Mencari koordinat vektor adalah keadaan yang agak biasa untuk banyak masalah dalam matematik. Keupayaan untuk mencari koordinat vektor akan membantu anda dalam perkara lain, lebih banyak lagi tugasan yang kompleks dengan topik yang serupa. Dalam artikel ini kita akan melihat formula untuk mencari koordinat vektor dan beberapa masalah.
Mencari koordinat vektor dalam satah
Apa itu kapal terbang? Satah dianggap sebagai ruang dua dimensi, ruang dengan dua dimensi (dimensi x dan dimensi y). Sebagai contoh, kertas adalah rata. Permukaan meja rata. Mana-mana angka bukan volumetrik (segi empat sama, segi tiga, trapezoid) juga merupakan satah. Oleh itu, jika dalam penyataan masalah anda perlu mencari koordinat vektor yang terletak pada satah, kita segera ingat tentang x dan y. Anda boleh mencari koordinat vektor sedemikian dengan cara berikut: Koordinat vektor AB = (xB - xA; yB - xA). Dari formula jelas bahawa dari koordinat titik akhir anda perlu menolak koordinat titik permulaan.
Contoh:
- CD vektor mempunyai koordinat awal (5; 6) dan akhir (7; 8).
- Cari koordinat bagi vektor itu sendiri.
- Menggunakan formula di atas, kita mendapat ungkapan berikut: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
- Oleh itu, koordinat vektor CD = (2; 2).
- Sehubungan itu, koordinat x adalah sama dengan dua, koordinat y juga adalah dua.
Mencari koordinat vektor dalam ruang
Apakah ruang? Ruang sudah menjadi dimensi tiga dimensi, di mana 3 koordinat diberikan: x, y, z. Jika anda perlu mencari vektor yang terletak di angkasa, formula praktikalnya tidak berubah. Hanya satu koordinat ditambah. Untuk mencari vektor, anda perlu menolak koordinat permulaan daripada koordinat akhir. AB = (xB - xA; yB - yA; zB - zA)
Contoh:
- Vektor DF mempunyai awal (2; 3; 1) dan akhir (1; 5; 2).
- Menggunakan formula di atas, kita dapat: Koordinat vektor DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
- Ingat, nilai koordinat boleh negatif, tidak ada masalah.
Bagaimana untuk mencari koordinat vektor dalam talian?
Jika atas sebab tertentu anda tidak mahu mencari koordinat sendiri, anda boleh menggunakan kalkulator dalam talian. Untuk bermula, pilih dimensi vektor. Dimensi vektor bertanggungjawab untuk dimensinya. Dimensi 3 bermaksud vektor berada di angkasa, dimensi 2 bermakna ia berada di atas satah. Seterusnya, masukkan koordinat titik ke dalam medan yang sesuai dan program akan menentukan untuk anda koordinat vektor itu sendiri. Semuanya sangat mudah.
Dengan mengklik pada butang, halaman akan secara automatik tatal ke bawah dan memberikan anda jawapan yang betul bersama-sama dengan langkah penyelesaian.
Adalah disyorkan untuk belajar dengan baik topik ini, kerana konsep vektor ditemui bukan sahaja dalam matematik, tetapi juga dalam fizik. pelajar fakulti Teknologi maklumat Mereka juga mengkaji topik vektor, tetapi pada tahap yang lebih kompleks.
Jika dua titik satah dan diberi, maka vektor mempunyai koordinat berikut:
Jika dua titik dalam ruang dan diberi, maka vektor mempunyai koordinat berikut:
Itu dia, daripada koordinat hujung vektor anda perlu menolak koordinat yang sepadan permulaan vektor.
Senaman: Untuk titik yang sama, tuliskan formula untuk mencari koordinat vektor. Formula pada akhir pelajaran.
Contoh 1
Diberi dua titik satah dan . Cari koordinat vektor
Penyelesaian: mengikut formula yang sepadan:
Sebagai alternatif, entri berikut boleh digunakan:
Aesthetes akan memutuskan ini:
Secara peribadi, saya sudah biasa dengan versi pertama rakaman.
Jawapan:
Mengikut syarat itu, tidak perlu membina lukisan (yang tipikal untuk tugasan geometri analisis), tetapi untuk menjelaskan beberapa perkara untuk boneka, saya tidak akan terlalu malas:
Anda pasti perlu faham perbezaan antara koordinat titik dan koordinat vektor:
Koordinat titik– ini adalah koordinat biasa dalam sistem koordinat segi empat tepat. Letakkan mata pada satah koordinat Saya rasa semua orang boleh melakukannya dari darjah 5-6. Setiap titik mempunyai tempat yang ketat di dalam pesawat, dan mereka tidak boleh dialihkan ke mana-mana.
Koordinat vektor adalah pengembangannya dari segi asas, dalam dalam kes ini. Mana-mana vektor adalah percuma, jadi jika perlu, kita boleh mengalihkannya dengan mudah dari titik lain dalam pesawat. Sangat menarik bahawa untuk vektor anda tidak perlu membina paksi sama sekali, sistem segi empat tepat koordinat, anda hanya memerlukan asas, dalam kes ini asas ortonormal pesawat.
Rekod koordinat titik dan koordinat vektor nampaknya serupa: , dan maksud koordinat secara mutlak berbeza, dan anda harus sedar tentang perbezaan ini. Perbezaan ini, tentu saja, juga terpakai kepada ruang.
Tuan-tuan dan puan-puan, mari penuhi tangan kita:
Contoh 2
a) Mata dan diberi. Cari vektor dan .
b) Mata dan diberi. Cari vektor dan .
c) Mata dan diberi. Cari vektor dan .
d) Mata diberi. Cari vektor.
Mungkin itu sudah cukup. Ini adalah contoh untuk keputusan bebas, cuba untuk tidak mengabaikan mereka, ia akan membawa hasil ;-). Tidak perlu membuat lukisan. Penyelesaian dan jawapan pada akhir pelajaran.
Apakah yang penting semasa menyelesaikan masalah geometri analisis? Adalah penting untuk BERHATI-HATI untuk mengelak daripada membuat kesilapan "dua tambah dua sama dengan sifar" yang mahir. Saya minta maaf segera jika saya membuat kesilapan di mana-mana =)
Bagaimana untuk mencari panjang segmen?
Panjang, seperti yang telah dinyatakan, ditunjukkan oleh tanda modulus.
Jika dua titik satah diberi dan , maka panjang segmen boleh dikira menggunakan formula
Jika dua titik dalam ruang dan diberi, maka panjang segmen boleh dikira menggunakan formula
Catatan: Formula akan kekal betul jika koordinat yang sepadan ditukar: Dan , tetapi pilihan pertama adalah lebih standard
Contoh 3
Penyelesaian: mengikut formula yang sepadan:
Jawapan:
Untuk kejelasan, saya akan membuat lukisan 
Segmen baris - ini bukan vektor, dan, sudah tentu, anda tidak boleh mengalihkannya ke mana-mana. Di samping itu, jika anda melukis mengikut skala: 1 unit. = 1 cm (dua sel buku nota), maka jawapan yang terhasil boleh disemak dengan pembaris biasa dengan mengukur panjang segmen secara terus.
Ya, penyelesaiannya singkat, tetapi terdapat beberapa lagi di dalamnya perkara penting yang ingin saya jelaskan:
Pertama, dalam jawapan kami meletakkan dimensi: "unit". Keadaan itu tidak menyatakan APA itu, milimeter, sentimeter, meter atau kilometer. Oleh itu, penyelesaian yang betul secara matematik ialah rumusan umum: "unit" - disingkatkan sebagai "unit."
Kedua, mari kita ulangi bahan sekolah, yang berguna bukan sahaja untuk masalah yang dipertimbangkan:
Beri perhatian kepada penting teknik teknikal – mengeluarkan pengganda dari bawah akar. Hasil daripada pengiraan, kami mempunyai keputusan dan gaya matematik yang baik melibatkan penyingkiran faktor dari bawah punca (jika boleh). Secara lebih terperinci prosesnya kelihatan seperti ini: . Sudah tentu, membiarkan jawapan seperti sedia ada tidak akan menjadi satu kesilapan - tetapi ia pastinya akan menjadi kelemahan dan hujah yang berat untuk bertengkar di pihak guru.
Berikut adalah kes biasa yang lain: 
Selalunya terdapat cukup pada akarnya nombor besar, Sebagai contoh . Apa yang perlu dilakukan dalam kes sedemikian? Menggunakan kalkulator, kami menyemak sama ada nombor itu boleh dibahagi dengan 4: . Ya, ia dibahagikan sepenuhnya, dengan itu: 
. Atau mungkin nombor itu boleh dibahagikan dengan 4 lagi? . Oleh itu: 
. Digit terakhir nombor adalah ganjil, jadi membahagikan dengan 4 untuk kali ketiga jelas tidak akan berfungsi. Jom cuba bahagi dengan sembilan: . Akibatnya:
sedia.
Kesimpulan: jika di bawah punca kita mendapat nombor yang tidak boleh diekstrak secara keseluruhan, maka kita cuba mengalih keluar faktor dari bawah punca - menggunakan kalkulator kita menyemak sama ada nombor itu boleh dibahagikan dengan: 4, 9, 16, 25, 36, 49, dsb.
Semasa membuat keputusan pelbagai tugas akar adalah perkara biasa, sentiasa cuba mengekstrak faktor dari bawah akar untuk mengelakkan gred yang lebih rendah dan masalah yang tidak perlu dengan memuktamadkan penyelesaian anda berdasarkan komen guru.
Mari kita ulangi akar kuasa dua dan kuasa lain:
Peraturan untuk tindakan dengan darjah dalam Pandangan umum boleh didapati di buku teks sekolah dalam algebra, tetapi saya rasa dari contoh yang diberikan, semuanya atau hampir semuanya sudah jelas.
Tugas untuk penyelesaian bebas dengan segmen dalam ruang:
Contoh 4
Mata dan diberi. Cari panjang ruas itu.
Penyelesaian dan jawapan ada pada akhir pelajaran.
Bagaimana untuk mencari panjang vektor?
Jika vektor satah diberikan, maka panjangnya dikira dengan formula.
Jika vektor ruang diberikan, maka panjangnya dikira dengan formula 
.
Rumus ini (serta formula untuk panjang segmen) mudah diperoleh menggunakan teorem Pythagoras yang terkenal.
Contoh 5
Mata dan diberi. Cari panjang vektor.
Saya mengambil mata yang sama seperti dalam Contoh 3.
Penyelesaian: Mula-mula, mari cari vektor:
Menggunakan formula, kami mengira panjang vektor:
Jawapan:
Jangan lupa untuk menunjukkan dimensi - "unit"! By the way, adakah ia sentiasa perlu untuk mengira nilai anggaran (dalam dalam contoh ini 8.94), jika ini tidak diperlukan dalam keadaan? Dari sudut pandangan saya, ia tidak akan berlebihan; kekurangan nilai anggaran membawa kepada nit-picking. Adalah dinasihatkan untuk membundarkan kepada 2-3 tempat perpuluhan.
Mari buat lukisan untuk tugasan itu:
Apakah perbezaan asas daripada Contoh 3? Perbezaannya ialah di sini kita bercakap tentang vektor, bukan segmen. Vektor boleh dialihkan ke mana-mana titik dalam satah.
Apakah persamaan antara Contoh 3 dan Contoh 5? Secara geometri jelas bahawa panjang segmen adalah sama dengan panjang vektor. Ia juga jelas bahawa panjang vektor akan sama. Akibatnya: 
.
b) Diberi vektor , , dan . Cari panjangnya.
Penyelesaian dan jawapan pada akhir pelajaran.
Dalam artikel ini, kami akan mula membincangkan satu "tongkat ajaib" yang akan membolehkan anda mengurangkan banyak masalah geometri kepada aritmetik mudah. "Tongkat" ini boleh menjadikan hidup anda lebih mudah, terutamanya apabila anda berasa tidak pasti tentang membina angka spatial, bahagian, dsb. Semua ini memerlukan imaginasi dan kemahiran praktikal tertentu. Kaedah yang akan kami pertimbangkan di sini akan membolehkan anda hampir sepenuhnya abstrak daripada apa-apa jenis binaan geometri dan penaakulan. Kaedahnya dipanggil "kaedah koordinat". Dalam artikel ini kita akan mempertimbangkan soalan berikut:
- satah koordinat
- Titik dan vektor pada satah
- Membina vektor daripada dua titik
- Panjang vektor (jarak antara dua titik).
- Koordinat tengah segmen
- Hasil darab titik bagi vektor
- Sudut antara dua vektor
Saya rasa anda sudah meneka mengapa kaedah koordinat dipanggil begitu? Betul, ia mendapat nama itu kerana ia tidak beroperasi dengan objek geometri, dan bersama mereka ciri berangka(koordinat). Dan transformasi itu sendiri, yang membolehkan kita beralih dari geometri ke algebra, terdiri daripada memperkenalkan sistem koordinat. Jika rajah asal adalah rata, maka koordinat adalah dua dimensi, dan jika rajah adalah tiga dimensi, maka koordinat adalah tiga dimensi. Dalam artikel ini kita akan mempertimbangkan hanya kes dua dimensi. Dan matlamat utama artikel adalah untuk mengajar anda cara menggunakan beberapa teknik asas kaedah koordinat (ia kadang-kadang ternyata berguna apabila menyelesaikan masalah pada planimetri dalam Bahagian B Peperiksaan Negeri Bersepadu). Dua bahagian seterusnya mengenai topik ini ditumpukan kepada perbincangan kaedah untuk menyelesaikan masalah C2 (masalah stereometri).
Di manakah logik untuk mula membincangkan kaedah koordinat? Mungkin dari konsep sistem koordinat. Ingat ketika pertama kali anda bertemu dengannya. Nampaknya saya pada gred 7, apabila anda mengetahui tentang kewujudan fungsi linear, Sebagai contoh. Biar saya ingatkan anda bahawa anda membinanya titik demi titik. Adakah awak ingat? awak pilih nombor sewenang-wenangnya, menggantikannya ke dalam formula dan mengiranya dengan cara ini. Contohnya, jika, kemudian, jika, kemudian, dsb. Apa yang anda dapat pada akhirnya? Dan anda menerima mata dengan koordinat: dan. Seterusnya, anda melukis "palang" (sistem koordinat), memilih skala di atasnya (berapa banyak sel yang akan anda miliki sebagai segmen unit) dan menandakan mata yang anda perolehi di atasnya, yang kemudian anda sambungkan dengan garis lurus; garis ialah graf bagi fungsi tersebut.
Terdapat beberapa perkara di sini yang harus dijelaskan kepada anda dengan lebih terperinci:
1. Anda memilih satu segmen atas sebab kemudahan, supaya semuanya sesuai dengan cantik dan padat dalam lukisan.
2. Adalah diterima bahawa paksi pergi dari kiri ke kanan, dan paksi pergi dari bawah ke atas
3. Mereka bersilang pada sudut tepat, dan titik persilangan mereka dipanggil asalan. Ia ditunjukkan oleh surat.
4. Dalam menulis koordinat titik, sebagai contoh, di sebelah kiri dalam kurungan terdapat koordinat titik di sepanjang paksi, dan di sebelah kanan, di sepanjang paksi. Khususnya, ia hanya bermaksud bahawa pada titik itu
5. Untuk menetapkan sebarang titik pada paksi koordinat, anda perlu menunjukkan koordinatnya (2 nombor)
6. Untuk sebarang titik yang terletak pada paksi,
7. Untuk sebarang titik yang terletak pada paksi,
8. Paksi dipanggil paksi-x
9. Paksi itu dipanggil paksi-y
Sekarang mari kita lakukan dengan anda langkah seterusnya: Mari kita tanda dua mata. Mari sambungkan dua titik ini dengan satu segmen. Dan kami akan meletakkan anak panah seolah-olah kami melukis segmen dari satu titik ke titik: iaitu, kami akan menjadikan segmen kami diarahkan!
Ingat apa yang dipanggil segmen arah lain? Betul, ia dipanggil vektor!
Jadi jika kita menyambungkan titik ke titik, dan permulaan akan menjadi titik A, dan penghujungnya akan menjadi titik B, maka kita mendapat vektor. Anda juga melakukan pembinaan ini pada darjah 8, ingat?
Ternyata vektor, seperti titik, boleh dilambangkan dengan dua nombor: nombor ini dipanggil koordinat vektor. Soalan: Adakah anda fikir cukup untuk kita mengetahui koordinat permulaan dan penghujung vektor untuk mencari koordinatnya? Ternyata ya! Dan ini dilakukan dengan sangat mudah:
Oleh itu, oleh kerana dalam vektor titik adalah permulaan dan titik adalah penghujung, vektor mempunyai koordinat berikut:
Sebagai contoh, jika, maka koordinat vektor
Sekarang mari kita lakukan sebaliknya, cari koordinat vektor. Apa yang perlu kita ubah untuk ini? Ya, anda perlu menukar permulaan dan akhir: kini permulaan vektor akan berada di titik, dan penghujungnya akan berada di titik. Kemudian:
Lihat dengan teliti, apakah perbezaan antara vektor dan? Satu-satunya perbezaan mereka ialah tanda-tanda dalam koordinat. Mereka adalah bertentangan. Fakta ini biasanya ditulis seperti ini:
Kadangkala, jika tidak dinyatakan secara khusus titik mana yang merupakan permulaan vektor dan yang mana penghujungnya, maka vektor dilambangkan dengan lebih daripada dua dalam huruf besar, dan satu huruf kecil, contohnya: , dsb.
Sekarang sedikit berlatih sendiri dan cari koordinat bagi vektor berikut:
Peperiksaan:
Sekarang selesaikan masalah yang sedikit lebih sukar:
Vektor dengan titik permulaan pada satu titik mempunyai co-or-di-na-you. Cari titik abs-cis-su.
Semua yang sama adalah agak prosaik: Biarkan koordinat titik. Kemudian
Saya menyusun sistem berdasarkan definisi koordinat vektor. Kemudian titik mempunyai koordinat. Kami berminat dengan abscissa. Kemudian
Jawapan:
Apa lagi yang boleh anda lakukan dengan vektor? Ya, hampir semuanya sama seperti dengan nombor biasa(kecuali anda tidak boleh membahagikan, tetapi anda boleh mendarab dalam dua cara, salah satunya kita akan bincangkan di sini sedikit kemudian)
- Vektor boleh ditambah antara satu sama lain
- Vektor boleh ditolak antara satu sama lain
- Vektor boleh didarab (atau dibahagikan) dengan nombor bukan sifar sembarangan
- Vektor boleh didarab antara satu sama lain
Semua operasi ini mempunyai perwakilan geometri yang sangat jelas. Contohnya, peraturan segi tiga (atau segi empat selari) untuk penambahan dan penolakan:
Vektor meregang atau mengecut atau menukar arah apabila didarab atau dibahagikan dengan nombor:
Walau bagaimanapun, di sini kita akan berminat dengan persoalan tentang apa yang berlaku kepada koordinat.
1. Apabila menambah (menolak) dua vektor, kami menambah (tolak) koordinatnya elemen demi elemen. Itu dia:
2. Apabila mendarab (membahagi) vektor dengan nombor, semua koordinatnya didarab (dibahagi) dengan nombor ini:
Sebagai contoh:
· Cari jumlah co-or-di-nat century-to-ra.
Mula-mula kita cari koordinat bagi setiap vektor. Kedua-duanya mempunyai asal yang sama - titik asal. Kesudahan mereka berbeza. Kemudian, . Sekarang mari kita mengira koordinat vektor Kemudian jumlah koordinat vektor yang terhasil adalah sama.
Jawapan:
Sekarang selesaikan sendiri masalah berikut:
· Cari jumlah koordinat vektor
Kami menyemak:
Sekarang mari kita pertimbangkan masalah berikut: kita mempunyai dua titik pada satah koordinat. Bagaimana untuk mencari jarak antara mereka? Biarkan titik pertama, dan yang kedua. Mari kita nyatakan jarak antara mereka dengan. Mari buat lukisan berikut untuk kejelasan:
Apa yang telah saya lakukan? Pertama sekali, saya menyambung titik dan,a juga melukis garisan dari titik, selari dengan paksi, dan dari titik saya melukis garis selari dengan paksi. Adakah mereka bersilang pada satu titik, membentuk sosok yang luar biasa? Apa yang istimewa tentang dia? Ya, anda dan saya tahu hampir segala-galanya tentang segi tiga tepat. Nah, teorem Pythagoras sudah pasti. Segmen yang diperlukan ialah hipotenus segitiga ini, dan segmen adalah kaki. Apakah koordinat titik tersebut? Ya, ia mudah dicari dari gambar: Memandangkan segmen selari dengan paksi dan, masing-masing, panjangnya mudah dicari: jika kita menyatakan panjang segmen dengan, masing-masing, maka
Sekarang mari kita gunakan teorem Pythagoras. Kami tahu panjang kaki, kami akan mendapati hipotenus:
Oleh itu, jarak antara dua titik ialah punca jumlah perbezaan kuasa dua daripada koordinat. Atau - jarak antara dua titik ialah panjang segmen yang menghubungkannya. Adalah mudah untuk melihat bahawa jarak antara titik tidak bergantung pada arah. Kemudian:
Dari sini kami membuat tiga kesimpulan:
Mari kita berlatih sedikit tentang mengira jarak antara dua titik:
Sebagai contoh, jika, maka jarak antara dan adalah sama dengan
Atau mari kita pergi dengan cara lain: cari koordinat vektor
Dan cari panjang vektor:
Seperti yang anda lihat, ia adalah perkara yang sama!
Sekarang amalkan sedikit diri anda:
Tugas: cari jarak antara titik yang ditunjukkan:
Kami menyemak:
Berikut ialah beberapa lagi masalah yang menggunakan formula yang sama, walaupun bunyinya agak berbeza:
1. Cari segi empat sama panjang kelopak mata.
2. Cari segi empat sama panjang kelopak mata
Saya fikir anda berurusan dengan mereka tanpa kesukaran? Kami menyemak:
1. Dan ini untuk perhatian) Kami telah pun menemui koordinat vektor tadi: . Kemudian vektor mempunyai koordinat. Kuadrat panjangnya akan sama dengan:
2. Cari koordinat bagi vektor
Maka segi empat sama panjangnya ialah
Tidak ada yang rumit, bukan? Aritmetik mudah, tidak lebih.
Masalah berikut tidak boleh dikelaskan dengan jelas; ia lebih kepada pengetahuan umum dan keupayaan untuk melukis gambar mudah.
1. Cari sinus sudut dari potongan, menyambungkan titik, dengan paksi absis.
Dan
Bagaimana kita akan meneruskan di sini? Kita perlu mencari sinus sudut antara dan paksi. Di mana kita boleh mencari sinus? Betul, dalam segi tiga tepat. Jadi apa yang perlu kita lakukan? Bina segitiga ini!
Oleh kerana koordinat titik adalah dan, maka segmen adalah sama dengan, dan segmen. Kita perlu mencari sinus sudut. Biar saya ingatkan anda bahawa sinus ialah nisbah kaki bertentangan kepada hipotenus, kemudian
Apa yang tinggal untuk kita lakukan? Cari hipotenus. Anda boleh melakukan ini dalam dua cara: menggunakan teorem Pythagoras (kaki diketahui!) atau menggunakan formula untuk jarak antara dua titik (sebenarnya, perkara yang sama seperti kaedah pertama!). Saya akan pergi dengan cara kedua:
Jawapan:
Tugas seterusnya akan kelihatan lebih mudah kepada anda. Dia berada di koordinat titik itu.
Tugasan 2. Dari titik per-pen-di-ku-lyar diturunkan ke paksi ab-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.
Mari buat lukisan:
Tapak serenjang ialah titik di mana ia bersilang dengan paksi-x (paksi), bagi saya ini adalah titik. Rajah menunjukkan bahawa ia mempunyai koordinat: . Kami berminat dengan abscissa - iaitu komponen "x". Dia sama rata.
Jawapan: .
Tugasan 3. Dalam keadaan tugasan sebelumnya cari jumlah jarak dari titik ke paksi koordinat.
Tugas ini biasanya asas jika anda tahu berapa jarak dari titik ke paksi. Kamu tahu? Saya berharap, tetapi saya akan mengingatkan anda:
Jadi, dalam lukisan saya di atas, adakah saya sudah melukis satu serenjang itu? Paksi mana ia berada? Ke paksi. Dan berapakah panjangnya? Dia sama rata. Sekarang lukis sendiri serenjang dengan paksi dan cari panjangnya. Ia akan sama, bukan? Maka jumlah mereka adalah sama.
Jawapan: .
Tugasan 4. Dalam keadaan tugasan 2, cari ordinat titik, titik simetri berbanding dengan paksi absis.
Saya fikir ia secara intuitif jelas kepada anda apakah simetri? Banyak objek mempunyainya: banyak bangunan, meja, kapal terbang, banyak angka geometri: bola, silinder, segi empat sama, rombus, dsb. Secara kasarnya, simetri boleh difahami seperti berikut: rajah terdiri daripada dua (atau lebih) bahagian yang sama. Simetri ini dipanggil simetri paksi. Apakah itu paksi? Ini betul-betul garis di mana angka itu boleh, secara relatifnya, "dipotong" menjadi dua bahagian yang sama (dalam gambar ini paksi simetri adalah lurus):
Sekarang mari kita kembali kepada tugas kita. Kami tahu bahawa kami sedang mencari titik yang simetri mengenai paksi. Maka paksi ini ialah paksi simetri. Ini bermakna kita perlu menandakan titik supaya paksi memotong segmen kepada dua bahagian yang sama. Cuba tandakan titik sedemikian sendiri. Sekarang bandingkan dengan penyelesaian saya:
Adakah ia berfungsi dengan cara yang sama untuk anda? baiklah! Kami berminat dengan ordinat titik yang ditemui. Ia adalah sama
Jawapan:
Sekarang beritahu saya, selepas berfikir selama beberapa saat, apakah absis titik simetri kepada titik A relatif kepada ordinat? Apakah jawapan anda? Jawapan yang betul: .
DALAM kes am peraturan boleh ditulis seperti ini:
Titik simetri kepada titik relatif kepada paksi absis mempunyai koordinat:
Titik simetri kepada titik relatif kepada paksi ordinat mempunyai koordinat:
Nah, sekarang ia benar-benar menakutkan tugasan: cari koordinat titik simetri kepada titik berbanding dengan asalan. Anda mula-mula fikir sendiri, dan kemudian lihat lukisan saya!
Jawapan:
Sekarang masalah segi empat selari:
Tugasan 5: Titik kelihatan ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Cari atau-di-pada-titik itu.
Anda boleh menyelesaikan masalah ini dalam dua cara: logik dan kaedah koordinat. Saya akan menggunakan kaedah koordinat dahulu, dan kemudian saya akan memberitahu anda bagaimana anda boleh menyelesaikannya secara berbeza.
Agak jelas bahawa absis titik adalah sama. (ia terletak pada serenjang yang dilukis dari titik ke paksi absis). Kita perlu mencari ordinat. Mari kita ambil kesempatan daripada fakta bahawa angka kita ialah segi empat selari, ini bermakna itu. Mari cari panjang segmen menggunakan formula untuk jarak antara dua titik:
Kami menurunkan serenjang yang menyambungkan titik ke paksi. Saya akan menandakan titik persimpangan dengan huruf.
Panjang segmen adalah sama. (cari masalah sendiri di mana kita membincangkan perkara ini), maka kita akan mencari panjang segmen menggunakan teorem Pythagoras:
Panjang segmen bertepatan tepat dengan ordinatnya.
Jawapan: .
Penyelesaian lain (saya hanya akan memberikan gambar yang menggambarkannya)
Kemajuan penyelesaian:
1. Kelakuan
2. Cari koordinat titik dan panjang
3. Buktikan bahawa.
Yang lagi satu masalah panjang segmen:
Titik muncul di atas segitiga. Cari panjang garis tengahnya, selari.
Adakah anda ingat apa itu garisan tengah segi tiga? Maka tugas ini adalah asas untuk anda. Jika anda tidak ingat, maka saya akan mengingatkan anda: garis tengah segitiga ialah garis yang menghubungkan titik tengah sisi bertentangan. Ia selari dengan tapak dan sama dengan separuh daripadanya.
Pangkalan adalah segmen. Kami terpaksa mencari panjangnya lebih awal, ia adalah sama. Kemudian panjang garis tengah adalah separuh besar dan sama.
Jawapan: .
Komen: masalah ini boleh diselesaikan dengan cara lain, yang akan kita rujuk sedikit kemudian.
Sementara itu, berikut adalah beberapa masalah untuk anda, amalkannya, ia sangat mudah, tetapi ia membantu anda menjadi lebih baik dalam menggunakan kaedah koordinat!
1. Mata adalah bahagian atas tra-pe-tions. Cari panjang garis tengahnya.
2. Mata dan penampilan ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Cari atau-di-pada-titik itu.
3. Cari panjang dari potongan, sambungkan titik dan
4. Cari kawasan di belakang rajah berwarna pada satah co-ordi-nat.
5. Bulatan dengan pusat dalam na-cha-le ko-or-di-nat melalui titik itu. Cari dia ra-di-us.
6. Cari-di-te ra-di-us bulatan, huraikan-san-noy tentang sudut kanan-no-ka, bahagian atas sesuatu mempunyai co-atau -di-na-anda sangat bertanggungjawab
Penyelesaian:
1. Adalah diketahui bahawa garis tengah trapezium adalah sama dengan separuh jumlah tapaknya. Pangkalan adalah sama, dan asas. Kemudian
Jawapan:
2. Cara paling mudah untuk menyelesaikan masalah ini adalah dengan mengambil perhatian bahawa (peraturan selari). Mengira koordinat vektor tidaklah sukar: . Apabila menambah vektor, koordinat ditambah. Kemudian mempunyai koordinat. Titik juga mempunyai koordinat ini, kerana asal vektor adalah titik dengan koordinat. Kami berminat dengan ordinat. Dia sama rata.
Jawapan:
3. Kami segera bertindak mengikut formula untuk jarak antara dua titik:
Jawapan:
4. Lihat gambar dan beritahu saya yang manakah dua rajah kawasan berlorek "bersandwich" antara? Ia diapit di antara dua petak. Kemudian luas angka yang dikehendaki adalah sama dengan luas segi empat sama besar tolak luas yang kecil. sebelah persegi kecil ialah segmen yang menghubungkan titik dan Panjangnya ialah
Maka luas petak kecil itu ialah
Kami melakukan perkara yang sama dengan segi empat sama besar: sisinya adalah segmen yang menghubungkan titik dan panjangnya
Maka luas segi empat sama besar ialah
Kami mencari kawasan angka yang dikehendaki menggunakan formula:
Jawapan:
5. Jika bulatan mempunyai asalan sebagai pusat dan melalui satu titik, maka jejarinya akan tepat sama panjang segmen (buat lukisan dan anda akan faham mengapa ini jelas). Mari cari panjang segmen ini:
Jawapan:
6. Adalah diketahui bahawa jejari bulatan yang dihadkan tentang segi empat tepat sama dengan separuh pepenjurunya. Mari kita cari panjang mana-mana dua pepenjuru (lagipun, dalam segi empat tepat ia adalah sama!)
Jawapan:
Nah, adakah anda menghadapi segala-galanya? Ia tidak begitu sukar untuk memikirkannya, bukan? Terdapat hanya satu peraturan di sini - boleh membuat gambar visual dan hanya "membaca" semua data daripadanya.
Kami mempunyai sedikit lagi yang tinggal. Terdapat dua lagi perkara yang saya ingin bincangkan.
Jom cuba selesaikan masalah mudah ni. Biarkan dua mata dan diberikan. Cari koordinat titik tengah segmen itu. Penyelesaian kepada masalah ini adalah seperti berikut: biarkan titik menjadi tengah yang dikehendaki, maka ia mempunyai koordinat:
Itu dia: koordinat tengah segmen = min aritmetik koordinat yang sepadan bagi hujung segmen.
Peraturan ini sangat mudah dan biasanya tidak menyusahkan pelajar. Mari lihat dalam masalah apa dan bagaimana ia digunakan:
1. Cari-di-te atau-di-na-tu se-re-di-ny daripada-potong, sambung-titik dan
2. Mata kelihatan sebagai puncak dunia. Cari-di-te atau-di-na-tu mata per-se-se-che-niya dia-go-na-ley beliau.
3. Cari-di-te abs-cis-su pusat bulatan, huraikan-san-noy tentang segi empat tepat-no-ka, bahagian atas sesuatu mempunyai co-or-di-na-anda begitu-bertanggungjawab-tetapi.
Penyelesaian:
1. Masalah pertama hanyalah klasik. Kami teruskan segera untuk menentukan bahagian tengah segmen. Ia mempunyai koordinat. ordinat adalah sama.
Jawapan:
2. Mudah untuk melihat bahawa segi empat ini ialah segi empat selari (walaupun rombus!). Anda boleh membuktikannya sendiri dengan mengira panjang sisi dan membandingkannya antara satu sama lain. Apa yang saya tahu tentang segi empat selari? Diagonalnya dibahagikan kepada separuh dengan titik persilangan! Yeah! Jadi apakah titik persilangan pepenjuru? Ini adalah bahagian tengah mana-mana pepenjuru! Saya akan memilih, khususnya, pepenjuru. Kemudian titik mempunyai koordinat Ordinasi titik adalah sama dengan.
Jawapan:
3. Apakah yang bertepatan dengan pusat bulatan yang dihadkan tentang segi empat tepat itu? Ia bertepatan dengan titik persilangan pepenjurunya. Apakah yang anda tahu tentang pepenjuru segi empat tepat? Mereka adalah sama dan titik persilangan membahagikannya kepada separuh. Tugas itu dikurangkan kepada yang sebelumnya. Mari kita ambil, sebagai contoh, pepenjuru. Kemudian jika ialah pusat bulatan, maka ialah titik tengah. Saya sedang mencari koordinat: Abscissa adalah sama.
Jawapan:
Sekarang berlatih sendiri, saya hanya akan memberikan jawapan kepada setiap masalah supaya anda boleh menguji diri anda.
1. Cari-di-te ra-di-us bulatan, huraikan-san-noy tentang tri-sudut-no-ka, bahagian atas sesuatu mempunyai co-or-di -no misters
2. Cari-di-te atau-di-pada-tengah bulatan itu, huraikan-san-noy tentang segitiga-no-ka, bahagian atasnya mempunyai koordinat
3. Apakah jenis ra-di-u-sa yang perlu ada bulatan dengan pusat pada satu titik supaya ia menyentuh paksi ab-ciss?
4. Cari-di-mereka atau-di-pada-titik itu bagi rese-ce-tion paksi dan dari-potong, sambungkan-titik dan
Jawapan:
Adakah semuanya berjaya? Saya sangat berharap untuk itu! Sekarang - tolakan terakhir. Sekarang berhati-hati terutamanya. Bahan yang saya akan terangkan sekarang berkaitan secara langsung bukan sahaja tugasan mudah kepada kaedah koordinat dari bahagian B, tetapi juga terdapat di mana-mana dalam masalah C2.
Mana satu janji saya yang belum saya tunaikan? Ingat apakah operasi pada vektor yang saya janjikan untuk memperkenalkan dan yang mana yang akhirnya saya perkenalkan? Adakah anda pasti saya tidak terlupa apa-apa? terlupa! Saya terlupa untuk menerangkan maksud pendaraban vektor.
Terdapat dua cara untuk mendarab vektor dengan vektor. Bergantung pada kaedah yang dipilih, kita akan mendapat objek dengan sifat yang berbeza:
Hasil silang dilakukan dengan cukup bijak. Kami akan membincangkan cara melakukannya dan mengapa ia diperlukan dalam artikel seterusnya. Dan dalam satu ini kita akan memberi tumpuan kepada produk skalar.
Terdapat dua cara yang membolehkan kita mengiranya:
Seperti yang anda fikirkan, hasilnya sepatutnya sama! Jadi mari kita lihat kaedah pertama dahulu:
Produk titik melalui koordinat
Cari: - tatatanda yang diterima umum untuk produk skalar
Formula pengiraan adalah seperti berikut:
Itu dia produk skalar= jumlah hasil darab koordinat vektor!
Contoh:
Cari-di-te
Penyelesaian:
Mari cari koordinat setiap vektor:
Kami mengira hasil skalar menggunakan formula:
Jawapan:
Lihat, tidak ada yang rumit!
Nah, sekarang cuba sendiri:
· Cari skalar pro-iz-ve-de-nie berabad-abad dan
Adakah anda berjaya? Mungkin anda perasan tangkapan kecil? Mari semak:
Koordinat vektor seperti dalam tugasan sebelumnya! Jawapan: .
Sebagai tambahan kepada koordinat, terdapat satu lagi cara untuk mengira hasil skalar, iaitu, melalui panjang vektor dan kosinus sudut di antara mereka:
Menyatakan sudut antara vektor dan.
Iaitu, hasil kali skalar adalah sama dengan hasil darab panjang vektor dan kosinus sudut di antara mereka.
Mengapa kita memerlukan formula kedua ini, jika kita mempunyai yang pertama, yang jauh lebih mudah, sekurang-kurangnya tiada kosinus di dalamnya. Dan ia diperlukan supaya daripada formula pertama dan kedua anda dan saya boleh menyimpulkan bagaimana untuk mencari sudut antara vektor!
Biar Kemudian ingat formula untuk panjang vektor!
Kemudian jika saya menggantikan data ini ke dalam formula produk skalar, saya mendapat:
Tetapi dengan cara lain:
Jadi apa yang awak dan saya dapat? Kami kini mempunyai formula untuk mengira sudut antara dua vektor! Kadang-kadang ia juga ditulis seperti ini untuk ringkasnya:
Iaitu, algoritma untuk mengira sudut antara vektor adalah seperti berikut:
- Kira hasil skalar melalui koordinat
- Cari panjang vektor dan darabkannya
- Bahagikan hasil titik 1 dengan hasil titik 2
Mari berlatih dengan contoh:
1. Cari sudut antara kelopak mata dan. Beri jawapan dalam grad-du-sah.
2. Dalam keadaan masalah sebelumnya, cari kosinus antara vektor
Mari lakukan ini: Saya akan membantu anda menyelesaikan masalah pertama, dan cuba lakukan yang kedua sendiri! Setuju? Kemudian mari kita mulakan!
1. Vektor ini adalah kawan lama kita. Kami telah mengira hasil skalar mereka dan ia adalah sama. Koordinat mereka ialah: , . Kemudian kita dapati panjangnya:
Kemudian kita mencari kosinus antara vektor:
Apakah kosinus sudut itu? Ini adalah sudut.
Jawapan:
Nah, sekarang selesaikan masalah kedua sendiri, dan kemudian bandingkan! Saya hanya akan memberikan penyelesaian yang sangat singkat:
2. mempunyai koordinat, mempunyai koordinat.
Biarkan sudut antara vektor dan, kemudian
Jawapan:
Perlu diingatkan bahawa masalah secara langsung pada vektor dan kaedah koordinat dalam bahagian B kertas peperiksaan agak jarang. Walau bagaimanapun, sebahagian besar masalah C2 boleh diselesaikan dengan mudah dengan memperkenalkan sistem koordinat. Oleh itu, anda boleh mempertimbangkan artikel ini sebagai asas di mana kami akan membuat pembinaan yang agak bijak yang kami perlukan untuk menyelesaikan masalah yang rumit.