За триаголник, секогаш се можни и впишан круг и ограничен круг.
За четириаголник, кругот може да се впише само ако збирот на неговите спротивни страни се исти. Од сите паралелограми, само ромб и квадрат можат да бидат впишани со круг. Нејзиниот центар лежи на пресекот на дијагоналите.
Круг може да се опише околу четириаголник само ако збирот спротивни аглиеднаква на 180°. Од сите паралелограми, само правоаголник и квадрат може да се опишат како круг. Нејзиниот центар лежи на пресекот на дијагоналите.
Можно е да се опише круг околу трапез, или круг може да се впише во трапез ако трапезот е рамнокрак.
Circumcenter
Теорема. Центарот на кругот опфатен околу триаголник е точката на пресек на нормалните симетрали на страните на триаголникот.
Центарот на кругот опкружен со многуаголник е точката на пресек на нормалните симетрали на страните на овој многуаголник.
Централен впишан круг
Дефиниција. Впишан во конвексен многуаголниккруг е круг што ги допира сите страни на тој многуаголник (односно, секоја од страните на многуаголникот е тангента на кругот).
Центарот на впишаниот круг лежи во полигонот.
Многуаголникот во кој е впишана кружница се нарекува ограничен.
Круг може да се впише во конвексен многуаголник акосиметрали на сите него внатрешни аглисе вкрстуваат во една точка.
Центар на круг впишан во многуаголник- точката на пресек на нејзините симетрали.
Центарот на впишаниот круг е подеднакво оддалечен од страните на многуаголникот. Растојанието од центарот до која било страна е еднакво на радиусот на впишаната кружница.Според својството на тангентите нацртани од една точка, секое теме на опишаниот многуаголник е еднакво оддалечено од тангентните точки што лежат на страните што се протегаат од ова теме.
Круг може да се впише во кој било триаголник. Центарот на кругот впишан во триаголник се нарекува центар.
Круг може да се впише во конвексен четириаголник ако и само ако збирот на неговите должини спротивставени странисе еднакви. Особено, кругот може да се впише во трапез ако збирот на неговите основи е еднаков на збирот на неговите страни.
Круг може да се впише во секој правилен многуаголник. Околу која било правилен многуаголникМожете исто така да опишете круг. Центарот на кружниот круг и кружниот круг лежат во центарот на правилен многуаголник.
За секој ограничен многуаголник, радиусот на впишаниот круг може да се најде со помош на формулата
Каде што S е плоштината на многуаголникот, p е неговиот полупериметар.
Редовни n-gon - формули
Формули за должина на страни регуларен n-гон
1. Формула за страната на правилен n-аголник во однос на радиусот на впишаниот круг:
2. Формула за страната на правилен n-аголник во однос на радиусот на ограничениот круг:
Формула за кружен радиус на правилен n-аголник
Формула за радиусот на впишаниот круг на n-аголник користејќи ја должината на страната:
4. Формула за радиус на обрежување правилен триаголникпреку должината на страната:
6. Формула за плоштина на правилен триаголник во однос на радиусот на впишаниот круг: S = r 2 3√3
7. Формула за плоштина на правилен триаголник во однос на радиусот на ограничениот круг:
4. Формула за обиколницата на правилен четириаголник во однос на должината на страната:
2. Страна формула правилен шестоаголникниз радиусот на опишаната кружница: a = R
3. Формула за радиусот на впишаниот круг на правилен шестоаголник во однос на должината на страната:
6. Формула за плоштина на правилен шестоаголник во однос на радиусот на впишаниот круг: S = r 2 2√3
7. Формула за плоштина на правилен шестоаголник во однос на радиусот на кружниот круг:
| S= | R 2 3√3 |
8. Агол помеѓу страните на правилен шестоаголник: α = 120°
Значење на бројот(се изговара "пи") - математичка константа, еднаков на односот
обемот на кругот до должината на неговиот дијаметар, тој се изразува како бесконечна децимална дропка.
Означено со буквата „пи“ од грчката азбука. На што е еднакво пи?ВО едноставни случаиДоволно е да ги знаете првите 3 знаци (3.14).
53. Најдете ја должината на лакот на круг со радиус R што одговара на централниот агол од n°
Централниот агол подвижен со лак чија должина е еднаква на радиусот на кругот се нарекува агол од 1 радијан.
Степенот на агол од 1 радијан е:
Бидејќи должината на лакот π
R (полукруг), се подтегне централен аголна 180 °
, тогаш лак со должина R го подложува аголот во π
пати помала, т.е. 
И обратно
Бидејќи π = 3,14, потоа 1 rad = 57,3 °
Ако аголот содржи арадијан, тогаш тоа степен меркаеднаква на 
И обратно 
Обично, кога се означува мерката на агол во радијани, името „рад“ се испушта.
На пример, 360° = 2π rad, тие пишуваат 360° = 2π
Табелата ги прикажува најчестите агли во степени и радијани.
Кажува Дмитриј Шилов, адвокат во независната аналитичка агенција Инвесткафе:
Брачен договор - компаративно нов институтсовремено домашно право, кое беше создадено со усвојувањето и влегувањето во сила на Семејниот законик на 1 март 1996 година Руска Федерација. Една од главните причини за нејзиното појавување беше потребата да се регулираат имотните односи на сопружниците во рамките на врската. приватен имот- патем, тие штотуку се појавуваа во средината на 90-тите години на минатиот век. Соодветно на тоа, државата им овозможи на оженетите граѓани да ги регулираат имотните односи врз основа на договор.
Поминаа повеќе од петнаесет години откако воспоставувањето на брачен договор е регулирано со норми семејно право. Сепак, многу Руси останаа со многу малку позитивен ставдо можноста за склучување на брачен договор. Ова обично се должи на недостаток точно знаењеи разбирање на овој тип на договорни односи меѓу брачните другари, како и со националните обичаи, основи и погледи кои се развивале во текот на многу години, па дури и генерации. За некои сопружници, на пример, предлогот на другиот брачен другар да склучи предбрачен договор значи, во најмала рака, недоверба. Плус, меѓусемејните имотни односи се чисто лична работа за секое семејство, и секое семејство има право да одлучи самостојно како да ги регулира овие односи во текот на бракот.
Правила на играта
Значи, што е предбрачен договор? Брачен договор е договор меѓу лицата кои склучуваат брак (идни сопружници) или договор меѓу брачните другари со кој се дефинираат имотните права и обврски на брачните другари за време на бракот и (или) во случај на негово раскинување. Веднаш би сакал особено да забележам дека брачниот договор ги регулира само правата и обврските поврзани со имотните односи на брачните другари. И не може да ја ограничи деловната способност или капацитетот на брачните другари, нивното право да одат на суд за да ги заштитат нивните права, не може да ги регулира личните неимотни односи меѓу брачните другари, правата и обврските на брачните другари во однос на децата, не може да предвиди одредби што го ограничуваат правото на брачниот другар кој има потреба да добива издршка, содржи други услови кои го ставаат еден од брачните другари во крајно неповолна положба или се во спротивност со основните принципи на семејното право.
Од страна на општо правилобрачниот договор е склучен во пишувањеа подлежи на нотарска заверка. ВО во спротивнотаквиот договор ќе се смета за не склучен и нема да повлекува никакви последици за страните што го потпишале правни последици. Договорот за брак важи за време на периодот на брак регистриран во согласност со правилата на семејното право. Покрај тоа, тоа може да го склучат сопружниците и за време на бракот и пред бракот. Според тоа, склучи договор за брак за т.н. „граѓански брак“ не е можен.
Предности
Брачните другари имаат право да го променат договорот за брак законскирежим на заеднички имот, чија суштина е дека имотот што го стекнале брачните другари за време на бракот е нивна заедничка сопственост (без одредување на акции), а располагањето со таков имот се врши САМО со заедничка согласност на брачните другари. Згора на тоа, брачниот договор може да воспостави заеднички, заеднички или т.н. режим. „одвоена“ сопственост и на целиот имот на брачните другари и на неговиот одделни видови, или на имотот на секој од брачните другари. Брачен договор може да се склучи и во однос на постојниот и во однос на идниот (стекнат по склучувањето на брачниот договор) имот на брачните другари. На пример, можно е не само да се подели имотот што го имаат сопружниците, туку и да се утврдат нивните права и обврски во однос на неговото меѓусебно одржување, како и начините на меѓусебно учество во приходите, постапката секој од нив да ги сноси семејните трошоци. ; да го определи имотот што ќе му биде пренесен на секој брачен другар во случај на развод, а во брачниот договор да ги вклучи и сите други одредби кои се однесуваат на имотните односи на брачните другари.
Договорот за брак може да се промени или раскине во секое време со договор на брачните другари. Договор за измена или раскинување на брачен договор се прави во иста форма како и самиот брачен договор (т.е. во писмена форма со задолжително заверување на таков договор кај нотар). Законот предвидува и можност, на барање на еден од брачните другари, да судска постапкапромени или раскине брачниот договор. Дополнително, важноста на брачниот договор престанува од моментот на раскинување на бракот, со исклучок на оние обврски кои се предвидени во брачниот договор за периодот по раскинувањето на бракот.
По вид практични активностиЧесто се среќавам со ситуации во врска со поделбата на брачниот имот. Ваквите ситуации, како по правило, се јавуваат за време на раскинувањето на бракот и, соодветно, поделбата на имотот е психолошки тежок процес за поранешните сопружници. Несомнено, добро познатиот слоган „Рај во колиба со миленикот“ донекаде има своја релевантност, но, според мене, ги регулира личните неимотни односи на сопружниците. И јас сум приврзаник на мислењето дека одлучувањето за склучување на брачен договор е чисто индивидуален процес и дека таква одлука треба да донесат само сопружниците и без никакво надворешно мешање. Освен, се разбира, државата, која ги регулира правилата на оваа „игра“ на законодавно ниво.
Патем
На Запад, практиката на предбрачни договори е многу пораспространета отколку кај нас, особено кога станува збор за богатите и славните. Покрај тоа, во случајот најнова содржина„Брачниот договор“ често станува јавно познат, а како резултат на тоа целиот свет дознава некои прилично сочни детали семеен животнекои ѕвезди.
На пример, актер и режисер Бен Афлек, брак пејачката Џенифер Лопез, писмено се обврза да ја исполни својата брачна должностнајмалку 4 пати неделно. Покрај тоа, една од клаузулите од брачниот договор утврди „глоба“ за предавство во износ од милион долари во корист на измамениот сопружник. Не е познато кој точно инсистирал на оваа состојба, но Афлек отсекогаш бил познат женкар во холивудската заедница.
Беше склучен уште еден необичен договор актерката Никол Кидман и рок музичарот Кит Урбан. Кога Никол се омажила за Урбан, таа го натерала да вети дека ќе се смири и ќе го заборави животниот стил на рок-ѕвездата; а како гаранција во брачниот договор се појавила клаузула според која Урбан никогаш не би користел кокаин. Доколку го исполни овој услов, за секоја година од семејниот живот ќе добива „плата“ во износ од 640 илјади долари. Ако не успее, нема да добие ништо.
Но, пример за неуспешен брачен договор е договор помеѓу моделот Клаудија Шифер и бизнисменот Тим Џефи, што на крајот стана причина за нивната разделба. Непосредно пред свадбата, Тим потрошил 60 илјади долари од џебот на неговата идна сопруга, па таа во договорот посочила дека тој може да ја троши само својата заработка. Навреден, Тим го нарече Шифер премногу материјалистички и ја откажа свршувачката.
"Круг"Видовме дека кругот може да се опише околу секој триаголник. Односно, за секој триаголник има круг што сите три темиња на триаголникот „седат“ на него. Како ова:
Прашање: дали може истото да се каже и за четириаголник? Дали е вистина дека секогаш ќе има круг на кој ќе „седат“ сите четири темиња на четириаголникот?
Излегува дека тоа НЕ Е ВИСТИНА! Четириаголник НЕ СЕКОГАШ може да се впише во круг. Има многу важен услов:
На нашата слика:
| . |
Погледнете, аглите и лежат еден спроти друг, што значи дека се спротивни. Што е тогаш со аглите и? Се чини дека и тие се спротивни? Дали е можно да се земат агли и наместо агли и?
Секако дека можеш! Главната работа е дека четириаголникот има два спротивни агли, чиј збир ќе биде. Останатите два агли потоа ќе се соберат сами по себе. Не верувам? Да се увериме. Погледнете:
Нека биде. Се сеќавате ли колку е збирот на сите четири агли на кој било четириаголник? Секако,. Тоа е - секогаш! . Но, → .
Магија токму таму!
Затоа, запомнете го ова многу цврсто:
Ако четириаголник е впишан во круг, тогаш збирот на кои било два од неговите спротивни агли е еднаков на
и обратно:
Ако четириаголникот има два спротивни агли чиј збир е еднаков, тогаш четириаголникот е цикличен.
Сето ова нема да го докажеме овде (ако ве интересира, погледнете ги следните нивоа на теоријата). Но, да видиме до што води овој извонреден факт: дека во впишан четириаголник збирот на спротивните агли е еднаков.
На пример, на ум ми доаѓа прашањето: дали е можно да се опише круг околу паралелограм? Ајде прво да го пробаме „методот на ѕиркање“.
Некако не оди.
Сега да го примениме знаењето:
Да претпоставиме дека некако успеавме да поставиме круг на паралелограм. Тогаш сигурно мора да има: т.е.
Сега да се потсетиме на својствата на паралелограмот:
Секој паралелограм има еднакви спротивни агли.
Се покажа дека
Што е со аглите и? Па, истото се разбира.
Впишано → →
Паралелограм→ →
Неверојатно, нели?
Излегува дека ако паралелограм е впишан во круг, тогаш сите негови агли се еднакви, односно тој е правоаголник!
И во исто време - центарот на кругот се совпаѓа со пресечната точка на дијагоналите на овој правоаголник. Ова е вклучено како бонус, така да се каже.
Па, тоа значи дека дознавме дека паралелограм впишан во круг е правоаголник.
Сега да зборуваме за трапезоидот. Што се случува ако трапезот е впишан во круг?Но, излегува дека ќе има рамнокрак трапез . Зошто?
Трапезот нека биде впишан во круг. Потоа повторно, но поради паралелизмот на линиите и.
Тоа значи дека имаме: → → рамнокрак трапез.
Уште полесно отколку со правоаголник, нели? Но, треба цврсто да запомните - ќе ви се најде:
Ајде повторно да ги наведеме најважните главните изјавитангента на четириаголник впишан во круг:
- Четириаголник е впишан во круг ако и само ако збирот на неговите два спротивни агли е еднаков на
- Паралелограм впишан во круг - секако правоаголника центарот на кругот се совпаѓа со пресечната точка на дијагоналите
- Трапезот впишан во круг е рамностран.
Впишан четириаголник. Просечно ниво
Познато е дека за секој триаголник има ограничен круг (ова го докажавме во темата „Опишаниот круг“). Што може да се каже за четириаголникот? Излегува дека НЕ СЕКОЈ четириаголник може да се впише во круг, и постои таква теорема:
Четириаголник е впишан во круг ако и само ако збирот на неговите спротивни агли е еднаков на.
Во нашиот цртеж -
Ајде да се обидеме да разбереме зошто е тоа така? Со други зборови, сега ќе ја докажеме оваа теорема. Но, пред да го докажете тоа, треба да разберете како функционира самата изјава. Дали ги забележавте зборовите „тогаш и само тогаш“ во изјавата? Таквите зборови значат дека штетните математичари натрупале две изјави во една.
Ајде да дешифрираме:
- „Тогаш“ значи: Ако четириаголник е впишан во круг, тогаш збирот на кои било два од неговите спротивни агли е еднаков.
- „Само тогаш“ значи: Ако четириаголник има два спротивни агли чиј збир е еднаков, тогаш таков четириаголник може да се впише во круг.
Исто како Алиса: „Мислам тоа што го кажувам“ и „Го кажувам тоа што мислам“.
Сега да откриеме зошто и 1 и 2 се вистинити?
Прво 1.
Нека четириаголник е впишан во круг. Да го означиме неговиот центар и да нацртаме радиуси и. Што ќе се случи? Се сеќавате ли дека впишаниот агол е половина од големината на соодветниот централен агол? Ако се сеќавате, ќе го користиме сега, а ако не, погледнете ја темата „Заокружете. Впишан агол".
Впишани
Впишани
Но, погледнете:.
Добиваме дека ако - е впишано, тогаш
Па, јасно е дека тоа исто така се собира. (исто така треба да размислиме).
Сега „обратно“, односно 2.
Нека испадне дека во четириаголник збирот на некои два спротивни агли е еднаков. Да речеме нека
Сè уште не знаеме дали можеме да опишеме круг околу него. Но, со сигурност знаеме дека ни е загарантирано да можеме да опишеме круг околу триаголник. Па ајде да го направиме тоа.
Ако точката не „седи“ на кругот, тогаш таа неизбежно завршува или надвор или внатре.
Да ги разгледаме двата случаи.
Прво нека биде поентата надвор. Тогаш отсечката во одреден момент го пресекува кругот. Ајде да се поврземе и. Резултатот е впишан (!) четириаголник.
За него веќе знаеме дека збирот на неговите спротивни агли е еднаков, односно според нашата состојба.
Излегува дека треба да биде така.
Но, ова не може да биде затоа што - надворешен аголза и значи .
Што е со внатре? Ајде да правиме слични работи. Поентата нека биде внатре.
Тогаш продолжението на отсечката ја пресекува кружницата во една точка. Повторно - впишан четириаголник, и според условот мора да се задоволи, но - надворешен агол за и значи, односно повторно не може да биде тоа.
Односно, точката не може да биде ниту надвор, ниту внатре во кругот - тоа значи дека е на кругот!
Целата теорема е докажана!
Сега да видиме какви добри последици дава оваа теорема.
Заклучок 1
Паралелограм впишан во круг може да биде само правоаголник.
Ајде да разбереме зошто е тоа така. Нека паралелограм е впишан во круг. Тогаш тоа треба да се направи.
Но, од својствата на паралелограмот го знаеме тоа.
И истото, нормално, во однос на аглите и.
Значи, излегува дека е правоаголник - сите агли се заедно.
Но, покрај тоа, постои дополнителен пријатен факт: центарот на кругот опкружен околу правоаголникот се совпаѓа со точката на пресек на дијагоналите.
Ајде да разбереме зошто. Се надевам дека добро се сеќавате дека аголот подвижен од дијаметарот е права линија.
Дијаметар,
Дијаметар
што значи дека е центар. Тоа е се.
Заклучок 2
Трапезот впишан во круг е рамнокрак.
Трапезот нека биде впишан во круг. Потоа.
И исто така.
Дали разговаравме за се? Не навистина. Всушност, постои уште еден, „таен“ начин да се препознае впишан четириаголник. Овој метод нема да го формулираме многу строго (но јасно), туку ќе го докажеме само на последното ниво на теоријата.
Ако во четириаголник може да се набљудува таква слика како овде на сликата (тука аглите „гледаат“ на страната на точките и се еднакви), тогаш таков четириаголник е впишан.
Ова е многу важен цртеж - во проблеми често е полесно да се најде еднакви агли, од збирот на аглите и.
И покрај целосната недостиг на строгост во нашата формулација, таа е точна, а згора на тоа, секогаш е прифатена од испитувачите на обединета држава. Треба да напишете нешто како ова:
„- впишано“ - и сè ќе биде добро!
Не заборавајте го овој важен знак- запомнете ја сликата и можеби навреме ќе ви го привлече вниманието кога ќе го решите проблемот.
Впишан четириаголник. Краток опис и основни формули
Ако четириаголник е впишан во круг, тогаш збирот на кои било два од неговите спротивни агли е еднаков на
и обратно:
Ако четириаголникот има два спротивни агли чиј збир е еднаков, тогаш четириаголникот е цикличен. 
Четириаголник е впишан во круг ако и само ако збирот на неговите два спротивни агли е еднаков.
Паралелограм впишан во круг- секако правоаголник, а центарот на кругот се совпаѓа со пресечната точка на дијагоналите.
Трапезот впишан во круг е рамнокрак.
ВЛЕЗЕТЕ
ВЛЕЗЕТЕ
1. некој-што. Запишете, внесете, вклучите во списокот (официјално).
2. Што. Атрибут помеѓу, блиску до напишаното. Пополнете ги зборовите што недостасуваат.
3. Што. Нацртајте една фигура во друга така што ќе биде впишана (во 2 вредности, мат.). Запишете триаголник во круг.
Објаснувачкиот речник на Ушаков. Д.Н. Ушаков. 1935-1940 година.
Антоними:
Погледнете што е „ENTER“ во другите речници:
Запишете, внесете, внесете. Мравка. избришете Речник на руски синоними. внесете вметнете, внесете, внесете видете и запишете Речник на синоними на рускиот јазик. Практичен водич. М.: Руски јазик. З.Е.Александрова ... Речник на синоними
ВНЕСИ, гледајќи, гледајќи; е; Суверена 1. кого (што) во што. Откако напишавте, внесете, вклучите каде n. Б. цитат во текст. B. презимето на списокот. V. славна страница во историјата (прев.; високо). 2. што. По математика: нацртајте една фигура во друга со... ... Објаснувачки речник на Ожегов
внесете- што е што. Пополнете го зборот што недостасува во текстот. Кој во момент на лутина не бараше од нив [ стационери] фатална книга, за во неа да ја запише својата бескорисна жалба... (Пушкин) ... Контролен речник
внесете- ВЛЕЗЕ, ох, ох; несов. (утка. ВЛЕЗЕ, јас ќе влезам, ти ќе влезеш). 1. кој каде оди. Нека преноќат; спиење. 2. на кого, каде. Удри, удри. Ставете му кука во устата (во лицето) ... Речник на руски аргот
внесете- пишувам/, пишувам/шивам; впишан; сан, а, о; Св. исто така види внесете, вклопете, внесете што 1) Вметнете што л. дополнително на веќе напишаниот текст; направете вметнување, постскрипт помеѓу или во близина на напишаното, испечатеното... Речник на многу изрази
Јас бувови транс. види внесете I II бувови. транс. види внесете II Објаснувачки речник на Ефремова. Т. Ф. Ефремова. 2000... Модерен РечникРуски јазик Ефремова
Напиши, пишувај, пишувај, пишувај, пишувај, пишувај, пишувај, пишувај, пишувај, пишувај, пишувај, пишувај, пишувај, пишувај, пишувај, пишувај, пишувај, пишувај во , пишувај во, пишувај во, пишувај во, пишувај во, пишувај во, пишувај во, пишувај во, пишувај во, пишувај во, ... ... Форми на зборови
Напишете, прецртајте... Речник на антоними
внесете- пиши, пиши, вп бара... Руски правописен речник
внесете- (Јас)‚ ќе пишувам/(и), пишувам/сеш(и), шега(и)… правописен речникруски јазик
Книги
- Мојот личен дневник Нане (со пликови и налепница за подарок), . Smashbook е место за бесплатна креативност! Нема правила и услови - правете што сакате. Истурете лепак, расфрлајте монистра, суви лисја, убави панделки, копчиња, цртајте,...
- Целосна контрола. Планер на дневници, Јицак Пинтошевич. Овој планерски дневник е уникатен развој од авторот на најпродаваните книги за развој на личноста, Иџак Пинтошевич. Ви помага правилно да управувате со вашето време, да поставите цели и да ги постигнете...
Дефиниции
Круг \(S\) е впишан во агол \(\алфа\) ако \(S\) ги допира страните на аголот \(\алфа\) .
Круг \(S\) е впишан во многуаголник \(P\) ако \(S\) ги допира сите страни на \(P\) .
Во овој случај, се вели дека многуаголникот \(P\) е ограничен на круг.
Теорема
Центарот на кругот впишан во агол лежи на неговата симетрала.
Доказ
Нека \(O\) е центар на некоја кружница впишана во аголот \(BAC\) . Нека \(B"\) е допирната точка на кругот и \(AB\) , и \(C"\) е точката на контакт на кругот и \(AC\) , потоа \(OB"\ ) и \(OC"\) – радиуси нацртани до точките на тангенција, затоа, \(OC"\perp AC\) , \(OB"\perp AB\) , \(OC" = OB"\) .
Ова значи дека триаголниците \(AC"O\) и \(AB"O\) се правоаголни триаголници, кои имаат еднакви краци и заедничка хипотенуза, затоа, тие се еднакви, од каде \(\агол CAO = \агол BAO\), што требаше да се докаже.
Теорема
Еден круг може да се впише во кој било триаголник, а центарот на овој впишан круг е точката на пресек на симетралите на триаголникот.
Доказ
Да ги нацртаме симетралите на аглите \(\агол A\) и \(\агол B\) . Нека се сечат во точката \(O\) .
Бидејќи \(O\) лежи на симетралата \(\агол A\), тогаш растојанијата од точката \(O\) до страните на аголот се еднакви: \(ON=OP\) .
Бидејќи \(O\) исто така лежи на симетралата \(\агол B\) , потоа \(ON=OK\) . Така, \(OP=OK\), значи, точката \(O\) е еднакво оддалечена од страните на аголот \(\агол C\), според тоа, лежи на нејзината симетрала, т.е. \(CO\) е симетрала на \(\аголот C\) .
Така, точките \(N, K, P\) се еднакво оддалечени од точката \(O\), односно лежат на истиот круг. По дефиниција, ова е круг впишан во триаголник.
Овој круг е единствен, затоа што ако претпоставиме дека има уште еден круг впишан во \(\триаголникот ABC\), тогаш тој ќе има ист центар и ист радиус, односно ќе се совпадне со првиот круг.
Така, следнава теорема беше истовремено докажана:
Последица
Симетралите на триаголникот се сечат во една точка.
Теорема за ограничена област
Ако \(a,b,c\) се страните на триаголникот, а \(r\) е радиусот на кругот впишан во него, тогаш областа на триаголникот \(p=\dfrac( a+b+c)2\) е полупериметарскиот триаголник.
Доказ
\(S_(\триаголник ABC)=S_(\триаголник AOC)+S_(\триаголник AOB)+S_(\триаголник BOC)=\frac12OP\cdot AC+\frac12 ON\cdot AB+\frac12 OK\cdot BC\).
Но, \(ON=OK=OP=r\) се радиусите на впишаниот круг, затоа,
Последица
Ако кругот е впишан во многуаголник и \(r\) е неговиот радиус, тогаш плоштината на многуаголникот е еднаква на производот од полупериметарот на многуаголникот со \(r\): \
Теорема
Кругот може да се впише во конвексен четириаголник ако и само ако збировите на неговите спротивни страни се еднакви.
Доказ
Потреба.Да докажеме дека ако кругот е впишан во \(ABCD\), тогаш \(AB+CD=BC+AD\) .
Нека \(M,N,K,P\) се тангентните точки на кружницата и страните на четириаголникот. Тогаш \(AM, AP\) се отсечки на тангенти на кругот нацртани од една точка, затоа, \(AM=AP=a\) . Исто така, \(BM=BN=b, \CN=CK=c, \DK=DP=d\).
Потоа: \(AB+CD=a+b+c+d=BC+AD\) .
Адекватност.Да докажеме дека ако збировите на спротивните страни на четириаголник се еднакви, тогаш во него може да се впише круг.
Да ги нацртаме симетралите на аглите \(\агол A\) и \(\агол B\) , нека се сечат во точката \(O\) . Тогаш точката \(O\) е еднакво оддалечена од страните на овие агли, односно од \(AB, BC, AD\) . Дозволете ни да впишеме круг во \(\агол A\) и \(\агол B\) со центар во точката \(O\) . Да докажеме дека овој круг ќе ја допре и страната \(CD\) .
Да претпоставиме дека тоа не е така. Тогаш \(CD\) е или секанта или нема заеднички точкисо круг. Да го разгледаме вториот случај (првиот ќе се докаже на сличен начин).
Ајде да нацртаме тангента линија \(C"D" \паралелно CD\) (како што е прикажано на сликата). Тогаш \(ABC"D"\) е ограничен четириаголник, затоа, \(AB+C"D"=BC"+AD"\) .
Бидејќи \(BC"=BC-CC", \AD"=AD-DD"\), потоа:
Откривме дека во четириаголникот \(C"CDD"\) збирот на трите страни е еднаков на четвртата, што е невозможно*. Затоа, претпоставката е лажна, што значи дека \(CD\) е тангента на кругот.
Коментар*.Да го докажеме тоа во конвексен четириаголникедна страна не може да биде еднаква на збирот на другите три.
Бидејќи во кој било триаголник, збирот на две страни е секогаш поголем од третата, потоа \(a+x>d\) и \(b+c>x\) . Додавајќи ги овие нееднаквости, добиваме: \(a+x+b+c>d+x \Десна стрелка a+b+c>d\). Затоа, збирот на кои било три страни е секогаш поголем од четвртата страна.
Теореми
1. Ако круг е впишан во паралелограм, тогаш тоа е ромб (сл. 1).
2. Ако кругот е впишан во правоаголник, тогаш тоа е квадрат (сл. 2).
Спротивните изјави се исто така вистинити: можете да вклопите круг во кој било ромб или квадрат, и тоа само во еден.
Доказ
1) Размислете за паралелограм \(ABCD\) во кој е впишан круг. Потоа \(AB+CD=BC+AD\) . Но во паралелограм спротивни странисе еднакви, т.е. \(AB=CD, \BC=AD\) . Затоа, \(2AB=2BC\), што значи \(AB=BC=CD=AD\), т.е. ова е ромб.
Очигледно е обратното тврдење, а центарот на овој круг лежи на пресекот на дијагоналите на ромбот.
2) Размислете за правоаголникот \(QWER\) . Бидејќи правоаголникот е паралелограм, тогаш според првата точка \(QW=WE=ER=RQ\), т.е. ова е ромб. Но затоа што Сите агли му се правилни, тогаш тоа е квадрат.
Очигледно е обратното тврдење, а центарот на овој круг лежи на пресекот на дијагоналите на квадратот.