท่านี้ก็เรียบร้อย จุดวิกฤติ- จากนั้นคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้แล้วแก้สมการ ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดในบรรดาค่าที่ได้รับ
- เปิดเผยค่าฟังก์ชันบน จุดสิ้นสุดกำหนดที่ยิ่งใหญ่กว่าของพวกเขา
- เปรียบเทียบข้อมูลที่มีมูลค่ามากที่สุดและเลือกข้อมูลที่ใหญ่ที่สุด นี่จะเป็นค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน
จะค้นหาค่าจำนวนเต็มที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันได้อย่างไร? คุณต้องคำนวณว่าฟังก์ชันเป็นเลขคู่หรือคี่ แล้วจึงแก้โจทย์ ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง- หากได้รับตัวเลขเป็นเศษส่วน อย่านำมาพิจารณา ผลลัพธ์ของค่าจำนวนเต็มที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันจะเป็นจำนวนเต็มเท่านั้น
ในบทความนี้ ผมจะพูดถึงวิธีนำทักษะการค้นหาไปประยุกต์ใช้กับการศึกษาฟังก์ชัน เพื่อค้นหาค่าที่มากที่สุดหรือน้อยที่สุด จากนั้นเราจะแก้ไขปัญหาต่าง ๆ จากงาน B15 เปิดธนาคารงานสำหรับ.
ตามปกติเรามาจำทฤษฎีกันก่อน
เมื่อเริ่มต้นการศึกษาฟังก์ชันใดๆ เราจะพบว่า
ในการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดหรือน้อยที่สุดของฟังก์ชัน คุณต้องตรวจสอบว่าฟังก์ชันเพิ่มขึ้นในช่วงใดและลดลงช่วงใด
ในการทำเช่นนี้ เราจำเป็นต้องค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันและตรวจสอบช่วงของเครื่องหมายคงที่ นั่นคือช่วงที่อนุพันธ์ยังคงรักษาเครื่องหมายไว้
ช่วงเวลาที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นบวกคือช่วงของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น
ช่วงเวลาที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นลบคือช่วงของฟังก์ชันที่ลดลง
1. มาแก้งาน B15 (หมายเลข 245184) กัน
เพื่อแก้ปัญหานี้ เราจะทำตามอัลกอริทึมต่อไปนี้:
ก) ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน
b) ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกัน
c) ลองทำให้มันเป็นศูนย์กัน
d) ให้เราค้นหาช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่ของฟังก์ชัน
e) ค้นหาจุดที่ฟังก์ชันรับค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุด
f) ค้นหาค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนี้
ฉันอธิบายวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดสำหรับงานนี้ในวิดีโอสอน:
เบราว์เซอร์ของคุณอาจไม่รองรับ เพื่อใช้เทรนเนอร์” ชั่วโมงสอบ Unified State" ให้ลองดาวน์โหลด
ไฟร์ฟอกซ์
2. มาแก้งาน B15 (หมายเลข 282862) กัน
ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน 
บนส่วน
เห็นได้ชัดว่าฟังก์ชันรับค่าสูงสุดของส่วนที่จุดสูงสุดที่ x=2 ลองหาค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนี้:
คำตอบ: 5
3. มาแก้งาน B15 (หมายเลข 245180):
ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน 
1. title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}
2. เพราะตามโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันดั้งเดิม title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}
3. ตัวเศษ เท่ากับศูนย์ที่ . ลองตรวจสอบว่ามันเป็นของ ฟังก์ชัน ODZ- เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เรามาตรวจสอบว่าเงื่อนไข title="4-2x-x^2>0"> при .!}
หัวข้อ="4-2(-1)-((-1))^2>0">,
ซึ่งหมายความว่าจุดนั้นเป็นของฟังก์ชัน ODZ
ลองตรวจสอบเครื่องหมายของอนุพันธ์ทางด้านขวาและด้านซ้ายของจุด:
เราจะเห็นว่าฟังก์ชันนี้รับค่าสูงสุด ณ จุดนั้น ทีนี้ลองหาค่าของฟังก์ชันที่:
หมายเหตุ 1. โปรดทราบว่าในปัญหานี้ เราไม่พบโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน เราเพียงแต่แก้ไขข้อจำกัดและตรวจสอบว่าจุดที่อนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์เป็นของโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันหรือไม่ ปรากฏว่าเพียงพอแล้วสำหรับงานนี้ อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ใช่กรณีเสมอไป มันขึ้นอยู่กับงาน
หมายเหตุ 2. เมื่อศึกษาพฤติกรรม ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนคุณสามารถใช้กฎนี้:
- ถ้า ฟังก์ชั่นภายนอกของฟังก์ชันที่ซับซ้อนเพิ่มขึ้น จากนั้นฟังก์ชันจะรับค่าสูงสุด ณ จุดเดียวกับที่ฟังก์ชันภายในรับค่าสูงสุด สิ่งนี้ตามมาจากคำจำกัดความของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น: ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นในช่วงเวลา I ถ้า มูลค่าที่สูงขึ้นอาร์กิวเมนต์จากช่วงเวลานี้สอดคล้องกับค่าที่มากขึ้นของฟังก์ชัน
- ถ้าฟังก์ชันภายนอกของฟังก์ชันที่ซับซ้อนลดลง ฟังก์ชันนั้นจะรับค่าที่ใหญ่ที่สุด ณ จุดเดียวกับที่ฟังก์ชันภายในรับค่าที่น้อยที่สุด - สิ่งนี้ตามมาจากคำจำกัดความของฟังก์ชันที่ลดลง: ฟังก์ชันจะลดลงในช่วงเวลา I หากค่าที่มากกว่าของอาร์กิวเมนต์จากช่วงเวลานี้สอดคล้องกับค่าที่น้อยกว่าของฟังก์ชัน
ในตัวอย่างของเรา ฟังก์ชันภายนอกจะเพิ่มขึ้นตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด ภายใต้เครื่องหมายลอการิทึมจะมีนิพจน์ - ตรีโกณมิติกำลังสองซึ่งเมื่อมีค่าสัมประสิทธิ์นำเป็นลบ จะใช้ค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุด ณ จุดนั้น 
- ต่อไป เราจะแทนค่า x นี้ลงในสมการของฟังก์ชัน และค้นพบคุณค่าสูงสุดของมัน
คำแนะนำด้านระเบียบวิธีสำหรับการศึกษาหัวข้อ “ค่าหลายค่าของฟังก์ชัน ค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน”
ในทางคณิตศาสตร์นั้นหมายถึงวิธีการหลัก
เพื่อให้บรรลุความจริง - การอุปนัยและการเปรียบเทียบ
ให้ไว้: - ฟังก์ชั่น มาแสดงกันเถอะ 
- โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน
ชุด (โดเมน) ของค่าของฟังก์ชันคือชุดของค่าทั้งหมดที่ฟังก์ชันสามารถรับได้ 
. ในเชิงเรขาคณิต นี่หมายถึงการฉายกราฟของฟังก์ชันไปบนแกน 
.
ถ้ามีประเด็น 
เพื่อใครก็ตาม 
ของเซตมีความไม่เท่ากัน 
จากนั้นพวกเขาก็บอกว่าฟังก์ชันในชุดจะเข้ามาแทนที่ ค่าที่น้อยที่สุด
หากมีประเด็นที่ความไม่เท่าเทียมกันเกิดขึ้นกับเซตใดเซตหนึ่ง 
จากนั้นพวกเขาก็บอกว่าฟังก์ชันในชุดจะเข้ามาแทนที่ มูลค่าสูงสุด
.
ฟังก์ชันนี้เรียกว่า ขอบเขตด้านล่างในชุดถ้ามีตัวเลขดังกล่าวอยู่ 
- ในเชิงเรขาคณิต หมายความว่ากราฟของฟังก์ชันไม่ต่ำกว่าเส้นตรง 
.
ฟังก์ชันนี้เรียกว่า ขอบเขตด้านบนในชุดถ้ามีตัวเลขดังกล่าวอยู่ 
ว่าเซตใดเซตหนึ่งอสมการจะเป็นจริง 
- ในเชิงเรขาคณิต หมายความว่ากราฟของฟังก์ชันไม่สูงกว่าเส้นตรง 
ฟังก์ชันนี้เรียกว่า ถูก จำกัดบนชุดถ้ามีขอบเขตอยู่บนชุดนี้จากด้านล่างและด้านบน ขอบเขตของฟังก์ชันหมายความว่ากราฟอยู่ภายในแถบแนวนอนที่กำหนด
อสมการของคอชีเกี่ยวกับค่าเฉลี่ยเลขคณิตและค่าเฉลี่ยเรขาคณิต 
:
>
,
>0) ตัวอย่าง: 
ค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันในช่วงเวลาหนึ่ง
(เซ็กเมนต์, ช่วงเวลา, เรย์)
คุณสมบัติของฟังก์ชันต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่ง
1. หากฟังก์ชันต่อเนื่องในส่วนใดส่วนหนึ่งก็จะถึงทั้งค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของมัน
2. ฟังก์ชันต่อเนื่องสามารถเข้าถึงค่าสูงสุดและต่ำสุดทั้งที่ส่วนท้ายของส่วนและภายในส่วนนั้น
3. หากได้รับค่าสูงสุด (หรือน้อยที่สุด) ภายในส่วน ให้เฉพาะจุดคงที่หรือจุดวิกฤติเท่านั้น
อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาค่าที่มากที่สุดและน้อยที่สุด
ฟังก์ชันต่อเนื่องในส่วนนั้น 
1. ค้นหาอนุพันธ์ 
.
2. ค้นหาจุดคงที่และจุดวิกฤติที่อยู่ในส่วนนั้น .
3. ค้นหาค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนิ่งและจุดวิกฤติที่เลือก และที่ส่วนท้ายของส่วน เช่น 
และ 
.
4.ในบรรดาค่าที่พบ ให้เลือกค่าที่น้อยที่สุด (ซึ่งจะเป็น 
) และยิ่งใหญ่ที่สุด (นี่จะเป็น 
)
คุณสมบัติของฟังก์ชันต่อเนื่องที่โมโนโทนิกในช่วงเวลาหนึ่ง:
เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องในส่วน
ฟังก์ชันถึงค่าสูงสุดที่ 
, เล็กที่สุด – ที่ 
.
ลดลงอย่างต่อเนื่องในส่วนงาน ฟังก์ชันถึงค่าสูงสุดที่ และค่าต่ำสุดที่
ถ้าค่าฟังก์ชัน 
ไม่ติดลบในบางช่วง จากนั้นฟังก์ชันนี้และฟังก์ชัน 
โดยที่ n คือจำนวนธรรมชาติ จะนำค่าที่ใหญ่ที่สุด (น้อยที่สุด) ที่จุดเดียวกัน
การหาค่าที่มากที่สุดและน้อยที่สุด ฟังก์ชั่นต่อเนื่องในช่วงเวลา 
หรือบนคาน
(ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพ)
หากฟังก์ชันต่อเนื่องมีจุดสุดขีดจุดเดียวในช่วงเวลาหรือรังสี และจุดสุดขีดนี้คือค่าสูงสุดหรือต่ำสุด จากนั้น ณ จุดนี้ ค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชัน ( หรือ ) จะเกิดขึ้นได้
การประยุกต์คุณสมบัติของความน่าเบื่อของฟังก์ชัน
1. ฟังก์ชันที่ซับซ้อนที่ประกอบด้วยฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นสองฟังก์ชันกำลังเพิ่มขึ้น
2.หากฟังก์ชันเพิ่มขึ้นและฟังก์ชัน 
ลดลงแล้วจึงทำหน้าที่ 
- ลดลง
3. ผลรวมของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น (ลดลง) สองฟังก์ชัน และฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น (ลดลง)
4. ถ้าอยู่ในสมการ 
ทางด้านซ้ายเป็นฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น (หรือลดลง) จากนั้นสมการจะมีรากได้มากสุดเพียง 1 ราก
5.หากฟังก์ชันเพิ่มขึ้น (ลดลง) และฟังก์ชันลดลง (เพิ่มขึ้น) แล้วสมการ 
มีวิธีแก้ปัญหาได้มากที่สุดหนึ่งข้อ
6. สมการ 
มีอย่างน้อยหนึ่งรูทก็ต่อเมื่อเท่านั้น 
เป็นของหลายความหมาย 
ฟังก์ชั่น 
.
การประยุกต์คุณสมบัติของฟังก์ชันที่มีขอบเขต
1. ถ้าด้านซ้ายของสมการ (อสมการ) ( 
น้อยกว่าหรือเท่ากับจำนวนหนึ่ง ( 
) และด้านขวามากกว่าหรือเท่ากับตัวเลขนี้ () แล้วระบบ 
คำตอบก็คือคำตอบของสมการ (อสมการ) นั่นเอง
งานการควบคุมตนเอง
แอปพลิเคชัน:
3. ค้นหาค่าทั้งหมดที่มีสมการ 
มีวิธีแก้ปัญหา
การบ้าน
1. ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน:
, ถ้า 
.
2. ค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน:
.
3. ค้นหาค่าจำนวนเต็มที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน:
.
ผู้ที่สอดคล้องกับ ที่ยิ่งใหญ่ที่สุด- ในอุดมคติ-...
คำแนะนำด้านระเบียบวิธีสำหรับชั้นเรียนภาคปฏิบัติ หัวข้อ: บทนำ ประวัติโดยย่อของภาษาละติน ตัวอักษร สัทศาสตร์
แนวทางใหญ่ บน เล็ก หน้า น้อยที่สุด, ที่ยิ่งใหญ่ที่สุด- 3) แปล: ก. มม. ปาลาตี และ... ความหมาย a) Streptocidum b) Barbamylum c) Corticotropinum d) Cholosasum e) Agovirin คณะ: โมดูล MTD: ภาษาละติน มีระเบียบแบบแผน คำแนะนำ สำหรับ ...
... . ใหญ่ที่สุดและ เล็กที่สุด ค่านิยม ฟังก์ชั่น ยิ่งใหญ่ที่สุดและ น้อยที่สุด ค่านิยม 2 14. แอนติเดริเวทีฟ ฟังก์ชั่นแอนติเดริเวทีฟ 2 15. แนวคิดของ สมการเชิงอนุพันธ์ตัวอย่างการใช้อนุพันธ์ สำหรับ ...
คำแนะนำด้านระเบียบวิธีสำหรับการฝึกตนเองของนักเรียนนายร้อยและนักเรียนในสาขาวิชา "การฝึกกายภาพ" ครัสโนดาร์
แนวทาง... ยิ่งใหญ่ที่สุดความเร็วโดยพลการ การเคลื่อนไหวเพียงครั้งเดียวและ เล็กที่สุด... มีอยู่ พวงของ คำแนะนำโดย... ความหมายมีการผสมผสานที่มีเหตุผลระหว่างการกระทำทั่วไปและท้องถิ่น 4. มีระเบียบแบบแผน คำแนะนำ สำหรับเป็นอิสระ กำลังเรียน ... ฟังก์ชั่น- พวกเขา เหล่านั้น ...
คำแนะนำด้านระเบียบวิธีสำหรับการใช้ตำราเรียน "พีชคณิตและการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์, 10", "พีชคณิตและการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์, 11" (ผู้เขียน: N. Ya. Vilenkin, O. S. Ivashev-Musatov, S. I. Shvartburd) เมื่อศึกษาวิชาในระดับโปรไฟล์
แนวทาง... , พวงของ ค่านิยม ฟังก์ชั่น, ศูนย์ ฟังก์ชั่น, ช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่ ฟังก์ชั่น, ความสม่ำเสมอ, ความแปลกประหลาด, ความสม่ำเสมอ. โมโนโทน ฟังก์ชั่น, ช่วงเวลาที่น่าเบื่อ, สุดขั้ว ฟังก์ชั่น. ยิ่งใหญ่ที่สุดและ น้อยที่สุด ค่านิยม ฟังก์ชั่น ...
ศึกษาวัตถุดังกล่าว การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์เนื่องจากฟังก์ชันมีดี ความหมายและในด้านวิทยาศาสตร์อื่นๆ ตัวอย่างเช่นใน การวิเคราะห์ทางเศรษฐกิจต้องมีการประเมินพฤติกรรมอย่างต่อเนื่อง ฟังก์ชั่นกำไรคือการกำหนดสิ่งที่ยิ่งใหญ่ที่สุด ความหมายและพัฒนากลยุทธ์เพื่อให้บรรลุเป้าหมาย
คำแนะนำ
การศึกษาพฤติกรรมใดๆ ควรเริ่มต้นด้วยการค้นหาขอบเขตของคำจำกัดความเสมอ มักจะเป็นไปตามเงื่อนไข งานเฉพาะมีความจำเป็นต้องกำหนดสิ่งที่ยิ่งใหญ่ที่สุด ความหมาย ฟังก์ชั่นทั่วทั้งพื้นที่นี้ หรือตลอดระยะเวลาที่กำหนดโดยมีขอบเขตเปิดหรือปิด
ขึ้นอยู่กับ ที่ใหญ่ที่สุดคือ ความหมาย ฟังก์ชั่น y(x0) โดยที่จุดใดๆ ในโดเมนของคำจำกัดความ จะมีอสมการ y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0) ดำรงอยู่ ในเชิงกราฟิก จุดนี้จะเป็นจุดสูงสุดหากค่าอาร์กิวเมนต์ถูกวางไว้ตามแกน Abscissa และฟังก์ชันนั้นอยู่ตามแกนกำหนด
เพื่อกำหนดสิ่งที่ยิ่งใหญ่ที่สุด ความหมาย ฟังก์ชั่นทำตามอัลกอริธึมสามขั้นตอน โปรดทราบว่าคุณจะต้องสามารถทำงานกับด้านเดียว และ ได้ เช่นเดียวกับการคำนวณอนุพันธ์ ดังนั้น ให้กำหนดฟังก์ชัน y(x) ไว้แล้วคุณจะต้องหาฟังก์ชันที่ยิ่งใหญ่ที่สุดมาให้ ความหมายในช่วงเวลาหนึ่งโดยมีค่าขอบเขต A และ B
ค้นหาว่าช่วงเวลานี้อยู่ภายในขอบเขตของคำจำกัดความหรือไม่ ฟังก์ชั่น- ในการทำเช่นนี้ คุณต้องค้นหาโดยคำนึงถึงข้อจำกัดที่เป็นไปได้ทั้งหมด เช่น การมีอยู่ของเศษส่วนในนิพจน์ รากที่สองฯลฯ โดเมนของคำจำกัดความคือชุดของค่าอาร์กิวเมนต์ที่ฟังก์ชันสมเหตุสมผล ตรวจสอบว่า ช่วงเวลาที่กำหนดส่วนย่อยของมัน ถ้าใช่ก็ไป ขั้นตอนต่อไป.
หาอนุพันธ์ ฟังก์ชั่นและแก้สมการผลลัพธ์โดยหาอนุพันธ์ให้เป็นศูนย์ ด้วยวิธีนี้คุณจะได้รับค่าของจุดที่เรียกว่าจุดคงที่ ประเมินว่าอย่างน้อยหนึ่งรายการอยู่ในช่วง A, B หรือไม่
ในขั้นตอนที่สาม ให้พิจารณาประเด็นเหล่านี้และแทนที่ค่าลงในฟังก์ชัน ทำตามขั้นตอนเพิ่มเติมต่อไปนี้ ขึ้นอยู่กับประเภทของช่วงเวลา หากมีส่วนของรูปแบบ [A, B] จุดขอบเขตจะรวมไว้ในช่วง โดยระบุด้วยวงเล็บ คำนวณค่า ฟังก์ชั่นสำหรับ x = A และ x = B ถ้า ช่วงเวลาเปิด(A, B) ค่าขอบเขตถูกเจาะเช่น ไม่รวมอยู่ในนั้น แก้ขีดจำกัดด้านเดียวสำหรับ x→A และ x→B ช่วงรวมของรูปแบบ [A, B) หรือ (A, B) หนึ่งในนั้นมีขอบเขตเป็นของมัน แต่อีกอันไม่มีขอบเขต ค้นหาลิมิตด้านเดียวเนื่องจาก x มีแนวโน้มไปที่ค่าที่เจาะทะลุ และแทนที่อีกอันเข้าไป ฟังก์ชัน ช่วงเวลาอนันต์สองด้าน (-∞, +∞) หรือช่วงเวลาอนันต์ด้านเดียวของรูปแบบ: , (-∞, B) สำหรับขีดจำกัดจริง A และ B ให้ดำเนินการตามหลักการที่อธิบายไว้แล้ว และสำหรับ อนันต์ ให้มองหาลิมิตสำหรับ x→-∞ และ x→+∞ ตามลำดับ
ภารกิจในขั้นตอนนี้