Beskrivelse av presentasjonen ved individuelle lysbilder:
1 lysbilde
Lysbildebeskrivelse:
2 lysbilde
Lysbildebeskrivelse:
Innhold Teori Type 1. De fleste enkel oppgave Type 2. Problemer med å kaste mynter Type 3. Problemer med terninger Type 4. Problemer med å flytte mynter Type 5. Problemer som involverer eksamensoppgaver Type 6. Problemer med kaffemaskin Type 7. Problemer med målskyting Type 8. Om å lage presentasjoner Type 9. Med prosenter Type10. Inndeling i grupper Diverse oppgaver Selvstendig arbeid
3 lysbilde
Lysbildebeskrivelse:
La oss huske addisjons- og multiplikasjonssetningene for to hendelser P(A + B) = P(A) + P(B) (for ikke avhengige hendelser) 2) P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) (for avhengige hendelser) 3) P(AB) = P(A)∙P(B)
4 lysbilde
Lysbildebeskrivelse:
La oss huske formelen klassisk sannsynlighet tilfeldige hendelser: P = N(A) : N, hvor N er tallet av alle mulige alternativer N(A) – antall gunstige alternativer
5 lysbilde
Lysbildebeskrivelse:
La oss huske Hvis det er en fagforening (U), dvs. konjunksjon eller, så er sannsynligheten "+" nødvendig Hvis det er et skjæringspunkt (∩), dvs. konjunksjon og, da trenger vi sannsynligheten "·"
6 lysbilde
Lysbildebeskrivelse:
64 utøvere deltar i turnmesterskapet: 20 fra Japan, 28 fra Kina og resten fra Korea. Rekkefølgen gymnastene opptrer i bestemmes ved loddtrekning. Finn sannsynligheten for at utøveren som konkurrerer først er fra Korea. Løsning. Det er 64 – (20 + 28) = 16 utøvere som konkurrerer fra Korea. 2) Ved å bruke den klassiske sannsynlighetsformelen får vi: P = = 16:64 = 1:4 = 0,25
7 lysbilde
Lysbildebeskrivelse:
Oppgave (løst i par) 40 utøvere stiller på dykkermesterskapet, blant dem 6 hoppere fra Holland og 2 hoppere fra Argentina. Rekkefølgen på forestillingene bestemmes ved loddtrekning. Finn sannsynligheten for at en hopper fra Argentina vil konkurrere på fjortende plass. Løsning. Svar: 0,05
8 lysbilde
Lysbildebeskrivelse:
Type 2: Myntkastproblem I et tilfeldig eksperiment kastes en symmetrisk mynt to ganger. Finn sannsynligheten for at du ikke får noen hoder i det hele tatt. Løsning. Metode I. Metode for å telle opp kombinasjoner. Metode II. En spesiell sannsynlighetsformel tilpasset for å løse problemer med mynter. P = Cn ved k: 2ⁿ, der 2ⁿ er antallet av alle mulige utfall, Cnpok er antall kombinasjoner av n elementer med k, som beregnes med formelen Cnk = n! / k!(n- k)! Fordi n=2; k=1, da er svaret: 0,25
Lysbilde 9
Lysbildebeskrivelse:
Oppgave I et tilfeldig eksperiment kastes en symmetrisk mynt tre ganger. Finn sannsynligheten for at du ikke får noen hoder i det hele tatt. Løsning (metode II): C3po0 = 3!/0!(3-0)! = 1 P = C3po0: 2³ = 1:8 = 0,125 Svar: 0,125
10 lysbilde
Lysbildebeskrivelse:
Type 3. Terningproblem Terningen kastes én gang. Hva er sannsynligheten for å få minst 4 poeng? Løsning. Kast terningen en gang => 6 utfall. Dette betyr at denne handlingen (å kaste en terning én gang) har totalt n = 6 mulige utfall. Vi skriver ned alle gunstige utfall: 4; 5; 6 Dette betyr at k = 3 er antall gunstige utfall. I følge den klassiske sannsynlighetsformelen har vi: P = 3: 6 = 0,5. Svar: 0,5
11 lysbilde
Lysbildebeskrivelse:
Oppgave I et tilfeldig eksperiment kastes to terning. Finn sannsynligheten for at summen blir 5 poeng. Avrund resultatet til hundredeler. Vi kaster terningen 2 ganger, noe som betyr at det er totalt N = 6² = 36 mulige utfall. Vi skriver ned alle gunstige utfall i form av tallpar: (1;4), (2;3), (3;2), (4;1). Dette betyr at N(A) = 4 er antall gunstige utfall. I følge den klassiske sannsynlighetsformelen har vi: P = 4:36 = 1/9 ≈ 0,11111…. Svar: 0.11
12 lysbilde
Lysbildebeskrivelse:
Oppgave I et tilfeldig eksperiment kastes tre terninger. Finn sannsynligheten for at totalen blir 15 poeng. Avrund resultatet til hundredeler. Løsning. Denne handlingen (kasting av tre terninger) har totalt N = 6³ = 216 mulige utfall. Vi skriver ned alle gunstige utfall i form av trillinger av tall: (6;6;3), (6;3;6), (3;6;6), (5;5;5), (6;5) ;4), (5;4;6), (4;6;5). Dette betyr at N(A) = 7 er antall gunstige utfall. I henhold til den klassiske sannsynlighetsformelen har vi: P =7: 216 ≈ 0,032…. Svar: 0,03
Lysbilde 13
Lysbildebeskrivelse:
Oppgave (løst i par) I et tilfeldig eksperiment kastes tre terninger. Finn sannsynligheten for at summen blir 7 poeng. Avrund resultatet til hundredeler. Løsning. Svar: 0,07
Lysbilde 14
Lysbildebeskrivelse:
Type 4. Problem med å overføre mynter Andrey hadde 4 mynter á 2 rubler og 2 mynter på 5 rubler i lommen. Uten å se, overførte han de 3 myntene til en annen lomme. Finn sannsynligheten for at begge 5 rubelmyntene er i samme lomme. Løsning. Totalt hadde Andrey: 4 + 2 = 6 mynter. 3 (omarrangerte) mynter kan velges fra 6 (tilgjengelige) mynter: C6 3 =6!/3!·(6-3)!=20 (på måter). De. N = 20. Vi velger 2 mynter á 5 rubler fra to fem-rubelmynter: 2! = 2 (på måter).
15 lysbilde
Lysbildebeskrivelse:
Vi velger 3 mynter av 4 mynter á 2 rubler: C4po3 =4!/3!(4-3)! = 4 (på måter). Ved å bruke den klassiske sannsynlighetsformelen og produktregelen får vi: P = 2·4 / 20 = 0,4. Svar: 0,4
16 lysbilde
Lysbildebeskrivelse:
Oppgave (løst i par) Olga hadde 6 mynter à 1 rubel hver og 2 mynter à 5 rubler i lommen. Hun, uten å se, overførte 4 mynter til en annen lomme. Finn sannsynligheten for at begge 5 rubelmyntene er i samme lomme. Avrund svaret til nærmeste hundredel. Løsning. Svar: 0,43
Lysbilde 17
Lysbildebeskrivelse:
Type 5. Problem med eksamensoppgaver På en geometrieksamen får en student ett spørsmål fra listen. eksamensspørsmål. Sannsynligheten for at dette er et innskrevet sirkelspørsmål er 0,1. Sannsynligheten for at dette er et trigonometrispørsmål er 0,35. Det er ingen spørsmål som samtidig relaterer seg til disse to temaene. Finn sannsynligheten for at en student får et spørsmål om ett av disse to temaene på eksamen. Løsning. Hvis A er et spørsmål om emnet "Incircle", er B et spørsmål om emnet "Trigonometri", og hendelser A og B er inkompatible. Da er P(A+B)= P(A)+P(B) = = 0,1 + 0,35 = 0,45
18 lysbilde
Lysbildebeskrivelse:
Oppgave Eksamensprogrammet inneholder 30 spørsmål. Eleven kjenner 20 av dem. Hver student får tilbud om 2 spørsmål, som velges tilfeldig. En utmerket karakter gis dersom studenten svarer riktig på begge spørsmålene. Hva er sannsynligheten for å få en "5"? Avrund svaret til nærmeste hundredel. Løsning.
Lysbilde 19
Lysbildebeskrivelse:
Oppgave (løst i par) Ved geometrieksamen får eleven ett spørsmål fra listen over eksamensoppgaver. Sannsynligheten for at dette er et innskrevet sirkelspørsmål er 0,1. Sannsynligheten for at dette er et trigonometrispørsmål er 0,25. Det er ingen spørsmål som samtidig relaterer seg til disse to temaene. Finn sannsynligheten for at en student får et spørsmål om ett av disse to temaene på eksamen. Løsning. Svar: 0,35
20 lysbilde
Lysbildebeskrivelse:
Type 6. Problem med kaffemaskiner B kjøpesenter to identiske maskiner selger kaffe. Sannsynligheten for at maskinen går tom for kaffe ved slutten av dagen er 0,2. Sannsynligheten for at begge maskinene går tom for kaffe er 0,16. Finn sannsynligheten for at det på slutten av dagen er kaffe igjen i begge maskinene. Løsning. A = (kaffen vil gå tom i den første maskinen) B = (kaffen vil gå tom i den andre maskinen) C = A U B = (kaffen vil gå tom i minst én maskin) I henhold til betingelsen: P(A) = P (B) = 0,2, P( A ∩ B) = 0,16 I henhold til oppgavens betydning er hendelser A og B felles. I henhold til formelen for å legge til sannsynligheter felles arrangementer vi har: P(C) = P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = = 0,2 + 0,2 – 0,16 = 0,24. P(A U B) = 1 – 0,24 = 0,76. Svar: 0,76
21 lysbilder
Lysbildebeskrivelse:
Oppgave (løst i par) I et kjøpesenter selger to like maskiner kaffe. Sannsynligheten for at maskinen går tom for kaffe ved slutten av dagen er 0,35. Sannsynligheten for at begge maskinene går tom for kaffe er 0,2. Finn sannsynligheten for at det på slutten av dagen er kaffe igjen i begge maskinene. Løsning. Svar: 0,5
22 lysbilde
Lysbildebeskrivelse:
Type 7. Skiveskytingsproblem En skiskytter skyter på skiver 4 ganger. Sannsynligheten for å treffe målet med ett skudd er 0,85. Finn sannsynligheten for at skiskytteren treffer målene de første 2 gangene og bommet de to siste gangene. Avrund resultatet til hundredeler. Løsning. Treffsannsynlighet = 0,85. Sannsynlighet for glipp = 1 – 0,85 = 0,15. A = (treff, treff, bom, bom) Uavhengige hendelser. I henhold tilmelen: P(A) = 0,85·0,85·0,15·0,15 = =0,7225·0,0225 = 0,01625625 ≈ 0,02. Svar: 0,02
Lysbilde 23
Lysbildebeskrivelse:
Oppgave (løst i par) En skiskytter skyter på skiver 8 ganger. Sannsynligheten for å treffe målet med ett skudd er 0,8. Finn sannsynligheten for at skiskytteren treffer målet de første 5 gangene og bommer de tre siste gangene. Avrund resultatet til nærmeste hundredel. Løsning. Svar:
24 lysbilde
Lysbildebeskrivelse:
Type 8. Oppgave om forestillinger Konkurransen av utøvere holdes i 5 dager. Totalt 50 forestillinger er annonsert – én fra hvert land. Det er 26 forestillinger den første dagen, resten fordeles likt mellom de resterende dagene Rekkefølgen på forestillingene bestemmes ved loddtrekning. Hva er sannsynligheten for at opptredenen til en representant fra Russland finner sted på den tredje dagen av konkurransen. Løsning. N = 50 N(A)=(50-26) : 4 = 6 => P(A)= 6: 50=3/25 Svar: 3/25=0,12
25 lysbilde
Lysbildebeskrivelse:
Oppgave (løst i par) Konkurransen av utøvere avholdes i 5 dager. Totalt er det annonsert 80 forestillinger – en fra hvert land. En utøver fra Russland deltar også i konkurransen. Det er satt opp 8 forestillinger den første dagen, resten fordeles likt mellom de resterende dagene. Rekkefølgen på forestillingene bestemmes ved loddtrekning. Hva er sannsynligheten for at en utøver fra Russland vil opptre den tredje dagen av konkurransen? Løsning. Svar: 0,225
26 lysbilde
Lysbildebeskrivelse:
Type 9. Med rente To fabrikker produserer samme glass. Den første fabrikken produserer 30% av disse glassene, og den andre - 70%. Den første fabrikken produserer 3% av defekt glass, og den andre - 4%. Finn sannsynligheten for at glass kjøpt tilfeldig i en butikk vil være av høy kvalitet. Løsning. 30%= 0,3 70%= 0,7 Kvalitet. Kvalitet Ekteskap Ekteskap 3 %= 0,03 4 %= 0,04 0,97 0,96 Uavhengige hendelser => P(A)=P1+P2= 0,3 0,97+0,7 0,96 = = 0,291 + 0,672 = 0,963 1 2
Lysbilde 27
Lysbildebeskrivelse:
Oppdrag Det er tre selgere i butikken. Hver av dem er opptatt med en klient med en sannsynlighet på 30%. Finn sannsynligheten for at i tilfeldig øyeblikk alle tre selgerne er opptatt samtidig (tenk at klienter kommer inn uavhengig av hverandre) Løsning. + - 30 %=0,3 => 70 %=0,7 Uavhengige arrangementer=> P = P(A+B+C)= = P(A)+P(B)+P(C)= = 0,3+0,3+0,3=0,9
28 lysbilde
Lysbildebeskrivelse:
Oppgave En landbruksbedrift kjøper inn kyllingegg fra to husstander. 60 % av eggene fra den første gården er egg høyeste kategori, og i den andre gården - 30% av egg av høyeste kategori. Totalt er 54 % av eggene av høyeste kategori. Finn sannsynligheten for at et egg kjøpt fra dette landbruksbedriften kommer fra en annen gård. (1-x) P=(x) 1 2 landbruksbedrift B B n/v n/v 60%=0,6 30%=0,3 54%=0,54 La oss lage ligningen: 0,6·(1-x ) + 0,3 x = 0,54 Svar : 0,2<=
Lysbilde 29
Lysbildebeskrivelse:
Oppgave (løst i par) En landbruksbedrift kjøper inn kyllingegg fra to husstander. 40 % av eggene fra den første gården er egg av den høyeste kategorien, og i den andre gården - 20 % av eggene av den høyeste kategorien. Totalt er 35 % av eggene av høyeste kategori. Finn sannsynligheten for at et egg kjøpt fra dette landbruksbedriften kommer fra den første gården. Svar: 0,75
30 lysbilde
Lysbildebeskrivelse:
Type 10. Inndeling i grupper Det er 21 personer i klassen. Blant dem er to venner Andrei og Dima. Tilfeldig bildeklassen er delt inn i 7 grupper, 3 personer i hver gruppe. Hva er sannsynligheten for at Andrey og Dima vil være i samme gruppe. Løsning. Hvis vi tar A., så N=21-1=20. Fordi gruppe på 3 personer, da gjenstår kun 2 plasser til D., dvs. N(A)=2. P = N(A):N =2:20=1/10 = 0,1
31 lysbilder
Lysbildebeskrivelse:
Oppgave 26-utøvere deltar i badmintonmesterskapet, inkludert 10 fra Russland, inkludert Ruslan Orlov. Før starten av første runde i mesterskapet deles deltakerne inn i spillepar ved hjelp av lodd. Hva er sannsynligheten for at Ruslan Orlov i første runde spiller med noen fra Russland. Løsning. N = 26 -1=25 N(A) (dvs. fra Russland)= 10-1=9 P(A)= 9: 25 =9/25=0,36 Svar: 0,36
32 lysbilde
Lysbildebeskrivelse:
Oppgave I en elevgruppe (12 jenter og 8 gutter) spilles det ut 5 utenlandske bilag. Hva er sannsynligheten for at 3 jenter og 2 gutter får kuponger? Avrund svaret til nærmeste hundredel. Løsning. Totalt 20 personer
Lysbilde 33
Lysbildebeskrivelse:
Oppgave (løst i par) Det er 33 elever i klassen, blant dem to venner - Galya og Tanya. Klassen er tilfeldig delt inn i 3 like grupper. Hva er sannsynligheten for at venner havner i samme gruppe. Løsning.
Lysbilde 34
Lysbildebeskrivelse:
Ulike oppgaver (om safen) Forbryteren vet at safekoden består av tallene 1,3,7,9, men vet ikke i hvilken rekkefølge han skal ringe dem. Hva er sannsynligheten for at forbryteren åpner safen ved første forsøk? Løsning. N=P4=4!=24 N(A)= 1 P(A)= 1: 24 = 0,041…=0,04 Svar: 0,04
35 lysbilde
Klikk på knappen ovenfor "Kjøp en papirbok" Du kan kjøpe denne boken med levering over hele Russland og lignende bøker til den beste prisen i papirform på nettsidene til de offisielle nettbutikkene Labyrinth, Ozon, Bukvoed, Read-Gorod, Litres, My-shop, Book24, Books.ru.
Ved å klikke på "Kjøp og last ned e-bok"-knappen kan du kjøpe denne boken i elektronisk form i den offisielle liters nettbutikken, og deretter laste den ned på liters nettside.
Ved å klikke på «Finn lignende materiale på andre nettsteder»-knappen kan du søke etter lignende materiale på andre nettsteder.
På knappene ovenfor kan du kjøpe boken i offisielle nettbutikker Labirint, Ozon og andre. Du kan også søke relatert og lignende materiale på andre nettsteder.
Boken som gjøres oppmerksom på leseren er en praktisk problembok for kurset "Sannsynlighetsteori". Det er skrevet i samsvar med programmet for dette kurset og er beregnet på deltidsstudenter ved fysikk- og matematikkavdelinger ved pedagogiske institutter.
Oppgaveboka består av tre kapitler, som igjen er delt inn i avsnitt. I begynnelsen av hvert avsnitt gis grunnleggende teoretisk informasjon veldig kort, deretter gis typiske eksempler i detalj, og til slutt tilbys problemer for uavhengig løsning, utstyrt med svar og instruksjoner. Oppgaveboken inneholder også tekster om laboratoriearbeid, hvis implementering vil hjelpe deltidsstudenten til å bedre forstå de grunnleggende begrepene i matematisk statistikk.
Eksempler.
Hvilket av de følgende eksemplene viser alle mulige testresultater:
a) vinne, tape i et sjakkparti;
b) utseendet (i den angitte rekkefølgen) av våpenskjoldet - våpenskjold, våpenskjold - tall, tall - tall når du kaster en mynt to ganger;
c) treffe, bomme med ett skudd;
d) utseendet til 1, 2, 3, 4, 5, 6 poeng når du kaster terningen én gang?
Angi hvilke av følgende hendelser som er: 1) tilfeldig, 2) pålitelig, 3) umulig:
a) vinne ett lodd i billotteriet;
b) fjerne en farget kule fra urnen hvis den inneholder 3 blå og 5 røde kuler;
c) søkeren får 25 poeng i opptaksprøver ved instituttet ved bestått fire eksamener, dersom det benyttes et fempoengs karaktersystem;
d) trekke ut en "double" fra et komplett dominospill;
e) ikke mer enn seks punkter vises på terningens overside.
Hvilke av følgende hendelsespar er inkompatible:
a) et tilfeldig valgt naturlig tall fra 1 til og med 100: delelig med 10; delelig med 11;
b) avbrudd i arbeidet: først; den andre motoren til et flygende fly;
c) treffer; bommer med ett skudd;
d) å vinne; tape et sjakkparti;
e) et tilfeldig valgt naturlig tall fra 1 til og med 25 er: partall; multiplum av tre?
INNHOLDSFORTEGNELSE
Forord
Kapittel I. Hendelser og deres sannsynligheter
§1. Innledende begreper om sannsynlighetsteori
§2. Klassisk definisjon av sannsynlighet
§3. Algebra av hendelser. Enkle konsepter
§4. Beregning av sannsynligheter
§5. Sum og produktregler
§b. Formel for inkludering og ekskludering
§7. Plasseringer med og uten repetisjoner. Permutasjoner og kombinasjoner uten repetisjon
§8. Permutasjoner og kombinasjoner med repetisjoner
§9. Anvendelse av kombinatoriske formler for beregning av sannsynligheter
§10. Betingede sannsynligheter, total sannsynlighetsformel, Bayes' teorem
§elleve. Gjentatte uavhengige forsøk med to utfall
§12. Laplaces og Poissons teoremer
Kapittel II. Tilfeldige variabler
§1. Sannsynlighetsfordeling av diskrete tilfeldige variabler
§2. Numeriske kjennetegn ved diskrete tilfeldige variabler
§3. Integral av en tilfeldig variabel
§4. Sannsynlighetstetthet. Numeriske kjennetegn ved kontinuerlige tilfeldige variabler
§5. Ensartet sannsynlighetsfordeling
§6. Chebyshevs ulikhet. Loven om store tall
§7. Normal sannsynlighetsfordeling
Kapittel III. Elementer i matematisk statistikk
§1. Innledende konsepter for matematisk statistikk
§2. Numeriske kjennetegn ved variasjonsserien
§3. Sannsynlighetsestimering etter relativ frekvens. Konfidensintervall
§4. Parameterestimering i statistikk
§5. Statistiske metoder for å studere avhengigheter mellom tilfeldige variabler
Instruksjoner for å løse problemer
Svar
Applikasjoner.
- Problemer med opptaksprøver i matematikk, Nesterenko Yu.V., Olehnik S.N., Potapov M.K.
- Problemer med opptaksprøver i matematikk, Nesterenko Yu.V., Olehnik S.N., Potapov M.K., 1980
- Gamle underholdende problemer, Olehnik S.N., Nesterenko Yu.V., Potapov M.K., 2005
- Planimetriske problemer, Potapov M.K., Olehnik S.N., Nesterenko Yu.V., 1992
Følgende lærebøker og bøker:
- Matematikk, 20 standardversjoner av eksamensoppgaver for forberedelse til Unified State Examination i 9. klasse, Roslova L.O., Kuznetsova L.V., Shestakov S.L., Yashchenko I.V., 2015
Denne boken er beregnet på studenter som ikke har valgt matematikk i økonomi som hovedspesialitet, men som er klare til å anvende matematiske metoder i sin faglige virksomhet. Boken dekker de grunnleggende ideene om sannsynlighetsteori og matematisk statistikk, nødvendig for full utvikling av økonometri og relaterte økonomiske og matematiske disipliner. Læreboken fokuserer like mye på teori og metoder for å løse problemer. Presentasjonen av teorien er ledsaget av løste problemer om økonomiske temaer og et betydelig antall meningsfulle økonomiske og statistiske problemer for selvstendig løsning, som kan bidra til lettere oppfatning og dypere assimilering av undervisningsmateriell.
Trinn 1. Velg bøker fra katalogen og klikk på "Kjøp"-knappen;
Trinn 2. Gå til "Kurv"-delen;
Trinn 3. Spesifiser ønsket mengde, fyll inn dataene i mottaker- og leveringsblokkene;
Trinn 4. Klikk på "Fortsett til betaling"-knappen.
For øyeblikket er det mulig å kjøpe trykte bøker, elektronisk tilgang eller bøker som gave til biblioteket på ELS nettsider kun med 100 % forskuddsbetaling. Etter betaling vil du få tilgang til hele teksten til læreboken i Elektronisk bibliotek eller vi begynner å utarbeide en bestilling til deg på trykkeriet.
Merk følgende! Vennligst ikke endre betalingsmåten for bestillinger. Hvis du allerede har valgt en betalingsmetode og ikke klarte å fullføre betalingen, må du legge inn bestillingen på nytt og betale for den med en annen praktisk metode.
Du kan betale for bestillingen din ved å bruke en av følgende metoder:
- Kontantfri metode:
- Bankkort: du må fylle ut alle feltene i skjemaet. Noen banker ber deg bekrefte betalingen - for dette vil en SMS-kode bli sendt til telefonnummeret ditt.
- Nettbank: Banker som samarbeider med betalingstjenesten vil tilby sitt eget skjema å fylle ut. Vennligst skriv inn dataene riktig i alle felter.
For eksempel for " class="text-primary">Sberbank Online Mobilnummer og e-post er påkrevd. Til " class="text-primary">Alfa Bank Du trenger en pålogging til Alfa-Click-tjenesten og en e-post. - Elektronisk lommebok: hvis du har en Yandex-lommebok eller Qiwi-lommebok, kan du betale for bestillingen din gjennom dem. For å gjøre dette, velg riktig betalingsmåte og fyll ut feltene, så vil systemet omdirigere deg til en side for å bekrefte fakturaen.