Системот има единствена детерминанта за решение на системот. Детерминанти и системи на линеарни равенки

Детерминанта од втор ред

и се пресметува според правилото

Броеви се нарекуваат елементи на детерминантата (првиот индекс го означува бројот на линијата, а вториот
број на колоната на чиј пресек стои овој елемент); дијагонала формирана од елементи
,
, повикан главен , елементи
,

страна .

Слично е воведен концептот на детерминанта од трет ред.

Детерминанта од трет ред е бројот што е претставен со симболот

и се пресметува според правилото

Дијагонала формирана од елементи
,
,
, повикан главен , елементи
,
,

страна .

За да запомните кои производи од десната страна на еднаквоста (1) се земени со знакот „
„, а некои со знакот“
", корисно е да се користи следново "правило на триаголници":

Можете да го воведете концептот на детерминанта на 4-ти, 5-ти и сл.

Малолетни
на одреден елемент на детерминанта е детерминанта формирана од даден елемент со бришење на редот и колоната на чиј пресек се наоѓа овој елемент.

Алгебарски комплемент на некој елемент од детерминантата е минор на овој елемент помножен со
, Каде
број на линија,
број на колоната на чиј пресек се наоѓа овој елемент:

Својства на детерминантите.

Вредноста на детерминантата нема да се промени ако нејзините редови и колони се заменуваат.

Операцијата за која станува збор се нарекува транспозиција. Имотот 1

воспоставува еднаквост на редовите и колоните на детерминантата.

Задача 1.Пресметајте детерминанти:

1) 2)3)4).

Задача 2.Пресметајте ги детерминантите разложувајќи ги во елементите од првата колона:

1)
2)

Задача 3.Најдете од равенките:

1)
2)

1.2. Решавање системи на линеарни равенки со помош на детерминанти. Формулите на Крамер

јас) Систем од две линеарни хомогени равенкисо две непознати

Да означиме

главна детерминанта на системот;

,
помошни квалификатори.

а) Ако детерминантата на системот

,
. (1)

б) Ако детерминантата на системот
, тогаш можни се следниве случаи:

1)
(равенките се пропорционални), тогаш системот содржи само една равенка, на пример,
и има бескрајно многу решенија (неизвесен систем). За да се реши, неопходно е да се изрази една променлива во однос на друга, чија вредност е избрана произволно;

2) ако барем една од детерминантите
се разликува од нула, тогаш системот нема решенија (неконзистентен систем).

II) Систем од две линеарни хомогени равенки со три променливи

(2)

Линеарната равенка се нарекува хомогена , ако слободниот член на оваа равенка еднаква на нула.

и ако
, тогаш системот (2) се сведува на една равенка (на пример, првата), од која една непозната се изразува преку две други, чии вредности се избираат произволно.

б) Доколку условот
не е задоволен, тогаш за да го решиме системот (2) поместуваме една променлива надесно и го решаваме системот од две линеарни нехомогени равенки користејќи ги формулите на Крамер (1).

III) Систем од три линеарни нехомогени равенки со три непознати:

Да ја составиме и пресметаме главната детерминанта и помошни квалификации ,.

и ако
, тогаш системот има единствена одлука, кој се наоѓа со помош на формулите на Крамер:

,
,
(3)

б) Ако
, тогаш можни се следниве случаи:

1)
, тогаш системот ќе има бесконечно многу решенија, ќе се сведе или на систем кој се состои од една или две равенки (поместуваме една непозната надесно и решаваме систем од две равенки со две непознати);

2) барем една од детерминантите
се разликува од нула, системот нема решение.

IV) Систем од три линеарни хомогени равенки со три непознати:

Овој систем е секогаш компатибилен, бидејќи го има нула решение.

а) Ако детерминантата на системот
, тогаш има единствено нула решение.

б) Ако
, тогаш системот се сведува или на две равенки (третата е нивна последица), или на една равенка (другите две се нејзините последици) и има бесконечно многу решенија (види Дел II).

Задача 4.Решава систем на равенки

Решение.Да ја пресметаме детерминантата на системот

Бидејќи
, тогаш системот има единствено решение. Ајде да ги користиме формулите на Крамер (3). За да го направите ова, ги пресметуваме помошните детерминанти:

,
,

Задача 5.Решава систем на равенки

Решение.Да ја пресметаме детерминантата на системот:

Следствено, систем на хомогени равенки има бесконечно многу решенија кои не се нула. Го решаваме системот на првите две равенки (третата равенка е нивна последица):

Ајде да ја преместиме променливата на десната страна на еднаквоста:

Оттука, користејќи формули (1) добиваме

,
.

Проблеми кои треба да се решаваат самостојно

Задача 6.Решете со помош на детерминанти на системот равенки:

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)

1.1. Системи од два линеарни равенкии детерминанти од втор ред

Размислете за систем од две линеарни равенки со две непознати:

Шансите со непознати И имаат два индекса: првиот го означува бројот на равенката, вториот - бројот на променливата.

Правило на Крамер: Решението на системот се наоѓа со делење на помошните детерминанти со главна детерминантасистеми

Забелешка 1.Користењето на Крамеровото правило е можно ако детерминантата на системот не е еднаква на нула.

Забелешка 2.Формулите на Крамер се генерализирани на системи од повисок ред.

Пример 1.Решете го системот:
.

Решение.

;
;

;

Испитување:

Заклучок:Системот е решен правилно:
.

1.2. Системи од три линеарни равенки и детерминанти од трет ред

Размислете за систем од три линеарни равенки со три непознати:

Се нарекува детерминанта составена од коефициенти за непознати системска детерминанта или главна детерминанта:

Ако
тогаш системот има единствено решение, кое се одредува со формулите на Крамер:

каде се детерминантите
– се нарекуваат помошни и се добиваат од детерминантата со замена на нејзината прва, втора или трета колона со колона од слободни членови на системот.

Пример 2.Решете го системот
.

Да ги формираме главните и помошните детерминанти:

Останува да се разгледаат правилата за пресметување на детерминантите од трет ред. Има три од нив: правило за додавање колони, правило Сарус, правило за распаѓање.

а) Правилото за додавање на првите две колони на главната детерминанта:

Пресметката се врши на следниот начин: производите на елементите на главната дијагонала и по паралели со неа одат со нивниот знак, со спротивен знак ги земаат производите од елементите на секундарната дијагонала и по паралели со неа.

б) Правило на Сарус:

Со нивниот знак земете ги производите на елементите на главната дијагонала и по паралели со неа, а третиот елемент што недостасува е земен од спротивен агол. Со спротивен знак, земете ги производите на елементите на секундарната дијагонала и по паралелите со неа, третиот елемент се зема од спротивниот агол.

в) Правило на распаѓање по елементи на ред или колона:

Ако
, Потоа.

Алгебарски комплементе детерминанта од понизок ред што се добива со вкрстување на соодветниот ред и колона и земање предвид на знакот
, Каде - број на линија, – број на колона.

На пример,

,
,
итн.

Користејќи го ова правило, ги пресметуваме помошните детерминанти И , проширувајќи ги според елементите од првиот ред.

Откако ги пресметавме сите детерминанти, ги наоѓаме променливите користејќи го правилото на Крамер:

Испитување:

Заклучок:системот е правилно решен: .

Основни својства на детерминантите

Мора да се запомни дека детерминантата е број, пронајден според некои правила. Неговата пресметка може да се поедностави ако користиме основни својства кои важат за детерминанти од кој било ред.

Имотот 1. Вредноста на детерминантата нема да се промени ако сите нејзини редови се заменат со колони што одговараат по број и обратно.

Операцијата на замена на редови со колони се нарекува транспозиција. Од ова својство произлегува дека секоја изјава што е точна за редовите на детерминантата ќе биде вистинита и за нејзините колони.

Имотот 2. Ако се заменат два реда (колони) во детерминантата, знакот на детерминантата ќе се смени на спротивен.

Имотот 3. Ако сите елементи од која било редица на детерминанта се еднакви на 0, тогаш детерминантата е еднаква на 0.

Имотот 4. Ако елементите на низата од детерминантите се помножат (поделат) со некој број , тогаш вредноста на детерминантата ќе се зголеми (намали) во еднаш.

Ако елементите на редот имаат заеднички фактор, тогаш тој може да се извади од знакот за детерминанта.

Имотот 5. Ако детерминантата има две идентични или пропорционални редови, тогаш таквата детерминанта е еднаква на 0.

Имотот 6. Ако елементите на која било редица на детерминанта се збир на два члена, тогаш детерминантата е еднаква на збирот на двете детерминанти.

Имотот 7. Вредноста на детерминантата нема да се промени ако елементите од редот се додадат на елементите од друга редица, помножени со истиот број.

Во оваа одредница, прво третата редица беше додадена на вториот ред, помножена со 2, потоа втората беше одземена од третата колона, по што вториот ред беше додаден на првата и третата, како резултат добивме многу нули и ја поедностави пресметката.

Основнотрансформации детерминантата се нарекува нејзино поедноставување преку употреба на наведените својства.

Пример 1.Пресметај детерминанта

Директната пресметка според едно од правилата дискутирани погоре води до гломазни пресметки. Затоа, препорачливо е да се користат својствата:

а) од линијата 1, одземете ја втората, помножена со 2;

б) од линијата II одземе трета, помножена со 3.

Како резултат добиваме:

Дозволете ни да ја прошириме оваа детерминанта во елементите од првата колона, која содржи само еден елемент кој не е нула.

Системи и детерминанти од повисоки редови

систем линеарни равенки со непознатите може да се напишат на следниов начин:

За овој случај, исто така е можно да се состават главните и помошните детерминанти и да се одредат непознатите користејќи го Крамеровото правило. Проблемот е што детерминантите од повисок ред можат да се пресметаат само со намалување на редоследот и нивно сведување на детерминанти од трет ред. Ова може да се направи со директно распаѓање на елементи од редови или колони, како и со користење на прелиминарни елементарни трансформации и понатамошно распаѓање.

Пример 4.Пресметај ја детерминантата од четврти ред

Решениеможеме да го најдеме на два начина:

а) со директно проширување во елементите од првиот ред:

б) преку прелиминарни трансформации и понатамошно разложување

	а) од правата I одземе III
	б) додадете алинеја II до IV

Пример 5.Пресметајте ја детерминантата од петти ред, добивајќи нули во третиот ред користејќи ја четвртата колона

од првата линија ја одземаме втората, од третата ја одземаме втората, од четвртата ја одземаме втората помножена со 2.

одземете ја третата од втората колона:

одземете го третиот од вториот ред:

Пример 6.Решете го системот:

Решение.Ајде да составиме детерминанта на системот и, користејќи ги својствата на детерминантите, да ја пресметаме:

(од првиот ред ја одземаме третата, а потоа во добиената детерминанта од трет ред од третата колона ја одземаме првата, помножена со 2). Детерминанта
, затоа, формулите на Крамер се применливи.

Да ги пресметаме преостанатите детерминанти:

Четвртата колона се множи со 2 и се одзема од останатите

Четвртата колона беше одземена од првата, а потоа, помножена со 2, одземена од втората и третата колона.

Овде ги извршивме истите трансформации како и за
.

Кога ќе најдете првата колона се множи со 2 и се одзема од останатите.

Според правилото на Крамер имаме:

Откако ги заменивме пронајдените вредности во равенките, убедени сме дека решението на системот е точно.

2. МАТРИЦИ И НИВНА УПОТРЕБА

ВО РЕШАВАЊЕ НА СИСТЕМИ НА ЛИНЕАРНИ РАВЕНКИ

Системи млинеарни равенки со nнепознат.
Решавање на систем од линеарни равенки- ова е таков збир на броеви ( x 1 , x 2 , ..., x n), кога се заменува во секоја од равенките на системот, се добива точната еднаквост.
Каде a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, n— системски коефициенти;
b i, i = 1, …, m- слободни членови;
x j, j = 1, …, n- непознато.
Горенаведениот систем може да се напише во форма на матрица: A X = B,

Каде ( А|Б) е главната матрица на системот;
А— проширена системска матрица;
X— колона непознати;
Б— колона од слободни членови.
Ако матрица Бтогаш не е нулта матрица ∅ овој системлинеарните равенки се нарекуваат нехомогени.
Ако матрица Б= ∅, тогаш овој систем на линеарни равенки се нарекува хомоген. Хомоген систем секогаш има нула (тривијално) решение: x 1 = x 2 = …, x n = 0.
Заеднички систем на линеарни равенкие систем од линеарни равенки кој има решение.
Неконзистентен систем на линеарни равенкие нерешлив систем на линеарни равенки.
Одреден систем на линеарни равенкие систем од линеарни равенки кој има единствено решение.
Неопределен систем на линеарни равенки- има бесконечно множестворешенија на систем од линеарни равенки.
Системи од n линеарни равенки со n непознати
Ако бројот на непознати е еднаков на бројот на равенки, тогаш матрицата е квадратна. Детерминантата на матрицата се нарекува главна детерминанта на системот на линеарни равенки и се означува со симболот Δ.
Крамер методза решавање системи nлинеарни равенки со nнепознат.
Правило на Крамер.
Ако главната детерминанта на системот од линеарни равенки не е еднаква на нула, тогаш системот е конзистентен и дефиниран, а единственото решение се пресметува со помош на формулите на Крамер:
каде Δ i се детерминанти добиени од главната детерминанта на системот Δ со замена јасколона до колоната слободни членови. .
Системи од m линеарни равенки со n непознати
Теорема Кронекер-Капели.

За да може даден систем на линеарни равенки да биде конзистентен, потребно е и доволно рангот на системската матрица да биде еднаков на рангот на проширената матрица на системот, ранг(Α) = ѕвонење(Α|Б).
Ако ранг(Α) ≠ ринг(Α|Б), тогаш системот очигледно нема решенија.
Ако ранг(Α) = ѕвонење(Α|Б), тогаш можни се два случаи:
1) ранг(Α) = n(број на непознати) - решението е единствено и може да се добие со помош на формулите на Крамер;
2) ранг (Α)< n - има бескрајно многу решенија.
Гаусовиот методза решавање системи на линеарни равенки

Ајде да создадеме проширена матрица ( А|Б) на даден систем од коефициентите на непознатите и десните страни.
Гаусовиот метод или методот на елиминирање непознати се состои од намалување на проширената матрица ( А|Б) користејќи елементарни трансформации над неговите редови до дијагонална форма (до горната страна триаголен поглед). Враќајќи се во системот на равенки, се одредуваат сите непознати.
ДО елементарни трансформациинад линиите се следните:
1) заменете две линии;
2) множење на низа со број различен од 0;
3) додавање на друга низа на низа, помножена со произволен број;
4) исфрлање на нулта линија.
Проширената матрица сведена на дијагонална форма одговара на линеарен систем, еквивалентно на оваа, чиешто решение не предизвикува потешкотии. .
Систем на хомогени линеарни равенки.
Хомоген систем има форма:

одговара на тоа матрична равенка A X = 0.
1) Хомоген систем е секогаш конзистентен, бидејќи r(A) = r(A|B), секогаш има нула решение (0, 0, ..., 0).
2) Со цел да хомоген системимаше решение не нула, потребно е и доволно тоа r = r(A)< n , што е еквивалентно на Δ = 0.
3) Ако р< n , тогаш очигледно Δ = 0, тогаш се појавуваат слободни непознати c 1 , c 2 , ..., c n-r, системот има нетривијални решенија, а ги има бескрајно многу.
4) Општо решение Xна р< n може да се напише во форма на матрица како што следува:
X = c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c n-r X n-r,
каде се решенијата X 1, X 2, ..., X n-rформираат основен систем на решенија.
5) Основниот систем на решенија може да се добие од општо решениехомоген систем:

,
ако последователно ги поставиме вредностите на параметарот еднакви на (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0,…, 1).
Проширување на општото решение во фундаментален системрешенијае запис на општо решение во форма на линеарна комбинација на решенија кои припаѓаат на основниот систем.
Теорема. За да може системот од линеарни хомогени равенки да има решение кое не е нула, потребно е и доволно Δ ≠ 0.
Значи, ако детерминантата Δ ≠ 0, тогаш системот има единствено решение.
Ако Δ ≠ 0, тогаш системот на линеарни хомогени равенки има бесконечен број решенија.
Теорема. За хомоген систем да има ненула решение, потребно е и доволно тоа r(A)< n .
Доказ:
1) рне може да има повеќе n(рангот на матрицата не го надминува бројот на колони или редови);
2) р< n , бидејќи Ако r = n, тогаш главната детерминанта на системот Δ ≠ 0 и, според формулите на Крамер, постои единствено тривијално решение x 1 = x 2 = … = x n = 0, што е во спротивност со состојбата. Средства, r(A)< n .
Последица. Со цел за хомоген систем nлинеарни равенки со nнепознатите имале решение не нула, потребно е и доволно Δ = 0.

Крамеровиот метод се заснова на употреба на детерминанти при решавање системи на линеарни равенки. Ова значително го забрзува процесот на решавање.

Крамеровиот метод може да се користи за решавање на систем од онолку линеарни равенки колку што има непознати во секоја равенка. Ако детерминантата на системот не е еднаква на нула, тогаш во решението може да се користи методот на Крамер, но ако е еднаков на нула, тогаш не може. Покрај тоа, методот на Крамер може да се користи за решавање системи на линеарни равенки кои имаат единствено решение.

Дефиниција. Детерминанта составена од коефициенти за непознати се нарекува детерминанта на системот и се означува (делта).

Детерминанти

се добиваат со замена на коефициентите на соодветните непознати со слободни членови:

;

Крамерова теорема. Ако детерминантата на системот е ненула, тогаш системот на линеарни равенки има едно единствено решение, а непознатата е еднаква на односот на детерминантите. Именителот ја содржи детерминантата на системот, а броителот ја содржи детерминантата добиена од детерминантата на системот со замена на коефициентите на оваа непозната со слободни членови. Оваа теорема важи за систем од линеарни равенки од кој било ред.

Пример 1.Решете систем од линеарни равенки:

Според Крамерова теоремание имаме:

Значи, решението за системот (2):

онлајн калкулатор, одлучувачки методКрамер.

Три случаи при решавање системи на линеарни равенки

Како што е јасно од Крамерова теорема, при решавање на систем од линеарни равенки, може да се појават три случаи:

Прв случај: систем на линеарни равенки има единствено решение

(системот е конзистентен и дефинитивен)

Втор случај: систем од линеарни равенки има бесконечен број решенија

(системот е конзистентен и неизвесен)

** ,

тие. коефициентите на непознатите и слободните членови се пропорционални.

Трет случај: системот на линеарни равенки нема решенија

(системот е неконзистентен)

Значи системот млинеарни равенки со nнаречени променливи незаеднички, ако таа нема единствено решение, и зглоб, ако има барем едно решение. Се нарекува симултан систем на равенки кој има само едно решение одредении повеќе од една - неизвесна.

Примери за решавање системи на линеарни равенки со помош на методот Крамер

Нека се даде системот

Врз основа на теоремата на Крамер

………….
,

Каде
-

системска одредница. Ги добиваме преостанатите детерминанти со замена на колоната со коефициентите на соодветната променлива (непозната) со слободни членови:

Пример 2.

Затоа, системот е дефинитивен. За да го најдеме неговото решение, ги пресметуваме детерминантите

Користејќи ги формулите на Крамер, наоѓаме:

Значи, (1; 0; -1) е единственото решение за системот.

За да ги проверите решенијата на системите на равенки 3 X 3 и 4 X 4, можете да користите онлајн калкулатор користејќи го Крамеровиот метод за решавање.

Ако во системот на линеарни равенки нема променливи во една или повеќе равенки, тогаш во детерминантата соодветните елементи се еднакви на нула! Ова е следниот пример.

Пример 3.Решете систем на линеарни равенки користејќи го методот Крамер:

Решение. Ја наоѓаме детерминантата на системот:

Погледнете го внимателно системот на равенки и детерминантата на системот и повторете го одговорот на прашањето во кои случаи еден или повеќе елементи од детерминантата се еднакви на нула. Значи, детерминантата не е еднаква на нула, затоа системот е дефинитивен. За да го најдеме неговото решение, ги пресметуваме детерминантите за непознатите

Користејќи ги формулите на Крамер, наоѓаме:

Значи, решението на системот е (2; -1; 1).

Врвот на страницата

Продолжуваме заедно да ги решаваме системите користејќи го методот на Крамер

Како што веќе споменавме, ако детерминантата на системот е еднаква на нула, а детерминантите на непознатите не се еднакви на нула, системот е неконзистентен, односно нема решенија. Да илустрираме со следниот пример.

Пример 6.Решете систем на линеарни равенки користејќи го методот Крамер:

Решение. Ја наоѓаме детерминантата на системот:

Детерминантата на системот е еднаква на нула, затоа, системот на линеарни равенки е или неконзистентен и дефинитивен, или неконзистентен, односно нема решенија. За да појасниме, пресметуваме детерминанти за непознати

Детерминантите на непознатите не се еднакви на нула, затоа системот е неконзистентен, односно нема решенија.

Во проблемите што вклучуваат системи на линеарни равенки, има и такви каде што, покрај буквите што означуваат променливи, има и други букви. Овие букви претставуваат број, најчесто реален. Во пракса, проблемите со пребарувањето водат до такви равенки и системи на равенки општи својствакакви било појави или предмети. Тоа е, дали сте измислиле некој нов материјалили уред, и за да ги опишете неговите својства, кои се вообичаени без разлика на големината или бројот на примерокот, треба да решите систем од линеарни равенки, каде што наместо некои коефициенти за променливи има букви. Не треба да барате далеку за примери.

Следниот пример е за сличен проблем, се зголемува само бројот на равенки, променливи и букви кои означуваат одреден реален број.

Пример 8.Решете систем на линеарни равенки користејќи го методот Крамер:

Решение. Ја наоѓаме детерминантата на системот:

Наоѓање детерминанти за непознати

Матрица - правоаголна маса, составена од броеви.

Нека се даде квадратна матрица 2 нарачки:

Детерминантата (или детерминантата) од редот 2 што одговара на дадена матрица е бројот

Детерминанта (или детерминанта) од 3 ред што одговара на матрица е број

Пример 1: Најдете детерминанти на матрици и

Систем на линеарни алгебарски равенки

Нека е даден систем од 3 линеарни равенки со 3 непознати

Системот (1) може да се запише во матрица-векторска форма

каде А е матрицата на коефициентите

Б - продолжена матрица

X е потребниот вектор на компонента;

Решавање системи на равенки со помош на Крамеровиот метод

Нека е даден систем од линеарни равенки со две непознати:

Да разгледаме решавање на системи на линеарни равенки со две и три непознати користејќи ги формулите на Крамер. Теорема 1. Ако главната детерминанта на системот е различна од нула, тогаш системот има решение и единствено. Решението на системот се одредува со формулите:

каде што x1, x2 се корените на системот на равенки,

Главната детерминанта на системот, x1, x2 се помошни детерминанти.

Помошни квалификации:

Решавање системи на линеарни равенки со три непознати со помош на Крамеровиот метод.

Нека е даден систем од линеарни равенки со три непознати:

Теорема 2. Ако главната детерминанта на системот е различна од нула, тогаш системот има решение и единствено. Решението на системот се одредува со формулите:

каде што x1, x2, x3 се корените на системот на равенки,

Главната детерминанта на системот,

x1, x2, x3 се помошни детерминанти.

Главната детерминанта на системот се определува со:

Помошни квалификации:

1. Направете табела (матрица) на коефициенти за непознати и пресметајте ја главната детерминанта.
2. Најдете - дополнителна детерминанта на x добиена со замена на првата колона со колона од слободни членови.
3. Најдете - дополнителна детерминанта на y добиена со замена на втората колона со колона од слободни членови.
4. Најдете - дополнителна детерминанта на z, добиена со замена на третата колона со колона од слободни членови. Ако главната детерминанта на системот не е еднаква на нула, тогаш се врши чекор 5.
5. Најдете ја вредноста на променливата x користејќи ја формулата x / .
6. Најдете ја вредноста на променливата y користејќи ја формулата y /.
7. Најдете ја вредноста на променливата z користејќи ја формулата z / .
8. Запиши го одговорот: x=...; y=…, z=….