หรือใช้สูตรผลต่างของกำลังสองดังนี้
- (x 2 -4)*(x 2 +4)=0
ผลคูณของตัวประกอบสองตัวจะเท่ากับศูนย์ ถ้าตัวประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวมีค่าเท่ากับศูนย์
นิพจน์ x 2 +4 ไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้ ดังนั้นสิ่งที่เหลืออยู่คือ (x 2 -4)=0
เราแก้ไขมันและได้รับสองคำตอบ
คำตอบ: x=-2 และ x=2
เราพบว่าสมการ x 4 =16 มีรากจริงเพียง 2 อัน สิ่งเหล่านี้คือรากของดีกรีที่ 4 จากเลข 16 ยิ่งไปกว่านั้น รากที่เป็นบวกยังเรียกว่ารูตเลขคณิตของดีกรีที่ 4 จากเลข 16 และกำหนดให้เป็น 4√16 นั่นคือ 4√16=2
คำนิยาม
- รากเลขคณิตของกำลังธรรมชาติ n>=2 ของจำนวนที่ไม่เป็นลบ a คือจำนวนที่ไม่เป็นลบ เมื่อยกกำลัง n จะได้จำนวน a
สามารถพิสูจน์ได้ว่าสำหรับ a ที่ไม่เป็นลบและ n ตามธรรมชาติ สมการ x n =a จะมีรากที่ไม่เป็นลบเพียงรากเดียว รากนี้เรียกว่ารากเลขคณิตของระดับที่ n ของตัวเลข a
รากเลขคณิตของระดับที่ n ของตัวเลขแสดงดังนี้: n√a
จำนวน a ในกรณีนี้เรียกว่านิพจน์ราก
ในกรณีที่ n=2 จะไม่เขียนสอง แต่เขียนเพียง √a
รากเลขคณิตขององศาที่สองและสามมี ชื่อพิเศษของพวกเขา
รากเลขคณิตของดีกรีที่สองเรียกว่ารากที่สอง และรากเลขคณิตของดีกรีที่สามเรียกว่ารากที่สาม
การใช้เพียงนิยามของรากเลขคณิต เราสามารถพิสูจน์ได้ว่า n√a เท่ากับ b การทำเช่นนี้เราต้องแสดงให้เห็นว่า:
- 1. b มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์
- 2. ข n = ก.
ตัวอย่างเช่น 3√(64) = 4 เนื่องจาก 1. 4>0, 2. 4 3 =64
ข้อพิสูจน์ต่อคำจำกัดความของการรูตเลขคณิต
- (n√a) n = ก
- n√(ก n) = ก.
ตัวอย่างเช่น (5√2) 5 = 2
การแยกรากที่ n
การแยกรากที่ n คือการดำเนินการที่ใช้ในการค้นหารากที่ n การหารากที่ n เป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับการยกกำลัง n
ลองดูตัวอย่าง
แก้สมการ x 3 = -27
ลองเขียนสมการนี้ใหม่ในรูปแบบ (-x) 3 =27
ลองใส่ y=-x แล้วก็ y 3 =27 สมการนี้มีรากที่เป็นบวกหนึ่งตัว y= 3√27 = 3
สมการนี้ไม่มีรากที่เป็นลบ เนื่องจาก y 3
เราพบว่าสมการ 3 =27 มีรากเพียงอันเดียว
เมื่อกลับมาที่สมการเดิม เราพบว่าสมการนี้มีรากเพียงอันเดียวเท่านั้น x=-y=-3
ในบทความนี้เราจะมาแนะนำ แนวคิดเรื่องรากของจำนวน- เราจะดำเนินการตามลำดับ: เราจะเริ่มต้นด้วยรากที่สอง จากนั้นเราจะไปยังคำอธิบายของรากลูกบาศก์ หลังจากนั้นเราจะสรุปแนวคิดของรากโดยกำหนดรากที่ n ในเวลาเดียวกัน เราจะแนะนำคำจำกัดความ สัญกรณ์ ยกตัวอย่างรากและให้คำอธิบายและความคิดเห็นที่จำเป็น
รากที่สอง, รากที่สองทางคณิตศาสตร์
หากต้องการเข้าใจคำจำกัดความของรากของตัวเลข และโดยเฉพาะรากที่สอง คุณต้องมี ณ จุดนี้ เรามักจะพบกับกำลังสองของตัวเลข นั่นคือกำลังสองของตัวเลข
เริ่มต้นด้วย คำจำกัดความของรากที่สอง.
คำนิยาม
รากที่สองของ aคือจำนวนที่มีกำลังสองเท่ากับ a
เพื่อนำมา. ตัวอย่างของรากที่สองนำตัวเลขมาหลายๆ ตัว เช่น 5, −0.3, 0.3, 0 แล้วยกกำลังสอง เราจะได้ตัวเลข 25, 0.09, 0.09 และ 0 ตามลำดับ (5 2 =5·5=25, (−0.3) 2 =(−0.3)·(−0.3)=0.09, (0.3) 2 =0.3·0.3=0.09 และ 0 2 =0·0=0 ) จากนั้น ตามคำจำกัดความที่ให้ไว้ข้างต้น เลข 5 คือรากที่สองของเลข 25 ตัวเลข −0.3 และ 0.3 คือรากที่สองของ 0.09 และ 0 คือรากที่สองของศูนย์
ควรสังเกตว่าไม่ใช่สำหรับจำนวนใดๆ a จะมีจำนวนที่กำลังสองเท่ากับ a กล่าวคือ สำหรับจำนวนลบ a ใดๆ จะไม่มีจำนวนจริง b ที่จะมีกำลังสองเท่ากับ a อันที่จริงแล้ว ความเท่าเทียมกัน a=b 2 นั้นเป็นไปไม่ได้สำหรับค่าลบ a ใดๆ เนื่องจาก b 2 เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบสำหรับค่า b ใดๆ ดังนั้น, ไม่มีรากที่สองของจำนวนลบบนเซตของจำนวนจริง- กล่าวอีกนัยหนึ่ง บนเซตของจำนวนจริง รากที่สองของจำนวนลบไม่ได้ถูกกำหนดไว้และไม่มีความหมาย
สิ่งนี้นำไปสู่คำถามเชิงตรรกะ: “มีรากที่สองของ a สำหรับค่า a ใดๆ ที่ไม่เป็นลบหรือไม่” คำตอบคือใช่ ข้อเท็จจริงนี้สามารถพิสูจน์ได้ด้วยวิธีเชิงสร้างสรรค์ที่ใช้สำหรับ การหาค่ารากที่สอง.
จากนั้นคำถามเชิงตรรกะถัดไปก็เกิดขึ้น: “ อะไรคือจำนวนรากที่สองทั้งหมดของจำนวนที่ไม่เป็นลบที่กำหนด a - หนึ่ง, สอง, สามหรือมากกว่านั้น”? ต่อไปนี้คือคำตอบ: ถ้า a เป็นศูนย์ รากที่สองของศูนย์เพียงตัวเดียวก็คือศูนย์ ถ้า a เป็นจำนวนบวก จำนวนรากที่สองของจำนวน a จะเป็น 2 และรากคือ เรามาพิสูจน์เรื่องนี้กัน
เริ่มจากกรณี a=0 กันก่อน ขั้นแรก ลองแสดงว่า 0 เป็นรากที่สองของ 0 จริงๆ สิ่งนี้ตามมาจากความเท่าเทียมกันที่ชัดเจน 0 2 =0·0=0 และคำจำกัดความของรากที่สอง
ทีนี้ลองพิสูจน์ว่า 0 เป็นเพียงรากที่สองของศูนย์ ลองใช้วิธีตรงกันข้าม สมมติว่ามีเลข b ที่ไม่ใช่ศูนย์ซึ่งเป็นรากที่สองของศูนย์ จากนั้นจะต้องเป็นไปตามเงื่อนไข b 2 =0 ซึ่งเป็นไปไม่ได้เนื่องจากค่า b ที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ ของนิพจน์ b 2 จะเป็นค่าบวก เรามาถึงความขัดแย้งแล้ว นี่พิสูจน์ว่า 0 เป็นเพียงรากที่สองของศูนย์
มาดูกรณีที่ a เป็นจำนวนบวกกัน เราบอกไปแล้วว่าจำนวนที่ไม่เป็นลบจะมีรากที่สองเสมอ ให้รากที่สองของ a เป็นจำนวน b สมมุติว่ามีเลข c ซึ่งก็คือรากที่สองของ a เช่นกัน จากนั้น ตามนิยามของรากที่สอง ความเท่าเทียมกัน b 2 =a และ c 2 =a เป็นจริง ซึ่งตามมาด้วยว่า b 2 −c 2 =a−a=0 แต่เนื่องจาก b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c) จากนั้น (b−c)·(b+c)=0 ความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นนั้นถูกต้อง คุณสมบัติของการดำเนินการกับจำนวนจริงเป็นไปได้เฉพาะเมื่อ b−c=0 หรือ b+c=0 เท่านั้น ดังนั้น ตัวเลข b และ c จึงเท่ากันหรือตรงกันข้าม
ถ้าเราสมมุติว่ามีตัวเลข d ซึ่งเป็นรากที่สองอีกตัวหนึ่งของตัวเลข a ดังนั้นโดยการให้เหตุผลคล้ายกับที่ให้ไว้แล้ว ก็พิสูจน์ได้ว่า d เท่ากับตัวเลข b หรือตัวเลข c ดังนั้น จำนวนรากที่สองของจำนวนบวกคือ 2 และรากที่สองเป็นจำนวนตรงข้าม
เพื่อความสะดวกในการทำงานกับรากที่สอง รากที่เป็นลบจะถูก "แยก" ออกจากรากที่เป็นบวก เพื่อจุดประสงค์นี้จึงได้มีการแนะนำ คำจำกัดความของรากที่สองทางคณิตศาสตร์.
คำนิยาม
รากที่สองทางคณิตศาสตร์ของจำนวนที่ไม่เป็นลบ aเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบซึ่งมีกำลังสองเท่ากับ a
สัญลักษณ์สำหรับรากที่สองทางคณิตศาสตร์ของ a คือ เครื่องหมายนี้เรียกว่าเครื่องหมายรากที่สองทางคณิตศาสตร์ เรียกอีกอย่างว่าเครื่องหมายกรณฑ์ ดังนั้นบางครั้งคุณจึงได้ยินทั้ง "root" และ "radical" ซึ่งหมายถึงวัตถุเดียวกัน
เรียกว่าตัวเลขที่อยู่ใต้เครื่องหมายรากที่สองทางคณิตศาสตร์ เลขฐานรากและนิพจน์ใต้เครื่องหมายรูทคือ การแสดงออกที่รุนแรงในขณะที่คำว่า "จำนวนราก" มักจะถูกแทนที่ด้วย "นิพจน์ราก" ตัวอย่างเช่น ในสัญกรณ์ ตัวเลข 151 เป็นจำนวนราก และในสัญกรณ์ นิพจน์ a คือนิพจน์ที่เป็นราก
เมื่ออ่านคำว่า "เลขคณิต" มักจะถูกละเว้น เช่น รายการจะอ่านว่า "รากที่สองของเจ็ดจุดยี่สิบเก้า" คำว่า "เลขคณิต" ใช้เฉพาะเมื่อพวกเขาต้องการเน้นย้ำว่าเรากำลังพูดถึงรากที่สองที่เป็นบวกของตัวเลขโดยเฉพาะ
ตามรูปแบบที่แนะนำ เป็นไปตามคำจำกัดความของรากที่สองทางคณิตศาสตร์ ซึ่งสำหรับจำนวนใดๆ ที่ไม่เป็นลบ a
รากที่สองของจำนวนบวก a เขียนโดยใช้เครื่องหมายรากที่สองทางคณิตศาสตร์เป็น และ เช่น รากที่สองของ 13 คือ และ รากที่สองทางคณิตศาสตร์ของศูนย์คือศูนย์ นั่นคือ สำหรับจำนวนลบ a เราจะไม่แนบความหมายกับสัญลักษณ์จนกว่าเราจะศึกษา จำนวนเชิงซ้อน- เช่น สำนวนและคำที่ไม่มีความหมาย
จากนิยามของรากที่สอง เราพิสูจน์ได้ คุณสมบัติของรากที่สองซึ่งมักใช้ในทางปฏิบัติ
โดยสรุปของย่อหน้านี้ เราสังเกตว่ารากที่สองของจำนวน a คือคำตอบในรูปแบบ x 2 =a เทียบกับตัวแปร x
รากที่สามของตัวเลข
คำจำกัดความของรูทคิวบ์ของจำนวน a ให้ไว้เหมือนกับนิยามของรากที่สอง เพียงแต่มันขึ้นอยู่กับแนวคิดเรื่องลูกบาศก์ของตัวเลข ไม่ใช่สี่เหลี่ยมจัตุรัส
คำนิยาม
รากที่สามของ aคือตัวเลขที่มีลูกบาศก์เท่ากับ a
ให้กันเถอะ ตัวอย่างของรากที่สาม- เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้ตัวเลขหลายๆ ตัว เช่น 7, 0, −2/3 แล้วยกกำลังสาม: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, 
- จากนั้น ตามคำจำกัดความของรากที่สาม เราสามารถพูดได้ว่าเลข 7 คือรากที่สามของ 343, 0 คือรากที่สามของ 0 และ −2/3 คือรากที่สามของ −8/27
จะเห็นได้ว่ารากที่สามของตัวเลขนั้นมีอยู่เสมอ ซึ่งต่างจากรากที่สอง ไม่เพียงแต่สำหรับ a ที่ไม่เป็นลบเท่านั้น แต่ยังสำหรับจำนวนจริง a ใดๆ ด้วย เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณสามารถใช้วิธีเดียวกับที่เรากล่าวไว้เมื่อศึกษารากที่สอง
ยิ่งไปกว่านั้น มีเพียงรากที่สามของจำนวน a ที่กำหนดเท่านั้น ให้เราพิสูจน์ข้อความสุดท้าย เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้พิจารณาสามกรณีแยกกัน: a เป็นจำนวนบวก, a=0 และ a เป็นจำนวนลบ
มันง่ายที่จะแสดงว่าถ้า a เป็นบวก รากที่สามของ a ไม่สามารถเป็นได้ทั้งจำนวนลบหรือศูนย์ อันที่จริง ให้ b เป็นรากที่สามของ a จากนั้นตามนิยาม เราสามารถเขียนความเท่าเทียมกันได้ b 3 =a เห็นได้ชัดว่าความเท่าเทียมกันนี้ไม่สามารถเป็นจริงได้สำหรับลบ b และสำหรับ b=0 เนื่องจากในกรณีเหล่านี้ b 3 =b·b·b จะเป็นจำนวนลบหรือศูนย์ ตามลำดับ ดังนั้นรากที่สามของจำนวนบวก a จึงเป็นจำนวนบวก
ทีนี้ สมมติว่านอกจากเลข b แล้ว ยังมีรากที่สามของเลข a แสดงว่ามันเป็น c กัน จากนั้น ค 3 =ก ดังนั้น b 3 −c 3 =a−a=0 แต่ b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(นี่คือสูตรคูณแบบย่อ ความแตกต่างของลูกบาศก์) โดยที่ (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0 ผลลัพธ์ความเท่าเทียมกันจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อ b−c=0 หรือ b 2 +b·c+c 2 =0 จากความเท่าเทียมกันอันแรก เราได้ b=c และความเสมอภาคอันที่สองไม่มีคำตอบ เนื่องจากด้านซ้ายของมันคือจำนวนบวกสำหรับจำนวนบวกใดๆ b และ c เป็นผลรวมของเทอมบวกสามเทอม b 2, b·c และ c 2 สิ่งนี้พิสูจน์ความเป็นเอกลักษณ์ของรากที่สามของจำนวนบวก a
เมื่อ a=0 รากที่สามของตัวเลข a จะเป็นเลขศูนย์เท่านั้น อันที่จริง ถ้าเราสมมุติว่ามีตัวเลข b ซึ่งเป็นรากที่สามของศูนย์ที่ไม่ใช่ศูนย์ ความเท่าเทียมกัน b 3 =0 จะต้องคงอยู่ ซึ่งเป็นไปได้เฉพาะเมื่อ b=0 เท่านั้น
สำหรับค่าลบ a สามารถให้อาร์กิวเมนต์ที่คล้ายกับกรณีของค่าบวก a ได้ ขั้นแรก เราแสดงว่ารากที่สามของจำนวนลบไม่สามารถเท่ากับจำนวนบวกหรือศูนย์ได้ ประการที่สอง เราสมมุติว่ามีรากที่สามของจำนวนลบ และแสดงว่ามันจะต้องตรงกับรากแรกเสมอไป
จึงมีรากที่สามของจำนวนจริง a ใดๆ เสมอ และเป็นจำนวนเฉพาะเสมอ
ให้กันเถอะ ความหมายของรากลูกบาศก์ทางคณิตศาสตร์.
คำนิยาม
รากที่สามทางคณิตศาสตร์ของจำนวนที่ไม่เป็นลบ aเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบซึ่งมีกำลังสามเท่ากับ a
รากที่สามทางคณิตศาสตร์ของจำนวนที่ไม่เป็นลบ a แสดงเป็น เครื่องหมายนี้เรียกว่าเครื่องหมายของรากที่สามทางคณิตศาสตร์ หมายเลข 3 ในสัญกรณ์นี้เรียกว่า ดัชนีราก- ตัวเลขใต้เครื่องหมายรูตคือ เลขฐานรากนิพจน์ใต้เครื่องหมายรูทคือ การแสดงออกที่รุนแรง.
แม้ว่ารากที่สามของเลขคณิตถูกกำหนดไว้เฉพาะสำหรับจำนวนที่ไม่เป็นลบ a เท่านั้น แต่ยังสะดวกในการใช้สัญกรณ์ซึ่งพบจำนวนลบใต้เครื่องหมายของรากที่สามของเลขคณิต เราจะเข้าใจพวกมันดังนี้: โดยที่ a เป็นจำนวนบวก ตัวอย่างเช่น, 
.
เราจะพูดถึงคุณสมบัติของรากที่สามในบทความทั่วไป คุณสมบัติของราก.
การคำนวณค่าของคิวบ์รูทเรียกว่าการแยกคิวบ์รูท การดำเนินการนี้จะกล่าวถึงในบทความ การสกัดราก: วิธีการ ตัวอย่าง วิธีแก้ไข.
เพื่อสรุปประเด็นนี้ สมมติว่ารากที่สามของจำนวน a เป็นคำตอบในรูปแบบ x 3 =a
รากที่ n, รากเลขคณิตของดีกรี n
ให้เราสรุปแนวคิดของรากของตัวเลข - เราขอแนะนำ คำจำกัดความของรากที่ nสำหรับ n
คำนิยาม
รากที่ n ของ aคือตัวเลขที่มีกำลัง n เท่ากับ a
จากคำจำกัดความนี้ ชัดเจนว่ารากดีกรีแรกของตัวเลข a ก็คือตัวเลข a เอง เนื่องจากเมื่อศึกษาระดับด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติ เราจะได้ 1 =a
ข้างต้น เราดูกรณีพิเศษของรากที่ n สำหรับ n=2 และ n=3 - รากที่สองและรากที่สาม นั่นคือ รากที่สองคือรากของดีกรีที่สอง และรากที่สามคือรากของดีกรีที่สาม หากต้องการศึกษารากของระดับที่ n สำหรับ n=4, 5, 6, ... จะสะดวกในการแบ่งออกเป็นสองกลุ่ม: กลุ่มแรก - รากขององศาคู่ (นั่นคือสำหรับ n = 4, 6, 8 , ...) กลุ่มที่สอง - รูตองศาคี่ (นั่นคือ n=5, 7, 9, ...) นี่เป็นเพราะว่ารากของเลขยกกำลังคู่มีความคล้ายคลึงกับรากที่สอง และรากของเลขยกกำลังคี่คล้ายกับรากลูกบาศก์ มาจัดการกับพวกเขาทีละคน
เริ่มจากรากที่มีพลังเป็นเลขคู่ 4, 6, 8, ... อย่างที่เราบอกไปแล้ว พวกมันคล้ายกับรากที่สองของเลข a นั่นคือ รากของระดับเลขคู่ใดๆ ของจำนวน a นั้นจะมีเฉพาะในกรณีที่ a ไม่เป็นลบเท่านั้น ยิ่งกว่านั้น ถ้า a=0 รากของ a จะไม่ซ้ำกันและเท่ากับศูนย์ และถ้า a>0 แสดงว่าราก a มีดีกรีคู่ของตัวเลข a อยู่สองตัว และเป็นจำนวนที่ตรงกันข้ามกัน
ให้เรายืนยันคำสั่งสุดท้าย ให้ b เป็นรากคู่ (เราแสดงว่ามันเป็น 2·m โดยที่ m คือจำนวนธรรมชาติ) ของจำนวน a สมมติว่ามีตัวเลข c ซึ่งเป็นรากอีกตัวหนึ่งของระดับ 2·m จากจำนวน a จากนั้น b 2·m −c 2·m =a−a=0 แต่เรารู้รูปแบบ b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)จากนั้น (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0- จากความเท่าเทียมกันนี้ จะได้ว่า b−c=0 หรือ b+c=0 หรือ b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0- ความเท่าเทียมกันสองค่าแรกหมายความว่าตัวเลข b และ c เท่ากัน หรือ b และ c ตรงกันข้าม และความเสมอภาคสุดท้ายใช้ได้กับ b=c=0 เท่านั้น เนื่องจากทางด้านซ้ายจะมีนิพจน์ที่ไม่เป็นลบสำหรับ b และ c ใดๆ เป็นผลรวมของจำนวนที่ไม่เป็นลบ
สำหรับรากของดีกรีที่ n สำหรับ n คี่ พวกมันจะคล้ายกับรากที่สาม นั่นคือ รากของระดับคี่ใดๆ ของจำนวน a มีอยู่สำหรับจำนวนจริง a ใดๆ และสำหรับจำนวนที่กำหนด a นั้นจะไม่ซ้ำกัน
ความเป็นเอกลักษณ์ของรากที่มีดีกรีคี่ 2·m+1 ของจำนวน a ได้รับการพิสูจน์โดยการเปรียบเทียบกับการพิสูจน์เอกลักษณ์ของรากที่สามของ a ที่นี่เท่านั้นแทนความเท่าเทียมกัน a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2)ใช้ความเท่าเทียมกันของรูปแบบ b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)- นิพจน์ในวงเล็บสุดท้ายสามารถเขียนใหม่เป็นได้ b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c))))- ตัวอย่างเช่น เรามี m=2 b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c))- เมื่อ a และ b เป็นบวกหรือลบทั้งคู่ ผลคูณของพวกมันคือจำนวนบวก ดังนั้นนิพจน์ b 2 +c 2 +b·c ในวงเล็บที่ซ้อนกันสูงสุดจะเป็นบวกเป็นผลรวมของจำนวนบวก ตอนนี้ เมื่อย้ายตามลำดับไปยังนิพจน์ในวงเล็บของระดับการซ้อนก่อนหน้า เรามั่นใจว่านิพจน์เหล่านี้เป็นบวกเป็นผลรวมของจำนวนบวกด้วย ผลลัพธ์ที่ได้คือความเท่าเทียมกัน b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อ b−c=0 นั่นคือเมื่อเลข b เท่ากับเลข c
ถึงเวลาที่จะเข้าใจสัญกรณ์ของรากที่ n แล้ว เพื่อจุดประสงค์นี้จึงมอบให้ คำจำกัดความของรากเลขคณิตของระดับที่ n.
คำนิยาม
รากเลขคณิตของดีกรีที่ n ของจำนวนที่ไม่เป็นลบ aเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบซึ่งมีกำลัง n เท่ากับ a
ระดับราก nจากจำนวนจริง ก, ที่ไหน n- จำนวนธรรมชาติ เรียกว่าจำนวนจริงดังกล่าว x, nกำลังที่ th เท่ากับ ก.
ระดับราก nจากหมายเลข กจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ ตามคำจำกัดความนี้
ค้นหาราก nระดับจากหมู่ กเรียกว่าการถอนราก ตัวเลข กเรียกว่าจำนวนราก (นิพจน์) n- ตัวบ่งชี้ราก สำหรับคี่ nมีรากอยู่ n- กำลังของจำนวนจริงใดๆ ก- เมื่อเท่ากัน nมีรากอยู่ n- ยกกำลังเฉพาะสำหรับจำนวนที่ไม่เป็นลบเท่านั้น ก- เพื่อคลายความกำกวมของราก nระดับจากหมู่ กแนวคิดของการรูตเลขคณิตถูกนำมาใช้ nระดับจากหมู่ ก.
แนวคิดของรากเลขคณิตของดีกรี N
ถ้า n- จำนวนธรรมชาติ, มากกว่า 1 แล้วจะมีจำนวนที่ไม่เป็นลบเพียงจำนวนเดียวเท่านั้น เอ็กซ์เพื่อให้เกิดความเท่าเทียมกัน เบอร์นี้ เอ็กซ์เรียกว่ารากเลขคณิต nกำลังของจำนวนที่ไม่เป็นลบ กและถูกกำหนดไว้ ตัวเลข กเรียกว่าจำนวนราก n- ตัวบ่งชี้ราก
ดังนั้นตามคำจำกัดความ สัญกรณ์ ที่ไหน , หมายถึง, ประการแรก, นั่น และ, ประการที่สอง, นั่นคือ -
แนวคิดของปริญญาที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ
องศาที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ: อนุญาต กเป็นจำนวนจริง และ n- จำนวนธรรมชาติที่มากกว่าหนึ่ง n- กำลังของตัวเลข กเรียกงาน nปัจจัยแต่ละอย่างเท่าเทียมกัน ก, เช่น. - ตัวเลข ก- พื้นฐานของปริญญา n- เลขชี้กำลัง กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์: ตามคำจำกัดความ ถ้า แล้ว เลขยกกำลังเป็นศูนย์ 0 ไม่สมเหตุสมผล ระดับที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็มลบ: ถือว่าตามคำจำกัดความถ้า และ nเป็นจำนวนธรรมชาติ แล้ว ระดับที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน: ถือว่าเป็นไปตามคำจำกัดความถ้า และ n- จำนวนธรรมชาติ มเป็นจำนวนเต็ม แล้ว
การดำเนินการที่มีราก
ในสูตรทั้งหมดด้านล่างนี้ สัญลักษณ์หมายถึงรากเลขคณิต (นิพจน์รากคือค่าบวก)
1. รากของผลคูณของปัจจัยหลายประการเท่ากับผลคูณของรากของปัจจัยเหล่านี้:
2. รากของอัตราส่วนเท่ากับอัตราส่วนของรากของเงินปันผลและตัวหาร:
3. เมื่อยกรากเป็นกำลัง ก็เพียงพอที่จะเพิ่มเลขรากเป็นกำลังนี้: 
4. หากคุณเพิ่มระดับของรูต n ครั้งและในเวลาเดียวกันก็เพิ่มเลขรากเป็นกำลังที่ n ค่าของรูตจะไม่เปลี่ยนแปลง: 
5. หากคุณลดระดับของรูตลง n ครั้งและแยกรากที่ n ของจำนวนรากพร้อมกัน ค่าของรูตจะไม่เปลี่ยนแปลง:
การขยายแนวคิดเรื่องปริญญา จนถึงตอนนี้เราได้พิจารณาองศาด้วยเลขชี้กำลังตามธรรมชาติเท่านั้น แต่การดำเนินการที่มีอำนาจและรากก็สามารถนำไปสู่เลขชี้กำลังที่เป็นลบ ศูนย์ และเศษส่วนได้เช่นกัน เลขชี้กำลังทั้งหมดนี้จำเป็นต้องมีคำจำกัดความเพิ่มเติม
องศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบ กำลังของจำนวนหนึ่งที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบ (จำนวนเต็ม) ถูกกำหนดให้เป็นค่าที่หารด้วยกำลังของจำนวนเดียวกัน โดยมีเลขชี้กำลังเท่ากับค่าสัมบูรณ์ของเลขชี้กำลังลบ: 
ตอนนี้สูตร a m: a n = a m - n สามารถใช้กับ m ที่มากกว่า n เท่านั้น แต่ยังใช้กับ m ที่น้อยกว่า n ได้ด้วย
ตัวอย่าง 4: 7 = 4 - 7 = -3
หากเราต้องการให้สูตร a m: a n = a m - n ถูกต้องสำหรับ m = n เราจำเป็นต้องมีคำจำกัดความของระดับศูนย์
องศาที่มีดัชนีเป็นศูนย์ กำลังของจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ ที่มีเลขชี้กำลังเป็น 1
ตัวอย่าง. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3/5) 0 = 1
องศาที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน ในการเพิ่มจำนวนจริง a ยกกำลัง m / n คุณต้องแยกรากที่ n ของกำลัง m ของจำนวน a นี้:
เกี่ยวกับสำนวนที่ไม่มีความหมาย มีสำนวนดังกล่าวหลายประการ
กรณีที่ 1
โดยที่ ≠ 0 ไม่มีอยู่
ที่จริงแล้ว ถ้าเราถือว่า x เป็นจำนวนหนึ่ง ดังนั้นตามคำจำกัดความของการดำเนินการหารเราจะได้: a = 0 x, เช่น a = 0 ซึ่งขัดแย้งกับเงื่อนไข: a ≠ 0
กรณีที่ 2
หมายเลขใดก็ได้
ที่จริงแล้ว หากเราถือว่านิพจน์นี้เท่ากับจำนวน x จำนวนหนึ่ง ดังนั้นตามคำจำกัดความของการดำเนินการหารเราจะได้: 0 = 0 x แต่ความเท่าเทียมกันนี้ใช้ได้กับจำนวน x ใดๆ ก็ตาม ซึ่งเป็นสิ่งที่ต้องพิสูจน์
จริงหรือ,
วิธีแก้ปัญหา ลองพิจารณาสามกรณีหลัก:
1) x = 0 – ค่านี้ไม่เป็นไปตามสมการนี้
2) สำหรับ x > 0 เราได้รับ: x / x = 1 เช่น 1 = 1 ซึ่งหมายความว่า x เป็นตัวเลขใดๆ แต่คำนึงว่าในกรณีของเรา x > 0 คำตอบคือ x > 0;
3) ที่ x< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,
ในกรณีนี้ไม่มีวิธีแก้ปัญหา ดังนั้น x > 0