Perwakilan geometri bagi definisi nombor kompleks. Perwakilan geometri bagi nombor kompleks

Perwakilan geometri bagi nombor kompleks. Bentuk trigonometri nombor kompleks.

2015-06-04

Paksi nyata dan khayalan
Hujah Nombor Kompleks
Hujah utama nombor kompleks
Bentuk trigonometri bagi nombor kompleks

Menentukan nombor kompleks $z = a+bi$ adalah bersamaan dengan menyatakan dua nombor nyata $a,b$ - bahagian nyata dan khayalan nombor kompleks ini. Tetapi pasangan nombor tertib $(a,b)$ digambarkan dalam Cartesan sistem segi empat tepat koordinat dengan titik dengan koordinat $(a, b)$. Oleh itu, titik ini boleh berfungsi sebagai imej untuk nombor kompleks $z$: antara nombor kompleks dan titik satah koordinat surat-menyurat satu dengan satu diwujudkan.

Apabila menggunakan satah koordinat untuk mewakili nombor kompleks, paksi $Ox$ biasanya dipanggil paksi nyata (kerana bahagian sebenar nombor itu diambil sebagai absis titik), dan paksi $Oy$ ialah paksi khayalan (memandangkan bahagian khayalan nombor itu diambil sebagai ordinat titik).

Nombor kompleks $z$ yang diwakili oleh titik $M(a,b)$ dipanggil imbuhan titik ini. Di mana nombor nyata diwakili oleh titik yang terletak pada paksi nyata, dan semua nombor khayalan semata-mata $bi$ (untuk $a = 0$) diwakili oleh titik yang terletak pada paksi khayalan. Nombor sifar diwakili oleh titik O.

Rajah 1
Dalam Rajah. 1, imej nombor $z_(1) = 2 + 3i, z_(2)=1 =1,z_(3) = 4i, z_(4) = -4 + i, z_(5) = -2, z_( 6) = - 3 – 2i, z_(7) = -5i, z_(8) = 2 – 3i$.

Dua nombor konjugat kompleks diwakili oleh titik simetri tentang paksi $Ox$ (titik $z_(1)$ dan $z_(8)$ dalam Rajah 1).

nasi. 2
Selalunya dikaitkan dengan nombor kompleks $z$ bukan sahaja titik $M$ mewakili nombor ini, tetapi juga vektor $\vec(OM)$ yang mendahului dari $O$ hingga $M$; Perwakilan nombor $z$ sebagai vektor adalah mudah dari sudut pandangan tafsiran geometri tindakan penambahan dan penolakan nombor kompleks. Dalam Rajah. 2, dan ditunjukkan bahawa vektor yang mewakili jumlah nombor kompleks $z_(1), z_(2)$ diperoleh sebagai pepenjuru segi empat selari yang dibina pada vektor $\vec(OM_(1)), \vec (OM_(2)) $ mewakili istilah. Peraturan untuk menambah vektor ini dikenali sebagai peraturan selari (contohnya, untuk menambah daya atau halaju dalam kursus fizik). Penolakan boleh dikurangkan kepada penambahan dengan vektor bertentangan(Gamb. 2, b).

nasi. 3
Seperti yang diketahui, kedudukan titik pada satah juga boleh ditentukan oleh koordinat kutubnya $r, \phi$. Oleh itu, nombor kompleks - imbuhan titik - juga akan ditentukan dengan menyatakan $r$ dan $\phi$. Daripada Rajah. 3 adalah jelas bahawa $r = OM = \sqrt(x^(2) + y^(2))$ pada masa yang sama modulus bagi nombor kompleks $z$: jejari kutub titik yang mewakili nombor $z$, sama dengan modulus nombor ini.

Sudut kutub titik $M$ dipanggil hujah bagi nombor $z$ yang diwakili oleh titik ini.

Hujah nombor kompleks (seperti sudut kutub titik) tidak ditakrifkan secara samar-samar; jika $\phi_(0)$ ialah salah satu nilainya, maka semua nilainya dinyatakan oleh formula
$\phi = \phi_(0) + 2k \pi (k = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots)$

Semua nilai hujah secara kolektif dilambangkan dengan simbol $Arg \: z$.

Jadi, setiap nombor kompleks boleh dikaitkan dengan sepasang nombor nyata: modulus dan hujah nombor yang diberi, dan hujah ditakrifkan secara samar-samar. Sebaliknya, diberikan modul $|z| = r$ dan hujah $\phi$ sepadan tunggal$z$ mempunyai modul dan hujah yang diberikan. Ciri khas mempunyai nombor sifar: modulusnya sama dengan sifar, hujah tidak diberikan sebarang makna khusus.

Untuk mencapai kejelasan dalam definisi hujah nombor kompleks, seseorang boleh bersetuju untuk memanggil salah satu nilai hujah sebagai yang utama. Ia dilambangkan dengan simbol $arg \: z$. Biasanya, nilai utama hujah dipilih untuk menjadi nilai yang memenuhi ketaksamaan
$0 \leq arg \: z (dalam kes lain ketaksamaan $- \pi

Marilah kita juga memberi perhatian kepada nilai hujah nombor nyata dan khayalan semata-mata:
$arg \: a = \begin(cases) 0, & \text(if) a>0, \\
\pi, & \text(jika) a $arg \: bi = \begin(cases) \frac(\pi)(2), & \text(if) b > 0, \\
\frac(3 \pi)(2), & \teks(jika) b

Bahagian nyata dan khayalan bagi nombor kompleks (seperti Koordinat Cartesian mata) dinyatakan melalui modulus dan hujahnya ( koordinat kutub mata) mengikut formula:
$a = r \cos \phi, b = r \sin \phi$, (1)
dan nombor kompleks boleh ditulis dalam bentuk trigonometri berikut:
$z = r(\cos \phi \phi + i \sin \phi)$ (2)
(kami akan memanggil menulis nombor dalam bentuk $z = a + bi$ rekod dalam bentuk algebra).

Syarat untuk kesamaan dua nombor yang diberikan dalam bentuk trigonometri adalah seperti berikut: dua nombor $z_(1)$ dan $z_(2)$ adalah sama jika dan hanya jika modul mereka adalah sama, dan hujah adalah sama atau berbeza dengan nombor integer tempoh $2 \pi $.

Peralihan daripada menulis nombor dalam bentuk algebra kepada menulisnya dalam bentuk trigonometri dan sebaliknya dibuat mengikut formula (4):
$r = \sqrt(a^(2) + b^(2)), \cos \phi = \frac(a)(r)= \frac(a)(\sqrt(a^(2) + b^ (2)), \sin \phi = \frac(b)(r) = \frac(b)(\sqrt(a^(2) + b^(2))), tg \phi = \frac( b )(a)$ (3)
dan formula (1). Apabila mentakrifkan hujah (nilai utamanya), anda boleh menggunakan nilai salah satu daripada fungsi trigonometri$\cos \phi$ atau $\sin \phi$ dan mengambil kira tanda yang kedua.

Contoh. Tulis nombor berikut dalam bentuk trigonometri:
a)$6 + 6i$; b) $3i$; c) $-10$.
Penyelesaian, a) Kami ada
$r = \sqrt(6^(2) + (-6)^(2)) = 6 \sqrt(2)$,
$\cos \phi = \frac(6)(6 \sqrt(2)) = \frac(1)(\sqrt(2)) = \frac(\sqrt(2))(2)$,
$\sin \phi = - \frac(6)(6 \sqrt(2)) = - \frac(1)(\sqrt(2)) = - \frac(\sqrt(2))(2)$,
dari mana $\phi = \frac(7 \pi)(4)$, dan, oleh itu,
$6-6i = 6 \sqrt(2) \left (\cos \frac(7 \pi)(4) + i \sin \frac(7 \pi)(4) \right)$;
b) $r = 3, \cos \phi = 0, \sin \phi = 1, \phi = \pi /2$;
$3i = 3 \kiri (\cos \frac(\pi)(2) + i \sin \frac(\pi)(2) \kanan)$
c) $r = 10, \cos \phi = -1, \sin \phi = 0, \phi = \pi$;
$-10 = 10 (\cos \pi + i \sin \pi)$

Nombor kompleks, perwakilan mereka pada satah. Operasi algebra atas nombor kompleks. Gandingan kompleks. Modulus dan hujah bagi nombor kompleks. Algebra dan bentuk trigonometri nombor kompleks. Punca nombor kompleks. Fungsi eksponen hujah yang kompleks. Formula Euler. Bentuk tunjuk cara nombor kompleks.

Apabila mengkaji salah satu kaedah asas integrasi: integrasi pecahan rasional– untuk menjalankan pembuktian yang ketat, ia perlu mempertimbangkan polinomial dalam domain kompleks. Oleh itu, mari kita kaji dahulu beberapa sifat nombor kompleks dan operasi padanya.

Definisi 7.1. Nombor kompleks z ialah pasangan tertib nombor nyata (a,b) : z = (a,b) (istilah “tertib” bermaksud bahawa dalam menulis nombor kompleks susunan nombor a dan b adalah penting: (a ,b)≠(b,a )). Dalam kes ini, nombor pertama a dipanggil bahagian nyata bagi nombor kompleks z dan dilambangkan a = Re z, dan nombor kedua b dipanggil bahagian khayalan z: b = Im z.

Definisi 7.2. Dua nombor kompleks z 1 = (a 1 , b 1) dan z 2 = (a 2 , b 2) adalah sama jika dan hanya jika bahagian nyata dan khayalannya adalah sama, iaitu, a 1 = a 2 , b 1 = b 2 .

Operasi pada nombor kompleks.

1. Jumlah nombor kompleks z 1 =(a 1, b 1) Dan z 2 =(a 2 , b 2 z =(a,b) seperti itu a = a 1 + a 2, b = b 1 + b 2. Sifat penambahan: a) z 1 + z 2 = z 2 + z 1; b) z 1 +(z 2 + z 3) = (z 1 + z 2) + z 3; c) terdapat nombor kompleks 0 = (0,0): z + 0 =z untuk sebarang nombor kompleks z.

2. Kerja nombor kompleks z 1 =(a 1, b 1) Dan z 2 =(a 2 , b 2) dipanggil nombor kompleks z =(a,b) seperti itu a = a 1 a 2 – b 1 b 2, b = a 1 b 2 + a 2 b 1. Sifat pendaraban: a) z 1 z 2 = z 2 z 1; b) z 1 (z 2 z 3) = (z 1 z 2) z 3, V) ( z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3 .

Komen. Subset bagi set nombor kompleks ialah set nombor nyata, ditakrifkan sebagai nombor kompleks dalam bentuk ( A, 0). Dapat dilihat bahawa definisi operasi pada nombor kompleks mengekalkan peraturan yang diketahui untuk operasi yang sepadan pada nombor nyata. Di samping itu, nombor nyata 1 = (1,0) mengekalkan sifatnya apabila didarab dengan sebarang nombor kompleks: 1∙ z = z.

Definisi 7.3. Nombor kompleks (0, b) dipanggil khayalan semata-mata. Khususnya, nombor (0,1) dipanggil unit khayalan dan ditetapkan oleh simbol i.

Sifat unit khayalan:

1) i∙i=i² = -1; 2) nombor khayalan semata-mata (0, b) boleh diwakili sebagai hasil darab nombor nyata ( b, 0) dan i: (b, 0) = b∙i.

Oleh itu, sebarang nombor kompleks z = (a,b) boleh diwakili sebagai: (a,b) = (a,0) + (0,b) = a + ib.

Definisi 7.4. Notasi bentuk z = a + ib dipanggil bentuk algebra menulis nombor kompleks.

Komen. Tatatanda algebra bagi nombor kompleks membolehkan anda melakukan operasi padanya mengikut peraturan biasa algebra.

Definisi 7.5. Nombor kompleks dipanggil konjugat kompleks z = a + ib.

3. Penolakan nombor kompleks ditakrifkan sebagai operasi songsang penambahan: z =(a,b) dipanggil beza nombor kompleks z 1 =(a 1, b 1) Dan z 2 =(a 2 , b 2), Jika a = a 1 – a 2, b = b 1 – b 2.

4. Bahagian nombor kompleks ditakrifkan sebagai operasi, songsangan darab: nombor z = a + ib dipanggil hasil bahagi z 1 = a 1 + ib 1 Dan z 2 = a 2 + ib 2(z 2 ≠ 0), jika z 1 = z∙z 2 . Akibatnya, bahagian nyata dan khayalan hasil bagi boleh didapati daripada menyelesaikan sistem persamaan: a 2 a – b 2 b = a 1, b 2 a + a 2 b = b 1.

Tafsiran geometri nombor kompleks.

Nombor kompleks z =(a,b) boleh diwakili sebagai titik pada satah dengan koordinat ( a,b) atau vektor dengan asalan pada asalan dan berakhir pada titik ( a,b).

Dalam kes ini, modulus vektor yang terhasil dipanggil modul nombor kompleks, dan sudut dibentuk oleh vektor dengan arah positif paksi-x, - hujah nombor. Mempertimbangkan itu a = ρ cos φ, b = ρ dosa φ, di mana ρ = |z| - modul z, dan φ = arg z ialah hujahnya, anda boleh mendapatkan satu lagi bentuk penulisan nombor kompleks:

Definisi 7.6. Jenis rakaman

z = ρ(cos φ + i dosa φ ) (7.1)

dipanggil bentuk trigonometri menulis nombor kompleks.

Sebaliknya, modulus dan hujah nombor kompleks boleh dinyatakan melalui A Dan b: . Akibatnya, hujah nombor kompleks tidak ditentukan secara unik, tetapi sehingga sebutan yang merupakan gandaan 2π.

Adalah mudah untuk mengesahkan bahawa operasi menambah nombor kompleks sepadan dengan operasi menambah vektor. Mari kita pertimbangkan tafsiran geometri pendaraban. Biarlah

Oleh itu, modulus hasil darab dua nombor kompleks ialah sama dengan produk modul mereka, dan hujah adalah jumlah hujah mereka. Sehubungan itu, apabila membahagikan, modul hasil bagi sama dengan nisbah modul dividen dan pembahagi, dan hujah adalah perbezaan hujah mereka.

Kes khas operasi pendaraban ialah eksponen:

- Formula Moivre.

Dengan menggunakan hubungan yang diperoleh, kami menyenaraikan sifat utama nombor konjugat kompleks:

Nombor kompleks

Konsep asas

Data awal mengenai nombor itu bermula pada Zaman Batu - Paleomelitic. Ini adalah "satu", "sedikit" dan "banyak". Mereka direkodkan dalam bentuk takuk, simpulan, dll. Perkembangan proses buruh dan kemunculan harta benda memaksa manusia mencipta nombor dan nama mereka. Yang pertama muncul integer N, diperoleh dengan mengira objek. Kemudian, bersama-sama dengan keperluan untuk mengira, orang ramai mempunyai keperluan untuk mengukur panjang, kawasan, isipadu, masa dan kuantiti lain, di mana mereka perlu mengambil kira bahagian ukuran yang digunakan. Beginilah pecahan wujud. Justifikasi formal konsep pecahan dan nombor negatif telah dijalankan pada abad ke-19. Set integer Z– ini ialah nombor asli, nombor asli dengan tanda tolak dan sifar. Keseluruhan dan nombor pecahan membentuk satu set nombor rasional Q, tetapi ia juga ternyata tidak mencukupi untuk belajar terus berubah pembolehubah. Kejadian sekali lagi menunjukkan ketidaksempurnaan matematik: kemustahilan untuk menyelesaikan persamaan bentuk X 2 = 3, itulah sebabnya nombor tidak rasional muncul saya. Penyatuan set nombor rasional Q Dan nombor tidak rasional saya– set nombor nyata (atau nyata). R. Akibatnya, garis nombor telah diisi: setiap nombor nyata sepadan dengan titik di atasnya. Tetapi pada banyak R tiada cara untuk menyelesaikan persamaan bentuk X 2 = – A 2. Akibatnya, keperluan timbul semula untuk mengembangkan konsep nombor. Ini adalah bagaimana nombor kompleks muncul pada tahun 1545. Pencipta mereka J. Cardano memanggil mereka "negatif semata-mata." Nama "khayalan" diperkenalkan pada tahun 1637 oleh orang Perancis R. Descartes, pada tahun 1777 Euler mencadangkan menggunakan huruf pertama nombor Perancis i untuk menunjukkan unit khayalan. Simbol ini mula digunakan secara umum terima kasih kepada K. Gauss.

Semasa abad ke-17 dan ke-18, perbincangan tentang sifat aritmetik khayalan dan tafsiran geometrinya diteruskan. Orang Denmark G. Wessel, orang Perancis J. Argan dan orang Jerman K. Gauss secara bebas mencadangkan untuk mewakili nombor kompleks sebagai titik pada satah koordinat. Kemudian ternyata lebih mudah untuk mewakili nombor bukan dengan titik itu sendiri, tetapi dengan vektor yang pergi ke titik ini dari asal.

Hanya pada penghujung abad ke-18 dan permulaan abad ke-19, nombor kompleks mengambil tempat yang sepatutnya dalam analisis matematik. Penggunaan pertama mereka adalah secara teori persamaan pembezaan dan dalam teori hidrodinamik.

Definisi 1.Nombor kompleks dipanggil ungkapan bentuk , di mana x Dan y ialah nombor nyata, dan i– unit khayalan, .

Dua nombor kompleks dan sama rata jika dan hanya jika , .

Jika , maka nombor itu dipanggil khayalan semata-mata; jika , maka nombor itu ialah nombor nyata, ini bermakna set itu R DENGAN, Di mana DENGAN– satu set nombor kompleks.

Konjugat kepada nombor kompleks dipanggil nombor kompleks.

Perwakilan geometri bagi nombor kompleks.

Mana-mana nombor kompleks boleh diwakili oleh titik M(x, y) kapal terbang Oxy. Sepasang nombor nyata juga menandakan koordinat vektor jejari , iaitu antara set vektor pada satah dan set nombor kompleks, seseorang boleh mewujudkan surat-menyurat satu dengan satu: .

Definisi 2.Bahagian sebenar X.

Jawatan: x=Semula z(dari bahasa Latin Realis).

Definisi 3.Bahagian khayalan nombor kompleks ialah nombor nyata y.

Jawatan: y= Saya z(dari bahasa Latin Imaginarius).

Re z didepositkan pada paksi ( Oh) saya z didepositkan pada paksi ( Oh), maka vektor yang sepadan dengan nombor kompleks ialah vektor jejari titik M(x, y), (atau M(Re z saya z)) (Rajah 1).

Definisi 4. Satah yang titiknya dikaitkan dengan set nombor kompleks dipanggil satah kompleks. Paksi absis dipanggil paksi sebenar, kerana ia mengandungi nombor nyata. Paksi-y dipanggil paksi khayalan, ia mengandungi nombor kompleks khayalan semata-mata. Set nombor kompleks dilambangkan DENGAN.

Definisi 5.Modul nombor kompleks z = (x, y) dipanggil panjang vektor: , i.e. .

Definisi 6.Hujah nombor kompleks ialah sudut antara arah positif paksi ( Oh) dan vektor: .

Nota 3. Jika titik z terletak pada paksi sebenar atau khayalan, maka anda boleh menemuinya secara langsung.

Nombor kompleks dan
menyelaras
kapal terbang

Model geometri bagi set R nombor nyata ialah garis nombor. Sebarang nombor nyata sepadan dengan satu titik

pada
garis nombor dan, sebarang titik pada garis itu
hanya satu perlawanan
nombor sebenar!

Dengan menambah satu lagi dimensi pada garis nombor yang sepadan dengan set semua nombor nyata - garis yang mengandungi set nombor tulen

Dengan menambah pada garis nombor yang sepadan dengan set
daripada semua nombor nyata satu lagi dimensi -
garis lurus yang mengandungi set nombor khayalan semata-mata –
kita memperoleh satah koordinat di mana setiap
nombor kompleks a+bi boleh dikaitkan
titik (a; b) bagi satah koordinat.
i=0+1i sepadan dengan titik (0;1)
2+3i sepadan dengan titik (2;3)
-i-4 sepadan dengan titik (-4;-1)
5=5+1i sepadan dengan melankolis (5;0)

Makna geometri operasi konjugasi

! Operasi mengawan adalah paksi
simetri tentang paksi absis.
!! Berkonjugasi antara satu sama lain
nombor kompleks adalah sama jarak dari
asal usul.
!!! Vektor yang menggambarkan
nombor konjugat, condong ke paksi
abscissa di bawah sudut yang sama, Tetapi
terletak mengikut sisi yang berbeza daripada
paksi ini.

Imej nombor nyata

Gambar nombor kompleks

Algebra
cara
Imej:
Nombor kompleks
a+bi digambarkan
titik satah
dengan koordinat
(a;b)

Contoh menggambarkan nombor kompleks pada satah koordinat

(Kami berminat
nombor kompleks
z=x+yi , yang mana
x=-4. Ini adalah persamaannya
lurus,
paksi selari
selaras)
di
X= - 4
sah
bahagian ialah -4
0
X

Lukiskan pada satah koordinat set semua nombor kompleks yang:

Bahagian khayalan
adalah genap
tidak jelas
semula jadi
nombor
(Kami berminat
nombor kompleks
z=x+yi, yang mana
y=2,4,6,8.
Imej geometri
terdiri daripada empat
lurus, selari
paksi-x)
di
8
6
4
2
0
X

Bentuk nombor kompleks berikut wujud: algebra(x+iy), trigonometri(r(cos+isin )), indikatif(semula i ).

Mana-mana nombor kompleks z=x+iy boleh diwakili pada pesawat XOU dalam bentuk titik A(x,y).

Satah di mana nombor kompleks digambarkan dipanggil satah pembolehubah kompleks z (kami meletakkan simbol z pada satah).

Paksi OX ialah paksi sebenar, i.e. ia mengandungi nombor nyata. OU ialah paksi khayalan dengan nombor khayalan.

x+iy- bentuk algebra untuk menulis nombor kompleks.

Mari kita terbitkan bentuk trigonometri untuk menulis nombor kompleks.

Kami menggantikan nilai yang diperoleh ke dalam bentuk awal: , i.e.

r(cos+isin) - bentuk trigonometri untuk menulis nombor kompleks.

Bentuk eksponen untuk menulis nombor kompleks berikut daripada formula Euler:
, Kemudian

z= semula i - bentuk eksponen untuk menulis nombor kompleks.

Operasi pada nombor kompleks.

1. tambahan. z 1 +z 2 =(x1+iy1)+ (x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2);

2 . penolakan. z 1 -z 2 =(x1+iy1)- (x2+iy2)=(x1-x2)+i(y1-y2);

3. pendaraban. z 1 z 2 =(x1+iy1)*(x2+iy2)=x1x2+i(x1y2+x2y1+iy1y2)=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1);

4 . pembahagian. z 1 /z 2 =(x1+iy1)/(x2+iy2)=[(x1+iy1)*(x2-iy2)]/[ (x2+iy2)*(x2-iy2)]=

Dua nombor kompleks yang hanya berbeza dalam tanda unit khayalan, i.e. z=x+iy (z=x-iy) dipanggil konjugat.

Kerja.

z1=r(kos +isin ); z2=r(kos +isin ).

Hasil darab z1*z2 nombor kompleks ditemui: , i.e. modulus hasil darab adalah sama dengan hasil darab moduli, dan hujah hasil darab adalah sama dengan jumlah hujah faktor.

;
;

Persendirian.

Jika nombor kompleks diberi dalam bentuk trigonometri.

Jika nombor kompleks diberi dalam bentuk eksponen.

Eksponensiasi.

1. Nombor kompleks diberikan dalam algebra bentuk.

z=x+iy, maka z n ditemui oleh Formula binomial Newton:

- bilangan gabungan n unsur m (bilangan cara n unsur dari m boleh diambil).

; n!=1*2*…*n; 0!=1;
.

Memohon nombor kompleks.

Dalam ungkapan yang terhasil, anda perlu menggantikan kuasa i dengan nilainya:

i 0 =1 Dari sini, ke kes am kita dapat: i 4k =1

i 1 =i i 4k+1 =i

i 2 =-1 i 4k+2 =-1

i 3 =-i i 4k+3 =-i

Contoh.

i 31 = i 28 i 3 =-i

i 1063 = i 1062 i=i

2. trigonometri bentuk.

z=r(kos +isin ), Itu

- Formula Moivre.

Di sini n boleh sama ada "+" atau "-" (integer).

3. Jika nombor kompleks diberikan dalam indikatif borang:

Pengekstrakan akar.

Pertimbangkan persamaan:
.

Penyelesaiannya ialah punca ke-n bagi nombor kompleks z:
.

Punca ke-n bagi nombor kompleks z mempunyai betul-betul n penyelesaian (nilai). Akar daripada tarikh semasa ijazah ke-n hanya mempunyai satu penyelesaian. Dalam yang kompleks terdapat n penyelesaian.

Jika nombor kompleks diberikan dalam trigonometri borang:

z=r(kos +isin ), maka punca ke-n bagi z didapati dengan formula:

, di mana k=0.1…n-1.

baris. Siri nombor.

Biarkan pembolehubah a mengambil secara berurutan nilai a 1, a 2, a 3,…, a n. Set nombor yang dinomborkan semula sedemikian dipanggil urutan. Ia tidak berkesudahan.

Siri nombor ialah ungkapan a 1 + a 2 + a 3 +…+a n +…= . Nombor a 1, a 2, a 3,..., dan n ialah ahli siri.