Inamaanisha nini kupata thamani kubwa zaidi ya chaguo za kukokotoa. Uliokithiri wa kazi

Kwa mtazamo wa vitendo, jambo linalovutia zaidi ni kutumia derivative kupata thamani kubwa na ndogo zaidi za chaguo la kukokotoa. Je, hii inahusiana na nini? Kuongeza faida, kupunguza gharama, kuamua mzigo mzuri wa vifaa ... Kwa maneno mengine, katika maeneo mengi ya maisha tunapaswa kutatua shida za kuongeza vigezo vingine. Na hizi ni kazi za kupata maadili makubwa na madogo ya kazi.

Ikumbukwe kwamba thamani kubwa na ndogo zaidi za chaguo za kukokotoa hutafutwa kwa muda fulani X, ambayo ni kikoa kizima cha kazi au sehemu ya kikoa cha ufafanuzi. Muda X yenyewe inaweza kuwa sehemu, muda wazi , muda usio na kikomo.

Katika makala hii tutazungumza juu ya kupata maadili makubwa na madogo kwa uwazi kazi iliyopewa tofauti moja y=f(x) .

Urambazaji wa ukurasa.

Thamani kubwa na ndogo zaidi ya chaguo za kukokotoa - ufafanuzi, vielelezo.

Hebu tuangalie kwa ufupi ufafanuzi mkuu.

Thamani kubwa zaidi ya chaguo za kukokotoa hiyo kwa mtu yeyote usawa ni kweli.

Thamani ndogo zaidi ya chaguo za kukokotoa y=f(x) kwenye muda X inaitwa thamani kama hiyo hiyo kwa mtu yeyote usawa ni kweli.

Ufafanuzi huu ni angavu: thamani kubwa zaidi (ndogo) ya chaguo za kukokotoa ni thamani kubwa zaidi (ndogo) inayokubalika kwa muda unaozingatiwa kwenye abscissa.

Pointi za stationary- hizi ni maadili ya hoja ambayo derivative ya kazi inakuwa sifuri.

Kwa nini tunahitaji pointi stationary wakati wa kupata maadili makubwa na madogo zaidi? Jibu la swali hili limetolewa na nadharia ya Fermat. Kutoka kwa nadharia hii inafuata kwamba ikiwa kazi inayoweza kutofautishwa ina upeo (kiwango cha chini cha ndani au kiwango cha juu cha ndani) kwa wakati fulani, basi hatua hii ni ya stationary. Kwa hivyo, chaguo za kukokotoa mara nyingi huchukua thamani yake kubwa zaidi (ndogo) kwenye muda wa X katika mojawapo ya pointi za kusimama kutoka kwa muda huu.

Pia, chaguo la kukokotoa mara nyingi linaweza kuchukua maadili yake makubwa na madogo zaidi katika sehemu ambazo derivative ya kwanza ya kazi hii haipo, na kazi yenyewe inafafanuliwa.

Hebu tujibu mara moja moja ya maswali ya kawaida juu ya mada hii: "Je, inawezekana kila wakati kuamua thamani kubwa (ndogo) ya kazi"? Hapana sio kila wakati. Wakati mwingine mipaka ya muda wa X inafanana na mipaka ya kikoa cha ufafanuzi wa kazi, au muda wa X hauna mwisho. Na baadhi ya kazi kwa ukomo na katika mipaka ya kikoa cha ufafanuzi zinaweza kuchukua maadili makubwa na ndogo sana. Katika kesi hizi, hakuna kitu kinachoweza kusema kuhusu thamani kubwa na ndogo zaidi ya kazi.

Kwa uwazi, tutatoa mchoro wa picha. Angalia picha na mengi yatakuwa wazi.

Kwenye sehemu

Katika takwimu ya kwanza, chaguo za kukokotoa huchukua thamani kubwa zaidi (max y) na ndogo zaidi (min y) katika sehemu za stationary ziko ndani ya sehemu [-6;6].

Fikiria kesi iliyoonyeshwa kwenye takwimu ya pili. Wacha tubadilishe sehemu kuwa . Katika mfano huu, thamani ndogo zaidi ya kazi inapatikana katika hatua ya stationary, na kubwa zaidi katika hatua na abscissa sambamba na mpaka wa kulia wa muda.

Katika Mchoro wa 3, pointi za mipaka ya sehemu [-3;2] ni abscissas ya pointi zinazofanana na thamani kubwa na ndogo zaidi ya kazi.

Kwa muda wazi

Katika takwimu ya nne, kazi inachukua maadili makubwa zaidi (max y) na ndogo zaidi (min y) katika sehemu za stationary ziko ndani. muda wazi (-6;6) .

Kwa muda, hakuna hitimisho linaloweza kutolewa kuhusu thamani kubwa zaidi.

Katika infinity

Katika mfano ulioonyeshwa kwenye takwimu ya saba, kazi inachukua thamani ya juu(max y) katika hatua ya kusimama na abscissa x=1, na thamani ndogo zaidi (min y) hupatikana kwenye mpaka wa kulia wa muda. Katika minus infinity, thamani za chaguo za kukokotoa zinakaribia y=3 bila dalili.

Kwa muda, chaguo za kukokotoa hazifikii thamani ndogo au kubwa zaidi. Kadiri x=2 inavyokaribia kutoka kulia, maadili ya kazi huelekea kuondoa infinity (mstari wa moja kwa moja x=2 ni asymptote ya wima), na kadiri abscissa inavyoelekea kuongeza ukomo, thamani za chaguo za kukokotoa hukaribia y=3 bila dalili. Kielelezo cha picha cha mfano huu kinaonyeshwa kwenye Mchoro 8.

Algorithm ya kupata maadili makubwa na madogo zaidi ya kazi inayoendelea kwenye sehemu.

Wacha tuandike algorithm ambayo inaruhusu sisi kupata maadili makubwa na madogo zaidi ya chaguo la kukokotoa kwenye sehemu.

1. Tunapata kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa na kuangalia ikiwa ina sehemu nzima.
2. Tunapata vidokezo vyote ambavyo derivative ya kwanza haipo na ambayo iko kwenye sehemu (kawaida vidokezo kama hivyo hupatikana katika kazi na hoja chini ya ishara ya modulus na ndani. kazi za nguvu na kipeo cha kimawazo cha sehemu). Ikiwa hakuna pointi hizo, kisha uendelee kwenye hatua inayofuata.
3. Tunaamua pointi zote za stationary zinazoanguka ndani ya sehemu. Ili kufanya hivyo, tunalinganisha na sifuri, suluhisha usawa unaosababishwa na uchague mizizi inayofaa. Ikiwa hakuna pointi za kusimama au hakuna hata mmoja wao anayeanguka kwenye sehemu, kisha uendelee kwenye hatua inayofuata.
4. Tunahesabu maadili ya kazi katika sehemu zilizochaguliwa za stationary (ikiwa zipo), katika sehemu ambazo derivative ya kwanza haipo (ikiwa ipo), na vile vile kwa x=a na x=b.
5. Kutoka kwa maadili yaliyopatikana ya kazi, tunachagua kubwa zaidi na ndogo zaidi - watakuwa maadili makubwa na madogo zaidi ya kazi, mtawaliwa.

Wacha tuchambue algorithm ya kusuluhisha mfano ili kupata maadili makubwa na madogo ya chaguo la kukokotoa kwenye sehemu.

Mfano.

Pata thamani kubwa na ndogo zaidi ya chaguo la kukokotoa

• kwenye sehemu;
• kwenye sehemu [-4;-1] .

Suluhisho.

Kikoa cha chaguo za kukokotoa ni seti nzima nambari za kweli, isipokuwa sifuri, yaani. Sehemu zote mbili ziko ndani ya kikoa cha ufafanuzi.

Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa kwa heshima na:

Ni wazi, derivative ya chaguo za kukokotoa inapatikana katika sehemu zote za sehemu na [-4;-1].

Tunaamua pointi za stationary kutoka kwa equation. Wa pekee mizizi halisi ni x=2 . Sehemu hii ya kusimama iko katika sehemu ya kwanza.

Kwa kesi ya kwanza, tunahesabu maadili ya kazi katika miisho ya sehemu na mahali pa kusimama, ambayo ni, kwa x=1, x=2 na x=4:

Kwa hiyo, thamani kubwa zaidi ya kazi inafikiwa kwa x=1, na thamani ndogo zaidi - kwa x=2.

Kwa kisa cha pili, tunahesabu thamani za chaguo la kukokotoa tu katika miisho ya sehemu [-4;-1] (kwani haina nukta moja ya kusimama):

Taarifa ya tatizo 2:

Kwa kuzingatia chaguo la kukokotoa ambalo limefafanuliwa na kuendelea kwa muda fulani. Unahitaji kupata thamani kubwa zaidi (ndogo) ya chaguo za kukokotoa kwenye muda huu.

Msingi wa kinadharia.
Nadharia (Nadharia ya Pili ya Weierstrass):

Ikiwa kazi imefafanuliwa na inaendelea katika muda uliofungwa, basi hufikia maadili yake ya juu na ya chini katika muda huu.

Chaguo za kukokotoa zinaweza kufikia thamani zake kubwa na ndogo zaidi kwa pointi za ndani pengo au kwenye mipaka yake. Wacha tuonyeshe chaguzi zote zinazowezekana.

Ufafanuzi:
1) Chaguo za kukokotoa hufikia thamani yake kubwa zaidi kwenye mpaka wa kushoto wa muda katika point , na thamani yake ya chini kwenye mpaka wa kulia wa muda katika hatua.
2) Chaguo la kukokotoa linafikia thamani yake kubwa zaidi katika hatua (hii ni hatua ya juu), na thamani yake ya chini kwenye mpaka wa kulia wa muda katika hatua.
3) Kazi hufikia thamani yake ya juu kwenye mpaka wa kushoto wa muda kwa uhakika, na thamani yake ya chini kwa uhakika (hii ni hatua ya chini).
4) Kazi ni mara kwa mara kwenye muda, i.e. inafikia viwango vyake vya chini na vya juu katika hatua yoyote ya muda, na maadili ya chini na ya juu ni sawa kwa kila mmoja.
5) Chaguo za kukokotoa hufikia thamani yake kubwa zaidi kwa uhakika, na thamani yake ya chini kwa uhakika (licha ya ukweli kwamba chaguo la kukokotoa lina upeo na kiwango cha chini zaidi katika muda huu).
6) Kazi hufikia thamani yake kubwa kwa uhakika (hii ni hatua ya juu), na thamani yake ya chini katika hatua (hii ni hatua ya chini).
Maoni:

"Upeo" na " thamani ya juu"- Mambo tofauti. Hii inafuatia kutokana na ufafanuzi wa upeo na uelewa wa angavu wa maneno "thamani ya juu".

Algorithm ya kutatua shida 2.



4) Chagua kubwa zaidi (ndogo) kutoka kwa maadili yaliyopatikana na uandike jibu.

Mfano 4:

Bainisha thamani kubwa na ndogo zaidi ya chaguo za kukokotoa kwenye sehemu.
Suluhisho:
1) Tafuta derivative ya kitendakazi.

2) Tafuta pointi zisizosimama (na pointi zinazoshukiwa kuwa za hali ya juu) kwa kutatua mlingano. Zingatia nukta ambazo hakuna derivative yenye kikomo yenye pande mbili.

3) Kuhesabu maadili ya kazi katika sehemu za stationary na kwenye mipaka ya muda.

4) Chagua kubwa zaidi (ndogo) kutoka kwa maadili yaliyopatikana na uandike jibu.

Chaguo za kukokotoa kwenye sehemu hii hufikia thamani yake kuu kwa uhakika na kuratibu .

Chaguo za kukokotoa kwenye sehemu hii hufikia thamani yake ya chini kabisa katika sehemu iliyo na viwianishi .

Unaweza kuthibitisha usahihi wa mahesabu kwa kuangalia grafu ya kazi inayochunguzwa.


Maoni: Chaguo za kukokotoa hufikia thamani yake kubwa zaidi katika kiwango cha juu zaidi, na kiwango cha chini chake kwenye mpaka wa sehemu.

Kesi maalum.

Tuseme tunahitaji kupata kiwango cha juu na thamani ya chini baadhi ya utendaji kwa muda. Baada ya kukamilisha hatua ya kwanza ya algorithm, i.e. hesabu ya derivative, inakuwa wazi kwamba, kwa mfano, inachukua tu maadili hasi juu ya sehemu nzima inayozingatiwa. Kumbuka kwamba ikiwa derivative ni hasi, basi kazi itapungua. Tuligundua kuwa chaguo la kukokotoa hupungua juu ya sehemu nzima. Hali hii imeonyeshwa kwenye grafu Na. 1 mwanzoni mwa makala hiyo.

Kazi hupungua kwenye sehemu, i.e. haina pointi kali. Kutoka kwenye picha unaweza kuona kwamba kazi itachukua thamani ndogo zaidi kwenye mpaka wa kulia wa sehemu, na thamani kubwa zaidi upande wa kushoto. ikiwa derivative kwenye sehemu ni chanya kila mahali, basi kazi huongezeka. Thamani ndogo zaidi iko kwenye mpaka wa kushoto wa sehemu, kubwa zaidi iko upande wa kulia.

Katika makala hii nitazungumzia jinsi ya kutumia ujuzi wa kutafuta kwa utafiti wa kazi: kupata thamani yake kubwa au ndogo zaidi. Na kisha tutatatua matatizo kadhaa kutoka kwa Task B15 kutoka Fungua benki kazi za.

Kama kawaida, wacha kwanza tukumbuke nadharia.

Mwanzoni mwa utafiti wowote wa kazi, tunaipata

Ili kupata thamani kubwa au ndogo zaidi ya chaguo za kukokotoa, unahitaji kuchunguza ni vipindi gani kazi huongezeka na ambayo inapungua.

Ili kufanya hivyo, tunahitaji kupata derivative ya kazi na kuchunguza vipindi vyake vya ishara ya mara kwa mara, yaani, vipindi ambavyo derivative huhifadhi ishara yake.

Vipindi ambavyo derivative ya chaguo za kukokotoa ni chanya ni vipindi vya utendakazi vinavyoongezeka.

Vipindi ambapo derivative ya chaguo za kukokotoa ni hasi ni vipindi vya utendakazi unaopungua.

1 . Wacha tutatue kazi B15 (Na. 245184)

Ili kuisuluhisha, tutafuata algorithm ifuatayo:

a) Tafuta kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa

b) Wacha tupate derivative ya kazi.

c) Hebu tuilinganishe na sifuri.

d) Hebu tupate vipindi vya ishara ya mara kwa mara ya kazi.

e) Tafuta mahali ambapo kitendakazi kinachukua thamani kubwa zaidi.

f) Tafuta thamani ya chaguo la kukokotoa katika hatua hii.

Ninaelezea suluhisho la kina la kazi hii kwenye MAFUNZO YA VIDEO:

Huenda kivinjari chako hakitumiki. Kutumia mkufunzi" Saa ya Mtihani wa Jimbo la Umoja", jaribu kupakua
Firefox

2. Wacha tutatue kazi B15 (Na. 282862)

Pata thamani kubwa zaidi ya chaguo za kukokotoa kwenye sehemu

Ni dhahiri kuwa chaguo la kukokotoa huchukua thamani kubwa zaidi kwenye sehemu katika kiwango cha juu zaidi, kwa x=2. Wacha tupate thamani ya kazi katika hatua hii:

Jibu: 5

3. Wacha tutatue kazi B15 (Na. 245180):

Pata thamani kubwa zaidi ya chaguo za kukokotoa

1. title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Kwa sababu kulingana na kikoa cha ufafanuzi wa jina la kazi asili = "4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. Nambari sawa na sifuri katika . Wacha tuangalie ikiwa ODZ ni ya chaguo la kukokotoa. Ili kufanya hivyo, hebu tuangalie ikiwa hali title="4-2x-x^2>0"> при .!}

Kichwa="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

hii ina maana kwamba uhakika ni wa kazi ya ODZ

Wacha tuchunguze ishara ya derivative kulia na kushoto ya uhakika:

Tunaona kwamba chaguo za kukokotoa huchukua thamani yake kuu zaidi. Sasa hebu tupate thamani ya chaguo la kukokotoa kwa:

Kumbuka 1. Kumbuka kuwa katika tatizo hili hatukupata kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa: tulirekebisha vizuizi tu na kuangalia ikiwa hatua ambayo derivative ni sawa na sifuri ni ya kikoa cha ufafanuzi wa chaguo la kukokotoa. Hii iligeuka kuwa ya kutosha kwa kazi hii. Hata hivyo, hii sio wakati wote. Inategemea kazi.

Kumbuka 2. Wakati wa kusoma tabia kazi tata unaweza kutumia sheria hii:

• Kama kazi ya nje ya kitendakazi changamano inaongezeka, basi chaguo za kukokotoa huchukua thamani yake kuu katika hatua ile ile ambapo utendaji wa ndani huchukua thamani yake kuu. Hii inafuata kutokana na ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa zinazoongezeka: chaguo za kukokotoa huongezeka kwa muda wa I if thamani ya juu hoja kutoka kwa muda huu inalingana na thamani kubwa ya chaguo za kukokotoa.
• ikiwa kazi ya nje ya kitendakazi changamano inapungua, basi kitendakazi huchukua thamani yake kubwa zaidi katika sehemu ile ile ambapo kitendakazi cha ndani huchukua thamani yake ndogo zaidi. . Hii inafuatia kutokana na ufafanuzi wa kitendakazi kinachopungua: chaguo za kukokotoa hupungua kwa muda wa I ikiwa thamani kubwa ya hoja kutoka kwa muda huu inalingana na thamani ndogo ya chaguo za kukokotoa.

Katika mfano wetu, kazi ya nje huongezeka katika kikoa kizima cha ufafanuzi. Chini ya ishara ya logarithm kuna usemi - quadratic trinomial, ambayo, ikiwa na mgawo hasi wa kuongoza, inachukua thamani kubwa zaidi kwa uhakika . Ifuatayo, tunabadilisha thamani hii ya x kwenye mlinganyo wa kukokotoa na kupata thamani yake kuu.

Mchakato wa kutafuta maadili madogo na makubwa zaidi ya kazi kwenye sehemu ni ukumbusho wa ndege ya kuvutia karibu na kitu (graph ya kazi) kwenye helikopta, ikifyatua risasi kwa sehemu fulani kutoka kwa kanuni ya masafa marefu na kuchagua sana. pointi maalum kutoka kwa pointi hizi kwa risasi za udhibiti. Pointi huchaguliwa kwa njia fulani na kulingana na sheria fulani. Kwa kanuni zipi? Tutazungumza juu ya hili zaidi.

Ikiwa kazi y = f(x) inaendelea kwa muda [ a, b] , kisha inafikia kwenye sehemu hii angalau Na maadili ya juu . Hii inaweza kutokea ama katika pointi kali, au mwisho wa sehemu. Kwa hivyo, kupata angalau Na maadili makubwa zaidi ya chaguo la kukokotoa , inayoendelea kwa muda [ a, b] , unahitaji kuhesabu maadili yake kwa yote pointi muhimu na mwisho wa sehemu, na kisha chagua ndogo na kubwa zaidi kutoka kwao.

Hebu, kwa mfano, unataka kuamua thamani kubwa zaidi ya chaguo la kukokotoa f(x) kwenye sehemu [ a, b] . Ili kufanya hivyo unahitaji kupata yote pointi muhimu, amelala juu ya [ a, b] .

Jambo muhimu aliita hatua ambayo kazi imefafanuliwa, na yeye derivative ama sawa na sifuri au haipo. Kisha maadili ya kazi katika pointi muhimu inapaswa kuhesabiwa. Na mwishowe, mtu anapaswa kulinganisha maadili ya kazi katika sehemu muhimu na mwisho wa sehemu ( f(a) Na f(b)). Nambari kubwa zaidi ya hizi itakuwa thamani kubwa zaidi ya chaguo za kukokotoa kwenye sehemu [a, b] .

Matatizo ya kutafuta thamani ndogo za utendakazi .

Tunatafuta thamani ndogo na kubwa zaidi za chaguo la kukokotoa pamoja

Mfano 1. Tafuta thamani ndogo na kubwa zaidi za chaguo la kukokotoa kwenye sehemu [-1, 2] .

Suluhisho. Tafuta derivative ya chaguo hili la kukokotoa. Wacha tulinganishe derivative na sifuri () na tupate alama mbili muhimu: na . Ili kupata thamani ndogo na kubwa zaidi za chaguo za kukokotoa kwenye sehemu iliyotolewa inatosha kuhesabu maadili yake katika miisho ya sehemu na kwa uhakika, kwani hatua hiyo sio ya sehemu [-1, 2]. Thamani hizi za utendakazi ni: , , . Inafuata hiyo thamani ndogo ya utendakazi(iliyoonyeshwa kwa rangi nyekundu kwenye grafu hapa chini), sawa na -7, inafikiwa mwisho wa kulia wa sehemu - kwa uhakika, na kubwa zaidi(pia nyekundu kwenye grafu), ni sawa na 9, - katika hatua muhimu.

Ikiwa kitendakazi kinaendelea katika muda fulani na muda huu sio sehemu (lakini ni, kwa mfano, muda; tofauti kati ya muda na sehemu: pointi za mpaka za muda hazijumuishwa katika muda, lakini alama za mpaka za sehemu zimejumuishwa kwenye sehemu), basi kati ya maadili ya kazi kunaweza kusiwe na ndogo na kubwa zaidi. Kwa hivyo, kwa mfano, chaguo la kukokotoa lililoonyeshwa kwenye mchoro hapa chini ni endelevu kwenye ]-∞, +∞[ na haina thamani kubwa zaidi.

Hata hivyo, kwa muda wowote (uliofungwa, wazi au usio na mwisho), sifa zifuatazo za kazi zinazoendelea ni kweli.

Mfano 4. Tafuta thamani ndogo na kubwa zaidi za chaguo la kukokotoa kwenye sehemu [-1, 3] .

Suluhisho. Tunapata derivative ya chaguo hili la kukokotoa kama derivative ya mgawo:

.

Tunalinganisha derivative kwa sifuri, ambayo inatupa jambo moja muhimu:. Ni ya sehemu [-1, 3] . Ili kupata maadili madogo na makubwa zaidi ya chaguo la kukokotoa kwenye sehemu fulani, tunapata maadili yake katika miisho ya sehemu na katika hatua muhimu iliyopatikana:

Hebu tulinganishe maadili haya. Hitimisho: sawa na -5/13, kwa uhakika na thamani ya juu sawa na 1 kwa uhakika.

Tunaendelea kutafuta thamani ndogo na kubwa zaidi za chaguo la kukokotoa pamoja

Kuna waalimu ambao, juu ya mada ya kupata maadili madogo na makubwa zaidi ya kazi, hawawapi wanafunzi mifano ya kutatua ambayo ni ngumu zaidi kuliko ile iliyojadiliwa hivi karibuni, ambayo ni, zile ambazo kazi ni polynomial au a. sehemu, nambari na denominator ambayo ni polynomia. Lakini hatutajiwekea kikomo kwa mifano kama hii, kwani kati ya waalimu kuna wale ambao wanapenda kulazimisha wanafunzi kufikiria kamili (meza ya derivatives). Kwa hiyo, kazi ya logarithm na trigonometric itatumika.

Mfano 6. Tafuta thamani ndogo na kubwa zaidi za chaguo la kukokotoa kwenye sehemu .

Suluhisho. Tunapata derivative ya chaguo hili la kukokotoa kama derivative ya bidhaa :

Tunalinganisha derivative kwa sifuri, ambayo inatoa hatua moja muhimu:. Ni ya sehemu. Ili kupata maadili madogo na makubwa zaidi ya chaguo la kukokotoa kwenye sehemu fulani, tunapata maadili yake katika miisho ya sehemu na katika hatua muhimu iliyopatikana:

Matokeo ya vitendo vyote: kazi hufikia thamani yake ya chini, sawa na 0, kwa uhakika na kwa uhakika na thamani ya juu, sawa e², kwa uhakika.

Mfano 7. Tafuta thamani ndogo na kubwa zaidi za chaguo la kukokotoa kwenye sehemu .

Suluhisho. Tafuta derivative ya chaguo hili la kukokotoa:

Tunalinganisha derivative kwa sifuri:

Sehemu muhimu pekee ni ya sehemu. Ili kupata maadili madogo na makubwa zaidi ya chaguo la kukokotoa kwenye sehemu fulani, tunapata maadili yake katika miisho ya sehemu na katika hatua muhimu iliyopatikana:

Hitimisho: kazi hufikia thamani yake ya chini, sawa na , kwa uhakika na thamani ya juu, sawa, kwa uhakika.

Katika shida kubwa zinazotumika, kupata maadili madogo zaidi (ya juu) ya kazi, kama sheria, inakuja kupata kiwango cha chini (kiwango cha juu). Lakini sio kiwango cha chini au upeo wenyewe ambao ni wa kupendeza zaidi wa vitendo, lakini maadili yale ya hoja ambayo yanafikiwa. Wakati wa kutatua matatizo yaliyotumiwa, hutokea ugumu wa ziada- mkusanyiko wa vipengele vinavyoelezea jambo au mchakato unaozingatiwa.

Mfano 8. Hifadhi yenye uwezo wa 4, yenye umbo la parallelepiped na msingi wa mraba na ufungue juu, unahitaji kuiweka bati. Ni nini kinapaswa kuwa vipimo vya tank ili inachukua kiasi kidogo nyenzo?

Suluhisho. Hebu x- upande wa msingi, h- urefu wa tank, S- eneo la uso wake bila kifuniko; V- kiasi chake. Sehemu ya uso wa tank inaonyeshwa na formula, i.e. ni kazi ya vigezo viwili. Kueleza S kama kazi ya kigezo kimoja, tunatumia ukweli kwamba , kutoka wapi . Kubadilisha usemi uliopatikana h kwenye formula kwa S:

Hebu tuchunguze kazi hii kwa upeo wake. Inafafanuliwa na kutofautishwa kila mahali katika ]0, +∞[ , na

.

Tunalinganisha derivative kwa sifuri () na kupata uhakika muhimu. Kwa kuongeza, wakati derivative haipo, lakini thamani hii haijajumuishwa katika kikoa cha ufafanuzi na kwa hiyo haiwezi kuwa hatua kali. Kwa hiyo, hii ndiyo hatua pekee muhimu. Wacha tuiangalie kwa uwepo wa mtu aliyekithiri kwa kutumia ishara ya pili ya kutosha. Hebu tutafute derivative ya pili. Wakati derivative ya pili ni kubwa kuliko sifuri (). Hii ina maana kwamba wakati kazi inafikia kiwango cha chini . Tangu hii kiwango cha chini ni upeo wa pekee wa chaguo hili la kukokotoa, ni thamani yake ndogo zaidi. Kwa hiyo, upande wa msingi wa tank unapaswa kuwa m 2, na urefu wake unapaswa kuwa.

Mfano 9. Kutoka kwa uhakika A iko kwenye njia ya reli, kwa uhakika NA, iko mbali kutoka kwake l, mizigo lazima isafirishwe. Gharama ya kusafirisha kitengo cha uzito kwa kila kitengo cha umbali kwa reli ni sawa na, na kwa barabara kuu ni sawa na. Kwa uhakika gani M mistari reli barabara kuu ijengwe kusafirisha mizigo kutoka A V NA ilikuwa ya kiuchumi zaidi (sehemu AB reli inachukuliwa kuwa sawa)?

Kwa huduma hii unaweza pata thamani kubwa na ndogo zaidi ya chaguo la kukokotoa tofauti moja f(x) iliyo na suluhisho iliyoumbizwa katika Neno. Ikiwa kazi ya f(x,y) imetolewa, kwa hiyo, ni muhimu kupata upeo wa kazi ya vigezo viwili. Unaweza pia kupata vipindi vya kazi zinazoongezeka na zinazopungua.

Pata thamani kubwa na ndogo zaidi ya chaguo la kukokotoa

y =

kwenye sehemu [ ;]

Jumuisha nadharia

Sheria za kuingiza kazi:

Hali ya lazima kwa upeo wa kitendakazi cha kigezo kimoja

Mlinganyo f" 0 (x *) = 0 ni hali ya lazima uliokithiri wa kazi ya kutofautiana moja, i.e. kwa uhakika x * kitoleo cha kwanza cha chaguo za kukokotoa lazima kitoweke. Inabainisha pointi zisizosimama x c ambapo utendaji hauongezi au kupungua.

Hali ya kutosha kwa upeo wa kitendakazi cha kigezo kimoja

Acha f 0 (x) iweze kutofautishwa mara mbili kuhusiana na x, mali ya seti D. Ikiwa katika hatua x * hali imefikiwa:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Kisha uhakika x * ndio kiwango cha chini cha kitendakazi cha ndani (kitandawazi).

Ikiwa katika hatua x * hali imefikiwa:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Kisha uhakika x * ni kiwango cha juu cha ndani (kimataifa).

Mfano Nambari 1. Tafuta kubwa zaidi na thamani ndogo kazi: kwenye sehemu.
Suluhisho.

Hoja muhimu ni moja x 1 = 2 (f’(x)=0). Hatua hii ni ya sehemu. (Hatua x=0 sio muhimu, kwani 0∉).
Tunahesabu maadili ya kazi katika miisho ya sehemu na katika hatua muhimu.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Jibu: f min = 5 / 2 kwa x=2; f max =9 kwa x=1

Mfano Nambari 2. Kwa kutumia vyeti vya mpangilio wa juu, tafuta upeo wa chaguo za kukokotoa y=x-2sin(x) .
Suluhisho.
Pata toleo la kukokotoa la chaguo za kukokotoa: y’=1-2cos(x) . Hebu tutafute pointi muhimu: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Tunapata y’’=2sin(x), hesabu , ambayo ina maana x= π / 3 +2πk, k∈Z ni alama za chini zaidi za chaguo la kukokotoa; , ambayo inamaanisha x=- π / 3 +2πk, kZ ndio alama za juu zaidi za chaguo la kukokotoa.

Mfano Nambari 3. Chunguza utendaji wa hali ya juu katika eneo la uhakika x=0.
Suluhisho. Hapa ni muhimu kupata extrema ya kazi. Ikiwa extremum x=0, basi tafuta aina yake (kiwango cha chini au cha juu). Ikiwa kati ya pointi zilizopatikana hakuna x = 0, basi uhesabu thamani ya kazi f (x=0).
Ikumbukwe kwamba wakati derivative kwa kila upande wa nukta fulani haibadilishi ishara yake, hali zinazowezekana hazijaisha hata kwa kazi zinazoweza kutofautishwa: inaweza kutokea kwamba kwa kitongoji kidogo cha kiholela upande mmoja wa hatua x 0 au. kwa pande zote mbili ishara ya mabadiliko ya derivative. Katika pointi hizi ni muhimu kutumia njia nyingine za kujifunza kazi kwa upeo.