ទម្រង់ស្តង់ដារនៃនិយមន័យ monomial ។ តើវាមានន័យយ៉ាងណាក្នុងការកាត់បន្ថយ monomial ទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ? មេរៀនលើប្រធានបទ៖ "ទម្រង់ស្តង់ដារនៃ monomial

នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងនឹងផ្តល់និយមន័យដ៏តឹងរឹងនៃ monomial សូមពិចារណា ឧទាហរណ៍ផ្សេងៗពីសៀវភៅសិក្សា។ ចូរយើងរំលឹកឡើងវិញនូវច្បាប់សម្រាប់គុណអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា។ ចូរយើងកំណត់ទម្រង់ស្តង់ដារនៃ monomial មេគុណនៃ monomial និងផ្នែកអក្សររបស់វា។ ចូរយើងពិចារណាប្រតិបត្តិការស្តង់ដារសំខាន់ពីរលើ monomials គឺការកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ និងការគណនាជាក់លាក់មួយ។ តម្លៃលេខ monomial នៅ តម្លៃដែលបានផ្តល់ឱ្យអថេរព្យញ្ជនៈរួមបញ្ចូលនៅក្នុងវា។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតច្បាប់សម្រាប់កាត់បន្ថយ monomial ទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ។ តោះរៀនដោះស្រាយ ភារកិច្ចធម្មតា។ជាមួយ monomial ណាមួយ។

ប្រធានបទ៖មនោរម្យ. ប្រតិបត្តិការនព្វន្ធជាង monomials

មេរៀន៖គំនិតនៃ monomial មួយ។ ទិដ្ឋភាពស្តង់ដារ monomial

សូមពិចារណាឧទាហរណ៍មួយចំនួន៖

3. ;

យើងនឹងរកឃើញ លក្ខណៈទូទៅសម្រាប់កន្សោមដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ក្នុង​ករណី​ទាំង​បី កន្សោម​គឺ​ជា​លទ្ធផល​នៃ​លេខ និង​អថេរ​ដែល​បាន​លើក​ឡើង​ជា​អំណាច។ ដោយផ្អែកលើនេះយើងផ្តល់ឱ្យ និយមន័យ monomial ៖ monomial ត្រូវបានគេហៅថាអ្វីមួយដូចនេះ កន្សោមពិជគណិតដែលរួមមានផលិតផលនៃអំណាច និងលេខ។

ឥឡូវនេះយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃកន្សោមដែលមិនមែនជា monomials:

ចូរយើងស្វែងរកភាពខុសគ្នារវាងកន្សោមទាំងនេះ និងពាក្យមុនៗ។ វាមាននៅក្នុងការពិតដែលថានៅក្នុងឧទាហរណ៍ 4-7 មានប្រតិបត្តិការបូកដកឬការបែងចែកខណៈពេលដែលនៅក្នុងឧទាហរណ៍ 1-3 ដែលជា monomials មិនមានប្រតិបត្តិការទាំងនេះទេ។

នេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយចំនួនទៀត៖

កន្សោមលេខ 8 គឺជា monomial ព្រោះវាជាផលនៃថាមពល និងលេខមួយ ចំណែកឧទាហរណ៍ 9 មិនមែនជា monomial ទេ។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្វែងយល់ សកម្មភាពលើ monomial .

1. ភាពសាមញ្ញ។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍លេខ 3 និងឧទាហរណ៍លេខ ២ /

នៅក្នុងឧទាហរណ៍ទីពីរ យើងឃើញមេគុណតែមួយ - អថេរនីមួយៗកើតឡើងតែម្តងគត់ នោះគឺជាអថេរ " ក" ត្រូវបានតំណាងនៅក្នុងច្បាប់ចម្លងតែមួយ ដូចជា "" ស្រដៀងគ្នាដែរ អថេរ "" និង "" លេចឡើងតែម្តងគត់។

ឧទាហរណ៍លេខ 3 ផ្ទុយទៅវិញមានពីរ មេគុណផ្សេងគ្នា- ហើយយើងឃើញអថេរ "" ពីរដង - ជា "" និង "" ស្រដៀងគ្នាដែរ អថេរ "" លេចឡើងពីរដង។ នោះគឺ កន្សោមនេះ។គួរតែត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញដូច្នេះយើងមកដល់ សកម្មភាពដំបូងដែលបានអនុវត្តលើ monomial គឺកាត់បន្ថយ monomial ទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ . ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ យើងនឹងកាត់បន្ថយកន្សោមពីឧទាហរណ៍ទី 3 ទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ បន្ទាប់មកយើងនឹងកំណត់ប្រតិបត្តិការនេះ ហើយរៀនពីរបៀបកាត់បន្ថយ monomial ណាមួយទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ។

ដូច្នេះ សូមពិចារណាឧទាហរណ៍មួយ៖

សកម្មភាពដំបូងក្នុងប្រតិបត្តិការកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារគឺតែងតែគុណកត្តាលេខទាំងអស់៖

;

លទ្ធផលនៃសកម្មភាពនេះនឹងត្រូវបានហៅ មេគុណនៃ monomial .

បន្ទាប់អ្នកត្រូវគុណអំណាច។ ចូរគុណអំណាចនៃអថេរ " X"យោងតាមច្បាប់សម្រាប់គុណអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា ដែលចែងថា នៅពេលគុណ និទស្សន្តត្រូវបានបន្ថែម៖

ឥឡូវនេះ ចូរយើងបង្កើនអំណាច» នៅ»:

;

ដូច្នេះ នេះជាកន្សោមសាមញ្ញ៖

;

monomial ណាមួយអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ។ ចូរយើងបង្កើត ច្បាប់ស្តង់ដារ :

គុណកត្តាលេខទាំងអស់;

ដាក់មេគុណលទ្ធផលនៅកន្លែងដំបូង;

គុណដឺក្រេទាំងអស់, នោះគឺទទួលបានផ្នែកអក្សរ;

នោះគឺ monomial ណាមួយត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយមេគុណនិងផ្នែកអក្សរ។ សម្លឹងទៅមុខ យើងកត់សំគាល់ថា monomials ដែលមានផ្នែកអក្សរដូចគ្នាត្រូវបានគេហៅថាស្រដៀងគ្នា។

ឥឡូវនេះយើងត្រូវធ្វើការចេញ បច្ចេកទេសកាត់បន្ថយ monomial ទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ . ពិចារណាឧទាហរណ៍ពីសៀវភៅសិក្សា៖

កិច្ចការ៖ នាំ monomial ទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ ដាក់ឈ្មោះមេគុណ និងផ្នែកអក្សរ។

ដើម្បីបញ្ចប់កិច្ចការ យើងនឹងប្រើច្បាប់សម្រាប់កាត់បន្ថយ monomial ទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ និងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអំណាច។

1. ;

3. ;

យោបល់លើឧទាហរណ៍ដំបូង៖ ជាដំបូង ចូរយើងកំណត់ថាតើកន្សោមនេះគឺពិតជា monomial ដើម្បីធ្វើការនេះ សូមពិនិត្យមើលថាតើវាមានប្រតិបត្តិការនៃការគុណលេខ និងអំណាច និងថាតើវាមានប្រតិបត្តិការបូក ដក ឬចែក។ យើងអាចនិយាយបានថាកន្សោមនេះគឺជា monomial ចាប់តាំងពីលក្ខខណ្ឌខាងលើត្រូវបានពេញចិត្ត។ បន្ទាប់មកយោងទៅតាមច្បាប់សម្រាប់កាត់បន្ថយ monomial ទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ យើងគុណកត្តាលេខ៖

- យើងបានរកឃើញមេគុណនៃ monomial ដែលបានផ្តល់ឱ្យ;

; ; ; នោះគឺផ្នែកព្យញ្ជនៈនៃកន្សោមត្រូវបានទទួល៖;

ចូរសរសេរចម្លើយ៖ ;

យោបល់លើឧទាហរណ៍ទីពីរ៖ អនុវត្តតាមច្បាប់ដែលយើងអនុវត្ត៖

១) គុណកត្តាលេខ៖

2) បង្កើនអំណាច:

អថេរត្រូវបានបង្ហាញក្នុងច្បាប់ចម្លងតែមួយ ពោលគឺពួកគេមិនអាចគុណនឹងអ្វីនោះទេ ពួកគេត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដោយគ្មានការផ្លាស់ប្តូរ កម្រិតត្រូវបានគុណ៖

តោះសរសេរចម្លើយ៖

;

IN ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ។មេគុណ monomial ស្មើនឹងមួយ។ហើយផ្នែកអក្សរគឺ។

យោបល់លើឧទាហរណ៍ទី៣៖ កស្រដៀងនឹងឧទាហរណ៍មុន យើងអនុវត្តសកម្មភាពដូចខាងក្រោមៈ

១) គុណកត្តាលេខ៖

;

2) បង្កើនអំណាច:

;

ចូរសរសេរចម្លើយ៖ ;

IN ក្នុងករណីនេះមេគុណនៃ monomial គឺ "" និងផ្នែកព្យញ្ជនៈ .

ឥឡូវនេះសូមពិចារណា ប្រតិបត្តិការស្តង់ដារទីពីរលើ monomials . ដោយសារ monomial គឺជាកន្សោមពិជគណិតដែលមានអថេរព្យញ្ជនៈដែលអាចទទួលយកជាក់លាក់ តម្លៃជាលេខបន្ទាប់មកយើងមាននព្វន្ធ កន្សោមលេខដែលគួរត្រូវបានគណនា។ នោះគឺប្រតិបត្តិការបន្ទាប់លើពហុនាមគឺ គណនាតម្លៃលេខជាក់លាក់របស់ពួកគេ។ .

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយ។ Monomial ផ្តល់ឱ្យ៖

monomial នេះត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ស្តង់ដាររួចហើយ មេគុណរបស់វាគឺស្មើនឹងមួយ និងផ្នែកអក្សរ

មុននេះ យើងបាននិយាយថាកន្សោមពិជគណិតមិនអាចតែងតែត្រូវបានគណនាបានទេ នោះគឺជាអថេរដែលត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងវាមិនអាចទទួលយកតម្លៃណាមួយបានទេ។ ក្នុងករណី monomial អថេរដែលរួមបញ្ចូលនៅក្នុងវាអាចជាលក្ខណៈណាមួយនៃ monomial ។

ដូច្នេះនៅក្នុង ឧទាហរណ៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីគណនាតម្លៃនៃ monomial នៅ , , , .

Monomials គឺជាផលិតផលនៃលេខ អថេរ និងអំណាចរបស់វា។ លេខ អថេរ និង​អំណាច​របស់​វា​ក៏​ត្រូវ​បាន​គេ​ចាត់​ទុក​ជា monomials ផងដែរ។ ឧទាហរណ៍៖ 12ac, -33, a^2b, a, c^9។ monomial 5aa2b2b អាច​ត្រូវ​បាន​កាត់​ជា​ទម្រង់ 20a^2b^2 ទម្រង់​នេះ​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​ទម្រង់​ស្ដង់ដារ​នៃ monomial នោះ​គឺ​ទម្រង់​ស្តង់ដារ​នៃ monomial គឺ​ជា​ផលិតផល​នៃ​មេគុណ (ដែល​មក​មុន) និង​អំណាច​នៃ។ អថេរ។ មេគុណ 1 និង -1 មិនត្រូវបានសរសេរទេ ប៉ុន្តែដកមួយត្រូវបានរក្សាទុកពី -1 ។ Monomial និងទម្រង់ស្តង់ដាររបស់វា។

កន្សោម 5a2x, 2a3(-3)x2, b2x គឺជាផលិតផលនៃលេខ អថេរ និងអំណាចរបស់វា។ កន្សោមបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា monomial ។ លេខ អថេរ និង​អំណាច​របស់​វា​ក៏​ត្រូវ​បាន​គេ​ចាត់​ទុក​ជា monomials ផងដែរ។

ឧទាហរណ៍ កន្សោម 8, 35, y និង y2 គឺជា monomials ។

ទម្រង់ស្តង់ដារនៃ monomial គឺជា monomial នៅក្នុងទម្រង់នៃផលិតផលនៃកត្តាលេខមួយនៅក្នុងកន្លែងដំបូង និងអំណាចនៃអថេរផ្សេងៗ។ monomial ណាមួយអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ស្ដង់ដារដោយគុណអថេរ និងលេខទាំងអស់ដែលបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងវា។ នេះគឺជាឧទាហរណ៍នៃការកាត់បន្ថយ monomial ទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ៖

4x2y4(-5)yx3 = 4(-5)x2x3y4y = -20x5y5

កត្តាលេខនៃ monomial សរសេរក្នុងទម្រង់ស្តង់ដារត្រូវបានគេហៅថា coefficient នៃ monomial ។ ឧទាហរណ៍មេគុណនៃ monomial -7x2y2 គឺស្មើនឹង -7 ។ មេគុណនៃ monomials x3 និង -xy ត្រូវបានចាត់ទុកថាស្មើនឹង 1 និង -1 ចាប់តាំងពី x3 = 1x3 និង -xy = -1xy

កម្រិតនៃ monomial គឺជាផលបូកនៃនិទស្សន្តនៃអថេរទាំងអស់ដែលរួមបញ្ចូលនៅក្នុងវា។ ប្រសិនបើ monomial មិនមានអថេរ នោះគឺជាលេខ នោះដឺក្រេរបស់វាត្រូវបានចាត់ទុកថាស្មើនឹងសូន្យ។

ឧទាហរណ៍ ដឺក្រេនៃ monomial 8x3yz2 គឺ 6 ដឺក្រេនៃ monomial 6x គឺ 1 និងដឺក្រេនៃ -10 គឺ 0 ។

ការគុណ monomial ។ ការបង្កើន monomials ទៅជាអំណាច

នៅពេលគុណ monomial និងបង្កើន monomials ទៅជាអំណាច ក្បួននៃគុណអំណាចត្រូវបានប្រើជាមួយ មូលដ្ឋានដូចគ្នា។និងច្បាប់សម្រាប់ដំឡើងសញ្ញាបត្រ។ នេះបង្កើតបានជា monomial ដែលជាធម្មតាត្រូវបានតំណាងក្នុងទម្រង់ស្តង់ដារ។

ឧទាហរណ៍

4x3y2(-3)x2y=4(-3)x3x2y2y=-12x5y3

((-5)x3y2)3 = (-5)3x3*3y2*3 = -125x9y6























ថយក្រោយ

យកចិត្តទុកដាក់! ការមើលជាមុនស្លាយគឺសម្រាប់គោលបំណងផ្តល់ព័ត៌មានតែប៉ុណ្ណោះ ហើយប្រហែលជាមិនតំណាងឱ្យលក្ខណៈពិសេសទាំងអស់នៃបទបង្ហាញនោះទេ។ ប្រសិនបើអ្នកចាប់អារម្មណ៍ ការងារនេះ។សូមទាញយកកំណែពេញលេញ។

ប្រភេទមេរៀន៖រួមបញ្ចូលគ្នា (ជាមួយ ICT) មេរៀនណែនាំចំណេះដឹងថ្មីៗ។

គោលដៅ និងគោលបំណង (ពិជគណិត)៖ណែនាំគំនិតនៃ monomial; កម្រិតនៃ monomial; ទម្រង់ស្តង់ដារនៃ monomial ។ បង្រៀនសិស្សឱ្យកាត់បន្ថយ monomials ទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ។ បន្តអភិវឌ្ឍជំនាញក្នុងការអនុវត្តសកម្មភាពដោយមានសញ្ញាបត្រ។ ពង្រឹងជំនាញកុំព្យូទ័ររបស់សិស្ស។ អភិវឌ្ឍការយកចិត្តទុកដាក់ និងភាពត្រឹមត្រូវ។

គោលដៅ និងគោលបំណង (ICT)៖បង្រៀនឱ្យប្រើក្នុង សកម្មភាពជាក់ស្តែងកម្មវិធីនិពន្ធរូបមន្តដែលភ្ជាប់មកជាមួយនៅក្នុង MS Office Word; អភិវឌ្ឍជំនាញ ការងារឯករាជ្យ.

សម្ភារៈប្រើប្រាស់ក្នុងមេរៀន៖បទបង្ហាញ, ថ្នាក់កុំព្យូទ័រជាមួយ MS Office (Word) ដែលបានដំឡើង, សេចក្តីសង្ខេបឯកសារយោង ការងារជាក់ស្តែង, កាតភារកិច្ចសម្រាប់ការងារឯករាជ្យ ការដំឡើងពហុព័ត៌មាន។

វឌ្ឍនភាពមេរៀន

I. ពេលរៀបចំ.

ជំរាបសួរសិស្ស។

II. លំហាត់ប្រាណមាត់។

(ស្លាយនៅលើអេក្រង់ 2) ។

  • បង្ហាញជាថាមពល៖ y 3 * y 2 ; (y ៣) ៥; y 7 * y 3 ; (y 7) 4 ; a 10/a 8 ។
  • តើលេខមួយណា (វិជ្ជមាន ឬអវិជ្ជមាន) ជាតម្លៃនៃកន្សោម៖ (-៨) ១០; (-៥) ២៧ ; ៧ ៥; -២ ៨; -(-១) ៧.
  • គណនា៖ (៣*២) ២ -៣*២ ២ ; (-៣) ៨/៣ ៧ .

III. រៀនសម្ភារៈថ្មី។

ការរាយការណ៍អំពីប្រធានបទនៃមេរៀន និងគោលដៅ និងគោលបំណងនៃមេរៀន (ស្លាយទី 3, 4) ។

6*x 2*y; 2*x 3 ; mn 7; ab; -8 (ស្លាយទី 5)

  • សូមអានកន្សោមដែលសរសេរនៅលើក្តារខៀន។
  • តើកន្សោមទាំងនេះតំណាងឱ្យអ្វី?

កន្សោមនៃប្រភេទនេះត្រូវបានគេហៅថា monomials ។

និយមន័យ៖ monomial គឺជាផលគុណនៃចំនួន និងអថេរ អំណាចនៃអថេរ ឬចំនួនអថេរ អំណាចនៃអថេរ។

មើលអេក្រង់ដោយប្រុងប្រយ័ត្ន (ស្លាយទី 7) ។ តើកន្សោមខាងក្រោមមួយណាជា monomials? ហេតុអ្វី?

IV. ការបង្រួបបង្រួមនៃសម្ភារៈថ្មី។

លេខ 463 - ឯករាជ្យ។ ការពិនិត្យផ្នែកខាងមុខ។ (ស្លាយទី 8) ។

V. រៀនសម្ភារៈថ្មី។

សូមឱ្យខ្ញុំមាន monomials

2x 2 y*9y 2 និង 8x*9xy (ស្លាយទី 9)

ចូរ​យើង​ប្រើ​ការ​ផ្លាស់​ប្តូ​រ​និង ច្បាប់រួមបញ្ចូលគ្នាគុណ។ យើងទទួលបាន៖

2*9*x 2 *y*y 2 =18x 2 y 3 និង 8*9*x*x*y=72x 2 y។

  • តើយើងទទួលបានអ្វីខ្លះ?
  • តើវាតំណាងឱ្យអ្វី?

យើងតំណាងឱ្យ monomial ជាផលិតផលនៃកត្តាលេខនៅក្នុងកន្លែងដំបូង និងអំណាចនៃអថេរផ្សេងៗ។ ប្រភេទនៃ monomial នេះត្រូវបានគេហៅថាទម្រង់ស្តង់ដារ។

  • អ្វីទៅដែលហៅថា monomial នៃទម្រង់ស្តង់ដារ?

និយមន័យ៖ monomial ត្រូវបានគេហៅថា monomial នៃទម្រង់ស្តង់ដារ ប្រសិនបើវាមានកត្តាលេខ 1 នៅកន្លែងដំបូង (coefficient) ផលិតផលនៃអថេរដូចគ្នានៅក្នុងវាត្រូវបានសរសេរជាថាមពល។

អាន monomials ទាំងនោះដែលត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ស្តង់ដារ។ ដាក់ឈ្មោះមេគុណរបស់ពួកគេ។

VI. ការបង្រួបបង្រួមនៃសម្ភារៈថ្មី។

លេខ 464 - ផ្ទាល់មាត់ លេខ 465 - ក្រោមការណែនាំរបស់គ្រូ។

VII. ការងារដែលបានអនុវត្តនៅលើកុំព្យូទ័រ (ការងារជាក់ស្តែង) ។

កម្មវិធី MS Word ។ កម្មវិធីកែសម្រួលរូបមន្តដែលភ្ជាប់មកជាមួយ។ ដោយប្រើកម្មវិធីនិពន្ធរូបមន្តដែលភ្ជាប់មកជាមួយដើម្បីសរសេរ monomials ។ ឯកសារ "ទិដ្ឋភាពស្តង់ដារនៃ monomial" នៅលើផ្ទៃតុ។ បំពេញតារាងដែលបានរៀបចំដោយប្រើកម្មវិធីនិពន្ធរូបមន្តដែលភ្ជាប់មកជាមួយ។

បំពេញតារាង។ (ស្លាយទី ១៥)

ពិនិត្យ - នៅលើអេក្រង់ (ស្លាយ 16) និងរក្សាទុកឯកសារសិស្ស។

VIII. រៀនសម្ភារៈថ្មី។

  • តើមានអ្វីសរសេរនៅលើក្តារ?
  • តើនិទស្សន្តនៃអថេរ X គឺជាអ្វី?
  • តើនិទស្សន្តនៃអថេរ Y ជាអ្វី?
  • រកផលបូកនៃនិទស្សន្ត។ លេខនេះត្រូវបានគេហៅថា សញ្ញាបត្រ monomial ។

នៅទំព័រទី 84 នៃសៀវភៅសិក្សា សូមស្វែងរកនិយមន័យនៃកម្រិតនៃ monomial មួយ។ អានវា។

IX ការបង្រួបបង្រួមសម្ភារៈថ្មី។.

លេខ 473 - ផ្ទាល់មាត់;

លេខ 467(a; d) – បញ្ចេញមតិនៅលើក្តារខៀន។

X. ការងារឯករាជ្យ.

នៅលើអេក្រង់យោងទៅតាមជម្រើស (ស្លាយទី 19) ។ (សិស្សម្នាក់ៗមានក្រដាសមួយនៅលើតុរបស់គាត់ជាមួយនឹងកិច្ចការដើម្បីបញ្ចប់ការងារ - ឧបសម្ព័ន្ធ ២)

ពិនិត្យ - សាកល្បងដោយខ្លួនឯងជាមួយនឹងការថត (ស្លាយ 20 នៅលើអេក្រង់) ។

XI. សង្ខេប។

  • តើ monomial គឺជាអ្វី?
  • តើអ្វីទៅដែលហៅថា monomial? monomial ស្តង់ដារ?
  • តើកម្រិតនៃ monomial គឺជាអ្វី?

ទី XII ។ កិច្ចការផ្ទះ។

P.19 លេខ 466, 468, 476, 470 ។

អរគុណសម្រាប់មេរៀន! (ស្លាយ ២៣)

បញ្ជីអក្សរសិល្ប៍ដែលបានប្រើ៖

  1. ពិជគណិត។ ថ្នាក់ទី ៧៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ ស្ថាប័នអប់រំ/ [Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. ស៊ូវ៉ូវ]; កែសម្រួលដោយ S.A. Telyakovsky ។ - M. : ការអប់រំ, 2007 ។