Ан е аритметика. Збир на аритметичка прогресија

Важни забелешки!
1. Ако видите gobbledygook наместо формули, исчистете го кешот. Како да го направите ова во вашиот прелистувач е напишано овде:
2. Пред да започнете да ја читате статијата, најмногу обрнете внимание на нашиот навигатор корисен ресурсЗа

Редоследот на броеви

Значи, да седнеме и да почнеме да пишуваме некои бројки. На пример:
Можете да напишете какви било броеви, а може да ги има онолку колку што сакате (во нашиот случај, ги има). Колку и да напишеме броеви, секогаш можеме да кажеме кој е прв, кој е втор и така до последниот, односно да ги нумерираме. Ова е пример за броена низа:

Редоследот на броеви
На пример, за нашата низа:

Доделениот број е специфичен за само еден број во низата. Со други зборови, нема три втори броеви во низата. Вториот број (како и ти број) е секогаш ист.
Бројот со број се нарекува ти член од низата.

Обично ја нарекуваме целата низа со некоја буква (на пример,), и секој член од оваа низа е иста буква со индекс еднаков на бројот на овој член: .

Во нашиот случај:

Да речеме дека имаме бројна низа во која разликата помеѓу соседните броеви е иста и еднаква.
На пример:

итн.
Оваа бројна низа се нарекува аритметичка прогресија.
Терминот „прогресија“ бил воведен од римскиот автор Боетиј уште во 6 век и бил сфатен во повеќе во широка смисла, како бесконечна броена низа. Името „аритметика“ е пренесено од теоријата на континуирани пропорции, која ја проучувале античките Грци.

Ова е бројна низа, чиј член е еднаков на претходниот додаден на истиот број. Овој број се нарекува разлика на аритметичка прогресија и е означен.

Обидете се да одредите кои низи од броеви се аритметичка прогресија, а кои не се:

а)
б)
в)
г)

Разбрав? Ајде да ги споредиме нашите одговори:
Еаритметичка прогресија - b, c.
не еаритметичка прогресија - a, d.

Да се вратиме на дадена прогресија() и обидете се да ја пронајдете вредноста на неговиот та член. Постои дваначин да го најдете.

1. Метод

Можеме да го додадеме бројот на прогресијата на претходната вредност додека не го достигнеме тиот член на прогресијата. Добро е што немаме многу да резимираме - само три вредности:

Значи, тиот член на опишаната аритметичка прогресија е еднаков на.

2. Метод

Што ако треба да ја најдеме вредноста на тиот член на прогресијата? Збирот би ни одзел повеќе од еден час, а не е факт дека не би грешиле при собирањето броеви.
Се разбира, математичарите дошле до начин на кој не е неопходно да се додаде разликата на аритметичката прогресија на претходната вредност. Погледнете ја подетално нацртаната слика... Сигурно веќе сте забележале одредена шема и тоа:

На пример, да видиме од што се состои вредноста на тиот член на оваа аритметичка прогресија:

Со други зборови:

Обидете се сами да ја пронајдете вредноста на член на дадена аритметичка прогресија на овој начин.

Дали пресметавте? Споредете ги вашите белешки со одговорот:

Ве молиме имајте предвид дека го добивте точно истиот број како и во претходниот метод, кога последователно ги додадовме условите на аритметичката прогресија на претходната вредност.
Ајде да се обидеме да се „обезличиме“ оваа формула- ајде да ја доведеме до општа формаи добиваме:

Равенка за аритметичка прогресија.

Аритметичките прогресии може да се зголемуваат или намалуваат.

Зголемување- прогресии во кои секоја следна вредност на поимите е поголема од претходната.
На пример:

Опаѓачки- прогресии во кои секоја следна вредност на поимите е помала од претходната.
На пример:

Изведената формула се користи при пресметување на поими и во зголемување и во намалување на аритметичката прогресија.
Ајде да го провериме ова во пракса.
Ни е дадена аритметичка прогресија која се состои од следните броеви: Да провериме колкав ќе биде бројот на оваа аритметичка прогресија ако ја користиме нашата формула за да ја пресметаме:

Од тогаш:

Така, ние сме убедени дека формулата работи и во намалување и во зголемување на аритметичката прогресија.
Обидете се сами да ги пронајдете тите и членовите на оваа аритметичка прогресија.

Ајде да ги споредиме резултатите:

Својство на аритметичка прогресија

Ајде да го комплицираме проблемот - ќе го изведеме својството на аритметичка прогресија.
Да речеме дека ни е даден следниот услов:
- аритметичка прогресија, најдете ја вредноста.
Лесно, велиш и почнуваш да броиш според формулата што веќе ја знаеш:

Нека, а, тогаш:

Апсолутно во право. Излегува дека прво наоѓаме, потоа го додаваме на првиот број и го добиваме она што го бараме. Ако прогресијата е претставена со мали вредности, тогаш нема ништо комплицирано во тоа, но што ако ни се дадени бројки во условот? Се согласувам, постои можност да се направи грешка во пресметките.
Сега размислете дали е можно да се реши овој проблем во еден чекор користејќи која било формула? Се разбира, да, и тоа е она што ќе се обидеме да го откриеме сега.

Дозволете ни да го означиме потребниот член на аритметичката прогресија како што ни е позната формулата за наоѓање - ова е истата формула што ја изведовме на почетокот:
, Потоа:

претходниот термин на прогресијата е:
следниот термин на прогресијата е:

Ајде да ги сумираме претходните и следните услови на прогресијата:

Излегува дека збирот на претходните и следните членови на прогресијата е двојната вредност на членот за прогресија што се наоѓа меѓу нив. Со други зборови, за да ја пронајдете вредноста на терминот за прогресија со познати претходни и последователни вредности, треба да ги соберете и поделите со.

Така е, го добивме истиот број. Ајде да го обезбедиме материјалот. Пресметајте ја вредноста за прогресијата сами, тоа не е воопшто тешко.

Добро сторено! Знаете речиси сè за прогресијата! Останува да дознаеме само една формула, која, според легендата, лесно ја заклучил еден од најголемите математичари на сите времиња, „кралот на математичарите“ - Карл Гаус...

Кога Карл Гаус имал 9 години, еден наставник, зафатен со проверка на работата на учениците во другите класови, го поставил следниот проблем на часот: „Пресметај го збирот на сите природни броевиод до (според други извори до) инклузивно“. Замислете го изненадувањето на наставникот кога еден од неговите ученици (ова беше Карл Гаус) една минута подоцна го даде точниот одговор на задачата, додека повеќето од соучениците на храбриот, по долги пресметки, добија погрешен резултат...

Младиот Карл Гаус забележал одредена шема која лесно можете да ја забележите и вие.
Да речеме дека имаме аритметичка прогресија која се состои од -ти членови: Треба да го најдеме збирот на овие членови на аритметичката прогресија. Се разбира, можеме рачно да ги сумираме сите вредности, но што ако задачата бара да се најде збирот на нејзините поими, како што бараше Гаус?

Дозволете ни да ја прикажеме прогресијата што ни е дадена. Погледнете ги подетално истакнатите броеви и обидете се да извршите разни математички операции со нив.

Дали сте го пробале? Што забележавте? Во право! Нивните збирови се еднакви

Сега кажи ми колку такви парови има вкупно во прогресијата што ни е дадена? Се разбира, точно половина од сите бројки, т.е.
Врз основа на фактот дека збирот на два члена на аритметичка прогресија е еднаков, а слични парови се еднакви, добиваме дека вкупна количинае еднакво на:
.
Така, формулата за збир на првите членови на која било аритметичка прогресија ќе биде:

Кај некои проблеми не го знаеме поимот, но ја знаеме разликата во прогресијата. Обидете се да ја замените формулата на членот во формулата за сума.
Што доби?

Добро сторено! Сега да се вратиме на проблемот што му беше поставен на Карл Гаус: пресметајте сами колку е еднаков збирот на броеви кои почнуваат од th и збирот на броевите што почнуваат од th.

Колку добивте?
Гаус откри дека збирот на членовите е еднаков, и збирот на членовите. Дали така одлучивте?

Всушност, формулата за збирот на членовите на аритметичката прогресија била докажана од античкиот грчки научник Диофант уште во 3 век, и во текот на ова време духовити луѓецелосно ги искористил својствата на аритметичката прогресија.
На пример, замислете Антички Египети најмногу градба од големи размеритоа време - изградба на пирамида... На сликата е прикажана едната страна од неа.

Каде е тука прогресијата, велиш? Погледнете внимателно и пронајдете шема во бројот на песочни блокови во секој ред од ѕидот на пирамидата.

Зошто не аритметичка прогресија? Пресметајте колку блокови се потребни за да се изгради еден ѕид ако на основата се поставени блок тули. Се надевам дека нема да броите додека го движите прстот преку мониторот, се сеќавате на последната формула и се што кажавме за аритметичката прогресија?

ВО во овој случајпрогресијата изгледа како на следниот начин: .
Разлика во аритметичката прогресија.
Број на членови на аритметичка прогресија.
Ајде да ги замениме нашите податоци во последните формули (да го пресметаме бројот на блокови на 2 начини).

Метод 1.

Метод 2.

И сега можете да пресметате на мониторот: споредете ги добиените вредности со бројот на блокови што се во нашата пирамида. Разбрав? Браво, го совладавте збирот на n-ти членови на аритметичка прогресија.
Се разбира, не можете да изградите пирамида од блокови во основата, но од? Обидете се да пресметате колку песочни тули се потребни за да се изгради ѕид со оваа состојба.
Дали се снајде?
Точниот одговор е блокови:

Обука

Задачи:

Маша влегува во форма за лето. Секој ден таа го зголемува бројот на сквотови за. Колку пати Маша ќе прави чучњеви во една недела ако направи сквотови на првиот тренинг?
Колкав е збирот на сите непарни броеви содржани во.
При складирање на логови, дрвосечачите ги редат на таков начин што секој од нив горен слојсодржи еден дневник помалку од претходниот. Колку трупци има во една ѕидарија, ако основата на ѕидањето е трупци?

Одговори:

Да ги дефинираме параметрите на аритметичката прогресија. Во овој случај
(недели = денови).
Одговор:За две недели, Маша треба да прави сквотови еднаш дневно.
Прво чуден број, последен број.
Разлика во аритметичката прогресија.
Бројот на непарни броеви во е половина, меѓутоа, ајде да го провериме овој факт користејќи ја формулата за наоѓање на членот на аритметичка прогресија:
Броевите содржат непарни броеви.
Ајде да ги замениме достапните податоци во формулата:
Одговор:Збирот на сите непарни броеви содржани во е еднаков.
Да се потсетиме на проблемот со пирамидите. За нашиот случај, a, бидејќи секој горен слој е намален за еден дневник, тогаш вкупно има еден куп слоеви, т.е.
Да ги замениме податоците во формулата:
Одговор:Во ѕидарството има трупци.

Ајде да го сумираме

- бројна низа во која разликата меѓу соседните броеви е иста и еднаква. Може да се зголемува или намалува.
Наоѓање формулаТемиот член на аритметичката прогресија се запишува со формулата - , каде што е бројот на броеви во прогресијата.
Својство на членовите на аритметичка прогресија- - каде е бројот на броеви во прогресија.
Збирот на членовите на аритметичка прогресијаможе да се најде на два начина:

, каде е бројот на вредности.

АРИТМЕТИЧКА ПРОГРЕСИЈА. ПРОСЕЧНО НИВО

Редоследот на броеви

Ајде да седнеме и да почнеме да пишуваме некои бројки. На пример:

Можете да напишете какви било броеви, а може да ги има колку што сакате. Но, секогаш можеме да кажеме кој е прв, кој е втор и така натаму, односно можеме да ги броиме. Ова е пример за бројна низа.

Редоследот на броевие збир на броеви, од кои на секој може да му се додели единствен број.

Со други зборови, секој број може да се поврзе со одреден природен број и единствен. И ние нема да го доделиме овој број на кој било друг број од овој сет.

Бројот со број се нарекува ти член на низата.

Многу е погодно ако ти член од низата може да се специфицира со некоја формула. На пример, формулата

ја поставува низата:

А формулата е следнава низа:

На пример, аритметичката прогресија е низа (првиот член овде е еднаков, а разликата е). Или (, разлика).

n-ти термин формула

Формулата ја нарекуваме рекурентна во која, за да го дознаете тиот член, треба да ги знаете претходните или неколку претходни:

За да го најдеме, на пример, тиот член на прогресијата користејќи ја оваа формула, ќе треба да ги пресметаме претходните девет. На пример, нека. Потоа:

Па, дали сега е јасно која е формулата?

Во секоја линија што ја додаваме, помножена со некој број. Кое? Многу едноставно: ова е бројот на тековниот член минус:

Сега е многу поудобно, нели? Проверуваме:

Одлучете сами:

Во аритметичка прогресија, најдете ја формулата за n-тиот член и најдете го стотиот член.

Решение:

Првиот член е еднаков. Што е разликата? Еве што:

(Затоа се нарекува разлика затоа што е еднаква на разликата на последователните членови на прогресијата).

Значи, формулата:

Тогаш стотиот член е еднаков на:

Колку изнесува збирот на сите природни броеви од до?

Според легендата, голем математичарКарл Гаус како 9-годишно момче ја пресметал оваа сума за неколку минути. Забележал дека збирот на првиот и последниот број е еднаков, збирот на вториот и претпоследниот е ист, збирот на третиот и третиот од крајот е ист итн. Колку такви парови има вкупно? Така е, точно половина од бројот на сите броеви, т.е. Значи,

Општата формула за збирот на првите членови на која било аритметичка прогресија ќе биде:

Пример:
Најдете го збирот на сите двоцифрени броеви, множители.

Решение:

Првата таква бројка е оваа. Секој нареден се добива со додавање на претходен датум. Така, броевите за кои нè интересира формираат аритметичка прогресија со првиот член и разликата.

Формула на тиот член за оваа прогресија:

Колку поими има во прогресијата ако сите треба да бидат двоцифрени?

Многу лесно: .

Последниот рок од прогресијата ќе биде еднаков. Потоа збирот:

Одговор:.

Сега одлучете сами:

Секој ден спортистот трча повеќе метри од претходниот ден. Колку километри вкупно ќе истрча за една недела ако истрчал km m првиот ден?
Велосипедист поминува повеќе километри секој ден од претходниот ден. Првиот ден патувал км. Колку дена треба да патува за да помине еден километар? Колку километри ќе помине во последниот ден од своето патување?
Цената на фрижидерот во продавница секоја година се намалува за исто толку. Определете колку се намалувала цената на фрижидерот секоја година ако, ставен на продажба за рубли, шест години подоцна бил продаден за рубли.

Одговори:

Овде најважно е да се препознае аритметичката прогресија и да се одредат нејзините параметри. Во овој случај, (недели = денови). Треба да го одредите збирот на првите членови на оваа прогресија:
.
Одговор:
Тука е дадено: , мора да се најде.
Очигледно, треба да ја користите истата формула за сума како во претходна задача:
.
Заменете ги вредностите:
Коренот очигледно не одговара, па одговорот е.
Да ја пресметаме патеката помината во текот на последниот ден користејќи ја формулата на тиот член:
(км).
Одговор:
Дадени:. Најдете:.
Не може да биде поедноставно:
(тријте).
Одговор:

АРИТМЕТИЧКА ПРОГРЕСИЈА. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНИТЕ РАБОТИ

Ова е бројна низа во која разликата помеѓу соседните броеви е иста и еднаква.

Аритметичка прогресијаможе да се зголемува () и намалува ().

На пример:

Формула за наоѓање на n-ти член на аритметичка прогресија

се пишува со формулата, каде што е бројот на броеви во прогресија.

Својство на членовите на аритметичка прогресија

Тоа ви овозможува лесно да пронајдете член на прогресија ако се познати неговите соседни членови - каде е бројот на броеви во прогресијата.

Збир на членови на аритметичка прогресија

Постојат два начини да ја пронајдете сумата:

Каде е бројот на вредности.

Па, темата заврши. Ако ги читате овие редови, тоа значи дека сте многу кул.

Затоа што само 5% од луѓето се способни да совладаат нешто сами. И ако читате до крај, тогаш сте во овие 5%!

Сега најважното нешто.

Ја разбравте теоријата на оваа тема. И, повторувам, ова... ова е само супер! Веќе сте подобри од огромното мнозинство ваши врсници.

Проблемот е што ова можеби не е доволно...

За што?

За успешно полагање на Единствен државен испит, за прием на факултет со буџет и, НАЈВАЖНО, доживотно.

Нема да те убедам во ништо, само едно ќе кажам...

Луѓе кои примиле добро образование, заработуваат многу повеќе од оние кои не го добиле. Ова е статистика.

Но, ова не е главната работа.

Главната работа е што тие се ПОСРЕЌНИ (има такви студии). Можеби затоа што има многу повеќе отворени пред нив повеќе можностии животот станува посветол? Не знам...

Но, размислете сами...

Што е потребно за да бидете сигурни дека ќе бидете подобри од другите на Единствениот државен испит и на крајот да бидете... посреќни?

ДОБИЈТЕ РАКА СО РЕШАВАЊЕ ПРОБЛЕМИ НА ОВАА ТЕМА.

Нема да ве прашаат за теорија за време на испитот.

Ќе ви треба решаваат проблеми наспроти времето.

И, ако не сте ги решиле (МНОГУ!), дефинитивно ќе направите глупава грешка некаде или едноставно нема да имате време.

Тоа е како во спортот - треба да го повторите многу пати за да победите сигурно.

Најдете ја колекцијата каде што сакате, нужно со решенија, детална анализа и одлучи, одлучува, одлучува!

Можете да ги користите нашите задачи (опционално) и ние, се разбира, ги препорачуваме.

Со цел да се подобрите во користењето на нашите задачи, треба да помогнете да го продолжите животниот век на учебникот YouClever што моментално го читате.

Како? Постојат две опции:

Отклучете ги сите скриени задачи во оваа статија -
Отклучете го пристапот до сите скриени задачи во сите 99 статии од учебникот - Купете учебник - 499 RUR

Да, имаме 99 вакви статии во нашиот учебник и пристапот до сите задачи и сите скриени текстови во нив може веднаш да се отвори.

Пристап до сите скриени задачи е обезбеден за ЦЕЛИОТ век на траење на страницата.

Во заклучок...

Ако не ви се допаѓаат нашите задачи, најдете други. Само не застанувај на теорија.

„Разбрано“ и „Можам да решам“ се сосема различни вештини. Ви требаат и двете.

Најдете проблеми и реши ги!

Збир на аритметичка прогресија.

Збирот на аритметичка прогресија е едноставна работа. И по значење и по формула. Но, има секакви задачи на оваа тема. Од основно до сосема солидно.

Прво, да го разбереме значењето и формулата на износот. И тогаш ќе одлучиме. За ваше задоволство.) Значењето на износот е едноставно како мом. За да го пронајдете збирот на аритметичка прогресија, само треба внимателно да ги додадете сите нејзини термини. Ако овие термини се малку, можете да додадете без никакви формули. Но, ако има многу, или многу... додавањето е досадно.) Во овој случај, формулата доаѓа на помош.

Формулата за износот е едноставна:

Ајде да откриеме какви букви се вклучени во формулата. Ова многу ќе ги расчисти работите.

С н - збир на аритметичка прогресија. Резултат на додавање ситечленови, со првоОд страна на последен.Тоа е важно. Тие се собираат точно Ситечленови по ред, без прескокнување или прескокнување. И, поточно, почнувајќи од прво.Во проблеми како наоѓање на збирот на третиот и осмиот член или збирот на членовите од петтиот до дваесеттиот - директна применаформулите ќе разочараат.)

а 1 - првочлен на прогресијата. Овде сè е јасно, едноставно е првоброј на ред.

a n- последночлен на прогресијата. Последниот број од серијата. Не е многу познато име, но кога се применува на износот, тоа е многу погодно. Тогаш ќе се уверите сами.

n - број на последниот член. Важно е да се разбере дека во формулата овој број се совпаѓа со бројот на додадени термини.

Ајде да го дефинираме концептот последенчлен a n. Тешко прашање: кој член ќе биде последниотако се дадени бескрајнааритметичка прогресија?)

За да одговорите самоуверено, треба да го разберете елементарното значење на аритметичката прогресија и... внимателно прочитајте ја задачата!)

Во задачата да се најде збир на аритметичка прогресија, секогаш се појавува последниот член (директно или индиректно), кои треба да бидат ограничени.Во спротивно, конечна, конкретна сума едноставно не постои.За решението не е важно дали прогресијата е дадена: конечна или бесконечна. Не е важно како е даден: серија броеви или формула за n-тиот член.

Најважно е да се разбере дека формулата работи од првиот член на прогресијата до членот со број n.Всушност, целото име на формулата изгледа вака: збирот на првите n членови на аритметичка прогресија.Бројот на овие први членови, т.е. n, се определува исклучиво од задачата. Во задачата, сите овие вредни информации често се шифрираат, да... Но не е важно, во примерите подолу ги откриваме овие тајни.)

Примери на задачи за збир на аритметичка прогресија.

Најпрво, корисни информации:

Главната тешкотија во задачите што вклучуваат збир на аритметичка прогресија е правилна дефиницијаелементи на формулата.

Пишувачите на задачи ги шифрираат истите овие елементи со безгранична имагинација.) Главната работа овде е да не се плашите. Разбирање на суштината на елементите, доволно е едноставно да ги дешифрираме. Да разгледаме неколку примери во детали. Да почнеме со задача базирана на вистинска ГИА.

1. Аритметичката прогресија е дадена со условот: a n = 2n-3.5. Најдете го збирот на неговите први 10 членови.

Добра работа. Лесно.) За да ја одредиме количината користејќи ја формулата, што треба да знаеме? Прв член а 1, минатиот мандат a n, да бројот на последниот член n.

Каде можам да го добијам бројот на последниот член? n? Да, токму таму, под услов! Таа вели: најдете го збирот првите 10 членови.Па, со кој број ќе биде? последно,десетти член?) Нема да верувате, неговиот број е десетти!) Затоа, наместо a nЌе замениме во формулата а 10, и наместо тоа n- десет. Повторувам, бројот на последниот член се совпаѓа со бројот на членови.

Останува да се утврди а 1И а 10. Ова лесно се пресметува со помош на формулата за n-тиот член, која е дадена во изјавата за проблемот. Не знаете како да го направите ова? Посетете ја претходната лекција, без ова нема начин.

а 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

а 10=2·10 - 3,5 =16,5

С н = С 10.

Го дознавме значењето на сите елементи од формулата за збир на аритметичка прогресија. Останува само да ги замениме и изброиме:

Тоа е тоа. Одговор: 75.

Друга задача заснована на ГИА. Малку покомплицирано:

2. Дадена е аритметичка прогресија (a n), чија разлика е 3,7; а 1 = 2,3. Најдете го збирот на неговите први 15 членови.

Веднаш ја пишуваме формулата за сума:

Оваа формула ни овозможува да ја најдеме вредноста на кој било член по неговиот број. Бараме едноставна замена:

а 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Останува да се заменат сите елементи во формулата за збир на аритметичка прогресија и да се пресмета одговорот:

Одговор: 423.

Патем, ако во формулата за збир наместо a nЕдноставно ја заменуваме формулата за n-тиот член и добиваме:

Ајде да донесеме слични, добиваме нова формулазбирови на членови на аритметичка прогресија:

Како што можете да видите, тоа не е потребно овде n-ти мандат a n. Кај некои проблеми оваа формула многу помага, да... Оваа формула можете да ја запомните. Дали е можно во вистински моментлесно е да се прикаже, како овде. На крајот на краиштата, секогаш треба да ја запомните формулата за збирот и формулата за n-тиот член.)

Сега задачата во форма на кратко шифрирање):

3. Најдете го збирот на сите позитивни двоцифрени броеви кои се множители на три.

Леле! Ниту прв член, ниту последен, ниту прогресија воопшто... Како да се живее!?

Ќе треба да размислите со глава и да ги извлечете сите елементи од збирот на аритметичката прогресија од условот. Знаеме што се двоцифрени броеви. Тие се состојат од два броја.) Кој двоцифрен број ќе биде прво? 10, веројатно.) А последно нештодвоцифрен број? 99, се разбира! Троцифрените ќе го следат ...

Повеќекратни од три... Хм... Ова се броеви кои се деливи со три, еве! Десет не се дели со три, 11 не се дели... 12... се дели! Значи, нешто се појавува. Веќе можете да запишете серија според условите на проблемот:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Дали оваа серија ќе биде аритметичка прогресија? Секако! Секој термин се разликува од претходниот за строго три. Ако додадете 2 или 4 на член, да речеме, резултатот, т.е. новиот број повеќе не се дели со 3. Можете веднаш да ја одредите разликата на аритметичката прогресија: d = 3.Ќе ни се најде!)

Значи, можеме безбедно да запишеме некои параметри за прогресија:

Колкав ќе биде бројот? nпоследен член? Секој што мисли дека 99 е фатален во заблуда... Бројките секогаш одат по ред, но нашите членови прескокнуваат преку три. Тие не се совпаѓаат.

Тука има две решенија. Еден начин е за супер вредните. Можете да ја запишете прогресијата, целата серија броеви и со прстот да го изброите бројот на членови.) Вториот начин е за промислените. Треба да ја запомните формулата за n-тиот член. Ако ја примениме формулата за нашиот проблем, ќе откриеме дека 99 е триесеттиот член од прогресијата. Оние. n = 30.

Да ја погледнеме формулата за збир на аритметичка прогресија:

Гледаме и се радуваме.) Од изјавата за проблемот извадивме сè што е неопходно за да се пресмета износот:

а 1= 12.

а 30= 99.

С н = С 30.

Останува само елементарна аритметика. Броевите ги заменуваме во формулата и пресметуваме:

Одговор: 1665 година

Друг тип на популарна загатка:

4. Дадена е аритметичка прогресија:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Најдете го збирот на членовите од дваесетти до триесет и четири.

Ја гледаме формулата за износот и... се нервираме.) Формулата, да ве потсетам, ја пресметува сумата од првиотчлен. И во проблемот треба да го пресметате збирот од дваесеттиот...Формулата нема да работи.

Се разбира, можете да ја напишете целата прогресија во серија и да додадете термини од 20 до 34. Но... тоа е некако глупаво и трае долго време, нели?)

Има повеќе елегантно решение. Ајде да ја поделиме нашата серија на два дела. Првиот дел ќе биде од првиот мандат до деветнаесеттиот.Втор дел - од дваесет до триесет и четири.Јасно е дека ако го пресметаме збирот на членовите од првиот дел С 1-19, да го додадеме со збирот на поимите од вториот дел С 20-34, го добиваме збирот на прогресијата од првиот член до триесет и четвртиот С 1-34. Како ова:

С 1-19 + С 20-34 = С 1-34

Од ова можеме да видиме дека ја наоѓаме сумата С 20-34Може едноставно одземање

С 20-34 = С 1-34 - С 1-19

Се земаат предвид и двата износи на десната страна од првиотчлен, т.е. сосема применливи за нив стандардна формулаизноси. Ајде да почнеме?

Ги извлекуваме параметрите за прогресија од изјавата за проблемот:

d = 1,5.

а 1= -21,5.

За да ги пресметаме збировите на првите 19 и првите 34 члена, ќе ни требаат 19-ти и 34-ти членови. Ги пресметуваме користејќи ја формулата за n-тиот член, како во задача 2:

а 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

а 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Не остана ништо. Од збирот од 34 члена одземете го збирот од 19 члена:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Одговор: 262,5

Една важна забелешка! Постои еден многу корисен трик за решавање на овој проблем. Наместо директна пресметка што ви треба (S 20-34),броевме нешто што се чини дека не е потребно - С 1-19.И тогаш тие утврдија С 20-34, отфрлајќи го непотребното од целосниот резултат. Овој вид на „финирање со ушите“ често ве спасува од лоши проблеми.)

Во оваа лекција разгледавме проблеми за кои е доволно да се разбере значењето на збирот на аритметичка прогресија. Па, треба да знаете неколку формули.)

Практичен совет:

Кога решавате каков било проблем кој вклучува збир на аритметичка прогресија, препорачувам веднаш да ги напишете двете главни формули од оваа тема.

Формула за n-ти мандат:

Овие формули веднаш ќе ви кажат што да барате и во која насока да размислувате за да го решите проблемот. Помага.

И сега задачите за независно решение.

5. Најдете го збирот на сите двоцифрени броеви кои не се деливи со три.

Кул?) Навестувањето е скриено во забелешката за проблемот 4. Па, проблемот 3 ќе помогне.

6. Аритметичката прогресија е дадена со условот: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Најдете го збирот на неговите први 24 членови.

Невообичаено?) Ова формула за повторување. Можете да прочитате за тоа во претходната лекција. Не ја игнорирајте врската, вакви проблеми често се среќаваат во Државната академија на науките.

7. Васија заштеди пари за празникот. Дури 4550 рубли! И решив да и дадам на мојата омилена личност (на себе) неколку дена среќа). Живејте убаво без ништо да се одречете. Потрошете 500 рубли првиот ден, а секој нареден ден потрошете 50 рубли повеќе од претходниот! Додека парите не снемаат. Колку дена среќа имаше Васија?

Дали е тешко?) Дали ќе помогне? дополнителна формулаод задача 2.

Одговори (во неред): 7, 3240, 6.

Доколку ви се допаѓа оваа страница...

Патем, имам уште неколку интересни страници за вас.)

Можете да вежбате да решавате примери и да го дознаете вашето ниво. Тестирање со инстант верификација. Ајде да научиме - со интерес!)

Можете да се запознаете со функции и деривати.

Тип на лекција: лекција за учење нов материјал.

Цел на часот: Формирање на концептот за аритметичка прогресија како еден од видовите низи, изведување на формулата за n-ти член, запознавање со карактеристичните својства на членовите на аритметичка прогресија. Решавање на проблем.

Цели на лекцијата:

Образовни- ги воведува поимите за аритметичка прогресија; формули за n-ти термин; карактеристично својство, што ги поседуваат членовите на аритметичките прогресии.
Развојна- развиваат способност за споредување математички концепти, наоѓање сличности и разлики, способност за набљудување, забележување обрасци, резонирање по аналогија; развиваат способност за конструирање и толкување математички моделнекоја реална ситуација.
Образовни- промовирање на интерес за математиката и нејзините примени, активност, комуникациски вештини, бранете ги вашите ставови со разум.

Опрема: компјутер, мултимедијален проектор, презентација (Прилог 1)

Учебници: Алгебра 9, Ју.Н.Миндјук, С.Б.Суворов, Московски учебници, 2010 г.

План за лекција:

Време на организирање, формулација на проблемот
Ажурирање на знаењето усна работа
Учење нов материјал
Примарна консолидација
Сумирајќи ја лекцијата
Домашна работа

Со цел да се зголеми јасноста и леснотијата на работа со материјалот, лекцијата е придружена со презентација. Сепак, тоа не е услов и истата лекција може да се учи во училници кои не се опремени со мултимедијална опрема. За таа цел, потребните податоци може да се подготват на табла или во форма на табели и постери.

За време на часовите

I. Организациски момент, изјава за проблемот.

поздрав.

Темата на денешниот час е аритметичка прогресија. Во оваа лекција ќе научиме што е аритметичка прогресија, каква општа форма има, ќе дознаеме како да разликуваме аритметичка прогресија од другите низи и да решаваме проблеми што ги користат својствата на аритметичките прогресии.

II. Ажурирање на знаењата, усна работа.

Низата () е дадена со формулата: =. Кој број има членот на оваа низа ако е 144? 225? 100? Дали броевите се 48 членови на оваа низа? 49? 168?

Познато е за низата () дека, . Како се нарекува овој метод на одредување низа? Најдете ги првите четири члена од оваа низа.

За низата () се знае дека . Како се нарекува овој метод на одредување низа? Најдете дали?

III. Учење нов материјал.

Прогресијата е низа од количини, од кои секоја следна е во одредена зависност од претходната, заедничка за целата прогресија. Терминот сега е во голема мера застарен и се наоѓа само во комбинации на „аритметичка прогресија“ и „геометриска прогресија“.

Терминот „прогресија“ е од латинско потекло (прогресија, што значи „се движи напред“) и е воведен од римскиот автор Боетиус (6 век). Во математиката, овој термин претходно се користел за да се однесува на која било низа од броеви конструирана според закон што дозволува оваа низа да се продолжува бесконечно во една насока. Во моментов, терминот „прогресија“ не се користи во неговата првична широка смисла. Два важни посебни типа на прогресии - аритметички и геометриски - ги задржаа своите имиња.

Размислете за низите на броеви:

2, 6, 10, 14, 18, :.
11, 8, 5, 2, -1, :.
5, 5, 5, 5, 5, :.

Кој е третиот член од првата низа? Следен член? Претходен член? Која е разликата помеѓу вториот и првиот термин? Третиот и вториот член? Четврто и трето?

Ако низата е изградена според истиот закон, заклучи која ќе биде разликата помеѓу шестиот и петтиот член од првата низа? Помеѓу седум и шест?

Наведете ги следните два члена од секоја низа. Зошто мислиш така?

(Одговори на студентите)

Што заеднички имотимаат ли овие секвенци? Наведете го овој имот.

(Одговори на студентите)

Секвенци на броевикои го имаат ова својство се нарекуваат аритметички прогресии. Поканете ги учениците сами да се обидат да ја формулираат дефиницијата.

Дефиниција за аритметичка прогресија: аритметичка прогресија е низа во која секој член, почнувајќи од вториот, е еднаков на претходниот додаден на истиот број:

( - аритметичка прогресија, ако , каде е некој број.

Број г, покажувајќи колку следниот член на низата се разликува од претходниот, се нарекува прогресивна разлика: .

Ајде повторно да ги погледнеме секвенците и да разговараме за разликите. Какви карактеристики има секоја низа и со што се поврзани?

Ако разликата во аритметичката прогресија е позитивна, тогаш прогресијата се зголемува: 2, 6, 10, 14, 18, :. (

Ако во аритметичка прогресија разликата е негативна ( , тогаш прогресијата се намалува: 11, 8, 5, 2, -1, :. (

Ако разликата е нула () и сите членови на прогресијата се еднакви на ист број, низата се нарекува стационарна: 5, 5, 5, 5, :.

Како да поставите аритметичка прогресија? Да го разгледаме следниот проблем.

Задача. Во магацинот на 1. имало 50 тони јаглен. Секој ден еден месец во магацинот пристигнува камион со 3 тони јаглен. Колку јаглен ќе има во магацинот на 30-ти, доколку за ова време не се потрошил јаглен од складот.

Ако ја запишеме количината на јаглен во складирање за секој број, добиваме аритметичка прогресија. Како да се реши овој проблем? Дали навистина треба да ја пресметате количината на јаглен на секој ден од месецот? Дали е можно некако да се направи без ова? Напоменуваме дека до 30-ти во магацинот ќе пристигнат 29 автомобили со јаглен. Така, на 30-ти ќе има 50 + 329 = 137 тони јаглен во магацинот.

Така, знаејќи го само првиот член на аритметичката прогресија и разликата, можеме да најдеме кој било член од низата. Дали е ова секогаш случај?

Ајде да анализираме како секој член од низата зависи од првиот член и разликата:

Така, ја добивме формулата за n-ти член од аритметичката прогресија.

Пример 1. Низата () е аритметичка прогресија. Најдете дали и.

Да ја користиме формулата за n-тиот член ,

Одговор: 260.

Размислете за следниот проблем:

Во аритметичката прогресија беа избришани парните поими: 3, :, 7, :, 13: Дали е можно да се вратат изгубените броеви?

Учениците најверојатно прво ќе ја пресметаат разликата во прогресијата, а потоа ќе ги најдат непознатите термини на прогресијата. Потоа можете да побарате од нив да ја најдат врската помеѓу непознатиот член на низата, претходниот и следниот.

Решение:Да го искористиме фактот дека во аритметичка прогресија разликата помеѓу соседните членови е константна. Нека е саканиот член на низата. Потоа

Коментар. Овој имотаритметичката прогресија е нејзино карактеристично својство. Ова значи дека во која било аритметичка прогресија секој член, почнувајќи од вториот, е еднаков на аритметичката средина на претходните и следните ( . И, обратно, секоја низа во која секој член, почнувајќи од вториот, е еднаков на аритметичката средина на претходните и следните е аритметичка прогресија.

IV. Примарна консолидација.

бр.575 аб - орално
бр.576 авд - усно
бр.577б - самостојно со верификација

Низата (е аритметичка прогресија. Најдете дали и

Да ја користиме формулата за n-ти член,

Одговор: -24.2.

Најдете ги 23-тиот и n-тиот член од аритметичката прогресија -8; -6,5; :

Решение:Првиот член на аритметичката прогресија е -8. Да ја најдеме разликата на аритметичката прогресија за да го направиме ова, треба да го одземеме претходниот од следниот член на низата: -6,5-(-8) = 1,5;

Да ја користиме формулата за n-тиот член.

Час и презентација на тема: „Бројни низи. Аритметичка прогресија“

Дополнителни материјали
Почитувани корисници, не заборавајте да ги оставите вашите коментари, критики, желби! Сите материјали се проверени со антивирусна програма.

Едукативни помагала во онлајн продавницата „Интеграл“ за учебници за 9-то одделение
Макаричева Ју.Н. Алимова Ш.А. Мордкович А.Г. Муравина Г.К.

Значи, што е аритметичка прогресија?

Нумеричка низа во која секој член, почнувајќи од вториот, еднаков на збиротпретходниот и некој фиксен број се нарекува аритметичка прогресија.

Аритметичка прогресија е рекурентно дефинирана нумеричка прогресија.

Да ја запишеме рекурентната форма: $a_(1)=a$; $a_(n)=a_(n-1)+d$, број d – разлика во прогресијата. a и d се одредени дадени броеви.

Пример. 1,4,7,10,13,16... Аритметичка прогресија со $a=1, d=3$.

Пример. 3,0,-3,-6,-9... Аритметичка прогресија со $a=3, d=-3$.

Пример. 5,5,5,5,5... Аритметичка прогресија со $a=5, d=0$.

Аритметичката прогресија има својства на монотоност: ако разликата на прогресијата е поголема од нула, тогаш низата се зголемува, ако разликата на прогресијата е помала од нула, тогаш низата се намалува.

Ако аритметичката прогресија има конечен број елементи, тогаш прогресијата се нарекува конечна аритметичка прогресија.

Ако е дадена низа $a_(n)$ и таа е аритметичка прогресија, тогаш вообичаено е да се означи: $a_(1), a_(2), …, a_(n), …$.

Формула за n-ти член на аритметичка прогресија

Аритметичката прогресија може да се специфицира и во аналитичка форма. Ајде да видиме како да го направиме ова:
$a_(1)=a_(1)$.
$a_(2)=a_(1)+d$.
$a_(3)=a_(2)+d=a_(1)+d+d=a_(1)+2d$.
$a_(4)=a_(3)+d=a_(1)+3d$.
$a_(5)=a_(4)+d=a_(1)+4d$.
Лесно ја забележуваме шемата: $a_(n)=a_(1)+(n-1)d$.
Нашата формула се нарекува формула на n-тиот член на аритметичка прогресија.

Да се вратиме на нашите примери и да ја запишеме нашата формула за секој пример.

Пример. 1,4,7,10,13,16... Аритметичка прогресија, во која a=1, d=3. $a_(n)=1+(n-1)3=3n-2$.

Пример. 3,0,-3,-6,-9... Аритметичка прогресија, за која a=3, d=-3. $a_(n)=3+(n-1)(-3)=-3n+6$.

Пример. Дадена е аритметичка прогресија: $a_(1), a_(2), …, a_(n), …$.
а) Познато е дека $a_(1)=5$, $d=3$. Најдете $a_(23)$.
б) Познато е дека $a_(1)=4$, $d=5$, $a_(n)=109$. Најдете n.
в) Познато е дека $d=-1$, $a_(22)=15$. Најдете $a_(1)$.
г) Познато е дека $a_(1)=-3$, $a_(10)=24$. Најдете г.
Решение.
а) $a_(23)=a_(1)+22d=5+66=71$.
б) $a_(n)=a_(1)+(n-1)d=4+5(n-1)=5n-1=109$.
$5n=110=>n=22$.
в) $a_(22)=a_(1)+21d=a_(1)-21=15=> a_()1=36$.
г) $a_(10)=a_(1)+9d=-3+9d=24=>d=3$.

Пример. При делење на деветтиот член на аритметичка прогресија со вториот член, количникот останува 7, а кога се дели деветтиот член со петтиот, количникот е 2, а остатокот е 5. Најдете го триесеттиот член од прогресијата.
Решение.
Дозволете ни да ги напишеме последователно формулите 2,5 и 9 членови на нашата прогресија.
$a_(2)=a_(1)+d$.
$a_(5)=a_(1)+4d$.
$a_(9)=a_(1)+8d$.
Знаеме и од состојбата:
$a_(9)=7a_(2)$.
$a_(9)=2a_(5)+5$.
Или:
$a_(1)+8d=7(a_(1)+d)$.
$a_(1)+8d=2(a_(1)+4d)+5$.
Ајде да создадеме систем на равенки:
$\begin(случаи)a_(1)+8d=7(a_(1)+d)\\a_(1)+8d=2(a_(1)+4d)+5\end (случаи)$.
$\begin(случаи)d=6a_(1)\\d=a_(1)+5\end (случаи)$.
Откако ќе го решиме системот добиваме: $d=6, a_(1)=1$.
Ајде да најдеме $a_(30)$.
$a_(30)=a_(1)+29d=175$.

Збир на конечна аритметичка прогресија

Дозволете ни да имаме конечна аритметичка прогресија. Се поставува прашањето: дали е можно да се пресмета збирот на сите негови членови?
Ајде да се обидеме да го разбереме ова прашање.
Нека е дадена конечна аритметичка прогресија: $a_(1),a_(2),…a_(n-1),a_(n)$.
Да ја воведеме ознаката за збирот на нејзините поими: $S_(n)=a_(1)+a_(2)+⋯+a_(n-1)+a_(n)$.
Ајде да погледнеме во конкретен пример, колкава е сумата?

Да ни биде дадена аритметичката прогресија 1,2,3,4,5...100.
Потоа да го претставиме збирот на неговите членови вака:
$S_(n)=1+2+3+4+⋯+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+⋯+(50+51)=$
$=101+101+⋯+101=50*101=5050$.
Но, слична формула е применлива за секоја аритметичка прогресија:
$a_(3)+a_(n-2)=a_(2)+a_(n-1)=a_(1)+a_(n)$.
Ајде да ја запишеме нашата формула општ случај: $a_(k)+a_(n-k+1)=a_(1)+a_(n)$, каде што $k<1$.
Ајде да изведеме формула за пресметување на збирот на членовите на аритметичка прогресија, напишете ја формулата двапати по различен редослед:
$S_(n)=a_(1)+a_(2)+⋯+a_(n-1)+a_(n)$.
$S_(n)=a_(n)+a_(n-1)+⋯+a_(2)+a_(1)$.
Ајде да ги додадеме овие формули заедно:
$2S_(n)=(a_(1)+a_(n))+(a_(2)+a_(n-1))+⋯+(a_(n-1)+a_(2))+(a_ (n)+a_(1))$.
Има n члена на десната страна на нашата еднаквост и знаеме дека секој од нив е еднаков на $a_(1)+a_(n)$.
Потоа:
$S_(n)=\frac(n(a_(1)+a_(n)))(2)$.
Нашата формула може да се препише и во форма: бидејќи $a_(n)=a_(1)+(n-1)d$,
тогаш $S_(n)=\frac(2a_(1)+d(n-1))(2)*n$.
Најчесто е попогодно да се користи оваа конкретна формула, па затоа е добро да ја запомните!

Пример. Дадена е конечна аритметичка прогресија.
Најдете:
а) $s_(22), ако a_(1)=7, d=2$.
б) г, ако $a_(1)=9$, $s_(8)=144$.
Решение.
а) Да ја користиме втората формула за сума $S_(22)=\frac(2a_(1)+d(22-1))(2)*22=\frac(14+2(22-1))(2) *22 = 616 долари.
б) Во овој пример, ќе ја користиме првата формула: $S_(8)=\frac(8(a_(1)+a_(1)))(2)=4a_(1)+4a_(8)$.
$144=36+4a_(8)$.
$a_(8)=27$.
$a_(8)=a_(1)+7d=9+7d$.
$d=2\frac(4)(7)$.

Пример. Најдете го збирот на сите непарни двоцифрени броеви.
Решение.
Условите на нашата прогресија се: $a_(1)=11$, $a_(2)=13$, …, $a_(n)=99$.
Да го најдеме бројот на последниот член на прогресијата:
$a_(n)=a_(1)+d(n-1)$.
$99=11+2(n-1)$.
$n=45$.
Сега ајде да ја најдеме сумата: $S_(45)=\frac(45(11+99))(2)=2475$.

Пример. Момците отидоа на планинарење. Познато е дека во првиот час пешачеле 500 м, по што почнале да пешачат 25 метри помалку отколку во првиот час. Колку часа ќе им требаат да поминат 2975 метри?
Решение.
Патеката помината во секој час може да се претстави како аритметичка прогресија:
$a_(1)=500$, $a_(2)=475$, $a_(3)=450…$.
Разликата на аритметичката прогресија е $d=-25$.
Растојанието поминато во 2975 метри е збир на членовите на една аритметичка прогресија.
$S_(n)=2975$, каде n се часовите поминати на патувањето.
Потоа:
$S_(n)=\frac(1000-25(n-1))(2)$, $n=2975$.
$1000n-25(n-1)n=5950$.
Поделете ги двете страни со 25.
$40n-(n-1)n=$238.
$n^2-41n+238=0$.
$n_(1)=7$, $n_(2)=34$.
Очигледно, пологично е да се избере $n=7$.
Одговори. Момците беа на пат 7 часа.

Карактеристично својство на аритметичка прогресија

Момци, со оглед на аритметичката прогресија, да разгледаме произволни три последователни члена на прогресијата: $a_(n-1)$, $a_(n)$, $a_(n+1)$.
Знаеме дека:
$a_(n-1)=a_(n)-d$.
$a_(n+1)=a_(n)+d$.
Ајде да ги собереме нашите изрази:
$a_(n-1)+a_(n+1)=2a_(n)$.
$a_(n)=\frac(a_(n-1)+a_(n+1))(2)$.

Ако прогресијата е конечна, тогаш оваа еднаквост важи за сите членови освен првиот и последниот.
Ако однапред не се знае каква форма има низата, но се знае дека: $a_(n)=\frac(a_(n-1)+a_(n+1))(2)$.
Тогаш можеме безбедно да кажеме дека ова е аритметичка прогресија.

Нумеричка низа е аритметичка прогресија кога секој член од оваа прогресија е еднаков на аритметичката средина на два соседни членови на нашата прогресија (не заборавајте дека за конечна прогресија овој услов не е задоволен за првиот и последниот член на прогресијата) .

Пример. Најдете x така што $3x+2$; $ x-1 $; $4x+3$ – три последователни члена на аритметичка прогресија.
Решение. Ајде да ја користиме нашата формула:
$x-1=\frac(3x+2+4x+3)(2)$.
$2x-2=7x+5$.
$-5x=7$.
$x=-1\frac(2)(5)=-1,4$.
Ајде да провериме, нашите изрази ќе ја добијат формата: -2,2; -2,4; -2,6.
Очигледно, ова се термини на аритметичка прогресија и $d=-0,2$.

Проблеми кои треба да се решаваат самостојно

1. Најдете го дваесет и првиот член од аритметичката прогресија 38;30;22…
2. Најди го петнаесеттиот член од аритметичката прогресија 10,21,32...
3. Познато е дека $a_(1)=7$, $d=8$. Најдете $a_(31)$.
4. Познато е дека $a_(1)=8$, $d=-2$, $a_(n)=-54$. Најдете n.
5. Најдете го збирот на првите седумнаесет члена од аритметичката прогресија 3;12;21….
6. Најдете x така што $2x-1$; $3x+1$; $5x-7$ – три последователни члена на аритметичка прогресија.

На пример, низата $2$; $5$; $8$; $единаесет$; $14$... е аритметичка прогресија, бидејќи секој следен елемент се разликува од претходниот по три (може да се добие од претходниот со додавање три):

Во оваа прогресија, разликата $d$ е позитивна (еднаква на $3$), и затоа секој следен член е поголем од претходниот. Ваквите прогресии се нарекуваат се зголемува.

Сепак, $d$ може да биде и негативен број. На пример, во аритметичка прогресија $16$; $10$; $4$; $-2$; $-8$... разликата во прогресијата $d$ е еднаква на минус шест.

И во овој случај, секој следен елемент ќе биде помал од претходниот. Овие прогресии се нарекуваат се намалува.

Нотација на аритметичка прогресија

Напредокот е означен со мала латиница.

Броевите што формираат прогресија се нарекуваат членови(или елементи).

Тие се означуваат со иста буква како аритметичка прогресија, но со нумерички индекс еднаков на бројот на елементот по ред.

На пример, аритметичката прогресија $a_n = \лево\( 2; 5; 8; 11; 14…\десно$\) се состои од елементите $a_1=2$; $a_2=5$; $a_3=8$ и така натаму.

Со други зборови, за прогресијата $a_n = \лево\(2; 5; 8; 11; 14…\десно$\)

Решавање проблеми со аритметичка прогресија

Во принцип, информациите презентирани погоре се веќе доволни за да се реши речиси секој проблем со аритметичка прогресија (вклучувајќи ги и оние понудени во OGE).

Пример (OGE). Аритметичката прогресија е специфицирана со условите $b_1=7; d=4$. Најдете $b_5$.
Решение:

Одговор: $b_5=23$

Пример (OGE). Дадени се првите три члена на аритметичка прогресија: $62; 49; 36…$ Најдете ја вредноста на првиот негативен член од оваа прогресија..
Решение:

	Ни се дадени првите елементи од низата и знаеме дека тоа е аритметичка прогресија. Односно, секој елемент се разликува од својот сосед со ист број. Ајде да дознаеме кој со одземање на претходниот од следниот елемент: $d=49-62=-13$.
	Сега можеме да ја вратиме нашата прогресија до (првиот негативен) елемент што ни треба.
	Подготвени. Можете да напишете одговор.

Одговор: $-3$

Пример (OGE). Дадени се неколку последователни елементи на аритметичка прогресија: $…5; x; 10; 12,5...$ Најдете ја вредноста на елементот означен со буквата $x$.
Решение:

	За да го пронајдеме $x$, треба да знаеме колку следниот елемент се разликува од претходниот, со други зборови, разликата во прогресијата. Да го најдеме од два познати соседни елементи: $d=12,5-10=2,5$.
	И сега лесно можеме да го најдеме она што го бараме: $x=5+2,5=7,5$.
	Подготвени. Можете да напишете одговор.

Одговор: $7,5$.

Пример (OGE). Аритметичката прогресија е дефинирана со следните услови: $a_1=-11$; $a_(n+1)=a_n+5$ Најдете го збирот на првите шест членови од оваа прогресија.
Решение:

Треба да го најдеме збирот на првите шест члена од прогресијата. Но, не ги знаеме нивните значења, ни е даден само првиот елемент. Затоа, прво ги пресметуваме вредностите една по една, користејќи го она што ни е дадено:

$n=1$; $a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6$
$n=2$; $a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1$
$n=3$; $a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4$
И откако ги пресметавме шесте елементи што ни се потребни, го наоѓаме нивниот збир.

$S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=$
$=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9$

Пронајдена е потребната сума.

Одговор: $S_6=9$.

Пример (OGE). Во аритметичка прогресија $a_(12)=23$; $a_(16)=51$. Најдете ја разликата на оваа прогресија.
Решение:

Одговор: $d=7$.

Важни формули за аритметичка прогресија

Како што можете да видите, многу проблеми за аритметичката прогресија можат да се решат едноставно со разбирање на главната работа - дека аритметичката прогресија е синџир од броеви, а секој следен елемент во овој синџир се добива со додавање на истиот број на претходниот (на разлика на прогресијата).

Сепак, понекогаш има ситуации кога одлучувањето „главно“ е многу незгодно. На пример, замислете дека во првиот пример не треба да го најдеме петтиот елемент $b_5$, туку триста осумдесет и шестиот $b_(386)$. Дали треба да додадеме четири $385$ пати? Или замислете дека во претпоследниот пример треба да го најдете збирот на првите седумдесет и три елементи. Ќе ви здосади да броите...

Затоа, во такви случаи тие не ги решаваат работите „главно“, туку користат специјални формули изведени за аритметичка прогресија. А главните се формулата за n-тиот член на прогресијата и формулата за збир на $n$ првите членови.

Формула на $n$тиот член: $a_n=a_1+(n-1)d$, каде што $a_1$ е првиот член од прогресијата;
$n$ – број на потребниот елемент;
$a_n$ – член на прогресијата со број $n$.

Оваа формула ни овозможува брзо да го најдеме дури тристатиот или милионитиот елемент, знаејќи го само првиот и разликата во прогресијата.

Пример. Аритметичката прогресија е специфицирана со условите: $b_1=-159$; $d=8,2$. Најдете $b_(246)$.
Решение:

Одговор: $b_(246)=1850$.

Формула за збир на првите n членови: $S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n$, каде

$a_n$ – последниот сумиран член;

Пример (OGE). Аритметичката прогресија е специфицирана со условите $a_n=3,4n-0,6$. Најдете го збирот на првите $25$ членови од оваа прогресија.
Решение:

$S_(25)=$$\frac(a_1+a_(25))(2 )$ $\cdot 25$		За да го пресметаме збирот на првите дваесет и пет члена, треба да ја знаеме вредноста на првиот и дваесет и петтиот член. Нашата прогресија е дадена со формулата на n-тиот член во зависност од неговиот број (за повеќе детали, видете). Ајде да го пресметаме првиот елемент со замена на еден за $n$.
$n=1;$ $a_1=3,4·1-0,6=2,8$		Сега да го најдеме дваесет и петтиот член со замена на дваесет и пет наместо $n$.
$n=25;$ $a_(25)=3,4·25-0,6=84,4$		Па, сега можеме лесно да ја пресметаме потребната сума.
$S_(25)=$$\frac(a_1+a_(25))(2)$ $\cdot 25=$ $=$ $\frac(2.8+84.4)(2)$ $\cdot 25 =$$1090$		Одговорот е подготвен.

Одговор: $S_(25)=1090$.

За збирот $n$ од првите членови, можете да добиете друга формула: само треба да $S_(25)=$$\frac(a_1+a_(25))(2)$ \ (\cdot 25\ ) наместо $a_n$ заменете ја формулата за него $a_n=a_1+(n-1)d$. Добиваме:

Формула за збир од првите n членови: $S_n=$$\frac(2a_1+(n-1)d)(2)$ $\cdot n$, каде

$S_n$ – потребната сума од $n$ првите елементи;
$a_1$ – првиот сумиран член;
$d$ – разлика во прогресијата;
$n$ – број на елементи вкупно.

Пример. Најдете го збирот на првите $33$-ex членови на аритметичката прогресија: $17$; $15,5$; $14$…
Решение:

Одговор: $S_(33)=-231$.

Покомплексни проблеми со аритметичка прогресија

Сега ги имате сите информации што ви се потребни за да го решите речиси секој проблем со аритметичката прогресија. Ајде да ја завршиме темата со разгледување на проблеми во кои не само што треба да примените формули, туку и да размислите малку (во математиката ова може да биде корисно ☺)

Пример (OGE). Најдете го збирот на сите негативни членови на прогресијата: $-19,3$; $-19$; $-18,7$…
Решение:

$S_n=$$\frac(2a_1+(n-1)d)(2)$ $\cdot n$		Задачата е многу слична на претходната. Почнуваме да го решаваме истото: прво го наоѓаме $d$.
$d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3$		Сега би сакал да го заменам $d$ во формулата за збирот... и тука се појавува мала нијанса - не знаеме $n$. Со други зборови, не знаеме колку термини ќе треба да се додадат. Како да дознаете? Ајде да размислиме. Ќе престанеме да додаваме елементи кога ќе го достигнеме првиот позитивен елемент. Тоа е, треба да го дознаете бројот на овој елемент. Како? Да ја запишеме формулата за пресметување на кој било елемент на аритметичка прогресија: $a_n=a_1+(n-1)d$ за нашиот случај.
$a_n=a_1+(n-1)d$
$a_n=-19,3+(n-1)·0,3$		Ни треба $a_n$ да стане поголемо од нула. Ајде да дознаеме на што $n$ ќе се случи ова.
$-19,3+(n-1)·0,3>0$
$(n-1)·0,3>19,3$ $\|: 0,3$		Ние ги делиме двете страни на неравенката со $0,3$.
$n-1>$$\frac(19.3)(0.3)$		Пренесуваме минус еден, не заборавајќи да ги смениме знаците
$n>$$\frac(19.3)(0.3)$ $+1$		Ајде да пресметаме...
$n>65.333…$		...и излегува дека првиот позитивен елемент ќе го има бројот $66$. Според тоа, последниот негативен има $n=65$. За секој случај, ајде да го провериме ова.
$n=65;$ $a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1$ $n=66;$ $a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2$		Значи, треба да ги додадеме првите $65$ елементи.
$S_(65)=$ $\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)$$\cdot 65$ $S_(65)=$$(-38,6+19,2)(2)$$\cdot 65=-630,5$		Одговорот е подготвен.

Одговор: $S_(65)=-630,5$.

Пример (OGE). Аритметичката прогресија е специфицирана со условите: $a_1=-33$; $a_(n+1)=a_n+4$. Пронајдете го збирот од $26$-тиот до елементот $42$ вклучувајќи го.
Решение:

$a_1=-33;$ $a_(n+1)=a_n+4$	Во овој проблем, исто така, треба да го пронајдете збирот на елементи, но почнувајќи не од првиот, туку од $26$-тиот. За таков случај немаме формула. Како да се одлучи? Лесно е - за да го добиете збирот од $26$-то до $42$-то, прво мора да го најдете збирот од $1$-то до $42$-то, а потоа да го одземете од него збирот од првиот до $25$ти (види слика).
	За нашата прогресија $a_1=-33$, и разликата $d=4$ (на крајот на краиштата, ги додаваме четирите на претходниот елемент за да го најдеме следниот). Знаејќи го ова, го наоѓаме збирот на првите $42$-y елементи.
$S_(42)=$ $\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)$$\cdot 42=$ $=$$\frac(-66+164)(2)$ $\cdot 42=2058$	Сега збирот на првите $25$ елементи.
$S_(25)=$ $\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)$$\cточка 25=$ $=$$\frac(-66+96)(2)$ $\cdot 25=375$	И, конечно, го пресметуваме одговорот.
$S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683$

Одговор: $S=1683$.

За аритметичка прогресија, има уште неколку формули кои не ги разгледавме во оваа статија поради нивната мала практична корисност. Сепак, можете лесно да ги најдете.

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		За да го пресметаме збирот на првите дваесет и пет члена, треба да ја знаеме вредноста на првиот и дваесет и петтиот член. Нашата прогресија е дадена со формулата на n-тиот член во зависност од неговиот број (за повеќе детали, видете). Ајде да го пресметаме првиот елемент со замена на еден за \(n\).
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Сега да го најдеме дваесет и петтиот член со замена на дваесет и пет наместо \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		Па, сега можеме лесно да ја пресметаме потребната сума.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Одговорот е подготвен.

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Задачата е многу слична на претходната. Почнуваме да го решаваме истото: прво го наоѓаме \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Сега би сакал да го заменам \(d\) во формулата за збирот... и тука се појавува мала нијанса - не знаеме \(n\). Со други зборови, не знаеме колку термини ќе треба да се додадат. Како да дознаете? Ајде да размислиме. Ќе престанеме да додаваме елементи кога ќе го достигнеме првиот позитивен елемент. Тоа е, треба да го дознаете бројот на овој елемент. Како? Да ја запишеме формулата за пресметување на кој било елемент на аритметичка прогресија: \(a_n=a_1+(n-1)d\) за нашиот случај.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Ни треба \(a_n\) да стане поголемо од нула. Ајде да дознаеме на што \(n\) ќе се случи ова.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(\|: 0,3\)		Ние ги делиме двете страни на неравенката со \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Пренесуваме минус еден, не заборавајќи да ги смениме знаците
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		Ајде да пресметаме...
\(n>65.333…\)		...и излегува дека првиот позитивен елемент ќе го има бројот \(66\). Според тоа, последниот негативен има \(n=65\). За секој случај, ајде да го провериме ова.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Значи, треба да ги додадеме првите \(65\) елементи.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Одговорот е подготвен.

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Во овој проблем, исто така, треба да го пронајдете збирот на елементи, но почнувајќи не од првиот, туку од \(26\)-тиот. За таков случај немаме формула. Како да се одлучи? Лесно е - за да го добиете збирот од \(26\)-то до \(42\)-то, прво мора да го најдете збирот од \(1\)-то до \(42\)-то, а потоа да го одземете од него збирот од првиот до \(25\)ти (види слика).
	За нашата прогресија \(a_1=-33\), и разликата \(d=4\) (на крајот на краиштата, ги додаваме четирите на претходниот елемент за да го најдеме следниот). Знаејќи го ова, го наоѓаме збирот на првите \(42\)-y елементи.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Сега збирот на првите \(25\) елементи.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cточка 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	И, конечно, го пресметуваме одговорот.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Ан е аритметика. Збир на аритметичка прогресија

Редоследот на броеви

Својство на аритметичка прогресија

Обука

Ајде да го сумираме

АРИТМЕТИЧКА ПРОГРЕСИЈА. ПРОСЕЧНО НИВО

Редоследот на броеви

n-ти термин формула

АРИТМЕТИЧКА ПРОГРЕСИЈА. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНИТЕ РАБОТИ

Формула за наоѓање на n-ти член на аритметичка прогресија

Својство на членовите на аритметичка прогресија

Збир на членови на аритметичка прогресија

Збир на аритметичка прогресија.

Примери на задачи за збир на аритметичка прогресија.

Доколку ви се допаѓа оваа страница...