3 piramidi ya makaa ya mawe. Piramidi

-Hii sura yenye sura nyingi, kwa msingi ambao kuna poligoni, na nyuso zilizobaki zinawakilishwa na pembetatu na vertex ya kawaida.

Ikiwa msingi ni mraba, basi piramidi inaitwa ya pembe nne, ikiwa pembetatu - basi pembetatu. Urefu wa piramidi hutolewa kutoka kwa perpendicular yake ya juu hadi msingi. Pia hutumika kuhesabu eneo apothem- urefu wa uso wa upande, uliopunguzwa kutoka juu yake.
Njia ya eneo la uso wa nyuma wa piramidi ni jumla ya maeneo ya nyuso zake za nyuma, ambazo ni sawa kwa kila mmoja. Hata hivyo, njia hii ya hesabu hutumiwa mara chache sana. Kimsingi, eneo la piramidi linahesabiwa kupitia mzunguko wa msingi na apothem:

Wacha tuchunguze mfano wa kuhesabu eneo la uso wa nyuma wa piramidi.

Acha piramidi itolewe yenye msingi wa ABCDE na F ya juu. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm. Apothem a = 5 cm. Tafuta eneo la uso wa upande wa piramidi.
Hebu tupate mzunguko. Kwa kuwa kingo zote za msingi ni sawa, mzunguko wa pentagon utakuwa sawa na:
Sasa unaweza kupata eneo la pembeni piramidi:

Eneo la piramidi ya kawaida ya pembetatu

Treni sahihi piramidi ya makaa ya mawe lina msingi ambao ndani yake kuna pembetatu ya kawaida na nyuso tatu za upande ambazo ni sawa katika eneo.
Mfumo wa eneo la uso wa pembeni ni sahihi piramidi ya pembe tatu inaweza kuhesabiwa njia tofauti. Unaweza kutumia formula ya hesabu ya kawaida kwa kutumia mzunguko na apothem, au unaweza kupata eneo la uso mmoja na kuzidisha kwa tatu. Kwa kuwa uso wa piramidi ni pembetatu, tunatumia fomula ya eneo la pembetatu. Itahitaji apothem na urefu wa msingi. Wacha tuchunguze mfano wa kuhesabu eneo la uso wa piramidi ya kawaida ya pembetatu.

Kwa kupewa piramidi yenye apothem a = 4 cm na uso wa msingi b = cm 2. Tafuta eneo la uso wa upande wa piramidi.
Kwanza, pata eneo la moja ya nyuso za upande. KATIKA kwa kesi hii Atakuwa:
Badilisha maadili kwenye fomula:
Kwa kuwa katika piramidi sahihi kila kitu pande ni sawa, basi eneo la uso wa nyuma wa piramidi litakuwa sawa na jumla ya maeneo ya nyuso tatu. Mtawalia:

Eneo la piramidi iliyopunguzwa

Imepunguzwa Piramidi ni polihedron ambayo huundwa na piramidi na sehemu yake ya msalaba sambamba na msingi.
Njia ya eneo la uso la piramidi iliyopunguzwa ni rahisi sana. Eneo hilo ni sawa na bidhaa ya nusu ya jumla ya mzunguko wa besi na apothem:

Dhana ya piramidi

Ufafanuzi 1

Kielelezo cha kijiometri, iliyoundwa na poligoni na sehemu isiyolala kwenye ndege iliyo na poligoni hii, iliyounganishwa na vipeo vyote vya poligoni inaitwa. piramidi(Mchoro 1).

Kielelezo 1. Piramidi

Poligoni ambayo piramidi imetengenezwa inaitwa msingi wa piramidi, iliyopatikana kwa kuunganisha pembetatu kwa uhakika - nyuso za pembeni za piramidi, pande za pembetatu - pande za piramidi, na jambo la kawaida kwa pembetatu zote ni juu ya piramidi.

Kulingana na idadi ya pembe kwenye msingi wa piramidi, inaweza kuitwa triangular, quadrangular, na kadhalika (Mchoro 2).

Kielelezo cha 2.

Kumbuka 1

Kumbuka kwamba tetrahedron ni kesi maalum ya piramidi ya triangular.

Ufafanuzi 2

Piramidi ambayo msingi wake ni poligoni ya kawaida na urefu wa piramidi iko katikati yake inaitwa. piramidi ya kawaida(Mchoro 3).

Kielelezo 3. Piramidi ya kawaida

Wacha tujulishe na tuthibitishe mali hiyo piramidi ya kawaida.

Nadharia 1

Wote nyuso za upande ya piramidi ya kawaida ni pembetatu za isosceles ambazo ni sawa kwa kila mmoja.

Ushahidi.

Fikiria piramidi ya kawaida ya $n-$gonal yenye kipeo $S$ cha urefu $h=SO$. Hebu tufanye mduara kuzunguka msingi (Mchoro 4).

Kielelezo cha 4.

Fikiria pembetatu $SOA$. Kulingana na nadharia ya Pythagorean, tunapata

Kwa wazi, makali yoyote ya upande yatafafanuliwa kwa njia hii. Kwa hiyo, kila kitu mbavu za pembeni ni sawa kwa kila mmoja, yaani, nyuso zote za upande -- pembetatu za isosceles. Hebu tuthibitishe kwamba wao ni sawa kwa kila mmoja. Kwa kuwa msingi ni poligoni ya kawaida, misingi ya nyuso zote za upande ni sawa kwa kila mmoja. Kwa hivyo, nyuso zote za upande ni sawa kulingana na kigezo cha III cha usawa wa pembetatu.

Nadharia imethibitishwa.

Hebu sasa tujulishe ufafanuzi ufuatao, inayohusishwa na dhana ya piramidi ya kawaida.

Ufafanuzi 3

Apothem ya piramidi ya kawaida urefu wa uso wake wa upande unaitwa.

Ni wazi, kulingana na Theorem 1, apothems zote ni sawa kwa kila mmoja.

Nadharia 2

Sehemu ya uso ya piramidi ya kawaida imedhamiriwa kama bidhaa ya nusu ya mzunguko wa msingi na apothem.

Ushahidi.

Hebu tuonyeshe upande wa msingi wa piramidi ya $n-$gonal kwa $a$, na apothem kwa $d$. Kwa hivyo, eneo la uso wa upande ni sawa na

Kwa kuwa, kulingana na Theorem 1, pande zote ni sawa, basi

Nadharia imethibitishwa.

Ufafanuzi 4

Ikiwa ndege inayofanana na msingi wake hutolewa kupitia piramidi ya kawaida, basi takwimu inayoundwa kati ya ndege hii na ndege ya msingi inaitwa. piramidi iliyopunguzwa(Mchoro 5).

Kielelezo 5. Piramidi iliyokatwa

Suluhisho.

Kwa nadharia kuhusu mstari wa kati tunapata kwamba msingi wa juu wa piramidi iliyopunguzwa ni sawa na $6\cdot \frac(1)(2)=3$, na apothem ni sawa na $4\cdot \frac(1)(2)=2$.

Kisha, kwa Theorem 3, tunapata

Kiwango cha kwanza

Piramidi. Mwongozo wa kuona (2019)

Piramidi ni nini?

Je, anaonekanaje?

Unaona: chini ya piramidi (wanasema " kwenye msingi") poligoni fulani, na wima zote za poligoni hii zimeunganishwa kwa sehemu fulani kwenye nafasi (hatua hii inaitwa " kipeo»).

Muundo huu wote bado una nyuso za upande, mbavu za upande Na mbavu za msingi. Kwa mara nyingine tena, wacha tuchore piramidi pamoja na majina haya yote:

Baadhi ya piramidi zinaweza kuonekana za ajabu sana, lakini bado ni piramidi.

Hapa, kwa mfano, ni "oblique" kabisa. piramidi.

Na zaidi kidogo juu ya majina: ikiwa kuna pembetatu chini ya piramidi, basi piramidi inaitwa triangular, ikiwa ni quadrangle, basi quadrangular, na ikiwa ni centagon, basi ... fikiria mwenyewe. .

Wakati huo huo, mahali ambapo ilianguka urefu, kuitwa msingi wa urefu. Tafadhali kumbuka kuwa katika piramidi "zilizopotoka". urefu inaweza hata kuishia nje ya piramidi. Kama hii:

Na hakuna kitu kibaya na hilo. Inaonekana kama pembetatu butu.

Piramidi sahihi.

Mengi ya maneno magumu? Wacha tuamue: "Katika msingi - sahihi" - hii inaeleweka. Sasa hebu tukumbuke hilo poligoni ya kawaida kuna kituo - hatua ambayo ni katikati ya na, na.

Kweli, maneno "juu inakadiriwa katikati ya msingi" inamaanisha kuwa msingi wa urefu huanguka katikati ya msingi. Angalia jinsi inaonekana laini na ya kupendeza piramidi ya kawaida.

Hexagonal: msingi - hexagons ya kawaida, juu inakadiriwa katikati ya msingi.

Umbo la pembe nne: msingi ni mraba, juu inakadiriwa kwa hatua ya makutano ya diagonals ya mraba huu.

Pembetatu: kwa msingi kuna pembetatu ya kawaida, vertex inakadiriwa kwa hatua ya makutano ya urefu (wao pia ni wapatanishi na bisectors) ya pembetatu hii.

Sana mali muhimu piramidi sahihi:

Katika piramidi sahihi

kingo zote za upande ni sawa.
nyuso zote za upande ni pembetatu za isosceles na pembetatu hizi zote ni sawa.

Kiasi cha piramidi

Njia kuu ya kiasi cha piramidi:

Imetoka wapi hasa? Hii sio rahisi sana, na mwanzoni unahitaji tu kukumbuka kuwa piramidi na koni zina kiasi katika formula, lakini silinda haina.

Sasa hebu tuhesabu kiasi cha piramidi maarufu zaidi.

Hebu upande wa msingi uwe sawa na makali ya upande sawa. Tunahitaji kupata na.

Hili ndilo eneo pembetatu ya kawaida.

Hebu tukumbuke jinsi ya kutafuta eneo hili. Tunatumia formula ya eneo:

Kwa sisi, "" ni hii, na "" pia ni hii, eh.

Sasa tuipate.

Kulingana na nadharia ya Pythagorean kwa

Tofauti ni ipi? Hii ni circumradius katika kwa sababu piramidisahihi na, kwa hiyo, kituo hicho.

Tangu - hatua ya makutano ya wapatanishi pia.

(Nadharia ya Pythagorean kwa)

Wacha tuibadilishe katika fomula ya.

Na wacha tubadilishe kila kitu kwa fomula ya kiasi:

Tahadhari: Ikiwa wewe tetrahedron ya kawaida(yaani), basi formula ni:

Hebu upande wa msingi uwe sawa na makali ya upande sawa.

Hakuna haja ya kuangalia hapa; Baada ya yote, msingi ni mraba, na kwa hiyo.

Tutapata. Kulingana na nadharia ya Pythagorean kwa

Je, tunajua? Karibu. Angalia:

(tumeliona hili kwa kulitazama).

Badilisha katika fomula ya:

Na sasa tunabadilisha na katika fomula ya kiasi.

Hebu upande wa msingi uwe sawa na makali ya upande.

Jinsi ya kupata? Angalia, hexagon ina pembetatu sita zinazofanana za kawaida. Tayari tumetafuta eneo la pembetatu ya kawaida wakati wa kuhesabu kiasi cha piramidi ya kawaida ya pembetatu; hapa tunatumia fomula tuliyopata.

Sasa hebu tupate (hiyo).

Kulingana na nadharia ya Pythagorean kwa

Lakini inajalisha nini? Ni rahisi kwa sababu (na kila mtu mwingine pia) ni sahihi.

Hebu tubadilishe:

\mtindo wa maonyesho V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

PYRAMID. KWA UFUPI KUHUSU MAMBO MAKUU

Piramidi ni polihedron ambayo ina poligoni yoyote ya gorofa (), hatua isiyolala kwenye ndege ya msingi (juu ya piramidi) na sehemu zote zinazounganisha juu ya piramidi na pointi za msingi (kingo za upande).

Perpendicular imeshuka kutoka juu ya piramidi hadi ndege ya msingi.

Piramidi sahihi- piramidi ambayo poligoni ya kawaida iko kwenye msingi, na juu ya piramidi inakadiriwa katikati ya msingi.

Mali ya piramidi ya kawaida:

Katika piramidi ya kawaida, kingo zote za upande ni sawa.
Nyuso zote za upande ni pembetatu za isosceles na pembetatu hizi zote ni sawa.

apothem- urefu wa makali ya upande piramidi ya kawaida, ambayo hutolewa kutoka kwa vertex yake (kwa kuongeza, apothem ni urefu wa perpendicular, ambayo hupunguzwa kutoka katikati ya poligoni ya kawaida hadi moja ya pande zake);
nyuso za upande (ASB, BSC, CSD, DSA) - pembetatu zinazokutana kwenye vertex;
mbavu za pembeni ( AS , B.S. , C.S. , D.S. ) — vipengele vya kawaida pembe za upande;
juu ya piramidi (t. S) - hatua inayounganisha mbavu za upande na ambayo haipo katika ndege ya msingi;
urefu ( HIVYO ) - sehemu ya perpendicular inayotolewa kwa njia ya juu ya piramidi kwa ndege ya msingi wake (mwisho wa sehemu hiyo itakuwa juu ya piramidi na msingi wa perpendicular);
sehemu ya diagonal piramidi- sehemu ya piramidi inayopita juu na diagonal ya msingi;
msingi (ABCD) - poligoni ambayo si ya vertex ya piramidi.

Tabia za piramidi.

1. Wakati mbavu zote za upande zina ukubwa sawa, Kisha:

karibu na msingi wa piramidi ni rahisi kuelezea mduara, wakati sehemu ya juu ya piramidi itaonyeshwa katikati ya mduara huu;
mbavu za upande huunda sawa pembe ;
Aidha, kinyume chake pia ni kweli, i.e. wakati mbavu za upande huunda na ndege ya msingi pembe sawa, au wakati mduara unaweza kuelezewa karibu na msingi wa piramidi na juu ya piramidi itaonyeshwa katikati ya mduara huu, ambayo ina maana kwamba kando zote za upande wa piramidi zina ukubwa sawa.

2. Wakati nyuso za upande zina pembe ya mwelekeo kwa ndege ya msingi wa thamani sawa, basi:

ni rahisi kuelezea mduara karibu na msingi wa piramidi, na juu ya piramidi itaonyeshwa katikati ya mzunguko huu;
urefu wa nyuso za upande ni urefu sawa;
eneo la uso wa upande ni sawa na ½ bidhaa ya mzunguko wa msingi na urefu wa uso wa upande.

3. Kuhusu piramidi inaweza kuelezwa tufe katika tukio ambalo chini ya piramidi kuna poligoni ambayo mduara unaweza kuelezewa (lazima na hali ya kutosha) Katikati ya nyanja itakuwa mahali pa makutano ya ndege zinazopita katikati ya kingo za piramidi inayowazunguka. Kutoka kwa nadharia hii tunahitimisha kuwa tufe inaweza kuelezewa karibu na pembetatu yoyote na karibu na piramidi yoyote ya kawaida.

4. Tufe inaweza kuandikwa katika piramidi ikiwa ndege mbili za ndani. pembe za dihedral piramidi huingilia kwenye hatua ya 1 (hali ya lazima na ya kutosha). Hatua hii itakuwa katikati ya nyanja.

Piramidi rahisi zaidi.

Kulingana na idadi ya pembe, msingi wa piramidi umegawanywa katika triangular, quadrangular, na kadhalika.

Kutakuwa na piramidi pembetatu, ya pembe nne, na kadhalika, wakati msingi wa piramidi ni pembetatu, quadrangle, na kadhalika. Piramidi ya pembe tatu ni tetrahedron - tetrahedron. Quadrangular - pentagonal na kadhalika.