Somo: mlingano mzima na mizizi yake. Equation nzima na mizizi yake

Mada ya somo: "Mlingano mzima na mizizi yake."

Malengo:

kielimu:

fikiria njia ya kutatua equation nzima kwa kutumia factorization;

kuendeleza:

kielimu:

Darasa: 9

Kitabu cha kiada: Aljebra. Daraja la 9: kitabu cha maandishi taasisi za elimu/ [Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorov]; imehaririwa na S.A. Telyakovsky.- Toleo la 16. - M.: Elimu, 2010

Vifaa: kompyuta yenye projekta, uwasilishaji “Whole Equations”

Wakati wa madarasa:

Wakati wa kuandaa.

Tazama video "Kila kitu kiko mikononi mwako."

Kuna wakati katika maisha unakata tamaa na inaonekana hakuna kitakachofanikiwa. Kisha kumbuka maneno ya sage "Kila kitu kiko mikononi mwako:" na basi maneno haya yawe kauli mbiu ya somo letu.

Kazi ya mdomo.

2x + 6 =10, 14x = 7, x 2 – 16 = 0, x – 3 = 5 + 2x, x 2 = 0,

Ujumbe wa mada ya somo, malengo.

Leo tutafahamiana na aina mpya ya equations - hizi ni equations nzima. Hebu tujifunze jinsi ya kuyatatua.

Wacha tuandike nambari kwenye daftari, Kazi ya darasani na mada ya somo: "Equation nzima, mizizi yake."

2.Kusasisha maarifa ya kimsingi.

Tatua mlinganyo:

Majibu: a) x = 0; b) x =5/3; c) x = -, ; d) x = 1/6; - 1/6; e) hakuna mizizi; e) x = 0; 5; - 5; g) 0; 1; -2; h)0; 1; - 1; i) 0.2; - 0.2; j) -3; 3.

3.Uundaji wa dhana mpya.

Mazungumzo na wanafunzi:

Mlinganyo ni nini? (usawa ulio na nambari isiyojulikana)

Je! Unajua aina gani za milinganyo? (mstari, mraba)

3.Je, inaweza kuwa na mizizi mingapi? mlinganyo wa mstari?) (moja, nyingi na hakuna mizizi)

4.Equation ya quadratic inaweza kuwa na mizizi mingapi?

Ni nini huamua idadi ya mizizi? (kutoka kwa ubaguzi)

Ni katika hali gani equation ya quadratic ina mizizi 2? (D0)

Ni katika hali gani equation ya quadratic ina mzizi 1? (D=0)

Katika hali gani equation ya quadratic haina mizizi? (D0)

Mlinganyo mzima ni mlinganyo wa pande za kushoto na kulia, ambayo ni usemi mzima. (Soma kwa sauti).

Kutoka kwa mstari unaozingatiwa na milinganyo ya quadratic, tunaona kwamba idadi ya mizizi si kubwa kuliko shahada yake.

Unafikiri inawezekana kuamua idadi ya mizizi yake bila kutatua equation? (majibu ya watoto yanayowezekana)

Wacha tufahamiane na sheria ya kuamua kiwango cha equation nzima?

Ikiwa equation yenye kigezo kimoja imeandikwa kama P(x)=0, ambapo P(x) ni polynomial mtazamo wa kawaida, basi shahada ya polynomial hii inaitwa shahada ya equation. Kiwango cha mlingano kamili kiholela ni kiwango cha mlinganyo sawa wa fomu P(x) = 0, ambapo P(x) ni polimanomia ya fomu ya kawaida.

Mlinganyon Lo shahada haina zaidin mizizi.

Equation nzima inaweza kutatuliwa kwa njia kadhaa:

njia za kutatua equations nzima

factorization utangulizi wa picha mpya

kutofautiana

(Andika mchoro kwenye daftari)

Leo tutaangalia moja wapo: kuainisha kwa kutumia mlinganyo ufuatao kama mfano: x 3 – 8x 2 – x +8 = 0. (mwalimu anaeleza ubaoni, wanafunzi wanaandika suluhu la mlinganyo kwenye daftari)

Je! ni jina gani la njia ya uainishaji ambayo inaweza kutumika upande wa kushoto Je, unaonyesha milinganyo? (Njia ya kuweka vikundi). Wacha tuangazie upande wa kushoto wa mlinganyo, na kufanya hivi, panga masharti kwenye upande wa kushoto wa mlinganyo.

Je, ni lini bidhaa ya vipengele ni sawa na sifuri? (wakati angalau moja ya vizidishi sawa na sifuri) Hebu tulinganishe kila kipengele cha equation na sifuri.

Wacha tusuluhishe milinganyo inayotokana

Je, tulipata mizizi mingapi? (andika kwenye daftari)

x 2 (x – 8) – (x – 8) = 0

(x – 8) (x 2 – 1) = 0

(x – 8)(x – 1)(x + 1) = 0

x 1 = 8, x 2 = 1, x 3 = - 1.

Jibu: 8; 1; -1.

4.Malezi ya ujuzi na uwezo. Sehemu ya vitendo.

fanya kazi kwenye kitabu cha maandishi Na. 265 (andika kwenye daftari)

Ni kiwango gani cha equation na kila mlinganyo una mizizi mingapi:

Majibu: a) 5, b) 6, c) 5, d) 2, e) 1, f) 1

№ 266(a)(suluhisho kwenye bodi kwa maelezo)

Tatua mlinganyo:

5. Muhtasari wa somo:

Kuunganisha nyenzo za kinadharia:

Ni mlingano gani wenye kigezo kimoja kinachoitwa nambari kamili? Toa mfano.

Jinsi ya kupata kiwango cha equation nzima? Je equation yenye kigezo kimoja cha digrii ya kwanza, ya pili, ya nth ina mizizi mingapi?

6.Tafakari

Tathmini kazi yako. Inua mkono wako ambaye...

1) alielewa mada kikamilifu

2) alielewa mada vizuri

Bado naendelea na matatizo

7.Kazi ya nyumbani:

aya ya 12 (uk. 75-77 mfano 1) Na. 267 (a, b).

"Orodha ya ukaguzi wa wanafunzi"

Orodha ya ukaguzi ya wanafunzi

Hatua za kazi

Daraja

Jumla

Kuhesabu kwa maneno

Tatua mlinganyo

Kutatua Milinganyo ya Quadratic

Kutatua equations za ujazo

Orodha ya ukaguzi ya wanafunzi

Darasa______ Jina la mwisho Jina la kwanza ____________________

Hatua za kazi

Daraja

Jumla

Kuhesabu kwa maneno

Tatua mlinganyo

Ni kiwango gani cha milinganyo inayojulikana

Kutatua Milinganyo ya Quadratic

Kutatua equations za ujazo

Orodha ya ukaguzi ya wanafunzi

Darasa______ Jina la mwisho Jina la kwanza ____________________

Hatua za kazi

Daraja

Jumla

Kuhesabu kwa maneno

Tatua mlinganyo

Ni kiwango gani cha milinganyo inayojulikana

Kutatua Milinganyo ya Quadratic

Kutatua equations za ujazo

Tazama yaliyomo kwenye hati
"Kijitabu"

1. Tatua milinganyo:

a) x 2 = 0 e) x 3 – 25x = 0

a) x 2 = 0 e) x 3 – 25x = 0
b) 3x – 5 = 0 g) x(x – 1)(x + 2) = 0
c) x 2 -5 = 0 h) x 4 - x 2 = 0
d) x 2 = 1/36 i) x 2 -0.01 = 0.03
e) x 2 = - 25 j) 19 - c 2 = 10

3. Tatua milinganyo:

x 2 -5x+6=0 y 2 -4y+7=0 x 2 -12x+36=0

4. Tatua milinganyo:

I chaguo II chaguo III chaguo

x 3 -1=0 x 3 - 4x=0 x 3 -12x 2 +36x=0

"mtihani"

Habari! Sasa utapewa mtihani wa hesabu wa maswali 4. Bofya kwenye vifungo kwenye skrini chini ya maswali ambayo, kwa maoni yako, yana jibu sahihi. Bofya kitufe cha "kifuatacho" ili kuanza kujaribu. Bahati njema!

1. Tatua mlingano:

3x + 6 = 0

Sahihi

Hakuna jibu

Mizizi

Sahihi

Hakuna jibu

Mizizi

4. Tatua mlingano: 0 x = - 4

Mizizi

Mengi ya

mizizi

Tazama maudhui ya uwasilishaji
"1"

Tatua mlinganyo:

KAZI YA KINYWA

Malengo:

kielimu:

kujumlisha na kuongeza habari juu ya milinganyo; kuanzisha dhana ya equation nzima na shahada yake, mizizi yake; Fikiria njia ya kutatua equation nzima kwa kutumia factorization.
kujumlisha na kuongeza habari juu ya milinganyo;
kuanzisha dhana ya equation nzima na shahada yake, mizizi yake;
Fikiria njia ya kutatua equation nzima kwa kutumia factorization.

kuendeleza:

maendeleo ya mtazamo wa hisabati na jumla, kufikiri kimantiki, uwezo wa kuchambua, kuteka hitimisho;
maendeleo ya mtazamo wa hisabati na jumla, kufikiri kimantiki, uwezo wa kuchambua, kuteka hitimisho;

kielimu:

kukuza uhuru, uwazi na usahihi katika vitendo.
kukuza uhuru, uwazi na usahihi katika vitendo.

Mtazamo wa kisaikolojia

Tunaendelea kujumlisha na kuongeza habari kuhusu milinganyo;
fahamu dhana ya equation nzima,

na dhana ya kiwango cha equation;

kuendeleza ujuzi katika kutatua equations;
kudhibiti kiwango cha assimilation ya nyenzo;
Darasani tunaweza kufanya makosa, kuwa na mashaka, na kushauriana.
Kila mwanafunzi huweka miongozo yake mwenyewe.

Ni milinganyo gani inayoitwa nambari kamili?
Kiwango cha equation ni nini?
Je, ina mizizi mingapi? equation nth digrii?
Njia za kutatua milinganyo ya digrii ya kwanza, ya pili na ya tatu.

Mpango wa Somo

a) x 2 = 0 e) x 3 - 25x = 0 c) x 2 -5 = 0 h) x 4 -x 2 = 0 d) x 2 = 1/36 i) x 2 –0,01 = 0,03 e) x 2 = – 25 k) 19 – s 2 = 10

Tatua milinganyo:

Kwa mfano:

X²=x³-2(x-1)

Milinganyo

Ikiwa equation iko na kigezo kimoja

iliyoandikwa kama

P(x) = 0, ambapo P(x) ni polynomial ya umbo la kawaida,

basi shahada ya polynomial hii inaitwa

shahada ya equation hii

2x³+2x-1=0 (shahada ya 5)

14x²-3=0 (shahada ya 4)

Kwa mfano:

Ni kiwango gani cha kufahamiana equations kwa ajili yetu?

a) x 2 = 0 e) x 3 - 25x = 0
b) 3x – 5 = 0 g) x(x – 1)(x + 2) = 0
c) x 2 – 5 = 0 h) x 4 -x 2 = 0
d) x 2 = 1/36 i) x 2 – 0,01 = 0,03
e) x 2 = – 25 k) 19 – s 2 = 10

Tatua milinganyo:

2 ∙x + 5 =15
0∙x = 7

Je, equation ya shahada ya 1 inaweza kuwa na mizizi mingapi?

Hakuna zaidi ya moja!

0, D=-12, D x 1 =2, x 2 =3 hakuna mizizi x=6. Je, equation ya shahada ya kwanza (quadratic) inaweza kuwa na mizizi mingapi? Si zaidi ya mbili!" width="640"

Tatua milinganyo:

x 2 -5x+6=0 y 2 -4y+7=0 x 2 -12x+36=0
D=1, D0, D=-12, D

x 1 =2, x 2 =3 hakuna mizizi x=6.

Je equation ya shahada ninaweza kuwa na mizizi mingapi? (mraba) ?

Sio zaidi ya mbili!

Tatua milinganyo:

I chaguo II chaguo III chaguo

x 3 -1=0 x 3 - 4x=0 x 3 -12x 2 +36x=0

x 3 =1 x(x 2 - 4)=0 x(x 2 -12x+36)=0

x=1 x=0, x=2, x= -2 x=0, x=6

Mzizi 1 3 mizizi 2 mizizi

Je, equation ya shahada ya I mimi inaweza kuwa na mizizi mingapi?

Sio zaidi ya tatu!

Je, unadhani mlinganyo unaweza kuwa na mizizi mingapi?

IV, V, VI, VII, n th digrii?

Sio zaidi ya nne, tano, sita, mizizi saba!

Hakuna zaidi wakati wote n mizizi!

ax²+bx+c=0

Mlinganyo wa Quadratic

shoka + b = 0

Mlinganyo wa mstari

Hakuna mizizi

Mzizi mmoja

Wacha tupanue upande wa kushoto wa equation

na vizidishi:

x²(x-8)-(x-8)=0

Jibu:=1, =-1.

Mlinganyo wa shahada ya tatu wa fomu: ax³+bx²+cx+d=0

Kwa factorization

(8x-1)(2x-3)-(4x-1)²=38

Hebu tufungue mabano na tutoe

masharti yanayofanana

16x²-24x-2x+3-16x²+8x-138=0

Jibu: x=-2

Kauli mbiu ya somo letu: "Kadiri ninavyojua zaidi, ndivyo ninavyoweza." Epigaph:
Nani haoni chochote
Hajifunzi chochote.
Ambaye hasomi chochote
Yeye daima analalamika na kuchoka.
(mshairi R. Seph).

Imla ya hisabati

1.Ingiza zilizokosekana
maneno na kuonyesha mechi
1.Inaitwaje?
mlingano?
1. Tafuta yote... au
thibitisha hilo... hapana.
2.Inaitwaje?
mzizi wa equation?
2. ……, yenye
kutofautiana.
3.Nini maana ya kuamua
equation?
3. ……., ambayo
equation ni kinyume
kwa nambari sahihi
usawa.

Tatua milinganyo kwa mdomo:

a) x² = 0
b) 3x - 6 = 0
c) x² - 9 = 0
d) x(x – 1)(x + 2) = 0
e) x² = - 25

Tatua mlinganyo:

x⁴-6x²+5=0

Equation nzima na mizizi yake

Malengo ya somo:

fupisha na kuimarisha habari kuhusu
milinganyo
utangulizi wa dhana nzima
mlinganyo
utangulizi wa dhana ya shahada
milinganyo
malezi ya ujuzi wa suluhisho
milinganyo

Milinganyo

x
5
2
x 1 x 1
3
x
2
x 5
x3 1 x 2 1
3x2
4
2
(x 3 1) x 2 x 3 2(x 1)
x
2 x 1
x 12
mzima
milinganyo
sehemu
milinganyo

Mlinganyo mzima

Equation nzima na moja
kutofautiana ni mlinganyo
sehemu za kushoto na kulia ambazo
maneno yote.

10. Mlinganyo wa nguvu

Ikiwa equation na moja
kutofautisha kumeandikwa kama P(x)=0,
ambapo P(x) ni polynomial ya kawaida
fomu, kisha kiwango cha polynomial hii
inaitwa shahada ya equation, i.e.
kubwa ya digrii
monomia.
Mifano: x⁵-2x³+2x-1=05th
shahada
ya 4
x⁴-14x²-3=0
shahada

11. Kiwango cha mlingano ni nini?

5
a) 2x²-6x⁵+1=0
2
d) (x+8)(x-7)=0
6
b) x⁶-4x²-3=0
1 5
x 0
7
V)
5x(x²+4)=17
d)
x x
5
2 4
5
1
3
e) 5x-

12. Hebu kurudia

mlinganyo wa mstari
aх+b=0
aх2 + bx + c = 0
kundi la
mizizi
hakuna mizizi
mzizi mmoja
mlinganyo wa quadratic
D=0
mzizi mmoja
D>0
mizizi miwili
D<0
hakuna mizizi

13. Mlingano wa shahada ya kwanza

14. Mlingano wa shahada ya tatu

Tatua mlinganyo
x3 8x 2 x 8 0
Suluhisho: kupanua upande wa kushoto
milinganyo 2
x (x 8) (x 8) 0
(x 8)(x 2 1) 0
x 80
x2 10
x1 8, x2jibu
1, x3 1

15. Tatua mlingano:

(8x-1)(2x-3)-(4x-1)²=38
Suluhisho: Wacha tufungue mabano na tupe
masharti yanayofanana
16x²-24x-2x+3-16x²+8x-1-38=0
-18x-36=0
JIANGALIE!
x+2=0
x=-2
Jibu: x=-2

16. Wacha tusuluhishe mlingano wa pande mbili:

X⁴ - 5 x² - 36 = 0
Wacha tufanye mbadala: x² = a, a≥0
a² - 5a -36 =0
D=169
a1= -4 (haifai, kwa sababu a≥0)
a2 = 9
X² = 9
x1 = 3 na x2 = -3
Jibu: 3 na -3.

17. Tatua mlingano:

x⁴-6x²+5=0
Jibu: 1, -1, V5, - V5

18. Anzisha mawasiliano: Mbinu ya mlingano.

Mfano wa maandishi
Ngazi ya pili
Kiwango cha tatu
Ngazi ya nne
Kiwango cha tano

19. Mtihani

1) Amua kiwango cha mlinganyo
(x 2 3) 5 x(x 1) 15
a) 2
b) 3
katika 1
2) Nambari gani ni mizizi
x(x 1)(x 2) 0?
milinganyo
a) -1
b) 0
saa 2
3) Tatua mlingano 9 x 3 27 x 2 0
a) 0;-3
b) -3;0;3
c) 0;3

20.

1)
Equation inaitwa nini
nzima na jinsi ya kuitofautisha nayo
sehemu?
2)
Kiwango cha equation ni nini?
3)
Ni nini mizizi ya equation?
4)
5)
Inaweza kuwa na mizizi ngapi?
Mlinganyo wa shahada ya 1?
Inaweza kuwa na mizizi ngapi?
Mlinganyo wa shahada ya 2?

21. Kazi ya nyumbani:

Fikiria na ujibu swali: "Ni kiasi gani
mizizi inaweza kuwa na equation nzima na
tofauti moja ya shahada ya 2, 3, 4, ya tatu?

Fikiria mlinganyo.
31x 3 – 10x = (x – 5) 2 + 6x 2
Pande zote mbili za kushoto na kulia za mlinganyo ni vielezi kamili.
Kumbuka kwamba milinganyo kama hii inaitwa milinganyo nzima.
Hebu turejee kwenye mlinganyo wetu wa asili na tufungue mabano kwa kutumia fomula ya tofauti ya mraba.
Wacha tuhamishe masharti yote ya equation kwa upande wa kushoto na tuwasilishe masharti sawa.
Semi "toa kumi x" na "pamoja na kumi x" hughairi kila moja.
Baada ya kuleta maneno sawa, tunapata equation, upande wa kushoto ambao kuna polynomial ya fomu ya kawaida (kwa maneno ya jumla tutaiita "Pe kutoka x"), na upande wa kulia kuna sifuri.
Kuamua kiwango cha equation nzima, ni muhimu kuipunguza kwa fomu pe kutoka kwa x sawa na sifuri, yaani, kwa equation ambayo upande wa kushoto una polynomial ya fomu ya kawaida, na upande wa kulia una sifuri.
Baada ya hayo, ni muhimu kuamua kiwango cha pe polynomial kutoka x. Hii itakuwa kiwango cha equation.
Hebu tuangalie mfano. Hebu jaribu kuamua kiwango cha equation hii.
Wacha tufungue mabano kwa kutumia fomula ya mraba wa jumla.
Ifuatayo, tunahamisha masharti yote ya equation kwa upande wa kushoto na kuwasilisha masharti sawa.
Kwa hiyo, tumepata equation, upande wa kushoto ambao ni polynomial ya fomu ya kawaida ya shahada ya pili, na upande wa kulia ni sifuri. Hii ina maana kwamba shahada ya equation hii ni ya pili.
Kiwango cha equation huamua ni mizizi ngapi inayo.
Inaweza kuthibitishwa kuwa equation ya shahada ya kwanza ina mzizi mmoja, equation ya shahada ya pili haina mizizi zaidi ya mbili, equation ya shahada ya tatu haina mizizi zaidi ya tatu, na kadhalika.
Kiwango cha mlinganyo pia hutuambia jinsi mlinganyo unaweza kutatuliwa.
Kwa mfano, tunapunguza mlingano wa shahada ya kwanza hadi umbo x plus kuwa sawa na ce, ambapo a si sawa na sifuri.
Tunapunguza equation ya shahada ya pili kwa equation sawa, upande wa kushoto ambao kuna trinomial ya mraba, na upande wa kulia kuna sifuri. Mlinganyo kama huo hutatuliwa kwa kutumia fomula ya mizizi ya equation ya quadratic au theorem ya Vieta.
Hakuna njia ya ulimwengu wote ya kutatua hesabu za digrii za juu, lakini kuna njia za kimsingi ambazo tutazingatia na mifano.
Wacha tusuluhishe mlingano wa nguvu ya tatu x hadi nguvu ya tatu toa nane x hadi nguvu ya pili minus x pamoja na nane ni sawa na sifuri.
Ili kutatua mlingano huu, tunaweka upande wake wa kushoto kuwa wa kushoto kwa kutumia mbinu ya kupanga na kutumia tofauti za fomula ya miraba.
Ifuatayo, unahitaji kukumbuka kuwa bidhaa ni sawa na sifuri wakati moja ya sababu ni sawa na sifuri. Kulingana na hili, tunahitimisha kuwa ama x minus 8 ni sawa na sifuri, au x minus 1 ni sawa na sifuri, au x jumlisha moja ni sawa na sifuri. Kwa hivyo, mizizi ya equation itakuwa nambari minus moja, moja na nane.
Wakati mwingine, ili kutatua milinganyo ya digrii ya juu kuliko mbili, ni rahisi kuanzisha tofauti mpya.
Hebu tuangalie mfano sawa.
Ikiwa tutafungua mabano, sogeza masharti yote ya equation upande wa kushoto, kuleta maneno sawa na kuwasilisha upande wa kushoto wa equation kwa namna ya polynomial ya fomu ya kawaida, basi hakuna njia yoyote inayojulikana kwetu itasaidia. kutatua equation hii. Katika kesi hii, inafaa kulipa kipaumbele kwa ukweli kwamba mabano yote mawili yana maneno sawa.
Ni usemi huu ambao tutaashiria kama igrik mpya ya kutofautisha.
Halafu equation yetu itapunguzwa kuwa equation na kutofautisha ig...
Ifuatayo, tutafungua tu mabano na kusonga masharti yote ya equation upande wa kushoto.
Wacha tulete masharti yanayofanana na tupate equation ya quadratic ambayo tayari tunaifahamu.
Si vigumu kupata mizizi ya equation hii. Mchezo wa kwanza ni sawa na sita, mchezo wa pili ni sawa na minus kumi na sita.
Sasa wacha turudi kwenye mlinganyo wa asili kwa kufanya ubadilishaji wa kinyume.
Hapo awali, tulichukua usemi wa x mraba kutoa x kama mchezo. Na kwa kuwa tunayo maadili mawili ya y kutofautisha, tunapata hesabu mbili. Katika kila equation tunahamisha masharti yote kwa upande wa kushoto na kutatua equations mbili za quadratic zinazosababisha. Mizizi ya equation ya kwanza ni nambari minus moja ya tano na mbili, na equation ya pili haina mizizi, kwa kuwa kibaguzi chake ni chini ya sifuri.
Kwa hivyo, suluhisho la mlingano huu wa daraja la nne ni nambari kutoa nukta moja tano na mbili.
Mahali maalum katika uainishaji wa milinganyo nzima ina mlinganyo wa umbo la x hadi nguvu ya nne pamoja na kuwa x hadi nguvu ya pili pamoja na ce ni sawa na sifuri. Milinganyo ya aina hii inaitwa milinganyo ya pande mbili.
Equations kama hizo zinaweza kutatuliwa kwa kutumia mabadiliko ya kutofautiana.
Hebu tuangalie mfano.
Katika mlingano huu, hebu tuashiria x mraba kwa igrik. Inafaa kumbuka kuwa utofauti wa iGrik hauwezi kuchukua maadili hasi.
Tunapata equation ya quadratic ambayo mizizi yake ni nambari ya ishirini na tano na moja.
Wacha tufanye uingizwaji wa nyuma.
Mizizi ya equation ya kwanza ni moja ya tano na minus moja ya tano, na mizizi ya pili ni moja na minus moja.
Kwa hivyo, tumepata mizizi minne ya equation ya awali ya biquadratic.

Wacha tufahamiane na hesabu za busara na za sehemu, toa ufafanuzi wao, toa mifano, na pia tuchambue aina za kawaida za shida.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Equation ya busara: ufafanuzi na mifano

Kufahamiana na maneno ya busara huanza katika darasa la 8 la shule. Kwa wakati huu, katika masomo ya aljebra, wanafunzi wanazidi kuanza kukutana na mgawo wenye milinganyo ambayo ina vielezi vya busara katika madokezo yao. Wacha turudishe kumbukumbu yetu juu ya ni nini.

Ufafanuzi 1

Mlinganyo wa kimantiki ni mlinganyo ambamo pande zote mbili zina vielezi vya kimantiki.

Katika miongozo mbalimbali unaweza kupata uundaji mwingine.

Ufafanuzi 2

Mlinganyo wa kimantiki- hii ni equation, upande wa kushoto ambao una usemi wa busara, na upande wa kulia una sifuri.

Ufafanuzi ambao tulitoa kwa milinganyo ya busara ni sawa, kwani wanazungumza juu ya kitu kimoja. Usahihi wa maneno yetu unathibitishwa na ukweli kwamba kwa maneno yoyote ya busara P Na Q milinganyo P = Q Na P − Q = 0 itakuwa misemo sawa.

Sasa tuangalie mifano.

Mfano 1

Milinganyo ya busara:

x = 1, 2 x - 12 x 2 y z 3 = 0, x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2), 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3.

Milinganyo ya kimantiki, kama milinganyo ya aina zingine, inaweza kuwa na idadi yoyote ya vigeu kutoka 1 hadi kadhaa. Kuanza, tutaangalia mifano rahisi ambayo equations itakuwa na tofauti moja tu. Na kisha tutaanza kufanya kazi hiyo hatua kwa hatua.

Milinganyo ya kimantiki imegawanywa katika vikundi viwili vikubwa: integer na fractional. Wacha tuone ni milinganyo gani itatumika kwa kila kikundi.

Ufafanuzi 3

Mlinganyo wa kimantiki utakuwa kamili ikiwa pande zake za kushoto na kulia zina misemo yote ya kimantiki.

Ufafanuzi 4

Mlinganyo wa kimantiki utakuwa wa sehemu ikiwa sehemu yake moja au zote mbili zina sehemu.

Milinganyo ya kimantiki ya kimantiki lazima iwe na mgawanyo kwa kigezo au kigezo kipo katika kipunguzo. Hakuna mgawanyiko kama huo katika uandishi wa milinganyo nzima.

Mfano 2

3 x + 2 = 0 Na (x + y) · (3 · x 2 − 1) + x = − y + 0, 5- milinganyo yote ya busara. Hapa pande zote mbili za equation zinawakilishwa na maneno kamili.

1 x - 1 = x 3 na x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x - 1) : 5 ni milinganyo yenye mantiki kiasi.

Milinganyo yote ya kimantiki ni pamoja na milinganyo ya mstari na ya quadratic.

Kutatua milinganyo nzima

Utatuzi wa milinganyo kama hii kwa kawaida huja kwa kuzigeuza kuwa milinganyo sawa ya aljebra. Hii inaweza kupatikana kwa kufanya mabadiliko sawa ya equations kulingana na algorithm ifuatayo:

kwanza tunapata sifuri upande wa kulia wa equation; ili kufanya hivyo, tunahitaji kusonga usemi ulio upande wa kulia wa equation kwa upande wake wa kushoto na ubadilishe ishara;
kisha tunabadilisha usemi ulio upande wa kushoto wa equation kuwa polynomial ya fomu ya kawaida.

Ni lazima tupate mlingano wa aljebra. Mlinganyo huu utakuwa sawa na mlinganyo wa asili. Matukio rahisi huturuhusu kupunguza mlingano mzima hadi wa mstari au wa quadratic ili kutatua tatizo. Kwa ujumla, tunatatua mlinganyo wa shahada ya aljebra n.

Mfano 3

Inahitajika kupata mizizi ya equation nzima 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.

Suluhisho

Hebu tubadilishe usemi asilia ili kupata mlinganyo sawa wa aljebra. Ili kufanya hivyo, tutahamisha usemi ulio kwenye upande wa kulia wa equation kwa upande wa kushoto na kuchukua nafasi ya ishara na kinyume chake. Kama matokeo, tunapata: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

Sasa wacha tubadilishe usemi ambao uko upande wa kushoto kuwa fomu ya kawaida ya polynomial na tufanye vitendo muhimu na polynomial hii:

3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) − 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x − 9 − 2 x 2 + x + 3 = x 2 − 5 x - 6

Tuliweza kupunguza ufumbuzi wa equation ya awali kwa ufumbuzi wa equation ya quadratic ya fomu x 2 − 5 x − 6 = 0. Kibaguzi cha mlingano huu ni chanya: D = (- 5) 2 − 4 · 1 · (- 6) = 25 + 24 = 49 . Hii ina maana kutakuwa na mizizi miwili halisi. Wacha tuwapate kwa kutumia formula ya mizizi ya equation ya quadratic:

x = - - 5 ± 49 2 1,

x 1 = 5 + 7 2 au x 2 = 5 - 7 2,

x 1 = 6 au x 2 = - 1

Wacha tuangalie usahihi wa mizizi ya equation ambayo tulipata wakati wa suluhisho. Kwa hili, tunabadilisha nambari tulizopokea kwenye mlinganyo wa asili: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3 Na 3 · (− 1 + 1) · (− 1 − 3) = (- 1) · (2 · (− 1) − 1) − 3. Katika kesi ya kwanza 63 = 63 , katika pili 0 = 0 . Mizizi x=6 Na x = - 1 kweli ni mizizi ya mlinganyo uliotolewa katika hali ya mfano.

Jibu: 6 , − 1 .

Wacha tuangalie maana ya "shahada ya equation nzima". Mara nyingi tutakumbana na neno hili katika hali ambapo tunahitaji kuwakilisha mlingano mzima katika umbo la aljebra. Hebu tufafanue dhana.

Ufafanuzi 5

Kiwango cha equation nzima ni kiwango cha mlingano wa aljebra sawa na mlinganyo kamili wa asili.

Ikiwa unatazama equations kutoka kwa mfano hapo juu, unaweza kuanzisha: kiwango cha equation hii yote ni ya pili.

Ikiwa kozi yetu ilikuwa na ukomo wa kutatua milinganyo ya shahada ya pili, basi mjadala wa mada unaweza kuishia hapo. Lakini si rahisi hivyo. Kutatua equations ya shahada ya tatu imejaa ugumu. Na kwa hesabu juu ya digrii ya nne hakuna kanuni za jumla za mizizi hata kidogo. Katika suala hili, kutatua equations nzima ya digrii ya tatu, ya nne na nyingine inahitaji sisi kutumia idadi ya mbinu na mbinu nyingine.

Mbinu inayotumika sana ya kutatua milinganyo yote ya kimantiki inategemea mbinu ya uainishaji. Algorithm ya vitendo katika kesi hii ni kama ifuatavyo.

tunahamisha usemi kutoka upande wa kulia kwenda kushoto ili sifuri ibaki upande wa kulia wa rekodi;
Tunawakilisha usemi ulio upande wa kushoto kama bidhaa ya vipengele, na kisha kwenda kwenye seti ya milinganyo kadhaa rahisi zaidi.

Mfano 4

Pata suluhisho la mlinganyo (x 2 - 1) · (x 2 - 10 · x + 13) = 2 · x · (x 2 - 10 · x + 13) .

Suluhisho

Tunahamisha usemi kutoka upande wa kulia wa rekodi kwenda kushoto na ishara tofauti: (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) − 2 · x · (x 2 - 10 · x + 13) = 0. Kubadilisha upande wa kushoto hadi polynomial ya fomu ya kawaida siofaa kutokana na ukweli kwamba hii itatupa mlingano wa aljebra wa shahada ya nne: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 - 16 x - 13 = 0. Urahisi wa uongofu hauhalalishi matatizo yote katika kutatua mlingano huo.

Ni rahisi zaidi kwenda kwa njia nyingine: hebu tuchukue sababu ya kawaida kutoka kwa mabano x 2 − 10 x + 13 . Kwa hivyo tunafika kwenye equation ya fomu (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Sasa tunabadilisha equation inayosababishwa na seti ya hesabu mbili za quadratic x 2 − 10 x + 13 = 0 Na x 2 − 2 x − 1 = 0 na kupata mizizi yao kwa njia ya kibaguzi: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

Jibu: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

Kwa njia hiyo hiyo, tunaweza kutumia njia ya kuanzisha tofauti mpya. Mbinu hii huturuhusu kuhamia milinganyo sawa na digrii za chini kuliko digrii katika mlinganyo kamili wa asili.

Mfano 5

Je, equation ina mizizi? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = - 2 (x 2 + 3 x − 4)?

Suluhisho

Ikiwa sasa tutajaribu kupunguza mlinganyo mzima wa kimantiki hadi aljebra, tutapata mlinganyo wa digrii 4 ambao hauna mizizi ya kimantiki. Kwa hivyo, itakuwa rahisi kwetu kwenda kwa njia nyingine: anzisha tofauti mpya y, ambayo itachukua nafasi ya usemi katika equation. x 2 + 3 x.

Sasa tutafanya kazi na equation nzima (y + 1) 2 + 10 = − 2 · (y − 4). Wacha tuhamishe upande wa kulia wa equation kwenda kushoto na ishara tofauti na tufanye mabadiliko muhimu. Tunapata: y 2 + 4 y + 3 = 0. Wacha tupate mizizi ya equation ya quadratic: y = - 1 Na y = - 3.

Sasa wacha tufanye uingizwaji wa nyuma. Tunapata equations mbili x 2 + 3 x = - 1 Na x 2 + 3 · x = - 3 . Hebu tuyaandike upya kama x 2 + 3 x + 1 = 0 na x 2 + 3 x + 3 = 0. Tunatumia fomula ya mizizi ya equation ya quadratic ili kupata mizizi ya equation ya kwanza kutoka kwa zile zilizopatikana: - 3 ± 5 2. Ubaguzi wa equation ya pili ni hasi. Hii ina maana kwamba equation ya pili haina mizizi halisi.

Jibu:- 3 ± 5 2

Equations nzima ya digrii za juu huonekana katika matatizo mara nyingi. Hakuna haja ya kuwaogopa. Unahitaji kuwa tayari kutumia njia isiyo ya kawaida ya kuzitatua, pamoja na mabadiliko kadhaa ya bandia.

Kutatua milinganyo ya kimantiki ya sehemu

Tutaanza uzingatiaji wetu wa mada hii ndogo kwa algoriti ya kutatua milinganyo ya kimantiki ya fomu p (x) q (x) = 0, ambapo p(x) Na q(x)- maneno yote ya busara. Suluhisho la milinganyo mingine ya kimantiki inaweza kupunguzwa kila wakati kwa suluhisho la milinganyo ya aina iliyoonyeshwa.

Njia inayotumika zaidi ya kutatua milinganyo p (x) q (x) = 0 inategemea taarifa ifuatayo: sehemu ya nambari. wewe v, Wapi v- hii ni nambari ambayo ni tofauti na sifuri, sawa na sifuri tu katika matukio hayo wakati nambari ya sehemu ni sawa na sifuri. Kufuatia mantiki ya taarifa hiyo hapo juu, tunaweza kudai kwamba suluhu la mlinganyo p (x) q (x) = 0 linaweza kupunguzwa hadi kutimiza masharti mawili: p(x)=0 Na q(x) ≠ 0. Huu ndio msingi wa kuunda algoriti ya kutatua milinganyo ya kimantiki ya fomu p (x) q (x) = 0:

tafuta suluhisho la mlinganyo mzima wa kimantiki p(x)=0;
tunaangalia ikiwa hali imeridhika kwa mizizi iliyopatikana wakati wa suluhisho q(x) ≠ 0.

Ikiwa hali hii imefikiwa, basi mizizi iliyopatikana Ikiwa sio, basi mzizi sio suluhisho la tatizo.

Mfano 6

Hebu tupate mizizi ya equation 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .

Suluhisho

Tunashughulika na mlingano wa kimantiki wa sehemu ya fomu p (x) q (x) = 0, ambapo p (x) = 3 x - 2, q (x) = 5 x 2 - 2 = 0. Wacha tuanze kutatua equation ya mstari 3 x − 2 = 0. Mzizi wa equation hii itakuwa x = 2 3.

Wacha tuangalie mzizi uliopatikana ili kuona ikiwa inakidhi hali hiyo 5 x 2 − 2 ≠ 0. Ili kufanya hivyo, badilisha thamani ya nambari kwenye usemi. Tunapata: 5 · 2 3 2 - 2 = 5 · 4 9 - 2 = 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0.

Hali imetimizwa. Ina maana kwamba x = 2 3 ndio mzizi wa mlingano asilia.

Jibu: 2 3 .

Kuna chaguo jingine la kusuluhisha milinganyo ya kimantiki p (x) q (x) = 0. Kumbuka kwamba mlinganyo huu ni sawa na mlinganyo mzima p(x)=0 kwenye anuwai ya thamani zinazokubalika za mabadiliko ya x ya mlingano asilia. Hii inaruhusu sisi kutumia algoriti ifuatayo katika kutatua milinganyo p (x) q (x) = 0:

kutatua equation p(x)=0;
pata anuwai ya maadili yanayoruhusiwa ya kutofautisha x;
tunachukua mizizi ambayo iko katika anuwai ya maadili yanayoruhusiwa ya kutofautisha x kama mizizi inayotakikana ya mlinganyo wa asili wa kimantiki.

Mfano 7

Tatua mlingano x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0.

Suluhisho

Kwanza, hebu tutatue equation ya quadratic x 2 − 2 x − 11 = 0. Ili kuhesabu mizizi yake, tunatumia formula ya mizizi kwa mgawo wa pili. Tunapata D 1 = (- 1) 2 − 1 · (- 11) = 12, na x = 1 ± 2 3 .

Sasa tunaweza kupata ODZ ya kutofautisha x kwa mlingano asilia. Hizi ndizo nambari zote ambazo x 2 + 3 x ≠ 0. Ni sawa na x (x + 3) ≠ 0, kutoka wapi x ≠ 0, x ≠ − 3.

Sasa hebu tuangalie ikiwa mizizi x = 1 ± 2 3 iliyopatikana katika hatua ya kwanza ya suluhisho iko ndani ya anuwai ya maadili yanayokubalika ya kutofautisha x. Tunawaona wakiingia. Hii ina maana kwamba mlingano wa awali wa kimantiki una mizizi miwili x = 1 ± 2 3.

Jibu: x = 1 ± 2 3

Njia ya pili ya suluhisho iliyoelezewa ni rahisi kuliko ya kwanza katika hali ambapo anuwai ya maadili yanayokubalika ya kutofautisha x hupatikana kwa urahisi, na mizizi ya equation. p(x)=0 isiyo na mantiki. Kwa mfano, 7 ± 4 · 26 9. Mizizi inaweza kuwa ya busara, lakini kwa nambari kubwa au denominator. Kwa mfano, 127 1101 Na − 31 59 . Hii inaokoa wakati wa kuangalia hali hiyo q(x) ≠ 0: Ni rahisi zaidi kuwatenga mizizi ambayo haifai kulingana na ODZ.

Katika hali ambapo mizizi ya equation p(x)=0 ni nambari kamili, inafaa zaidi kutumia ya kwanza kati ya algoriti zilizofafanuliwa kutatua milinganyo ya fomu p (x) q (x) = 0. Pata mizizi ya equation nzima kwa kasi zaidi p(x)=0, na kisha angalia ikiwa hali imeridhika kwao q(x) ≠ 0, badala ya kutafuta ODZ, na kisha kutatua equation p(x)=0 kwenye ODZ hii. Hii ni kutokana na ukweli kwamba katika hali hiyo ni rahisi kuangalia kuliko kupata DZ.

Mfano 8

Pata mizizi ya equation (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0.

Suluhisho

Wacha tuanze kwa kuangalia equation nzima (2 x − 1) (x − 6) (x 2 − 5 x + 14) (x + 1) = 0 na kutafuta mizizi yake. Ili kufanya hivyo, tunatumia njia ya kutatua equations kupitia factorization. Inabadilika kuwa equation ya awali ni sawa na seti ya equations nne 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, ambayo tatu ni ya mstari na. moja ni quadratic. Kutafuta mizizi: kutoka kwa equation ya kwanza x = 1 2, kutoka kwa pili - x=6, kutoka ya tatu – x = 7 , x = − 2 , kutoka ya nne – x = - 1.

Hebu tuangalie mizizi iliyopatikana. Ni ngumu kwetu kuamua ODZ katika kesi hii, kwani kwa hili tutalazimika kutatua equation ya algebra ya shahada ya tano. Itakuwa rahisi kuangalia hali kulingana na ambayo denominator ya sehemu, ambayo iko upande wa kushoto wa equation, haipaswi kwenda kwa sifuri.

Wacha tubadilishane kubadilisha mizizi kwa herufi x katika usemi x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 na kuhesabu thamani yake:

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 2 2 ∉ = 13 + 12 − 13 4 + 13 + 2 2 - 12

6 5 - 15 · 6 4 + 57 · 6 3 - 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0;

7 5 - 15 · 7 4 + 57 · 7 3 - 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0;

(− 2) 5 - 15 · (- 2) 4 + 57 · (- 2) 3 - 13 · (- 2) 2 + 26 · (- 2) + 112 = - 720 ≠ 0;

(− 1) 5 − 15 · (- 1) 4 + 57 · (- 1) 3 - 13 · (- 1) 2 + 26 · (- 1) + 112 = 0.

Uthibitishaji uliofanywa unaturuhusu kubaini kuwa mizizi ya mlingano wa kimantiki wa awali ni 1 2, 6 na − 2 .

Jibu: 1 2 , 6 , - 2

Mfano 9

Pata mizizi ya mlingano wa kimantiki wa sehemu 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0.

Suluhisho

Wacha tuanze kufanya kazi na equation (5 x 2 − 7 x − 1) (x - 2) = 0. Wacha tupate mizizi yake. Ni rahisi kwetu kufikiria mlingano huu kama seti ya milinganyo ya quadratic na mstari 5 x 2 − 7 x − 1 = 0 Na x − 2 = 0.

Tunatumia fomula ya mizizi ya equation ya quadratic kupata mizizi. Tunapata kutoka kwa equation ya kwanza mizizi miwili x = 7 ± 69 10, na kutoka kwa pili. x = 2.

Itakuwa vigumu sana kwetu kubadilisha thamani ya mizizi kwenye mlinganyo wa asili ili kuangalia hali. Itakuwa rahisi kuamua ODZ ya mabadiliko ya x. Katika kesi hii, ODZ ya mabadiliko x ni nambari zote isipokuwa zile ambazo hali hiyo inafikiwa x 2 + 5 x − 14 = 0. Tunapata: x ∈ - ∞, - 7 ∪ - 7, 2 ∪ 2, + ∞.

Sasa hebu tuangalie ikiwa mizizi tuliyopata ni ya anuwai ya maadili yanayokubalika ya mabadiliko x.

Mizizi x = 7 ± 69 10 - ni ya, kwa hiyo, ni mizizi ya equation ya awali, na x = 2- sio mali, kwa hivyo, ni mzizi wa nje.

Jibu: x = 7 ± 69 10 .

Wacha tuchunguze kando kesi wakati nambari ya mlinganyo wa kimantiki wa fomu p (x) q (x) = 0 ina nambari. Katika hali kama hizi, ikiwa nambari ina nambari tofauti na sifuri, basi equation haitakuwa na mizizi. Ikiwa nambari hii ni sawa na sifuri, basi mzizi wa equation itakuwa nambari yoyote kutoka kwa ODZ.

Mfano 10

Tatua mlingano wa kimantiki wa sehemu - 3, 2 x 3 + 27 = 0.

Suluhisho

Mlinganyo huu hautakuwa na mizizi, kwani nambari ya sehemu iliyo upande wa kushoto wa equation ina nambari isiyo ya sifuri. Hii inamaanisha kuwa bila thamani ya x thamani ya sehemu iliyotolewa katika taarifa ya tatizo itakuwa sawa na sifuri.

Jibu: hakuna mizizi.

Mfano 11

Tatua mlingano 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Suluhisho

Kwa kuwa nambari ya sehemu ina sifuri, suluhisho la equation litakuwa thamani yoyote x kutoka kwa ODZ ya mabadiliko ya x.

Sasa hebu tufafanue ODZ. Itajumuisha maadili yote ya x ambayo x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Suluhisho kwa equation x 4 + 5 x 3 = 0 ni 0 Na − 5 , kwa kuwa mlingano huu ni sawa na mlinganyo x 3 (x + 5) = 0, na hii kwa upande wake ni sawa na mchanganyiko wa milinganyo miwili x 3 = 0 na x + 5 = 0, ambapo mizizi hii inaonekana. Tunafikia hitimisho kwamba anuwai inayokubalika ya maadili yanayokubalika ni x yoyote isipokuwa x = 0 Na x = - 5.

Inabadilika kuwa equation ya busara ya sehemu 0 x 4 + 5 x 3 = 0 ina idadi isiyo na kikomo ya suluhisho, ambazo ni nambari zingine isipokuwa sifuri na - 5.

Jibu: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Sasa hebu tuzungumze juu ya usawa wa usawa wa fomu ya kiholela na njia za kuzitatua. Wanaweza kuandikwa kama r(x) = s(x), Wapi r(x) Na s(x)- maneno ya busara, na angalau moja yao ni ya sehemu. Kutatua milinganyo kama hii kunapunguza utatuzi wa milinganyo ya fomu p (x) q (x) = 0.

Tayari tunajua kwamba tunaweza kupata mlingano sawa kwa kuhamisha usemi kutoka upande wa kulia wa mlinganyo hadi kushoto na ishara kinyume. Hii ina maana kwamba equation r(x) = s(x) ni sawa na mlinganyo r (x) − s (x) = 0. Pia tayari tumejadili njia za kubadilisha usemi wa busara kuwa sehemu ya busara. Shukrani kwa hili, tunaweza kubadilisha equation kwa urahisi r (x) − s (x) = 0 katika sehemu inayofanana ya kimantiki ya fomu p (x) q (x) .

Kwa hivyo tunahama kutoka kwa mlinganyo wa awali wa kimantiki r(x) = s(x) kwa equation ya fomu p (x) q (x) = 0, ambayo tayari tumejifunza kutatua.

Inapaswa kuzingatiwa kwamba wakati wa kufanya mabadiliko kutoka r (x) − s (x) = 0 kwa p(x)q(x) = 0 na kisha kwenda p(x)=0 hatuwezi kuzingatia upanuzi wa anuwai ya maadili yanayokubalika ya mabadiliko x.

Inawezekana kabisa kwamba equation ya awali r(x) = s(x) na mlinganyo p(x)=0 kama matokeo ya mabadiliko yatakoma kuwa sawa. Kisha suluhisho la equation p(x)=0 inaweza kutupa mizizi ambayo itakuwa ngeni r(x) = s(x). Katika suala hili, katika kila kesi ni muhimu kufanya uthibitishaji kwa kutumia njia yoyote iliyoelezwa hapo juu.

Ili iwe rahisi kwako kusoma mada, tumefupisha habari yote katika algoriti ya kutatua mlinganyo wa kimantiki wa fomu. r(x) = s(x):

sisi kuhamisha kujieleza kutoka upande wa kulia na ishara kinyume na kupata sifuri upande wa kulia;
kubadilisha usemi asilia kuwa sehemu ya kimantiki p (x) q (x) , inayofanya shughuli kwa kufuatana na sehemu na polimanomia;
kutatua equation p(x)=0;
Tunatambua mizizi ya nje kwa kuangalia mali yao ya ODZ au kwa kubadilisha katika equation ya awali.

Kwa kuibua, mlolongo wa vitendo utaonekana kama hii:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → kuondoa MIZIZI YA NJE

Mfano 12

Tatua mlingano wa kimantiki wa sehemu x x + 1 = 1 x + 1 .

Suluhisho

Wacha tuendelee kwenye mlinganyo x x + 1 - 1 x + 1 = 0. Wacha tubadilishe usemi wa kimantiki wa sehemu kwenye upande wa kushoto wa mlinganyo kuwa umbo p (x) q (x) .

Ili kufanya hivyo, tutalazimika kupunguza sehemu za busara kwa dhehebu la kawaida na kurahisisha usemi:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x · (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x · (x + 1) = - 2 · x - 1 x · (x + 1)

Ili kupata mizizi ya equation - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, tunahitaji kutatua equation. − 2 x − 1 = 0. Tunapata mzizi mmoja x = - 1 2.

Tunachotakiwa kufanya ni kuangalia kwa kutumia mbinu zozote. Hebu tuangalie wote wawili.

Wacha tubadilishe thamani inayotokana na mlinganyo wa asili. Tunapata - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1. Tumefika kwenye usawa sahihi wa nambari − 1 = − 1 . Ina maana kwamba x = − 1 2 ndio mzizi wa mlingano asilia.

Sasa hebu tuangalie kupitia ODZ. Wacha tuamue anuwai ya maadili yanayoruhusiwa ya kutofautisha x. Hii itakuwa seti nzima ya nambari, isipokuwa - 1 na 0 (saa x = - 1 na x = 0, madhehebu ya sehemu hupotea). Mzizi tulioupata x = − 1 2 ni mali ya ODZ. Hii ina maana kwamba ni mzizi wa equation ya awali.

Jibu: − 1 2 .

Mfano 13

Pata mizizi ya equation x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 · x.

Suluhisho

Tunashughulika na mlinganyo wa kimantiki wa sehemu. Kwa hiyo, tutafanya kulingana na algorithm.

Wacha tusogeze usemi kutoka upande wa kulia kwenda kushoto na ishara iliyo kinyume: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Hebu tufanye mabadiliko muhimu: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x.

Tunafika kwenye equation x = 0. Mzizi wa equation hii ni sifuri.

Wacha tuangalie ikiwa mzizi huu ni wa nje kwa mlinganyo wa asili. Wacha tubadilishe thamani katika mlinganyo wa asili: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 · 0. Kama unaweza kuona, equation inayosababishwa haina maana. Hii inamaanisha kuwa 0 ni mzizi wa nje, na mlinganyo wa awali wa kimantiki hauna mizizi.

Jibu: hakuna mizizi.

Ikiwa hatujajumuisha mabadiliko mengine sawa katika algoriti, hii haimaanishi kuwa hayawezi kutumika. Algorithm ni ya ulimwengu wote, lakini imeundwa kusaidia, sio kikomo.

Mfano 14

Tatua mlingano 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Suluhisho

Njia rahisi ni kutatua equation ya kimantiki iliyopewa kulingana na algorithm. Lakini kuna njia nyingine. Hebu tuzingatie.

Ondoa 7 kutoka pande za kulia na kushoto, tunapata: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24.

Kutokana na hili tunaweza kuhitimisha kwamba usemi katika dhehebu upande wa kushoto lazima uwe sawa na ulinganifu wa nambari upande wa kulia, yaani, 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7.

Ondoa 3 kutoka pande zote mbili: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7. Kwa mlinganisho, 2 + 1 5 - x 2 = 7 3, kutoka ambapo 1 5 - x 2 = 1 3, na kisha 5 - x 2 = 3, x 2 = 2, x = ± 2

Wacha tufanye ukaguzi ili kubaini ikiwa mizizi iliyopatikana ni mizizi ya mlingano wa asili.

Jibu: x = ± 2

Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter

Shule: Tawi la Shule ya Sekondari ya Taasisi ya Elimu ya Manispaa yenye. Svyatoslavka katika kijiji. Vozdvizhenka

Somo: hisabati.

Mtaala - masaa 5 kwa wiki (ambayo saa 3 ni aljebra, saa 2 ni jiometri)

Mada: Mlingano mzima na mizizi yake. Kutatua milinganyo nzima.

Aina ya somo: kuboresha ujuzi na uwezo.

Malengo ya somo:

didactic : utaratibu na ujanibishaji, upanuzi na ukuzaji wa maarifa ya wanafunzi ya kutatua milinganyo nzima na kigezo kimoja juu ya shahada ya pili; kuandaa wanafunzi kutumia maarifa katika hali zisizo za kawaida, kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja.

zinazoendelea : maendeleo ya utu wa mwanafunzi kupitia kazi ya ubunifu ya kujitegemea, maendeleo ya mpango wa mwanafunzi; kutoa mazingira thabiti ya motisha, riba katika mada inayosomwa; kukuza uwezo wa kujumlisha, chagua kwa usahihi njia za kutatua equation;

kielimu: kukuza shauku ya kusoma hisabati, kuandaa wanafunzi kutumia maarifa katika hali zisizo za kawaida; kukuza nia na uvumilivu ili kufikia matokeo ya mwisho

Hatua za somo	Muda	Fomu	Shughuli za mwalimu	Shughuli za wanafunzi	Kumbuka
1.1.Org. Muda mfupi (*Sehemu ya utangulizi na motisha, ili kuboresha shughuli za wanafunzi)*		(Kiambatisho 1)	Inafafanua utayari wa mwanafunzi. Huzingatia umakini wa wanafunzi. Ananukuu kauli mbiu ya somo na epigraph kwa somo.	Sikiliza, jibu maswali, toa hitimisho,
1.2. Kuangalia kazi ya nyumbani Usasishaji wa maarifa ya kumbukumbu		Uchunguzi wa mdomo (Kiambatisho 2-4)	Huratibu shughuli za wanafunzi	Toa ufafanuzi wa equation, mizizi ya equation, dhana ya kutatua equation. Wanasuluhisha milinganyo kwa mdomo na kutenganisha milinganyo nzima kutoka kwao.	malezi ya uwezo wa utambuzi
1.3. Kuweka lengo na motisha		Kupanga	Huhamasisha wanafunzi Huwasilisha malengo ya somo	Taja na uandike mada ya somo, weka lengo lao la somo.	malezi ya uwezo wa kuwasiliana
2.1. Kuweka maarifa kwa utaratibu. *Malengo* : fundisha uandishi mfupi wa busara, fanya mazoezi ya uwezo wa kupata hitimisho na jumla		(Kiambatisho cha 5)	Hutoa mifano ya milinganyo nzima ya aina mbalimbali.	Wanasikiliza, kujibu maswali, kutoa hitimisho, na kuelezea jinsi ya kutatua milinganyo yote. Kusanya na kuandika muhtasari wa kuunga mkono somo kwenye daftari.	malezi ya uwezo wa kiakili, kimawasiliano na kijamii
2.2. dakika ya elimu ya mwili		Kutoa maoni	Maoni juu ya seti ya mazoezi ya macho	Wanafunzi kurudia mazoezi.
2.3. Kuunganisha. Kutatua milinganyo nzima Kusudi: fundisha kufanya kazi na maarifa, kukuza kubadilika katika kutumia maarifa		Shughuli za vitendo (Kiambatisho cha 6)	Hupanga na kudhibiti shughuli za wanafunzi. Inaonyesha ufumbuzi tofauti	Wanasuluhisha milinganyo yote kwenye daftari zao, wanaonyesha suluhu ubaoni, na waangalie. Chora hitimisho	Kuunganisha malezi ya habari na utambuzi uwezo
3.1. Kwa muhtasari wa somo		Tafakari (Kiambatisho cha 7)	Huwahamasisha wanafunzi kufanya muhtasari wa somo Inatoa alama.	Fanya muhtasari wa nyenzo zilizosomwa. Wanafanya hitimisho. Andika kazi ya nyumbani. Tathmini kazi zao	Kamilisha milinganyo

(Kiambatisho 1)

1.Wakati wa shirika- malengo na malengo ya somo yamewekwa.

Jamani! Utakuwa na cheti cha mwisho katika hisabati kwa njia ya Mtihani wa Jimbo na Mtihani wa Jimbo Pamoja. Ili kufaulu kwa mafanikio Mtihani wa Jimbo na Mtihani wa Jimbo la Umoja, lazima ujue hisabati sio tu kwa kiwango cha chini, lakini pia utumie maarifa yako katika hali zisizo za kawaida. Katika sehemu B na C za Mtihani wa Jimbo Iliyounganishwa, milinganyo ya digrii za juu hupatikana mara nyingi. Kazi yetu: utaratibu na ujanibishaji, upanuzi na ukuzaji wa maarifa juu ya kutatua hesabu nzima na kigezo kimoja juu ya digrii ya pili; maandalizi ya kutumia maarifa katika hali zisizo za kawaida, kwa Mtihani wa Jimbo na Mtihani wa Jimbo la Umoja.

Kauli mbiusomo letu: "Kadiri ninavyojua zaidi, ndivyo ninavyoweza."

Epigaph:

Nani haoni chochote

Hajifunzi chochote.

Ambaye hasomi chochote

Yeye daima analalamika na kuchoka.

(mshairi R. Seph).

Mlinganyo ni tatizo rahisi na la kawaida la hisabati. Umekusanya uzoefu fulani katika kutatua milinganyo mbalimbali na tunahitaji kuweka maarifa yetu katika mpangilio na kuelewa mbinu za kutatua milinganyo isiyo ya kawaida.

U milinganyo yenyewe ni ya kupendeza kwa kusoma. Maandishi ya awali zaidi yanaonyesha kwamba mbinu za kutatua milinganyo ya mstari zilijulikana katika Babiloni ya kale na Misri ya kale. Milinganyo ya quadratic inaweza kutatuliwa yapata miaka 2000 iliyopita KK. e. Wababeli.

Mbinu na mbinu za kawaida za kutatua milinganyo ya msingi ya aljebra ni sehemu muhimu ya kutatua aina zote za milinganyo.

Katika hali rahisi zaidi, kutatua equation na moja haijulikani imegawanywa katika hatua mbili: kubadilisha equation kwa kiwango cha kawaida na kutatua equation ya kawaida. Haiwezekani kuhariri kabisa mchakato wa kutatua equations, lakini ni muhimu kukumbuka mbinu za kawaida ambazo ni za kawaida kwa kila aina ya equations. Nyingi equations wakati wa kutumia mbinu zisizo za kawaida hutatuliwa kwa muda mfupi zaidi na rahisi zaidi.

Tutaelekeza mawazo yetu juu yao.

(Kiambatisho 2)

Kusasisha maarifa.

Kwa kazi ya nyumbani ulipewa kazi ya kurudia mada ya equations na jinsi ya kuyatatua.

Ø Equation inaitwaje? ( Mlinganyo ulio na kigezo huitwa equation na kigezo kimoja)

Ø Nini mzizi wa equation?(Thamani ya kutofautisha ambayo equation inabadilika kuwa nambari sahihi

usawa.)

Ø Inamaanisha nini kutatua equation?(Tafuta mizizi yake yote au uthibitishe kuwa hakuna mizizi.)

Ninapendekeza utatue hesabu kadhaa kwa mdomo:

a) x2 = 0 e) x3 - 25x = 0

b) 3x – 6 = 0 g) x(x – 1)(x + 2) = 0

c) x2 - 9 = 0 h) x4 - x2 = 0

d) x2 = 1/36 i) x2 - 0.01 = 0.03

e) x2 = - 25 j) 19 - c2 = 10

Niambie, ni nini kinachounganisha milinganyo hii?(kigeu kimoja, milinganyo nzima, n.k.)

Ø Je, equation nzima yenye kigezo kimoja inaitwaje? ( Milinganyo ambayo pande za kushoto na kulia ni nambari kamili

maneno

Ø Kiwango cha mlinganyo mzima kinaitwaje?(Kiwango cha mlinganyo sawa wa fomu P(x) = 0, Wapi P(x) - polynomial

aina ya kawaida)

Ø Equation nzima inaweza kuwa na mizizi mingapi na kigezo kimoja cha 2, 3, 4, P shahada ya th(sio zaidi ya 2, 3, 4, P)

Je! ninajua njia za kutatua equations nzima?

Je! ninajua jinsi ya kutumia njia hizi?

Je, nitaweza kutatua milinganyo peke yangu?

Je, ulijisikia vizuri wakati wa somo?

6. Kwenye "3" - jedwali Nambari 1 + 1 equation kutoka kwa meza zilizobaki.

Kwenye "4" - jedwali Nambari 1 + 1 kutoka kwa majedwali yoyote mawili

Kwenye "5" - Jedwali Nambari 1 + 1 kutoka kwa kila iliyobaki

meza

https://pandia.ru/text/80/110/images/image007_63.gif" width="594" height="375 src=">

Muhtasari:

Kujaza jedwali la kujitathmini

Kuweka alama

Nyumbani: kamilisha milinganyo iliyobaki ambayo haijatatuliwa kutoka kwa jedwali zote.

Somo: mlingano mzima na mizizi yake. Equation nzima na mizizi yake

"Orodha ya ukaguzi wa wanafunzi"

Tazama yaliyomo kwenye hati "Kijitabu"

"mtihani"

Tazama maudhui ya uwasilishaji "1"

Imla ya hisabati

Tatua milinganyo kwa mdomo:

Tatua mlinganyo:

Equation nzima na mizizi yake

Malengo ya somo:

Milinganyo

Mlinganyo mzima

10. Mlinganyo wa nguvu

11. Kiwango cha mlingano ni nini?

12. Hebu kurudia

13. Mlingano wa shahada ya kwanza

14. Mlingano wa shahada ya tatu

15. Tatua mlingano:

16. Wacha tusuluhishe mlingano wa pande mbili:

17. Tatua mlingano:

18. Anzisha mawasiliano: Mbinu ya mlingano.

19. Mtihani

20.

21. Kazi ya nyumbani:

Equation ya busara: ufafanuzi na mifano

Kutatua milinganyo nzima

Kutatua milinganyo ya kimantiki ya sehemu

Tazama yaliyomo kwenye hati
"Kijitabu"

Tazama maudhui ya uwasilishaji
"1"