Sannsynligheten er høyere eller større. Sannsynlighet for hendelse

Det er klart at hver hendelse har en varierende grad av mulighet for sin forekomst (dens gjennomføring). For å kvantitativt sammenligne hendelser med hverandre i henhold til graden av deres mulighet, er det åpenbart nødvendig å knytte et visst antall til hver hendelse, som er større jo mer mulig hendelsen er. Dette tallet kalles sannsynligheten for en hendelse.

Sannsynlighet for hendelse– er et numerisk mål på graden av objektiv mulighet for at denne hendelsen inntreffer.

Tenk på et stokastisk eksperiment og en tilfeldig hendelse A observert i dette eksperimentet. La oss gjenta dette eksperimentet n ganger og la m(A) være antall eksperimenter der hendelse A skjedde.

Relasjon (1.1)

kalt relativ frekvens hendelser A i serien av utførte eksperimenter.

Det er enkelt å verifisere gyldigheten av egenskapene:

hvis A og B er inkonsistente (AB= ), så er ν(A+B) = ν(A) + ν(B) (1.2)

Den relative frekvensen bestemmes først etter en rekke eksperimenter og kan generelt sett variere fra serie til serie. Erfaringen viser imidlertid at i mange tilfeller, ettersom antallet eksperimenter øker, nærmer den relative frekvensen seg et visst antall. Dette faktum med relativ frekvensstabilitet har blitt bekreftet gjentatte ganger og kan betraktes som eksperimentelt etablert.

Eksempel 1.19.. Hvis du kaster én mynt, kan ingen forutsi hvilken side den vil lande på toppen. Men hvis du kaster to tonn mynter, vil alle si at omtrent ett tonn vil falle opp med våpenskjoldet, det vil si at den relative frekvensen av våpenskjoldet faller ut er omtrent 0,5.

Hvis, med en økning i antall eksperimenter, den relative frekvensen av hendelsen ν(A) har en tendens til et bestemt antall, så sier de at hendelse A er statistisk stabil, og dette tallet kalles sannsynligheten for hendelse A.

Sannsynlighet for hendelsen EN et eller annet fast tall P(A) kalles, som den relative frekvensen ν(A) til denne hendelsen har en tendens til når antallet eksperimenter øker, det vil si,

Denne definisjonen kalles statistisk definisjon sannsynligheter .

La oss vurdere et visst stokastisk eksperiment og la rommet til dets elementære hendelser bestå av et begrenset eller uendelig (men tellbart) sett med elementære hendelser ω 1, ω 2, …, ω i, …. La oss anta at hver elementær hendelse ω i er tildelt et visst tall - р i, som karakteriserer graden av mulighet for forekomsten av dette elementet hendelse og tilfredsstiller følgende egenskaper:

Dette tallet p i kalles sannsynligheten for en elementær hendelseωi.

La nå A være en tilfeldig hendelse observert i dette eksperimentet, og la det tilsvare et visst sett

I denne innstillingen sannsynligheten for en hendelse EN kall summen av sannsynlighetene for elementære hendelser som favoriserer A(inkludert i det tilsvarende settet A):

(1.4)

Sannsynligheten introdusert på denne måten har de samme egenskapene som den relative frekvensen, nemlig:

Og hvis AB = (A og B er inkompatible),

så P(A+B) = P(A) + P(B)

Faktisk, ifølge (1.4)

I den siste relasjonen utnyttet vi det faktum at ikke en enkelt elementær begivenhet kan favorisere to uforenlige hendelser på samme tid.

Vi legger spesielt merke til at sannsynlighetsteori ikke angir metoder for å bestemme p i de må søkes ut fra betraktninger av praktisk art eller hentet fra et passende statistisk eksperiment.

Som et eksempel, vurder det klassiske skjemaet med sannsynlighetsteori. For å gjøre dette, vurder et stokastisk eksperiment, hvis rom av elementære hendelser består av et begrenset (n) antall elementer. La oss i tillegg anta at alle disse elementære hendelsene er like mulige, det vil si at sannsynlighetene for elementære hendelser er lik p(ω i)=pi =p. Det følger at

Eksempel 1.20. Når du kaster en symmetrisk mynt, er det like mulig å få hoder og haler, sannsynlighetene deres er lik 0,5.

Eksempel 1.21. Når du kaster en symmetrisk terning, er alle ansikter like mulige, sannsynlighetene deres er lik 1/6.

La nå hendelse A bli favorisert av m elementære hendelser, de kalles vanligvis gunstige utfall for hendelse A. Deretter

Fikk klassisk definisjon sannsynligheter: sannsynligheten P(A) for hendelse A er lik forholdet mellom antall gunstige utfall til hendelse A og det totale antallet utfall

Eksempel 1.22. Urnen inneholder m hvite kuler og n sorte kuler. Hva er sannsynligheten for å få den ut? hvit ball?

Løsning. Det totale antallet elementære hendelser er m+n. De er alle like sannsynlige. Gunstig begivenhet A hvorav m. Derfor, .

Følgende egenskaper følger av definisjonen av sannsynlighet:

Eiendom 1. Sannsynlighet pålitelig hendelse lik en.

Faktisk, hvis hendelsen er pålitelig, favoriserer hvert elementært resultat av testen hendelsen. I dette tilfellet t=p, derfor,

P(A)=m/n=n/n=1.(1.6)

Eiendom 2. Sannsynlighet umulig hendelse lik null.

Faktisk, hvis en hendelse er umulig, favoriserer ingen av de grunnleggende resultatene av testen hendelsen. I dette tilfellet T= 0, derfor, P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)

Eiendom 3.Sannsynlighet tilfeldig hendelse Det er positivt tall, innelukket mellom null og én.

Faktisk er det bare en del av det totale antallet elementære utfall av testen som favoriseres av en tilfeldig hendelse. Det vil si 0≤m≤n, som betyr 0≤m/n≤1, derfor tilfredsstiller sannsynligheten for enhver hendelse den doble ulikheten 0≤ P(A) ≤1. (1.8)

Ved å sammenligne definisjonene av sannsynlighet (1,5) og relativ frekvens (1,1), konkluderer vi: definisjon av sannsynlighet krever ikke testing faktisk; definisjonen av relativ frekvens forutsetter det tester ble faktisk utført. Med andre ord, sannsynligheten beregnes før forsøket, og den relative frekvensen - etter forsøket.

Imidlertid krever beregning av sannsynlighet foreløpig informasjon om antallet eller sannsynlighetene for elementære utfall som er gunstige for en gitt hendelse. I mangel av slik foreløpig informasjon, brukes empiriske data for å bestemme sannsynligheten, det vil si at den relative frekvensen av hendelsen bestemmes basert på resultatene av et stokastisk eksperiment.

Eksempel 1.23. Teknisk kontrollavdeling oppdaget 3 ikke-standard deler i et parti med 80 tilfeldig utvalgte deler. Relativ hyppighet av forekomst av ikke-standarddeler r(A)= 3/80.

Eksempel 1.24. I henhold til formålet.produsert 24 skutt, og 19 treff ble registrert. Relativ måltreffrate. r(A)=19/24.

Langtidsobservasjoner viste at hvis eksperimenter utføres under identiske forhold, hvor antallet tester er tilstrekkelig stort i hver av dem, viser den relative frekvensen egenskapen stabilitet. Denne eiendommen er at i forskjellige eksperimenter endres den relative frekvensen lite (jo mindre, jo flere tester utføres), svingende rundt et visst konstant tall. Det viste seg at dette konstant antall kan tas som en omtrentlig sannsynlighetsverdi.

Flere detaljer og mer presist forbindelsen mellom relativ frekvens og sannsynlighet vil bli skissert nedenfor. La oss nå illustrere egenskapen til stabilitet med eksempler.

Eksempel 1.25. I følge svensk statistikk er den relative frekvensen av fødsler av jenter for 1935 etter måned preget av følgende tall (tallene er ordnet i månedsrekkefølge, starter med Januar): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473

Den relative frekvensen svinger rundt tallet 0,481, som kan tas som omtrentlig verdi sannsynligheten for å få jenter.

Merk at statistiske data forskjellige land gi omtrent samme relative frekvensverdi.

Eksempel 1.26. Myntkasting-eksperimenter ble utført mange ganger, der antall opptredener av "våpenskjoldet" ble talt. Resultatene fra flere forsøk er vist i tabellen.

Brakt inn til dags dato åpen krukke Unified State Examination-problemer i matematikk (mathege.ru), hvis løsning er basert på bare en formel, som er den klassiske definisjonen av sannsynlighet.

Den enkleste måten å forstå formelen på er med eksempler.
Eksempel 1. Det er 9 røde baller og 3 blå baller i kurven. Kulene er bare forskjellige i farge. Vi tar ut en av dem tilfeldig (uten å se). Hva er sannsynligheten for at ballen valgt på denne måten blir blå?

En kommentar. I problemer i sannsynlighetsteori skjer det noe (i dette tilfellet vår handling med å trekke ut ballen) som kan ha et annet resultat - et utfall. Det skal bemerkes at resultatet kan sees på på forskjellige måter. "Vi trakk ut en slags ball" er også et resultat. "Vi trakk ut den blå ballen" - resultatet. "Vi trakk ut akkurat denne ballen fra alle mulige baller" - dette minst generaliserte synet på resultatet kalles et elementært utfall. Det er de elementære utfallene som er ment i formelen for beregning av sannsynligheten.

Løsning. La oss nå beregne sannsynligheten for å velge den blå ballen.
Hendelse A: "den valgte ballen viste seg å være blå"
Totalt antall av alle mulige utfall: 9+3=12 (antallet av alle kuler vi kunne trekke)
Antall gunstige utfall for hendelse A: 3 (antall slike utfall der hendelse A skjedde - det vil si antall blå kuler)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Svar: 0,25

For det samme problemet, la oss beregne sannsynligheten for å velge en rød ball.
Det totale antallet mulige utfall vil forbli det samme, 12. Antall gunstige utfall: 9. Sannsynlighet søkt: 9/12=3/4=0,75

Sannsynligheten for enhver hendelse ligger alltid mellom 0 og 1.
Noen ganger i dagligtale (men ikke i sannsynlighetsteori!) estimeres sannsynligheten for hendelser i prosent. Overgangen mellom matematikk og samtalepoeng oppnås ved å multiplisere (eller dele) med 100 %.
Så,
Dessuten er sannsynligheten null for hendelser som ikke kan skje - utrolig. For eksempel, i vårt eksempel vil dette være sannsynligheten for å trekke en grønn ball fra kurven. (Antall gunstige utfall er 0, P(A)=0/12=0, hvis beregnet ved hjelp av formelen)
Sannsynlighet 1 har hendelser som er helt sikre på å skje, uten alternativer. For eksempel er sannsynligheten for at "den valgte ballen vil være enten rød eller blå" for vår oppgave. (Antall gunstige utfall: 12, P(A)=12/12=1)

Vi har anmeldt klassisk eksempel, som illustrerer definisjonen av sannsynlighet. Alle like Unified State Examination oppgaver I følge sannsynlighetsteori løses de ved å bruke denne formelen.
I stedet for de røde og blå kulene kan det være epler og pærer, gutter og jenter, lærte og ulærde billetter, billetter som inneholder og ikke inneholder et spørsmål om et bestemt emne (prototyper,), defekte vesker av høy kvalitet eller hagepumper ( prototyper) - prinsippet forblir det samme.

De er litt forskjellige i formuleringen av teoriproblemet sannsynligheten for Unified State-eksamen, hvor du må beregne sannsynligheten for at en hendelse inntreffer på en bestemt dag. ( , ) Som i tidligere oppgaver du må finne ut hva som er det elementære resultatet, og deretter bruke samme formel.

Eksempel 2. Konferansen varer i tre dager. På første og andre dag er det 15 foredragsholdere, på tredje dag - 20. Hva er sannsynligheten for at professor M.s rapport faller på tredje dag hvis rekkefølgen på rapportene bestemmes ved loddtrekning?

Hva er det elementære resultatet her? – Å tildele en professorrapport en av alle mulige serienummer for en forestilling. 15+15+20=50 personer deltar i trekningen. Dermed kan professor M.s rapport motta ett av 50 nummer. Dette betyr at det bare er 50 elementære utfall.
Hva er de gunstige resultatene? – De der det viser seg at professoren skal tale den tredje dagen. Det vil si de siste 20 tallene.
I følge formelen er sannsynlighet P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Svar: 0,4

Lodtrekningen her representerer etableringen av en tilfeldig korrespondanse mellom personer og bestilte plasser. I eksempel 2 ble etablering av korrespondanse vurdert ut fra hvilke av plassene som kunne tas spesiell person. Du kan nærme deg den samme situasjonen fra den andre siden: hvem av personene med stor sannsynlighet kan bli tatt? bestemt sted(prototyper , , , ):

Eksempel 3. Trekningen inkluderer 5 tyskere, 8 franskmenn og 3 estere. Hva er sannsynligheten for at den første (/andre/syvende/siste – det spiller ingen rolle) vil være en franskmann.

Antall elementære utfall – antall av alle mulige mennesker, som kunne komme til dette stedet ved å trekke lodd. 5+8+3=16 personer.
Gunstige resultater - fransk. 8 personer.
Nødvendig sannsynlighet: 8/16=1/2=0,5
Svar: 0,5

Prototypen er litt annerledes. Det er fortsatt problemer med mynter () og terninger (), som er noe mer kreative. Løsningen på disse problemene finner du på prototypesidene.

Her er noen eksempler på å kaste en mynt eller terning.

Eksempel 4. Når vi kaster en mynt, hva er sannsynligheten for å lande på hodet?
Det er 2 utfall - hode eller haler. (det antas at mynten aldri lander på kanten) Et gunstig resultat er haler, 1.
Sannsynlighet 1/2=0,5
Svar: 0,5.

Eksempel 5. Hva om vi kaster en mynt to ganger? Hva er sannsynligheten for at det kommer opp begge gangene?
Det viktigste er å finne ut hvilke elementære utfall vi vil vurdere når vi kaster to mynter. Etter å ha kastet to mynter, kan ett av følgende resultater oppstå:
1) PP – begge gangene kom det opp
2) PO – første gang hoder, andre gang hoder
3) OP – heads første gang, tails andre gang
4) OO – hoder kom opp begge gangene
Det er ingen andre alternativer. Dette betyr at det er 4 elementære utfall. Bare det første, 1, er gunstig.
Sannsynlighet: 1/4=0,25
Svar: 0,25

Hva er sannsynligheten for at to myntkast vil resultere i haler?
Antall elementære utfall er det samme, 4. Gunstige utfall er andre og tredje, 2.
Sannsynlighet for å få én hale: 2/4=0,5

I slike problemer kan en annen formel være nyttig.
Hvis under ett kast med en mynt mulige alternativer vi har 2 resultater, for to kast vil resultatene være 2 2 = 2 2 = 4 (som i eksempel 5), for tre kast 2 2 2 = 2 3 = 8, for fire: 2 2 2 2 =2 4 = 16, ... for N kast vil de mulige resultatene være 2·2·...·2=2 N .

Så du kan finne sannsynligheten for å få 5 hoder av 5 myntkast.
Totalt antall elementære utfall: 2 5 =32.
Gunstige resultater: 1. (RRRRRR – header alle 5 ganger)
Sannsynlighet: 1/32=0,03125

Det samme gjelder for terninger. Med ett kast er det 6 mulige resultater, så for to kast: 6 6 = 36, for tre 6 6 = 216, osv.

Eksempel 6. Vi kaster terningene. Hva er sannsynligheten for at et partall blir kastet?

Totale utfall: 6, i henhold til antall sider.
Gunstig: 3 utfall. (2, 4, 6)
Sannsynlighet: 3/6=0,5

Eksempel 7. Vi kaster to terninger. Hva er sannsynligheten for at totalen blir 10? (avrund til nærmeste hundredel)

For én terning er det 6 mulige utfall. Dette betyr at for to, i henhold til regelen ovenfor, 6·6=36.
Hvilke utfall vil være gunstige for totalen til kast 10?
10 må dekomponeres i summen av to tall fra 1 til 6. Dette kan gjøres på to måter: 10=6+4 og 10=5+5. Dette betyr at følgende alternativer er mulige for kubene:
(6 på den første og 4 på den andre)
(4 på den første og 6 på den andre)
(5 på den første og 5 på den andre)
Totalt 3 alternativer. Nødvendig sannsynlighet: 3/36=1/12=0,08
Svar: 0,08

Andre typer B6-problemer vil bli diskutert i en fremtidig How to Solve-artikkel.

Viktige notater!
1. Hvis du ser gobbledygook i stedet for formler, tøm hurtigbufferen. Hvordan du gjør dette i nettleseren din er skrevet her:
2. Før du begynner å lese artikkelen, vær mest oppmerksom på navigatoren vår nyttig ressurs Til

Hva er sannsynlighet?

Første gang jeg møtte dette begrepet, ville jeg ikke ha forstått hva det var. Derfor vil jeg prøve å forklare tydelig.

Sannsynlighet er sjansen for at arrangementet vi ønsker skal skje.

For eksempel bestemte du deg for å gå til en venns hus, du husker inngangen og til og med gulvet han bor på. Men jeg glemte nummeret og plasseringen av leiligheten. Og nå står du på trappen, og foran deg er det dører å velge mellom.

Hva er sjansen (sannsynligheten) for at hvis du ringer den første ringeklokken, vil vennen din svare på døren for deg? Det er bare leiligheter, og en venn bor bare bak en av dem. Med lik sjanse kan vi velge hvilken som helst dør.

Men hva er denne sjansen?

Døren, den rette døren. Sannsynlighet for å gjette ved å ringe den første ringeklokken: . Det vil si at én av tre vil gjette nøyaktig.

Vi vil vite, etter å ha ringt en gang, hvor ofte vil vi gjette døren? La oss se på alle alternativene:

Du ringte 1 dør
Du ringte 2 dør
Du ringte 3 dør

La oss nå se på alle alternativene der en venn kan være:

EN. Bak 1 døren
b. Bak 2 døren
V. Bak 3 døren

La oss sammenligne alle alternativene i tabellform. En hake indikerer alternativer når valget ditt faller sammen med en venns plassering, et kryss - når det ikke stemmer.

Hvordan ser du alt Kan være alternativer din venns plassering og ditt valg av hvilken dør du vil ringe.

EN gunstige resultater for alt . Det vil si at du vil gjette én gang ved å ringe én gang på døren, dvs. .

Dette er sannsynligheten - forholdet mellom et gunstig resultat (når valget ditt faller sammen med vennens plassering) og tallet mulige hendelser.

Definisjonen er formelen. Sannsynlighet er vanligvis betegnet med p, derfor:

Det er ikke veldig praktisk å skrive en slik formel, så vi vil ta for - antall gunstige utfall, og for - det totale antallet utfall.

Sannsynligheten kan skrives som en prosentandel for å gjøre dette, må du multiplisere resultatet med:

Ordet "resultater" fanget sannsynligvis oppmerksomheten din. Fordi matematikere ringer ulike handlinger(i vårt land er en slik handling en dørklokke) eksperimenter, så kalles resultatet av slike eksperimenter vanligvis resultatet.

Vel, det er gunstige og ugunstige utfall.

La oss gå tilbake til vårt eksempel. La oss si at vi ringte på en av dørene, men den ble åpnet for oss fremmed. Vi gjettet ikke riktig. Hva er sannsynligheten for at hvis vi ringer på en av de gjenværende dørene, vil vennen vår åpne den for oss?

Hvis du trodde det, så er dette en feil. La oss finne ut av det.

Vi har to dører igjen. Så vi har mulige trinn:

1) Ring 1 dør
2) Ring 2 dør

Vennen, til tross for alt dette, står definitivt bak en av dem (han sto tross alt ikke bak den vi ringte):

a) Venn for 1 døren
b) Venn for 2 døren

La oss tegne tabellen igjen:

Som du kan se, er det bare alternativer, hvorav gunstige. Det vil si at sannsynligheten er lik.

Hvorfor ikke?

Situasjonen vi vurderte er eksempel avhengige hendelser. Den første hendelsen er den første ringeklokken, den andre hendelsen er den andre ringeklokken.

Og de kalles avhengige fordi de påvirker følgende handlinger. Tross alt, hvis ringeklokken ble besvart av en venn etter den første ringingen, hva ville sannsynligheten være for at han var bak en av de to andre? Ikke sant, .

Men hvis det er avhengige hendelser, så må det også være det uavhengig? Det stemmer, de skjer.

Et lærebokeksempel er å kaste en mynt.

Kast en mynt en gang. Hva er sannsynligheten for å få hoder, for eksempel? Det er riktig - fordi det er alle alternativene (enten hoder eller haler, la oss neglisjere sannsynligheten for at mynten lander på kanten), men det passer bare oss.
Men det kom opp i hodet. Ok, la oss kaste det igjen. Hva er sannsynligheten for å få hoder nå? Ingenting har endret seg, alt er det samme. Hvor mange alternativer? To. Hvor mange er vi fornøyd med? En.

Og la det komme opp i hodet minst tusen ganger på rad. Sannsynligheten for å få hoder med en gang vil være den samme. Det er alltid alternativer, og gunstige.

Det er lett å skille avhengige hendelser fra uavhengige:

Hvis eksperimentet utføres én gang (de kaster en mynt én gang, ringer på døren én gang osv.), så er hendelsene alltid uavhengige.
Hvis et eksperiment utføres flere ganger (en mynt kastes én gang, ringeklokken blir ringt flere ganger), er den første hendelsen alltid uavhengig. Og så, hvis antallet gunstige eller antallet av alle utfall endres, så er hendelsene avhengige, og hvis ikke, er de uavhengige.

La oss øve litt på å bestemme sannsynlighet.

Eksempel 1.

Mynten kastes to ganger. Hva er sannsynligheten for å få hoder to ganger på rad?

Løsning:

La oss vurdere alle mulige alternativer:

Ørn-ørn
Hoder-haler
Haler-Hoder
Haler-haler

Som du kan se, er det bare alternativer. Av disse er vi bare fornøyd. Det vil si sannsynligheten:

Hvis betingelsen bare ber om å finne sannsynligheten, bør svaret gis i skjemaet desimal. Hvis det var spesifisert at svaret skulle gis i prosent, så ville vi ganget med.

Svar:

Eksempel 2.

I en sjokoladeeske er alle sjokoladene pakket i samme innpakning. Men fra søtsaker - med nøtter, med cognac, med kirsebær, med karamell og med nougat.

Hva er sannsynligheten for å ta ett godteri og få et godteri med nøtter? Gi svaret ditt i prosent.

Løsning:

Hvor mange mulige utfall er det? .

Det vil si at hvis du tar ett godteri, vil det være et av de som er tilgjengelig i esken.

Hvor mange gunstige utfall?

Fordi boksen inneholder kun sjokolade med nøtter.

Svar:

Eksempel 3.

I en boks med ballonger. hvorav er hvite og svarte.

Hva er sannsynligheten for å tegne en hvit ball?
Vi la til flere svarte kuler i boksen. Hva er nå sannsynligheten for å tegne en hvit ball?

Løsning:

a) Det er bare baller i boksen. Av dem er hvite.

Sannsynligheten er:

b) Nå er det flere baller i boksen. Og det er like mange hvite igjen - .

Svar:

Total sannsynlighet

Sannsynligheten for alle mulige hendelser er lik ().

La oss si at det er røde og grønne kuler i en boks. Hva er sannsynligheten for å tegne en rød ball? Grønn ball? Rød eller grønn ball?

Sannsynlighet for å tegne en rød ball

Grønn ball:

Rød eller grønn ball:

Som du kan se, er summen av alle mulige hendelser lik (). Å forstå dette punktet vil hjelpe deg med å løse mange problemer.

Eksempel 4.

Det er markører i boksen: grønn, rød, blå, gul, svart.

Hva er sannsynligheten for å tegne IKKE en rød markør?

Løsning:

La oss telle tallet gunstige resultater.

IKKE en rød markør, det betyr grønn, blå, gul eller svart.

Sannsynligheten for at en hendelse ikke skal inntreffe er lik minus sannsynligheten for at hendelsen inntreffer.

Regelen for å multiplisere sannsynlighetene for uavhengige hendelser

Du vet allerede hva uavhengige hendelser er.

Hva om du trenger å finne sannsynligheten for at to (eller flere) uavhengige hendelser vil skje på rad?

La oss si at vi vil vite hva er sannsynligheten for at hvis vi slår en mynt én gang, vil vi se hoder to ganger?

Vi har allerede vurdert - .

Hva om vi kaster en mynt én gang? Hva er sannsynligheten for å se en ørn to ganger på rad?

Totalt mulige alternativer:

Ørn-ørn-ørn
Hoder-hoder-haler
Hoder-hale-hoder
Hoder-haler-haler
Haler-hoder-hoder
Haler-hoder-haler
Haler-haler-hoder
Haler-haler-haler

Jeg vet ikke om deg, men jeg gjorde feil flere ganger da jeg kompilerte denne listen. Wow! Og det eneste alternativet (første) passer oss.

For 5 kast kan du lage en liste over mulige utfall selv. Men matematikere er ikke like hardtarbeidende som deg.

Derfor la de først merke til og beviste deretter at sannsynligheten for en viss sekvens av uavhengige hendelser hver gang avtar med sannsynligheten for en hendelse.

Med andre ord,

La oss se på eksemplet med den samme skjebnesvangre mynten.

Sannsynlighet for å få hoder i en utfordring? . Nå snur vi mynten en gang.

Hva er sannsynligheten for å få hoder på rad?

Denne regelen fungerer ikke bare hvis vi blir bedt om å finne sannsynligheten for at den samme hendelsen vil skje flere ganger på rad.

Hvis vi ønsket å finne sekvensen TAILS-HEADS-TAILS for påfølgende kast, ville vi gjort det samme.

Sannsynligheten for å få haler er , hoder - .

Sannsynligheten for å få sekvensen TAILS-HEADS-TAILS-HALER:

Du kan sjekke det selv ved å lage en tabell.

Regelen for å legge til sannsynlighetene for uforenlige hendelser.

Så stopp! Ny definisjon.

La oss finne ut av det. La oss ta den utslitte mynten vår og kaste den en gang.
Mulige alternativer:

Ørn-ørn-ørn
Hoder-hoder-haler
Hoder-hale-hoder
Hoder-haler-haler
Haler-hoder-hoder
Haler-hoder-haler
Haler-haler-hoder
Haler-haler-haler

Så dette er uforenlige hendelser, dette er sikkert gitt sekvens arrangementer. - Dette er uforenlige hendelser.

Hvis vi vil bestemme hva som er sannsynligheten for to (eller flere) uforenlige hendelser så legger vi sammen sannsynlighetene for disse hendelsene.

Du må forstå at hoder eller haler er to uavhengige hendelser.

Hvis vi ønsker å bestemme sannsynligheten for at en sekvens (eller en annen) skal oppstå, bruker vi regelen om å multiplisere sannsynligheter.
Hva er sannsynligheten for å få hoder på det første kastet, og haler på det andre og tredje kastet?

Men hvis vi vil vite hva som er sannsynligheten for å få en av flere sekvenser, for eksempel når hoder kommer opp nøyaktig én gang, dvs. alternativer, og så må vi legge sammen sannsynlighetene for disse sekvensene.

Totale alternativer passer oss.

Vi kan få det samme ved å legge sammen sannsynlighetene for forekomst av hver sekvens:

Dermed legger vi til sannsynligheter når vi ønsker å bestemme sannsynligheten for visse, inkonsistente hendelsesforløp.

Det er en god regel som hjelper deg å unngå å bli forvirret når du skal multiplisere og når du skal legge til:

La oss gå tilbake til eksemplet der vi kastet en mynt en gang og ønsket å vite sannsynligheten for å se hoder en gang.
Hva kommer til å skje?

Skulle falle ut:
(hoder OG haler OG haler) ELLER (haler OG hoder OG haler) ELLER (haler OG haler OG hoder).
Slik blir det:

La oss se på noen få eksempler.

Eksempel 5.

Det er blyanter i esken. rød, grønn, oransje og gul og svart. Hva er sannsynligheten for å tegne røde eller grønne blyanter?

Løsning:

Eksempel 6.

Hvis en terning kastes to ganger, hva er sannsynligheten for å få totalt 8?

Løsning.

Hvordan kan vi få poeng?

(og) eller (og) eller (og) eller (og) eller (og).

Sannsynligheten for å få ett (hvilket som helst) ansikt er .

Vi beregner sannsynligheten:

Opplæring.

Jeg tror nå du forstår når du trenger å beregne sannsynligheter, når du skal legge dem til og når du skal multiplisere dem. Er det ikke? La oss øve litt.

Oppgaver:

La oss ta en kortstokk som inneholder kort inkludert spar, hjerter, 13 kløver og 13 ruter. Fra til ess i hver farge.

Hva er sannsynligheten for å trekke køller på rad (vi legger det første kortet trukket ut tilbake i bunken og blander det)?
Hva er sannsynligheten for å trekke et svart kort (spar eller kløver)?
Hva er sannsynligheten for å tegne et bilde (knekt, dame, konge eller ess)?
Hva er sannsynligheten for å tegne to bilder på rad (vi fjerner det første kortet som trekkes fra bunken)?
Hva er sannsynligheten for å samle en kombinasjon - (knekt, dame eller konge) og et ess Rekkefølgen kortene trekkes i spiller ingen rolle.

Svar:

Hvis du var i stand til å løse alle problemene selv, så er du stor! Nå vil du knekke problemer med sannsynlighetsteori i Unified State-eksamenen som nøtter!

SANNSYNLIGHETSTEORI. GJENNOMSNITTLIG NIVÅ

La oss se på et eksempel. La oss si at vi kaster en terning. Hva slags bein er dette, vet du? Dette er hva de kaller en kube med tall på ansiktene. Hvor mange ansikter, så mange tall: fra til hvor mange? Før.

Så vi kaster terningen og vi vil at den skal komme opp eller. Og vi skjønner det.

I sannsynlighetsteori sier de hva som skjedde gunstig begivenhet(ikke å forveksle med velstående).

Hvis det skjedde, ville også arrangementet vært gunstig. Totalt kan bare to gunstige hendelser skje.

Hvor mange er ugunstige? Siden det er totalt mulige hendelser, betyr det at de ugunstige er hendelser (dette er hvis eller faller ut).

Definisjon:

Sannsynlighet er forholdet mellom antall gunstige hendelser og antallet av alle mulige hendelser. Det vil si at sannsynlighet viser hvor stor andel av alle mulige hendelser som er gunstige.

Angir sannsynlighet latinsk bokstav(tilsynelatende fra engelsk ord sannsynlighet - sannsynlighet).

Det er vanlig å måle sannsynligheten i prosent (se emne). For å gjøre dette må sannsynlighetsverdien multipliseres med. I terningeksemplet, sannsynlighet.

Og i prosent: .

Eksempler (bestem selv):

Hva er sannsynligheten for å få hoder når du kaster en mynt? Hva er sannsynligheten for å lande hoder?
Hva er sannsynligheten for å få et partall når du kaster en terning? Og hvilken er rar?
I en boks med enkle, blå og røde blyanter. Vi tegner en blyant tilfeldig. Hva er sannsynligheten for å få en enkel en?

Løsninger:

Hvor mange alternativer er det? Hoder og haler - bare to. Hvor mange av dem er gunstige? Bare én er en ørn. Så sannsynligheten
Det er det samme med haler: .
Totale alternativer: (hvor mange sider har kuben, så mange ulike alternativer). Gunstige: (disse er alle partall:).
Sannsynlighet. Selvfølgelig er det det samme med oddetall.
Total: . Gunstig: . Sannsynlighet: .

Total sannsynlighet

Alle blyanter i boksen er grønne. Hva er sannsynligheten for å tegne en rød blyant? Det er ingen sjanser: sannsynlighet (tross alt, gunstige hendelser -).

En slik hendelse kalles umulig.

Hva er sannsynligheten for å tegne en grønn blyant? Det er nøyaktig samme antall gunstige arrangementer som det er totalt arrangementer (alle arrangementer er gunstige). Så sannsynligheten er lik eller.

En slik hendelse kalles pålitelig.

Hvis en boks inneholder grønne og røde blyanter, hva er sannsynligheten for å tegne grønt eller rødt? Men igjen. La oss merke dette: sannsynligheten for å trekke ut grønn er lik, og rød er lik.

I sum er disse sannsynlighetene nøyaktig like. Det er, summen av sannsynlighetene for alle mulige hendelser er lik eller.

Eksempel:

I en boks med blyanter, blant dem er blå, rød, grønn, vanlig, gul, og resten er oransje. Hva er sannsynligheten for ikke å tegne grønt?

Løsning:

Vi husker at alle sannsynligheter summerer seg. Og sannsynligheten for å bli grønn er lik. Dette betyr at sannsynligheten for ikke å tegne grønt er lik.

Husk dette trikset: Sannsynligheten for at en hendelse ikke skal inntreffe er lik minus sannsynligheten for at hendelsen inntreffer.

Uavhengige hendelser og multiplikasjonsregelen

Du slår en mynt én gang og vil at den skal komme opp begge gangene. Hva er sannsynligheten for dette?

La oss gå gjennom alle mulige alternativer og finne ut hvor mange det er:

Hoder-hoder, haler-hoder, hoder-haler, haler-haler. Hva annet?

Totale alternativer. Av disse er det bare en som passer oss: Eagle-Eagle. Totalt er sannsynligheten lik.

Fint. La oss slå en mynt en gang. Gjør regnestykket selv. Skjedd? (svar).

Du har kanskje lagt merke til at med tillegg av hvert påfølgende kast, reduseres sannsynligheten med det halve. Generell regel kalt multiplikasjonsregel:

Sannsynlighetene for uavhengige hendelser endres.

Hva er uavhengige hendelser? Alt er logisk: dette er de som ikke er avhengige av hverandre. For eksempel, når vi kaster en mynt flere ganger, hver gang det gjøres et nytt kast, resultatet av dette er ikke avhengig av alle tidligere kast. Vi kan like gjerne kaste to forskjellige mynter samtidig.

Flere eksempler:

Terningene kastes to ganger. Hva er sannsynligheten for at det kommer opp begge gangene?
Mynten kastes én gang. Hva er sannsynligheten for at den vil komme opp med hodet første gang, og deretter haler to ganger?
Spilleren kaster to terninger. Hva er sannsynligheten for at summen av tallene på dem blir lik?

Svar:

Hendelsene er uavhengige, noe som betyr at multiplikasjonsregelen fungerer: .
Sannsynligheten for hoder er lik. Sannsynligheten for haler er den samme. Multiplisere:
12 kan bare oppnås hvis to -ki rulles: .

Inkompatible hendelser og tilleggsregelen

Hendelser som utfyller hverandre kalles inkompatible. full sannsynlighet. Som navnet antyder, kan de ikke skje samtidig. For eksempel, hvis vi snur en mynt, kan den komme opp enten hode eller haler.

Eksempel.

I en boks med blyanter, blant dem er blå, rød, grønn, vanlig, gul, og resten er oransje. Hva er sannsynligheten for å tegne grønt eller rødt?

Løsning .

Sannsynligheten for å tegne en grønn blyant er lik. Rød - .

Gunstige hendelser i alt: grønn + rød. Dette betyr at sannsynligheten for å tegne grønt eller rødt er lik.

Den samme sannsynligheten kan representeres i denne formen: .

Dette er tilleggsregelen: sannsynligheten for uforenlige hendelser summerer seg.

Problemer med blandede typer

Eksempel.

Mynten kastes to ganger. Hva er sannsynligheten for at resultatene av rullene blir annerledes?

Løsning .

Dette betyr at hvis det første resultatet er hoder, må det andre være haler, og omvendt. Det viser seg at det er to par uavhengige hendelser, og disse parene er uforenlige med hverandre. Hvordan ikke bli forvirret om hvor du skal multiplisere og hvor du skal legge til.

Det er en enkel regel for slike situasjoner. Prøv å beskrive hva som skal skje ved å bruke konjunksjonene "OG" eller "ELLER". For eksempel, i dette tilfellet:

Den skal komme opp (hoder og haler) eller (haler og hoder).

Der det er en konjunksjon "og" vil det være multiplikasjon, og der det er "eller" vil det være addisjon:

Prøv selv:

Hva er sannsynligheten for at hvis en mynt kastes to ganger, vil mynten lande på samme side begge gangene?
Terningene kastes to ganger. Hva er sannsynligheten for å få totalt poeng?

Løsninger:

Et annet eksempel:

Kast en mynt en gang. Hva er sannsynligheten for at hoder dukker opp minst én gang?

Løsning:

SANNSYNLIGHETSTEORI. KORT OM DE VIKTIGSTE TINGENE

Sannsynlighet er forholdet mellom antall gunstige hendelser og antallet av alle mulige hendelser.

Uavhengige arrangementer

To hendelser er uavhengige hvis forekomsten av den ene ikke endrer sannsynligheten for at den andre inntreffer.

Total sannsynlighet

Sannsynligheten for alle mulige hendelser er lik ().

Sannsynligheten for at en hendelse ikke skal inntreffe er lik minus sannsynligheten for at hendelsen inntreffer.

Regelen for å multiplisere sannsynlighetene for uavhengige hendelser

Sannsynligheten for en viss sekvens av uavhengige hendelser er lik produktet av sannsynlighetene for hver hendelse

Inkompatible hendelser

Inkompatible hendelser er de som umulig kan oppstå samtidig som et resultat av et eksperiment. En serie uforenlige hendelser dannes hel gruppe arrangementer.

Sannsynlighetene for uforenlige hendelser summerer seg.

Etter å ha beskrevet hva som skal skje, bruker vi konjunksjonene "AND" eller "OR", i stedet for "AND" setter vi et multiplikasjonstegn, og i stedet for "OR" legger vi et addisjonstegn.

Vel, emnet er over. Hvis du leser disse linjene, betyr det at du er veldig kul.

Fordi bare 5 % av mennesker er i stand til å mestre noe på egen hånd. Og hvis du leser til slutten, så er du på disse 5%!

Nå er det viktigste.

Du har forstått teorien om dette emnet. Og, jeg gjentar, dette... dette er bare supert! Du er allerede bedre enn de aller fleste av dine jevnaldrende.

Problemet er at dette kanskje ikke er nok...

For hva?

Til vellykket gjennomføring Unified State Exam, for opptak til college på et budsjett og, VIKTIGST, for livet.

Jeg vil ikke overbevise deg om noe, jeg vil bare si en ting...

Folk som har fått god utdanning tjener mye mer enn de som ikke har fått den. Dette er statistikk.

Men dette er ikke hovedsaken.

Hovedsaken er at de er MER LYKKELIG (det finnes slike studier). Kanskje fordi det er mye mer åpent foran dem flere muligheter og livet blir lysere? Vet ikke...

Men tenk selv...

Hva skal til for å være sikker på å være bedre enn andre på Unified State-eksamenen og til slutt bli... lykkeligere?

FÅ HÅNDEN DIN VED Å LØSE PROBLEMER OM DETTE EMNET.

Du vil ikke bli spurt om teori under eksamen.

Du vil trenge løse problemer mot tiden.

Og hvis du ikke har løst dem (MYE!), vil du definitivt gjøre en dum feil et sted eller rett og slett ikke ha tid.

Det er som i sport - du må gjenta det mange ganger for å vinne sikkert.

Finn samlingen hvor du vil, nødvendigvis med løsninger, detaljert analyse og bestemme, bestemme, bestemme!

Du kan bruke oppgavene våre (valgfritt) og vi anbefaler dem selvfølgelig.

For å bli bedre til å bruke oppgavene våre, må du bidra til å forlenge levetiden til YouClever-læreboken du leser nå.

Hvordan? Det er to alternativer:

Lås opp alle skjulte oppgaver i denne artikkelen -
Lås opp tilgang til alle skjulte oppgaver i alle de 99 artiklene i læreboken - Kjøp en lærebok - 499 RUR

Ja, vi har 99 slike artikler i læreboken vår og tilgang til alle oppgaver og alle skjulte tekster i dem kan åpnes umiddelbart.

Tilgang til alle skjulte oppgaver er gitt for HELE nettstedets levetid.

For å konkludere...

Hvis du ikke liker oppgavene våre, finn andre. Bare ikke stopp ved teorien.

«Forstått» og «Jeg kan løse» er helt forskjellige ferdigheter. Du trenger begge deler.

Finn problemer og løs dem!

I bloggen min, en oversettelse av neste forelesning av kurset "Principles of Game Balance" av spilldesigner Jan Schreiber, som jobbet med prosjekter som Marvel Trading Card Game og Playboy: the Mansion.

Til nå har nesten alt vi har snakket om vært deterministisk, og forrige uke tok vi en nærmere titt på transitiv mekanikk, og gikk i så mange detaljer som jeg kan forklare. Men til nå har vi ikke tatt hensyn til et annet aspekt ved mange spill, nemlig de ikke-deterministiske aspektene – med andre ord tilfeldighet.

Å forstå tilfeldighetens natur er veldig viktig for spilldesignere. Vi lager systemer som påvirker brukerens opplevelse i et gitt spill, så vi må vite hvordan disse systemene fungerer. Hvis det er tilfeldighet i et system, må vi forstå arten av denne tilfeldigheten og vite hvordan vi kan endre den for å få de resultatene vi trenger.

Terning

La oss starte med noe enkelt – å kaste terning. Når de fleste tenker på terninger, tenker de på en sekssidig terning kjent som en d6. Men de fleste spillere har sett mange andre terninger: tetraedrisk (d4), åttekantet (d8), tolvsidig (d12), tjuesidig (d20). Hvis du er en ekte nerd, har du kanskje 30- eller 100-sidige terninger et sted.

Hvis du ikke er kjent med terminologien, står d for die, og tallet etter det er antall sider den har. Hvis tallet vises før d, indikerer det antall terninger som skal kastes. For eksempel, i spillet Monopol kaster du 2d6.

Så i dette tilfellet er uttrykket "terninger". symbol. Det er et stort antall andre tilfeldige tallgeneratorer som ikke ser ut som plastfigurer, men utfører samme funksjon - generere tilfeldig tall fra 1 til n. En vanlig mynt kan også representeres som en dihedral terning d2.

Jeg så to design med syvsidige terninger: en av dem så ut som en terning, og den andre så mer ut som en syvsidig treblyant. Den tetraedriske dreidelen, også kjent som titotum, ligner på det tetraedriske beinet. Det spinnende pilbrettet i Chutes & Ladders, hvor poengsummen kan variere fra 1 til 6, tilsvarer en sekssidig terning.

En datamaskins tilfeldige tallgenerator kan lage et hvilket som helst tall fra 1 til 19 hvis designeren spesifiserer det, selv om datamaskinen ikke har en 19-sidig terning (generelt vil jeg snakke mer om sannsynligheten for at tall kommer opp på en datamaskin neste uke). Alle disse elementene ser forskjellige ut, men i virkeligheten er de likeverdige: du har lik sjanse for hvert av flere mulige utfall.

Terningene har noen interessante egenskaper som vi trenger å vite om. For det første er sannsynligheten for å lande noen av terningene den samme (jeg antar at du kaster den rette terningen). geometrisk form). Hvis du vil vite gjennomsnittsverdien av et kast (for de som er i sannsynlighet, er dette kjent som forventet verdi), legg sammen verdiene på alle kantene og del det tallet på antall kanter.

Summen av verdiene av alle sidene for en standard sekssidig terning er 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Del 21 med antall sider og få gjennomsnittsverdien av kastet: 21 / 6 = 3,5. Dette et spesielt tilfelle, fordi vi antar at alle utfall er like sannsynlige.

Hva om du har spesielle terninger? For eksempel så jeg et spill med en sekssidig terning med spesielle klistremerker på sidene: 1, 1, 1, 2, 2, 3, så det oppfører seg som en merkelig tresidig terning som flere sjanser at tallet vil være en 1 i stedet for en 2, og at en 2 er mer sannsynlig å bli kastet enn en 3. Hva er gjennomsnittsverdien av kastet for denne terningen? Så, 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10, delt på 6 - det viser seg 5 / 3, eller omtrent 1,66. Så hvis du har en spesiell terning og spillerne kaster tre terninger og legger sammen resultatene - vet du at deres kast vil summere seg til omtrent 5, og du kan balansere spillet basert på den antakelsen.

Terninger og uavhengighet

Som jeg allerede har sagt, går vi ut fra antagelsen om at hver side er like sannsynlig å falle ut. Det spiller ingen rolle hvor mange terninger du kaster. Hvert terningkast er uavhengig, noe som betyr at tidligere kast ikke påvirker resultatene av de påfølgende. Gitt nok prøvelser, vil du garantert legge merke til et mønster av tall - for eksempel rullering for det meste høyere eller lavere verdier - eller andre funksjoner, men det betyr ikke at terningene er "varme" eller "kalde". Vi snakker om dette senere.

Hvis du kaster en standard sekssidig terning og tallet 6 kommer opp to ganger på rad, er sannsynligheten for at neste kast vil resultere i en 6-er nøyaktig 1/6. Sannsynligheten øker ikke fordi terningen har "varmet opp". . Samtidig reduseres ikke sannsynligheten: Det er feil å resonnere at tallet 6 allerede har kommet opp to ganger på rad, noe som betyr at nå skal en annen side komme opp.

Selvfølgelig, hvis du kaster en terning tjue ganger og får en 6 hver gang, er sjansen for at den tjueførste gangen du kaster en 6 ganske høy: kanskje du bare har feil terning. Men hvis terningen er rettferdig, har hver side samme sannsynlighet for å lande, uavhengig av resultatene av de andre kastene. Du kan også forestille deg at vi bytter terningen hver gang: hvis tallet 6 kastes to ganger på rad, fjern den "varme" terningen fra spillet og erstatt den med en ny. Jeg beklager hvis noen av dere allerede visste om dette, men jeg måtte rydde opp i dette før jeg gikk videre.

Hvordan få terningene til å rulle mer eller mindre tilfeldig

La oss snakke om hvordan du får forskjellige resultater på forskjellige terninger. Enten du kaster en terning bare én eller flere ganger, vil spillet føles mer tilfeldig når terningen har flere sider. Jo oftere du må kaste terningen, og jo flere terninger du kaster, jo mer nærmer resultatene seg gjennomsnittet.

For eksempel, i tilfelle 1d6 + 4 (det vil si hvis du kaster en standard sekssidig terning én gang og legger til 4 til resultatet), vil gjennomsnittet være et tall mellom 5 og 10. Hvis du kaster 5d2, vil gjennomsnittet være et tall mellom 5 og 10. vil også være et tall mellom 5 og 10. Resultatene av å rulle 5d2 vil hovedsakelig være tallene 7 og 8, sjeldnere andre verdier. Samme serie, til og med samme gjennomsnittsverdi (i begge tilfeller 7,5), men tilfeldighetens natur er forskjellig.

Vent litt. Sa jeg ikke akkurat at terninger ikke "varmer" eller "kjøler"? Nå sier jeg: hvis du kaster mange terninger, vil resultatene av kastene nærme seg gjennomsnittet. Hvorfor?

La meg forklare. Hvis du kaster én terning, har hver side samme sannsynlighet for å lande. Dette betyr at hvis du kaster mange terninger over tid, vil hver side komme opp omtrent like mange ganger. Jo flere terninger du kaster, jo mer vil totalresultatet nærme seg gjennomsnittet.

Dette er ikke fordi tallet som trekkes "tvinger" et annet tall som ennå ikke er trukket. Men fordi en liten serie med å rulle ut tallet 6 (eller 20, eller et annet tall) til slutt ikke vil påvirke resultatet så mye hvis du kaster terningen ti tusen ganger til og stort sett vil gjennomsnittstallet komme opp. Nå vil du få noen store tall, og senere noen små - og over tid vil de komme nærmere gjennomsnittet.

Dette er ikke fordi tidligere kast påvirker terningene (seriøst, terninger er laget av plast, de har ikke hjernen til å tenke "Åh, det er en stund siden du kastet en 2"), men fordi dette er det som vanligvis skjer når du kaster mange terninger

Dermed er det ganske enkelt å gjøre beregninger for ett tilfeldig kast med en terning - i det minste for å beregne gjennomsnittsverdien av kastet. Det finnes også måter å beregne "hvor tilfeldig" noe er og si at resultatene av å rulle 1d6+4 vil være "mer tilfeldig" enn 5d2. For 5d2 vil rullene fordeles jevnere. For å gjøre dette må du beregne standardavviket: jo større verdi, jo mer tilfeldig blir resultatene. Jeg vil ikke gi så mange beregninger i dag. Jeg vil forklare dette emnet senere.

Det eneste jeg vil be deg om å huske er at, som en generell regel, jo færre terninger du kaster, jo større tilfeldighet. Og jo flere sider en terning har, jo større er tilfeldigheten, siden det er flere mulige verdialternativer.

Hvordan beregne sannsynlighet ved å bruke telling

Du lurer kanskje på: hvordan kan vi beregne den nøyaktige sannsynligheten for å få et bestemt resultat? Faktisk er dette ganske viktig for mange spill: hvis du først kaster terningen - mest sannsynlig er det et slags optimalt resultat. Mitt svar er: vi må beregne to verdier. For det første, totalt antall utfall når du kaster en terning, og for det andre antallet gunstige utfall. Å dele den andre verdien med den første vil gi deg ønsket sannsynlighet. For å få prosenten, multipliser resultatet med 100.

Eksempler

Her er et veldig enkelt eksempel. Du vil at tallet 4 eller høyere skal kaste den sekssidige terningen én gang. Maksimalt antall utfall er 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Av disse er 3 utfall (4, 5, 6) gunstige. Dette betyr at for å regne ut sannsynligheten deler vi 3 på 6 og får 0,5 eller 50 %.

Her er et eksempel litt mer komplisert. Du vil rulle 2d6 partall. Maksimalt antall utfall er 36 (6 alternativer for hver terning, en terning påvirker ikke den andre, så multipliser 6 med 6 og få 36). Problemets vanskelighetsgrad av denne typen er at det er lett å telle to ganger. For eksempel, når du kaster 2d6, er det to mulige utfall av 3: 1+2 og 2+1. De ser like ut, men forskjellen er hvilket nummer som vises på den første terningen og hvilket nummer som vises på den andre.

Du kan også forestille deg at terningen forskjellige farger: Så, for eksempel, i dette tilfellet er en terning rød, den andre er blå. Tell deretter antall alternativer for å rulle et partall:

2 (1+1);
4 (1+3);
4 (2+2);
4 (3+1);
6 (1+5);
6 (2+4);
6 (3+3);
6 (4+2);
6 (5+1);
8 (2+6);
8 (3+5);
8 (4+4);
8 (5+3);
8 (6+2);
10 (4+6);
10 (5+5);
10 (6+4);
12 (6+6).

Det viser seg at det er 18 alternativer for et gunstig utfall av 36 - som i forrige tilfelle er sannsynligheten 0,5 eller 50%. Kanskje uventet, men ganske nøyaktig.

Monte Carlo-simulering

Hva om du har for mange terninger for denne utregningen? For eksempel vil du vite hva sannsynligheten er for å få totalt 15 eller mer når du kaster 8d6. For åtte terninger er det stort utvalg forskjellige resultater, og å telle dem manuelt ville ta veldig lang tid - selv om vi fant en god løsning for å gruppere forskjellige serier med terningkast.

I dette tilfellet er den enkleste måten ikke å telle manuelt, men å bruke en datamaskin. Det er to måter å beregne sannsynlighet på en datamaskin. Den første metoden kan gi deg et nøyaktig svar, men det innebærer litt programmering eller skripting. Datamaskinen vil gå gjennom hver mulighet, evaluere og telle totalt antall iterasjoner og antall iterasjoner som samsvarer ønsket resultat, og gi deretter svarene. Koden din kan se omtrent slik ut på følgende måte:

Hvis du ikke forstår programmering og trenger et omtrentlig svar fremfor et eksakt, kan du simulere denne situasjonen i Excel, hvor du ruller 8d6 flere tusen ganger og får svaret. For å rulle 1d6 i Excel, bruk formelen =GULV(RAND()*6)+1.

Det er et navn på situasjonen når du ikke vet svaret og bare prøver mange ganger - Monte Carlo-simulering. Dette er en flott løsning å bruke når det er for vanskelig å beregne sannsynligheten. Det fine er at i dette tilfellet trenger vi ikke å forstå hvordan regnestykket fungerer, og vi vet at svaret vil være "ganske bra" fordi, som vi allerede vet, jo flere kast, jo nærmere blir resultatet gjennomsnitt.

Hvordan kombinere uavhengige forsøk

Hvis du spør om flere gjenta men uavhengige tester, så påvirker ikke utfallet av ett kast utfallet av andre kast. Det er en annen enklere forklaring på denne situasjonen.

Hvordan skille mellom noe avhengig og uavhengig? I utgangspunktet, hvis du kan isolere hvert kast (eller serie av kast) av en terning som en separat hendelse, så er den uavhengig. La oss for eksempel si at vi kaster 8d6 og vil ha totalt 15. Denne hendelsen kan ikke deles inn i flere uavhengige terningkast. For å få resultatet regner man ut summen av alle verdiene, så resultatet som kommer opp på en terning påvirker resultatene som skal komme opp på de andre.

Her er et eksempel på uavhengige kast: Du spiller et terningspill, og du kaster sekssidige terninger flere ganger. Det første kastet må være 2 eller høyere for å forbli i spillet. For det andre kastet - 3 eller høyere. Den tredje krever 4 eller høyere, den fjerde krever 5 eller høyere, og den femte krever 6. Hvis alle fem kast er vellykkede, vinner du. I dette tilfellet er alle kast uavhengige. Ja, hvis ett kast ikke lykkes, vil det påvirke utfallet av hele spillet, men ett kast påvirker ikke det andre. For eksempel, hvis ditt andre terningkast er veldig vellykket, betyr ikke dette at de neste kastene blir like gode. Derfor kan vi vurdere sannsynligheten for hvert terningkast separat.

Hvis du har uavhengige sannsynligheter og du vil vite hva sannsynligheten er for at alle hendelsene skjer, bestemmer du hver enkelt sannsynlighet og multipliserer dem sammen. En annen måte: hvis du bruker konjunksjonen "og" for å beskrive flere forhold (for eksempel, hva er sannsynligheten for forekomsten av en tilfeldig hendelse og en annen uavhengig tilfeldig hendelse?) - tell de individuelle sannsynlighetene og multipliser dem.

Uansett hva du tror, legg aldri sammen uavhengige sannsynligheter. Dette er en vanlig feil. For å forstå hvorfor dette er feil, se for deg en situasjon der du kaster en mynt og vil vite hva sannsynligheten er for å få hoder to ganger på rad. Sannsynligheten for at hver side faller ut er 50 %. Legger du sammen disse to sannsynlighetene får du 100 % sjanse for å få hoder, men vi vet at det ikke stemmer fordi det kunne ha vært haler to ganger på rad. Hvis du i stedet multipliserer de to sannsynlighetene, får du 50 % * 50 % = 25 % – som er riktig svar for å regne ut sannsynligheten for å få hoder to ganger på rad.

Eksempel

La oss gå tilbake til det sekssidige terningspillet, hvor du først må kaste et tall større enn 2, deretter større enn 3 - og så videre til 6. Hva er sjansene for at i en gitt serie på fem kast vil alle utfall være gunstige ?

Som nevnt ovenfor er dette uavhengige forsøk, så vi beregner sannsynligheten for hvert enkelt kast og multipliserer dem deretter. Sannsynligheten for at utfallet av det første kastet vil være gunstig er 5/6. Andre - 4/6. Tredje - 3/6. Den fjerde - 2/6, den femte - 1/6. Vi multipliserer alle resultatene med hverandre og får omtrent 1,5 %. Gevinster i dette spillet er ganske sjeldne, så hvis du legger til dette elementet i spillet ditt, trenger du en ganske stor jackpot.

Negasjon

Her er en annen nyttig hint: Noen ganger er det vanskelig å beregne sannsynligheten for at en hendelse skal inntreffe, men det er lettere å fastslå sjansene for at hendelsen ikke skal inntreffe. La oss for eksempel si at vi har et annet spill: du kaster 6d6 og vinner hvis du kaster 6 minst én gang. Hva er sannsynligheten for å vinne?

I dette tilfellet er det mange alternativer å vurdere. Det er mulig at ett tall 6 vil bli kastet, det vil si at en av terningene vil vise tallet 6, og de andre vil vise tallene fra 1 til 5, da er det 6 alternativer for hvilken av terningene som vil vise 6. Du kan få tallet 6 på to terninger, eller tre, eller enda flere, og hver gang må du gjøre en egen beregning, så det er lett å bli forvirret her.

Men la oss se på problemet fra den andre siden. Du vil tape hvis ingen av terningene kaster 6. I dette tilfellet har vi 6 uavhengige forsøk. Sannsynligheten for at hver terning kaster et annet tall enn 6 er 5/6. Multipliser dem og du får omtrent 33%. Dermed er sannsynligheten for å tape én av tre. Derfor er sannsynligheten for å vinne 67 % (eller to til tre).

Fra dette eksemplet er det åpenbart: hvis du beregner sannsynligheten for at en hendelse ikke vil skje, må du trekke resultatet fra 100%. Hvis sannsynligheten for å vinne er 67 %, er sannsynligheten for å tape 100 % minus 67 %, eller 33 %, og omvendt. Hvis det er vanskelig å beregne én sannsynlighet, men lett å beregne det motsatte, regner du det motsatte og trekker deretter dette tallet fra 100 %.

Vi kombinerer betingelsene for én uavhengig test

Jeg sa like ovenfor at du aldri bør legge til sannsynligheter på tvers av uavhengige forsøk. Er det noen tilfeller hvor det er mulig å summere sannsynlighetene? Ja, i en spesiell situasjon.

Hvis du ønsker å beregne sannsynligheten for flere ikke-relaterte gunstige utfall på en enkelt prøve, summerer du sannsynlighetene for hvert gunstige utfall. For eksempel er sannsynligheten for å kaste en 4, 5 eller 6 på 1d6 lik summen av sannsynligheten for å kaste en 4, sannsynligheten for å kaste en 5, og sannsynligheten for å kaste en 6. Denne situasjonen kan tenkes på denne måten: hvis du bruker konjunksjonen "eller" i et spørsmål om sannsynlighet (for eksempel, hva er sannsynligheten for et eller annet utfall av en tilfeldig hendelse?) - tell de individuelle sannsynlighetene og summer dem.

Vennligst merk: når du beregner alle mulige utfall av et spill, må summen av sannsynlighetene for at de inntreffer, være lik 100 %, ellers ble beregningen din gjort feil. Dette er en god måte å dobbeltsjekke beregningene dine på. For eksempel analyserte du sannsynligheten for alle kombinasjoner i poker. Legger du sammen alle resultatene dine bør du få nøyaktig 100 % (eller i det minste ganske nær 100 %: bruker du kalkulator kan det oppstå en liten avrundingsfeil, men legger du opp de nøyaktige tallene for hånd, vil alt bør legge sammen). Hvis summen ikke konvergerer, betyr det at du mest sannsynlig ikke har tatt hensyn til noen kombinasjoner eller beregnet sannsynlighetene for noen kombinasjoner feil, og beregningene må dobbeltsjekkes.

Ulik sannsynlighet

Så langt har vi antatt at hver side av en terning kastes med samme frekvens, fordi det er slik terninger ser ut til å fungere. Men noen ganger kan du støte på en situasjon der forskjellige utfall er mulig og de har forskjellige odds for å bli trukket.

For eksempel, i en av utvidelsene til Nuclear War-kortspillet er det et spillefelt med en pil, som resultatet av en rakettoppskyting avhenger av. Oftest gir den normal skade, sterkere eller svakere, men noen ganger blir skaden doblet eller tredoblet, eller raketten eksploderer utskytningsrampe og skader deg, eller en annen hendelse inntreffer. I motsetning til pilbrettet i Chutes & Ladders eller A Game of Life, er spillebrettets resultater i Nuclear War ujevne. Noen deler av spillefeltet er større og pilen stopper på dem mye oftere, mens andre deler er veldig små og pilen stopper sjelden på dem.

Så ved første øyekast ser terningen omtrent slik ut: 1, 1, 1, 2, 2, 3 - vi har allerede snakket om det, det er noe som en vektet 1d3. Derfor må vi dele alle disse seksjonene i like deler, finne den minste måleenheten, divisoren som alt er et multiplum av, og deretter representere situasjonen i form av d522 (eller en annen), der settet med terninger ansikter vil representere samme situasjon, nese stort beløp utfall. Dette er en måte å løse problemet på, og det er teknisk mulig, men det er et enklere alternativ.

La oss gå tilbake til våre standard sekssidige terninger. Vi har sagt at for å beregne gjennomsnittlig kast for en vanlig terning må du legge sammen verdiene på alle flatene og dele på antall flater, men hvordan fungerer beregningen? Det er en annen måte å uttrykke dette på. For en sekssidig terning er sannsynligheten for at hver side kastes nøyaktig 1/6. Nå multipliserer vi utfallet av hver kant med sannsynligheten for det utfallet (i dette tilfellet 1/6 for hver kant), og legger så sammen de resulterende verdiene. Oppsummering (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) ), får vi samme resultat (3,5) som i beregningen ovenfor. Faktisk teller vi på denne måten hver gang: vi multipliserer hvert utfall med sannsynligheten for det utfallet.

Kan vi gjøre samme beregning for pilen på spillefeltet i atomkrig? Selvfølgelig kan vi det. Og hvis vi summerer alle resultatene som er funnet, får vi gjennomsnittsverdien. Alt vi trenger å gjøre er å beregne sannsynligheten for hvert utfall for pilen på spillebrettet og gange med utfallsverdien.

Et annet eksempel

Denne metoden for å beregne gjennomsnittet er også egnet hvis resultatene er like sannsynlige, men har forskjellige fordeler - for eksempel hvis du kaster en terning og vinner mer på noen sider enn andre. La oss for eksempel ta et kasinospill: du legger en innsats og kaster 2d6. Hvis tre tall kommer opp med laveste verdi(2, 3, 4) eller fire tall med høy verdi (9, 10, 11, 12) - du vil vinne et beløp som tilsvarer innsatsen din. Tallene med de laveste og høyeste verdiene er spesielle: Hvis du kaster en 2 eller en 12, vinner du to ganger innsatsen din. Hvis et annet tall kastes (5, 6, 7, 8), vil du tape innsatsen din. Det er pent enkelt spill. Men hva er sannsynligheten for å vinne?

La oss starte med å telle hvor mange ganger du kan vinne. Maksimalt antall utfall når du kaster 2d6 er 36. Hva er antallet gunstige utfall?

Det er 1 alternativ for at en 2 skal kastes, og 1 mulighet for at en 12 vil bli kastet.
Det er 2 alternativer som 3 vil rulle og 2 alternativer som 11 vil rulle.
Det er 3 alternativer som en 4 vil kaste, og 3 alternativer som en 10 vil rulle.
Det er 4 alternativer for å rulle en 9.

Oppsummerer vi alle alternativene får vi 16 gunstige utfall av 36. Dermed vil du under normale forhold vinne 16 ganger av 36 mulige - sannsynligheten for å vinne er litt mindre enn 50%.

Men i to tilfeller av disse seksten vil du vinne dobbelt så mye - det er som å vinne to ganger. Hvis du spiller dette spillet 36 ganger, satser $1 hver gang, og hvert av alle mulige utfall kommer opp én gang, vil du vinne totalt $18 (faktisk vil du vinne 16 ganger, men to av dem vil telle som to seire). Hvis du spiller 36 ganger og vinner $18, betyr ikke det at oddsen er like?

Ta den tiden du trenger. Hvis du teller antall ganger du kan tape, ender du opp med 20, ikke 18. Hvis du spiller 36 ganger og satser $1 hver gang, vil du vinne totale mengden$18 hvis alle gunstige utfall inntreffer. Men du vil tape totalt $20 hvis du får alle de 20 ugunstige resultatene. Som et resultat vil du falle litt bakpå: du taper i snitt $2 netto for hver 36 kamp (du kan også si at du taper gjennomsnittlig 1/18 dollar per dag). Nå ser du hvor lett det er å gjøre en feil i dette tilfellet og beregne sannsynligheten feil.

Omorganisering

Så langt har vi antatt at rekkefølgen på tallene ved terningkast ikke spiller noen rolle. Å rulle 2 + 4 er det samme som å rulle 4 + 2. I de fleste tilfeller teller vi manuelt antall gunstige utfall, men noen ganger denne metoden er upraktisk og det er bedre å bruke en matematisk formel.

Et eksempel på denne situasjonen er fra Farkle-terningspillet. For hver ny runde kaster du 6d6. Hvis du er heldig og får alle mulige resultater 1-2-3-4-5-6 (straight), vil du motta en stor bonus. Hva er sannsynligheten for at dette skjer? I dette tilfellet er det mange alternativer for å få denne kombinasjonen.

Løsningen er som følger: én av terningene (og kun én) må ha tallet 1. Hvor mange måter kan tallet 1 vises på én terning? Det er 6 alternativer, siden det er 6 terninger, og hvilken som helst av dem kan falle på tallet 1. Følgelig, ta en terning og legg den til side. Nå skal en av de gjenværende terningene kaste tallet 2. Det er 5 alternativer for dette. Ta en annen terning og sett den til side. Da kan 4 av de gjenværende terningene lande en 3, 3 av de gjenværende terningene kan lande en 4, og 2 av de gjenværende terningene kan lande en 5. Dette etterlater deg med én terning som skal lande en 6 (i sistnevnte tilfelle det er bare én terning, og det er ikke noe valg).

For å beregne antall gunstige utfall for å treffe en straight, multipliserer vi alle de forskjellige uavhengige mulighetene: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1=720 - det ser ut til å være ganske mange muligheter for denne kombinasjonen å komme opp .

For å beregne sannsynligheten for å få en straight, må vi dele 720 på antallet av alle mulige utfall for å rulle 6d6. Hva er antallet av alle mulige utfall? Hver terning kan ha 6 sider, så vi multipliserer 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 46656 (et mye større tall enn den forrige). Del 720 med 46656 og vi får en sannsynlighet på omtrent 1,5 %. Hvis du designet dette spillet, ville det være nyttig for deg å vite dette, slik at du kan lage et poengsystem tilsvarende. Nå forstår vi hvorfor du i Farkle får en så stor bonus hvis du får en straight: dette er en ganske sjelden situasjon.

Resultatet er også interessant av en annen grunn. Eksempelet viser hvor sjelden det i løpet av en kort periode oppstår et resultat som tilsvarer sannsynlighet. Selvfølgelig, hvis vi skulle kaste flere tusen terninger, forskjellige ansikter terninger kom opp ganske ofte. Men når vi bare kaster seks terninger, skjer det nesten aldri at hvert ansikt kommer opp. Det blir klart at det er dumt å forvente at det nå vil dukke opp en linje som ennå ikke har skjedd, fordi "vi har ikke rullet tallet 6 på lenge." Hør her, tilfeldig tallgeneratoren din er ødelagt.

Dette leder oss til den vanlige misoppfatningen at alle utfall skjer med samme frekvens over en kort periode. Hvis vi kaster terninger flere ganger, vil frekvensen på hver side som faller ut ikke være den samme.

Hvis du noen gang har jobbet med et nettspill med en slags tilfeldig tallgenerator før, har du mest sannsynlig støtt på en situasjon der en spiller skriver til teknisk støtte og klager over at tilfeldig tallgeneratoren ikke viser tilfeldige tall. Han kom til denne konklusjonen fordi han drepte 4 monstre på rad og mottok 4 nøyaktig de samme belønningene, og disse belønningene skulle bare dukke opp 10 % av tiden, så dette burde åpenbart nesten aldri skje.

Du gjør en matematisk beregning. Sannsynligheten er 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10, det vil si at 1 utfall av 10 tusen er ganske sjeldent tilfelle. Dette er hva spilleren prøver å fortelle deg. Er det et problem i dette tilfellet?

Alt avhenger av omstendighetene. Hvor mange spillere er på serveren din for øyeblikket? La oss si at du har et ganske populært spill og 100 tusen mennesker spiller det hver dag. Hvor mange spillere kan drepe fire monstre på rad? Muligens alle, flere ganger om dagen, men la oss anta at halvparten av dem bare bytter forskjellige gjenstander på auksjoner, korresponderer på RP-servere, eller utfører andre spillhandlinger - dermed jakter bare halvparten på monstre. Hva er sannsynligheten for at noen får samme belønning? I denne situasjonen kan du forvente at dette skjer minst flere ganger om dagen.

Forresten, dette er grunnen til at det virker som om noen vinner i lotto med noen få ukers mellomrom, selv om den personen aldri har vært deg eller noen du kjenner. Hvis nok folk spiller regelmessig, er sjansen stor for at det vil være minst én heldig spiller et sted. Men hvis du spiller i lotto selv, er det lite sannsynlig at du vinner, men du vil heller bli invitert til å jobbe på Infinity Ward.

Kort og avhengighet

Vi diskuterte uavhengige hendelser, som å kaste en terning, og nå vet vi mye kraftige verktøy analyse av tilfeldighet i mange spill. Å beregne sannsynlighet er litt mer komplisert når det kommer til å trekke kort fra bunken, fordi hvert kort vi trekker påvirker de som er igjen i bunken.

Hvis du har en standard kortstokk med 52 kort, fjerner du 10 hjerter fra den og vil vite sannsynligheten for at neste kort vil være av samme farge - sannsynligheten har endret seg fra originalen fordi du allerede har fjernet ett kort i fargen av hjerter fra kortstokken. Hvert kort du fjerner endrer sannsynligheten for at neste kort dukker opp i bunken. I dette tilfellet forrige arrangement påvirker følgende, så vi kaller dette sannsynlighetsavhengig.

Vær oppmerksom på at når jeg sier "kort" snakker jeg om enhver spillmekaniker der du har et sett med objekter og du fjerner en av objektene uten å erstatte den. En "kortstokk" i dette tilfellet er analog med en pose med sjetonger som du tar en sjetong fra, eller en urne som fargede baller tas fra (jeg har aldri sett spill med en urne som fargede baller tas fra, men lærere av sannsynlighetsteori i henhold til hvilken grunn til at dette eksemplet er foretrukket).

Avhengighetsegenskaper

Jeg vil gjerne presisere at når vi snakker om angående kortene, jeg antar at du tar ut kortene, ser på dem og fjerner dem fra bunken. Hver av disse handlingene er en viktig egenskap. Hvis jeg hadde en kortstokk med, for eksempel, seks kort med tallene 1 til 6, ville jeg blandet dem og trukket ett kort, for så å blande alle seks kortene igjen - dette vil ligne på å kaste en sekssidig terning, fordi ett resultat har ingen effekt for påfølgende. Og hvis jeg tar ut kort og ikke erstatter dem, så ved å ta ut kort 1 øker jeg sannsynligheten for at jeg neste gang trekker et kort med tallet 6. Sannsynligheten vil øke til jeg til slutt fjerner det kortet eller stokk dekk.

Det at vi ser på kort er også viktig. Hvis jeg tar et kort ut av bunken og ikke ser på det, vil jeg ikke ha det tilleggsinformasjon og faktisk vil sannsynligheten ikke endre seg. Dette kan høres motintuitivt ut. Hvordan kan en enkel snu på et kort magisk endre sannsynligheten? Men det er mulig fordi du kan beregne sannsynligheten for ukjente gjenstander bare ut fra det du vet.

For eksempel, hvis du blander en standard kortstokk og avslører 51 kort og ingen av dem er en kløverdronning, kan du være 100 % sikker på at det gjenværende kortet er en kløverdronning. Hvis du blander en standard kortstokk og tar ut 51 kort uten å se på dem, er sannsynligheten for at det gjenværende kortet er en kløverdronning fortsatt 1/52. Når du åpner hvert kort, får du mer informasjon.

Å beregne sannsynligheten for avhengige hendelser følger de samme prinsippene som for uavhengige hendelser, bortsett fra at det er litt mer komplisert fordi sannsynlighetene endres etter hvert som du avslører kort. Så du må multiplisere mye forskjellige betydninger, i stedet for å multiplisere samme verdi. Hva dette egentlig betyr er at vi må kombinere alle beregningene vi gjorde i én kombinasjon.

Eksempel

Du blander en standard kortstokk med 52 kort og trekker to kort. Hva er sannsynligheten for at du vil trekke et par? Det er flere måter å beregne denne sannsynligheten på, men den enkleste er kanskje denne: hva er sannsynligheten for at hvis du trekker ett kort, vil du ikke kunne trekke et par? Denne sannsynligheten er null, så det spiller ingen rolle hvilket første kort du trekker, så lenge det samsvarer med det andre. Det spiller ingen rolle hvilket kort vi trekker først, vi har fortsatt en sjanse til å trekke et par. Derfor er sannsynligheten for å trekke et par etter at det første kortet er trukket 100 %.

Hva er sannsynligheten for at det andre kortet stemmer med det første? Det er 51 kort igjen i bunken, og 3 av dem matcher det første kortet (faktisk ville det vært 4 av 52, men du fjernet allerede ett av de matchende kortene da du trakk det første kortet), så sannsynligheten er 1/ 17. Så neste gang du spiller Texas Hold'em, sier fyren over bordet fra deg: «Kult, et annet par? Jeg føler meg heldig i dag," vil du vite at det er stor sannsynlighet for at han bløffer.

Hva om vi legger til to jokere slik at vi har 54 kort i kortstokken og vil vite hva sannsynligheten for å trekke et par er? Det første kortet kan være en joker, og da vil det bare være ett kort i bunken som matcher, og ikke tre. Hvordan finne sannsynligheten i dette tilfellet? Vi deler sannsynlighetene og multipliserer hver mulighet.

Vårt første kort kan være en joker eller et annet kort. Sannsynligheten for å trekke en joker er 2/54, sannsynligheten for å trekke et annet kort er 52/54. Hvis det første kortet er en joker (2/54), så er sannsynligheten for at det andre kortet vil matche det første 1/53. Vi multipliserer verdiene (vi kan multiplisere dem fordi de er separate hendelser og vi vil at begge hendelsene skal skje) og vi får 1/1431 - mindre enn en tiendedel av en prosent.

Hvis du trekker et annet kort først (52/54), er sannsynligheten for å matche det andre kortet 3/53. Vi multipliserer verdiene og får 78/1431 (litt mer enn 5,5%). Hva gjør vi med disse to resultatene? De krysser ikke hverandre, og vi vil vite sannsynligheten for hver av dem, så vi legger til verdiene. Vi får et sluttresultat på 79/1431 (fortsatt ca. 5,5%).

Hvis vi ville være sikre på nøyaktigheten til svaret, kunne vi beregne sannsynligheten for alle de andre mulige utfallene: å trekke en joker og ikke matche et kort nummer to, eller trekke et annet kort og ikke matche et kort nummer to. Ved å summere disse sannsynlighetene og sannsynligheten for å vinne, ville vi fått nøyaktig 100%. Jeg vil ikke gi matematikken her, men du kan prøve matematikken for å dobbeltsjekke.

Monty Hall-paradokset

Dette bringer oss til et ganske kjent paradoks som ofte forvirrer mange mennesker - Monty Hall-paradokset. Paradokset er oppkalt etter programlederen for TV-programmet Let's Make a Deal For de som aldri har sett dette TV-programmet, var det det motsatte av The Price Is Right.

På The Price Is Right er verten (Bob Barker pleide å være verten; hvem er det nå, Drew Carey? Never mind) din venn. Han vil at du skal vinne penger eller kule premier. Den prøver å gi deg alle muligheter til å vinne, så lenge du kan gjette hvor mye varene kjøpt av sponsorene faktisk er verdt.

Monty Hall oppførte seg annerledes. Han var som Bob Barkers onde tvilling. Målet hans var å få deg til å se ut som en idiot på nasjonal TV. Hvis du var på showet, var han motstanderen din, du spilte mot ham, og oddsen var i hans favør. Kanskje jeg er for tøff, men ser på showet som det er mer sannsynlig at du kommer inn i hvis du har på deg et latterlig kostyme, det er akkurat det jeg kommer til.

En av de mest kjente memene i showet var dette: det er tre dører foran deg, dør nummer 1, dør nummer 2 og dør nummer 3. Du kan velge én dør gratis. Bak en av dem ligger en praktfull premie – for eksempel en ny bil. Det er ingen premier bak de to andre dørene, som begge er uten verdi. De skal ydmyke deg, så bak dem er ikke bare ingenting, men noe dumt, for eksempel en geit eller en enorm tube med tannkrem - alt annet enn en ny bil.

Du velger en av dørene, Monty er i ferd med å åpne den for å fortelle deg om du vant eller ikke... men vent. Før vi finner ut av det, la oss ta en titt på en av de dørene du ikke valgte. Monty vet hvilken dør premien er bak, og han kan alltid åpne døren som ikke har en premie bak seg. «Velger du dør nummer 3? Så la oss åpne dør nummer 1 for å vise at det ikke var noen premie bak." Og nå, av generøsitet, tilbyr han deg muligheten til å bytte den valgte dør nummer 3 mot det som er bak dør nummer 2.

På dette tidspunktet oppstår spørsmålet om sannsynlighet: øker denne muligheten din sannsynlighet for å vinne, eller reduserer den, eller forblir den uendret? Hvordan tror du?

Riktig svar: muligheten til å velge en annen dør øker sannsynligheten for å vinne fra 1/3 til 2/3. Dette er ulogisk. Hvis du ikke har støtt på dette paradokset før, så tenker du mest sannsynlig: vent, hvordan kan det ha seg at ved å åpne en dør, endret vi på magisk vis sannsynligheten? Som vi allerede har sett med kart, er det akkurat dette som skjer når vi får mer informasjon. Det er klart, når du velger for første gang, er sannsynligheten for å vinne 1/3. Når en dør åpnes, endrer det ikke sannsynligheten for å vinne for førstevalget i det hele tatt: sannsynligheten er fortsatt 1/3. Men sannsynligheten for at den andre døren er riktig er nå 2/3.

La oss se på dette eksemplet fra et annet perspektiv. Du velger en dør. Sannsynligheten for å vinne er 1/3. Jeg foreslår at du endrer de to andre dørene, som er det Monty Hall gjør. Jada, han åpner en av dørene for å avsløre at det ikke er noen premie bak, men han kan alltid gjøre det, så det endrer egentlig ingenting. Selvfølgelig vil du velge en annen dør.

Hvis du ikke helt forstår spørsmålet og trenger en mer overbevisende forklaring, klikk på denne lenken for å bli ført til en flott liten Flash-applikasjon som lar deg utforske dette paradokset mer detaljert. Du kan spille med rundt 10 dører og deretter gradvis jobbe deg opp til et spill med tre dører. Det er også en simulator der du kan spille med et hvilket som helst antall dører fra 3 til 50, eller kjøre flere tusen simuleringer og se hvor mange ganger du ville vunnet hvis du spilte.

Velg en av tre dører - sannsynligheten for å vinne er 1/3. Nå har du to strategier: endre valget ditt etter å ha åpnet feil dør eller ikke. Hvis du ikke endrer valget ditt, vil sannsynligheten forbli 1/3, siden valget skjer bare på det første stadiet, og du må gjette med en gang. Hvis du endrer, så kan du vinne hvis du først velger feil dør (så åpner de en annen feil, den rette gjenstår - ved å endre avgjørelsen din tar du den). Sannsynligheten for å velge feil dør i begynnelsen er 2/3 – så det viser seg at ved å endre avgjørelsen dobler du sannsynligheten for å vinne.
Merknad fra læreren høyere matematikk og spillbalansespesialist Maxim Soldatov - Schreiber hadde henne selvfølgelig ikke, men uten henne kan du forstå dette magisk transformasjon hardt nok

Og igjen om Monty Hall-paradokset

Når det gjelder selve showet: selv om Monty Halls motstandere ikke var gode i matematikk, var han god til det. Her er hva han gjorde for å endre spillet litt. Hvis du valgte en dør som hadde en premie bak seg, som hadde 1/3 sjanse for å skje, ville den alltid tilby deg muligheten til å velge en annen dør. Du velger en bil og deretter bytter den ut med en geit, og du vil se ganske dum ut - som er akkurat det du vil, siden Hall er en slags ond fyr.

Men hvis du velger en dør som ikke har en premie bak seg, vil han bare be deg om å velge en annen halve tiden, eller så vil han bare vise deg den nye geiten din og du forlater scenen. La oss analysere dette nytt spill, der Monty Hall kan bestemme om du vil tilby deg muligheten til å velge en annen dør eller ikke.

Anta at han følger denne algoritmen: hvis du velger en dør med en premie, gir han deg alltid muligheten til å velge en annen dør, ellers er det like sannsynlig at han vil tilby deg å velge en annen dør eller gi deg en geit. Hva er sannsynligheten din for å vinne?

I en av tre alternativer du velger umiddelbart døren som premien er plassert bak, og programlederen inviterer deg til å velge en annen.

Av de resterende to alternativene av tre (du velger i utgangspunktet en dør uten premie), i halvparten av tilfellene vil programlederen tilby deg å endre avgjørelsen din, og i den andre halvparten av tilfellene - ikke.

Halvparten av 2/3 er 1/3, det vil si at i ett tilfelle av tre vil du få en geit, i ett tilfelle av tre vil du velge feil dør og verten vil be deg velge en annen, og i en tilfelle av tre vil du velge riktig dør, men han igjen vil han tilby en annen.

Hvis programlederen tilbyr å velge en annen dør, vet vi allerede at det ene tilfellet av tre, når han gir oss en geit og vi går, ikke skjedde. Dette nyttig informasjon: det betyr at vinnersjansene våre har endret seg. To tilfeller av tre når vi har mulighet til å velge: i det ene tilfellet betyr det at vi gjettet riktig, og i det andre at vi gjettet feil, så hvis vi i det hele tatt ble tilbudt muligheten til å velge, så er sannsynligheten for at vi vinner er 1/2, og fra et matematisk synspunkt spiller det ingen rolle om du blir ved valget ditt eller velger en annen dør.

Som poker er det et psykologisk spill, ikke et matematisk. Hvorfor ga Monty deg et valg? Han tror at du er en enkeling som ikke vet at å velge en annen dør er den "riktige" avgjørelsen og vil hardnakket holde fast ved valget hans (tross alt psykologisk situasjonen er mer komplisert, når du valgte en bil og så mistet den)?

Eller gir han deg denne sjansen, som bestemmer deg for at du er smart og vil velge en annen dør, fordi han vet at du gjettet riktig i utgangspunktet og vil bli hekta? Eller kanskje han er ukarakteristisk snill og presser deg til å gjøre noe som vil være til nytte for deg fordi han ikke har gitt bort biler på en stund og produsentene sier at publikum begynner å kjede seg og det ville være bedre å gi bort en stor premie snart. synker rangeringene?

På denne måten klarer Monty noen ganger å tilby et valg, og samtidig samlet sannsynlighet gevinsten forblir lik 1/3. Husk at sannsynligheten for at du taper direkte er 1/3. Sjansen for at du gjetter riktig med en gang er 1/3, og 50 % av disse gangene vinner du (1/3 x 1/2 = 1/6).

Sjansen for at du først gjetter feil, men så har en sjanse til å velge en annen dør er 1/3, og halvparten av disse gangene vil du vinne (også 1/6). Legg sammen to uavhengige vinnermuligheter og du får en sannsynlighet på 1/3, så det spiller ingen rolle om du holder fast ved valget ditt eller velger en annen dør - din totale vinnersannsynlighet gjennom hele spillet er 1/3.

Sannsynligheten blir ikke større enn i situasjonen da du gjettet døren og programlederen rett og slett viste deg hva som lå bak, uten å tilby deg å velge en annen. Poenget med forslaget er ikke å endre sannsynligheten, men å gjøre beslutningsprosessen morsommere å se på TV.

Forresten, dette er en av grunnene til at poker kan være så interessant: i de fleste formater, mellom runder når innsatsen gjøres (for eksempel floppen, turn og river i Texas Hold'em), avsløres kort gradvis, og hvis du i begynnelsen av spillet har én sjanse til å vinne, så etter hver budrunde, når den er åpen flere kort, endres denne sannsynligheten.

Gutte- og jenteparadoks

Dette bringer oss til et annet velkjent paradoks, som som regel forvirrer alle - paradokset til gutten og jenta. Det eneste jeg skriver om i dag som ikke er direkte relatert til spill (selv om jeg antar at jeg bare skal oppmuntre deg til å lage passende spillmekanikk). Dette er mer et puslespill, men interessant, og for å løse det må du forstå betinget sannsynlighet, som vi snakket om ovenfor.

Problem: Jeg har en venn med to barn, minst en av dem er en jente. Hva er sannsynligheten for at det andre barnet også er en jente? La oss anta at i enhver familie er sjansen for å få en jente og en gutt 50/50, og dette er sant for hvert barn.

Faktisk har noen menn mer sperm med et X-kromosom eller et Y-kromosom i spermiene, så oddsen endres litt. Hvis du vet at ett barn er en jente, er sannsynligheten for å få en annen jente litt høyere, og det er andre forhold, for eksempel hermafroditisme. Men for å løse dette problemet, vil vi ikke ta hensyn til dette og anta at fødselen av et barn er uavhengig begivenhet og fødselen av en gutt og en jente er like sannsynlig.

Siden vi snakker om en sjanse på 1/2, forventer vi intuitivt at svaret mest sannsynlig vil være 1/2 eller 1/4, eller et annet tall som er et multiplum av to i nevneren. Men svaret er 1/3. Hvorfor?

Vanskeligheten her er at informasjonen vi har reduserer antall muligheter. Anta at foreldrene er fans av Sesame Street og, uansett kjønn på barna, kalte dem A og B. Under normale forhold er det fire like sannsynlige muligheter: A og B er to gutter, A og B er to jenter, A er en gutt og B er en jente, A er en jente og B er en gutt. Siden vi vet at minst ett barn er en jente, kan vi utelukke at A og B er to gutter. Dette gir oss tre muligheter - fortsatt like sannsynlige. Hvis alle muligheter er like sannsynlige og det er tre av dem, så er sannsynligheten for hver av dem 1/3. Bare i ett av disse tre alternativene er begge barn jenter, så svaret er 1/3.

Og igjen om paradokset til en gutt og en jente

Løsningen på problemet blir enda mer ulogisk. Tenk deg at venninnen min har to barn og en av dem er en jente som ble født på tirsdag. La oss anta at under normale forhold kan et barn bli født på hver av ukens syv dager med like stor sannsynlighet. Hva er sannsynligheten for at det andre barnet også er en jente?

Du tror kanskje svaret fortsatt vil være 1/3: hva betyr tirsdag? Men selv i dette tilfellet svikter vår intuisjon oss. Svaret er 13/27, som ikke bare er uintuitivt, men veldig merkelig. Hva er i veien i denne saken?

Tirsdag endrer faktisk sannsynligheten fordi vi ikke vet hvilket barn som ble født på tirsdag, eller kanskje begge ble født på tirsdag. I dette tilfellet bruker vi samme logikk: vi teller alt mulige kombinasjoner, når minst ett barn er en jente født på tirsdag. Som i forrige eksempel, la oss anta at barna heter A og B. Kombinasjonene ser slik ut:

A er en jente som ble født på tirsdag, B er en gutt (i denne situasjonen er det 7 muligheter, en for hver ukedag da en gutt kunne blitt født).
B er en jente født på tirsdag, A er en gutt (også 7 muligheter).
A - en jente som ble født på tirsdag, B - en jente som ble født en annen dag i uken (6 muligheter).
B er en jente som ble født på tirsdag, A er en jente som ikke ble født på tirsdag (også 6 sannsynligheter).
A og B er to jenter som ble født på tirsdag (1 mulighet, du må være oppmerksom på dette for ikke å telle to ganger).

Vi legger sammen og får 27 forskjellige like mulige kombinasjoner av barnefødsler og dager med minst en mulighet for at en jente blir født på tirsdag. Av disse er det 13 muligheter når to jenter blir født. Dette virker også helt ulogisk – virker det som denne oppgaven ble bare oppfunnet for å forårsake hodepine. Hvis du fortsatt lurer, har spillteoretiker Jesper Juhls nettsider en god forklaring på dette problemet.

Hvis du jobber med et spill

Hvis det er en tilfeldighet i spillet du designer, er dette en fin tid for å analysere det. Velg et element du vil analysere. Spør deg selv først hva du forventer at sannsynligheten for et gitt element skal være, hva det bør være i konteksten av spillet.

For eksempel, hvis du lager en rollespill og lurer på hvor sannsynligheten skal være for at spilleren vil beseire et monster i kamp, spør deg selv hva prosentdelå vinne virker riktig for deg. Vanligvis med konsoll-RPG-er blir spillere veldig opprørte når de taper, så det er best om de taper sjelden - 10 % av tiden eller mindre. Hvis du er en RPG-designer, vet du sannsynligvis bedre enn meg, men du må ha det grunnleggende idé, hva bør være sannsynligheten.

Spør deg selv om sannsynlighetene dine er avhengige (som med kort) eller uavhengige (som med terninger). Analyser alle mulige utfall og deres sannsynligheter. Pass på at summen av alle sannsynligheter er 100 %. Og, selvfølgelig, sammenligne resultatene med dine forventninger. Klarer du å kaste terningene eller trekke kort slik du hadde tenkt, eller er det klart at verdiene må justeres. Og, selvfølgelig, hvis du finner noen mangler, kan du bruke de samme beregningene for å bestemme hvor mye du skal endre verdiene.

Hjemmelekse

Leksene dine denne uken vil hjelpe deg med å finpusse sannsynlighetsferdighetene dine. Her er to terningspill og et kortspill som du skal analysere ved hjelp av sannsynlighet, samt en merkelig spillmekaniker jeg en gang utviklet som skal teste Monte Carlo-metoden.

Spill #1 - Dragon Bones

Dette er et terningspill som kollegene mine og jeg en gang fant på (takket være Jeb Heavens og Jesse King) – det blåser spesifikt folks sinn med sine sannsynligheter. Det er et enkelt kasinospill kalt Dragon Dice, og det er en gambling terningkonkurranse mellom spilleren og huset.

Du får en vanlig terning på 1d6. Målet med spillet er å rulle et tall høyere enn husets. Tom får en ikke-standard 1d6 - den samme som din, men på en av ansiktene i stedet for en enhet er det et bilde av en drage (dermed har kasinoet en drageterning - 2-3-4-5-6 ). Hvis huset får en drage, vinner den automatisk og du taper. Hvis begge får samme nummer- det er remis og du kaster terningen igjen. Den som kaster det høyeste tallet vinner.

Selvfølgelig fungerer ikke alt helt i spillerens favør, fordi kasinoet har en fordel i form av dragekanten. Men er dette virkelig sant? Det er dette du må regne ut. Men sjekk intuisjonen din først.

La oss si at oddsen er 2 til 1. Så hvis du vinner, beholder du innsatsen din og får dobbel innsats. For eksempel, hvis du satser 1 dollar og vinner, beholder du den dollaren og får 2 til på toppen, for totalt 3 dollar. Hvis du taper, taper du bare innsatsen din. Ville du spilt? Føler du intuitivt at sannsynligheten er større enn 2 til 1, eller tror du fortsatt at den er mindre? Med andre ord, i gjennomsnitt over 3 kamper, forventer du å vinne mer enn én gang, eller mindre eller én gang?

Når du har funnet ut av intuisjonen din, bruk matematikk. Det er bare 36 mulige posisjoner for begge terningene, så du kan telle alle uten problemer. Hvis du ikke er sikker på det 2-for-1-tilbudet, bør du vurdere dette: La oss si at du spilte spillet 36 ganger (ved $1 hver gang). For hver seier får du 2 dollar, for hvert tap taper du 1, og uavgjort endrer ingenting. Beregn alle dine sannsynlige gevinster og tap og avgjør om du vil tape eller få noen dollar. Spør deg selv hvor riktig intuisjonen din var. Og så innse hvilken skurk jeg er.

Og, ja, hvis du allerede har tenkt på dette spørsmålet - jeg forvirrer deg bevisst ved å feilrepresentere den faktiske mekanikken til terningspill, men jeg er sikker på at du kan overvinne denne hindringen med bare en liten tanke. Prøv å løse dette problemet selv.

Spill nr. 2 - Kast for flaks

Dette gambling i en terning som kalles «Luck Throw» (også «Birdcage» fordi noen ganger blir ikke terningene kastet, men plassert i et stort trådbur, som minner om buret fra Bingo). Spillet er enkelt og koker i bunn og grunn til dette: sats for eksempel $1 på et tall fra 1 til 6. Så kaster du 3d6. For hver terning som lander nummeret ditt, får du $1 (og beholder din opprinnelige innsats). Hvis nummeret ditt ikke kommer opp på noen av terningene, får kasinoet dollaren din og du får ingenting. Så hvis du satser på 1 og får 1 på sidene tre ganger, får du $3.

Intuitivt ser det ut til at dette spillet har like sjanser. Hver terning er en individuell vinnersjans på 1 av 6, så over summen av de tre kast er vinnersjansen din 3 av 6. Men husk selvfølgelig at du legger til tre separate terninger, og du har bare lov til å legg til hvis vi snakker om separate vinnende kombinasjoner av samme terning. Noe du trenger for å multiplisere.

Når du har beregnet alle mulige utfall (sannsynligvis lettere å gjøre i Excel enn for hånd, siden det er 216 av dem), ser spillet fortsatt rart ut, selv ved første øyekast. Faktisk har kasinoet fortsatt større sjanse til å vinne – hvor mye mer? Nærmere bestemt, hvor mye penger forventer du i gjennomsnitt å tape hver spillerunde?

Alt du trenger å gjøre er å legge sammen gevinstene og tapene for alle 216 resultatene og deretter dele på 216, noe som burde være ganske enkelt. Men, som du kan se, er det flere fallgruver her, og det er derfor jeg sier: Hvis du tror dette spillet har en jevn sjanse til å vinne, tar du feil.

Spill #3 - 5 Card Stud Poker

Hvis du allerede har varmet opp til de forrige spillene, la oss sjekke ut hva vi vet om betinget sannsynlighet, bruker dette kortspillet som et eksempel. La oss forestille oss et pokerspill med en kortstokk på 52 kort. La oss også forestille oss 5 card stud, hvor hver spiller bare mottar 5 kort. Du kan ikke kaste et kort, du kan ikke trekke et nytt, det er ingen delt kortstokk - du får bare 5 kort.

En Royal Flush er 10-J-Q-K-A i én hånd, det er fire totalt, så det er fire mulige måter få en royal flush. Regn ut sannsynligheten for at du får en slik kombinasjon.

Jeg må advare deg om én ting: husk at du kan trekke disse fem kortene i hvilken som helst rekkefølge. Det vil si, først kan du trekke et ess eller en ti, det spiller ingen rolle. Så mens du gjør regnestykket, husk at det faktisk er mer enn fire måter å få royal flush på, forutsatt at kortene ble delt ut i rekkefølge.

Spill nr. 4 - IMF Lotteri

Det fjerde problemet kan ikke løses så enkelt ved hjelp av metodene vi snakket om i dag, men du kan enkelt simulere situasjonen ved hjelp av programmering eller Excel. Det er på eksemplet med dette problemet du kan regne ut Monte Carlo-metoden.

Jeg nevnte tidligere spillet Chron X, som jeg en gang jobbet med, og det var et veldig interessant kort der - IMF-lotteriet. Slik fungerte det: du brukte det i spillet. Etter at runden var over, ble kortene omfordelt, og det var en 10 % sjanse for at kortet ville gå ut av spill og at en tilfeldig spiller ville motta 5 enheter av hver type ressurs hvis token var til stede på det kortet. Kortet ble spilt inn uten en eneste sjetong, men hver gang det forble i spill i begynnelsen av neste runde, fikk det én sjetong.

Så det var 10 % sjanse for at hvis du satte den i spill, ville runden slutte, kortet ville forlate spillet, og ingen ville få noe. Hvis dette ikke skjer (90 % sjanse), er det 10 % sjanse (faktisk 9 %, siden det er 10 % av 90 %) for at hun i neste runde forlater spillet og noen vil motta 5 enheter med ressurser. Hvis kortet forlater spillet etter en runde (10 % av de 81 % som er tilgjengelig, så sannsynligheten er 8,1 %), vil noen motta 10 enheter, en ny runde - 15, en annen - 20, og så videre. Spørsmål: Hva er den generelle forventede verdien av antallet ressurser du vil få fra dette kortet når det endelig forlater spillet?

Normalt ville vi prøve å løse dette problemet ved å beregne muligheten for hvert utfall og multiplisere med antallet av alle utfall. Det er 10 % sjanse for at du får 0 (0,1 * 0 = 0). 9 % at du vil motta 5 enheter med ressurser (9 % * 5 = 0,45 ressurser). 8,1 % av det du får er 10 (8,1 %*10=0,81 ressurser – samlet forventet verdi). Og så videre. Og så vil vi oppsummere det hele.

Og nå er problemet åpenbart for deg: det er alltid en sjanse for at kortet ikke forlater spillet, det kan forbli i spillet for alltid, for uendelig antall runder, så det er ingen måte å beregne enhver sannsynlighet på. Metodene vi har lært i dag tillater oss ikke å beregne uendelig rekursjon, så vi må lage den kunstig.

Hvis du er god nok til å programmere, skriv et program som vil simulere dette kartet. Du bør ha en tidsløkke som bringer variabelen til en startposisjon på null, viser et tilfeldig tall og med 10 % sjanse for at variabelen går ut av loopen. Ellers legger den til 5 til variabelen og loopen gjentas. Når den endelig går ut av loopen, øker du det totale antallet prøvekjøringer med 1 og det totale antallet ressurser (med hvor mye avhenger av hvor variabelen havner). Tilbakestill deretter variabelen og start på nytt.

Kjør programmet flere tusen ganger. Til slutt deler du det totale antallet ressurser med det totale antallet kjøringer - dette vil være din forventede Monte Carlo-verdi. Kjør programmet flere ganger for å sikre at tallene du får er omtrent like. Hvis spredningen fortsatt er stor, øk antall repetisjoner i den ytre løkken til du begynner å få fyrstikker. Du kan være sikker på at alle tallene du ender opp med vil være tilnærmet riktige.

Hvis du er ny på programmering (selv om du er det), her er en rask øvelse for å teste Excel-ferdighetene dine. Hvis du er en spilldesigner, vil disse ferdighetene aldri være overflødige.

Nå vil if og rand-funksjonene være veldig nyttige for deg. Rand krever ikke verdier, den produserer bare en tilfeldig desimaltall fra 0 til 1. Vi kombinerer det vanligvis med gulv og plusser og minuser for å simulere terningkastet som jeg nevnte tidligere. Men i dette tilfellet gir vi bare 10 % sjanse for at kortet forlater spillet, så vi kan bare sjekke om randverdien er mindre enn 0,1 og ikke bekymre oss for det lenger.

If har tre betydninger. I rekkefølge: en betingelse som enten er sann eller usann, deretter en verdi som returneres hvis betingelsen er sann, og en verdi som returneres hvis betingelsen er usann. Så neste funksjon vil returnere 5 % av tiden, og 0 de resterende 90 % av tiden: =HVIS(RAND()<0.1,5,0) .

Det er mange måter å sette denne kommandoen på, men jeg vil bruke denne formelen for cellen som representerer den første runden, la oss si at det er celle A1: =HVIS(RAND()<0.1,0,-1) .

Her bruker jeg en negativ variabel for å bety "dette kortet har ikke forlatt spillet og har ikke gitt opp noen ressurser ennå." Så hvis første runde er over og kortet forlater spillet, er A1 0; ellers er det –1.

For neste celle som representerer andre runde: =HVIS(A1>-1, A1, HVIS(RAND()<0.1,5,-1)) . Så hvis den første runden ble avsluttet og kortet umiddelbart forlot spillet, er A1 0 (antall ressurser), og denne cellen vil ganske enkelt kopiere den verdien. Ellers er A1 -1 (kortet har ennå ikke forlatt spillet), og denne cellen fortsetter å bevege seg tilfeldig: 10 % av tiden vil den returnere 5 enheter med ressurser, resten av tiden vil verdien fortsatt være lik -1. Hvis vi bruker denne formelen på flere celler, får vi flere runder, og hvilken celle du ender opp med vil gi deg det endelige resultatet (eller -1 hvis kortet aldri forlot spillet etter alle rundene du spilte).

Ta den raden med celler, som representerer den eneste runden med det kortet, og kopier og lim inn flere hundre (eller tusen) rader. Vi kan kanskje ikke gjøre en uendelig test for Excel (det er et begrenset antall celler i en tabell), men vi kan i det minste dekke de fleste tilfeller. Velg deretter en celle der du vil plassere gjennomsnittet av resultatene fra alle runder - Excel gir nyttig en gjennomsnittsfunksjon for dette.

På Windows kan du i det minste trykke F9 for å beregne alle tilfeldige tall på nytt. Som før, gjør dette flere ganger og se om du får de samme verdiene. Hvis spredningen er for stor, doble antall kjøringer og prøv igjen.

Uløste problemer

Hvis du tilfeldigvis har en grad i sannsynlighetsteori og problemene ovenfor virker for enkle for deg, her er to problemer jeg har klø meg i hodet i årevis, men dessverre er jeg ikke god nok i matematikk til å løse dem.

Uløst problem #1: IMF-lotteri

Det første uløste problemet er den forrige hjemmeoppgaven. Jeg kan enkelt bruke Monte Carlo-metoden (ved å bruke C++ eller Excel) og være trygg på svaret på spørsmålet "hvor mange ressurser vil spilleren motta", men jeg vet ikke nøyaktig hvordan jeg skal gi et nøyaktig bevisbart svar matematisk (det er en uendelig serie).

Uløst problem #2: Sekvenser av figurer

Dette problemet (det går også langt utover oppgavene som er løst i denne bloggen) ble gitt til meg av en spillervenn for mer enn ti år siden. Mens han spilte blackjack i Vegas, la han merke til en interessant ting: da han fjernet kort fra en 8-dekks sko, så han ti figurer på rad (figuren eller ansiktskortet er 10, Joker, Konge eller Dronning, så det er 16 i totalt i en standard kort med 52 kortstokker eller 128 i en sko med 416 kort).

Hva er sannsynligheten for at denne skoen inneholder minst én sekvens med ti eller flere figurer? La oss anta at de ble blandet rettferdig, i tilfeldig rekkefølge. Eller, hvis du foretrekker det, hva er sannsynligheten for at en sekvens på ti eller flere figurer ikke forekommer noe sted?

Vi kan forenkle oppgaven. Her er en sekvens på 416 deler. Hver del er 0 eller 1. Det er 128 enere og 288 nuller spredt tilfeldig utover sekvensen. Hvor mange måter er det å tilfeldig blande 128 enere med 288 nuller, og hvor mange ganger på disse måtene vil minst en gruppe på ti eller flere enere forekomme?

Hver gang jeg gikk i gang med å løse dette problemet, virket det enkelt og opplagt for meg, men så snart jeg fordypet meg i detaljene, falt det plutselig fra hverandre og virket rett og slett umulig.

Så ikke skynd deg å utdype svaret: sett deg ned, tenk nøye, studer forholdene, prøv å plugge inn reelle tall, for alle personene jeg snakket med om dette problemet (inkludert flere doktorgradsstudenter som jobber i dette feltet) reagerte om det samme: "Det er helt åpenbart ... å nei, vent, det er ikke åpenbart i det hele tatt." Dette er tilfellet når jeg ikke har en metode for å beregne alle alternativene. Jeg kunne selvfølgelig brutt force problemet gjennom en datamaskinalgoritme, men det ville vært mye mer interessant å vite den matematiske løsningen.

Dette er forholdet mellom antall observasjoner der den aktuelle hendelsen fant sted og det totale antallet observasjoner. Denne tolkningen er akseptabel ved et tilstrekkelig stort antall observasjoner eller eksperimenter. For eksempel, hvis omtrent halvparten av menneskene du møter på gaten er kvinner, så kan du si at sannsynligheten for at personen du møter på gaten er en kvinne er 1/2. Med andre ord, et estimat av sannsynligheten for en hendelse kan være frekvensen av dens forekomst i en lang rekke uavhengige repetisjoner av et tilfeldig eksperiment.

Sannsynlighet i matematikk

I den moderne matematiske tilnærmingen er klassisk (det vil si ikke kvante) sannsynlighet gitt av Kolmogorov-aksiomatikken. Sannsynlighet er et mål P, som er definert på settet X, kalt sannsynlighetsrom. Dette tiltaket må ha følgende egenskaper:

Av disse forholdene følger det at sannsynlighetsmålet P har også eiendommen additivitet: hvis setter EN 1 og EN 2 ikke krysser hverandre, da . For å bevise må du sette alt EN 3 , EN 4, ... lik det tomme settet og bruk egenskapen tellbar additivitet.

Sannsynlighetsmålet er kanskje ikke definert for alle delmengder av settet X. Det er nok å definere det på en sigma-algebra, som består av noen delmengder av settet X. I dette tilfellet er tilfeldige hendelser definert som målbare delmengder av rom X, det vil si som elementer i sigma algebra.

Sannsynlighetssans

Når vi finner ut at årsakene til at et mulig faktum faktisk oppstår oppveier de motsatte grunnene, vurderer vi dette faktum sannsynlig, ellers - utrolig. Denne overvekten av positive baser over negative, og omvendt, kan representere et ubestemt sett med grader, som et resultat av sannsynlighet(Og usannsynlighet) Det skjer mer eller mindre .

Komplekse individuelle fakta tillater ikke en eksakt beregning av graden av sannsynlighet, men selv her er det viktig å etablere noen store underavdelinger. Så, for eksempel, på det juridiske feltet, når et personlig faktum som er gjenstand for rettssak etableres på grunnlag av vitneforklaring, forblir det strengt tatt alltid bare sannsynlig, og det er nødvendig å vite hvor betydelig denne sannsynligheten er; i romersk lov ble en firedobbel inndeling her vedtatt: probatio plena(hvor sannsynligheten praktisk talt blir til pålitelighet), Lengre - probatio minus plena, deretter - probatio semiplena major og endelig probatio semiplena minor .

I tillegg til spørsmålet om sakens sannsynlighet, kan det både på rettsområdet og på det moralske feltet (med et visst etisk ståsted) oppstå spørsmål om hvor sannsynlig det er at et gitt bestemt faktum utgjør en brudd på den generelle loven. Dette spørsmålet, som tjener som hovedmotivet i den religiøse rettsvitenskapen til Talmud, ga også opphav til svært komplekse systematiske konstruksjoner og en enorm litteratur, dogmatisk og polemisk, i romersk-katolsk moralteologi (spesielt fra slutten av 1500-tallet) ( se sannsynlighet).

Sannsynlighetsbegrepet åpner for et visst numerisk uttrykk når det bare brukes på slike fakta som er en del av visse homogene serier. Så (i det enkleste eksemplet), når noen kaster en mynt hundre ganger på rad, finner vi her en generell eller stor serie (summen av alle myntens fall), bestående av to private eller mindre, i dette tilfellet numerisk like, serie (faller "hoder" og faller "haler"); Sannsynligheten for at mynten denne gangen vil lande hoder, det vil si at dette nye medlemmet av den generelle serien vil tilhøre denne av de to mindre seriene, er lik brøkdelen som uttrykker det numeriske forholdet mellom denne lille serien og den større, nemlig 1/2, det vil si at den samme sannsynligheten tilhører den ene eller den andre av to bestemte serier. I mindre enkle eksempler kan konklusjonen ikke utledes direkte fra dataene til selve problemet, men krever forutgående induksjon. Så for eksempel er spørsmålet: hva er sannsynligheten for at en gitt nyfødt blir 80 år gammel? Her må det være en generell, eller stor, serie av et visst antall mennesker født under lignende tilstander og som dør i forskjellige aldre (dette tallet må være stort nok til å eliminere tilfeldige avvik, og lite nok til å opprettholde seriens homogenitet, for for en person, født for eksempel i St. Petersburg inn i en velstående, kultivert familie, hele byens millionbefolkning, hvorav en betydelig del består av mennesker fra forskjellige grupper som kan dø for tidlig - soldater, journalister, arbeidere i farlige yrker - representerer en gruppe for heterogen for en reell bestemmelse av sannsynlighet) ; la denne generelle serien bestå av ti tusen menneskeliv; den inkluderer mindre serier som representerer antall personer som overlever til en bestemt alder; en av disse mindre seriene representerer antallet mennesker som lever til 80 år. Men det er umulig å bestemme antallet av denne mindre serien (som alle andre) a priori; dette gjøres rent induktivt, gjennom statistikk. Anta at statistiske studier har fastslått at av 10 000 middelklasseinnbyggere i St. Petersburg lever bare 45 til 80 år; Dermed er denne mindre serien knyttet til den større siden 45 er til 10 000, og sannsynligheten for at en gitt person tilhører denne mindre serien, det vil si å leve til 80 år, uttrykkes som en brøkdel av 0,0045. Studiet av sannsynlighet fra et matematisk synspunkt utgjør en spesiell disiplin - sannsynlighetsteori.

se også

Notater

Litteratur

Alfred Renyi. Bokstaver om sannsynlighet / overs. fra ungarsk D. Saas og A. Crumley, red. B.V. Gnedenko. M.: Mir. 1970
Gnedenko B.V. Sannsynlighetsteorikurs. M., 2007. 42 s.
Kuptsov V.I. Determinisme og sannsynlighet. M., 1976. 256 s.

Wikimedia Foundation. 2010.

Synonymer:

Antonymer:

Se hva "Sannsynlighet" er i andre ordbøker:

Generell vitenskapelig og filosofisk. en kategori som angir den kvantitative graden av mulighet for forekomst av tilfeldige massehendelser under faste observasjonsforhold, som karakteriserer stabiliteten til deres relative frekvenser. I logikk, semantisk grad... ... Filosofisk leksikon

SANNSYNLIGHET, et tall i området fra null til og med én, som representerer muligheten for at en gitt hendelse inntreffer. Sannsynligheten for en hendelse er definert som forholdet mellom antall sjanser for at en hendelse kan inntreffe og det totale antallet mulige... ... Vitenskapelig og teknisk encyklopedisk ordbok

Etter all sannsynlighet.. Ordbok over russiske synonymer og lignende uttrykk. under. utg. N. Abramova, M.: Russian Dictionaries, 1999. sannsynlighet mulighet, sannsynlighet, sjanse, objektiv mulighet, maza, tillatelighet, risiko. Maur. umulighet...... Synonymordbok

sannsynlighet- Et mål på at en hendelse sannsynligvis vil inntreffe. Merk Den matematiske definisjonen av sannsynlighet er: "et reelt tall mellom 0 og 1 som er assosiert med en tilfeldig hendelse." Tallet kan gjenspeile den relative frekvensen i en serie observasjoner... ... Teknisk oversetterveiledning

Sannsynlighet- "en matematisk, numerisk karakteristikk av graden av mulighet for forekomst av enhver hendelse under visse spesifikke forhold som kan gjentas et ubegrenset antall ganger." Basert på denne klassikeren... ... Økonomisk og matematisk ordbok

- (sannsynlighet) Muligheten for forekomsten av en hendelse eller et bestemt resultat. Den kan presenteres i form av en skala med divisjoner fra 0 til 1. Hvis sannsynligheten for en hendelse er null, er dens forekomst umulig. Med en sannsynlighet lik 1, utbruddet av... Ordbok med forretningsvilkår