Polinomial ialah jumlah monomial. Jika semua istilah polinomial ditulis dalam bentuk piawai (lihat perenggan 51) dan istilah serupa dikurangkan, anda akan mendapat polinomial bentuk piawai.
Sebarang ungkapan integer boleh ditukar kepada polinomial bentuk piawai - ini adalah tujuan transformasi (pemudahan) ungkapan integer.
Mari kita lihat contoh di mana keseluruhan ungkapan perlu dikurangkan kepada bentuk piawai polinomial.
Penyelesaian. Mula-mula, mari kita bawa istilah polinomial kepada bentuk piawai. Kami memperoleh Selepas membawa istilah yang sama kami memperoleh polinomial bentuk piawai
Penyelesaian. Jika terdapat tanda tambah di hadapan kurungan, maka kurungan boleh ditinggalkan, mengekalkan tanda-tanda semua istilah yang disertakan dalam kurungan. Menggunakan peraturan ini untuk membuka kurungan, kami mendapat:
Penyelesaian. Jika kurungan didahului dengan tanda tolak, maka kurungan boleh ditinggalkan dengan menukar tanda semua istilah yang disertakan dalam kurungan. Menggunakan peraturan ini untuk menyembunyikan kurungan, kita dapat:
Penyelesaian. Hasil darab monomial dan polinomial, mengikut undang-undang pengagihan, adalah sama dengan hasil tambah monomial ini dan setiap ahli polinomial. Kita mendapatkan
Penyelesaian. Kami ada
Penyelesaian. Kami ada
Ia kekal untuk memberikan istilah yang sama (ia digariskan). Kita mendapatkan:
53. Rumus darab diringkaskan.
Dalam sesetengah kes, membawa keseluruhan ungkapan kepada bentuk piawai polinomial dijalankan menggunakan identiti:
Identiti ini dipanggil formula pendaraban singkatan,
Mari lihat contoh di mana anda perlu menukar ungkapan yang diberikan kepada myogochleas bentuk standard.
Contoh 1. .
Penyelesaian. Dengan menggunakan formula (1), kami memperoleh:
Contoh 2. .
Penyelesaian.
Contoh 3. .
Penyelesaian. Dengan menggunakan formula (3), kami memperoleh:
Contoh 4.
Penyelesaian. Dengan menggunakan formula (4), kami memperoleh:
54. Polinomial pemfaktoran.
Kadangkala anda boleh menukar polinomial kepada hasil daripada beberapa faktor - polinomial atau subnomial. Transformasi identiti sedemikian dipanggil pemfaktoran polinomial. Dalam kes ini, polinomial dikatakan boleh dibahagikan dengan setiap faktor ini.
Mari kita lihat beberapa cara untuk memfaktorkan polinomial,
1) Mengambil faktor sepunya daripada kurungan. Transformasi ini adalah akibat langsung daripada undang-undang pengedaran (untuk kejelasan, anda hanya perlu menulis semula undang-undang ini "dari kanan ke kiri"):
Contoh 1: Faktorkan polinomial
Penyelesaian. .
Biasanya, apabila mengambil faktor sepunya daripada kurungan, setiap pembolehubah yang termasuk dalam semua sebutan polinomial diambil dengan penunjuk terkecil yang terdapat dalam polinomial ini. Jika semua pekali polinomial adalah integer, maka modulus terbesar diambil sebagai pekali faktor sepunya. pembahagi biasa semua pekali polinomial.
2) Menggunakan rumus pendaraban yang disingkatkan. Formula (1) - (7) daripada perenggan 53, dibaca dari kanan ke kiri, dalam banyak kes ternyata berguna untuk pemfaktoran polinomial.
Contoh 2: Faktor .
Penyelesaian. Kami ada. Menggunakan formula (1) (perbezaan kuasa dua), kita memperoleh . Dengan memohon
Sekarang formula (4) dan (5) (jumlah kubus, perbezaan kubus), kita dapat:
Contoh 3. .
Penyelesaian. Mula-mula, mari letakkannya daripada kurungan pengganda biasa. Untuk melakukan ini, kita akan mencari pembahagi sepunya terbesar bagi pekali 4, 16, 16 dan eksponen terkecil yang pembolehubah a dan b dimasukkan ke dalam komponen. diberi polinomial monomials. Kita mendapatkan:
3) Kaedah pengumpulan. Ia berdasarkan fakta bahawa ia adalah komutatif dan undang-undang bersekutu penambahan membolehkan anda mengumpulkan istilah polinomial cara yang berbeza. Kadangkala adalah mungkin untuk mengumpulkan sedemikian rupa sehingga selepas mengambil faktor sepunya daripada kurungan, polinomial yang sama kekal dalam kurungan dalam setiap kumpulan, yang seterusnya, sebagai faktor sepunya, boleh dikeluarkan daripada kurungan. Mari kita lihat contoh pemfaktoran polinomial.
Contoh 4. .
Penyelesaian. Mari berkumpul seperti berikut:
Dalam kumpulan pertama, mari kita ambil faktor sepunya daripada kurungan ke dalam kedua - faktor sepunya 5. Kita dapat Sekarang kita letakkan polinomial sebagai faktor sepunya daripada kurungan: Oleh itu, kita dapat:
Contoh 5.
Penyelesaian. .
Contoh 6.
Penyelesaian. Di sini, tiada pengelompokan akan membawa kepada kemunculan polinomial yang sama dalam semua kumpulan. Dalam kes sedemikian, kadangkala berguna untuk mewakili ahli polinomial sebagai jumlah, dan kemudian cuba kaedah pengumpulan sekali lagi. Dalam contoh kami, adalah dinasihatkan untuk mewakilinya sebagai jumlah yang Kami dapat
Contoh 7.
Penyelesaian. Tambah dan tolak satu monomial Kita dapat
55. Polinomial dalam satu pembolehubah.
Polinomial, di mana a, b ialah nombor berubah-ubah, dipanggil polinomial darjah pertama; polinomial dengan a, b, c ialah nombor boleh ubah, dipanggil polinomial darjah kedua atau trinomial kuadratik; polinomial dengan a, b, c, d ialah nombor, pembolehubah dipanggil polinomial darjah ketiga.
Secara umum, jika o ialah pembolehubah, maka ia adalah polinomial
dipanggil darjah lsmogochnolenol (berbanding dengan x); , sebutan-m polinomial, pekali, sebutan utama polinomial, a ialah pekali bagi sebutan utama, sebutan bebas polinomial. Lazimnya, polinomial ditulis dalam kuasa menurun pembolehubah, iaitu, kuasa pembolehubah berkurangan secara beransur-ansur, khususnya, sebutan utama berada di tempat pertama, dan sebutan bebas berada di tempat terakhir. Darjah polinomial ialah darjah sebutan tertinggi.
Contohnya, polinomial darjah kelima, di mana sebutan utama, 1, ialah sebutan bebas polinomial.
Punca polinomial ialah nilai di mana polinomial itu hilang. Sebagai contoh, nombor 2 ialah punca polinomial sejak
Dalam pelajaran ini, kita akan mengingati takrif asas topik ini dan mempertimbangkan beberapa masalah tipikal, iaitu, membawa polinomial kepada bentuk piawai dan mengira nilai berangka bagi nilai yang diberikan pembolehubah. Kami akan menyelesaikan beberapa contoh di mana pengurangan kepada bentuk piawai akan digunakan untuk menyelesaikannya pelbagai jenis tugasan.
Subjek:Polinomial. Operasi aritmetik atas monomials
Pelajaran:Mengurangkan polinomial kepada bentuk piawai. Tugas biasa
Mari kita ingat definisi asas: polinomial ialah jumlah monomial. Setiap monomial yang merupakan sebahagian daripada polinomial sebagai istilah dipanggil ahlinya. Sebagai contoh:
binomial;
Polinomial;
binomial;
Memandangkan polinomial terdiri daripada monomial, tindakan pertama dengan polinomial menyusuli dari sini - anda perlu membawa semua monomial kepada bentuk standard. Biar kami mengingatkan anda bahawa untuk ini anda perlu mendarab semua faktor berangka - dapatkan pekali berangka, dan membiak darjah yang sepadan- dapatkan bahagian surat. Di samping itu, mari kita perhatikan teorem tentang hasil darab kuasa: apabila kuasa didarabkan, eksponennya bertambah.
Mari kita pertimbangkan operasi penting- membawa polinomial kepada bentuk piawai. Contoh:
Ulasan: untuk membawa polinomial kepada bentuk standard, anda perlu membawa semua monomial yang termasuk dalam komposisinya kepada bentuk standard, selepas itu, jika terdapat monomial yang serupa - dan ini adalah monomial dengan bahagian huruf yang sama - lakukan tindakan dengan mereka .
Jadi, kami melihat masalah biasa pertama - membawa polinomial kepada bentuk standard.
Seterusnya tugas biasa- pengiraan makna khusus polinomial untuk diberi nilai berangka pembolehubah yang terdapat di dalamnya. Mari kita teruskan mempertimbangkan contoh sebelumnya dan tetapkan nilai pembolehubah:
Ulasan: ingat bahawa unit dalam mana-mana ijazah semula jadi sama dengan satu, dan sifar kepada mana-mana kuasa semula jadi sama dengan sifar, sebagai tambahan, ingat bahawa apabila mendarab sebarang nombor dengan sifar, kita mendapat sifar.
Mari kita lihat beberapa contoh operasi biasa untuk membawa polinomial kepada bentuk standard dan mengira nilainya:
Contoh 1 - bawa ke bentuk standard:
Komen: langkah pertama ialah membawa monomial ke bentuk standard, anda perlu membawa yang pertama, kedua dan keenam; tindakan kedua - kami membawa istilah yang sama, iaitu, kami melaksanakan tugas yang diberikan pada mereka operasi aritmetik: kami menambah yang pertama dengan yang kelima, yang kedua dengan yang ketiga, selebihnya ditulis semula tanpa perubahan, kerana mereka tidak mempunyai yang serupa.
Contoh 2 - hitung nilai polinomial daripada contoh 1 memandangkan nilai pembolehubah:
Ulasan: apabila mengira, anda harus ingat bahawa unit kepada mana-mana kuasa semula jadi adalah satu; jika sukar untuk mengira kuasa dua, anda boleh menggunakan jadual kuasa.
Contoh 3 - bukannya asterisk, letakkan monomial supaya hasilnya tidak mengandungi pembolehubah:
Komen: tanpa mengira tugas, tindakan pertama sentiasa sama - bawa polinomial ke bentuk standard. Dalam contoh kami, tindakan ini datang untuk membawa istilah yang serupa. Selepas ini, anda perlu membaca dengan teliti syarat itu sekali lagi dan memikirkan bagaimana kita boleh menghilangkan monomial. Jelas sekali, untuk ini anda perlu menambah monomial yang sama kepadanya, tetapi dengan tanda bertentangan- . Seterusnya, kami menggantikan asterisk dengan monomial ini dan pastikan penyelesaian kami betul.
Dalam mengkaji topik polinomial, perlu dinyatakan secara berasingan bahawa polinomial berlaku dalam kedua-dua bentuk piawai dan bukan piawai. Dalam kes ini, polinomial bentuk bukan piawai boleh dikurangkan kepada bentuk piawai. Sebenarnya, persoalan ini akan dibincangkan dalam artikel ini. Mari kita perkukuhkan penjelasan dengan contoh dengan penerangan langkah demi langkah yang terperinci.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Maksud mengurangkan polinomial kepada bentuk piawai
Mari kita mendalami sedikit lebih dalam konsep itu sendiri, tindakan - "membawa polinomial kepada bentuk standard."
Polinomial, seperti mana-mana ungkapan lain, boleh diubah secara identik. Akibatnya, dalam kes ini kita memperoleh ungkapan yang sama dengan ungkapan asal.
Definisi 1
Kurangkan polinomial kepada bentuk piawai– bermaksud menggantikan polinomial asal dengan polinomial yang sama bentuk piawai, diperoleh daripada polinomial asal menggunakan penjelmaan yang serupa.
Kaedah untuk mengurangkan polinomial kepada bentuk piawai
Mari kita membuat spekulasi mengenai topik tentang transformasi identiti yang akan membawa polinomial kepada bentuk standard.
Definisi 2
Mengikut definisi, setiap polinomial bentuk piawai terdiri daripada monomial bentuk piawai dan tidak mengandungi istilah yang serupa. Polinomial bentuk bukan piawai mungkin termasuk monomial bentuk bukan piawai dan istilah serupa. Daripada perkara di atas, satu peraturan secara semula jadi disimpulkan tentang cara mengurangkan polinomial kepada bentuk standard:
- pertama sekali, monomial yang membentuk polinomial tertentu dikurangkan kepada bentuk piawai;
- maka pengurangan anggota yang serupa dijalankan.
Contoh dan penyelesaian
Mari kita periksa secara terperinci contoh di mana kita mengurangkan polinomial kepada bentuk piawai. Kami akan mengikut peraturan yang diperolehi di atas.
Ambil perhatian bahawa kadangkala istilah polinomial dalam keadaan awal sudah mempunyai bentuk piawai, dan yang tinggal hanyalah membawa istilah yang serupa. Ia berlaku bahawa selepas langkah pertama tindakan tidak ada istilah sedemikian, maka kita melangkau langkah kedua. Dalam kes umum, adalah perlu untuk melaksanakan kedua-dua tindakan daripada peraturan di atas.
Contoh 1
Polinomial diberikan:
5 x 2 y + 2 y 3 − x y + 1 ,
0, 8 + 2 a 3 0, 6 − b a b 4 b 5,
2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8 .
Ia adalah perlu untuk membawa mereka ke bentuk standard.
Penyelesaian
Mari kita pertimbangkan polinomial 5 x 2 y + 2 y 3 − x y + 1 : ahlinya mempunyai bentuk piawai, tiada istilah yang serupa, yang bermaksud polinomial dinyatakan dalam bentuk piawai, dan tiada tindakan tambahan diperlukan.
Sekarang mari kita lihat polinomial 0, 8 + 2 · a 3 · 0, 6 − b · a · b 4 · b 5. Ia termasuk monomial bukan standard: 2 · a 3 · 0, 6 dan − b · a · b 4 · b 5, i.e. kita perlu membawa polinomial kepada bentuk piawai, yang mana langkah pertama adalah mengubah monomial menjadi bentuk piawai:
2 a 3 0, 6 = 1, 2 a 3;
− b · a · b 4 · b 5 = − a · b 1 + 4 + 5 = − a · b 10 , dengan itu kita memperoleh polinomial berikut:
0, 8 + 2 · a 3 · 0, 6 − b · a · b 4 · b 5 = 0, 8 + 1, 2 · a 3 − a · b 10.
Dalam polinomial yang terhasil, semua istilah adalah piawai, tiada istilah yang serupa, yang bermaksud tindakan kami untuk membawa polinomial kepada bentuk piawai telah selesai.
Pertimbangkan polinomial ketiga yang diberikan: 2 3 7 x 2 + 1 2 y x (- 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8
Mari bawa ahlinya ke bentuk standard dan dapatkan:
2 3 7 · x 2 - x · y - 1 6 7 · x 2 + 9 - 4 7 · x 2 - 8 .
Kami melihat bahawa polinomial mengandungi ahli yang serupa, mari bawa ahli yang serupa:
2 3 7 x 2 - x y - 1 6 7 x 2 + 9 - 4 7 x 2 - 8 = = 2 3 7 x 2 - 1 6 7 x 2 - 4 7 x 2 - x · y + (9 - 8) = = x 2 · 2 3 7 - 1 6 7 - 4 7 - x · y + 1 = = x 2 · 17 7 - 13 7 - 4 7 - x · y + 1 = = x 2 0 - x y + 1 = x y + 1
Oleh itu, polinomial yang diberi 2 3 7 x 2 + 1 2 y x (- 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8 mengambil bentuk piawai − x y + 1 .
Jawapan:
5 x 2 y + 2 y 3 − x y + 1- polinomial ditetapkan sebagai standard;
0, 8 + 2 a 3 0, 6 − b a b 4 b 5 = 0, 8 + 1, 2 a 3 − a b 10;
2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8 = - x · y + 1 .
Dalam banyak masalah, tindakan mengurangkan polinomial kepada bentuk piawai adalah pertengahan apabila mencari jawapan kepada ditanya soalan. Mari kita pertimbangkan contoh ini.
Contoh 2
Polinomial 11 - 2 3 z 2 · z + 1 3 · z 5 · 3 - 0 diberi. 5 · z 2 + z 3 . Ia adalah perlu untuk membawanya ke bentuk piawai, menunjukkan darjahnya dan menyusun istilah polinomial yang diberikan dalam darjah menurun pembolehubah.
Penyelesaian
Mari kita kurangkan istilah polinomial yang diberikan kepada bentuk piawai:
11 - 2 3 z 3 + z 5 - 0 . 5 · z 2 + z 3 .
Langkah seterusnya Berikut adalah beberapa istilah yang serupa:
11 - 2 3 z 3 + z 5 - 0 . 5 z 2 + z 3 = 11 + - 2 3 z 3 + z 3 + z 5 - 0, 5 z 2 = 11 + 1 3 z 3 + z 5 - 0, 5 z 2
Kami telah memperoleh polinomial bentuk piawai, yang membolehkan kami menetapkan darjah polinomial (sama dengan tahap tertinggi monomial konstituennya). Jelas sekali, ijazah yang diperlukan ialah 5.
Apa yang tinggal ialah menyusun istilah dalam kuasa penurunan pembolehubah. Untuk tujuan ini, kami hanya menyusun semula istilah dalam polinomial bentuk piawai yang terhasil, dengan mengambil kira keperluan. Oleh itu, kita mendapat:
z 5 + 1 3 · z 3 - 0 , 5 · z 2 + 11 .
Jawapan:
11 - 2 3 · z 2 · z + 1 3 · z 5 · 3 - 0, 5 · z 2 + z 3 = 11 + 1 3 · z 3 + z 5 - 0, 5 · z 2, manakala darjah polinomial - 5; hasil daripada penyusunan sebutan polinomial dalam darjah menurun polinomial berubah-ubah akan mengambil bentuk: z 5 + 1 3 · z 3 - 0, 5 · z 2 + 11.
Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter
Dalam pelajaran ini, kita akan mengingati takrif asas topik ini dan mempertimbangkan beberapa masalah tipikal, iaitu, mengurangkan polinomial kepada bentuk piawai dan mengira nilai berangka untuk nilai pembolehubah tertentu. Kami akan menyelesaikan beberapa contoh di mana pengurangan kepada bentuk standard akan digunakan untuk menyelesaikan pelbagai jenis masalah.
Subjek:Polinomial. Operasi aritmetik pada monomial
Pelajaran:Mengurangkan polinomial kepada bentuk piawai. Tugas biasa
Mari kita ingat definisi asas: polinomial ialah jumlah monomial. Setiap monomial yang merupakan sebahagian daripada polinomial sebagai istilah dipanggil ahlinya. Sebagai contoh:
binomial;
Polinomial;
binomial;
Memandangkan polinomial terdiri daripada monomial, tindakan pertama dengan polinomial menyusuli dari sini - anda perlu membawa semua monomial kepada bentuk standard. Biar kami mengingatkan anda bahawa untuk melakukan ini, anda perlu mendarab semua faktor berangka - dapatkan pekali berangka, dan darab kuasa yang sepadan - dapatkan bahagian huruf. Di samping itu, mari kita perhatikan teorem tentang hasil darab kuasa: apabila kuasa didarabkan, eksponennya bertambah.
Mari kita pertimbangkan operasi penting - mengurangkan polinomial kepada bentuk piawai. Contoh:
Ulasan: untuk membawa polinomial kepada bentuk standard, anda perlu membawa semua monomial yang termasuk dalam komposisinya kepada bentuk standard, selepas itu, jika terdapat monomial yang serupa - dan ini adalah monomial dengan bahagian huruf yang sama - lakukan tindakan dengan mereka .
Jadi, kami melihat masalah biasa pertama - membawa polinomial kepada bentuk standard.
Masalah tipikal seterusnya ialah mengira nilai khusus polinomial untuk nilai berangka yang diberikan bagi pembolehubah yang disertakan di dalamnya. Mari kita teruskan mempertimbangkan contoh sebelumnya dan tetapkan nilai pembolehubah:
Komen: mari kita ingat bahawa satu kepada mana-mana kuasa semula jadi adalah sama dengan satu, dan sifar kepada mana-mana kuasa semula jadi adalah sama dengan sifar, sebagai tambahan, kita ingat bahawa apabila mendarab sebarang nombor dengan sifar, kita mendapat sifar.
Mari kita lihat beberapa contoh operasi biasa untuk membawa polinomial kepada bentuk standard dan mengira nilainya:
Contoh 1 - bawa ke bentuk standard:
Komen: langkah pertama ialah membawa monomial ke bentuk standard, anda perlu membawa yang pertama, kedua dan keenam; tindakan kedua - kami membawa istilah yang serupa, iaitu, kami melakukan operasi aritmetik yang diberikan pada mereka: kami menambah yang pertama dengan yang kelima, yang kedua dengan yang ketiga, kami menulis semula yang lain tanpa perubahan, kerana mereka tidak mempunyai yang serupa.
Contoh 2 - hitung nilai polinomial daripada contoh 1 memandangkan nilai pembolehubah:
Ulasan: apabila mengira, anda harus ingat bahawa unit kepada mana-mana kuasa semula jadi adalah satu; jika sukar untuk mengira kuasa dua, anda boleh menggunakan jadual kuasa.
Contoh 3 - bukannya asterisk, letakkan monomial supaya hasilnya tidak mengandungi pembolehubah:
Komen: tanpa mengira tugas, tindakan pertama sentiasa sama - bawa polinomial ke bentuk standard. Dalam contoh kami, tindakan ini datang untuk membawa istilah yang serupa. Selepas ini, anda perlu membaca dengan teliti syarat itu sekali lagi dan memikirkan bagaimana kita boleh menghilangkan monomial. Adalah jelas bahawa untuk ini anda perlu menambah monomial yang sama kepadanya, tetapi dengan tanda yang bertentangan - . Seterusnya, kami menggantikan asterisk dengan monomial ini dan pastikan penyelesaian kami betul.
Kami mengatakan bahawa terdapat polinomial piawai dan bukan piawai. Di sana kami perhatikan bahawa sesiapa sahaja boleh membawa polinomial kepada bentuk piawai. Dalam artikel ini, mula-mula kita akan mengetahui maksud frasa ini. Seterusnya kami menyenaraikan langkah-langkah untuk menukar sebarang polinomial kepada bentuk piawai. Akhirnya, mari kita lihat penyelesaian contoh tipikal. Kami akan menerangkan penyelesaian dengan terperinci untuk memahami semua nuansa yang timbul apabila mengurangkan polinomial kepada bentuk standard.
Navigasi halaman.
Apakah yang dimaksudkan untuk mengurangkan polinomial kepada bentuk piawai?
Mula-mula anda perlu memahami dengan jelas apa yang dimaksudkan dengan mengurangkan polinomial kepada bentuk standard. Mari kita fikirkan perkara ini.
Polinomial, seperti mana-mana ungkapan lain, boleh tertakluk kepada transformasi yang sama. Hasil daripada melakukan transformasi sedemikian, ungkapan diperolehi yang sama dengan ungkapan asal. Oleh itu, melakukan transformasi tertentu dengan polinomial bentuk bukan piawai membolehkan seseorang beralih kepada polinomial yang sama dengannya, tetapi ditulis dalam bentuk piawai. Peralihan ini dipanggil mengurangkan polinomial kepada bentuk piawai.
Jadi, mengurangkan polinomial kepada bentuk piawai- ini bermakna menggantikan polinomial asal dengan polinomial yang sama dengan bentuk piawai, diperoleh daripada polinomial asal dengan menjalankan transformasi yang serupa.
Bagaimana untuk mengurangkan polinomial kepada bentuk standard?
Mari kita fikirkan tentang transformasi yang akan membantu kita membawa polinomial kepada bentuk standard. Kita akan bermula dari definisi polinomial bentuk piawai.
Mengikut takrifan, setiap sebutan polinomial bentuk piawai ialah monomial bentuk piawai, dan polinomial bentuk piawai tidak mengandungi istilah yang serupa. Sebaliknya, polinomial yang ditulis dalam bentuk selain daripada piawai boleh terdiri daripada monomial dalam bentuk bukan piawai dan boleh mengandungi istilah yang serupa. Ini mengikut logiknya peraturan seterusnya, menerangkan bagaimana untuk mengurangkan polinomial kepada bentuk piawai:
- mula-mula anda perlu membawa monomial yang membentuk polinomial asal kepada bentuk standard,
- kemudian lakukan pengurangan istilah yang serupa.
Akibatnya, polinomial bentuk piawai akan diperoleh, kerana semua istilahnya akan ditulis dalam bentuk piawai, dan ia tidak akan mengandungi istilah yang serupa.
Contoh, penyelesaian
Mari kita lihat contoh mengurangkan polinomial kepada bentuk piawai. Apabila menyelesaikan, kami akan mengikuti langkah-langkah yang ditentukan oleh peraturan dari perenggan sebelumnya.
Di sini kita perhatikan bahawa kadang-kadang semua istilah polinomial segera ditulis dalam bentuk piawai, dalam kes ini, cukup dengan hanya memberikan istilah yang serupa. Kadangkala, selepas mengurangkan istilah polinomial kepada bentuk piawai, tiada istilah yang serupa, oleh itu, peringkat membawa istilah yang serupa ditinggalkan dalam kes ini. DALAM kes am anda perlu melakukan kedua-duanya.
Contoh.
Kemukakan polinomial dalam bentuk piawai: 5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 , 0.8+2 a 3 0.6−b a b 4 b 5 Dan .
Penyelesaian.
Semua sebutan polinomial 5·x 2 ·y+2·y 3 −x·y+1 ditulis dalam bentuk piawai; ia tidak mempunyai sebutan yang serupa, oleh itu, polinomial ini telah pun dibentangkan dalam bentuk piawai.
Mari kita beralih kepada polinomial seterusnya 0.8+2 a 3 0.6−b a b 4 b 5. Bentuknya bukan piawai, seperti yang dibuktikan oleh istilah 2·a 3 ·0.6 dan −b·a·b 4 ·b 5 bagi bentuk bukan piawai. Mari kita membentangkannya dalam bentuk standard.
Pada peringkat pertama membawa polinomial asal kepada bentuk piawai, kita perlu membentangkan semua istilahnya dalam bentuk piawai. Oleh itu, kita kurangkan monomial 2·a 3 ·0.6 kepada bentuk piawai, kita ada 2·a 3 ·0.6=1.2·a 3 , selepas itu kita ambil monomial −b·a·b 4 ·b 5 , kita ada −b·a·b 4 ·b 5 =−a·b 1+4+5 =−a·b 10. Justeru, . Dalam polinomial yang terhasil, semua istilah ditulis dalam bentuk piawai, lebih-lebih lagi, jelas bahawa tiada istilah yang serupa di dalamnya. Akibatnya, ini melengkapkan pengurangan polinomial asal kepada bentuk piawai.
Ia kekal untuk membentangkan polinomial terakhir yang diberikan dalam bentuk piawai. Selepas membawa semua ahlinya ke bentuk standard, ia akan ditulis sebagai 
. Ia mempunyai ahli yang serupa, jadi anda perlu menghantar ahli yang serupa: 
Jadi polinomial asal mengambil bentuk piawai −x·y+1.
Jawapan:
5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 – sudah dalam bentuk piawai, 0.8+2 a 3 0.6−b a b 4 b 5 =0.8+1.2 a 3 −a b 10, .
Selalunya, membawa polinomial kepada bentuk piawai hanyalah satu langkah perantaraan dalam menjawab soalan yang dikemukakan tentang masalah tersebut. Sebagai contoh, mencari darjah polinomial memerlukan perwakilan awalnya dalam bentuk piawai.
Contoh.
Berikan polinomial 
kepada bentuk piawai, nyatakan darjahnya dan susun istilah dalam darjah menurun pembolehubah.
Penyelesaian.
Pertama, kami membawa semua istilah polinomial kepada bentuk piawai: 
.
Sekarang kami membentangkan istilah yang sama: 
Jadi kami membawa polinomial asal kepada bentuk piawai, ini membolehkan kami menentukan tahap polinomial, yang sama dengan tahap tertinggi monomial yang termasuk di dalamnya. Jelas sekali ia sama dengan 5.
Ia kekal untuk menyusun istilah polinomial dalam kuasa penurunan pembolehubah. Untuk melakukan ini, anda hanya perlu menyusun semula terma dalam polinomial bentuk standard yang terhasil, dengan mengambil kira keperluan. Ijazah terhebat mempunyai sebutan z 5, darjah sebutan , −0.5·z 2 dan 11 adalah sama dengan 3, 2 dan 0, masing-masing. Oleh itu, polinomial dengan sebutan yang disusun dalam kuasa menurun pembolehubah akan mempunyai bentuk 
.
Jawapan:
Darjah polinomial ialah 5, dan selepas menyusun sebutannya dalam darjah menurun pembolehubah, ia mengambil bentuk .
Bibliografi.
- Algebra: buku teks untuk darjah 7. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; diedit oleh S. A. Telyakovsky. - ed ke-17. - M.: Pendidikan, 2008. - 240 p. : sakit. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Mordkovich A. G. Algebra. darjah 7. Pada pukul 2 petang Bahagian 1. Buku teks untuk pelajar institusi pendidikan/ A. G. Mordkovich. - ed. ke-17, tambah. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 p.: sakit. ISBN 978-5-346-02432-3.
- Algebra dan bermula analisis matematik. darjah 10: buku teks. untuk pendidikan am institusi: asas dan profil. peringkat / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; diedit oleh A. B. Zhizhchenko. - ed ke-3. - M.: Pendidikan, 2010.- 368 p. : sakit. - ISBN 978-5-09-022771-1.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematik (manual untuk pemohon ke sekolah teknik): Proc. elaun.- M.; Lebih tinggi sekolah, 1984.-351 hlm., sakit.