Формулата за n-ти член на геометриска прогресија е многу едноставна. И по значење и во општ изглед. Но, има секакви проблеми на формулата на n-тиот член - од многу примитивни до доста сериозни. И во процесот на нашето запознавање, дефинитивно ќе ги разгледаме и двете. Па, ајде да се запознаеме?)
Значи, за почеток, всушност формулаn
Еве ја таа:
b n = б 1 · qn -1
Формулата е само формула, ништо натприродно. Изгледа уште поедноставно и покомпактно од слична формула за. Значењето на формулата е исто така едноставно како филц чизми.
Оваа формула ви овозможува да пронајдете СЕКОЈ член на геометриска прогресија ПО НЕГОВИОТ БРОЈ " n".
Како што можете да видите, значењето е целосна аналогија со аритметичка прогресија. Го знаеме бројот n - можеме да го броиме и терминот под овој број. Која сакаме. Без повеќекратно множење со „q“ многу, многу пати. Тоа е целата поента.)
Разбирам дека на ова ниво на работа со прогресии, сите количини вклучени во формулата веќе треба да ви бидат јасни, но сепак сметам дека е моја должност да ја дешифрирам секоја од нив. За секој случај.
Значи, еве одиме:
б 1 – прворок на геометриска прогресија;
q – ;
n– членски број;
b n – n-ти (nти)термин на геометриска прогресија.
Оваа формула ги поврзува четирите главни параметри на која било геометриска прогресија - бn, б 1 , qИ n. И сите проблеми со прогресијата се вртат околу овие четири клучни фигури.
„Како се отстранува?– Слушам едно љубопитно прашање... Основно! Погледнете!
Што е еднакво на второчлен на прогресијата? Нема проблем! Ние директно пишуваме:
b 2 = b 1 ·q
Што е со третиот член? Ниту проблем! Го множиме вториот член уште еднаш наq.
Како ова:
B 3 = b 2 q
Сега да се потсетиме дека вториот член, пак, е еднаков на b 1 ·q и да го замениме овој израз со нашата еднаквост:
B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2
Добиваме:
Б 3 = b 1 ·q 2
Сега да го прочитаме нашиот запис на руски: треточлен е еднаков на првиот член помножен со q во второстепени. Дали го добивате? Не сеуште? Добро, уште еден чекор.
Кој е четвртиот мандат? Се исто! Множете се претходно(т.е. третиот член) на q:
B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3
Вкупно:
Б 4 = b 1 ·q 3
И повторно преведуваме на руски: четвртичлен е еднаков на првиот член помножен со q во третостепени.
И така натаму. Па како е тоа? Дали ја фативте шемата? Да! За секој член со кој било број, бројот на идентични фактори q (т.е. степенот на именителот) секогаш ќе биде еден помалку од бројот на саканиот членn.
Затоа, нашата формула ќе биде, без опции:
b n =б 1 · qn -1
Тоа е се.)
Па, да ги решиме проблемите, претпоставувам?)
Решавање на проблеми со формулатаnти член на геометриска прогресија.
Да почнеме, како и обично, со директна примена на формулата. Еве еден типичен проблем:
Во геометриската прогресија се знае дека б 1 = 512 и q = -1/2. Најдете го десеттиот член од прогресијата.
Се разбира, овој проблем може да се реши без никакви формули. Директно во смисла на геометриска прогресија. Но, треба да се загрееме со формулата за n-ти член, нели? Еве ние се загреваме.
Нашите податоци за примена на формулата се како што следува.
Првиот член е познат. Ова е 512.
б 1 = 512.
Именителот на прогресијата е исто така познат: q = -1/2.
Останува само да се открие колкав е бројот на членот n. Нема проблем! Дали нè интересира десеттиот мандат? Значи, заменуваме десет наместо n во општата формула.
И внимателно пресметајте ја аритметиката:
Одговор: -1
Како што можете да видите, десеттиот термин од прогресијата се покажа како минус. Ништо не изненадува: нашиот именител на прогресија е -1/2, т.е. негативенброј. И ова ни кажува дека знаците на нашата прогресија се менуваат, да.)
Сè е едноставно овде. Еве сличен проблем, но малку покомплициран во однос на пресметките.
Во геометриската прогресија, познато е дека:
б 1 = 3
Најдете го тринаесеттиот член од прогресијата.
Се е исто, само што овојпат именител на прогресијата е ирационален. Корен на два. Па, тоа е во ред. Формулата е универзална работа, може да се справи со какви било бројки.
Работиме директно според формулата:
Формулата, се разбира, функционираше како што треба, но... тука заглавуваат некои луѓе. Што да се прави следно со коренот? Како да се подигне корен до дванаесеттата сила?
Како-како... Мора да разберете дека секоја формула, се разбира, е добра работа, но познавањето на сите претходни математики не се откажува! Како да се изгради? Да, запомнете ги својствата на степените! Ајде да го претвориме коренот во фракционо степени – според формулата за подигање на степен до степен.
Како ова:
Одговор: 192
И тоа е сè.)
Која е главната тешкотија во директното применување на формулата на n-тиот член? Да! Главната тешкотија е работа со дипломи!Имено, подигање на негативни броеви, дропки, корени и слични конструкции на моќи. Затоа, оние кои имаат проблеми со ова, ве молиме повторете ги степените и нивните својства! Во спротивно, ќе ја успорите и оваа тема, да...)
Сега да ги решиме типичните проблеми со пребарувањето еден од елементите на формулата, ако се дадени сите други. За успешно решавање на ваквите проблеми, рецептот е униформен и ужасно едноставен - напишете ја формулатаn-ти член воопшто!Веднаш во тетратката до состојбата. И тогаш од состојбата дознаваме што ни е дадено, а што недостасува. И ја изразуваме саканата вредност од формулата. Сите!
На пример, таков безопасен проблем.
Петтиот член на геометриска прогресија со именител 3 е 567. Најдете го првиот член од оваа прогресија.
Ништо комплицирано. Работиме директно според магијата.
Да ја напишеме формулата за n-ти член!
b n = б 1 · qn -1
Што ни е дадено? Прво, даден е именителот на прогресијата: q = 3.
Покрај тоа, ние сме дадени петти член: б 5 = 567 .
Сите? Не! Добивме и број n! Ова е пет: n = 5.
Се надевам дека веќе разбравте што има на снимката б 5 = 567 два параметри се скриени одеднаш - ова е самиот петти термин (567) и неговиот број (5). Веќе зборував за ова во слична лекција, но мислам дека вреди да се спомене и овде.)
Сега ги заменуваме нашите податоци во формулата:
567 = б 1 ·3 5-1
Ја правиме аритметиката, поедноставуваме и добиваме едноставна линеарна равенка:
81 б 1 = 567
Решаваме и добиваме:
б 1 = 7
Како што можете да видите, нема проблеми со наоѓање на првиот термин. Но, кога се бара именителот qи бројки nМоже да има и изненадувања. И, исто така, треба да бидете подготвени за нив (изненадувања), да.)
На пример, овој проблем:
Петтиот член на геометриска прогресија со позитивен именител е 162, а првиот член од оваа прогресија е 2. Најдете го именителот на прогресијата.
Овој пат ни се дадени првиот и петтиот член и од нив се бара да го најдеме именителот на прогресијата. Еве одиме.
Ја пишуваме формулатаnти член!
b n = б 1 · qn -1
Нашите првични податоци ќе бидат како што следува:
б 5 = 162
б 1 = 2
n = 5
Недостасува вредност q. Нема проблем! Ајде да го најдеме сега.) Сè што знаеме го заменуваме во формулата.
Добиваме:
162 = 2q 5-1
2 q 4 = 162
q 4 = 81
Едноставна равенка од четврти степен. И сега - внимателно!Во оваа фаза од решението, многу студенти веднаш радосно го извлекуваат коренот (од четврти степен) и го добиваат одговорот q=3 .
Како ова:
q4 = 81
q = 3
Но, всушност, ова е недовршен одговор. Поточно нецелосно. Зошто? Поентата е дека одговорот q = -3 исто така погоден: (-3) 4 исто така ќе биде 81!
Тоа е затоа што равенката на моќта x n = асекогаш има два спротивни коренина дуриn . Со плус и минус:
И двете се погодни.
На пример, кога се одлучува (т.е. второстепени)
x 2 = 9
Поради некоја причина не сте изненадени од изгледот двакорени x=±3? Исто е и овде. И со било кој друг дуристепен (четврта, шеста, десетта, итн.) ќе биде ист. Деталите се во темата за
Затоа, правилното решение би било:
q 4 = 81
q= ±3
Добро, ги средивме знаците. Која е точна - плус или минус? Па, ајде повторно да ја прочитаме изјавата за проблемот во потрага по дополнителни информации.Се разбира, тоа може да не постои, но во овој проблем такви информации достапни.Нашиот услов во обичен текст наведува дека е дадена прогресија позитивен именител.
Затоа одговорот е очигледен:
q = 3
Сè е едноставно овде. Што мислите, што би се случило доколку изјавата за проблемот беше вака:
Петтиот член на геометриската прогресија е 162, а првиот член на оваа прогресија е 2. Најдете го именителот на прогресијата.
Што е разликата? Да! Во состојба Ништоне се споменува знакот на именителот. Ниту директно ниту индиректно. И тука проблемот веќе би имал две решенија!
q = 3 И q = -3
Да Да! И со плус и со минус.) Математички овој факт би значел дека има две прогресии, кои одговараат на условите на проблемот. И секој има свој именител. Само за забава, вежбајте и напишете ги првите пет термини од секој.)
Сега ајде да вежбаме да го најдеме бројот на членот. Овој проблем е најтежок, да. Но, исто така, покреативно.)
Дадена геометриска прогресија:
3; 6; 12; 24; …
Кој број во оваа прогресија е бројот 768?
Првиот чекор е сè уште ист: напишете ја формулатаnти член!
b n = б 1 · qn -1
И сега, како и обично, ги заменуваме податоците што ги знаеме во него. Хм... не работи! Каде е првиот член, каде е именителот, каде е се друго?!
Каде, каде... Зошто ни се потребни очи? Мавтање со трепките? Овој пат прогресијата ни е дадена директно во форма секвенци.Можеме ли да го видиме првиот член? Ние гледаме! Ова е тројно (б 1 = 3). Што е со именителот? Сè уште не го гледаме, но многу е лесно да се изброи. Ако, се разбира, разбирате ...
Значи сметаме. Директно според значењето на геометриската прогресија: земаме кој било од неговите поими (освен првиот) и го делиме со претходниот.
Барем вака:
q = 24/12 = 2
Што друго знаеме? Знаеме и некој член од оваа прогресија, еднаков на 768. Под некој број n:
b n = 768
Не го знаеме неговиот број, но наша задача е токму да го најдеме.) Затоа бараме. Веќе ги презедовме сите потребни податоци за замена во формулата. Не знаејќи за себе.)
Еве заменуваме:
768 = 3 2n -1
Ајде да ги направиме елементарните - да ги поделиме двете страни по три и да ја преработиме равенката во вообичаената форма: непознатото е лево, познатото е десно.
Добиваме:
2 n -1 = 256
Ова е интересна равенка. Треба да најдеме „n“. Што, необично? Да, не се расправам. Всушност, ова е наједноставната работа. Така се нарекува затоа што непознатото (во овој случај е бројот n) трошоци во индикаторстепени.
Во фазата на учење за геометриска прогресија (ова е деветто одделение), не те учат како да решаваш експоненцијални равенки, да... Ова е тема за средно училиште. Но, нема ништо страшно. Дури и ако не знаете како се решаваат ваквите равенки, ајде да се обидеме да ги најдеме нашите n, водени од едноставна логика и здрав разум.
Да почнеме да зборуваме. Лево имаме двојка до одреден степен. Сè уште не знаеме што точно е оваа диплома, но тоа не е страшно. Но, со сигурност знаеме дека овој степен е еднаков на 256! Па се сеќаваме до кој степен два ни дава 256. Се сеќаваш ли? Да! ВО осмистепени!
256 = 2 8
Ако не се сеќавате или имате проблеми со препознавањето на степените, тогаш и тоа е во ред: само последователно квадрат два, коцка, четврта, петта и така натаму. Селекцијата, всушност, но на ова ниво ќе функционира доста добро.
На еден или друг начин добиваме:
2 n -1 = 2 8
n-1 = 8
n = 9
Значи 768 е деветтичлен на нашата прогресија. Тоа е тоа, проблемот е решен.)
Одговор: 9
Што? Досадно? Уморни од елементарни работи? Се согласувам. И јас исто така. Ајде да преминеме на следното ниво.)
Покомплексни задачи.
Сега да решиме повеќе предизвикувачки проблеми. Не е баш супер кул, но оние за кои е потребна малку работа за да се дојде до одговорот.
На пример, оваа.
Најдете го вториот член на геометриската прогресија ако нејзиниот четврти член е -24, а седмиот член е 192.
Ова е класика на жанрот. Некои два различни термини на прогресијата се познати, но треба да се најде друг термин. Згора на тоа, сите членови НЕ се соседни. Што на почетокот е збунувачки, да...
Како и во, за да ги решиме ваквите проблеми ќе разгледаме два методи. Првиот метод е универзален. Алгебарски. Работи беспрекорно со кој било извор на податоци. Значи, тука ќе започнеме.)
Го опишуваме секој поим според формулата nти член!
Сè е сосема исто како и со аритметичка прогресија. Само овој пат работиме со другопшта формула. Тоа е сè.) Но суштината е иста: земаме и еден по еденНие ги заменуваме нашите првични податоци во формулата за n-тиот член. За секој член - свој.
За четвртиот мандат пишуваме:
б 4 = б 1 · q 3
-24 = б 1 · q 3
Јадете. Една равенка е подготвена.
За седмиот мандат пишуваме:
б 7 = б 1 · q 6
192 = б 1 · q 6
Севкупно, добивме две равенки за истата прогресија .
Ние составуваме систем од нив:
И покрај заканувачкиот изглед, системот е прилично едноставен. Најочигледното решение е едноставна замена. Изразуваме б 1 од горната равенка и заменете ја со долната:
Откако малку ќе се зафатиме со долната равенка (намалувајќи ги моќите и делиме со -24), добиваме:
q 3 = -8
Патем, до оваа иста равенка може да се дојде на поедноставен начин! Кое? Сега ќе ви покажам уште една тајна, но многу убав, моќен и корисен начин за решавање на вакви системи. Такви системи, чии равенки вклучуваат работи само.Барем во една. Се јави метод на поделбаедна равенка во друга.
Значи, имаме систем пред нас:
Во двете равенки лево - работа, а десно е само бројка. Ова е многу добар знак.) Да го земеме и... да ја поделиме, да речеме, долната равенка со горната! Што значи, ајде да поделиме една равенка со друга?Многу едноставно. Ајде да го земеме лева странаедна равенка (пониска) и поделинеа на лева странадруга равенка (горна). Десната страна е слична: десна странаедна равенка поделина десна странадруг.
Целиот процес на поделба изгледа вака:
Сега, намалувајќи го сè што може да се намали, добиваме:
q 3 = -8
Што е добро за овој метод? Да, затоа што во процесот на таква поделба сè што е лошо и незгодно може безбедно да се намали и да остане сосема безопасна равенка! Затоа е толку важно да се има само множењебарем во една од равенките на системот. Нема множење - нема што да се намали, да...
Општо земено, овој метод (како и многу други нетривијални методи за решавање системи) заслужува дури и посебна лекција. Дефинитивно ќе го разгледам подетално. Еден ден…
Сепак, не е важно како точно го решавате системот, во секој случај, сега треба да ја решиме добиената равенка:
q 3 = -8
Нема проблем: извадете го коренот на коцката и готови сте!
Ве молиме имајте предвид дека нема потреба да ставате плус/минус овде при извлекување. Нашиот корен е од непарен (трет) степен. И одговорот е исто така ист, да.)
Значи, именителот на прогресијата е пронајден. Минус два. Одлично! Процесот е во тек.)
За првиот член (да речеме, од горната равенка) добиваме:
Одлично! Го знаеме првиот член, го знаеме именителот. И сега имаме можност да најдеме кој било член на прогресијата. Вклучувајќи го и вториот.)
За вториот мандат сè е прилично едноставно:
б 2 = б 1 · q= 3·(-2) = -6
Одговор: -6
Значи, го разложивме алгебарскиот метод за решавање на проблемот. Тешко? Не навистина, се согласувам. Долго и досадно? Да дефинитивно. Но, понекогаш може значително да го намалите обемот на работа. За ова постои графички метод.Добро старо и познато за нас.)
Ајде да нацртаме проблем!
Да! Точно. Повторно ја прикажуваме нашата прогресија по бројната оска. Не е неопходно да се следи линијар, не е неопходно да се одржуваат еднакви интервали помеѓу поимите (кои, патем, нема да бидат исти, бидејќи прогресијата е геометриска!), туку едноставно шематскиАјде да ја нацртаме нашата низа.
Го добив вака:
Сега погледнете ја сликата и дознајте ја. Колку идентични фактори „q“ одвојуваат четвртиИ седмичленови? Така е, три!
Затоа, имаме целосно право да напишеме:
-24·q 3 = 192
Оттука сега е лесно да се најде q:
q 3 = -8
q = -2
Тоа е одлично, именителот веќе го имаме во џеб. Сега да ја погледнеме сликата повторно: колку такви именители седат помеѓу второИ четвртичленови? Две! Затоа, за да ја забележиме врската помеѓу овие поими, ќе го конструираме именителот на квадрат.
Така пишуваме:
б 2 · q 2 = -24 , каде б 2 = -24/ q 2
Го заменуваме нашиот пронајден именител во изразот за b 2, броиме и добиваме:
Одговор: -6
Како што можете да видите, сè е многу поедноставно и побрзо отколку преку системот. Покрај тоа, овде воопшто не ни требаше да го броиме првиот мандат! Воопшто.)
Еве еден толку едноставен и визуелен начин-светло. Но, има и сериозен недостаток. Дали погодивте? Да! Добро е само за многу кратки делови на прогресија. Оние каде што растојанијата меѓу членовите од нас не се многу големи. Но, во сите други случаи, веќе е тешко да се нацрта слика, да... Тогаш го решаваме проблемот аналитички, преку системот.) А системите се универзални работи. Тие можат да се справат со какви било броеви.
Уште еден епски предизвик:
Вториот член на геометриската прогресија е за 10 повеќе од првиот, а третиот член е за 30 повеќе од вториот. Најдете го именителот на прогресијата.
Што, кул? Воопшто не! Се исто. Повторно ја преведуваме изјавата за проблемот во чиста алгебра.
1) Го опишуваме секој поим според формулата nти член!
Втор член: b 2 = b 1 q
Трет член: b 3 = b 1 q 2
2) Врската помеѓу членовите ја запишуваме од изјавата за проблемот.
Го читаме условот: „Вториот член на геометриската прогресија е за 10 поголем од првиот.Стоп, ова е вредно!
Така пишуваме:
б 2 = б 1 +10
И ние ја преведуваме оваа фраза во чиста математика:
б 3 = б 2 +30
Добивме две равенки. Ајде да ги комбинираме во систем:
Системот изгледа едноставно. Но, има премногу различни индекси за буквите. Да ги замениме наместо вториот и третиот член нивните изрази преку првиот член и именителот! Залудно ли ги сликавме?
Добиваме:
Но, таков систем веќе не е подарок, да... Како да се реши ова? За жал, не постои универзална тајна магија за решавање на комплекси нелинеарниСистеми во математиката нема и не може да има. Тоа е фантастично! Но, првото нешто што треба да ви падне на ум кога се обидувате да скршите толку цврст орев е да сфатите Но, зарем една од равенките на системот не е сведена на убава форма која овозможува, на пример, лесно да се изрази една од променливите во однос на друга?
Ајде да го сфатиме. Првата равенка на системот е очигледно поедноставна од втората. Ќе го измачуваме.) Да не се обидуваме од првата равенка нештоизразат преку нешто?Бидејќи сакаме да го најдеме именителот q, тогаш најповолно би ни било да се изразиме б 1 преку q.
Значи, да се обидеме да ја направиме оваа постапка со првата равенка, користејќи ги старите добри:
b 1 q = b 1 +10
b 1 q – b 1 = 10
b 1 (q-1) = 10
Сите! Така се изразивме непотребнидајте ни ја променливата (b 1) преку неопходно(q). Да, тоа не е наједноставниот израз што го добивме. Некој вид на дропка... Но нашиот систем е на пристојно ниво, да.)
Типично. Знаеме што да правиме.
Пишуваме ОДЗ (Задолжително!) :
q ≠ 1
Ние множиме сè со именителот (q-1) и ги поништуваме сите дропки:
10 q 2 = 10 q + 30(q-1)
Сè делиме со десет, ги отвораме заградите и собираме сè од лево:
q 2 – 4 q + 3 = 0
Го решаваме резултатот и добиваме два корени:
q 1 = 1
q 2 = 3
Има само еден конечен одговор: q = 3 .
Одговор: 3
Како што можете да видите, патот до решавање на повеќето проблеми што ја вклучуваат формулата на n-тиот член на геометриската прогресија е секогаш ист: прочитајте внимателносостојба на задачата и користејќи ја формулата на n-тиот член ги преведуваме сите корисни информации во чиста алгебра.
Имено:
1) Ние го опишуваме одделно секој поим даден во задачата според формулатаnти член.
2) Од условите на задачата ја преведуваме врската меѓу членовите во математичка форма. Ние составуваме равенка или систем на равенки.
3) Ја решаваме добиената равенка или систем на равенки, ги наоѓаме непознатите параметри на прогресијата.
4) Во случај на двосмислен одговор, внимателно прочитајте ги условите на задачата во потрага по дополнителни информации (доколку ги има). Добиениот одговор го проверуваме и со условите на DL (доколку ги има).
Сега да ги наведеме главните проблеми што најчесто доведуваат до грешки во процесот на решавање на проблемите со геометриска прогресија.
1. Елементарна аритметика. Операции со дропки и негативни броеви.
2. Ако има проблеми со барем една од овие три точки, тогаш неизбежно ќе направите грешки во оваа тема. За жал... Затоа немојте да бидете мрзеливи и повторете го она што беше споменато погоре. И следете ги врските - одете. Понекогаш помага.)
Изменети и повторливи формули.
Сега да погледнеме неколку типични проблеми на испитот со помалку позната презентација на состојбата. Да, да, погодувате! Ова изменетаИ повторливиформули за n-ти член. Веќе наидовме на такви формули и работевме на аритметичка прогресија. Сè е слично овде. Суштината е иста.
На пример, овој проблем од OGE:
Геометриската прогресија е дадена со формулата b n = 3 2 n . Најдете го збирот на неговиот прв и четврти член.
Овој пат прогресијата не е сосема вообичаена за нас. Во форма на некаква формула. Па што? Оваа формула е исто така формулаnти член!Јас и ти знаеме дека формулата за n-тиот член може да се напише и во општа форма, со користење на букви и за специфична прогресија. СО специфиченпрв член и именител.
Во нашиот случај, всушност, ни е дадена општ термин формула за геометриска прогресија со следните параметри:
б 1 = 6
q = 2
Ајде да провериме?) Да ја запишеме формулата за n-тиот член во општа форма и да ја замениме со б 1 И q. Добиваме:
b n = б 1 · qn -1
b n= 6 2n -1
Ние го поедноставуваме користењето на факторизација и својствата на моќите и добиваме:
b n= 6 2n -1 = 3·2·2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n
Како што можете да видите, сè е фер. Но, нашата цел не е да го демонстрираме изведувањето на одредена формула. Ова е така, лирска дигресија. Чисто за разбирање.) Целта ни е да го решиме проблемот според формулата што ни е дадена во условот. Дали го разбирате?) Значи, ние работиме директно со изменетата формула.
Го броиме првиот термин. Ајде да замениме n=1 во општата формула:
б 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6
Како ова. Патем, нема да бидам мрзлив и уште еднаш да ви го привлечам вниманието на типична грешка со пресметката на првиот мандат. НЕ, гледајќи ја формулата b n= 3 2n, веднаш побрзајте да напишете дека првиот термин е тројка! Ова е голема грешка, да...)
Да продолжиме. Ајде да замениме n=4 и изброј го четвртиот член:
б 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48
И, конечно, ја пресметуваме потребната сума:
б 1 + б 4 = 6+48 = 54
Одговор: 54
Друг проблем.
Геометриската прогресија е специфицирана со условите:
б 1 = -7;
b n +1 = 3 b n
Најдете го четвртиот член од прогресијата.
Овде прогресијата е дадена со рекурентна формула. Па, во ред.) Како да работите со оваа формула – знаеме и ние.
Значи ние дејствуваме. Чекор по чекор.
1) Брои два последователничлен на прогресијата.
Првиот мандат веќе ни е даден. Минус седум. Но, следниот, втор член, може лесно да се пресмета со помош на формулата за повторување. Ако го разбирате принципот на неговото функционирање, се разбира.)
Значи го броиме вториот мандат според добро познатото прво:
б 2 = 3 б 1 = 3·(-7) = -21
2) Пресметај го именителот на прогресијата
Ниту еден проблем нема. Директно, ајде да се поделиме второкур на прво.
Добиваме:
q = -21/(-7) = 3
3) Напишете ја формулатаnти член во вообичаената форма и пресметај го бараниот член.
Значи, го знаеме првиот член, а исто така и именителот. Така пишуваме:
b n= -7·3n -1
б 4 = -7·3 3 = -7·27 = -189
Одговор: -189
Како што можете да видите, работата со такви формули за геометриска прогресија во суштина не се разликува од онаа за аритметичка прогресија. Важно е само да се разбере општата суштина и значењето на овие формули. Па, исто така треба да го разберете значењето на геометриската прогресија, да.) И тогаш нема да има глупави грешки.
Па, ајде да одлучиме сами?)
Многу основни задачи за загревање:
1. Дадена е геометриска прогресија во која б 1 = 243, а q = -2/3. Најдете го шестиот член од прогресијата.
2. Општиот член на геометриската прогресија е даден со формулата b n = 5∙2 n +1 . Најдете го бројот на последниот трицифрен член од оваа прогресија.
3. Геометриската прогресија е дадена со условите:
б 1 = -3;
b n +1 = 6 b n
Најдете го петтиот член од прогресијата.
Малку покомплицирано:
4. Дадена е геометриска прогресија:
б 1 =2048; q =-0,5
На што е еднаков шестиот негативен член?
Што изгледа супер тешко? Воопшто не. Логиката и разбирањето на значењето на геометриската прогресија ќе ве спасат. Па, формулата за n-ти член, се разбира.
5. Третиот член на геометриската прогресија е -14, а осмиот член е 112. Најдете го именителот на прогресијата.
6. Збирот на првиот и вториот член од геометриската прогресија е 75, а збирот на вториот и третиот член е 150. Најдете го шестиот член од прогресијата.
Одговори (во неред): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.
Тоа е речиси сè. Сè што треба да направиме е да научиме да броиме збирот на првите n членови на геометриската прогресијада откриј бескрајно намалена геометриска прогресијаи неговата количина. Патем, многу интересна и необична работа! Повеќе за ова во следните лекции.)
>>Математика: Геометриска прогресија
За погодност на читателот, овој став е конструиран токму според истиот план што го следевме во претходниот став.
1. Основни поими.
Дефиниција.Нумеричка низа, чии сите членови се различни од 0 и чиј секој член, почнувајќи од вториот, се добива од претходниот член со множење со истиот број, се нарекува геометриска прогресија. Во овој случај, бројот 5 се нарекува именител на геометриска прогресија.
Така, геометриска прогресија е нумеричка низа (b n) дефинирана повторливо со релациите
Дали е можно да се погледне низа од броеви и да се утврди дали е геометриска прогресија? Може. Ако сте убедени дека односот на кој било член од низата со претходниот член е константен, тогаш имате геометриска прогресија.
Пример 1.
1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.
Пример 2.
Ова е геометриска прогресија што има
Пример 3.
Ова е геометриска прогресија што има
Пример 4.
8, 8, 8, 8, 8, 8,....
Ова е геометриска прогресија во која b 1 - 8, q = 1.
Забележете дека оваа низа е исто така аритметичка прогресија (види пример 3 од § 15).
Пример 5.
2,-2,2,-2,2,-2.....
Ова е геометриска прогресија во која b 1 = 2, q = -1.
Очигледно, геометриската прогресија е растечка низа ако b 1 > 0, q > 1 (види пример 1), и опаѓачка низа ако b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).
За да се покаже дека низата (b n) е геометриска прогресија, понекогаш е погодна следната нотација:
Иконата ја заменува фразата „геометриска прогресија“.
Да забележиме едно љубопитно и во исто време сосема очигледно својство на геометриската прогресија:
Ако низата 
е геометриска прогресија, потоа низата квадрати, т.е. 
е геометриска прогресија.
Во втората геометриска прогресија, првиот член е еднаков и еднаков на q 2.
Ако во геометриска прогресија ги отфрлиме сите поими по b n , добиваме конечна геометриска прогресија 
Во понатамошните параграфи од овој дел ќе ги разгледаме најважните својства на геометриската прогресија.
2. Формула за n-ти член на геометриска прогресија.
Размислете за геометриска прогресија 
именителот q. Ние имаме:
Не е тешко да се погоди дека за кој било број n еднаквоста е точно
Ова е формулата за n-ти член на геометриска прогресија.
Коментар.
Ако сте ја прочитале важната забелешка од претходниот пасус и сте ја разбрале, тогаш обидете се да ја докажете формулата (1) користејќи го методот на математичка индукција, исто како што беше направено за формулата за n-ти член на аритметичка прогресија.
Да ја преработиме формулата за n-тиот член од геометриската прогресија
и воведете ја ознаката: Добиваме y = mq 2, или, подетално, 
Аргументот x е содржан во експонентот, па оваа функција се нарекува експоненцијална функција. Ова значи дека геометриската прогресија може да се смета како експоненцијална функција дефинирана на множеството N од природни броеви. На сл. 96а е прикажан графикот на функцијата Сл. 966 - графикон на функција 
Во двата случаи, имаме изолирани точки (со апсциси x = 1, x = 2, x = 3, итн.) кои лежат на одредена крива (двете слики ја покажуваат истата крива, само различно лоцирани и прикажани во различни размери). Оваа крива се нарекува експоненцијална крива. Повеќе детали за експоненцијалната функција и нејзиниот график ќе бидат разгледани во курсот за алгебра за 11-то одделение.
Да се вратиме на примерите 1-5 од претходниот пасус.
1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Ова е геометриска прогресија за која b 1 = 1, q = 3. Да ја создадеме формулата за n-тиот член 
2) 
Ова е геометриска прогресија за која Ајде да создадеме формула за n-тиот член 
Ова е геометриска прогресија што има 
Ајде да ја создадеме формулата за n-тиот член 
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Ова е геометриска прогресија за која b 1 = 8, q = 1. Да ја создадеме формулата за n-тиот член 
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Ова е геометриска прогресија во која b 1 = 2, q = -1. Ајде да ја создадеме формулата за n-тиот член 
Пример 6.
Дадена е геометриска прогресија
Во сите случаи, решението се заснова на формулата на n-тиот член на геометриската прогресија
а) Ставајќи n = 6 во формулата за n-тиот член од геометриската прогресија, добиваме
б) Имаме
Бидејќи 512 = 2 9, добиваме n - 1 = 9, n = 10.
г) Имаме
Пример 7.
Разликата помеѓу седмиот и петтиот член на геометриската прогресија е 48, збирот на петтиот и шестиот член на прогресијата е исто така 48. Најдете го дванаесеттиот член од оваа прогресија.
Прва фаза.Изработка на математички модел.
Условите на проблемот може накратко да се напишат на следниов начин:
Користејќи ја формулата за n-ти член на геометриска прогресија, добиваме:
Тогаш вториот услов на проблемот (b 7 - b 5 = 48) може да се запише како
Третиот услов на задачата (b 5 + b 6 = 48) може да се запише како
Како резултат на тоа, добиваме систем од две равенки со две променливи b 1 и q:
кој во комбинација со условот 1) напишан погоре, претставува математички модел на проблемот.
Втора фаза.
Работа со составениот модел. Изедначувајќи ги левите страни на двете равенки на системот, добиваме:
(двете страни на равенката ги поделивме со ненултиот израз b 1 q 4).
Од равенката q 2 - q - 2 = 0 наоѓаме q 1 = 2, q 2 = -1. Заменувајќи ја вредноста q = 2 во втората равенка на системот, добиваме 
Заменувајќи ја вредноста q = -1 во втората равенка на системот, добиваме b 1 1 0 = 48; оваа равенка нема решенија.
Значи, b 1 =1, q = 2 - овој пар е решение за составениот систем на равенки.
Сега можеме да ја запишеме геометриската прогресија дискутирана во задачата: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .
Трета фаза.
Одговор на проблематичното прашање. Треба да пресметате b 12. Ние имаме
Одговор: b 12 = 2048.
3. Формула за збир на членови на конечна геометриска прогресија.
Нека е дадена конечна геометриска прогресија
Да го означиме со S n збирот на неговите членови, т.е.
Дозволете ни да изведеме формула за наоѓање на оваа сума.
Да почнеме со наједноставниот случај, кога q = 1. Тогаш геометриската прогресија b 1 , b 2 , b 3 ,..., bn се состои од n броеви еднакви на b 1 , т.е. прогресијата изгледа како b 1, b 2, b 3, ..., b 4. Збирот на овие броеви е nb 1.
Нека сега q = 1 За да го најдеме S n, применуваме вештачка техника: вршиме некои трансформации на изразот S n q. Ние имаме:
При извршувањето на трансформациите, прво, ја користевме дефиницијата за геометриска прогресија, според која (види трета линија на расудување); второ, собирале и одземале, поради што значењето на изразот, се разбира, не се променило (види четврти ред на расудување); трето, ја користевме формулата за n-ти член на геометриска прогресија:
Од формулата (1) наоѓаме:
Ова е формулата за збир од n членови на геометриска прогресија (за случајот кога q = 1).
Пример 8.
Дадена е конечна геометриска прогресија
а) збирот на условите на прогресијата; б) збирот на квадратите на неговите членови.
б) Погоре (види стр. 132) веќе забележавме дека ако сите членови на геометриска прогресија се на квадрат, тогаш добиваме геометриска прогресија со првиот член b 2 и именителот q 2. Тогаш збирот на шесте члена на новата прогресија ќе се пресмета со
Пример 9.
Најди го 8 член од геометриската прогресија за која
Всушност, ја докажавме следнава теорема.
Нумеричката низа е геометриска прогресија ако и само ако квадратот на секој негов член, освен првата теорема (и последната, во случај на конечна низа), е еднаков на производот од претходните и следните членови (а карактеристично својство на геометриска прогресија).
Овој број се нарекува именител на геометриска прогресија, односно секој член се разликува од претходниот за q пати. (Ќе претпоставиме дека q ≠ 1, инаку сè е премногу тривијално). Лесно е да се види дека општата формула за n-тиот член на геометриската прогресија е b n = b 1 q n – 1 ; членовите со броевите b n и b m се разликуваат за q n – m пати.Веќе во Стариот Египет знаеја не само аритметичка, туку и геометриска прогресија. Еве, на пример, проблем од папирусот Rhind: „Седум лица имаат седум мачки; Секоја мачка јаде седум глувци, секој глушец јаде седум класови пченка, а секое уво јачмен може да одгледува седум мери јачмен. Колку се големи броевите во оваа серија и нивниот збир?
 |
|
Ориз. 1. Антички египетски проблем со геометриска прогресија |
Оваа задача била повторувана многу пати со различни варијации меѓу другите народи во други времиња. На пример, во напишано во 13 век. „Книгата за абакусот“ од Леонардо од Пиза (Фибоначи) има проблем во кој се појавуваат 7 стари жени на пат кон Рим (очигледно аџии), од кои секоја има по 7 мазги, од кои секоја има по 7 торби, од кои секоја содржи 7 леба, од кои секоја има 7 ножеви, од кои секоја има 7 обвивки. Проблемот прашува колку објекти има.
Збирот на првите n членови на геометриската прогресија S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . Оваа формула може да се докаже, на пример, вака: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.
Додадете го бројот b 1 q n на S n и добијте:
|
Од тука S n (q – 1) = b 1 (q n – 1), и ја добиваме потребната формула.
Веќе на една од глинените плочи на антички Вавилон, која датира од 6 век. п.н.е д., го содржи збирот 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. Точно, како и во голем број други случаи, не знаеме како овој факт им бил познат на Вавилонците .
Брзиот пораст на геометриската прогресија во голем број култури, особено во индиската, постојано се користи како визуелен симбол на пространоста на универзумот. Во познатата легенда за појавата на шахот, владетелот му дава можност на својот пронаоѓач сам да ја избере наградата, а тој го бара бројот на зрната пченица што ќе се добијат ако едно се стави на првиот квадрат од шаховската табла, два на вториот, четири на третиот, осум на четвртиот, итн., секој пат кога бројот се удвојува. Владика мислеше дека најмногу зборуваме за неколку кеси, но погрешно пресмета. Лесно е да се види дека за сите 64 квадрати на шаховската табла пронаоѓачот би требало да прими (2 64 - 1) зрна, што се изразува како 20-цифрен број; дури и да се сее целата површина на Земјата, ќе бидат потребни најмалку 8 години за да се собере потребната количина на зрна. Оваа легенда понекогаш се толкува како укажување на практично неограничените можности скриени во играта шах.
Лесно е да се види дека овој број е навистина 20-цифрен:
2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (поточна пресметка дава 1,84∙10 19). Но, се прашувам дали можете да дознаете со која цифра завршува овој број?
Геометриската прогресија може да се зголемува ако именителот е поголем од 1, или да се намалува ако е помал од еден. Во вториот случај, бројот q n за доволно голем n може да стане произволно мал. Додека растечката геометриска прогресија се зголемува неочекувано брзо, сè помалата геометриска прогресија се намалува исто толку брзо.
Колку е поголем n, толку е послаб бројот q n се разликува од нула, и колку е поблиску збирот од n членови на геометриската прогресија S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) до бројот S = b 1 / ( 1 – q). (На пример, Ф. Виет резонираше на овој начин). Бројот S се нарекува збир на геометриска прогресија која бескрајно се намалува. Меѓутоа, за многу векови прашањето за тоа што е значењето на собирање на ЦЕЛАТА геометриска прогресија, со нејзиниот бесконечен број членови, не им беше доволно јасно на математичарите.
Намалувачка геометриска прогресија може да се види, на пример, во апориите на Зенон „Половина дивизија“ и „Ахил и желката“. Во првиот случај, јасно е прикажано дека целиот пат (претпоставувајќи ја должината 1) е збир од бесконечен број сегменти 1/2, 1/4, 1/8 итн. Ова, се разбира, е случај од гледна точка на идеи за конечен збир бесконечна геометриска прогресија. А сепак - како може ова да биде?
|
Ориз. 2. Прогресија со коефициент 1/2 |
Во апоријата за Ахил, ситуацијата е малку посложена, бидејќи овде именителот на прогресијата не е 1/2, туку некој друг број. Нека, на пример, Ахил трча со брзина v, желката се движи со брзина u, а почетното растојание меѓу нив е l. Ахил ќе го помине ова растојание во време l/v, а за тоа време желката ќе се движи на растојание lu/v. Кога Ахил ќе помине низ овој сегмент, растојанието помеѓу него и желката ќе стане еднакво на l (u /v) 2, итн. член l и именителот u /v. Оваа сума - сегментот што Ахил на крајот ќе го истрча до местото на средба со желката - е еднаков на l / (1 – u /v) = lv / (v – u). Но, повторно, како треба да се толкува овој резултат и зошто воопшто има смисла, не беше многу јасно долго време.
|
Ориз. 3. Геометриска прогресија со коефициент 2/3 |
Архимед го користел збирот на геометриска прогресија за да ја одреди плоштината на сегментот на параболата. Нека оваа отсечка од параболата е ограничена со акордот AB и тангентата во точката D од параболата нека биде паралелна со AB. Нека C е средната точка на AB, E средната точка на AC, F средната точка на CB. Да повлечеме прави паралелни со DC низ точките A, E, F, B; Нека тангентата нацртана во точката D ги пресекува овие прави во точките K, L, M, N. Да ги нацртаме и отсечките AD и DB. Нека правата EL ја пресекува правата AD во точката G, а параболата во точката H; линијата FM ја пресекува правата DB во точката Q, а параболата во точката R. Според општата теорија на конусни пресеци, DC е дијаметар на парабола (т.е. сегмент паралелен на нејзината оска); таа и тангентата во точката D можат да послужат како координатни оски x и y, во кои равенката на параболата е напишана како y 2 = 2px (x е растојанието од D до која било точка со даден дијаметар, y е должината на отсечка паралелна на дадена тангента од оваа точка на дијаметар до одредена точка на самата парабола).
Врз основа на равенката на параболата, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, и бидејќи DK = 2DL, тогаш KA = 4LH. Бидејќи KA = 2LG, LH = HG. Областа на сегментот ADB на параболата е еднаква на плоштината на триаголникот ΔADB и областите на сегментите AHD и DRB заедно. За возврат, површината на сегментот AHD е слично еднаква на плоштината на триаголникот AHD и преостанатите сегменти AH и HD, со секоја од нив можете да ја извршите истата операција - поделена на триаголник (Δ) и двата преостанати сегменти (), итн.:
Површината на триаголникот ΔAHD е еднаква на половина од плоштината на триаголникот ΔALD (тие имаат заедничка основа AD, а висините се разликуваат за 2 пати), што, пак, е еднакво на половина од плоштината триаголникот ΔAKD, а со тоа и половина од плоштината на триаголникот ΔACD. Така, површината на триаголникот ΔAHD е еднаква на четвртина од плоштината на триаголникот ΔACD. Исто така, плоштината на триаголникот ΔDRB е еднаква на една четвртина од плоштината на триаголникот ΔDFB. Значи, областите на триаголниците ΔAHD и ΔDRB, земени заедно, се еднакви на четвртина од плоштината на триаголникот ΔADB. Повторувањето на оваа операција кога се применува на сегментите AH, HD, DR и RB ќе избере триаголници од нив, чиишто плоштини, земени заедно, ќе бидат 4 пати помали од плоштината на триаголниците ΔAHD и ΔDRB, земени заедно, и затоа 16 пати помалку од плоштината на триаголникот ΔADB. И така натаму:
Така, Архимед докажал дека „секој сегмент содржан помеѓу права линија и парабола сочинува четири третини од триаголникот со иста основа и еднаква висина“.
Час и презентација на тема: „Бројни низи. Геометриска прогресија“
Дополнителни материјали
Почитувани корисници, не заборавајте да ги оставите вашите коментари, критики, желби! Сите материјали се проверени со антивирусна програма.
Едукативни помагала и симулатори во онлајн продавницата Integral за 9 одделение
Сили и корени Функции и графикони
Момци, денес ќе се запознаеме со друг тип на прогресија.
Темата на денешниот час е геометриска прогресија.
Геометриска прогресија
Дефиниција. Нумеричка низа во која секој член, почнувајќи од вториот, е еднаков на производот на претходниот и некој фиксен број се нарекува геометриска прогресија.Ајде да ја дефинираме нашата низа рекурзивно: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
каде b и q се одредени дадени броеви. Бројот q се нарекува именител на прогресијата.
Пример. 1,2,4,8,16... Геометриска прогресија во која првиот член е еднаков на еден, и $q=2$.
Пример. 8,8,8,8... Геометриска прогресија во која првиот член е еднаков на осум,
и $q=1$.
Пример. 3,-3,3,-3,3... Геометриска прогресија во која првиот член е еднаков на три,
и $q=-1$.
Геометриската прогресија има својства на монотонија.
Ако $b_(1)>0$, $q>1$,
тогаш низата се зголемува.
Ако $b_(1)>0$, $0 Низата обично се означува во форма: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.
Исто како и во аритметичка прогресија, ако во геометриска прогресија бројот на елементи е конечен, тогаш прогресијата се нарекува конечна геометриска прогресија.
$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Забележете дека ако низата е геометриска прогресија, тогаш низата квадрати на поими е исто така геометриска прогресија. Во втората низа, првиот член е еднаков на $b_(1)^2$, а именителот е еднаков на $q^2$.
Формула за n-ти член на геометриска прогресија
Геометриската прогресија може да се специфицира и во аналитичка форма. Ајде да видиме како да го направиме ова:$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Лесно ја забележуваме шемата: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Нашата формула се нарекува „формула на n-ти член на геометриска прогресија“.
Да се вратиме на нашите примери.
Пример. 1,2,4,8,16... Геометриска прогресија во која првиот член е еднаков на еден,
и $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.
Пример. 16,8,4,2,1,1/2... Геометриска прогресија во која првиот член е еднаков на шеснаесет, и $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.
Пример. 8,8,8,8... Геометриска прогресија во која првиот член е еднаков на осум, и $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.
Пример. 3,-3,3,-3,3... Геометриска прогресија во која првиот член е еднаков на три, и $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.
Пример. Дадена е геометриска прогресија $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
а) Познато е дека $b_(1)=6, q=3$. Најдете $b_(5)$.
б) Познато е дека $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Најдете n.
в) Познато е дека $q=-2, b_(6)=96$. Најдете $b_(1)$.
г) Познато е дека $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Најдете q.
Решение.
а) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
б) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, бидејќи $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
в) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
г) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.
Пример. Разликата помеѓу седмиот и петтиот член на геометриската прогресија е 192, збирот на петтиот и шестиот член од прогресијата е 192. Најдете го десеттиот член од оваа прогресија.
Решение.
Знаеме дека: $b_(7)-b_(5)=192$ и $b_(5)+b_(6)=192$.
Знаеме и: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Потоа:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Добивме систем на равенки:
$\begin(случаи)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end (случаи)$.
Изедначувајќи ги нашите равенки, добиваме:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Добивме две решенија q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Заменете секвенцијално во втората равенка:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ нема решенија.
Добивме дека: $b_(1)=4, q=2$.
Да го најдеме десеттиот член: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.
Збир на конечна геометриска прогресија
Дозволете ни да имаме конечна геометриска прогресија. Ајде, исто како и за аритметичка прогресија, да го пресметаме збирот на нејзините членови.Нека е дадена конечна геометриска прогресија: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Да ја воведеме ознаката за збирот на нејзините поими: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
Во случај кога $q=1$. Сите членови на геометриската прогресија се еднакви на првиот член, тогаш очигледно е дека $S_(n)=n*b_(1)$.
Сега да го разгледаме случајот $q≠1$.
Да ја помножиме горната сума со q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Забелешка:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.
$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2 )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
Ја добивме формулата за збир на конечна геометриска прогресија.
Пример.
Најдете го збирот на првите седум члена на геометриска прогресија чиј прв член е 4, а именителот е 3.
Решение.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.
Пример.
Најдете го петтиот член од геометриската прогресија што е познат: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.
Решение.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.
$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
-4095 $(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q = $1364.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.
Карактеристично својство на геометриска прогресија
Дечки, дадена е геометриска прогресија. Да ги погледнеме неговите три последователни членови: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.Знаеме дека:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Потоа:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Ако прогресијата е конечна, тогаш оваа еднаквост важи за сите членови освен првиот и последниот.
Ако однапред не се знае каква форма има низата, но се знае дека: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Тогаш можеме безбедно да кажеме дека ова е геометриска прогресија.
Бројната низа е геометриска прогресија само кога квадратот на секој член е еднаков на производот на двата соседни членови на прогресијата. Не заборавајте дека за конечна прогресија овој услов не е задоволен за првиот и последниот член.
Да го погледнеме овој идентитет: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ се нарекува геометриска средина на броевите a и b.
Модулот на кој било член на геометриска прогресија е еднаков на геометриската средина на неговите два соседни члена.
Пример.
Најдете x така што $x+2; 2x+2; 3x+3$ беа три последователни члена на геометриска прогресија.
Решение.
Да го искористиме карактеристичното својство:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ и $x_(2)=-1$.
Дозволете ни секвенцијално да ги замениме нашите решенија во оригиналниот израз:
Со $x=2$ ја добивме низата: 4;6;9 – геометриска прогресија со $q=1,5$.
За $x=-1$, ја добиваме низата: 1;0;0.
Одговор: $x=2.$
Проблеми кои треба да се решаваат самостојно
1. Најдете го осмиот прв член од геометриската прогресија 16;-8;4;-2….2. Најдете го десеттиот член на геометриската прогресија 11,22,44….
3. Познато е дека $b_(1)=5, q=3$. Најдете $b_(7)$.
4. Познато е дека $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Најдете n.
5. Најдете го збирот на првите 11 члена од геометриската прогресија 3;12;48….
6. Најдете x така што $3x+4; 2x+4; x+5$ се три последователни члена на геометриска прогресија.