Изведување на формула на сложена функција. Извод на сложена функција

Едноставно кажано, ова се равенки во кои има барем една променлива во именителот.

На пример:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)


Пример Нефракционо рационални равенки:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Како се решаваат фракционите рационални равенки?

Главната работа што треба да се запамети за фракционо рационални равенки– треба да напишете во нив. И откако ќе ги пронајдете корените, не заборавајте да ги проверите за допуштеност. Во спротивно, може да се појават надворешни корени, а целата одлука ќе се смета за неточна.


Алгоритам за решавање на фракциона рационална равенка:

    Запишете и „решете го“ ОДЗ.

    Помножете го секој член во равенката со заеднички именители намалете ги добиените фракции. Именителот ќе исчезнат.

    Напиши ја равенката без да ги отвориш заградите.

    Решете ја добиената равенка.

    Проверете ги пронајдените корени со ODZ.

    Запишете ги во вашиот одговор корените што го поминале тестот во чекор 7.

Не меморирајте го алгоритмот, 3-5 решени равенки и тој ќе биде запаметен сам по себе.


Пример . Одлучи фракциона рационална равенка \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Решение:

Одговор: \(3\).


Пример . Најдете ги корените на дробната рационална равенка \(=0\)

Решение:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\)

ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\)
\(x+5≠0 ⇔x≠-5\)
\(x^2+7x+10≠0\)
\(D=49-4 \cdot 10=9\)
\(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\)
\(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)

Ја запишуваме и „решаваме“ ОДЗ.

Го прошируваме \(x^2+7x+10\) во според формулата: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\).
За среќа, веќе ги најдовме \(x_1\) и \(x_2\).

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)

Очигледно, заедничкиот именител на дропките е \((x+2)(x+5)\). Со него ја множиме целата равенка.

\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\)
\(-\фрак((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)

Намалување на фракции

\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)

Отворање на заградите

\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)

Ви претставуваме слични термини

\(2x^2+9x-5=0\)


Наоѓање на корените на равенката

\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)


Еден од корените не одговара на ОДЗ, па затоа во одговорот го пишуваме само вториот корен.

Одговор: \(\frac(1)(2)\).

§ 1 Цели и дробни рационални равенки

Во оваа лекција ќе ги разгледаме концептите како што се рационална равенка, рационално изразување, цел израз, фракционо изразување. Ајде да размислиме за решавање на рационални равенки.

Рационална равенка е равенка во која левата и десната страна се рационални изрази.

Рационалните изрази се:

Дробно.

Целобројниот израз е составен од броеви, променливи, целобројни сили користејќи ги операциите собирање, одземање, множење и делење со број различен од нула.

На пример:

ВО фракциони изразиима поделба со променлива или израз со променлива. На пример:

Дробниот израз нема смисла за сите вредности на променливите вклучени во него. На пример, изразот

при x = -9 нема смисла, бидејќи при x = -9 именителот оди на нула.

Ова значи дека рационалната равенка може да биде цел број или фракционо.

Цела рационална равенка е рационална равенка во која левата и десната страна се цели изрази.

На пример:

Дробна рационална равенка е рационална равенка во која или левата или десната страна се фракциони изрази.

На пример:

§ 2 Решение на цела рационална равенка

Да го разгледаме решението на цела рационална равенка.

На пример:

Да ги помножиме двете страни на равенката со најмал заеднички именител на именителот на дропките вклучени во неа.

За ова:

1. најдете заеднички именител за именители 2, 3, 6. Тој е еднаков на 6;

2. најдете дополнителен фактор за секоја дропка. За да го направите ова, поделете го заедничкиот именител 6 со секој именител

дополнителен фактор за дропка

дополнителен фактор за дропка

3. множете ги броителите на дропките со нивните соодветни дополнителни множители. Така, ја добиваме равенката

што е еквивалентно на дадената равенка

Ајде да ги отвориме заградите лево, да го поместиме десниот дел налево, менувајќи го знакот на терминот кога се пренесува на спротивниот.

Да донесеме слични членови на полиномот и да добиеме

Гледаме дека равенката е линеарна.

Откако го решивме, наоѓаме дека x = 0,5.

§ 3 Решение на дробна рационална равенка

Ајде да размислиме за решавање на фракциона рационална равенка.

На пример:

1. Помножете ги двете страни на равенката со најмал заеднички именител на именителот на рационалните дропки вклучени во неа.

Да го најдеме заедничкиот именител за именителот x + 7 и x - 1.

Тоа е еднакво на нивниот производ (x + 7) (x - 1).

2. Да најдеме дополнителен фактор за секоја рационална дропка.

За да го направите ова, поделете го заедничкиот именител (x + 7) (x - 1) со секој именител. Дополнителен множител за дропки

еднакво на x - 1,

дополнителен фактор за дропка

е еднакво на x+7.

3. Помножете ги броителите на дропките со нивните соодветни дополнителни множители.

Ја добиваме равенката (2x - 1) (x - 1) = (3x + 4) (x + 7), што е еквивалентно на оваа равенка

4. Помножете го биномот со биномот лево и десно и добијте ја следната равенка

5. Ја поместуваме десната страна налево, менувајќи го знакот на секој поим при префрлање на спротивното:

6. Да претставиме слични членови на полиномот:

7. Двата дела може да се поделат со -1. Добиваме квадратна равенка:

8. Откако ќе го решиме, ќе ги најдеме корените

Бидејќи во равенка.

левата и десната страна се фракциони изрази, а во дропските изрази за некои вредности именител на променливаможе да оди на нула, тогаш потребно е да се провери дали заедничкиот именител не оди на нула кога се наоѓаат x1 и x2.

При x = -27, заедничкиот именител (x + 7) (x - 1) не исчезнува при x = -1, заедничкиот именител исто така не е нула.

Според тоа, двата корени -27 и -1 се корени на равенката.

При решавање на фракциона рационална равенка, подобро е веднаш да се наведе опсегот на прифатливи вредности. Елиминирајте ги оние вредности на кои заедничкиот именител оди на нула.

Да разгледаме уште еден пример за решавање на фракциона рационална равенка.

На пример, да ја решиме равенката

Го факторизираме именителот на дропката од десната страна на равенката

Ја добиваме равенката

Да го најдеме заедничкиот именител за именителите (x - 5), x, x(x - 5).

Тоа ќе биде изразот x(x - 5).

Сега да го најдеме опсегот на прифатливи вредности на равенката

За да го направите ова, го изедначуваме заедничкиот именител на нула x(x - 5) = 0.

Добиваме равенка, решавајќи ја наоѓаме дека при x = 0 или при x = 5 заедничкиот именител оди на нула.

Ова значи дека x = 0 или x = 5 не можат да бидат корените на нашата равенка.

Сега може да се најдат дополнителни множители.

Дополнителен фактор за рационални дропки

дополнителен фактор за дропката

ќе биде (x - 5),

и дополнителниот фактор на дропката

Броителите ги множиме со соодветните дополнителни фактори.

Ја добиваме равенката x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5).

Ајде да ги отвориме заградите лево и десно, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.

Ајде да ги преместиме поимите од десно налево, менувајќи го знакот на пренесените термини:

X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

И откако ќе донесеме слични поими, добиваме квадратна равенка x2 - 3x - 10 = 0. Откако ќе ја решиме, ги наоѓаме корените x1 = -2; x2 = 5.

Но, веќе дознавме дека на x = 5 заедничкиот именител x(x - 5) оди на нула. Затоа, коренот на нашата равенка

ќе биде x = -2.

§ 4 Кратко резимелекција

Важно е да се запамети:

Кога решавате фракциони рационални равенки, постапете на следниов начин:

1. Најдете го заедничкиот именител на дропките вклучени во равенката. Дополнително, ако именителот на дропките може да се множат, тогаш множете ги и потоа пронајдете го заедничкиот именител.

2.Помножете ги двете страни на равенката со заеднички именител: најдете дополнителни фактори, множете ги броителите со дополнителни фактори.

3. Решете ја добиената цела равенка.

4. Отстранете ги од своите корени оние што прават да исчезне заедничкиот именител.

Список на користена литература:

  1. Макаричев Ју.Н., Н.Г. Миндјук, Нешков К.И., Суворова С.Б. / Уредено од Телјаковски С.А. Алгебра: учебник. за 8 одделение. општо образование институции. - М.: Образование, 2013 година.
  2. Мордкович А.Г. Алгебра. 8 одделение: Во два дела. Дел 1: Учебник. за општо образование институции. - М.: Мнемозина.
  3. Рурукин А.Н. Случувања засновани на лекциипо алгебра: 8-мо одделение - М.: ВАКО, 2010 г.
  4. Алгебра 8 одделение: планови за часовиспоред учебникот на Ју.Н. Макаричева, Н.Г. Миндјук, К.И. Нешкова, С.Б. Суворова / Auth.-comp. Т.Л. Афанасјева, Л.А. Тапилина. -Волгоград: Учител, 2005 г.

Веќе научивме како да решаваме квадратни равенки. Сега да ги прошириме проучуваните методи на рационални равенки.

Што е рационален израз? Веќе се сретнавме со овој концепт. Рационални изразисе изрази составени од броеви, променливи, нивните моќи и симболи на математички операции.

Според тоа, рационалните равенки се равенки од формата: , каде - рационални изрази.

Претходно, ги разгледавме само оние рационални равенки што може да се сведат на линеарни. Сега да ги погледнеме оние рационални равенки кои можат да се сведуваат на квадратни равенки.

Пример 1

Решете ја равенката: .

Решение:

Дропката е еднаква на 0 ако и само ако нејзиниот броител е еднаков на 0, а неговиот именител не е еднаков на 0.

Го добиваме следниот систем:

Првата равенка на системот е квадратна равенка. Пред да го решиме, да ги поделиме сите негови коефициенти со 3. Добиваме:

Добиваме два корени: ; .

Бидејќи 2 никогаш не е еднакво на 0, мора да се исполнат два услови: . Бидејќи ниту еден од корените на равенката добиена погоре не се совпаѓа со неважечки вредностипроменливи кои се добиени со решавање на втората неравенка, и двете се решенија дадена равенка.

Одговор:.

Значи, ајде да формулираме алгоритам за решавање на рационални равенки:

1. Префрлете ги сите услови на лева страна, така што десната страна ќе испадне 0.

2. Трансформирајте и поедноставете ја левата страна, доведете ги сите дропки до заеднички именител.

3. Изедначете ја добиената дропка со 0 користејќи го следниот алгоритам: .

4. Запиши ги оние корени што се добиени во првата равенка и задоволи ја втората неравенка во одговорот.

Ајде да погледнеме друг пример.

Пример 2

Реши ја равенката: .

Решение

На самиот почеток, да ги преместиме сите термини во лева страна, така што 0 останува десно, добиваме:

Сега да ја доведеме левата страна на равенката до заеднички именител:

Оваа равенка е еквивалентна на системот:

Првата равенка на системот е квадратна равенка.

Коефициенти на оваа равенка: . Ја пресметуваме дискриминаторот:

Добиваме два корени: ; .

Сега да ја решиме втората неравенка: производот на факторите не е еднаков на 0 ако и само ако ниту еден од факторите не е еднаков на 0.

Мора да се исполнат два услови: . Откривме дека од двата корени на првата равенка, само еден е погоден - 3.

Одговор:.

Во оваа лекција се сетивме што е рационален израз, а научивме и како да решаваме рационални равенки, кои се сведуваат на квадратни равенки.

Во следната лекција ќе ги разгледаме рационалните равенки како модели на реални ситуации, а исто така ќе ги разгледаме и проблемите со движење.

Библиографија

  1. Башмаков М.И. Алгебра, 8 одделение. - М.: Образование, 2004 година.
  2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и други Алгебра, 8. 5th ed. - М.: Образование, 2010 година.
  3. Николски С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра, 8 одделение. Упатство за образовните институции. - М.: Образование, 2006 година.
  1. фестивал педагошки идеи "Јавна лекција" ().
  2. School.xvatit.com ().
  3. Rudocs.exdat.com ().

Домашна работа