Pecahan ialah satu atau lebih bahagian yang sama bagi satu keseluruhan. Satu pecahan ditulis menggunakan dua nombor asli, yang dipisahkan oleh garis. Contohnya, 1/2, 14/4, ¾, 5/9, dsb.
Nombor yang ditulis di atas garis dipanggil pengangka pecahan, dan nombor yang ditulis di bawah garis dipanggil penyebut pecahan.
Untuk nombor pecahan, yang penyebutnya ialah 10, 100, 1000, dsb. Kami bersetuju untuk menulis nombor tanpa penyebut. Untuk melakukan ini, mula-mula tulis bahagian integer nombor, letakkan koma dan tulis bahagian pecahan nombor ini, iaitu, pengangka bahagian pecahan.
Sebagai contoh, bukannya 6 * (7 / 10) mereka menulis 6.7.
Tatatanda ini biasanya dipanggil pecahan perpuluhan.
Bagaimana untuk membandingkan dua perpuluhan
Mari kita fikirkan cara membandingkan dua pecahan perpuluhan. Untuk melakukan ini, mari kita sahkan dahulu satu fakta tambahan.
Sebagai contoh, panjang segmen tertentu ialah 7 sentimeter atau 70 mm. Juga 7 cm = 7/10 dm atau dalam tatatanda perpuluhan 0.7 dm.
Sebaliknya, 1 mm = 1/100 dm, kemudian 70 mm = 70/100 dm atau dalam tatatanda perpuluhan 0.70 dm.
Oleh itu, kita mendapat bahawa 0.7 = 0.70.
Daripada ini kita membuat kesimpulan bahawa jika kita menambah atau membuang sifar pada akhir pecahan perpuluhan, kita mendapat pecahan yang sama dengan yang diberikan. Dengan kata lain, nilai pecahan tidak akan berubah.
Pecahan dengan penyebut yang sama
Katakan kita perlu membandingkan dua pecahan perpuluhan 4.345 dan 4.36.
Mula-mula anda perlu menyamakan bilangan tempat perpuluhan dengan menambah atau membuang sifar di sebelah kanan. Keputusannya ialah 4.345 dan 4.360.
Sekarang anda perlu menuliskannya sebagai pecahan tak wajar:
- 4,345 = 4345 / 1000 ;
- 4,360 = 4360 / 1000 .
Pecahan yang terhasil penyebut yang sama. Mengikut peraturan untuk membandingkan pecahan, kita tahu bahawa dalam kes ini pecahan dengan pengangka yang lebih besar adalah lebih besar. Ini bermakna pecahan 4.36 lebih besar daripada pecahan 4.345.
Oleh itu, untuk membandingkan dua pecahan perpuluhan, anda mesti terlebih dahulu menyamakan bilangan tempat perpuluhan di dalamnya dengan menambah sifar pada salah satu daripadanya di sebelah kanan, dan kemudian, membuang koma, bandingkan nombor asli yang terhasil.
Pecahan perpuluhan boleh diwakili sebagai titik pada garis nombor. Dan oleh itu, kadang-kadang dalam kes apabila satu nombor lebih besar daripada yang lain, mereka mengatakan bahawa nombor ini terletak di sebelah kanan yang lain, atau jika ia kurang, kemudian ke kiri.
Jika dua pecahan perpuluhan adalah sama, maka ia diwakili oleh titik yang sama pada garis nombor.
Topik ini akan membincangkan bagaimana skim umum perbandingan pecahan perpuluhan, serta analisis terperinci tentang prinsip perbandingan terhingga dan pecahan tak terhingga. Bahagian teori kami akan perbaiki dengan keputusan tugas biasa. Kita juga akan melihat contoh perbandingan pecahan perpuluhan dengan semula jadi atau nombor bercampur, dan pecahan biasa.
Mari kita membuat penjelasan: secara teori, perbandingan hanya pecahan perpuluhan positif akan dipertimbangkan di bawah.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Prinsip am untuk membandingkan pecahan perpuluhan
Untuk setiap pecahan perpuluhan berkala terhingga dan pecahan berkala tak terhingga terdapat beberapa yang sepadan pecahan sepunya. Akibatnya, perbandingan pecahan berkala terhingga dan tak terhingga boleh dibuat sebagai perbandingan pecahan biasa yang sepadan. Sebenarnya, pernyataan ini adalah prinsip umum untuk membandingkan pecahan berkala perpuluhan.
Atas dasar prinsip umum, peraturan untuk membandingkan pecahan perpuluhan dirumuskan, yang mematuhinya adalah mungkin untuk tidak menukar pecahan perpuluhan yang dibandingkan kepada pecahan biasa.
Perkara yang sama boleh dikatakan tentang kes apabila pecahan berkala perpuluhan dibandingkan dengan nombor asli atau nombor bercampur, pecahan biasa - nombor yang diberi mesti digantikan dengan pecahan biasa yang sepadan.
Jika kita bercakap tentang tentang perbandingan pecahan tak berkala tak terhingga, maka biasanya dikurangkan kepada perbandingan pecahan perpuluhan terhingga. Sebagai pertimbangan, sebilangan tanda pecahan perpuluhan tak berkala tak terhingga yang dibandingkan diambil, yang akan memungkinkan untuk mendapatkan hasil perbandingan.
Perpuluhan sama dan tidak sama
Definisi 1Perpuluhan yang sama- ini ialah dua pecahan perpuluhan terhingga yang pecahan biasa yang sepadan adalah sama. DALAM sebaliknya perpuluhan ialah tidak sama rata.
Berdasarkan definisi ini, adalah mudah untuk mewajarkan pernyataan berikut: jika anda menandatangani atau, sebaliknya, membuang beberapa digit 0 pada penghujung pecahan perpuluhan yang diberikan, anda akan mendapat pecahan perpuluhan yang sama dengannya. Contohnya: 0, 5 = 0, 50 = 0, 500 = …. Atau: 130, 000 = 130, 00 = 130, 0 = 130. Pada asasnya, menambah atau menjatuhkan sifar pada penghujung pecahan di sebelah kanan bermakna mendarab atau membahagi dengan 10 pengangka dan penyebut bagi pecahan biasa yang sepadan. Mari kita tambah kepada apa yang telah dikatakan sifat asas pecahan (dengan mendarab atau membahagikan pengangka dan penyebut pecahan dengan nombor asli yang sama, kita memperoleh pecahan yang sama dengan pecahan asal) dan kita mempunyai bukti pernyataan di atas.
Sebagai contoh, pecahan perpuluhan 0.7 sepadan dengan pecahan biasa 7 10. Menambah sifar ke kanan, kita dapat perpuluhan 0, 70, yang sepadan dengan pecahan sepunya 70 100, 7 70 100: 10 . Iaitu: 0.7 = 0.70. Dan sebaliknya: membuang sifar di sebelah kanan dalam pecahan perpuluhan 0, 70, kita mendapat pecahan 0, 7 - oleh itu, dari pecahan perpuluhan 70 100 kita pergi ke pecahan 7 10, tetapi 7 10 = 70: 10 100 : 10 Kemudian: 0, 70 = 0 , 7 .
Sekarang pertimbangkan kandungan konsep pecahan perpuluhan berkala tak terhingga sama dan tak terhingga.
Definisi 2
Pecahan berkala tak terhingga sama ialah pecahan berkala tak terhingga yang pecahan biasa yang sepadan adalah sama. Jika pecahan biasa yang sepadan dengannya tidak sama, maka pecahan berkala yang diberikan untuk perbandingan adalah juga tidak sama rata.
Definisi ini membolehkan kita membuat kesimpulan berikut:
Jika tatatanda bagi pecahan perpuluhan berkala yang diberikan bertepatan, maka pecahan tersebut adalah sama. Sebagai contoh, pecahan perpuluhan berkala 0.21 (5423) dan 0.21 (5423) adalah sama;
Jika dalam pecahan berkala perpuluhan yang diberi tempoh bermula dari kedudukan yang sama, pecahan pertama mempunyai tempoh 0, dan yang kedua mempunyai tempoh 9; nilai digit sebelum tempoh 0 adalah satu lebih besar daripada nilai digit sebelum tempoh 9, maka pecahan perpuluhan berkala tak terhingga itu adalah sama. Sebagai contoh, pecahan berkala 91, 3 (0) dan 91, 2 (9), serta pecahan: 135, (0) dan 134, (9) adalah sama;
Mana-mana dua pecahan berkala lain tidak sama. Contohnya: 8, 0 (3) dan 6, (32); 0 , (42) dan 0 , (131), dsb.
Ia kekal untuk mempertimbangkan pecahan perpuluhan tak berkala tak terhingga sama dan tidak sama. Pecahan tersebut ialah nombor tidak rasional, dan ia tidak boleh ditukar kepada pecahan biasa. Akibatnya, perbandingan pecahan perpuluhan tak berkala tak terhingga tidak dikurangkan kepada perbandingan pecahan biasa.
Definisi 3
Perpuluhan tak berkala tak terhingga sama- ini adalah pecahan perpuluhan bukan berkala, yang entrinya bertepatan sepenuhnya.
Soalan logiknya ialah: bagaimana untuk membandingkan rekod jika mustahil untuk melihat rekod "selesai" bagi pecahan tersebut? Apabila membandingkan pecahan perpuluhan tak berkala tak terhingga, anda hanya perlu mempertimbangkan beberapa nombor akhir tanda-tanda pecahan yang diberi untuk perbandingan supaya membolehkan membuat kesimpulan. Itu. Pada asasnya, membandingkan perpuluhan tak berkala tak terhingga ialah membandingkan perpuluhan terhingga.
Pendekatan ini memungkinkan untuk menegaskan kesamaan pecahan tak berkala tak terhingga hanya sehingga digit yang dipersoalkan. Sebagai contoh, pecahan 6, 73451... dan 6, 73451... adalah sama dengan ratus perseribu yang terdekat, kerana pecahan perpuluhan akhir 6, 73451 dan 6, 7345 adalah sama. Pecahan 20, 47... dan 20, 47... adalah sama dengan perseratus terdekat, kerana pecahan 20, 47 dan 20, 47 adalah sama dan seterusnya.
Ketaksamaan pecahan tak berkala tak terhingga diwujudkan dengan agak khusus dengan perbezaan yang jelas dalam tatatanda. Contohnya, pecahan 6, 4135... dan 6, 4176... atau 4, 9824... dan 7, 1132... dan seterusnya adalah tidak sama.
Peraturan untuk membandingkan pecahan perpuluhan. Contoh Penyelesaian
Jika didapati bahawa dua pecahan perpuluhan adalah tidak sama, biasanya juga perlu untuk menentukan yang mana lebih besar dan yang mana lebih kecil. Mari kita pertimbangkan peraturan untuk membandingkan pecahan perpuluhan, yang memungkinkan untuk menyelesaikan masalah di atas.
Selalunya cukup hanya untuk membandingkan keseluruhan bahagian pecahan perpuluhan yang diberikan untuk perbandingan.
Definisi 4
Pecahan perpuluhan yang keseluruhan bahagian lebih banyak lagi. Pecahan yang lebih kecil ialah pecahan yang keseluruhan bahagiannya lebih kecil.
Peraturan ini digunakan untuk kedua-dua pecahan perpuluhan terhingga dan tak terhingga.
Contoh 1
Adalah perlu untuk membandingkan pecahan perpuluhan: 7, 54 dan 3, 97823....
Penyelesaian
Agak jelas bahawa pecahan perpuluhan yang diberikan adalah tidak sama. Seluruh bahagian mereka adalah sama masing-masing: 7 dan 3. Kerana 7 > 3, kemudian 7, 54 > 3, 97823….
Jawapan: 7 , 54 > 3 , 97823 … .
Dalam kes apabila keseluruhan bahagian pecahan yang diberikan untuk perbandingan adalah sama, penyelesaian masalah dikurangkan kepada membandingkan bahagian pecahan. Perbandingan bahagian pecahan dilakukan sedikit demi sedikit - dari tempat persepuluh ke yang lebih rendah.
Mari kita pertimbangkan dahulu kes apabila kita perlu membandingkan pecahan perpuluhan terhingga.
Contoh 2
Adalah perlu untuk membandingkan pecahan perpuluhan akhir 0.65 dan 0.6411.
Penyelesaian
Jelas sekali, bahagian integer bagi pecahan yang diberi adalah sama (0 = 0). Mari kita bandingkan bahagian pecahan: di tempat persepuluh nilainya sama (6 = 6), tetapi di tempat perseratus nilai pecahan 0.65 lebih besar daripada nilai tempat perseratus dalam pecahan 0.6411 (5 > 4) . Oleh itu, 0.65 > 0.6411.
Jawapan: 0 , 65 > 0 , 6411 .
Dalam beberapa masalah membandingkan pecahan perpuluhan terhingga dengan jumlah yang berbeza tempat perpuluhan, adalah perlu untuk menambah bilangan sifar yang diperlukan di sebelah kanan kepada pecahan dengan tempat perpuluhan yang lebih sedikit. Adalah mudah untuk menyamakan dengan cara ini bilangan tempat perpuluhan dalam pecahan tertentu walaupun sebelum memulakan perbandingan.
Contoh 3
Adalah perlu untuk membandingkan pecahan perpuluhan akhir 67, 0205 dan 67, 020542.
Penyelesaian
Pecahan ini jelas tidak sama, kerana rekod mereka berbeza. Selain itu, bahagian integernya adalah sama: 67 = 67. Sebelum kita memulakan perbandingan bitwise bagi bahagian pecahan pecahan yang diberi, mari kita samakan bilangan tempat perpuluhan dengan menambah sifar di sebelah kanan dalam pecahan dengan tempat perpuluhan yang lebih sedikit. Kemudian kita mendapat pecahan untuk perbandingan: 67, 020500 dan 67, 020542. Kami menjalankan perbandingan bitwise dan melihat bahawa di tempat ratus ribu nilai dalam pecahan 67.020542 adalah lebih besar daripada nilai yang sepadan dalam pecahan 67.020500 (4 > 0). Oleh itu, 67, 020500< 67 , 020542 , а значит 67 , 0205 < 67 , 020542 .
Jawapan: 67 , 0205 < 67 , 020542 .
Jika anda perlu membandingkan pecahan perpuluhan terhingga dengan pecahan tak terhingga, maka pecahan akhir digantikan dengan yang tak terhingga, sama dengannya dengan tempoh 0. Kemudian perbandingan bitwise dilakukan.
Contoh 4
Adalah perlu untuk membandingkan pecahan perpuluhan terhingga 6, 24 dengan pecahan perpuluhan tak berkala tak terhingga 6, 240012 ...
Penyelesaian
Kami melihat bahawa bahagian integer bagi pecahan yang diberikan adalah sama (6 = 6). Di tempat persepuluh dan perseratus, nilai kedua-dua pecahan juga sama. Untuk dapat membuat kesimpulan, kami meneruskan perbandingan, menggantikan pecahan perpuluhan terhingga dengan pecahan tak terhingga yang sama dengan tempoh 0 dan kami mendapat: 6, 240000 .... Setelah mencapai tempat perpuluhan kelima, kita dapati perbezaannya: 0< 1 , а значит: 6 , 240000 … < 6 , 240012 … . Тогда: 6 , 24 < 6 , 240012 … .
Jawapan: 6, 24< 6 , 240012 … .
Apabila membandingkan pecahan perpuluhan tak terhingga, perbandingan tempat demi tempat juga digunakan, yang berakhir apabila nilai di beberapa tempat bagi pecahan yang diberikan ternyata berbeza.
Contoh 5
Adalah perlu untuk membandingkan pecahan perpuluhan tak terhingga 7, 41 (15) dan 7, 42172....
Penyelesaian
Dalam pecahan yang diberikan terdapat bahagian integer yang sama, nilai persepuluh juga sama, tetapi di tempat perseratus kita melihat perbezaan: 1< 2 . Тогда: 7 , 41 (15) < 7 , 42172 … .
Jawapan: 7 , 41 (15) < 7 , 42172 … .
Contoh 6
Adalah perlu untuk membandingkan pecahan berkala tak terhingga 4, (13) dan 4, (131).
Penyelesaian:
Persamaan adalah jelas dan benar: 4, (13) = 4, 131313... dan 4, (133) = 4, 131131.... Kami membandingkan bahagian integer dan pecahan bitwise, dan pada tempat perpuluhan keempat kami membetulkan percanggahan: 3 > 1. Kemudian: 4, 131313... > 4, 131131..., dan 4, (13) > 4, (131).
Jawapan: 4 , (13) > 4 , (131) .
Untuk mendapatkan hasil membandingkan pecahan perpuluhan dengan nombor asli, anda perlu membandingkan keseluruhan bahagian pecahan tertentu dengan nombor asli yang diberikan. Perlu diambil kira bahawa pecahan berkala dengan tempoh 0 atau 9 mesti terlebih dahulu diwakili dalam bentuk pecahan perpuluhan terhingga yang sama dengannya.
Definisi 5
Jika bahagian integer bagi pecahan perpuluhan yang diberikan adalah kurang daripada nombor asli yang diberikan, maka keseluruhan pecahan adalah lebih kecil berkenaan dengan nombor asli yang diberikan. Jika bahagian integer bagi pecahan yang diberi lebih besar daripada atau sama dengan nombor asli yang diberikan, maka pecahan itu lebih besar daripada nombor asli yang diberikan.
Contoh 7
Adalah perlu untuk membandingkan nombor asli 8 dan pecahan perpuluhan 9, 3142....
Penyelesaian:
Nombor asli yang diberi adalah kurang daripada keseluruhan bahagian pecahan perpuluhan yang diberi (8< 9) , а значит это число меньше заданной десятичной дроби.
Jawapan: 8 < 9 , 3142 … .
Contoh 8
Adalah perlu untuk membandingkan nombor asli 5 dan pecahan perpuluhan 5, 6.
Penyelesaian
Bahagian integer bagi pecahan tertentu adalah sama dengan nombor asli yang diberikan, maka, mengikut peraturan di atas, 5< 5 , 6 .
Jawapan: 5 < 5 , 6 .
Contoh 9
Ia adalah perlu untuk membandingkan nombor asli 4 dan pecahan perpuluhan berkala 3, (9).
Penyelesaian
Tempoh pecahan perpuluhan yang diberikan ialah 9, yang bermaksud bahawa sebelum perbandingan adalah perlu untuk menggantikan pecahan perpuluhan yang diberikan dengan nombor terhingga atau asli yang sama dengannya. DALAM dalam kes ini: 3, (9) = 4. Oleh itu, data asal adalah sama.
Jawapan: 4 = 3, (9).
Untuk membandingkan pecahan perpuluhan dengan pecahan atau nombor bercampur, anda mesti:
Tulis pecahan atau nombor bercampur sebagai perpuluhan, dan kemudian bandingkan perpuluhan atau
- tulis pecahan perpuluhan sebagai pecahan biasa (kecuali pecahan tak berkala tak terhingga), dan kemudian lakukan perbandingan dengan pecahan biasa atau nombor bercampur yang diberikan.
Contoh 10
Adalah perlu untuk membandingkan pecahan perpuluhan 0.34 dan pecahan biasa 1 3.
Penyelesaian
Mari selesaikan masalah dengan dua cara.
- Mari kita tulis pecahan biasa yang diberi 1 3 dalam bentuk pecahan perpuluhan berkala yang sama: 0, 33333.... Maka ia menjadi perlu untuk membandingkan pecahan perpuluhan 0, 34 dan 0, 33333.... Kami mendapat: 0, 34 > 0, 33333 ..., yang bermaksud 0, 34 > 1 3.
- Mari kita tulis pecahan perpuluhan yang diberi 0, 34 sebagai pecahan biasa yang sama dengannya. Iaitu: 0, 34 = 34,100 = 17,50. Mari kita bandingkan pecahan biasa dengan penyebut yang berbeza dan kita dapat: 17 50 > 1 3 . Oleh itu, 0, 34 > 1 3.
Jawapan: 0 , 34 > 1 3 .
Contoh 11
Adalah perlu untuk membandingkan pecahan perpuluhan tak berkala tak terhingga 4, 5693 ... dan nombor bercampur 4 3 8 .
Penyelesaian
Perpuluhan tak berkala tak terhingga tidak boleh diwakili sebagai nombor bercampur, tetapi adalah mungkin untuk menukar nombor bercampur menjadi pecahan tak wajar, dan, seterusnya, tuliskannya dalam bentuk pecahan perpuluhan yang sama dengannya. Kemudian: 4 3 8 = 35 8 dan
Mereka.: 4 3 8 = 35 8 = 4.375. Mari bandingkan pecahan perpuluhan: 4, 5693 ... dan 4, 375 (4, 5693 ... > 4, 375) dan dapatkan: 4, 5693 ... > 4 3 8.
Jawapan: 4 , 5693 … > 4 3 8 .
Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter
Dalam artikel ini kita akan melihat topik " membandingkan perpuluhan" Mula-mula mari kita berbincang prinsip umum perbandingan pecahan perpuluhan. Selepas ini, kita akan mengetahui pecahan perpuluhan yang sama dan yang tidak sama. Seterusnya, kita akan belajar untuk menentukan pecahan perpuluhan mana yang lebih besar dan yang mana lebih kecil. Untuk melakukan ini, kita akan mengkaji peraturan untuk membandingkan pecahan terhingga, berkala tak terhingga dan pecahan tak berkala tak terhingga. Kami akan memberikan keseluruhan teori dengan contoh dengan penyelesaian terperinci. Kesimpulannya, mari kita lihat perbandingan pecahan perpuluhan dengan nombor asli, pecahan biasa dan nombor bercampur.
Katakan segera bahawa di sini kita hanya akan bercakap tentang membandingkan pecahan perpuluhan positif (lihat nombor positif dan negatif). Kes selebihnya dibincangkan dalam artikel perbandingan nombor rasional dan perbandingan nombor nyata.
Navigasi halaman.
Prinsip am untuk membandingkan pecahan perpuluhan
Berdasarkan prinsip perbandingan ini, peraturan untuk membandingkan pecahan perpuluhan diterbitkan yang memungkinkan untuk dilakukan tanpa menukar pecahan perpuluhan yang dibandingkan kepada pecahan biasa. Kami akan membincangkan peraturan ini, serta contoh aplikasinya, dalam perenggan berikut.
Prinsip yang sama digunakan untuk membandingkan pecahan perpuluhan terhingga atau pecahan perpuluhan berkala tak terhingga dengan nombor asli, pecahan biasa dan nombor bercampur: nombor yang dibandingkan digantikan dengan pecahan biasa yang sepadan, selepas itu pecahan biasa dibandingkan.
berkenaan perbandingan perpuluhan tak berkala tak terhingga, maka ia biasanya datang untuk membandingkan pecahan perpuluhan terhingga. Untuk melakukan ini, pertimbangkan bilangan tanda pecahan perpuluhan tak berkala tak terhingga dibandingkan yang membolehkan anda memperoleh hasil perbandingan.
Perpuluhan sama dan tidak sama
Mula-mula kami perkenalkan definisi pecahan perpuluhan sama dan tidak sama.
Definisi.
Dua pecahan perpuluhan yang berakhir dipanggil sama rata, jika pecahan biasa yang sepadan adalah sama, jika tidak pecahan perpuluhan ini dipanggil tidak sama rata.
Berdasarkan definisi ini, adalah mudah untuk mewajarkan pernyataan berikut: jika anda menambah atau membuang beberapa digit 0 pada penghujung pecahan perpuluhan yang diberikan, anda akan mendapat pecahan perpuluhan yang sama dengannya. Contohnya, 0.3=0.30=0.300=…, dan 140.000=140.00=140.0=140.
Sesungguhnya, menambah atau membuang sifar pada penghujung pecahan perpuluhan di sebelah kanan sepadan dengan mendarab atau membahagi dengan 10 pengangka dan penyebut bagi pecahan biasa yang sepadan. Dan kita tahu sifat asas pecahan, yang menyatakan bahawa mendarab atau membahagikan pengangka dan penyebut pecahan dengan nombor asli yang sama memberikan pecahan yang sama dengan pecahan asal. Ini membuktikan bahawa menambah atau membuang sifar ke kanan dalam bahagian pecahan perpuluhan memberikan pecahan yang sama dengan pecahan asal.
Sebagai contoh, pecahan perpuluhan 0.5 sepadan dengan pecahan biasa 5/10, selepas menambah sifar di sebelah kanan, pecahan perpuluhan 0.50 sepadan, yang sepadan dengan pecahan biasa 50/100, dan. Oleh itu, 0.5=0.50. Sebaliknya, jika dalam pecahan perpuluhan 0.50 kita membuang 0 di sebelah kanan, maka kita mendapat pecahan 0.5, jadi dari pecahan biasa 50/100 kita datang ke pecahan 5/10, tetapi 
. Oleh itu, 0.50=0.5.
Mari kita teruskan ke penentuan pecahan perpuluhan berkala tak terhingga sama dan tak terhingga.
Definisi.
Dua pecahan berkala tak terhingga sama rata, jika pecahan biasa yang sepadan adalah sama; jika pecahan biasa yang sepadan dengannya tidak sama, maka pecahan berkala yang dibandingkan adalah juga tidak sama.
daripada takrifan ini Tiga kesimpulan berikut:
- Jika tatatanda pecahan perpuluhan berkala bertepatan sepenuhnya, maka pecahan perpuluhan berkala tak terhingga itu adalah sama. Sebagai contoh, perpuluhan berkala 0.34(2987) dan 0.34(2987) adalah sama.
- Jika tempoh pecahan berkala perpuluhan yang dibandingkan bermula dari kedudukan yang sama, pecahan pertama mempunyai tempoh 0, yang kedua mempunyai tempoh 9, dan nilai digit sebelum tempoh 0 adalah satu lebih besar daripada nilai digit. sebelum tempoh 9, maka pecahan perpuluhan berkala tak terhingga itu adalah sama. Sebagai contoh, pecahan berkala 8,3(0) dan 8,2(9) adalah sama, dan pecahan 141,(0) dan 140,(9) juga sama.
- Mana-mana dua pecahan berkala lain tidak sama. Berikut ialah contoh pecahan perpuluhan berkala tak terhingga tak sama: 9,0(4) dan 7,(21), 0,(12) dan 0,(121), 10,(0) dan 9,8(9).
Ia kekal untuk menangani pecahan perpuluhan tak berkala tak terhingga sama dan tak sama. Seperti yang diketahui, pecahan perpuluhan tersebut tidak boleh ditukar kepada pecahan biasa (pecahan perpuluhan tersebut mewakili nombor tidak rasional), oleh itu perbandingan pecahan perpuluhan tak berkala tak terhingga tidak boleh dikurangkan kepada perbandingan pecahan biasa.
Definisi.
Dua perpuluhan tak berkala tak terhingga sama rata, jika rekod mereka sepadan sepenuhnya.
Tetapi ada satu kaveat: adalah mustahil untuk melihat rekod "selesai" bagi pecahan perpuluhan tidak berkala yang tidak berkesudahan, oleh itu, adalah mustahil untuk memastikan kebetulan lengkap rekod mereka. Bagaimana ini boleh berlaku?
Apabila membandingkan pecahan perpuluhan tak berkala tak terhingga, hanya bilangan terhingga tanda pecahan yang dibandingkan dipertimbangkan, yang membolehkan seseorang membuat kesimpulan yang diperlukan. Oleh itu, perbandingan pecahan perpuluhan tak berkala tak terhingga dikurangkan kepada perbandingan pecahan perpuluhan terhingga.
Dengan pendekatan ini, kita boleh bercakap tentang kesamaan pecahan perpuluhan tak berkala tak terhingga hanya sehingga digit yang dipersoalkan. Mari beri contoh. Perpuluhan tak berkala tak terhingga 5.45839... dan 5.45839... adalah sama dengan ratus ribu terdekat, kerana perpuluhan terhingga 5.45839 dan 5.45839 adalah sama; pecahan perpuluhan bukan berkala 19.54... dan 19.54810375... adalah sama dengan perseratus terdekat, kerana ia sama dengan pecahan 19.54 dan 19.54.
Dengan pendekatan ini, ketaksamaan pecahan perpuluhan tak berkala tak terhingga diwujudkan dengan pasti. Contohnya, perpuluhan tak berkala tak terhingga 5.6789... dan 5.67732... tidak sama, kerana perbezaan dalam tatatandanya adalah jelas (perpuluhan terhingga 5.6789 dan 5.6773 tidak sama). Perpuluhan tak terhingga 6.49354... dan 7.53789... juga tidak sama.
Peraturan untuk membandingkan pecahan perpuluhan, contoh, penyelesaian
Selepas membuktikan fakta bahawa dua pecahan perpuluhan adalah tidak sama, anda selalunya perlu mengetahui yang mana antara pecahan ini lebih besar dan yang mana lebih kecil daripada yang lain. Sekarang kita akan melihat peraturan untuk membandingkan pecahan perpuluhan, membolehkan kita menjawab soalan yang dikemukakan.
Dalam kebanyakan kes, adalah memadai untuk membandingkan keseluruhan bahagian pecahan perpuluhan yang dibandingkan. Yang berikut adalah benar peraturan untuk membandingkan perpuluhan: semakin besar pecahan perpuluhan yang keseluruhan bahagiannya lebih besar, dan semakin kecil pecahan perpuluhan yang keseluruhan bahagiannya kurang.
Peraturan ini digunakan untuk kedua-dua pecahan perpuluhan terhingga dan tak terhingga. Mari kita lihat penyelesaian kepada contoh.
Contoh.
Bandingkan perpuluhan 9.43 dan 7.983023….
Penyelesaian.
Jelas sekali, perpuluhan ini tidak sama. Bahagian integer bagi pecahan perpuluhan terhingga 9.43 adalah sama dengan 9, dan bahagian integer bagi tak terhingga pecahan bukan berkala 7.983023... bersamaan dengan 7. Sejak 9>7 (lihat perbandingan nombor asli), maka 9.43>7.983023.
Jawapan:
9,43>7,983023 .
Contoh.
Pecahan perpuluhan yang manakah 49.43(14) dan 1045.45029... lebih kecil?
Penyelesaian.
Bahagian integer bagi pecahan berkala 49.43(14) adalah kurang daripada bahagian integer bagi pecahan perpuluhan tak berkala tak terhingga 1045.45029..., oleh itu, 49.43(14)<1 045,45029… .
Jawapan:
49,43(14) .
Jika bahagian integer bagi pecahan perpuluhan yang dibandingkan adalah sama, maka untuk mengetahui yang mana lebih besar dan yang mana kurang, anda perlu membandingkan bahagian pecahan. Perbandingan bahagian pecahan pecahan perpuluhan dijalankan sedikit demi sedikit- dari kategori persepuluh hingga yang lebih rendah.
Mula-mula, mari kita lihat contoh membandingkan dua pecahan perpuluhan terhingga.
Contoh.
Bandingkan perpuluhan berakhir 0.87 dan 0.8521.
Penyelesaian.
Bahagian integer bagi pecahan perpuluhan ini adalah sama (0=0), jadi kita teruskan untuk membandingkan bahagian pecahan. Nilai tempat persepuluh adalah sama (8=8), dan nilai tempat perseratus pecahan ialah 0.87 lebih besar daripada nilai tempat perseratus pecahan 0.8521 (7>5). Oleh itu, 0.87>0.8521.
Jawapan:
0,87>0,8521 .
Kadangkala, untuk membandingkan pecahan perpuluhan yang berakhir dengan nombor tempat perpuluhan yang berbeza, pecahan dengan tempat perpuluhan yang lebih sedikit mesti ditambah dengan bilangan sifar di sebelah kanan. Adalah agak mudah untuk menyamakan bilangan tempat perpuluhan sebelum mula membandingkan pecahan perpuluhan akhir dengan menambah bilangan sifar tertentu di sebelah kanan salah satu daripadanya.
Contoh.
Bandingkan perpuluhan berakhir 18.00405 dan 18.0040532.
Penyelesaian.
Jelas sekali, pecahan ini tidak sama, kerana notasinya berbeza, tetapi pada masa yang sama ia mempunyai bahagian integer yang sama (18 = 18).
Sebelum perbandingan bit bagi bahagian pecahan bagi pecahan ini, kita samakan bilangan tempat perpuluhan. Untuk melakukan ini, kami menambah dua digit 0 pada akhir pecahan 18.00405, dan kami mendapat pecahan perpuluhan yang sama 18.0040500.
Nilai tempat perpuluhan pecahan 18.0040500 dan 18.0040532 adalah sama dengan ratus perseribu, dan nilai tempat persejuta pecahan itu ialah 18.0040500 kurang daripada nilai digit yang sepadan bagi pecahan 18.0040532 (0<3 ), поэтому, 18,0040500<18,0040532 , следовательно, 18,00405<18,0040532 .
Jawapan:
18,00405<18,0040532 .
Apabila membandingkan pecahan perpuluhan terhingga dengan pecahan terhingga, pecahan terhingga digantikan dengan pecahan berkala tak terhingga yang sama dengan tempoh 0, selepas itu perbandingan dibuat dengan digit.
Contoh.
Bandingkan perpuluhan terhingga 5.27 dengan perpuluhan tak berkala tak terhingga 5.270013... .
Penyelesaian.
Keseluruhan bahagian pecahan perpuluhan ini adalah sama. Nilai digit persepuluh dan perseratus bagi pecahan ini adalah sama, dan untuk melakukan perbandingan selanjutnya, kami menggantikan pecahan perpuluhan terhingga dengan pecahan berkala tak terhingga yang sama dengan tempoh 0 dalam bentuk 5.270000.... Sehingga tempat perpuluhan kelima, nilai tempat perpuluhan 5.270000... dan 5.270013... adalah sama, dan pada tempat perpuluhan kelima kita mempunyai 0<1 . Таким образом, 5,270000…<5,270013… , откуда следует, что 5,27<5,270013… .
Jawapan:
5,27<5,270013… .
Perbandingan pecahan perpuluhan tak terhingga juga dijalankan mengikut tempat, dan berakhir sebaik sahaja nilai beberapa digit ternyata berbeza.
Contoh.
Bandingkan perpuluhan tak terhingga 6.23(18) dan 6.25181815….
Penyelesaian.
Keseluruhan bahagian pecahan ini adalah sama, dan nilai tempat persepuluh juga sama. Dan nilai tempat perseratus bagi pecahan berkala 6.23(18) adalah kurang daripada tempat perseratus bagi pecahan perpuluhan tak berkala tak terhingga 6.25181815..., oleh itu, 6.23(18)<6,25181815… .
Jawapan:
6,23(18)<6,25181815… .
Contoh.
Antara perpuluhan berkala tak terhingga 3,(73) dan 3,(737) yang manakah lebih besar?
Penyelesaian.
Jelaslah bahawa 3,(73)=3.73737373... dan 3,(737)=3.737737737... . Pada tempat perpuluhan keempat perbandingan bitwise berakhir, kerana di sana kita mempunyai 3<7 . Таким образом, 3,73737373…<3,737737737… , то есть, десятичная дробь 3,(737) больше, чем дробь 3,(73) .
Jawapan:
3,(737) .
Bandingkan perpuluhan dengan nombor asli, pecahan dan nombor bercampur.
Hasil daripada membandingkan pecahan perpuluhan dengan nombor asli boleh diperolehi dengan membandingkan bahagian integer bagi pecahan tertentu dengan nombor asli yang diberikan. Dalam kes ini, pecahan berkala dengan noktah 0 atau 9 mesti terlebih dahulu digantikan dengan pecahan perpuluhan terhingga yang sama dengannya.
Yang berikut adalah benar peraturan untuk membandingkan pecahan perpuluhan dan nombor asli: jika keseluruhan bahagian pecahan perpuluhan adalah kurang daripada nombor asli yang diberikan, maka keseluruhan pecahan adalah kurang daripada nombor asli ini; jika bahagian integer pecahan lebih besar daripada atau sama dengan nombor asli yang diberikan, maka pecahan itu lebih besar daripada nombor asli yang diberikan.
Mari kita lihat contoh aplikasi peraturan perbandingan ini.
Contoh.
Bandingkan nombor asli 7 dengan pecahan perpuluhan 8.8329….
Penyelesaian.
Oleh kerana nombor asli yang diberikan adalah kurang daripada bahagian integer bagi pecahan perpuluhan tertentu, maka nombor ini adalah kurang daripada pecahan perpuluhan tertentu.
Jawapan:
7<8,8329… .
Contoh.
Bandingkan nombor asli 7 dan pecahan perpuluhan 7.1.
Segmen AB adalah sama dengan 6 cm, iaitu, 60 mm. Oleh kerana 1 cm = dm, maka 6 cm = dm. Ini bermakna AB ialah 0.6 dm. Oleh kerana 1 mm = dm, maka 60 mm = dm. Ini bermakna AB = 0.60 dm.
Oleh itu, AB = 0.6 dm = 0.60 dm. Ini bermakna pecahan perpuluhan 0.6 dan 0.60 menyatakan panjang segmen yang sama dalam desimeter. Pecahan ini adalah sama antara satu sama lain: 0.6 = 0.60.
Jika anda menambah sifar atau membuang sifar pada penghujung pecahan perpuluhan, anda mendapat pecahan, sama dengan ini.
Sebagai contoh,
0,87 = 0,870 = 0,8700; 141 = 141,0 = 141,00 = 141,000;
26,000 = 26,00 = 26,0 = 26; 60,00 = 60,0 = 60;
0,900 = 0,90 = 0,9.
Mari kita bandingkan dua pecahan perpuluhan 5.345 dan 5.36. Mari kita samakan bilangan tempat perpuluhan dengan menambah sifar di sebelah kanan nombor 5.36. Kami mendapat pecahan 5.345 dan 5.360.
Mari kita tuliskannya dalam bentuk pecahan tak wajar:
Pecahan ini mempunyai penyebut yang sama. Ini bermakna yang mempunyai pengangka yang lebih besar adalah lebih besar.
Sejak 5345< 5360, то 
yang bermaksud 5.345< 5,360, то есть 5,345 < 5,36.
Untuk membandingkan dua pecahan perpuluhan, anda mesti terlebih dahulu menyamakan bilangan tempat perpuluhan dengan menambah sifar pada salah satu daripadanya di sebelah kanan, dan kemudian, membuang koma, bandingkan yang terhasil. nombor asli.
Pecahan perpuluhan boleh diwakili pada sinar koordinat dengan cara yang sama seperti pecahan biasa.
Sebagai contoh, untuk mewakili pecahan perpuluhan 0.4 pada sinar koordinat, kita mula-mula membentangkannya dalam bentuk pecahan biasa: 0.4 = Kemudian kita mengetepikan empat persepuluh segmen unit dari permulaan sinar. Kami memperoleh titik A(0,4) (Rajah 141).
Pecahan perpuluhan yang sama diwakili pada sinar koordinat dengan titik yang sama.
Sebagai contoh, pecahan 0.6 dan 0.60 diwakili oleh satu titik B (lihat Rajah 141).
Pecahan perpuluhan yang lebih kecil terletak pada sinar koordinat di sebelah kiri yang lebih besar, dan yang lebih besar di sebelah kanan yang lebih kecil.
Sebagai contoh, 0.4< 0,6 < 0,8, поэтому точка A(0,4) лежит левее точки B(0,6), а точка С(0,8) лежит правее точки B(0,6) (см. рис. 141).
Adakah perpuluhan akan berubah jika sifar ditambah pada penghujungnya?
A6 sifar?
Merumus peraturan perbandingan perpuluhan pecahan.
1172. Tulis pecahan perpuluhan:
a) dengan empat tempat perpuluhan, sama dengan 0.87;
b) dengan lima tempat perpuluhan, bersamaan dengan 0.541;
c) dengan tiga digit selepas diduduki, bersamaan dengan 35;
d) dengan dua tempat perpuluhan, bersamaan dengan 8.40000.
1173. Dengan menambah sifar di sebelah kanan, samakan bilangan tempat perpuluhan dalam pecahan perpuluhan: 1.8; 13.54 dan 0.789.
1174. Tulis pecahan yang lebih pendek: 2.5000; 3.02000; 20,010.
85.09 dan 67.99; 55.7 dan 55.7000; 0.5 dan 0.724; 0.908 dan 0.918; 7.6431 dan 7.6429; 0.0025 dan 0.00247.
1176. Susun nombor dalam tertib menaik:
3,456; 3,465; 8,149; 8,079; 0,453.
0,0082; 0,037; 0,0044; 0,08; 0,0091
susun mengikut tertib menurun.
a) 1.41< х < 4,75; г) 2,99 < х < 3;
b) 0.1< х < 0,2; д) 7 < х < 7,01;
c) 2.7< х < 2,8; е) 0,12 < х < 0,13.
1184. Bandingkan nilai:
a) 98.52 m dan 65.39 m; e) 0.605 t dan 691.3 kg;
b) 149.63 kg dan 150.08 kg; f) 4.572 km dan 4671.3 m;
c) 3.55°C dan 3.61°C; g) 3.835 hektar dan 383.7 a;
d) 6.781 jam dan 6.718 jam; h) 7.521 l dan 7538 cm3.
Adakah mungkin untuk membandingkan 3.5 kg dan 8.12 m? Berikan beberapa contoh kuantiti yang tidak boleh dibandingkan.
1185. Kira secara lisan:
1186. Pulihkan rantaian pengiraan
1187. Adakah mungkin untuk menyatakan berapa banyak digit selepas titik perpuluhan terdapat dalam pecahan perpuluhan jika namanya berakhir dengan perkataan:
a) perseratus; b) sepuluh perseribu; c) persepuluh; d) persejuta?
Isi pelajaran nota pelajaran menyokong kaedah pecutan pembentangan pelajaran bingkai teknologi interaktif berlatih tugasan dan latihan bengkel ujian kendiri, latihan, kes, pencarian soalan perbincangan kerja rumah soalan retorik daripada pelajar Ilustrasi audio, klip video dan multimedia gambar, gambar, grafik, jadual, rajah, jenaka, anekdot, jenaka, komik, perumpamaan, pepatah, silang kata, petikan Alat tambah abstrak artikel helah untuk buaian ingin tahu buku teks asas dan kamus tambahan istilah lain Menambah baik buku teks dan pelajaranmembetulkan kesilapan dalam buku teks mengemas kini serpihan dalam buku teks, elemen inovasi dalam pelajaran, menggantikan pengetahuan lapuk dengan yang baharu Hanya untuk guru pelajaran yang sempurna rancangan kalendar untuk tahun cadangan metodologi; Pelajaran Bersepadu