Комплексни броеви и
координираат
рамнина

Геометрискиот модел на множеството R од реални броеви е бројната права. Секој реален број одговара на една точка

на
бројна права и која било точка на правата
само еден натпревар
реален број!

Со додавање на уште една димензија на бројната линија што одговара на множеството од сите реални броеви - линијата што го содржи множеството чисти броеви

Со додавање на бројната линија што одговара на множеството
од сите реални броеви уште една димензија -
права линија која содржи збир од чисто имагинарни броеви -
добиваме координатна рамнина во која секој
може да се поврзе сложениот број a+bi
точка (а; б) координатна рамнина.
i=0+1i одговара на точката (0;1)
2+3i одговара на точката (2;3)
-i-4 одговара на точката (-4;-1)
5=5+1i одговара на меланхолија (5;0)

Геометриско значење на операцијата за конјугација

! Операцијата за парење е аксијална
симетрија околу оската на апсцисата.
!! Конјугирани едни со други
комплексните броеви се еднакво оддалечени од
потекло.
!!! Вектори кои прикажуваат
конјугирани броеви, наклонети кон оската
апсциса под истиот агол, Но
лоциран според различни страниод
оваа оска.

Слика на реални броеви

Слика од сложени броеви

Алгебарски
начин
Слики:
Комплексен број
прикажан е a+bi
рамнина точка
со координати
(а;б)

Примери за прикажување сложени броеви на координатната рамнина

(Ние сме заинтересирани
сложени броеви
z=x+yi , за што
x=-4. Ова е равенката
директно,
паралелна оска
ординација)
на
X= - 4
Важи
дел е -4
0
X

Нацртајте го на координатната рамнина множеството од сите сложени броеви за кои:

Имагинарен дел
е изедначена
недвосмислена
природно
број
(Ние сме заинтересирани
сложени броеви
z=x+yi, за што
y=2,4,6,8.
Геометриска слика
се состои од четири
директно, паралелно
x-оска)
на
8
6
4
2
0
X

Комплексни броеви

Имагинарен И сложени броеви. Апциса и ординати

комплексен број. Конјугирајте сложени броеви.

Операции со сложени броеви. Геометриски

перформанси сложени броеви. Комплексен авион.

Модул и аргумент на комплексен број. Тригонометриски

форма на сложени броеви. Операции со комплекс

броеви во тригонометриска форма. Формулата на Моивр.

Првични информацииО имагинарен И сложени броеви се дадени во делот „Имагинарни и сложени броеви“. Потребата за овие броеви од нов тип се појави при решавање на квадратни равенки за случајотД< 0 (здесь Д– дискриминаторски квадратна равенка). За долго времеовие бројки не беа пронајдени физичка примена, поради што биле наречени „имагинарни“ броеви. Сепак, сега тие се многу широко користени во различни области на физиката.

и технологија: електротехника, хидро- и аеродинамика, теорија на еластичност итн.

Комплексни броеви се напишани во форма:а+би. Еве аИ б – реални броеви , А јас – имагинарна единица, т.е.д. јас 2 = –1. Број аповикани апсциса, а б – ординатикомплексен броја + би.Два сложени бројаа+биИ а–би се нарекуваат конјугираатсложени броеви.

Главни договори:

1. Реален бројАможе да се запише и во формакомплексен број:a+ 0 јасили а - 0 јас. На пример, записи 5 + 0јаси 5-0 јасзначи ист број 5 .

2. Комплекс број 0 + биповикани чисто имагинарен број. Снимајтебизначи исто како 0 + би.

3. Два сложени бројаа+би Ив + дисе сметаат за еднакви акоa = cИ b = d. Во спротивно комплексните броеви не се еднакви.

Додаток. Збир на сложени броевиа+биИ в + дисе нарекува комплексен број (a+c ) + (б+г ) јас.Така, при додавање сложените броеви, нивните апсциси и ординати се додаваат посебно.

Оваа дефиниција одговара на правилата за операции со обични полиноми.

Одземање. Разликата на два сложени бројаа+би(намалена) и в + ди(подзадница) се нарекува комплексен број (а–в ) + (b–d ) јас.

Така, При одземање на два сложени броја, нивните апсциси и ординати се одземаат посебно.

Множење. Производ на сложени броевиа+биИ в + ди се нарекува комплексен број:

(ac–bd ) + (реклама + п.н.е ) јас.Оваа дефиниција произлегува од две барања:

1) броеви а+биИ в + димора да се множи како алгебарскибиноми,

2) број јасго има главниот имот:јас 2 = – 1.

ПРИМЕР ( а+ би )(а–би) =а 2 +б 2 . Оттука, работа

два конјугирани комплексни броја е еднаков на реалниот

позитивен број.

Поделба. Поделете комплексен броја+би (делив) со другв + ди(разделник) - значи да се најде третиот бројe + f i(чет), кој кога се множи со делителв + ди, резултира со дивидендаа + би.

Ако делителот не е еднаква на нула, поделбата е секогаш можна.

ПРИМЕР Најдете (8 +јас ) : (2 – 3 јас) .

Решение Ајде да го преработиме овој сооднос како дропка:

Множење на неговиот броител и именителот со 2 + 3јас

И Откако ги извршивме сите трансформации, добиваме:

Геометриски приказ на сложени броеви. Реалните броеви се претставени со точки на бројната права:

Тука е поентата Азначи бројот –3, точкаБ– број 2 и О- нула. Спротивно на тоа, сложените броеви се претставени со точки на координатната рамнина. За таа цел избираме правоаголни (декартови) координати со исти размери на двете оски. Потоа комплексниот броја+би ќе биде претставена со точка П со апсциса а и ордината б (види слика). Овој координатен систем се нарекува комплексен авион .

Модул комплексен број е должината на векторотОП, претставувајќи комплексен број на координатата ( сеопфатен) рамнина. Модул на комплексен броја+биозначено | а+би| или писмо р

Одредувањето комплексен број е еквивалентно на одредување на два реални броеви a, b - реалните и имагинарните делови на даден комплексен број. Но, подреден пар броеви е прикажан на Декартов правоаголен системкоординати по точка со координати Така, оваа точка може да послужи како слика за сложениот број z: се воспоставува кореспонденција еден на еден помеѓу сложените броеви и точките на координатната рамнина. Кога се користи координатната рамнина за прикажување сложени броеви, оската Ox обично се нарекува реална оска (бидејќи реалниот дел од бројот се зема како апсциса на точката), а оската Oy е имагинарна оска (бидејќи имагинарниот дел на бројот се зема како ордината на точката). Комплексниот број z претставен со точката (а, б) се нарекува афикс на оваа точка. Во овој случај, реалните броеви се претставени со точки што лежат на реалната оска, а сите чисто имагинарни броеви (за a = 0) се претставени со точки што лежат на имагинарната оска. Бројот нула е претставен со точката О.

На сл. Конструирани се 8 слики од броеви.

Два сложени конјугирани броја се претставени со точки симетрични за оската Ox (точки на сл. 8).

Често поврзана со комплексен број не е само точката М, која го претставува овој број, туку и векторот OM (види став 93), кој води од О до М; Претставувањето на број како вектор е погодно од гледна точка на геометриското толкување на дејството на собирање и одземање на сложени броеви.

На сл. 9, а е прикажано дека векторот што претставува збир на сложени броеви се добива како дијагонала на паралелограм конструиран на вектори што ги претставуваат членовите.

Ова правило за собирање вектори е познато како правило на паралелограм (на пример, за собирање сили или брзини во курс по физика). Одземањето може да се сведе на собирање со спротивен вектор(Сл. 9, б).

Како што е познато (точка 8), положбата на точка на рамнината може да се определи и со нејзините поларни координати.Така сложениот број - афиксот на точката ќе се определи и со задачата Од сл. 10 јасно е дека во исто време модулот на комплексен број е: поларниот радиус на точката што го претставува бројот, еднаков на модуловој број.

Поларниот агол на точката М се нарекува аргумент на бројот претставен со оваа точка. Аргументот на комплексен број (како поларниот агол на точка) не е двосмислено дефиниран; ако е една од неговите вредности, тогаш сите негови вредности се изразуваат со формулата

Сите вредности на аргументот се колективно означени со симболот.

Значи, секој комплексен број може да се поврзе со пар реални броеви: модул и аргумент даден број, а аргументот се дефинира двосмислено. Напротив, одговара на дадениот модул и аргумент еднина, имајќи го дадениот модул и аргумент. Специјални својстваго има бројот нула: неговиот модул е ​​нула и не му се доделува одредена вредност на аргументот.

За да се постигне недвосмисленост во дефиницијата на аргументот на комплексен број, може да се согласи да се нарече една од вредностите на аргументот главна. Тоа е означено со симболот. Вообичаено, главната вредност на аргументот се избира да биде вредност што ги задоволува нееднаквостите

(во други случаи нееднаквости).

Да обрнеме внимание и на вредностите на аргументот на реални и чисто имагинарни броеви:

Реални и имагинарни делови од комплексен број (како Декартови координатипоени) се изразуваат преку неговиот модул и аргумент ( поларни координатипоени) според формулите (8.3):

а комплексен број може да се запише во следната тригонометриска форма.

Комплексни броеви

Основни концепти

Првичните податоци за бројот датираат од камено доба - палеомелит. Овие се „еден“, „малку“ и „многу“. Тие беа снимени во форма на засеци, јазли итн. Развојот на работните процеси и појавата на сопственоста го принудија човекот да измисли бројки и нивните имиња. Првиот што се појави цели броеви Н, добиени со броење предмети. Потоа, заедно со потребата за броење, луѓето имаа потреба да мерат должини, површини, волумени, време и други количини, каде што требаше да земат предвид делови од користената мерка. Така настанале дропките. Формално оправдување на поимите фракционо и негативен бројбеше спроведена во 19 век. Множество од цели броеви З– тоа се природни броеви, природни броеви со знак минус и нула. Цели и дробни броевиформираше збир рационални броеви П,но се покажа и недоволно за проучување на континуирано менување променливи. Битие повторно ја покажа несовршеноста на математиката: неможноста да се реши равенка на формата X 2 = 3, поради што се појавија ирационални броеви Јас.Унија на множеството рационални броеви ПИ ирационални броеви Јас– збир на реални (или реални) броеви Р. Како резултат на тоа, нумеричката линија беше пополнета: секој реален број одговараше на точка на неа. Но, на многумина Рне постои начин да се реши равенка на формата X 2 = – А 2. Следствено, повторно се појави потреба да се прошири концептот на број. Вака се појавиле сложените броеви во 1545 година. Нивниот креатор Џ. Кардано ги нарече „чисто негативни“. Името „имагинарно“ било воведено во 1637 година од Французинот Р. Декарт, во 1777 година Ојлер предложил да се користи првата буква. Француски број јасза означување на имагинарната единица. Овој симбол влезе во општа употреба благодарение на К. Гаус.

Во текот на 17 и 18 век, дискусијата за аритметичката природа на имагинарите и нивното геометриско толкување продолжи. Данецот Г. Подоцна се покажа дека е уште попогодно да се претставува број не по самата точка, туку со вектор што оди до оваа точка од потеклото.

Само кон крајот на 18 и почетокот на 19 век сложените броеви го зазедоа своето вистинско место во математичка анализа. Нивната прва употреба е во теорија диференцијални равенкии во теоријата на хидродинамиката.

Дефиниција 1.Комплексен бројсе нарекува израз на формата , каде xИ yсе реални броеви и јас– имагинарна единица, .

Два сложени броја и еднаквиако и само ако, .

Ако , тогаш се повикува бројот чисто имагинарен; ако , тогаш бројот е реален број, тоа значи дека множеството Р СО, Каде СО– збир од сложени броеви.

Коњугатна комплексен број се нарекува комплексен број.

Геометриска сликасложени броеви.

Секој комплексен број може да се претстави со точка М(x, y) рамнина Окси.Пар од реални броеви ги означува и координатите на векторот на радиусот , т.е. помеѓу множеството вектори на рамнината и множеството сложени броеви, може да се воспостави кореспонденција еден на еден: .

Дефиниција 2.Вистински дел X.

Ознака: x= Одг z(од латински Realis).

Дефиниција 3.Имагинарен делкомплексен број е реален број y.

Ознака: y= јас z(од латински Imaginarius).

Одг zсе депонира на оската ( О), Јас сум zсе депонира на оската ( О), тогаш векторот што одговара на комплексниот број е вектор на радиус на точката М(x, y), (или М(Ре z, Јас сум z)) (сл. 1).

Дефиниција 4.Се нарекува рамнина чии точки се поврзани со множество сложени броеви комплексен авион. Се нарекува оската на апсцисата реална оска, бидејќи содржи реални броеви. Се нарекува ординатна оска имагинарна оска, содржи чисто имагинарни сложени броеви. Се означува множеството сложени броеви СО.

Дефиниција 5.Модулкомплексен број z = (x, y) се нарекува должина на векторот: , т.е. .

Дефиниција 6.Аргументкомплексен број е аголот помеѓу позитивната насока на оската ( О) и вектор: .

Постојат следниве форми на сложени броеви: алгебарски(x+iy), тригонометриски(r(cos+isin )), индикативно(ре јас ).

Секој комплексен број z=x+iy може да се претстави на XOU авионво форма на точка A(x,y).

Рамнината на која се прикажани сложените броеви се нарекува рамнина на сложената променлива z (на рамнината го ставаме симболот z).

Оската OX е вистинската оска, т.е. содржи реални броеви. OU е имагинарна оска со имагинарни броеви.

x+iy- алгебарска форма на запишување сложен број.

Да ја изведеме тригонометриската форма на пишување комплексен број.

Добиените вредности ги заменуваме во почетната форма: т.е.

r(cos+исин) - тригонометриска форма на запишување комплексен број.

Експоненцијалната форма на пишување комплексен број следи од формулата на Ојлер:
, Тогаш

z= повторно јас - експоненцијална форма на запишување комплексен број.

Операции на сложени броеви.

1. додавање. z 1 +z 2 =(x1+iy1)+ (x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2);

2 . одземање. z 1 -z 2 =(x1+iy1)- (x2+iy2)=(x1-x2)+i(y1-y2);

3. множење. z 1 z 2 =(x1+iy1)*(x2+iy2)=x1x2+i(x1y2+x2y1+iy1y2)=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1);

4 . поделба. z 1 /z 2 =(x1+iy1)/(x2+iy2)=[(x1+iy1)*(x2-iy2)]/[ (x2+iy2)*(x2-iy2)]=

Два сложени броја кои се разликуваат само по знакот на имагинарната единица, т.е. z=x+iy (z=x-iy) се нарекуваат конјугирани.

Работа.

z1=r(cos +исин ); z2=r(cos +исин ).

Тој производ z1*z2 на сложени броеви се наоѓа: , т.е. модулот на производот е еднаков на производот на модулите, а аргументот на производот е еднаков на збирот на аргументите на факторите.

;
;

Приватен.

Ако сложените броеви се дадени во тригонометриска форма.

Ако сложените броеви се дадени во експоненцијална форма.

Експоненцијација.

1. Даден сложен број алгебарски форма.

z=x+iy, тогаш z n се наоѓа со Биномната формула на Њутн:

- бројот на комбинации на n елементи од m (бројот на начини на кои може да се земат n елементи од m).

; n!=1*2*…*n; 0!=1;
.

Пријавете се за сложени броеви.

Во добиениот израз, треба да ги замените моќите i со нивните вредности:

i 0 =1 Од тука, до општ случајдобиваме: i 4k =1

i 1 =i i 4k+1 =i

јас 2 =-1 и 4к+2 =-1

i 3 =-i i 4k+3 =-i

Пример.

i 31 = i 28 i 3 =-i

јас 1063 = јас 1062 i=i

2. тригонометриски форма.

z=r(cos +исин ), Тоа

- Формулата на Моивр.

Овде n може да биде или „+“ или „-“ (цел број).

3. Ако е даден комплексен број индикативно форма:

Екстракција на корен.

Размислете за равенката:
.

Неговото решение ќе биде n-тиот корен од комплексниот број z:
.

n-тиот корен од комплексен број z има точно n решенија (вредности). Корен на тековен датум n-ти степен има само едно решение. Во сложените има n решенија.

Ако е даден комплексен број тригонометриски форма:

z=r(cos +исин ), тогаш n-тиот корен од z се наоѓа со формулата:

, каде k=0,1…n-1.

Редови. Серија на броеви.

Нека променливата a ги зема секвенцијално вредностите a 1, a 2, a 3,…, a n. Таквото пренумерирано збир на броеви се нарекува низа. Бесконечно е.

Бројна серија е изразот a 1 + a 2 + a 3 +…+a n +…= . Броевите a 1, a 2, a 3,... и n се членови на серијата.

На пример.

а 1 е првиот термин од серијата.

а n е n-ти или заеднички член од серијата.

Серијата се смета за дадена ако е познат n-тиот (заеднички член на серијата).

Бројната серија има бесконечен бројчленови.

броители - аритметичка прогресија (1,3,5,7…).

n-тиот член се наоѓа со формулата a n =a 1 +d(n-1); d=a n -a n-1 .

Именителот - геометриска прогресија. b n =b 1 q n-1;
.

Размислете за збирот на првите n членови од серијата и означете го Sn.

Sn=a1+a2+…+a n.

Sn – n-ти делумна сумаред.

Размислете за границата:

S е збир на серијата.

Ред конвергентен , ако оваа граница е конечна (постои конечна граница S).

Ред дивергентни , ако оваа граница е бесконечна.

Во иднина, наша задача е да утврдиме кој ред.

Една од наједноставните, но најчести серии е геометриската прогресија.

, C=конст.

Геометриската прогресија еконвергентен во близина, Ако
, и дивергентни ако
.

Исто така пронајден хармонична серија(ред
). Овој ред дивергентни .