– pasti akan ada tugasan pada trigonometri. Trigonometri selalunya tidak disukai kerana keperluan untuk menjejalkan sejumlah besar formula sukar, penuh dengan sinus, kosinus, tangen dan kotangen. Laman web ini pernah memberi nasihat tentang cara mengingati formula yang terlupa, menggunakan contoh formula Euler dan Peel.
Dan dalam artikel ini kami akan cuba menunjukkan bahawa sudah cukup untuk mengetahui hanya lima formula trigonometri mudah, dan mengetahui tentang yang lain. idea umum dan bawa mereka keluar semasa anda pergi. Ia seperti DNA: molekul tidak menyimpan cetak biru lengkap makhluk hidup yang telah siap. Sebaliknya, ia mengandungi arahan untuk memasangnya daripada asid amino yang tersedia. Jadi dalam trigonometri, mengetahui beberapa prinsip umum, kita akan dapat semuanya formula yang diperlukan daripada set kecil yang mesti diingati.
Kami akan bergantung pada formula berikut:
Daripada formula untuk jumlah sinus dan kosinus, mengetahui tentang pariti fungsi kosinus dan keganjilan fungsi sinus, menggantikan -b dan bukannya b, kita memperoleh formula untuk perbezaan:
- Sinus perbezaan: dosa(a-b) = dosaacos(-b)+cosadosa(-b) = dosaacosb-cosadosab
- Kosinus perbezaan: cos(a-b) = cosacos(-b)-dosaadosa(-b) = cosacosb+dosaadosab
Meletakkan a = b ke dalam formula yang sama, kita memperoleh formula untuk sinus dan kosinus sudut berganda:
- Resdung sudut berganda : dosa2a = dosa(a+a) = dosaacosa+cosadosaa = 2dosaacosa
- Kosinus sudut berganda: cos2a = cos(a+a) = cosacosa-dosaadosaa = cos2 a-dosa2 a
Formula untuk pelbagai sudut lain diperolehi dengan cara yang sama:
- Sinus sudut tiga kali ganda: dosa3a = dosa(2a+a) = dosa2acosa+cos2adosaa = (2dosaacosa)cosa+(cos2 a-dosa2 a)dosaa = 2dosaacos2 a+dosaacos2 a-dosa 3 a = 3 dosaacos2 a-dosa 3 a = 3 dosaa(1-dosa2 a)-dosa 3 a = 3 dosaa-4dosa 3a
- Kosinus sudut tiga: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosa-dosa2adosaa = (cos2 a-dosa2 a)cosa-(2dosaacosa)dosaa = cos 3 a- dosa2 acosa-2dosa2 acosa = cos 3 a-3 dosa2 acosa = cos 3 a-3(1- cos2 a)cosa = 4cos 3 a-3 cosa
Sebelum kita meneruskan, mari kita lihat satu masalah.
Diberi: sudut adalah akut.
Cari kosinusnya jika
Penyelesaian yang diberikan oleh seorang pelajar:
Kerana , Itu dosaa= 3,a cosa = 4.
(Dari humor matematik)
Jadi, takrif tangen mengaitkan fungsi ini kepada kedua-dua sinus dan kosinus. Tetapi anda boleh mendapatkan formula yang mengaitkan tangen hanya dengan kosinus. Untuk mendapatkannya, kami mengambil identiti trigonometri utama: dosa 2 a+cos 2 a= 1 dan bahagikannya dengan cos 2 a. Kami mendapat:
Jadi penyelesaian kepada masalah ini ialah:
(Oleh kerana sudut adalah akut, apabila mengekstrak akar, tanda + diambil)
Formula untuk tangen suatu jumlah adalah satu lagi yang sukar diingat. Mari keluarkannya seperti ini:
Dipamerkan serta merta dan
Daripada formula kosinus untuk sudut berganda, anda boleh mendapatkan formula sinus dan kosinus untuk separuh sudut. Untuk melakukan ini, gunakan pada sebelah kiri formula kosinus sudut berganda:
cos2
a = cos 2
a-dosa 2
a
kami menambah satu, dan ke kanan - unit trigonometri, i.e. hasil tambah kuasa dua sinus dan kosinus.
cos2a+1 = cos2 a-dosa2 a+cos2 a+dosa2 a
2cos 2
a = cos2
a+1
Menyatakan cosa melalui cos2
a dan melakukan perubahan pembolehubah, kita dapat:
Tanda diambil bergantung pada kuadran.
Begitu juga, menolak satu dari sebelah kiri kesamaan dan hasil tambah kuasa dua sinus dan kosinus dari kanan, kita dapat:
cos2a-1 = cos2 a-dosa2 a-cos2 a-dosa2 a
2dosa 2
a = 1-cos2
a
Dan akhirnya, untuk menukar jumlah fungsi trigonometri kepada produk, kami menggunakan teknik berikut. Katakan kita perlu mewakili jumlah sinus sebagai hasil darab dosaa+dosab. Mari kita perkenalkan pembolehubah x dan y supaya a = x+y, b+x-y. Kemudian
dosaa+dosab = dosa(x+y)+ dosa(x-y) = dosa x cos y+ cos x dosa y+ dosa x cos y- cos x dosa y=2 dosa x cos y. Mari kita nyatakan x dan y dalam sebutan a dan b.
Oleh kerana a = x+y, b = x-y, maka . sebab tu
Anda boleh menarik diri serta-merta
- Formula untuk pembahagian produk sinus dan kosinus V jumlah: dosaacosb = 0.5(dosa(a+b)+dosa(a-b))
Kami mengesyorkan agar anda berlatih dan memperoleh formula sendiri untuk menukar perbezaan sinus dan jumlah dan perbezaan kosinus kepada hasil darab, serta membahagikan hasil sinus dan kosinus kepada jumlah. Setelah menyelesaikan latihan ini, anda akan menguasai sepenuhnya kemahiran memperoleh formula trigonometri dan tidak akan tersesat walaupun dalam ujian, olimpiade atau ujian yang paling sukar.
Mari kita berurusan dengan konsep mudah: sinus dan kosinus dan pengiraan kosinus kuasa dua dan sinus kuasa dua.
Sinus dan kosinus dikaji dalam trigonometri (kajian segi tiga sudut tegak).
Oleh itu, pertama, mari kita ingat konsep asas segi tiga tepat:
Hipotenus- sebelah yang sentiasa terletak bertentangan sudut tepat(90 darjah sudut). Hipotenus ialah sisi terpanjang bagi segi tiga sudut tegak.
Baki dua sisi dalam segi tiga tepat dipanggil kaki.
Anda juga harus ingat bahawa tiga sudut dalam segitiga sentiasa ditambah sehingga 180°.
Sekarang mari kita beralih kepada kosinus dan sinus sudut alfa (∠α)(ini boleh dipanggil mana-mana sudut tidak langsung dalam segitiga atau digunakan sebagai sebutan x - "x", yang tidak mengubah intipati).
Sinus sudut alfa (sin ∠α)- ini adalah sikap bertentangan kaki (sisi bertentangan dengan sudut yang sepadan) dengan hipotenus. Jika anda melihat rajah, maka dosa ∠ABC = AC / BC
Kosinus sudut alfa (cos ∠α)- sikap bersebelahan ke sudut kaki ke hipotenus. Melihat semula rajah di atas, cos ∠ABC = AB / BC
Dan hanya untuk mengingatkan anda: kosinus dan sinus tidak akan pernah lebih daripada satu, kerana mana-mana gulungan adalah lebih pendek daripada hipotenus (dan hipotenus ialah sisi terpanjang bagi mana-mana segi tiga, kerana sisi terpanjang terletak bertentangan dengan sudut terbesar dalam segi tiga).
Kosinus kuasa dua, sinus kuasa dua
Sekarang mari kita beralih kepada yang utama rumus trigonometri: Kira kosinus kuasa dua dan sinus kuasa dua.
Untuk mengiranya, anda harus ingat identiti trigonometri asas:
sin 2 α + cos 2 α = 1(segiempat sinus ditambah kuasa dua kosinus satu sudut sentiasa sama dengan satu).
daripada identiti trigonometri kami membuat kesimpulan tentang sinus:
sin 2 α = 1 - cos 2 α
sinus segi empat sama alfa sama dengan satu tolak kosinus alfa sudut berganda dan bahagikan semuanya dengan dua.
sin 2 α = (1 – cos(2α)) / 2
Daripada identiti trigonometri kita membuat kesimpulan tentang kosinus:
cos 2 α = 1 - sin 2 α
atau lebih pilihan yang sukar formula: kosinus segi empat sama alfa adalah sama dengan satu ditambah kosinus alfa sudut berganda dan juga membahagikan semuanya dengan dua.
cos 2 α = (1 + cos(2α)) / 2
Dua ini lebih formula kompleks kuasa dua sinus dan kuasa dua kosinus juga dipanggil "mengurangkan darjah bagi kuasa dua fungsi trigonometri." Itu. terdapat ijazah kedua, mereka menurunkannya kepada yang pertama dan pengiraan menjadi lebih mudah.
Penyelesaian yang paling mudah persamaan trigonometri.
Menyelesaikan persamaan trigonometri bagi sebarang tahap kerumitan akhirnya bermuara kepada penyelesaian persamaan trigonometri yang paling mudah. Dan dalam ini penolong terbaik sekali lagi ia menjadi bulatan trigonometri.
Mari kita ingat semula definisi kosinus dan sinus.
Kosinus suatu sudut ialah absis (iaitu koordinat sepanjang paksi) suatu titik pada bulatan unit, sepadan dengan putaran melalui sudut tertentu.
Sinus suatu sudut ialah koordinat (iaitu, koordinat sepanjang paksi) suatu titik pada bulatan unit yang sepadan dengan putaran melalui sudut tertentu.
Arah positif pergerakan pada bulatan trigonometri adalah lawan jam. Putaran 0 darjah (atau 0 radian) sepadan dengan titik dengan koordinat (1;0)
Kami menggunakan takrifan ini untuk menyelesaikan persamaan trigonometri mudah.
1. Selesaikan persamaan
Persamaan ini dipenuhi dengan semua nilai sudut putaran yang sepadan dengan titik pada bulatan yang ordinatnya sama dengan .
Mari kita tandakan titik dengan ordinat pada paksi ordinat:
Mari kita laksanakan garisan mendatar selari dengan paksi-x sehingga ia bersilang dengan bulatan. Kami mendapat dua mata yang terletak pada bulatan dan mempunyai ordinat. Titik ini sepadan dengan sudut putaran dalam dan radian:
Jika kita, meninggalkan titik yang sepadan dengan sudut putaran oleh radian, pergi sekeliling bulatan penuh, maka kita akan tiba pada titik yang sepadan dengan sudut putaran setiap radian dan mempunyai ordinat yang sama. Iaitu, sudut putaran ini juga memenuhi persamaan kami. Kita boleh membuat seberapa banyak revolusi "terbiar" yang kita suka, kembali ke titik yang sama, dan semua nilai sudut ini akan memenuhi persamaan kita. Bilangan revolusi "terbiar" akan dilambangkan dengan huruf (atau). Memandangkan kita boleh membuat revolusi ini dalam kedua-dua arah positif dan negatif, (atau) boleh mengambil sebarang nilai integer.
Iaitu, siri pertama penyelesaian kepada persamaan asal mempunyai bentuk:
, , - set integer (1)
Begitu juga, siri penyelesaian kedua mempunyai bentuk:
, Di mana , . (2)
Seperti yang anda duga, siri penyelesaian ini adalah berdasarkan titik pada bulatan yang sepadan dengan sudut putaran dengan .
Kedua-dua siri penyelesaian ini boleh digabungkan menjadi satu entri:
Jika kita dalam ini mari ambil nota(iaitu, genap), maka kita mendapat siri pertama penyelesaian.
Jika kita ambil (iaitu ganjil) dalam entri ini, maka kita mendapat penyelesaian siri kedua.
2. Sekarang mari kita selesaikan persamaan
Oleh kerana ini adalah absis titik pada bulatan unit yang diperoleh dengan berputar melalui sudut, kami menandakan titik dengan absis pada paksi:
Mari kita laksanakan garis menegak selari dengan paksi sehingga ia bersilang dengan bulatan. Kami akan mendapat dua mata yang terletak pada bulatan dan mempunyai abscissa. Titik ini sepadan dengan sudut putaran dalam dan radian. Ingat bahawa apabila bergerak mengikut arah jam kita mendapat sudut putaran negatif:
Mari kita tulis dua siri penyelesaian:
,
,
(Kita sampai ke titik yang dikehendaki dengan pergi dari bulatan penuh utama, iaitu.
Mari gabungkan dua siri ini menjadi satu entri:
3. Selesaikan persamaan
Garis tangen melalui titik dengan koordinat (1,0) bulatan unit selari dengan paksi OY
Mari kita tandakan titik di atasnya dengan ordinat sama dengan 1 (kita sedang mencari tangen yang sudutnya sama dengan 1):
Mari kita sambungkan titik ini kepada asal koordinat dengan garis lurus dan tandakan titik persilangan garis dengan bulatan unit. Titik persilangan garis lurus dan bulatan sepadan dengan sudut putaran pada dan :
Oleh kerana titik yang sepadan dengan sudut putaran yang memenuhi persamaan kita terletak pada jarak radian antara satu sama lain, kita boleh menulis penyelesaiannya dengan cara ini:
4. Selesaikan persamaan
Garisan kotangen melalui titik dengan koordinat bulatan unit selari dengan paksi.
Mari kita tandai titik dengan abscissa -1 pada garisan kotangen:
Mari kita sambungkan titik ini dengan asal garis lurus dan teruskan sehingga ia bersilang dengan bulatan. Garis lurus ini akan memotong bulatan pada titik yang sepadan dengan sudut putaran dalam dan radian:
Oleh kerana titik-titik ini dipisahkan antara satu sama lain dengan jarak yang sama dengan , kita boleh menulis penyelesaian umum persamaan ini seperti berikut:
Dalam contoh yang diberikan yang menggambarkan penyelesaian persamaan trigonometri yang paling mudah, nilai jadual fungsi trigonometri telah digunakan.
Walau bagaimanapun, jika sebelah kanan persamaan mengandungi nilai bukan jadual, maka kita menggantikan nilai tersebut ke dalam penyelesaian umum persamaan:
PENYELESAIAN KHAS:
Mari kita tandai titik-titik pada bulatan yang ordinatnya ialah 0:
Mari kita tandakan satu titik pada bulatan yang ordinatnya ialah 1:
Mari kita tandakan satu titik pada bulatan yang ordinatnya sama dengan -1:
Oleh kerana kebiasaan untuk menunjukkan nilai yang paling hampir dengan sifar, kami menulis penyelesaiannya seperti berikut:
Mari kita tandai titik-titik pada bulatan yang absisnya sama dengan 0:
5.
Mari kita tandai satu titik pada bulatan yang absisnya sama dengan 1:
Mari kita tandai satu titik pada bulatan yang absisnya sama dengan -1:
Dan contoh yang lebih kompleks:
1.
Sinus adalah sama dengan satu jika hujahnya sama dengan
Hujah sinus kita adalah sama, jadi kita dapat:
Bahagikan kedua-dua belah kesamaan dengan 3:
Jawapan:
2.
kosinus sama dengan sifar, jika hujah kosinus adalah sama dengan
Hujah kosinus kita adalah sama dengan , jadi kita dapat:
Mari kita nyatakan , untuk melakukan ini kita mula-mula bergerak ke kanan dengan tanda yang bertentangan:
Mari permudahkan bahagian kanan:
Bahagikan kedua-dua belah dengan -2:
Ambil perhatian bahawa tanda di hadapan istilah tidak berubah, kerana k boleh mengambil sebarang nilai integer.
Jawapan:
Dan akhirnya, tonton video tutorial “Memilih punca dalam persamaan trigonometri menggunakan bulatan trigonometri"
Ini menyimpulkan perbualan kami tentang menyelesaikan persamaan trigonometri mudah. Lain kali kita akan bercakap tentang bagaimana untuk membuat keputusan.
Sinus dan kosinus pada asalnya timbul daripada keperluan untuk mengira kuantiti dalam segi tiga tepat. Adalah diperhatikan bahawa jika ukuran darjah sudut dalam segi tiga tepat tidak diubah, maka nisbah bidang, tidak kira berapa banyak sisi ini berubah panjang, sentiasa kekal sama.
Ini adalah bagaimana konsep sinus dan kosinus diperkenalkan. Resdung sudut akut dalam segi tiga tegak ialah nisbah kaki bertentangan kepada hipotenus, dan kosinus bersebelahan dengan hipotenus.
Teorem kosinus dan sinus
Tetapi kosinus dan sinus boleh digunakan untuk lebih daripada segi tiga tepat. Untuk mencari nilai sudut tumpul atau akut atau sisi mana-mana segi tiga, cukup menggunakan teorem kosinus dan sinus.
Teorem kosinus agak mudah: “Segi empat sama sisi segi tiga sama dengan jumlah segi empat sama dua sisi yang lain tolak dua kali hasil darab sisi-sisi ini dengan kosinus sudut di antara mereka.”
Terdapat dua tafsiran teorem sinus: kecil dan lanjutan. Menurut yang kecil: "Dalam segitiga, sudut adalah berkadar pihak lawan». Teorem ini sering mengembang disebabkan oleh sifat bulatan yang dihadkan bagi segi tiga: "Dalam segitiga, sudut adalah berkadar dengan sisi bertentangan, dan nisbahnya adalah sama dengan diameter bulatan yang dihadkan."
Derivatif
Derivatif ialah alat matematik yang menunjukkan betapa cepat fungsi berubah berbanding dengan perubahan dalam hujahnya. Derivatif digunakan dalam geometri, dan dalam beberapa disiplin teknikal.
Apabila menyelesaikan masalah, anda perlu mengetahui nilai jadual derivatif fungsi trigonometri: sinus dan kosinus. Terbitan sinus ialah kosinus, dan kosinus ialah sinus, tetapi dengan tanda tolak.
Aplikasi dalam matematik
Sinus dan kosinus terutamanya sering digunakan semasa menyelesaikan segi tiga tepat dan tugas yang berkaitan dengannya.
Kemudahan sinus dan kosinus juga dicerminkan dalam teknologi. Adalah mudah untuk menilai sudut dan sisi menggunakan teorem kosinus dan sinus, pecah angka kompleks dan objek menjadi segi tiga "mudah". Jurutera sering berurusan dengan pengiraan nisbah aspek dan ukuran darjah, menghabiskan banyak masa dan usaha untuk mengira kosinus dan sinus bagi sudut bukan jadual.
Kemudian jadual Bradis datang untuk menyelamatkan, mengandungi beribu-ribu nilai sinus, kosinus, tangen dan kotangen sudut yang berbeza. DALAM era Soviet beberapa guru memaksa pelajar mereka menghafal muka surat jadual Bradis.
Radian - magnitud sudut lengkok, panjang sama dengan jejari atau 57.295779513° darjah.
Darjah (dalam geometri) - 1/360 bahagian bulatan atau 1/90 bahagian sudut tegak.
π = 3.141592653589793238462… ( nilai anggaran Nombor Pi).
Jadual kosinus untuk sudut: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.
| Sudut x (dalam darjah) | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° | 210° | 225° | 240° | 270° | 300° | 315° | 330° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Sudut x (dalam radian) | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | 2 x π/3 | 3 x π/4 | 5 x π/6 | π | 7 x π/6 | 5 x π/4 | 4 x π/3 | 3 x π/2 | 5 x π/3 | 7 x π/4 | 11 x π/6 | 2 x π |
| kerana x | 1 | √3/2 (0,8660) | √2/2 (0,7071) | 1/2 (0,5) | 0 | -1/2 (-0,5) | -√2/2 (-0,7071) | -√3/2 (-0,8660) | -1 | -√3/2 (-0,8660) | -√2/2 (-0,7071) | -1/2 (-0,5) | 0 | 1/2 (0,5) | √2/2 (0,7071) | √3/2 (0,8660) | 1 |