Mbinu ya mchoro inajumuisha kuunda seti ya suluhu zinazokubalika kwa PLP, na kutafuta katika seti hii hatua inayolingana na utendaji wa lengo la max/min.

Kutokana na uwezekano mdogo wa uwakilishi wa picha unaoonekana, njia hii inatumika tu kwa mifumo ya usawa wa mstari na mbili haijulikani na mifumo ambayo inaweza kupunguzwa kwa fomu hii.

Ili kuonyesha wazi njia ya picha, wacha tutatue shida ifuatayo:

1. Katika hatua ya kwanza, ni muhimu kujenga eneo la ufumbuzi unaowezekana. Kwa mfano huu, ni rahisi zaidi kuchagua X2 kama abscissa, na X1 kama kuratibu, na kuandika ukosefu wa usawa katika fomu ifuatayo:

Kwa kuwa grafu zote mbili na eneo la suluhu zinazowezekana ziko katika robo ya kwanza. Ili kupata pointi za mipaka, tunatatua equations (1)=(2), (1)=(3) na (2)=(3).

Kama inavyoonekana katika kielelezo, polihedron ABCDE huunda eneo la suluhu zinazowezekana.

Ikiwa eneo la suluhisho zinazowezekana halijafungwa, basi ama max(f)=+ ?, au min(f)= -?.

2. Sasa tunaweza kuendelea kutafuta moja kwa moja upeo wa kazi f.

Kwa kubadilisha viwianishi vya vipeo vya polihedron katika chaguo za kukokotoa f na kulinganisha thamani, tunapata kwamba f(C)=f (4; 1)=19 ndio upeo wa juu zaidi wa chaguo za kukokotoa.

Njia hii ni ya manufaa kabisa na idadi ndogo ya wima. Lakini utaratibu huu unaweza kuchukua muda mrefu ikiwa kuna wima nyingi.

Katika kesi hii, ni rahisi zaidi kuzingatia mstari wa ngazi ya fomu f=a. Pamoja na ongezeko la monotonic katika idadi kutoka -? kwa +? mistari iliyonyooka f=a huhamishwa kando ya vekta ya kawaida. Ikiwa, pamoja na harakati hiyo ya mstari wa ngazi, kuna hatua fulani X - hatua ya kwanza ya kawaida ya eneo la ufumbuzi unaowezekana (polyhedron ABCDE) na mstari wa ngazi, basi f (X) ni kiwango cha chini cha f kwenye seti. ABCDE. Ikiwa X ndio sehemu ya mwisho ya makutano ya mstari wa ngazi na seti ya ABCDE, basi f(X) ndio upeo wa juu kwenye seti ya suluhu zinazowezekana. Ikiwa kwa>-? mstari ulionyooka f=a hukatiza seti ya masuluhisho yanayowezekana, kisha min(f)= -?. Ikiwa hii itafanyika kwa a>+?, basi max(f)=+?.

Mojawapo ya njia rahisi zaidi za kutatua usawa wa quadratic ni njia ya picha. Katika makala hii tutaangalia jinsi kutofautiana kwa quadratic kutatuliwa kwa picha. Kwanza, hebu tujadili ni nini kiini cha njia hii. Ifuatayo, tutawasilisha algorithm na kuzingatia mifano ya kutatua usawa wa quadratic graphically.

Urambazaji wa ukurasa.

Kiini cha mbinu ya graphic

Hata kidogo njia ya graphical ya kutatua usawa na kutofautiana moja hutumiwa sio tu kutatua kutofautiana kwa quadratic, lakini pia aina nyingine za kutofautiana. Kiini cha njia ya graphical ya kutatua usawa Ifuatayo: zingatia kazi y=f(x) na y=g(x), ambazo zinalingana na pande za kushoto na kulia za usawa, jenga grafu zao katika mfumo mmoja wa kuratibu wa mstatili na ujue ni kwa vipindi vipi grafu ya moja ya yao ni ya chini au ya juu kuliko nyingine. Vipindi hivyo wapi

• grafu ya chaguo za kukokotoa f juu ya grafu ya chaguo za kukokotoa g ni suluhu za ukosefu wa usawa f(x)>g(x) ;
• grafu ya chaguo za kukokotoa f isiyo chini kuliko grafu ya chaguo za kukokotoa g ni masuluhisho ya ukosefu wa usawa f(x)≥g(x) ;
• grafu ya f chini ya grafu ya g ni suluhu za ukosefu wa usawa f(x)
• grafu ya chaguo za kukokotoa f isiyo juu zaidi ya grafu ya chaguo za kukokotoa g ni masuluhisho ya ukosefu wa usawa f(x)≤g(x) .

Pia tutasema kwamba abscissas ya pointi za makutano ya grafu za kazi f na g ni ufumbuzi wa equation f(x)=g(x) .

Hebu tuhamishe matokeo haya kwa kesi yetu - kutatua usawa wa quadratic a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥).

Tunatanguliza vitendaji viwili: ya kwanza y=a x 2 +b x+c (pamoja na f(x)=a x 2 +b x+c) inayolingana na upande wa kushoto wa usawa wa quadratic, ya pili y=0 (pamoja na g ( x)=0 ) inalingana na upande wa kulia wa ukosefu wa usawa. Ratiba kazi ya quadratic f ni parabola na grafu kazi ya mara kwa mara g - mstari wa moja kwa moja unaoendana na mhimili wa abscissa Ox.

Ifuatayo, kwa mujibu wa njia ya graphical ya kutatua usawa, ni muhimu kuchambua kwa muda gani grafu ya kazi moja iko juu au chini ya nyingine, ambayo itatuwezesha kuandika suluhisho taka kwa usawa wa quadratic. Kwa upande wetu, tunahitaji kuchambua nafasi ya jamaa ya parabola na mhimili wa Ox.

Kulingana na maadili ya coefficients a, b na c, chaguzi sita zifuatazo zinawezekana (kwa mahitaji yetu, uwakilishi wa schematic ni wa kutosha, na hatuhitaji kuonyesha mhimili wa Oy, kwani nafasi yake haiathiri suluhisho la usawa):

Katika mchoro huu tunaona parabola, matawi ambayo yanaelekezwa juu, na ambayo huingiliana na mhimili wa Ox kwa pointi mbili, abscissa ambayo ni x 1 na x 2. Mchoro huu unalingana na chaguo wakati mgawo a ni chanya (inawajibika kwa mwelekeo wa juu wa matawi ya parabola), na wakati thamani ni chanya. kibaguzi wa quadratic trinomial a x 2 +b x+c (katika kesi hii, trinomial ina mizizi miwili, ambayo tuliashiria kama x 1 na x 2, na tukadhani kwamba x 1 0 , D=b 2 −4·a·c=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0, x 1 =−2 , x 2 =3 .

Kwa uwazi, hebu tuonyeshe kwa rangi nyekundu sehemu za parabola ziko juu ya mhimili wa x, na kwa bluu - zile ziko chini ya mhimili wa x.


Sasa hebu tujue ni vipindi vipi vinahusiana na sehemu hizi. Mchoro ufuatao utakusaidia kuwatambua (katika siku zijazo tutafanya chaguo sawa katika mfumo wa mstatili kiakili):


Kwa hivyo kwenye mhimili wa abscissa vipindi viwili (−∞, x 1) na (x 2, +∞) viliangaziwa kwa nyekundu, juu yao parabola iko juu ya mhimili wa Ox, ni suluhisho la usawa wa quadratic x 2 +b x. +c>0 , na muda (x 1 , x 2) umeangaziwa kwa bluu, kuna parabola chini ya mhimili wa Ox, inawakilisha suluhisho la ukosefu wa usawa x 2 +b x+c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

Na sasa kwa ufupi: kwa a>0 na D=b 2 −4 a c>0 (au D"=D/4>0 kwa mgawo linganifu b)

• suluhu la ukosefu wa usawa wa quadratic a x 2 +b x+c>0 ni (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) au katika nukuu nyingine x x2;
• suluhu la ukosefu wa usawa wa quadratic a x 2 +b x+c≥0 ni (−∞, x 1 ]∪ au katika nukuu nyingine x 1 ≤x≤x 2 ,

ambapo x 1 na x 2 ni mizizi ya quadratic trinomial a x 2 +b x+c, na x 1


Hapa tunaona parabola, matawi ambayo yanaelekezwa juu, na ambayo inagusa mhimili wa abscissa, ambayo ni, ina nukta moja ya kawaida nayo; tunaashiria abscissa ya hatua hii kama x 0. Kesi iliyowasilishwa inalingana na a>0 (matawi yameelekezwa juu) na D=0 (trinomia ya mraba ina mzizi mmoja x 0). Kwa mfano, unaweza kuchukua kitendakazi cha quadratic y=x 2 −4·x+4, hapa a=1>0, D=(−4) 2 -4·1·4=0 na x 0 =2.

Mchoro unaonyesha wazi kwamba parabola iko juu ya mhimili wa Ox kila mahali isipokuwa mahali pa kuwasiliana, yaani, kwa vipindi (-∞, x 0), (x 0, ∞). Kwa uwazi, hebu tuangazie maeneo katika mchoro kwa mlinganisho na aya iliyotangulia.


Tunatoa hitimisho: kwa a>0 na D=0

• suluhu la ukosefu wa usawa wa quadratic a·x 2 +b·x+c>0 ni (−∞, x 0)∪(x 0, +∞) au katika nukuu nyingine x≠x 0;
• suluhu la usawa wa quadratic a·x 2 +b·x+c≥0 ni (−∞, +∞) au katika nukuu nyingine x∈R ;
• usawa wa quadratic a x 2 +b x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• usawa wa quadratic a x 2 +b x+c≤0 ina suluhisho la kipekee x=x 0 (inatolewa na hatua ya tangency),

ambapo x 0 ni mzizi wa trinomia ya mraba a x 2 + b x + c.


Katika kesi hii, matawi ya parabola yanaelekezwa juu, na haina pointi za kawaida na mhimili wa abscissa. Hapa tunayo masharti a>0 (matawi yanaelekezwa juu) na D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=0 2 −4·2·1=−8<0 .

Ni wazi, parabola iko juu ya mhimili wa Ox kwa urefu wake wote (hakuna vipindi ambavyo iko chini ya mhimili wa Ox, hakuna hatua ya kusita).


Kwa hivyo, kwa a>0 na D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 na x 2 +b x+c≥0 ni seti ya nambari zote halisi, na ukosefu wa usawa ni x 2 +b x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

Na bado kuna chaguzi tatu za eneo la parabola na matawi yaliyoelekezwa chini, sio juu, kuhusiana na mhimili wa Ox. Kimsingi, hazihitaji kuzingatiwa, kwa kuwa kuzidisha pande zote mbili za ukosefu wa usawa kwa -1 huturuhusu kwenda kwenye usawa sawa na mgawo chanya wa x 2. Lakini bado hainaumiza kupata wazo kuhusu kesi hizi. Hoja hapa ni sawa, kwa hivyo tutaandika matokeo kuu tu.

Algorithm ya suluhisho

Matokeo ya mahesabu yote ya awali ni algorithm ya kutatua usawa wa quadratic graphically:

Mchoro wa mpangilio unafanywa kwenye ndege ya kuratibu, ambayo inaonyesha mhimili wa Ox (sio lazima kuonyesha mhimili wa Oy) na mchoro wa parabola unaofanana na kazi ya quadratic y=a·x 2 +b·x+c. Ili kuchora mchoro wa parabola, inatosha kufafanua mambo mawili:

• Kwanza, kwa thamani ya mgawo a imedhamiriwa ambapo matawi yake yanaelekezwa (kwa a>0 - kwenda juu, kwa a.<0 – вниз).
• Na pili, kwa thamani ya kibaguzi wa trinomial ya mraba a x 2 + b x + c imedhamiriwa ikiwa parabola inaingiliana na mhimili wa abscissa kwa nukta mbili (kwa D>0), inaigusa kwa hatua moja (kwa D=0) , au haina alama za kawaida na mhimili wa Ox (katika D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

• Wakati kuchora iko tayari, tumia katika hatua ya pili ya algorithm

  • wakati wa kutatua usawa wa quadratic a·x 2 +b·x+c>0, vipindi vinatambuliwa ambapo parabola iko juu ya abscissa;
  • wakati wa kutatua usawa a·x 2 +b·x+c≥0, vipindi ambavyo parabola iko juu ya mhimili wa abscissa imedhamiriwa na abscissas ya pointi za makutano (au abscissa ya hatua ya tangent) huongezwa kwa wao;
  • wakati wa kutatua ukosefu wa usawa a x 2 +b x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
  • hatimaye, wakati wa kutatua usawa wa quadratic wa fomu a·x 2 +b·x+c≤0, vipindi hupatikana ambapo parabola iko chini ya mhimili wa Ox na abscissa ya pointi za makutano (au abscissa ya hatua ya tangent. ) imeongezwa kwao;

  zinajumuisha suluhisho linalohitajika kwa usawa wa quadratic, na ikiwa hakuna vipindi kama hivyo na hakuna pointi za tangency, basi usawa wa awali wa quadratic hauna ufumbuzi.

Kilichobaki ni kutatua tofauti chache za quadratic kwa kutumia algorithm hii.

Mifano na ufumbuzi

Mfano.

Tatua ukosefu wa usawa .

Suluhisho.

Tunahitaji kutatua usawa wa quadratic, hebu tutumie algoriti kutoka kwa aya iliyotangulia. Katika hatua ya kwanza tunahitaji kuchora grafu ya kazi ya quadratic . Mgawo wa x 2 ni sawa na 2, ni chanya, kwa hiyo, matawi ya parabola yanaelekezwa juu. Wacha pia tujue ikiwa parabola ina alama za kawaida na mhimili wa x; ili kufanya hivyo, tutahesabu kibaguzi cha quadratic trinomial. . Tuna . Ubaguzi uligeuka kuwa mkubwa kuliko sifuri, kwa hivyo, trinomial ina mizizi miwili halisi: Na , yaani, x 1 =−3 na x 2 =1/3.

Kutokana na hili ni wazi kwamba parabola huingilia mhimili wa Ox kwa pointi mbili na abscissas -3 na 1/3. Tutaonyesha alama hizi kwenye mchoro kama alama za kawaida, kwani tunasuluhisha usawa usio kamili. Kulingana na data iliyofafanuliwa, tunapata mchoro ufuatao (unafaa kiolezo cha kwanza kutoka kwa aya ya kwanza ya kifungu):

Wacha tuendelee kwenye hatua ya pili ya algorithm. Kwa kuwa tunasuluhisha usawa usio na nguvu wa quadratic na ishara ≤, tunahitaji kuamua vipindi ambavyo parabola iko chini ya abscissa na kuongeza kwao abscissas ya pointi za makutano.

Kutoka kwa mchoro ni wazi kwamba parabola iko chini ya mhimili wa x kwenye muda (-3, 1/3) na kwa hiyo tunaongeza abscissas ya pointi za makutano, yaani, nambari -3 na 1/3. Matokeo yake, tunafika kwenye muda wa nambari [-3, 1/3]. Hili ndilo suluhisho tunalotafuta. Inaweza kuandikwa kama usawa maradufu −3≤x≤1/3.

Jibu:

[−3, 1/3] au −3≤x≤1/3 .

Mfano.

Pata suluhu la usawa wa quadratic −x 2 +16 x−63<0 .

Suluhisho.

Kama kawaida, tunaanza na kuchora. Mgawo wa nambari kwa mraba wa kutofautiana ni hasi, -1, kwa hiyo, matawi ya parabola yanaelekezwa chini. Wacha tuhesabu kibaguzi, au bora zaidi, sehemu yake ya nne: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1. Thamani yake ni chanya, wacha tuhesabu mizizi ya utatu wa mraba: Na , x 1 =7 na x 2 =9. Kwa hivyo parabola huingilia mhimili wa Ox katika sehemu mbili na abscissas 7 na 9 (kutokuwepo kwa usawa asilia ni kali, kwa hivyo tutaonyesha alama hizi na kituo kisicho na kitu). Sasa tunaweza kutengeneza mchoro wa kimkakati:

Kwa kuwa tunatatua usawa mkali wa quadratic na ishara<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

Mchoro unaonyesha kuwa masuluhisho ya usawa wa awali wa quadratic ni vipindi viwili (−∞, 7) , (9, +∞) .

Jibu:

(−∞, 7)∪(9, +∞) au katika nukuu nyingine x<7 , x>9 .

Wakati wa kutatua usawa wa quadratic, wakati ubaguzi wa trinomial ya quadratic upande wake wa kushoto ni sifuri, unahitaji kuwa makini kuhusu kujumuisha au kuwatenga abscissa ya hatua ya tangent kutoka kwa jibu. Hii inategemea ishara ya usawa: ikiwa usawa ni mkali, basi sio suluhisho la kutofautiana, lakini ikiwa sio kali, basi ni.

Mfano.

Je, usawa wa quadratic 10 x 2 −14 x+4.9≤0 una angalau suluhisho moja?

Suluhisho.

Wacha tupange chaguo la kukokotoa y=10 x 2 -14 x+4.9. Matawi yake yanaelekezwa juu, kwa kuwa mgawo wa x 2 ni chanya, na inagusa mhimili wa abscissa katika hatua na abscissa 0.7, tangu D"=(-7) 2 -10 4.9=0, kutoka au 0.7 katika fomu. ya sehemu ya desimali. Kwa utaratibu inaonekana kama hii:

Kwa kuwa tunatatua usawa wa quadratic na ishara ≤, suluhisho lake litakuwa vipindi ambavyo parabola iko chini ya mhimili wa Ox, pamoja na abscissa ya hatua ya tangent. Kutoka kwa kuchora ni wazi kwamba hakuna pengo moja ambapo parabola itakuwa chini ya mhimili wa Ox, hivyo ufumbuzi wake utakuwa tu abscissa ya hatua ya tangent, yaani, 0.7.

Jibu:

ukosefu huu wa usawa una suluhisho la kipekee 0.7.

Mfano.

Tatua ukosefu wa usawa wa quadratic -x 2 +8 x-16<0 .

Suluhisho.

Tunafuata algorithm ya kutatua usawa wa quadratic na kuanza kwa kuunda grafu. Matawi ya parabola yanaelekezwa chini, kwani mgawo wa x 2 ni hasi, -1. Wacha tupate kibaguzi cha utatu wa mraba -x 2 +8 x−16, tunayo D’=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0 na zaidi x 0 =−4/(−1) , x 0 =4. Kwa hivyo, parabola inagusa mhimili wa Ox kwenye sehemu ya 4 ya abscissa. Wacha tufanye mchoro:

Tunaangalia ishara ya usawa wa asili, iko hapo<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

Kwa upande wetu, haya ni mionzi ya wazi (−∞, 4) , (4, +∞) . Tofauti, tunaona kwamba 4 - abscissa ya hatua ya kuwasiliana - sio suluhisho, kwani katika hatua ya kuwasiliana parabola sio chini kuliko mhimili wa Ox.

Jibu:

(−∞, 4)∪(4, +∞) au katika nukuu nyingine x≠4 .

Makini maalum kwa kesi ambapo kibaguzi wa trinomial ya quadratic upande wa kushoto wa usawa wa quadratic ni chini ya sifuri. Hakuna haja ya kukimbilia hapa na kusema kuwa usawa hauna suluhisho (tumezoea kufanya hitimisho kama hilo kwa hesabu za quadratic na kibaguzi hasi). Jambo ni kwamba usawa wa quadratic kwa D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

Mfano.

Pata suluhu la usawa wa quadratic 3 x 2 +1>0.

Suluhisho.

Kama kawaida, tunaanza na kuchora. Mgawo a ni 3, ni chanya, kwa hiyo, matawi ya parabola yanaelekezwa juu. Tunahesabu kibaguzi: D=0 2 −4·3·1=−12 . Kwa kuwa kibaguzi ni hasi, parabola haina pointi za kawaida na mhimili wa Ox. Habari iliyopatikana inatosha kwa grafu ya mpangilio:

Tunasuluhisha usawa mkali wa quadratic kwa > ishara. Suluhisho lake litakuwa vipindi vyote ambavyo parabola iko juu ya mhimili wa Ox. Kwa upande wetu, parabola iko juu ya mhimili wa x kwa urefu wake wote, kwa hivyo suluhisho linalohitajika litakuwa seti ya nambari zote halisi.

Ox , na pia unahitaji kuongeza abscissa ya pointi za makutano au abscissa ya tangency kwao. Lakini kutoka kwa mchoro inaonekana wazi kuwa hakuna vipindi kama hivyo (kwani parabola iko kila mahali chini ya mhimili wa abscissa), kama vile hakuna sehemu za makutano, kama vile hakuna pointi za tangency. Kwa hiyo, usawa wa awali wa quadratic hauna ufumbuzi.

Jibu:

hakuna suluhu au katika ingizo lingine ∅.

Bibliografia.

• Aljebra: kitabu cha kiada kwa daraja la 8. elimu ya jumla taasisi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; imehaririwa na S. A. Telyakovsky. - Toleo la 16. - M.: Elimu, 2008. - 271 p. : mgonjwa. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Aljebra: Daraja la 9: elimu. kwa elimu ya jumla taasisi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; imehaririwa na S. A. Telyakovsky. - Toleo la 16. - M.: Elimu, 2009. - 271 p. : mgonjwa. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Mordkovich A.G. Aljebra. darasa la 8. Katika masaa 2. Sehemu ya 1. Kitabu cha maandishi kwa wanafunzi wa taasisi za elimu ya jumla / A. G. Mordkovich. Toleo la 11, limefutwa. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: mgonjwa. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Mordkovich A.G. Aljebra. daraja la 9. Katika masaa 2. Sehemu ya 1. Kitabu cha maandishi kwa wanafunzi wa taasisi za elimu ya jumla / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. Toleo la 13, limefutwa. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: mgonjwa. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Mordkovich A.G. Algebra na mwanzo wa uchambuzi wa hisabati. Daraja la 11. Katika masaa 2. Sehemu ya 1. Kitabu cha maandishi kwa wanafunzi wa taasisi za elimu ya jumla (kiwango cha wasifu) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Toleo la 2., limefutwa. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: mgonjwa. ISBN 978-5-346-01027-2.

Njia ya graphical ni mojawapo ya njia kuu za kutatua usawa wa quadratic. Katika makala tutawasilisha algorithm ya kutumia njia ya picha, na kisha fikiria kesi maalum kwa kutumia mifano.

Kiini cha njia ya picha

Njia hiyo inatumika kwa kutatua usawa wowote, sio tu za quadratic. Kiini chake ni hiki: pande za kulia na za kushoto za usawa zinazingatiwa kama kazi mbili tofauti y = f (x) na y = g (x), grafu zao zimepangwa katika mfumo wa kuratibu wa mstatili na kuangalia ni ipi kati ya grafu. iko juu ya nyingine, na ambayo vipindi. Vipindi vinatathminiwa kama ifuatavyo:

Ufafanuzi 1

• suluhu kwa ukosefu wa usawa f (x) > g (x) ni vipindi ambapo grafu ya chaguo za kukokotoa f iko juu zaidi ya grafu ya chaguo za kukokotoa g;
• suluhu za ukosefu wa usawa f (x) ≥ g (x) ni vipindi ambapo grafu ya chaguo za kukokotoa f si ya chini kuliko grafu ya chaguo za kukokotoa g;
• suluhisho la ukosefu wa usawa f(x)< g (x) являются интервалы, где график функции f ниже графика функции g ;
• suluhu za ukosefu wa usawa f (x) ≤ g (x) ni vipindi ambapo grafu ya chaguo za kukokotoa f si ya juu kuliko grafu ya chaguo za kukokotoa g;
• Abscissas ya pointi za makutano ya grafu za kazi f na g ni ufumbuzi wa equation f (x) = g (x).

Wacha tuangalie algorithm hapo juu kwa kutumia mfano. Ili kufanya hivyo, chukua usawa wa quadratic a x 2 + b x + c< 0 (≤ , >, ≥) na kupata vitendaji viwili kutoka kwayo. Upande wa kushoto wa usawa utafanana na y = a · x 2 + b · x + c (katika kesi hii f (x) = a · x 2 + b · x + c), na upande wa kulia y = 0 ( katika kesi hii g (x) = 0).

Grafu ya kazi ya kwanza ni parabola, ya pili ni mstari wa moja kwa moja, ambayo inafanana na x-mhimili O x. Wacha tuchambue msimamo wa parabola inayohusiana na mhimili wa O x. Ili kufanya hivyo, hebu tufanye mchoro wa schematic.

Matawi ya parabola yanaelekezwa juu. Inakatiza mhimili wa O x kwa pointi x 1 Na x 2. Mgawo a katika kesi hii ni chanya, kwa kuwa ni wajibu wa mwelekeo wa matawi ya parabola. Ubaguzi ni chanya, unaonyesha kuwa trinomial ya quadratic ina mizizi miwili a x 2 + b x + c. Tunaashiria mizizi ya trinomial kama x 1 Na x 2, na ikakubaliwa hivyo x 1< x 2 , kwa kuwa hatua iliyo na abscissa inaonyeshwa kwenye mhimili wa O x x 1 upande wa kushoto wa hatua ya abscissa x 2.

Sehemu za parabola ziko juu ya mhimili wa O x zitaonyeshwa kwa nyekundu, chini - kwa bluu. Hii itaturuhusu kufanya mchoro uonekane zaidi.

Wacha tuchague nafasi zinazolingana na sehemu hizi na uziweke alama kwenye picha na uwanja wa rangi fulani.

Tuliweka alama kwa nyekundu vipindi (- ∞, x 1) na (x 2, + ∞), juu yao parabola iko juu ya mhimili wa O x. Wao ni · x 2 + b · x + c > 0. Tuliweka alama kwa rangi ya samawati muda (x 1 , x 2), ambayo ndiyo suluhisho la ukosefu wa usawa x 2 + b x + c< 0 . Числа x 1 и x 2 будут отвечать равенству a · x 2 + b · x + c = 0 .

Wacha tufanye muhtasari mfupi wa suluhisho. Kwa > 0 na D = b 2 - 4 a c > 0 (au D " = D 4 > 0 kwa mgawo hata b) tunapata:

• suluhisho la ukosefu wa usawa wa quadratic a x 2 + b x + c > 0 ni (− ∞ , x 1) ∪ (x 2 , + ∞) au katika nukuu nyingine x< x 1 , x >x2;
• suluhisho la usawa wa quadratic a · x 2 + b · x + c ≥ 0 ni (- ∞ , x 1 ] ∪ [ x 2, + ∞) au kwa fomu nyingine x ≤ x 1, x ≥ x 2;
• kutatua usawa wa quadratic a x 2 + b x + c< 0 является (x 1 , x 2) или в другой записи x 1 < x < x 2 ;
• suluhisho la usawa wa quadratic a x 2 + b x + c ≤ 0 ni [ x 1, x 2] au katika nukuu nyingine x 1 ≤ x ≤ x 2,

ambapo x 1 na x 2 ni mizizi ya trinomial ya quadratic a x 2 + b x + c, na x 1< x 2 .

Katika takwimu hii, parabola inagusa mhimili wa O x kwa hatua moja tu, ambayo imeteuliwa kama x 0 a > 0. D=0, kwa hiyo, trinomial ya quadratic ina mzizi mmoja x 0.

Parabola iko juu ya mhimili wa O x kabisa, isipokuwa hatua ya tangency ya mhimili wa kuratibu. Hebu rangi ya vipindi (− ∞ , x 0) , (x 0 , ∞) .

Hebu tuandike matokeo. Katika a > 0 Na D=0:

• kutatua usawa wa quadratic a x 2 + b x + c > 0 ni (− ∞ , x 0) ∪ (x 0 , + ∞) au katika nukuu nyingine x ≠ x 0;
• kutatua usawa wa quadratic a x 2 + b x + c ≥ 0 ni (− ∞ , + ∞) au kwa nukuu nyingine x ∈ R;
• usawa wa quadratic a x 2 + b x + c< 0 haina suluhu (hakuna vipindi ambavyo parabola iko chini ya mhimili O x);
• usawa wa quadratic a x 2 + b x + c ≤ 0 ina suluhisho la kipekee x = x 0(inatolewa na hatua ya mawasiliano),

Wapi x 0- mzizi wa trinomial ya mraba a x 2 + b x + c.

Wacha tuchunguze kesi ya tatu, wakati matawi ya parabola yanaelekezwa juu na usiguse mhimili. O x. Matawi ya parabola yanaelekezwa juu, ambayo ina maana kwamba a > 0. Utatu wa mraba hauna mizizi halisi kwa sababu D< 0 .

Hakuna vipindi kwenye grafu ambapo parabola itakuwa chini ya mhimili wa x. Tutazingatia hili wakati wa kuchagua rangi kwa kuchora yetu.

Inageuka kuwa wakati a > 0 Na D< 0 kutatua usawa wa quadratic a x 2 + b x + c > 0 Na a x 2 + b x + c ≥ 0 ni seti ya nambari zote halisi, na ukosefu wa usawa a x 2 + b x + c< 0 Na a x 2 + b x + c ≤ 0 hazina masuluhisho.

Tuna chaguzi tatu zilizobaki za kuzingatia wakati matawi ya parabola yanaelekezwa chini. Hakuna haja ya kuzingatia chaguo hizi tatu kwa undani, kwani tunapozidisha pande zote mbili za ukosefu wa usawa kwa - 1, tunapata usawa sawa na mgawo chanya wa x 2.

Kuzingatia sehemu iliyotangulia ya kifungu ilitutayarisha kwa mtazamo wa algorithm ya kutatua usawa kwa kutumia njia ya picha. Ili kufanya mahesabu, tutahitaji kutumia mchoro kila wakati, ambayo itaonyesha mstari wa kuratibu O x na parabola ambayo inalingana na kazi ya quadratic. y = a x 2 + b x + c. Katika hali nyingi, hatutaonyesha mhimili wa O y, kwani hauhitajiki kwa hesabu na utapakia tu mchoro.

Ili kuunda parabola, tutahitaji kujua mambo mawili:

Ufafanuzi 2

• mwelekeo wa matawi, ambayo imedhamiriwa na thamani ya mgawo a;
• uwepo wa pointi za makutano ya parabola na mhimili wa abscissa, ambayo imedhamiriwa na thamani ya kibaguzi wa trinomial ya quadratic. a · x 2 + b · x + c.

Tutaashiria alama za makutano na tangency kwa njia ya kawaida wakati wa kutatua usawa usio mkali na tupu wakati wa kutatua zile kali.

Kuwa na mchoro uliokamilishwa hukuruhusu kuendelea na hatua inayofuata ya suluhisho. Inajumuisha kuamua vipindi ambavyo parabola iko juu au chini ya mhimili wa O x. Vipindi na sehemu za makutano ni suluhisho la usawa wa quadratic. Ikiwa hakuna pointi za makutano au tangency na hakuna vipindi, basi inachukuliwa kuwa usawa uliowekwa katika hali ya tatizo hauna ufumbuzi.

Sasa hebu tusuluhishe usawa kadhaa wa quadratic kwa kutumia algorithm hapo juu.

Mfano 1

Ni muhimu kutatua usawa 2 x 2 + 5 1 3 x - 2 graphically.

Suluhisho

Hebu tuchore grafu ya kazi ya quadratic y = 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 . Mgawo katika x 2 chanya kwa sababu ni sawa 2 . Hii ina maana kwamba matawi ya parabola yataelekezwa juu.

Wacha tuhesabu kibaguzi cha quadratic trinomial 2 x 2 + 5 1 3 x - 2 ili kujua ikiwa parabola ina alama za kawaida na mhimili wa abscissa. Tunapata:

D = 5 1 3 2 - 4 2 (- 2) = 400 9

Kama tunavyoona, D ni kubwa kuliko sifuri, kwa hivyo, tunayo sehemu mbili za makutano: x 1 = - 5 1 3 - 400 9 2 2 na x 2 = - 5 1 3 + 400 9 2 2, ambayo ni, x 1 = - 3 Na x 2 = 1 3.

Tunasuluhisha usawa usio mkali, kwa hivyo tunaweka alama za kawaida kwenye grafu. Hebu tuchore parabola. Kama unaweza kuona, mchoro una mwonekano sawa na kwenye kiolezo cha kwanza tulichozingatia.

Ukosefu wetu wa usawa una ishara ≤. Kwa hiyo, tunahitaji kuonyesha vipindi kwenye grafu ambayo parabola iko chini ya mhimili wa O x na kuongeza pointi za makutano kwao.

Muda tunaohitaji ni 3, 1 3. Tunaongeza sehemu za makutano kwake na kupata sehemu ya nambari - 3, 1 3. Hili ndilo suluhisho la tatizo letu. Jibu linaweza kuandikwa kama usawa maradufu: − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Jibu:− 3 , 1 3 au − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Mfano 2

− x 2 + 16 x -63< 0 njia ya picha.

Suluhisho

Mraba wa kutofautisha una mgawo hasi wa nambari, kwa hivyo matawi ya parabola yataelekezwa chini. Hebu tuhesabu sehemu ya nne ya kibaguzi D " = 8 2 − (- 1) · (- 63) = 64 − 63 = 1. Matokeo haya yanatuambia kwamba kutakuwa na pointi mbili za makutano.

Wacha tuhesabu mizizi ya trinomial ya quadratic: x 1 = - 8 + 1 - 1 na x 2 = - 8 - 1 - 1, x 1 = 7 na x 2 = 9.

Inatokea kwamba parabola inaingiliana na mhimili wa x kwenye pointi 7 Na 9 . Wacha tuweke alama alama hizi kwenye grafu kama tupu, kwani tunafanya kazi kwa usawa mkali. Baada ya hayo, chora parabola inayokatiza mhimili wa O x kwenye sehemu zilizowekwa alama.

Tutapendezwa na vipindi ambavyo parabola iko chini ya mhimili wa O x. Hebu tuweke alama kwenye vipindi hivi kwa samawati.

Tunapata jibu: suluhisho la usawa ni vipindi (- ∞, 7) , (9, + ∞) .

Jibu:(− ∞ , 7) ∪ (9 , + ∞) au katika nukuu nyingine x< 7 , x > 9 .

Katika hali ambapo kibaguzi cha utatu wa quadratic ni sifuri, uzingatiaji wa makini lazima uzingatiwe ikiwa ni pamoja na abscissa ya pointi tanjenti katika jibu. Ili kufanya uamuzi sahihi, ni muhimu kuzingatia ishara ya usawa. Katika kukosekana kwa usawa kali, hatua ya tangency ya mhimili wa x sio suluhisho la usawa, lakini kwa zile zisizo kali ni.

Mfano 3

Tatua usawa wa quadratic 10 x 2 − 14 x + 4, 9 ≤ 0 njia ya picha.

Suluhisho

Matawi ya parabola katika kesi hii yataelekezwa juu. Itagusa mhimili wa O x katika hatua ya 0, 7, tangu

Wacha tupange kazi y = 10 x 2 - 14 x + 4.9. Matawi yake yanaelekezwa juu, kwani mgawo wa saa x 2 chanya, na inagusa mhimili wa x kwenye sehemu ya mhimili wa x 0 , 7 , kwa sababu D " = (− 7) 2 − 10 4, 9 = 0, kutoka wapi x 0 = 7 10 au 0 , 7 .

Hebu tuweke hoja na kuchora parabola.

Tunasuluhisha usawa usio kamili kwa ishara ≤. Kwa hivyo. Tutapendezwa na vipindi ambavyo parabola iko chini ya mhimili wa x na hatua ya tangency. Hakuna vipindi katika takwimu ambavyo vinaweza kukidhi hali zetu. Kuna sehemu tu ya mawasiliano 0, 7. Hili ndilo suluhisho tunalotafuta.

Jibu: Ukosefu wa usawa una suluhisho moja tu 0, 7.

Mfano 4

Tatua usawa wa quadratic – x 2 + 8 x − 16< 0 .

Suluhisho

Matawi ya parabola yanaelekezwa chini. Kibaguzi ni sifuri. Sehemu ya makutano x 0 = 4.

Tunaashiria hatua ya tangency kwenye mhimili wa x na kuchora parabola.

Tunashughulika na ukosefu mkubwa wa usawa. Kwa hivyo, tunavutiwa na vipindi ambavyo parabola iko chini ya mhimili wa O x. Hebu tuweke alama kwa bluu.

Hoja na abscissa 4 sio suluhisho, kwani parabola ndani yake haipo chini ya mhimili wa O x. Kwa hiyo, tunapata vipindi viwili (− ∞ , 4) , (4 , + ∞) .

Jibu: (− ∞, 4) ∪ (4, + ∞) au katika nukuu nyingine x ≠ 4.

Sio kila wakati, ikiwa thamani ya kibaguzi ni hasi, ukosefu wa usawa hautakuwa na suluhisho. Kuna matukio wakati suluhisho ni seti ya nambari zote halisi.

Mfano 5

Tatua usawa wa quadratic 3 x 2 + 1 > 0 kwa mchoro.

Suluhisho

Mgawo a ni chanya. Mbaguzi ni hasi. Matawi ya parabola yataelekezwa juu. Hakuna sehemu za makutano ya parabola na mhimili wa O x. Hebu tuangalie mchoro.

Tunafanya kazi kwa usawa mkali, ambao una > ishara. Hii inamaanisha kuwa tunavutiwa na vipindi ambavyo parabola iko juu ya mhimili wa x. Hii ndio kesi wakati jibu ni seti ya nambari zote halisi.

Jibu:(− ∞, + ∞) au hivyo x ∈ R.

Mfano 6

Inahitajika kutafuta suluhisho la ukosefu wa usawa − 2 x 2 − 7 x − 12 ≥ 0 kwa picha.

Suluhisho

Matawi ya parabola yanaelekezwa chini. Ubaguzi ni hasi, kwa hiyo, hakuna pointi za kawaida kati ya parabola na mhimili wa x. Hebu tuangalie mchoro.

Tunafanya kazi na ukosefu wa usawa usio kamili na ishara ≥, kwa hivyo, vipindi ambavyo parabola iko juu ya mhimili wa x ni ya kupendeza kwetu. Kwa kuzingatia grafu, hakuna mapungufu kama hayo. Hii ina maana kwamba ukosefu wa usawa uliotolewa katika hali ya tatizo hauna ufumbuzi.

Jibu: Hakuna masuluhisho.

Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter

Kiwango cha kwanza

Kutatua equations, usawa, mifumo kwa kutumia grafu za kazi. Mwongozo wa Visual (2019)

Kazi nyingi ambazo tumezoea kuhesabu kwa njia ya aljebra zinaweza kutatuliwa kwa urahisi na haraka zaidi; kutumia grafu za kazi kutatusaidia na hili. Unasema "vipi?" kuchora kitu, na nini cha kuteka? Niamini, wakati mwingine ni rahisi zaidi na rahisi. Je, tuanze? Wacha tuanze na milinganyo!

Suluhisho la mchoro la equations

Suluhisho la mchoro la milinganyo ya mstari

Kama unavyojua tayari, grafu ya equation ya mstari ni mstari wa moja kwa moja, kwa hivyo jina la aina hii. Milinganyo ya mstari ni rahisi sana kusuluhisha algebra - tunahamisha mambo yote yasiyojulikana hadi upande mmoja wa mlinganyo, kila kitu tunachojua hadi mwingine, na voila! Tulipata mzizi. Sasa nitakuonyesha jinsi ya kufanya hivyo kwa picha.

Kwa hivyo unayo equation:

Jinsi ya kutatua?
Chaguo 1, na ya kawaida zaidi ni kuhamisha haijulikani kwa upande mmoja na inayojulikana hadi nyingine, tunapata:

Sasa tujenge. Ulipata nini?

Unafikiri mzizi wa equation yetu ni nini? Hiyo ni kweli, uratibu wa sehemu ya makutano ya grafu ni:

Jibu letu ni

Hiyo ndiyo hekima yote ya ufumbuzi wa picha. Kama unaweza kuangalia kwa urahisi, mzizi wa equation yetu ni nambari!

Kama nilivyosema hapo juu, hii ndio chaguo la kawaida, karibu na suluhisho la algebra, lakini unaweza kuitatua kwa njia nyingine. Ili kufikiria suluhisho mbadala, wacha turudi kwenye equation yetu:

Wakati huu hatutasonga chochote kutoka upande hadi upande, lakini tutaunda grafu moja kwa moja, kama ilivyo sasa:

Imejengwa? Hebu tuone!

Suluhu ni nini wakati huu? Hiyo ni sawa. Jambo lile lile - uratibu wa sehemu ya makutano ya grafu:

Na, tena, jibu letu ni.

Kama unaweza kuona, na equations za mstari kila kitu ni rahisi sana. Ni wakati wa kuangalia kitu ngumu zaidi ... Kwa mfano, ufumbuzi wa kielelezo wa milinganyo ya quadratic.

Suluhisho la mchoro la milinganyo ya quadratic

Kwa hivyo, sasa hebu tuanze kutatua equation ya quadratic. Wacha tuseme unahitaji kupata mizizi ya equation hii:

Kwa kweli, sasa unaweza kuanza kuhesabu kupitia kibaguzi, au kulingana na nadharia ya Vieta, lakini watu wengi, nje ya mishipa, hufanya makosa wakati wa kuzidisha au kugawanyika, haswa ikiwa mfano una idadi kubwa, na, kama unavyojua, umeshinda. 'huna kikokotoo cha mtihani... Kwa hivyo, hebu tujaribu kupumzika kidogo na kuchora tunaposuluhisha mlinganyo huu.

Suluhisho za mlingano huu zinaweza kupatikana kielelezo kwa njia mbalimbali. Hebu tuangalie chaguo tofauti, na unaweza kuchagua moja unayopenda zaidi.

Njia 1. Moja kwa moja

Tunaunda parabola kwa kutumia equation hii:

Ili kufanya hivi haraka, nitakupa kidokezo kimoja kidogo: Ni rahisi kuanza ujenzi kwa kuamua vertex ya parabola. Njia zifuatazo zitasaidia kuamua kuratibu za vertex ya parabola:

Utasema “Acha! Formula ya ni sawa na fomula ya kupata kibaguzi, "ndiyo, ni, na hii ni hasara kubwa ya "moja kwa moja" kujenga parabola ili kupata mizizi yake. Hata hivyo, hebu tuhesabu hadi mwisho, na kisha nitakuonyesha jinsi ya kufanya hivyo sana (mengi!) rahisi!

Je, ulihesabu? Ulipata viwianishi vipi vya kipeo cha parabola? Wacha tufikirie pamoja:

Jibu sawa kabisa? Umefanya vizuri! Na sasa tunajua tayari kuratibu za vertex, lakini ili kujenga parabola tunahitaji zaidi ... pointi. Je, unadhani tunahitaji pointi ngapi za chini zaidi? Haki, .

Unajua kuwa parabola ni ulinganifu kuhusu kipeo chake, kwa mfano:

Ipasavyo, tunahitaji alama mbili zaidi kwenye tawi la kushoto au la kulia la parabola, na katika siku zijazo tutaakisi alama hizi kwa upande mwingine:

Turudi kwenye parabola yetu. Kwa kesi yetu, kipindi. Tunahitaji pointi mbili zaidi, ili tuweze kuchukua chanya, au tunaweza kuchukua hasi? Ni pointi zipi zinazokufaa zaidi? Ni rahisi zaidi kwangu kufanya kazi na chanya, kwa hivyo nitahesabu na.

Sasa tunayo alama tatu, tunaweza kuunda parabola yetu kwa urahisi kwa kuakisi alama mbili za mwisho zinazohusiana na kipeo chake:

Je, unadhani suluhu ya mlinganyo ni nini? Hiyo ni kweli, pointi ambazo, yaani, na. Kwa sababu.

Na tukisema hivyo, ina maana kwamba lazima pia iwe sawa, au.

Tu? Tumemaliza kusuluhisha equation na wewe kwa njia ngumu ya picha, au kutakuwa na zaidi!

Bila shaka, unaweza kuangalia jibu letu kwa algebra - unaweza kuhesabu mizizi kwa kutumia nadharia ya Vieta au Discriminant. Ulipata nini? Sawa? Hapa unaona! Sasa hebu tuangalie suluhisho rahisi sana la picha, nina hakika utaipenda sana!

Njia ya 2. Imegawanywa katika kazi kadhaa

Wacha tuchukue equation yetu sawa: , lakini tutaiandika tofauti kidogo, ambayo ni:

Je, tunaweza kuiandika hivi? Tunaweza, kwa kuwa mabadiliko ni sawa. Hebu tuangalie zaidi.

Wacha tuunda kazi mbili tofauti:

1. - grafu ni parabola rahisi, ambayo unaweza kuunda kwa urahisi hata bila kufafanua vertex kwa kutumia fomula na kuchora meza ili kuamua pointi nyingine.
2. - grafu ni mstari ulionyooka, ambao unaweza kuunda kwa urahisi kwa kukadiria maadili kichwani mwako bila hata kutumia kikokotoo.

Imejengwa? Wacha tulinganishe na kile nilichopata:

Unafikiri ni nini mizizi ya equation katika kesi hii? Haki! Kuratibu zilizopatikana kwa makutano ya grafu mbili na, ambayo ni:

Kwa hivyo, suluhisho la equation hii ni:

Unasema nini? Kukubaliana, njia hii ya ufumbuzi ni rahisi zaidi kuliko ya awali na hata rahisi zaidi kuliko kutafuta mizizi kwa njia ya kibaguzi! Ikiwa ni hivyo, jaribu kutatua equation ifuatayo kwa kutumia njia hii:

Ulipata nini? Wacha tulinganishe grafu zetu:

Grafu zinaonyesha kuwa majibu ni:

Je, uliweza? Umefanya vizuri! Sasa hebu tuangalie equations ngumu zaidi, yaani, kutatua equations mchanganyiko, yaani, equations zenye kazi za aina tofauti.

Suluhisho la mchoro la equations mchanganyiko

Sasa hebu tujaribu kutatua yafuatayo:

Kwa kweli, unaweza kuleta kila kitu kwa dhehebu la kawaida, pata mizizi ya equation inayosababishwa, bila kusahau kuzingatia ODZ, lakini tena, tutajaribu kuitatua kwa picha, kama tulivyofanya katika kesi zote zilizopita.

Wakati huu wacha tujenge grafu 2 zifuatazo:

1. - grafu ni hyperbola
2. - grafu ni mstari wa moja kwa moja, ambao unaweza kuunda kwa urahisi kwa kukadiria maadili katika kichwa chako bila hata kutumia calculator.

Je, umeitambua? Sasa anza kujenga.

Hivi ndivyo nilipata:

Ukiangalia picha hii, niambie ni nini mizizi ya mlingano wetu?

Hiyo ni kweli, na. Huu hapa uthibitisho:

Jaribu kuunganisha mizizi yetu kwenye equation. Imetokea?

Hiyo ni sawa! Kukubaliana, kusuluhisha hesabu kama hizo kwa picha ni raha!

Jaribu kutatua equation mwenyewe kwa picha:

Nitakupa kidokezo: sogeza sehemu ya equation upande wa kulia ili kazi rahisi zaidi za kuunda ziwe pande zote mbili. Je, umepata kidokezo? Chukua hatua!

Sasa hebu tuone kile ulichonacho:

Mtawalia:

1. - parabola za ujazo.
2. - mstari wa kawaida wa moja kwa moja.

Kweli, wacha tujenge:

Kama ulivyoandika zamani, mzizi wa mlingano huu ni - .

Baada ya kufanyia kazi idadi kubwa kama hii ya mifano, nina hakika umegundua jinsi ilivyo rahisi na ya haraka kusuluhisha milinganyo kwa picha. Ni wakati wa kujua jinsi ya kutatua mifumo kwa njia hii.

Suluhisho la graphic la mifumo

Mifumo ya utatuzi wa picha kimsingi haina tofauti na milinganyo ya utatuzi wa picha. Pia tutajenga grafu mbili, na pointi zao za makutano zitakuwa mizizi ya mfumo huu. Grafu moja ni mlinganyo mmoja, grafu ya pili ni mlinganyo mwingine. Kila kitu ni rahisi sana!

Wacha tuanze na jambo rahisi zaidi - kutatua mifumo ya hesabu za mstari.

Mifumo ya kutatua milinganyo ya mstari

Wacha tuseme tuna mfumo ufuatao:

Kwanza, hebu tuibadilishe ili upande wa kushoto kuna kila kitu kinachounganishwa na, na kwa haki - kila kitu kinachounganishwa. Kwa maneno mengine, hebu tuandike milinganyo hii kama fomula katika hali yetu ya kawaida:

Sasa tunaunda tu mistari miwili iliyonyooka. Suluhu ni nini katika kesi yetu? Haki! Hatua ya makutano yao! Na hapa unahitaji kuwa makini sana! Fikiria juu yake, kwa nini? Acha nikupe kidokezo: tunashughulika na mfumo: katika mfumo kuna zote mbili, na ... Je!

Hiyo ni sawa! Wakati wa kusuluhisha mfumo, lazima tuangalie kuratibu zote mbili, na sio tu wakati wa kusuluhisha milinganyo! Jambo lingine muhimu ni kuziandika kwa usahihi na sio kuchanganya wapi tuna maana na wapi maana! Je, uliiandika? Sasa hebu tulinganishe kila kitu kwa mpangilio:

Na majibu: na. Fanya cheki - ubadilishe mizizi iliyopatikana kwenye mfumo na uhakikishe ikiwa tuliitatua kwa usahihi kwa picha?

Mifumo ya kutatua milinganyo isiyo ya mstari

Je, ikiwa, badala ya mstari mmoja ulionyooka, tuna equation ya quadratic? Ni sawa! Unajenga parabola badala ya mstari ulionyooka! Usiamini? Jaribu kutatua mfumo ufuatao:

Hatua yetu inayofuata ni nini? Hiyo ni kweli, iandike ili iwe rahisi kwetu kuunda grafu:

Na sasa ni suala la vitu vidogo - jenga haraka na hapa ndio suluhisho lako! Tunajenga:

Je, grafu ziligeuka sawa? Sasa alama ufumbuzi wa mfumo katika takwimu na kuandika kwa usahihi majibu yaliyotambuliwa!

Nimefanya kila kitu? Linganisha na maelezo yangu:

Je, kila kitu ni sawa? Umefanya vizuri! Tayari unavunja aina hizi za kazi kama karanga! Ikiwa ni hivyo, hebu tukupe mfumo ngumu zaidi:

Tunafanya nini? Haki! Tunaandika mfumo ili iwe rahisi kujenga:

Nitakupa kidokezo kidogo, kwa kuwa mfumo unaonekana kuwa ngumu sana! Wakati wa kujenga grafu, uwajenge "zaidi", na muhimu zaidi, usishangae na idadi ya pointi za makutano.

Kwa hiyo, twende! Umetoa pumzi? Sasa anza kujenga!

Hivyo jinsi gani? Mrembo? Ulipata pointi ngapi za makutano? Nina tatu! Wacha tulinganishe grafu zetu:

Pia? Sasa andika kwa uangalifu suluhisho zote za mfumo wetu:

Sasa angalia mfumo tena:

Je, unaweza kufikiria kwamba ulitatua hili kwa dakika 15 tu? Kukubaliana, hisabati bado ni rahisi, hasa wakati wa kuangalia kujieleza hauogopi kufanya makosa, lakini tu kuchukua na kutatua! Wewe ni kijana mkubwa!

Suluhisho la mchoro la usawa

Suluhisho la mchoro la usawa wa mstari

Baada ya mfano wa mwisho, unaweza kufanya chochote! Sasa pumua - ikilinganishwa na sehemu zilizopita, hii itakuwa rahisi sana!

Tutaanza, kama kawaida, na suluhisho la picha kwa usawa wa mstari. Kwa mfano, hii:

Kwanza, wacha tufanye mabadiliko rahisi zaidi - fungua mabano ya mraba kamili na uwasilishe maneno sawa:

Kukosekana kwa usawa sio kali, kwa hivyo haijajumuishwa katika muda, na suluhisho litakuwa alama zote ambazo ziko kulia, kwani zaidi, zaidi, na kadhalika:

Jibu:

Ni hayo tu! Kwa urahisi? Wacha tusuluhishe usawa rahisi na anuwai mbili:

Wacha tuchore kitendakazi katika mfumo wa kuratibu.

Ulipata ratiba kama hiyo? Sasa tuangalie kwa makini ni usawa gani tulio nao hapo? Chini? Hii inamaanisha tunapaka rangi juu ya kila kitu kilicho upande wa kushoto wa mstari wetu ulionyooka. Nini kama kungekuwa na zaidi? Hiyo ni kweli, basi tungepaka rangi juu ya kila kitu kilicho upande wa kulia wa mstari wetu ulionyooka. Ni rahisi.

Suluhisho zote za usawa huu zimepigwa rangi ya machungwa. Hiyo ndiyo yote, usawa na vigezo viwili hutatuliwa. Hii ina maana kwamba kuratibu za hatua yoyote kutoka eneo la kivuli ni ufumbuzi.

Suluhisho la mchoro la usawa wa quadratic

Sasa tutaelewa jinsi ya kutatua usawa wa quadratic kwa picha.

Lakini kabla ya kuanza biashara, hebu tupitie nyenzo fulani kuhusu utendaji wa quadratic.

Je, mbaguzi anawajibika kwa nini? Hiyo ni kweli, kwa nafasi ya grafu inayohusiana na mhimili (ikiwa hukumbuki hili, basi hakika usome nadharia kuhusu kazi za quadratic).

Kwa hali yoyote, hapa kuna ukumbusho kidogo kwako:

Sasa kwa kuwa tumeburudisha nyenzo zote kwenye kumbukumbu zetu, wacha tushughulikie - kutatua ukosefu wa usawa kwa picha.

Nitakuambia mara moja kwamba kuna chaguzi mbili za kutatua.

Chaguo 1

Tunaandika parabola yetu kama kazi:

Kutumia fomula, tunaamua kuratibu za vertex ya parabola (sawa sawa na wakati wa kutatua hesabu za quadratic):

Je, ulihesabu? Ulipata nini?

Sasa hebu tuchukue pointi mbili tofauti na kuzihesabu:

Wacha tuanze kujenga tawi moja la parabola:

Tunaakisi pointi zetu kwa ulinganifu kwenye tawi lingine la parabola:

Sasa turudi kwenye usawa wetu.

Tunahitaji kuwa chini ya sifuri, mtawaliwa:

Kwa kuwa katika usawa wetu ishara ni chini ya madhubuti, tunatenga sehemu za mwisho - "toboa nje".

Jibu:

Njia ndefu, sawa? Sasa nitakuonyesha toleo rahisi zaidi la suluhisho la picha kwa kutumia mfano wa usawa sawa:

Chaguo la 2

Tunarudi kwenye ukosefu wetu wa usawa na kuashiria vipindi tunavyohitaji:

Kukubaliana, ni haraka zaidi.

Hebu sasa tuandike jibu:

Wacha tuchunguze suluhisho lingine ambalo hurahisisha sehemu ya algebra, lakini jambo kuu sio kuchanganyikiwa.

Zidisha pande za kushoto na kulia kwa:

Jaribu kutatua usawa wa quadratic ufuatao mwenyewe kwa njia yoyote unayopenda: .

Je, uliweza?

Tazama jinsi grafu yangu ilivyokuwa:

Jibu: .

Suluhisho la mchoro la usawa mchanganyiko

Sasa hebu tuendelee kwenye tofauti ngumu zaidi!

Unapendaje hii:

Inatisha, sivyo? Kwa uaminifu, sijui jinsi ya kutatua hili algebraically ... Lakini sio lazima. Graphically hakuna kitu ngumu kuhusu hili! Macho yanaogopa, lakini mikono inafanya!

Jambo la kwanza tutaanza nalo ni kwa kuunda grafu mbili:

Sitaandika jedwali kwa kila moja - nina uhakika unaweza kuifanya kikamilifu peke yako (wow, kuna mifano mingi ya kutatua!).

Je, ulipaka rangi? Sasa jenga grafu mbili.

Hebu tulinganishe michoro yetu?

Je, ni sawa na wewe? Kubwa! Sasa hebu tupange pointi za makutano na kutumia rangi ili kuamua ni grafu gani tunapaswa kuwa nayo kubwa katika nadharia, yaani. Angalia kilichotokea mwishoni:

Sasa hebu tuangalie ambapo grafu yetu iliyochaguliwa iko juu kuliko grafu? Jisikie huru kuchukua penseli na kupaka rangi juu ya eneo hili! Atakuwa suluhu la kukosekana kwa usawa kwetu!

Ni kwa vipindi vipi kando ya mhimili tunapatikana juu kuliko? Haki, . Hili ndilo jibu!

Kweli, sasa unaweza kushughulikia mlinganyo wowote, mfumo wowote, na hata zaidi ukosefu wowote wa usawa!

KWA UFUPI KUHUSU MAMBO MAKUU

Algorithm ya kutatua equations kwa kutumia grafu za kazi:

1. Hebu tueleze kupitia
2. Hebu tufafanue aina ya kazi
3. Wacha tujenge grafu za kazi zinazosababisha
4. Wacha tupate sehemu za makutano ya grafu
5. Wacha tuandike jibu kwa usahihi (kwa kuzingatia ODZ na ishara za usawa)
6. Wacha tuangalie jibu (badala ya mizizi kwenye equation au mfumo)

Kwa habari zaidi kuhusu kuunda grafu za kazi, angalia mada "".

Hebu f(x,y) Na g(x,y)- maneno mawili yenye vigezo X Na katika na upeo X. Kisha kutofautiana kwa fomu f(x,y) > g(x,y) au f(x,y) < g(x,y) kuitwa usawa na vigezo viwili .

Maana ya Vigezo x, y kutoka kwa wengi X, ambayo usawa hugeuka kuwa usawa wa kweli wa nambari, inaitwa uamuzi na imeteuliwa (x, y). Tatua ukosefu wa usawa - hii inamaanisha kupata jozi nyingi kama hizo.

Ikiwa kila jozi ya nambari (x, y) kutoka kwa seti ya ufumbuzi hadi usawa, fanana na uhakika M(x, y), tunapata seti ya pointi kwenye ndege iliyotajwa na usawa huu. Anaitwa graph ya ukosefu huu wa usawa . Grafu ya usawa kawaida ni eneo kwenye ndege.

Kuonyesha seti ya suluhu za ukosefu wa usawa f(x,y) > g(x,y), endelea kama ifuatavyo. Kwanza, badala ya ishara ya usawa na ishara sawa na kupata mstari ambao una equation f(x,y) = g(x,y). Mstari huu hugawanya ndege katika sehemu kadhaa. Baada ya hayo, inatosha kuchukua hatua moja katika kila sehemu na kuangalia ikiwa usawa umeridhika katika hatua hii f(x,y) > g(x,y). Ikiwa itatekelezwa katika hatua hii, basi itatekelezwa katika sehemu nzima ambapo hatua hii iko. Kuchanganya sehemu kama hizo, tunapata suluhisho nyingi.

Kazi. y > x.

Suluhisho. Kwanza, tunabadilisha ishara ya usawa na ishara sawa na kuunda mstari katika mfumo wa kuratibu wa mstatili ambao una equation. y = x.

Mstari huu hugawanya ndege katika sehemu mbili. Baada ya hayo, chukua hatua moja katika kila sehemu na uangalie ikiwa ukosefu wa usawa umeridhika katika hatua hii y > x.

Kazi. Tatua kwa michoro usawa
X 2 + katika 2 £25.

Mchele. 18.

Suluhisho. Kwanza, badilisha ishara ya usawa na ishara sawa na chora mstari X 2 + katika 2 = 25. Hii ni mduara na kituo katika asili na radius ya 5. Mduara unaosababisha hugawanya ndege katika sehemu mbili. Kuangalia kutosheka kwa ukosefu wa usawa X 2 + katika 2 £ 25 kwa kila sehemu, tunaona kwamba grafu ni seti ya pointi kwenye duara na sehemu za ndege ndani ya duara.

Acha tofauti mbili zitolewe f 1(x, y) > g 1(x, y) Na f 2(x, y) > g 2(x, y).

Mifumo ya seti za kutofautiana na vigezo viwili

Mfumo wa usawa ni mwenyewe kuunganishwa kwa usawa huu. Suluhisho la mfumo ni kila maana (x, y), ambayo hugeuza kila moja ya ukosefu wa usawa kuwa usawa wa kweli wa nambari. Suluhu nyingi mifumo kukosekana kwa usawa ni makutano ya seti za suluhisho kwa ukosefu wa usawa ambao huunda mfumo fulani.

Seti ya usawa ni mwenyewe mgawanyiko wa haya ukosefu wa usawa Kwa suluhisho la jumla ni kila maana (x, y), ambayo hubadilisha angalau seti moja ya ukosefu wa usawa kuwa usawa wa kweli wa nambari. Suluhu nyingi jumla ni muungano wa seti za suluhu za kukosekana kwa usawa zinazounda seti.

Kazi. Tatua kwa michoro mfumo wa ukosefu wa usawa

Suluhisho. y = x Na X 2 + katika 2 = 25. Tunatatua kila usawa wa mfumo.

Grafu ya mfumo itakuwa seti ya alama kwenye ndege ambayo ni makutano (hatching mara mbili) ya seti za suluhisho kwa usawa wa kwanza na wa pili.

Kazi. Tatua kwa michoro seti ya ukosefu wa usawa

Suluhisho. Kwanza, tunabadilisha ishara ya usawa na ishara sawa na kuchora mistari katika mfumo mmoja wa kuratibu y = x+ 4 na X 2 + katika 2 = 16. Tatua kila ukosefu wa usawa katika idadi ya watu. Grafu ya idadi ya watu itakuwa seti ya alama kwenye ndege, ambayo ni umoja wa seti za suluhisho kwa usawa wa kwanza na wa pili.

Mazoezi ya kazi ya kujitegemea

1. Tatua kwa mchoro ukosefu wa usawa: a) katika> 2x; b) katika< 2x + 3;

V) x 2+ y 2 > 9; G) x 2+ y 2 £4.

2. Tatua mifumo ya kutofautiana kwa picha:

a) b)