Dinamik gerakan berayun menggunakan contoh bandul spring. Pembentangan mengenai fizik mengenai topik "Getaran percuma dan paksa

Bandul matematik ialah model bandul biasa. Bandul matematik ialah titik bahan yang digantung pada benang panjang tanpa berat dan tidak boleh dipanjangkan.

Mari kita alihkan bola daripada kedudukan keseimbangannya dan lepaskannya. Dua daya akan bertindak ke atas bola: graviti dan ketegangan benang. Apabila bandul bergerak, daya geseran udara masih akan bertindak ke atasnya. Tetapi kami akan menganggapnya sangat kecil.

Marilah kita menguraikan daya graviti kepada dua komponen: daya yang diarahkan sepanjang benang, dan daya yang diarahkan berserenjang dengan tangen ke trajektori bola.

Kedua-dua daya ini menambah kepada daya graviti. Daya kenyal benang dan komponen graviti Fn berikan kepada bola pecutan sentripetal. Kerja yang dilakukan oleh daya ini akan menjadi sifar, dan oleh itu mereka hanya akan mengubah arah vektor halaju. Pada bila-bila masa, ia akan dihalakan secara tangen ke lengkok bulatan.

Di bawah pengaruh komponen graviti Fτ, bola akan bergerak sepanjang lengkok bulat dengan kelajuan meningkat dalam magnitud. Nilai daya ini sentiasa berubah dalam magnitud apabila melalui kedudukan keseimbangan, ia sama dengan sifar.

Dinamik gerakan berayun

Persamaan pergerakan jasad yang berayun di bawah tindakan daya kenyal.

Persamaan umum gerakan:

Ayunan dalam sistem berlaku di bawah pengaruh daya kenyal, yang, menurut hukum Hooke, adalah berkadar terus dengan anjakan beban.

Kemudian persamaan pergerakan bola akan mengambil bentuk berikut:

Bahagikan persamaan ini dengan m, kita mendapat formula berikut:

Dan kerana pekali jisim dan keanjalan adalah kuantiti malar, nisbah (-k/m) juga akan tetap. Kami telah memperoleh persamaan yang menerangkan getaran jasad di bawah tindakan daya kenyal.

Unjuran pecutan badan akan berkadar terus dengan koordinatnya, diambil dengan tanda yang bertentangan.

Persamaan gerakan bandul matematik

Persamaan gerakan bandul matematik diterangkan dengan formula berikut:

Persamaan ini mempunyai bentuk yang sama dengan persamaan gerakan jisim pada spring. Akibatnya, ayunan bandul dan pergerakan bola pada spring berlaku dengan cara yang sama.

Anjakan bola pada spring dan anjakan jasad bandul dari kedudukan keseimbangan berubah mengikut masa mengikut undang-undang yang sama.

KULIAH Bil 8

Mekanik

Ayunan

Pergerakan berayun. Ciri-ciri kinematik dan dinamik gerakan berayun. Bandul matematik, fizikal dan spring.

Kita hidup dalam dunia di mana proses berayun adalah sebahagian daripada dunia kita dan ditemui di mana-mana.

Proses ayunan atau ayunan ialah proses yang dicirikan oleh pelbagai darjah kebolehulangan.

Jika kuantiti berayun mengulangi nilainya pada selang masa yang sama, maka ayunan tersebut dipanggil berkala, dan selang masa ini dipanggil tempoh ayunan.

Bergantung pada sifat fizikal fenomena, getaran dibezakan: mekanikal, elektromekanikal, elektromagnet, dll.

Ayunan meluas dalam alam semula jadi dan teknologi. Proses berayun mendasari beberapa cabang mekanik. Dalam kursus kuliah ini kita hanya akan bercakap tentang getaran mekanikal.

Bergantung kepada sifat kesan pada sistem ayunan, getaran dibezakan: 1. Bebas atau semula jadi, 2. Getaran paksa, 3. Ayunan sendiri, 4. Getaran parametrik.

Getaran bebas ialah getaran yang berlaku tanpa pengaruh luaran dan disebabkan oleh "tolak" awal.

Ayunan paksa berlaku di bawah pengaruh daya luar berkala

Ayunan sendiri juga berlaku di bawah pengaruh daya luar, tetapi momen pengaruh daya pada sistem ditentukan oleh sistem ayunan itu sendiri.

Dengan ayunan parametrik, disebabkan oleh pengaruh luaran, perubahan berkala dalam parameter sistem berlaku, yang menyebabkan jenis ayunan ini.

Bentuk yang paling mudah ialah getaran harmonik

Ayunan harmonik ialah getaran yang berlaku mengikut undang-undangdosa ataucos . Contoh ayunan harmonik ialah ayunan bandul matematik

Sisihan maksimum kuantiti berayun semasa proses ayunan dipanggil amplitud ayunan(A) . Masa yang diperlukan untuk menyelesaikan satu ayunan lengkap dipanggil tempoh ayunan(T) . Timbal balik tempoh ayunan dipanggil kekerapan getaran(). Selalunya getaran didarab dengan 2 dipanggil kekerapan kitaran(). Oleh itu, getaran harmonik diterangkan oleh ungkapan

Di sini ( t+  0 ) fasa ayunan, dan  0 – fasa awal

Sistem ayunan mekanikal yang paling mudah ialah pendulum matematik, spring dan fizikal yang dipanggil. Mari kita lihat pendulum ini dengan lebih terperinci

8.1. Bandul matematik

Bandul matematik ialah sistem berayun yang terdiri daripada jasad titik besar yang digantung dalam medan graviti pada benang tanpa berat yang tidak dapat dipanjangkan.

Di bahagian bawah bandul mempunyai minimum tenaga potensi. Mari kita memesongkan bandul dengan sudut . Pusat graviti jasad titik besar akan naik ke ketinggian  h dan pada masa yang sama tenaga keupayaan bandul akan meningkat dengan jumlah mg h. Di samping itu, dalam kedudukan terpesong, beban dipengaruhi oleh graviti dan ketegangan benang. Garis tindakan daya ini tidak bertepatan, dan daya paduan bertindak ke atas beban, cenderung untuk mengembalikannya ke kedudukan keseimbangan. Jika beban tidak dipegang, maka di bawah pengaruh daya ini ia akan mula bergerak ke kedudukan keseimbangan asalnya, tenaga kinetiknya akan meningkat disebabkan peningkatan kelajuan, manakala tenaga potensi akan berkurangan. Apabila titik keseimbangan dicapai, daya yang terhasil tidak lagi bertindak ke atas jasad (daya graviti pada titik ini diimbangi oleh daya tegangan benang). Tenaga potensi badan pada ketika ini akan menjadi minimum, dan tenaga kinetik, sebaliknya, akan mempunyai sendiri. nilai maksimum. Badan, yang bergerak secara inersia, akan melepasi kedudukan keseimbangan dan mula bergerak darinya, yang akan membawa kepada kemunculan daya paduan (dari daya ketegangan dan graviti), yang akan diarahkan terhadap pergerakan badan. , membreknya. Pada masa yang sama, tenaga kinetik beban mula berkurangan dan tenaga keupayaan. Proses ini akan berterusan sehingga rizab tenaga kinetik habis sepenuhnya dan ditukar kepada tenaga keupayaan. Dalam kes ini, sisihan beban dari kedudukan keseimbangan akan mencapai nilai maksimum dan proses akan berulang. Jika tiada geseran dalam sistem, beban akan berayun selama-lamanya.

Oleh itu, sistem mekanikal berayun dicirikan oleh fakta bahawa apabila ia menyimpang dari kedudukan keseimbangan, daya pemulihan timbul dalam sistem, cenderung untuk mengembalikan sistem ke kedudukan keseimbangan. Dalam kes ini, getaran berlaku, disertai peralihan berkala tenaga keupayaan sistem menjadi tenaga kinetiknya dan sebaliknya.

Jom kira proses berayun. momen kekuatan M bertindak pada bandul jelas sama dengan - mglsin Tanda tolak mencerminkan fakta bahawa momen daya cenderung untuk mengembalikan beban ke kedudukan keseimbangan. Sebaliknya, mengikut undang-undang asas gerakan putaran M=ID 2  / dt 2 . Oleh itu, kita memperoleh kesaksamaan

B
Kami akan mempertimbangkan hanya sudut sisihan kecil bandul dari kedudukan keseimbangan. Kemudian dosa ≈  . Dan kesaksamaan kami akan berbentuk:

D
Untuk bandul matematik ia adalah benar saya= ml 2 . Menggantikan kesamaan ini ke dalam ungkapan yang terhasil, kita memperoleh persamaan yang menerangkan proses ayunan bandul matematik:

Persamaan pembezaan ini menerangkan proses berayun. Penyelesaian kepada persamaan ini ialah fungsi harmonik dosa( t+  0 ) atau cos ( t+  0 ) Sesungguhnya, kami menggantikan mana-mana fungsi ini ke dalam persamaan dan mendapatkan:  2 = g/ l. Oleh itu, jika syarat ini dipenuhi, maka fungsinya dosa( t+  0 ) atau cos( t+  0 ) mengubah persamaan pembezaan ayunan kepada identiti.

TENTANG
Di sini kekerapan kitaran dan tempoh ayunan bandul harmonik dinyatakan sebagai:

Amplitud ayunan didapati daripada keadaan awal tugasan.

Seperti yang dapat kita lihat, kekerapan dan tempoh ayunan bandul matematik tidak bergantung pada jisim beban dan hanya bergantung pada pecutan jatuh bebas dan panjang benang ampaian, yang membolehkan bandul digunakan sebagai peranti mudah tetapi sangat tepat untuk menentukan pecutan jatuh bebas.

Satu lagi jenis bandul ialah mana-mana badan fizikal yang digantung dari beberapa titik badan dan mempunyai keupayaan untuk melakukan pergerakan berayun.

8.2. Bandul fizikal

DALAM Mari kita ambil badan sewenang-wenangnya, tusuknya pada satu ketika dengan paksi yang tidak bertepatan dengan pusat jisimnya, di mana badan boleh berputar dengan bebas. Marilah kita menggantung jasad pada paksi ini dan memesongkannya dari kedudukan keseimbangan dengan sudut tertentu  .

T
apabila berada pada badan dengan momen inersia saya relatif kepada paksi TENTANG akan ada masa kembali ke kedudukan keseimbangan M = - mglsin dan turun naik bandul fizikal seperti matematik, mereka akan diterangkan oleh persamaan pembezaan:

Oleh kerana untuk bandul fizikal yang berbeza, momen inersia akan dinyatakan secara berbeza, kami tidak akan menerangkannya seperti dalam kes bandul matematik. Persamaan ini juga mempunyai bentuk persamaan ayunan, penyelesaiannya ialah fungsi yang menerangkan ayunan harmonik. Dalam kes ini, kekerapan kitaran ( ) , tempoh ayunan (T) ditakrifkan sebagai:

Kita melihat bahawa dalam kes bandul fizikal, tempoh ayunan bergantung pada geometri badan bandul, dan bukan pada jisimnya, seperti dalam kes bandul matematik. Sesungguhnya, ungkapan untuk momen inersia termasuk jisim bandul kepada kuasa pertama. Momen inersia dalam ungkapan untuk tempoh ayunan adalah dalam pengangka, manakala jisim bandul berada dalam penyebut dan juga kepada kuasa pertama. Oleh itu, jisim dalam pengangka dibatalkan dengan jisim dalam penyebut.

Bandul fizikal mempunyai satu lagi ciri: panjang berkurangan.

Panjang bandul fizik yang dikurangkan ialah panjang bandul matematik, tempoh yang bertepatan dengan tempoh bandul fizikal.

Takrifan ini memudahkan untuk menentukan ungkapan untuk panjang yang diberikan.

Membandingkan ungkapan ini yang kami dapat

Jika pada garis yang ditarik dari titik ampaian melalui pusat jisim pendulum fizikal kita plot (bermula dari titik ampaian) panjang pendulum fizikal yang dikurangkan, maka pada akhir segmen ini akan terdapat titik yang mempunyai harta yang luar biasa. Jika bandul fizikal digantung dari titik ini, maka tempoh ayunannya akan sama seperti dalam kes menggantung bandul pada titik penggantungan sebelumnya. Titik ini dipanggil pusat ayunan bandul fizikal.

Mari kita pertimbangkan satu lagi sistem ayunan mudah yang melakukan ayunan harmonik

8.3. Bandul musim bunga

P Mari kita bayangkan bahawa pada penghujung spring dengan pekali kekakuan k beban jisim dilampirkan m.

Jika kita menggerakkan beban sepanjang paksi-x dengan meregangkan spring, maka daya yang kembali ke kedudukan keseimbangan akan bertindak ke atas beban itu. F kembali = - kx. Jika beban dilepaskan, daya ini akan menyebabkan pecutan d 2 x / dt 2 . Menurut hukum kedua Newton kita dapat:

md 2 x / dt 2 = - kx daripada persamaan ini kita memperoleh persamaan untuk ayunan beban pada spring dalam bentuk akhir: d 2 x / dt 2 + (k/ m) x = 0

E
maka persamaan ayunan mempunyai bentuk yang sama seperti persamaan ayunan dalam kes yang telah dipertimbangkan, yang bermaksud bahawa penyelesaian kepada persamaan ini akan menjadi fungsi harmonik yang sama. Kekerapan dan tempoh ayunan masing-masing akan sama

Selain itu, graviti tidak menjejaskan getaran bandul spring. Oleh kerana dalam kes ini ia adalah faktor yang sentiasa bertindak, bertindak sepanjang masa dalam satu arah dan tiada kaitan dengan daya pemulihan.

Oleh itu, seperti yang kita lihat proses ayunan dalam sistem ayunan mekanikal, ia dicirikan terutamanya oleh kehadiran dalam sistem memulihkan tenaga bertindak ke atas sistem, dan ayunan itu sendiri dicirikan oleh: amplitud ayunan, tempohnya, kekerapan dan fasa ayunan.

paru-paru

hati

Topik pelajaran: “Percuma dan ayunan paksa. Dinamik gerakan berayun".

• Getaran mekanikal – ini adalah pergerakan yang diulang tepat atau lebih kurang pada selang masa tertentu.

Jenis utama getaran

terpaksa

percuma

dipanggil getaran badan di bawah pengaruh kuasa luar yang berubah secara berkala.

dipanggil ayunan dalam sistem di bawah pengaruh kuasa dalaman, selepas sistem telah dikeluarkan daripada keseimbangan dan kemudian diserahkan kepada perantinya sendiri.

Bandul - jasad yang digantung pada benang atau dipasang pada paksi yang boleh berayun di bawah pengaruh graviti

Jenis bandul

Musim bunga- jasad yang digantung pada spring dan berayun di bawah tindakan daya kenyal spring.

Matematik (benang) ialah titik material yang digantung pada benang tanpa berat dan tidak boleh dipanjangkan.

Keadaan untuk berlakunya ayunan

• Apabila jasad dikeluarkan dari kedudukan keseimbangan, satu daya timbul dalam sistem, diarahkan ke arah kedudukan keseimbangan dan, oleh itu, cenderung untuk mengembalikan jasad ke kedudukan keseimbangan.

• Geseran dalam sistem sepatutnya agak rendah.

• Amplitud – modulus anjakan terbesar badan daripada kedudukan keseimbangan.

X maks atau A

Diukur dalam meter

• Tempoh T – masa satu ayunan lengkap.

Diukur dalam beberapa saat

Tempoh ayunan

Untuk matematik

bandul

Untuk musim bunga

bandul

(Formula Huygens)

Kekerapan - bilangan ayunan lengkap per unit masa.

Diukur dalam Hertz

• Kekerapan getaran kitaran (bulatan). – kekerapan, sama dengan nombor ayunan yang dibuat titik material belakang

Diukur dalam radian sesaat

Dunia turun naik

• Ayunan adalah salah satu proses yang paling biasa dalam alam semula jadi dan teknologi.
• sayap serangga dan burung terbang,
• bangunan bertingkat tinggi dan wayar voltan tinggi terdedah kepada angin,
• bandul jam luka dan kereta pada spring semasa memandu
• paras sungai sepanjang tahun dan suhu badan manusia sekiranya sakit.

Sedikit sejarah...

Galileo Galilei (1564-1642)

Saintis Itali yang hebat adalah salah seorang pencipta sains semula jadi yang tepat.

Suatu hari di gereja dia Saya memerhatikan candelier besar berayun dan mengatur masa mengikut nadi saya. Dia kemudiannya mendapati bahawa masa yang diperlukan untuk mengayun sekali bergantung pada panjang bandul - masa dikurangkan separuh jika bandul dipendekkan tiga suku.

Sedikit sejarah...

Paling terkenal kegunaan praktikal Penggunaan bandul dalam jam untuk mengukur masa. Ini pertama kali dilakukan oleh ahli fizik Belanda H. Huygens. Saintis itu bekerja pada tugas mencipta dan menambah baik jam, terutamanya yang bandul, selama hampir empat puluh tahun: dari 1656 hingga 1693, Huygens memperoleh formula untuk menentukan tempoh ayunan bandul matematik. Sebelum ini, masa diukur dengan aliran air, pembakaran obor atau lilin.

Bandul Foucault

Pada tahun 1850, J. Foucault menggantung bandul di bawah kubah bangunan tinggi sehingga hujung bandul, apabila dihayun, meninggalkan kesan pada pasir yang dituangkan di atas lantai. Ternyata dengan setiap gulungan hujungnya meninggalkan tanda baru di pasir.

Oleh itu, eksperimen Foucault menunjukkan bahawa Bumi berputar mengelilingi paksinya.

Pada mulanya, eksperimen dijalankan di bulatan sempit, tetapi Napoleon begitu berminat III, Maharaja Perancis, bahawa dia mencadangkan kepada Foucault supaya ia diulang secara terbuka secara besar-besaran di bawah kubah Pantheon di Paris. Demonstrasi awam ini biasanya dipanggil eksperimen Foucault.

Dalam geologi, bandul digunakan untuk penentuan eksperimen nilai berangka g V titik yang berbeza permukaan bumi. Cukup untuk ini sebilangan besar ayunan bandul di tempat ia diukur g , cari tempoh ayunannya T, dan g dikira menggunakan formula:

Sisihan ketara dalam nilai g daripada norma untuk mana-mana kawasan dipanggil anomali graviti. Pengesanan anomali membantu mengesan mendapan mineral.

Kerja makmal"Definisi pecutan jatuh bebas menggunakan bandul"

Matlamat kerja: Belajar secara eksperimen untuk mengukur pecutan jatuh bebas menggunakan bandul matematik.

peralatan: tripod, bola pada tali, jam, pembaris.

Daripada tiga ayat yang dicadangkan, pilih satu yang mencirikan keadaan anda pada akhir pelajaran .

1. Mata berkilauan Jiwa ketawa Dan fikiran saya menyanyi: "Maju kepada pengetahuan"!

2. Saya tidak gembira hari ini Dalam diam aku rasa sedih, Semua tentang turun naik berkelip di kejauhan.

3. Mengingati segala-galanya pengetahuan anda, Dan ahli fizik memahami dunia, Saya bersyukur kepada nasib ibu, Bahawa terdapat turun naik di dunia

dan kita tidak boleh mengira semuanya!

>> Dinamik gerakan berayun

§21 DINAMIK GERAKAN GETAR

Untuk menerangkan secara kuantitatif getaran jasad di bawah tindakan daya kenyal spring atau getaran bola yang digantung pada benang, kami menggunakan hukum mekanik Newton.

Persamaan pergerakan jasad yang berayun di bawah tindakan daya kenyal. Mengikut undang-undang kedua Newton, hasil darab jisim badan m dan pecutannya adalah sama dengan paduan semua daya yang dikenakan pada jasad itu:

Membahagikan sisi kiri dan kanan persamaan ini dengan m, kita dapat

Sebelum ini diandaikan bahawa sudut pesongan benang bandul dari menegak boleh menjadi sebarang. Pada masa akan datang kita akan menganggap mereka kecil. Untuk sudut kecil, jika sudut diukur dalam radian,

Jika sudutnya kecil, maka unjuran pecutan adalah lebih kurang sama dengan unjuran pecutan pada paksi OX: (lihat Rajah 3.5). Dari segi tiga ABO untuk sudut kecil a kita ada:

Menggantikan ungkapan ini kepada kesamaan (3.8) dan bukannya sudut , kita perolehi

Persamaan ini mempunyai bentuk yang sama seperti persamaan (3.4) untuk pecutan bola yang dilekatkan pada spring. Akibatnya, penyelesaian kepada persamaan ini akan mempunyai bentuk yang sama dengan penyelesaian kepada persamaan (3.4). Ini bermakna pergerakan bola dan ayunan bandul berlaku dengan cara yang sama. Anjakan bola pada spring dan badan bandul daripada kedudukan keseimbangan berubah mengikut masa mengikut undang-undang yang sama, walaupun pada hakikatnya daya yang menyebabkan ayunan mempunyai berbeza. sifat fizikal. Dengan mendarab persamaan (3.4) dan (3.10) dengan m dan mengingati hukum kedua Newton ma x = Fх res, kita boleh membuat kesimpulan bahawa ayunan dalam kedua-dua kes ini berlaku di bawah pengaruh daya, yang paduannya adalah berkadar terus dengan anjakan jasad berayun dari kedudukan keseimbangan dan diarahkan ke arah sisi yang bertentangan dengan anjakan ini.

Persamaan (3.4), seperti (3.10), nampaknya sangat mudah: pecutan adalah berkadar terus dengan koordinat (anjakan daripada kedudukan keseimbangan).

Isi pelajaran nota pelajaran menyokong kaedah pecutan pembentangan pelajaran bingkai teknologi interaktif berlatih tugasan dan latihan bengkel ujian kendiri, latihan, kes, pencarian kerja rumah isu kontroversi soalan retorik daripada pelajar Ilustrasi audio, klip video dan multimedia gambar, gambar, grafik, jadual, rajah, jenaka, anekdot, jenaka, komik, perumpamaan, pepatah, silang kata, petikan Alat tambah abstrak artikel helah untuk buaian ingin tahu buku teks asas dan kamus tambahan istilah lain Menambah baik buku teks dan pelajaranmembetulkan kesilapan dalam buku teks mengemas kini serpihan dalam buku teks, elemen inovasi dalam pelajaran, menggantikan pengetahuan lapuk dengan yang baharu Hanya untuk guru pelajaran yang sempurna pelan kalendar untuk setahun garis panduan program perbincangan Pelajaran Bersepadu

Untuk menerangkan secara kuantitatif getaran jasad di bawah tindakan daya kenyal spring atau getaran bola yang digantung pada benang, kita akan menggunakan hukum mekanik Newton. Persamaan pergerakan jasad yang berayun di bawah tindakan daya kenyal. Mengikut undang-undang kedua Newton, hasil darab jisim badan m dan pecutan a adalah sama dengan paduan F bagi semua daya yang dikenakan pada jasad itu: Mari kita tulis persamaan gerakan bola yang bergerak secara mendatar di bawah tindakan kenyal itu. daya F spring (lihat Rajah 56). Mari kita halakan paksi Lembu ke kanan. Biarkan asal koordinat sepadan dengan kedudukan keseimbangan (lihat Rajah 56, a). Dalam unjuran pada paksi Ox, persamaan (3.1) akan ditulis seperti berikut: max = Fxynp, di mana ax dan Fxyn masing-masing adalah unjuran pecutan dan daya kenyal. Mengikut undang-undang Hooke, unjuran Fx adalah berkadar terus dengan anjakan bola dari kedudukan keseimbangannya. Anjakan adalah sama dengan koordinat x bola, dan unjuran daya dan koordinat mempunyai tanda bertentangan(lihat Rajah 56, b, c). Akibatnya, Fx m=~kx, (3.2) dengan k ialah kekakuan spring. Persamaan pergerakan bola kemudiannya akan mengambil bentuk: max=~kx. (3.3) Membahagikan sisi kiri dan kanan persamaan (3.3) dengan m, kita memperoleh a = - - x. + (3.4) x m v " Oleh kerana jisim m dan kekakuan k ialah kuantiti malar, nisbahnya - " k juga tetap. t Kami telah memperoleh persamaan gerakan jasad yang berayun di bawah tindakan daya kenyal. Ia sangat mudah: kapak unjuran bagi pecutan jasad adalah berkadar terus dengan koordinat x, diambil dengan tanda bertentangan. Persamaan gerakan bandul matematik. Apabila sebiji bola berayun pada benang yang tidak dapat dipanjangkan, ia sentiasa bergerak sepanjang lengkok bulatan, jejarinya ialah sama panjang benang/. Oleh itu, kedudukan bola pada bila-bila masa ditentukan oleh satu kuantiti - sudut a sisihan benang dari menegak. Kami akan menganggap sudut a sebagai positif jika bandul dicondongkan ke kanan dari kedudukan keseimbangan, dan negatif jika ia dicondongkan ke kiri (lihat Rajah 58). Tangen kepada trajektori akan dianggap menghala ke arah rujukan sudut positif. Mari kita nyatakan unjuran graviti ke tangen kepada trajektori bandul oleh Fz. Unjuran ini pada saat benang bandul terpesong dari kedudukan keseimbangan dengan sudut a dinyatakan seperti berikut: Fl=-Fs\na=-mgs"ma. (3.5) Di sini tanda “-” adalah kerana Fx dan a mempunyai tanda berlawanan Apabila bandul dipesongkan ke kanan (a>0), komponen Fx daya graviti diarahkan ke kiri dan unjurannya adalah negatif: Fx 0. Mari kita nyatakan unjuran pecutan bagi bandul pada tangen ke trajektorinya melalui aT Unjuran ini mencirikan kadar perubahan dalam modulus halaju bandul Menurut hukum kedua Newton, Membahagikan sebelah kanan persamaan ini pada m, kita memperoleh jf ~-g sin a. (3.7) Sehingga kini, diandaikan bahawa sudut sisihan benang bandul dari menegak boleh sewenang-wenangnya Dalam perkara berikut, kita akan menganggapnya kecil pada sudut kecil, jika sudut diukur . dalam radian, sin a~a Oleh itu, kita boleh mengambil a=~ga (3.8) Menyatakan panjang lengkok OA dengan s (lihat Rajah 58), kita boleh menulis s=al, dari mana a=y. (3.9) Menggantikan ungkapan ini dalam kesamaan (3.8) dan bukannya sudut a, kita memperoleh ax = - js Persamaan ini mempunyai bentuk yang sama seperti persamaan (3.4) bagi gerakan bola yang dilekatkan pada spring. Di sini, hanya sebagai ganti kapak unjuran pecutan terdapat unjuran aT bagi pecutan dan bukannya koordinat x terdapat nilai s. Dan pekali perkadaran tidak lagi bergantung pada kekakuan spring dan jisim bola, tetapi pada pecutan jatuh bebas dan panjang benang. Tetapi seperti sebelum ini, pecutan adalah berkadar terus dengan anjakan (ditentukan oleh arka) bola dari kedudukan keseimbangan. Kami sampai pada kesimpulan yang luar biasa: persamaan gerakan yang menggambarkan ayunan sedemikian pelbagai sistem, seperti bola pada spring dan bandul, adalah sama. Ini bermakna pergerakan bola dan ayunan bandul berlaku dengan cara yang sama. Anjakan bola pada spring dan bola bandul dari kedudukan keseimbangan berubah mengikut masa mengikut undang-undang yang sama, walaupun pada hakikatnya daya yang menyebabkan ayunan mempunyai sifat fizikal yang berbeza. Dalam kes pertama, ini adalah daya keanjalan spring, dan dalam kes kedua, ia adalah komponen graviti. Persamaan gerakan (3.4), seperti persamaan (3.10), nampaknya sangat mudah: pecutan adalah berkadar terus dengan koordinat. Tetapi menyelesaikannya, iaitu, menentukan bagaimana kedudukan badan berayun dalam ruang berubah dari semasa ke semasa, adalah jauh dari mudah.