Полином е збир на мономи. Ако сите членови на полином се напишани во стандардна форма (види став 51) и слични членови се редуцираат, ќе се добие полином со стандардна форма.
Секој целоброен израз може да се претвори во полином со стандардна форма - ова е целта на трансформациите (поедноставувањата) на целобројните изрази.
Ајде да погледнеме примери во кои цел израз треба да се сведе на стандардна форма на полином.
Решение. Прво, да ги доведеме условите на полиномот во стандардна форма. Добиваме Откако ќе донесеме слични членови, добиваме полином на стандардната форма
Решение. Ако има знак плус пред заградите, тогаш заградите може да се изостават, зачувувајќи ги знаците на сите термини затворени во загради. Користејќи го ова правило за отворање загради, добиваме:
Решение. Ако на заградите им претходи знакот минус, тогаш заградите може да се испуштат со промена на знаците на сите поими затворени во заградите. Користејќи го ова правило за криење загради, добиваме:
Решение. Производот на моном и полином, според дистрибутивниот закон, е еднаков на збирот на производите од овој моном и секој член на полиномот. Добиваме
Решение. Ние имаме
Решение. Ние имаме
Останува да се дадат слични термини (тие се подвлечени). Добиваме:
53. Скратени формули за множење.
Во некои случаи, доведувањето на цел израз во стандардната форма на полином се врши со користење на идентитетите:
Овие идентитети се нарекуваат скратени формули за множење,
Ајде да погледнеме примери во кои треба да конвертирате даден израз во стандардна форма myogochlea.
Пример 1. .
Решение. Користејќи ја формулата (1), добиваме:
Пример 2. .
Решение.
Пример 3. .
Решение. Користејќи ја формулата (3), добиваме:
Пример 4.
Решение. Користејќи ја формулата (4), добиваме:
54. Факторинг полиноми.
Понекогаш можете да трансформирате полином во производ од неколку фактори - полиноми или подноми. Таквата трансформација на идентитетот се нарекува факторизација на полиномот. Во овој случај, се вели дека полиномот е делив со секој од овие фактори.
Ајде да погледнеме неколку начини за факторизирање на полиноми,
1) Вадење на заедничкиот фактор од загради. Оваа трансформација е директна последица на дистрибутивниот закон (за јасност, само треба да го преработите овој закон „од десно кон лево“):
Пример 1: Фактор на полином
Решение. .
Обично, кога се вади заедничкиот фактор од загради, секоја променлива вклучена во сите членови на полиномот се вади со најмалиот експонент што го има во овој полином. Ако сите коефициенти на полиномот се цели броеви, тогаш најголемиот во модул се зема како коефициент на заедничкиот фактор заеднички делителсите коефициенти на полиномот.
2) Користење на скратени формули за множење. Формулите (1) - (7) од став 53, читајќи се од десно кон лево, во многу случаи испаѓаат корисни за факторинг на полиноми.
Пример 2: Фактор .
Решение. Ние имаме. Применувајќи ја формулата (1) (разлика на квадрати), добиваме . Со аплицирање
Сега формулите (4) и (5) (збир на коцки, разлика на коцки), добиваме:
Пример 3. .
Решение. Прво, да го ставиме надвор од загради заеднички мултипликатор. За да го направиме ова, ќе го најдеме најголемиот заеднички делител на коефициентите 4, 16, 16 и најмалите експоненти со кои променливите a и b се вклучени во компонентите даден полиноммономи. Добиваме:
3) Начин на групирање. Се заснова на фактот дека е комутативен и асоцијативни закониДополнувањата ви дозволуваат да групирате членови на полином различни начини. Понекогаш е можно да се групира на тој начин што по вадењето на заедничките фактори од загради, во секоја група останува истиот полином во загради, што пак, како заеднички фактор, може да се извади од загради. Ајде да погледнеме примери за факторинг на полином.
Пример 4. .
Решение. Ајде да го направиме групирањето на следниов начин:
Во првата група, да го земеме заедничкиот фактор од заградите во вториот - заедничкиот фактор 5. Добиваме Сега го ставаме полиномот како заеднички фактор надвор од заградите: Така, добиваме:
Пример 5.
Решение. .
Пример 6.
Решение. Овде, ниту една групација нема да доведе до појава на ист полином во сите групи. Во такви случаи, понекогаш е корисно да се претстави член на полиномот како збир, а потоа повторно да се обиде со методот на групирање. Во нашиот пример, препорачливо е да го претставиме како збир што го добиваме
Пример 7.
Решение. Добиваме и одземаме моном Добиваме
55. Полиноми во една променлива.
Полином, каде што a, b се променливи броеви, се нарекува полином од прв степен; полином каде a, b, c се променливи броеви, наречени полином од втор степен или квадратен трином; полином каде a, b, c, d се броеви, променливата се нарекува полином од трет степен.
Општо земено, ако o е променлива, тогаш таа е полином
наречен степен на lsmogochnolenol (во однос на x); , m-членови на полиномот, коефициенти, водечки член на полиномот, а е коефициентот на водечкиот член, слободниот член на полиномот. Вообичаено, полиномот се запишува со опаѓачки сили на променливата, т.е. моќноста на променливата постепено се намалува, особено, водечкиот член е на прво место, а слободниот член е на последно место. Степенот на полиномот е степенот на највисокиот член.
На пример, полином од петти степен, во кој водечки член, 1, е слободниот член на полиномот.
Коренот на полиномот е вредноста на која полиномот исчезнува. На пример, бројот 2 е корен на полином бидејќи
Во оваа лекција, ќе се потсетиме на основните дефиниции на оваа тема и ќе разгледаме некои типични проблеми, имено, доведување на полином во стандардна форма и пресметување на нумеричката вредност на дадени вредностипроменливи. Ќе решиме неколку примери во кои ќе се користи намалување на стандардна форма за решавање разни видовизадачи.
Предмет:Полиноми. Аритметички операциинад мономи
Лекција:Намалување на полином во стандардна форма. Типични задачи
Да се потсетиме на основната дефиниција: полином е збир на мономи. Секој моном кој е дел од полином како член се нарекува негов член. На пример:
Бином;
Полином;
Бином;
Бидејќи полиномот се состои од мономи, првото дејство со полином следи од тука - треба да ги доведете сите мономи во стандардна форма. Да ве потсетиме дека за ова треба да ги помножите сите нумерички фактори - да добиете нумерички коефициент, и множете се соодветните степени- земете го делот од писмото. Дополнително, да обрнеме внимание на теоремата за производот на силите: кога се множат силите, нивните експоненти се собираат.
Ајде да размислиме важна операција- доведување на полиномот во стандардна форма. Пример:
Коментар: за да доведете полином во стандардна форма, треба да ги доведете сите мономи вклучени во неговиот состав во стандардна форма, по што, ако има слични мономи - а тоа се мономи со ист дел од буквата - извршете дејства со нив .
Значи, го разгледавме првиот типичен проблем - доведување на полином во стандардна форма.
Следно типична задача- пресметка специфично значењеполином за дадено нумерички вредностипроменливите вклучени во него. Ајде да продолжиме да го разгледуваме претходниот пример и да ги поставиме вредностите на променливите:
Коментар: потсетиме дека единица во која било природен степенеднакво на еден и нула на која било природна моќност еднаква на нула, дополнително, потсетете се дека при множење на кој било број со нула, добиваме нула.
Ајде да погледнеме голем број примери на типични операции за намалување на полином во стандардна форма и пресметување на неговата вредност:
Пример 1 - доведете до стандардна форма:
Коментар: првиот чекор е да ги доведете мономите во стандардна форма, треба да ги доведете првиот, вториот и шестиот; второ дејство - носиме слични поими, односно на нив ги извршуваме дадените задачи аритметички операции: првото го додаваме со петтото, второто со третото, останатите се препишуваат без промени, бидејќи немаат слични.
Пример 2 - пресметајте ја вредноста на полиномот од примерот 1 со оглед на вредностите на променливите:
Коментар: кога пресметувате, треба да запомните дека еден кон која било природна моќност е еден, ако е тешко да се пресметаат моќи на два, можете да ја користите табелата со моќности.
Пример 3 - наместо ѕвездичка, ставете моном така што резултатот да не содржи променлива:
Коментар: без разлика на задачата, првото дејство е секогаш исто - доведете го полиномот во стандардна форма. Во нашиот пример, оваа акција се сведува на донесување слични термини. По ова, треба внимателно да ја прочитате состојбата повторно и да размислите како да се ослободиме од мономот. Очигледно, за ова треба да го додадете истиот моном на него, но со спротивен знак- . Следно, ја заменуваме ѕвездичката со овој моном и се уверуваме дека нашето решение е точно.
При проучувањето на темата полиноми, вреди да се спомене посебно дека полиномите се јавуваат и во стандардна и во нестандардна форма. Во овој случај, полиномот од нестандардна форма може да се сведе на стандардна форма. Всушност, ова прашање ќе се дискутира во оваа статија. Да ги засилиме објаснувањата со примери со детален чекор-по-чекор опис.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Значењето на намалување на полином во стандардна форма
Ајде да навлеземе малку подлабоко во самиот концепт, акцијата - „доведување на полином во стандардна форма“.
Полиномите, како и сите други изрази, можат да се трансформираат идентично. Како резултат на тоа, во овој случај добиваме изрази кои се идентично еднакви на оригиналниот израз.
Дефиниција 1
Намалете го полиномот во стандардна форма– значи замена на оригиналниот полином со еднаков полином со стандардна форма, добиен од оригиналниот полином со идентични трансформации.
Метод за намалување на полином во стандардна форма
Ајде да шпекулираме на темата кои точно идентитетски трансформации ќе го доведат полиномот до стандардната форма.
Дефиниција 2
Според дефиницијата, секој полином на стандардна форма се состои од мономи на стандардна форма и не содржи слични поими. Полином од нестандардна форма може да вклучува мономи од нестандардна форма и слични поими. Од горенаведеното, природно се изведува правило за тоа како да се намали полиномот во стандардна форма:
- пред сè, мономите што го сочинуваат даден полином се сведуваат на стандардна форма;
- тогаш се врши намалување на слични членови.
Примери и решенија
Дозволете ни да ги испитаме детално примерите во кои го намалуваме полиномот во стандардна форма. Ќе го следиме правилото изведено погоре.
Имајте на ум дека понекогаш термините на полиномот во почетната состојба веќе имаат стандардна форма и останува само да се донесат слични поими. Се случува по првиот чекор од дејствата да нема такви термини, тогаш го прескокнуваме вториот чекор. Во општи случаи, неопходно е да се извршат двете дејства од правилото погоре.
Пример 1
Дадени се полиноми:
5 x 2 y + 2 y 3 − x y + 1 ,
0, 8 + 2 a 3 0, 6 − b a b 4 b 5,
2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8 .
Неопходно е да ги доведете во стандардна форма.
Решение
Прво да го разгледаме полиномот 5 x 2 y + 2 y 3 − x y + 1 : неговите членови имаат стандардна форма, нема слични поими, што значи дека полиномот е наведен во стандардна форма и не се потребни дополнителни дејства.
Сега да го погледнеме полиномот 0, 8 + 2 · a 3 · 0, 6 − b · a · b 4 · b 5. Вклучува нестандардни мономи: 2 · a 3 · 0, 6 и − b · a · b 4 · b 5, т.е. треба да го доведеме полиномот во стандардна форма, за што првиот чекор е да ги трансформираме мономите во стандардна форма:
2 · a 3 · 0, 6 = 1, 2 · a 3;
− b · a · b 4 · b 5 = − a · b 1 + 4 + 5 = − a · b 10 , така што го добиваме следниот полином:
0, 8 + 2 · a 3 · 0, 6 − b · a · b 4 · b 5 = 0, 8 + 1, 2 · a 3 − a · b 10.
Во добиениот полином, сите поими се стандардни, нема слични поими, што значи дека нашите активности за доведување на полиномот во стандардна форма се завршени.
Размислете за третиот даден полином: 2 3 7 x 2 + 1 2 y x (- 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8
Ајде да ги доведеме неговите членови во стандардна форма и да добиеме:
2 3 7 · x 2 - x · y - 1 6 7 · x 2 + 9 - 4 7 · x 2 - 8 .
Гледаме дека полиномот содржи слични членови, ајде да донесеме слични членови:
2 3 7 x 2 - x y - 1 6 7 x 2 + 9 - 4 7 x 2 - 8 = = 2 3 7 x 2 - 1 6 7 x 2 - 4 7 x 2 - x · y + (9 - 8) = = x 2 · 2 3 7 - 1 6 7 - 4 7 - x · y + 1 = = x 2 · 17 7 - 13 7 - 4 7 - x · y + 1 = = x 2 0 - x y + 1 = x y + 1
Така, дадениот полином 2 3 7 x 2 + 1 2 y x (- 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8 добива стандардна форма − x y + 1 .
Одговор:
5 x 2 y + 2 y 3 − x y + 1- полиномот е поставен како стандарден;
0, 8 + 2 a 3 0, 6 − b a b 4 b 5 = 0, 8 + 1, 2 a 3 − a b 10;
2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8 = - x · y + 1 .
Во многу проблеми, дејството на намалување на полином на стандардна форма е средно кога се бара одговор на поставено прашање. Да го разгледаме овој пример.
Пример 2
Даден е полиномот 11 - 2 3 z 2 · z + 1 3 · z 5 · 3 - 0. 5 · z 2 + z 3 . Неопходно е да се доведе до стандардна форма, да се наведе неговиот степен и да се подредат поимите на даден полином во опаѓачки степени на променливата.
Решение
Да ги намалиме членовите на дадениот полином на стандардната форма:
11 - 2 3 z 3 + z 5 - 0 . 5 · z 2 + z 3 .
Следен чекорЕве неколку слични термини:
11 - 2 3 z 3 + z 5 - 0 . 5 z 2 + z 3 = 11 + - 2 3 z 3 + z 3 + z 5 - 0, 5 z 2 = 11 + 1 3 z 3 + z 5 - 0, 5 z 2
Добивме полином со стандардна форма, кој ни овозможува да го означиме степенот на полиномот (еднаков на највисокиот степен на неговите составни мономи). Очигледно, потребната диплома е 5.
Останува само да се подредат поимите во опаѓачките моќи на променливите. За таа цел, ние едноставно ги преуредуваме поимите во добиениот полином со стандардна форма, земајќи го предвид барањето. Така, добиваме:
z 5 + 1 3 · z 3 - 0 , 5 · z 2 + 11 .
Одговор:
11 - 2 3 · z 2 · z + 1 3 · z 5 · 3 - 0, 5 · z 2 + z 3 = 11 + 1 3 · z 3 + z 5 - 0, 5 · z 2, додека степенот на полиномот - 5 ; како резултат на подредување на членовите на полиномот во опаѓачки степени променлив полиномќе има форма: z 5 + 1 3 · z 3 - 0, 5 · z 2 + 11.
Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter
Во оваа лекција, ќе се потсетиме на основните дефиниции на оваа тема и ќе разгледаме некои типични проблеми, имено, намалување на полином во стандардна форма и пресметување на нумеричка вредност за дадени вредности на променливи. Ќе решиме неколку примери во кои редукцијата на стандардна форма ќе се користи за решавање на разни видови проблеми.
Предмет:Полиноми. Аритметички операции на мономи
Лекција:Намалување на полином во стандардна форма. Типични задачи
Да се потсетиме на основната дефиниција: полином е збир на мономи. Секој моном кој е дел од полином како член се нарекува негов член. На пример:
Бином;
Полином;
Бином;
Бидејќи полиномот се состои од мономи, првото дејство со полином следи од тука - треба да ги доведете сите мономи во стандардна форма. Да ве потсетиме дека за да го направите ова, треба да ги помножите сите нумерички фактори - да добиете нумерички коефициент и да ги помножите соодветните сили - да го добиете делот од буквите. Дополнително, да обрнеме внимание на теоремата за производот на силите: кога се множат силите, нивните експоненти се собираат.
Да разгледаме важна операција - намалување на полином во стандардна форма. Пример:
Коментар: за да доведете полином во стандардна форма, треба да ги доведете сите мономи вклучени во неговиот состав во стандардна форма, по што, ако има слични мономи - а тоа се мономи со ист дел од буквата - извршете дејства со нив .
Значи, го разгледавме првиот типичен проблем - доведување на полином во стандардна форма.
Следниот типичен проблем е пресметување на специфичната вредност на полиномот за дадени нумерички вредности на променливите вклучени во него. Ајде да продолжиме да го разгледуваме претходниот пример и да ги поставиме вредностите на променливите:
Коментар: да потсетиме дека еден на која било природна моќност е еднаква на еден, а нула на која било природна моќност е еднаква на нула, освен тоа, потсетуваме дека при множење на кој било број со нула, добиваме нула.
Ајде да погледнеме голем број примери на типични операции за намалување на полином во стандардна форма и пресметување на неговата вредност:
Пример 1 - доведете до стандардна форма:
Коментар: првиот чекор е да ги доведете мономите во стандардна форма, треба да ги доведете првиот, вториот и шестиот; второ дејство - носиме слични поими, односно на нив ги извршуваме дадените аритметички операции: првата ја додаваме со петтата, втората со третата, останатите ги препишуваме без промени, бидејќи немаат слични.
Пример 2 - пресметајте ја вредноста на полиномот од примерот 1 со оглед на вредностите на променливите:
Коментар: кога пресметувате, треба да запомните дека еден кон која било природна моќност е еден, ако е тешко да се пресметаат моќи на два, можете да ја користите табелата со моќности.
Пример 3 - наместо ѕвездичка, ставете моном така што резултатот да не содржи променлива:
Коментар: без разлика на задачата, првото дејство е секогаш иста - доведете го полиномот во стандардна форма. Во нашиот пример, оваа акција се сведува на донесување слични термини. По ова, треба внимателно да ја прочитате состојбата повторно и да размислите како да се ослободиме од мономот. Очигледно, за да го направите ова, треба да го додадете истиот моном на него, но со спротивен знак - . Следно, ја заменуваме ѕвездичката со овој моном и се уверуваме дека нашето решение е точно.
Рековме дека има и стандардни и нестандардни полиноми. Таму забележавме дека секој може доведете го полиномот во стандардна форма. Во оваа статија, прво ќе дознаеме какво значење има оваа фраза. Следно, ги наведуваме чекорите за претворање на кој било полином во стандардна форма. Конечно, да ги погледнеме решенијата типични примери. Решенијата ќе ги опишеме многу детално со цел да ги разбереме сите нијанси што се појавуваат при намалување на полиномите во стандардна форма.
Навигација на страница.
Што значи да се намали полиномот во стандардна форма?
Прво треба јасно да разберете што се подразбира под намалување на полином во стандардна форма. Ајде да го сфатиме ова.
Полиномите, како и сите други изрази, можат да бидат подложени на идентични трансформации. Како резултат на извршувањето на таквите трансформации се добиваат изрази кои се идентично еднакви на оригиналниот израз. Така, вршењето на одредени трансформации со полиноми од нестандардна форма овозможува да се премине на полиноми кои се идентично еднакви на нив, но напишани во стандардна форма. Оваа транзиција се нарекува намалување на полиномот во стандардна форма.
Значи, редуцирај го полиномот во стандардна форма- тоа значи замена на оригиналниот полином со идентично еднаков полином од стандардна форма, добиен од оригиналниот со извршување на идентични трансформации.
Како да се намали полиномот во стандардна форма?
Ајде да размислиме кои трансформации ќе ни помогнат да го доведеме полиномот до стандардна форма. Ќе тргнеме од дефиницијата на стандарден полином.
По дефиниција, секој член на полином со стандардна форма е моном на стандардна форма, а полиномот со стандардна форма не содржи слични поими. За возврат, полиномите напишани во форма различна од стандардната може да се состојат од мономи во нестандардна форма и можат да содржат слични поими. Ова логично следи следното правило, објаснувајќи како да се намали полиномот во стандардна форма:
- прво треба да ги доведете во стандардна форма мономите што го сочинуваат оригиналниот полином,
- потоа изврши намалување на слични поими.
Како резултат на тоа, ќе се добие полином со стандардна форма, бидејќи сите негови поими ќе бидат напишани во стандардна форма и нема да содржи слични поими.
Примери, решенија
Ајде да погледнеме примери за намалување на полиноми во стандардна форма. При решавањето ќе ги следиме чекорите што ги диктира правилото од претходниот пасус.
Овде забележуваме дека понекогаш сите поими на полином се веднаш напишани во стандардна форма во овој случај, доволно е само да се наведат слични поими. Понекогаш, по намалувањето на условите на полином во стандардна форма, нема слични поими, затоа, фазата на доведување слични термини е испуштена во овој случај. ВО општ случајтреба да ги направиш и двете.
Пример.
Претстави ги полиномите во стандардна форма: 5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 , 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5И .
Решение.
Сите членови на полиномот 5·x 2 ·y+2·y 3 −x·y+1 се напишани во стандардна форма, затоа, овој полином е веќе претставен во стандардна форма.
Да преминеме на следниот полином 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5. Неговата форма не е стандардна, за што сведочат термините 2·a 3 ·0,6 и −b·a·b 4·b 5 од нестандардна форма. Да го претставиме во стандардна форма.
Во првата фаза од доведување на оригиналниот полином во стандардна форма, треба да ги претставиме сите негови поими во стандардна форма. Затоа, мономот 2·a 3 ·0,6 го намалуваме во стандардна форма, имаме 2·a 3 ·0,6=1,2·a 3, по што го земаме мономот −b·a·b 4 ·b 5 , имаме −b·a·b 4 ·b 5 =−a·b 1+4+5 =−a·b 10. Така,. Во добиениот полином, сите поими се напишани во стандардна форма, згора на тоа, очигледно е дека во него нема слични поими. Следствено, ова го комплетира намалувањето на оригиналниот полином во стандардна форма.
Останува да се прикаже последниот од дадените полиноми во стандардна форма. Откако ќе ги доведе сите негови членови во стандардна форма, ќе биде напишано како 
. Има слични членови, па затоа треба да фрлите слични членови: 
Значи, оригиналниот полином ја добил стандардната форма −x·y+1.
Одговор:
5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 – веќе во стандардна форма, 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5 =0,8+1,2 a 3 −a b 10, .
Честопати, доведувањето на полином во стандардна форма е само среден чекор во одговорот на прашањето поставено на проблемот. На пример, наоѓањето на степенот на полиномот бара негово прелиминарно претставување во стандардна форма.
Пример.
Наведете полином 
до стандардната форма, означете го неговиот степен и распоредете ги поимите во опаѓачки степени на променливата.
Решение.
Прво, ги доведуваме сите услови на полиномот во стандардна форма: 
.
Сега ви претставуваме слични термини: 
Така, го доведовме оригиналниот полином во стандардна форма, ова ни овозможува да го одредиме степенот на полиномот, кој е еднаков на највисокиот степен на мономите вклучени во него. Очигледно е еднакво на 5.
Останува да се подредат поимите на полиномот во опаѓачки моќи на променливите. За да го направите ова, само треба да ги преуредите поимите во добиениот полином на стандардна форма, земајќи го предвид барањето. Најголем степенима член z 5, степените на членовите , −0,5·z 2 и 11 се еднакви на 3, 2 и 0, соодветно. Според тоа, полином со членови распоредени во опаѓачки сили на променливата ќе ја има формата 
.
Одговор:
Степенот на полиномот е 5, а по подредувањето на неговите членови во опаѓачки степени на променливата, добива форма .
Библиографија.
- Алгебра:тетратка за 7 одделение. општо образование институции / [Ју. Н. Макаричев, Н. Г. Миндјук, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; Изменето од С.А. Телјаковски. - 17-ти изд. - М.: Образование, 2008. - 240 стр. : болен. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Мордкович А.Г.Алгебра. 7 одделение. Во 14 часот Дел 1. Учебник за ученици образовните институции/ А. Г. Мордкович. - 17. изд., додај. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 стр.: илустр. ISBN 978-5-346-02432-3.
- Алгебраи започна математичка анализа. 10-то одделение: учебник. за општо образование институции: основни и профил. нивоа / [Ју. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; Изменето од А.Б.Жижченко. - 3-то издание. - М.: Образование, 2010.- 368 стр. : болен. - ISBN 978-5-09-022771-1.
- Гусев В.А., Мордкович А.Г.Математика (прирачник за оние кои влегуваат во техничките училишта): Проц. додаток.- М.; Повисоко училиште, 1984.-351 стр., ил.