ប្រសិនបើអ្នកធ្វើតាមនិយមន័យ នោះដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយគឺជាដែនកំណត់នៃសមាមាត្រនៃការកើនឡើងនៃអនុគមន៍Δ yទៅនឹងការបង្កើនអាគុយម៉ង់ Δ x:
អ្វីគ្រប់យ៉ាងហាក់ដូចជាច្បាស់។ ប៉ុន្តែសាកល្បងប្រើរូបមន្តនេះដើម្បីគណនា និយាយថា ដេរីវេនៃអនុគមន៍ f(x) = x 2 + (2x+ 3) · អ៊ី xអំពើបាប x. ប្រសិនបើអ្នកធ្វើអ្វីគ្រប់យ៉ាងតាមនិយមន័យ បន្ទាប់មកបន្ទាប់ពីការគណនាពីរបីទំព័រ អ្នកនឹងងងុយគេង។ ដូច្នេះមានវិធីសាមញ្ញ និងមានប្រសិទ្ធភាពជាង។
ដើម្បីចាប់ផ្តើមជាមួយ យើងកត់សំគាល់ថា ពីភាពខុសគ្នានៃមុខងារទាំងមូល យើងអាចបែងចែកអ្វីដែលគេហៅថា អនុគមន៍បឋម។ វាជាសាច់ញាតិ កន្សោមសាមញ្ញនិស្សន្ទវត្ថុដែលត្រូវបានគណនាជាយូរមកហើយបានរាយក្នុងតារាង។ មុខងារបែបនេះគឺពិតជាងាយស្រួលក្នុងការចងចាំ - រួមជាមួយនិស្សន្ទវត្ថុរបស់វា។
ដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋម
អនុគមន៍បឋមគឺជាមុខងារទាំងអស់ដែលបានរាយខាងក្រោម។ ដេរីវេនៃមុខងារទាំងនេះត្រូវតែដឹងដោយបេះដូង។ លើសពីនេះទៅទៀត វាមិនពិបាកទាល់តែសោះក្នុងការទន្ទេញវា - នោះហើយជាមូលហេតុដែលពួកគេជាបឋម។
ដូច្នេះ ដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋម៖
| ឈ្មោះ | មុខងារ | ដេរីវេ |
| ថេរ | f(x) = គ, គ ∈ រ | 0 (បាទ សូន្យ!) |
| អំណាចជាមួយនិទស្សន្តសមហេតុផល | f(x) = x ន | ន · x ន − 1 |
| ស៊ីនុស | f(x) = បាប x | cos x |
| កូស៊ីនុស | f(x) = cos x | - អំពើបាប x(ដកស៊ីនុស) |
| តង់សង់ | f(x) = tg x | 1/cos 2 x |
| កូតង់សង់ | f(x) = ctg x | ១/ បាប ២ x |
| លោការីតធម្មជាតិ | f(x) = កំណត់ហេតុ x | 1/x |
| លោការីតតាមអំពើចិត្ត | f(x) = កំណត់ហេតុ ក x | 1/(x ln ក) |
| អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល | f(x) = អ៊ី x | អ៊ី x(គ្មានអ្វីផ្លាស់ប្តូរ) |
ប្រសិនបើអនុគមន៍បឋមត្រូវបានគុណដោយអថេរដែលបំពាន នោះដេរីវេនៃអនុគមន៍ថ្មីក៏ត្រូវបានគណនាយ៉ាងងាយស្រួលផងដែរ៖
(គ · f)’ = គ · f ’.
ជាទូទៅ ថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃដេរីវេ។ ឧទាហរណ៍៖
(2x 3)' = 2 · ( x៣)’ = ២ ៣ x 2 = 6x 2 .
ជាក់ស្តែងមុខងារបឋមអាចត្រូវបានបន្ថែមទៅគ្នាទៅវិញទៅមក គុណ បែងចែក - និងច្រើនទៀត។ នេះជារបៀបដែលមុខងារថ្មីនឹងលេចឡើង ដែលលែងជាមុខងារសំខាន់ទៀតហើយ ប៉ុន្តែក៏អាចខុសគ្នាផងដែរទាក់ទងនឹង ច្បាប់ជាក់លាក់. ច្បាប់ទាំងនេះត្រូវបានពិភាក្សាដូចខាងក្រោម។
ដេរីវេនៃផលបូក និងភាពខុសគ្នា
អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ f(x) និង g(x) និស្សន្ទវត្ថុដែលត្រូវបានគេស្គាល់ចំពោះយើង។ ឧទាហរណ៍ អ្នកអាចយកមុខងារបឋមដែលបានពិភាក្សាខាងលើ។ បន្ទាប់មកអ្នកអាចរកឃើញដេរីវេនៃផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃមុខងារទាំងនេះ៖
- (f + g)’ = f ’ + g ’
- (f − g)’ = f ’ − g ’
ដូច្នេះ ដេរីវេនៃផលបូក (ភាពខុសគ្នា) នៃអនុគមន៍ពីរគឺស្មើនឹងផលបូក (ភាពខុសគ្នា) នៃនិស្សន្ទវត្ថុ។ អាចមានលក្ខខណ្ឌច្រើនទៀត។ ឧទាហរណ៍ ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.
និយាយយ៉ាងតឹងរឹងមិនមានគំនិតនៃ "ដក" នៅក្នុងពិជគណិតទេ។ មានគំនិតមួយ " ធាតុអវិជ្ជមាន" ដូច្នេះភាពខុសគ្នា f − gអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាផលបូក f+ (−1) gហើយបន្ទាប់មកមានតែរូបមន្តមួយប៉ុណ្ណោះដែលនៅសល់ - ដេរីវេនៃផលបូក។
f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.
មុខងារ f(x) គឺជាផលបូកនៃអនុគមន៍បឋមពីរ ដូច្នេះ៖
f ’(x) = (x២ + បាប x)’ = (x២)’ + (អំពើបាប x)’ = 2x+ cos x;
យើងហេតុផលស្រដៀងគ្នាសម្រាប់មុខងារ g(x) មានតែពាក្យបីរួចទៅហើយ (តាមទស្សនៈនៃពិជគណិត)៖
g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).
ចម្លើយ៖
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x
2 + 1).
ដេរីវេនៃផលិតផល
គណិតវិទ្យាគឺជាវិទ្យាសាស្ត្រឡូជីខល ដូច្នេះមនុស្សជាច្រើនជឿថាប្រសិនបើដេរីវេនៃផលបូកស្មើនឹងផលបូកនៃដេរីវេទីវ នោះដេរីវេនៃផល។ កូដកម្ម">ស្មើនឹងផលិតផលនៃនិស្សន្ទវត្ថុ។ ប៉ុន្តែសូមប្រយ័ត្ន! ដេរីវេនៃផលិតផលមួយត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្តខុសគ្នាទាំងស្រុង។
(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’
រូបមន្តគឺសាមញ្ញ ប៉ុន្តែវាត្រូវបានបំភ្លេចចោលជាញឹកញាប់។ ហើយមិនត្រឹមតែសិស្សសាលាប៉ុណ្ណោះទេ ថែមទាំងសិស្សទៀតផង។ លទ្ធផលគឺដោះស្រាយបញ្ហាមិនត្រឹមត្រូវ។
កិច្ចការ។ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖ f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− ៧) · អ៊ី x .
មុខងារ f(x) គឺជាផលិតផលនៃមុខងារបឋមពីរ ដូច្នេះអ្វីៗគឺសាមញ្ញ៖
f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3) សហ x + x៣ (កូស x)’ = 3x 2 cos x + x៣ (-បាប x) = x 2 (3 កូស x − xអំពើបាប x)
មុខងារ g(x) កត្តាទីមួយគឺស្មុគស្មាញបន្តិច ប៉ុន្តែ គ្រោងការណ៍ទូទៅនេះមិនផ្លាស់ប្តូរទេ។ ជាក់ស្តែងកត្តាដំបូងនៃមុខងារ g(x) គឺជាពហុនាម ហើយដេរីវេរបស់វាគឺជាដេរីវេនៃផលបូក។ យើងមាន៖
g ’(x) = ((x 2 + 7x− ៧) · អ៊ី x)’ = (x 2 + 7x− ៧)' · អ៊ី x + (x 2 + 7x− ៧) · ( អ៊ី x)’ = (2x+ 7) · អ៊ី x + (x 2 + 7x− ៧) · អ៊ី x = អ៊ី x· (២ x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · អ៊ី x = x(x+ 9) · អ៊ី x .
ចម្លើយ៖
f ’(x) = x 2 (3 កូស x − xអំពើបាប x);
g ’(x) = x(x+ 9) · អ៊ី
x
.
សូមចំណាំថានៅក្នុងជំហានចុងក្រោយ ដេរីវេត្រូវបានបង្កាត់ជាកត្តា។ ជាផ្លូវការ នេះមិនចាំបាច់ធ្វើទេ ប៉ុន្តែដេរីវេភាគច្រើនមិនត្រូវបានគណនាដោយខ្លួនឯងទេ ប៉ុន្តែដើម្បីពិនិត្យមើលមុខងារ។ នេះមានន័យថា និស្សន្ទវត្ថុនឹងស្មើនឹងសូន្យ សញ្ញារបស់វានឹងត្រូវបានកំណត់ ហើយដូច្នេះនៅលើ។ ចំពោះករណីបែបនេះ វាជាការប្រសើរដែលមានកត្តាបញ្ចេញមតិ។
ប្រសិនបើមានមុខងារពីរ f(x) និង g(x) និង g(x) ≠ 0 នៅលើសំណុំដែលយើងចាប់អារម្មណ៍ យើងអាចកំណត់មុខងារថ្មី។ h(x) = f(x)/g(x) សម្រាប់មុខងារបែបនេះ អ្នកក៏អាចរកឃើញដេរីវេ៖
មិនទន់ខ្សោយមែនទេ? តើដកបានមកពីណា? ហេតុអ្វី? g 2? អញ្ចឹងហើយ! នេះគឺជាមួយក្នុងចំណោមច្រើនបំផុត រូបមន្តស្មុគស្មាញ- អ្នកមិនអាចយល់បានដោយគ្មានដប។ ដូច្នេះវាជាការប្រសើរក្នុងការសិក្សាវានៅ ឧទាហរណ៍ជាក់លាក់.
កិច្ចការ។ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖
ភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគនីមួយៗមានអនុគមន៍បឋម ដូច្នេះអ្វីដែលយើងត្រូវការគឺរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃកូតានិក៖
យោងទៅតាមទំនៀមទម្លាប់ ចូរយើងធ្វើកត្តាភាគយក - នេះនឹងធ្វើឱ្យចំលើយកាន់តែងាយស្រួល៖
មុខងារស្មុគ្រស្មាញគឺមិនចាំបាច់ជារូបមន្តប្រវែងកន្លះគីឡូម៉ែត្រនោះទេ។ ឧទាហរណ៍វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីយកមុខងារ f(x) = បាប xនិងជំនួសអថេរ xនិយាយថានៅលើ x 2 + ln x. វានឹងដំណើរការ f(x) = បាប ( x 2 + ln x) - នេះគឺជាមុខងារស្មុគស្មាញ។ វាក៏មាននិស្សន្ទវត្ថុដែរ ប៉ុន្តែវានឹងមិនអាចរកឃើញវាដោយប្រើច្បាប់ដែលបានពិភាក្សាខាងលើនោះទេ។
តើខ្ញុំគួរធ្វើអ្វី? ក្នុងករណីបែបនេះ ការជំនួសអថេរ និងរូបមន្តដេរីវេអាចជួយបាន។ មុខងារស្មុគស្មាញ:
f ’(x) = f ’(t) · t', ប្រសិនបើ xត្រូវបានជំនួសដោយ t(x).
តាមក្បួនមួយ ស្ថានភាពជាមួយនឹងការយល់ដឹងអំពីរូបមន្តនេះគឺកាន់តែសោកសៅជាងជាមួយនឹងដេរីវេនៃកូតា។ ដូច្នេះវាជាការប្រសើរផងដែរក្នុងការពន្យល់វាជាមួយនឹងឧទាហរណ៍ជាក់លាក់ជាមួយ ការពិពណ៌នាលម្អិតរាល់ជំហាន។
កិច្ចការ។ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖ f(x) = អ៊ី 2x + 3 ; g(x) = បាប ( x 2 + ln x)
ចំណាំថាប្រសិនបើនៅក្នុងមុខងារ f(x) ជំនួសឱ្យការបញ្ចេញមតិ 2 x+ 3 នឹងមានភាពងាយស្រួល xបន្ទាប់មកវានឹងដំណើរការ មុខងារបឋម f(x) = អ៊ី x. ដូច្នេះយើងធ្វើការជំនួស៖ អនុញ្ញាត ២ x + 3 = t, f(x) = f(t) = អ៊ី t. យើងស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញដោយប្រើរូបមន្ត៖
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (អ៊ី t)’ · t ’ = អ៊ី t · t ’
ហើយឥឡូវនេះ - យកចិត្តទុកដាក់! យើងអនុវត្តការជំនួសបញ្ច្រាស៖ t = 2x+ 3. យើងទទួលបាន៖
f ’(x) = អ៊ី t · t ’ = អ៊ី 2x+ ៣ (២ x + 3)’ = អ៊ី 2x+ 3 2 = 2 អ៊ី 2x + 3
ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលមុខងារ g(x) ជាក់ស្តែងវាត្រូវការជំនួស x 2 + ln x = t. យើងមាន៖
g ’(x) = g ’(t) · t' = (បាប t)’ · t' = ខូស t · t ’
ការជំនួសបញ្ច្រាស៖ t = x 2 + ln x. បន្ទាប់មក៖
g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)' = cos ( x 2 + ln x) · (២ x + 1/x).
ហ្នឹងហើយ! ដូចដែលអាចមើលឃើញពី កន្សោមចុងក្រោយបញ្ហាទាំងមូលត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការគណនាផលបូកដេរីវេ។
ចម្លើយ៖
f ’(x) = 2 · អ៊ី
2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2 + ln x).
ជាញឹកញាប់ណាស់នៅក្នុងមេរៀនរបស់ខ្ញុំជំនួសឱ្យពាក្យ "ដេរីវេ" ខ្ញុំប្រើពាក្យ "បឋម" ។ ឧទាហរណ៍ បឋមពីចំនួន ស្មើនឹងផលបូកជំងឺដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាល។ ច្បាស់ជាងនេះទេ? ជាការប្រសើរណាស់។
ដូច្នេះ ការគណនានិស្សន្ទវត្ថុមកចុះដើម្បីកម្ចាត់ជំងឺដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាលដូចគ្នានេះដោយយោងតាមច្បាប់ដែលបានពិភាក្សាខាងលើ។ ជា ឧទាហរណ៍ចុងក្រោយចូរយើងត្រលប់ទៅអំណាចដេរីវេជាមួយនឹងនិទស្សន្តសមហេតុផល៖
(x ន)’ = ន · x ន − 1
មានមនុស្សតិចណាស់ដែលដឹងថានៅក្នុងតួនាទីនេះ។ នអាចធ្វើសកម្មភាពបានល្អ លេខប្រភាគ. ឧទាហរណ៍ឫសគឺ x០.៥. ចុះបើមានអ្វីប្លែកនៅក្រោមឫស? ជាថ្មីម្តងទៀតលទ្ធផលនឹងជាមុខងារស្មុគស្មាញ - ពួកគេចូលចិត្តផ្តល់ឱ្យសំណង់បែបនេះ ការធ្វើតេស្តនិងការប្រឡង។
កិច្ចការ។ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖
ជាដំបូង ចូរយើងសរសេរឫសឡើងវិញជាអំណាចដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផល៖
f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .
ឥឡូវនេះយើងធ្វើការជំនួស៖ អនុញ្ញាតឱ្យ x 2 + 8x − 7 = t. យើងរកឃើញដេរីវេដោយប្រើរូបមន្ត៖
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0.5)' · t' = 0.5 · t−0.5 · t ’.
តោះធ្វើការជំនួសបញ្ច្រាស៖ t = x 2 + 8x 7. យើងមាន៖
f ’(x) = 0.5 · ( x 2 + 8x− 7) −0.5 · ( x 2 + 8x− ៧)' = ០.៥ (២ x+ ៨) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .
ទីបំផុតត្រលប់ទៅឫស៖
សម្រេចចិត្ត ភារកិច្ចរាងកាយឬឧទាហរណ៍ក្នុងគណិតវិទ្យាគឺមិនអាចទៅរួចទេបើគ្មានចំណេះដឹងអំពីដេរីវេ និងវិធីសាស្រ្តសម្រាប់គណនាវា។ ដេរីវេគឺជាផ្នែកមួយនៃ គំនិតសំខាន់បំផុត ការវិភាគគណិតវិទ្យា. នេះ។ ប្រធានបទជាមូលដ្ឋានយើងបានសម្រេចចិត្តលះបង់អត្ថបទថ្ងៃនេះ។ អ្វីទៅជានិស្សន្ទវត្ថុ អ្វីជារូបកាយ និងអ្វី អត្ថន័យធរណីមាត្រតើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីគណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍មួយ? សំណួរទាំងអស់នេះអាចត្រូវបានបញ្ចូលគ្នាទៅជាមួយ: តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីយល់ពីដេរីវេ?
ធរណីមាត្រ និងអត្ថន័យរូបវន្តនៃដេរីវេ
សូមឱ្យមានមុខងារមួយ។ f(x) បានបញ្ជាក់ក្នុងចន្លោះពេលជាក់លាក់មួយ។ (a, ខ) . ពិន្ទុ x និង x0 ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចន្លោះពេលនេះ។ នៅពេល x ផ្លាស់ប្តូរមុខងារខ្លួនវាផ្លាស់ប្តូរ។ ការផ្លាស់ប្តូរអាគុយម៉ង់ - ភាពខុសគ្នានៃតម្លៃរបស់វា។ x-x0 . ភាពខុសគ្នានេះត្រូវបានសរសេរជា ដីសណ្ត x ហើយត្រូវបានគេហៅថា ការបង្កើនអាគុយម៉ង់។ ការផ្លាស់ប្តូរឬការកើនឡើងនៃអនុគមន៍គឺជាភាពខុសគ្នារវាងតម្លៃនៃអនុគមន៍មួយនៅចំណុចពីរ។ និយមន័យនៃដេរីវេ៖
ដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយគឺជាដែនកំណត់នៃសមាមាត្រនៃការកើនឡើងនៃអនុគមន៍នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅការបង្កើននៃអាគុយម៉ង់នៅពេលក្រោយមានទំនោរទៅសូន្យ។
បើមិនដូច្នោះទេវាអាចត្រូវបានសរសេរដូចនេះ:
តើអ្វីជាចំណុចនៃការរកឃើញកម្រិតនេះ? ហើយនេះគឺជាអ្វីដែលវា៖
ដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយគឺស្មើនឹងតង់សង់នៃមុំរវាងអ័ក្ស OX និងតង់ហ្សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
អត្ថន័យរាងកាយដេរីវេ៖ ដេរីវេនៃផ្លូវទាក់ទងទៅនឹងពេលវេលាគឺស្មើនឹងល្បឿននៃចលនា rectilinear ។
ពិតហើយ តាំងពីរៀននៅសាលា មនុស្សគ្រប់គ្នាដឹងថាល្បឿនគឺជាផ្លូវជាក់លាក់មួយ។ x=f(t) និងពេលវេលា t . ល្បឿនមធ្យមសម្រាប់រយៈពេលជាក់លាក់មួយ៖
ដើម្បីស្វែងយល់ពីល្បឿននៃការធ្វើចលនាក្នុងពេលមួយស្របពេល t0 អ្នកត្រូវគណនាដែនកំណត់៖
ច្បាប់ទីមួយ៖ កំណត់តម្លៃថេរ
ថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញាដេរីវេ។ លើសពីនេះទៅទៀតនេះត្រូវតែធ្វើ។ ពេលដោះស្រាយឧទាហរណ៍ក្នុងគណិតវិទ្យា ចូរយកវាជាក្បួន - ប្រសិនបើអ្នកអាចសម្រួលកន្សោមបាន សូមប្រាកដថាធ្វើឱ្យវាសាមញ្ញ .
ឧទាហរណ៍។ ចូរយើងគណនាដេរីវេ៖
វិធានពីរ៖ ដេរីវេនៃផលបូកនៃអនុគមន៍
ដេរីវេនៃផលបូកនៃអនុគមន៍ពីរគឺស្មើនឹងផលបូកនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ទាំងនេះ។ ដូចគ្នានេះដែរគឺជាការពិតសម្រាប់ដេរីវេនៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារ។
យើងនឹងមិនផ្តល់ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទនេះទេ ប៉ុន្តែសូមពិចារណាឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង។
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖
វិធានទីបី៖ ដេរីវេនៃផលនៃមុខងារ
ដេរីវេនៃផលិតផលនៃមុខងារពីរផ្សេងគ្នាត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖
ឧទាហរណ៍៖ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖
ដំណោះស្រាយ៖ 
វាមានសារៈសំខាន់ណាស់ក្នុងការនិយាយអំពីការគណនាដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញនៅទីនេះ។ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍នេះដោយគោរពទៅនឹងអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យម និងដេរីវេនៃអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យមដោយគោរពទៅនឹងអថេរឯករាជ្យ។
ក្នុងឧទាហរណ៍ខាងលើយើងមកឃើញកន្សោម៖
IN ក្នុងករណីនេះអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យមគឺ 8x ទៅថាមពលទីប្រាំ។ ដើម្បីគណនាដេរីវេនៃកន្សោមបែបនេះ ដំបូងយើងគណនាដេរីវេ មុខងារខាងក្រៅដោយអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យម ហើយបន្ទាប់មកគុណនឹងដេរីវេនៃអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យមដោយខ្លួនវាផ្ទាល់ដោយគោរពទៅអថេរឯករាជ្យ។
ច្បាប់ទីបួន៖ ដេរីវេនៃកូតានៃអនុគមន៍ពីរ
រូបមន្តសម្រាប់កំណត់ដេរីវេនៃកូតានៃអនុគមន៍ពីរ៖
យើងបានព្យាយាមនិយាយអំពីនិស្សន្ទវត្ថុសម្រាប់អត់ចេះសោះពីដំបូង។ ប្រធានបទនេះមិនសាមញ្ញដូចដែលវាហាក់បីដូចជាទេ ដូច្នេះត្រូវព្រមាន៖ ជារឿយៗមានកំហុសក្នុងឧទាហរណ៍ ដូច្នេះត្រូវប្រយ័ត្នពេលគណនានិស្សន្ទវត្ថុ។
ជាមួយនឹងសំណួរណាមួយអំពីបញ្ហានេះ និងប្រធានបទផ្សេងទៀត អ្នកអាចទាក់ទងសេវាកម្មសិស្ស។ សម្រាប់ រយៈពេលខ្លីយើងនឹងជួយអ្នកដោះស្រាយការធ្វើតេស្តដ៏លំបាកបំផុត និងដោះស្រាយបញ្ហា ទោះបីជាអ្នកមិនធ្លាប់ធ្វើការគណនាដេរីវេពីមុនមកក៏ដោយ។
ភស្តុតាងនៃរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ករណីដែលអនុគមន៍ស្មុគស្មាញអាស្រ័យលើអថេរមួយឬពីរត្រូវបានពិចារណាលម្អិត។ ការធ្វើទូទៅត្រូវបានធ្វើឡើងចំពោះករណី លេខណាមួយ។អថេរ។
នៅទីនេះយើងបង្ហាញការសន្និដ្ឋាន តាមរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ។
បើអញ្ចឹង
.
បើអញ្ចឹង
.
បើអញ្ចឹង
.
ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញពីអថេរមួយ។
អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍នៃអថេរ x ត្រូវបានតំណាងជាអនុគមន៍ស្មុគស្មាញនៅក្នុង ទម្រង់ខាងក្រោម:
,
ដែលជាកន្លែងដែលមានមុខងារមួយចំនួន។ អនុគមន៍គឺខុសគ្នាសម្រាប់តម្លៃមួយចំនួននៃអថេរ x ។
មុខងារគឺអាចខុសគ្នាតាមតម្លៃនៃអថេរ។
(1)
.
បន្ទាប់មកអនុគមន៍ស្មុគស្មាញ (សមាសធាតុ) អាចខុសគ្នាត្រង់ចំនុច x ហើយដេរីវេរបស់វាត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖
;
.
រូបមន្ត (១) ក៏អាចសរសេរដូចខាងក្រោម៖
ភស្តុតាង
;
.
ចូរយើងណែនាំសញ្ញាណខាងក្រោម។
នៅទីនេះមានមុខងារនៃអថេរ ហើយមានមុខងារនៃអថេរ និង .
;
.
ប៉ុន្តែយើងនឹងលុបចោលអាគុយម៉ង់នៃមុខងារទាំងនេះ ដើម្បីកុំឲ្យពង្រាយការគណនា។
.
ដោយសារអនុគមន៍ និងអាចខុសគ្នាត្រង់ចំនុច x និងរៀងៗខ្លួន នោះនៅចំណុចទាំងនេះមានដេរីវេនៃអនុគមន៍ទាំងនេះ ដែលជាដែនកំណត់ខាងក្រោម៖
.
ពិចារណាមុខងារដូចខាងក្រោមៈ
.
សម្រាប់តម្លៃថេរនៃអថេរ u គឺជាមុខងារនៃ .
.
ពិចារណាមុខងារដូចខាងក្រោមៈ
.
វាច្បាស់ណាស់។
.
បន្ទាប់មក
ដោយសារមុខងារគឺជាមុខងារផ្សេងគ្នានៅចំណុចនោះ វាបន្តនៅចំណុចនោះ។ នោះហើយជាមូលហេតុ
ឥឡូវនេះយើងរកឃើញដេរីវេ។
,
រូបមន្តត្រូវបានបញ្ជាក់។
.
ផលវិបាក
ប្រសិនបើអនុគមន៍នៃអថេរ x អាចត្រូវបានតំណាងថាជាអនុគមន៍ស្មុគស្មាញនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញមួយ។
បន្ទាប់មកដេរីវេរបស់វាត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត
.
នៅទីនេះ ហើយមានមុខងារផ្សេងគ្នាមួយចំនួន។
.
ដើម្បីបញ្ជាក់រូបមន្តនេះ យើងគណនានិស្សន្ទវត្ថុតាមលំដាប់លំដោយដោយប្រើក្បួនសម្រាប់បែងចែកមុខងារស្មុគស្មាញមួយ។
.
នៅទីនេះ ហើយមានមុខងារផ្សេងគ្នាមួយចំនួន។
.
ពិចារណាមុខងារស្មុគស្មាញ
ដេរីវេរបស់វា។ ពិចារណាមុខងារដើម.
ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញពីអថេរពីរ
,
ឥឡូវនេះអនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ស្មុគស្មាញអាស្រ័យលើអថេរជាច្រើន។ ជាដំបូងសូមក្រឡេកមើល
ករណីនៃមុខងារស្មុគស្មាញនៃអថេរពីរ
អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍មួយអាស្រ័យលើអថេរ x ត្រូវបានតំណាងជាអនុគមន៍ស្មុគស្មាញនៃអថេរពីរក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖
(2)
.
រូបមន្ត (១) ក៏អាចសរសេរដូចខាងក្រោម៖
ដោយសារមុខងារ និងមានភាពខុសប្លែកគ្នានៅចំណុច ពួកវាត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងសង្កាត់ជាក់លាក់នៃចំណុចនេះ បន្តនៅចំណុច ហើយនិស្សន្ទវត្ថុរបស់វាមាននៅចំណុច ដែលជាដែនកំណត់ខាងក្រោម៖
;
.
នៅទីនេះ
;
.
ដោយសារតែការបន្តនៃមុខងារទាំងនេះនៅចំណុចមួយ យើងមាន៖
;
.
ដោយសារមុខងារអាចខុសគ្នាត្រង់ចំណុចនោះ វាត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងសង្កាត់ជាក់លាក់នៃចំណុចនេះ គឺបន្តនៅចំណុចនេះ ហើយការបង្កើនរបស់វាអាចត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ
(3)
.
នៅទីនេះ
- ការបង្កើនមុខងារនៅពេលដែលអាគុយម៉ង់របស់វាត្រូវបានបង្កើនដោយតម្លៃ និង ;
;
- ដេរីវេដោយផ្នែកនៃអនុគមន៍ទាក់ទងនឹងអថេរ និង .
សម្រាប់តម្លៃថេរនៃ និង , និងជាមុខងារនៃអថេរ និង .
;
.
ពួកគេមានទំនោរទៅសូន្យ និង៖
;
.
ចាប់តាំងពីពេលនោះមក
.
:
.
ការបង្កើនមុខងារ៖
.
បន្ទាប់មក
ចូរជំនួស (3)៖
ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញពីអថេរជាច្រើន។
ការសន្និដ្ឋានខាងលើអាចងាយស្រួលទូទៅចំពោះករណីនៅពេលដែលចំនួនអថេរនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញមានច្រើនជាងពីរ។ ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើ f គឺមុខងារនៃអថេរបី
,
ឥឡូវនេះអនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ស្មុគស្មាញអាស្រ័យលើអថេរជាច្រើន។ ជាដំបូងសូមក្រឡេកមើល
, នោះ។
ហើយមានមុខងារផ្សេងគ្នាសម្រាប់តម្លៃមួយចំនួននៃអថេរ x;
- មុខងារផ្សេងគ្នានៃអថេរបីនៅចំណុច , , .
(4)
.
បន្ទាប់មក ពីនិយមន័យនៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារ យើងមាន៖
;
;
,
ដោយសារតែ, ដោយសារតែការបន្ត,
;
;
.
នោះ។
.
ការបែងចែក (4) ដោយនិងឆ្លងកាត់ដែនកំណត់យើងទទួលបាន: ហើយចុងក្រោយសូមពិចារណា ភាគច្រើន
.
ករណីទូទៅ
,
ឥឡូវនេះអនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ស្មុគស្មាញអាស្រ័យលើអថេរជាច្រើន។ ជាដំបូងសូមក្រឡេកមើល
អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍នៃអថេរ x ត្រូវបានតំណាងជាអនុគមន៍ស្មុគស្មាញនៃអថេរ n ក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖
មានមុខងារផ្សេងគ្នាសម្រាប់តម្លៃមួយចំនួននៃអថេរ x;
,
,
... , .
ពិចារណាមុខងារដូចខាងក្រោមៈ
.
- មុខងារផ្សេងគ្នានៃអថេរ n នៅចំណុចមួយ។និយមន័យ។ អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ \(y = f(x) \) ត្រូវបានកំណត់ក្នុងចន្លោះពេលជាក់លាក់មួយដែលមានចំណុច \(x_0\) នៅក្នុងខ្លួនវា។ ចូរផ្តល់អាគុយម៉ង់ជាការបង្កើន \(\Delta x \) ដូចដែលវាមិនទុកចន្លោះពេលនេះទេ។ ចូរយើងស្វែងរកការបង្កើនដែលត្រូវគ្នានៃអនុគមន៍ \(\Delta y \) (នៅពេលផ្លាស់ទីពីចំណុច \(x_0 \) ទៅចំណុច \(x_0 + \Delta x \)) ហើយសរសេរទំនាក់ទំនង \(\frac(\Delta y)(\Delta x)\)។ ប្រសិនបើមានដែនកំណត់ចំពោះសមាមាត្រនេះនៅ \(\Delta x \rightarrow 0\) នោះដែនកំណត់ដែលបានបញ្ជាក់ត្រូវបានហៅដេរីវេនៃមុខងារមួយ។
\(y=f(x) \\) ត្រង់ចំណុច \(x_0 \\) ហើយបញ្ជាក់ \(f"(x_0) \\) ។
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$ និមិត្តសញ្ញា y ត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ដើម្បីសម្គាល់ដេរីវេ។មុខងារថ្មី។ ប៉ុន្តែត្រូវបានភ្ជាប់ដោយធម្មជាតិជាមួយនឹងអនុគមន៍ y = f(x) ដែលកំណត់នៅចំណុចទាំងអស់ x ដែលដែនកំណត់ខាងលើមាន។ មុខងារនេះត្រូវបានគេហៅថា៖.
ដេរីវេនៃអនុគមន៍ y = f(x)គឺដូចខាងក្រោម។ ប្រសិនបើអាចគូរតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = f(x) នៅចំណុចជាមួយ abscissa x=a ដែលមិនស្របនឹងអ័ក្ស y នោះ f(a) បង្ហាញពីជម្រាលនៃតង់សង់ :
\(k = f"(a)\)
ចាប់តាំងពី \(k = tg(a) \\) បន្ទាប់មកសមភាព \(f"(a) = tan(a) \\) គឺពិត។
ឥឡូវនេះ ចូរយើងបកស្រាយនិយមន័យនៃដេរីវេពីចំណុចនៃទិដ្ឋភាពនៃសមភាពប្រហាក់ប្រហែល។ អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ \(y = f(x)\) មានដេរីវេនៅចំណុចជាក់លាក់មួយ \(x\)៖
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
នេះមានន័យថានៅជិតចំនុច x សមភាពប្រហាក់ប្រហែល \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), i.e. \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ ដីសណ្ត x\) ។ អត្ថន័យដ៏មានអត្ថន័យនៃសមភាពប្រហាក់ប្រហែលលទ្ធផលមានដូចខាងក្រោម៖ ការបង្កើនមុខងារគឺ "ស្ទើរតែសមាមាត្រ" ទៅនឹងការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់ ហើយមេគុណនៃសមាមាត្រគឺជាតម្លៃនៃដេរីវេនៅក្នុង ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ X. ឧទាហរណ៍ សម្រាប់អនុគមន៍ \(y = x^2\) សមភាពប្រហាក់ប្រហែល \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) មានសុពលភាព។ ប្រសិនបើយើងវិភាគដោយប្រុងប្រយ័ត្ននូវនិយមន័យនៃនិស្សន្ទវត្ថុ នោះយើងនឹងឃើញថាវាមានក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ស្វែងរកវា។
ចូរយើងបង្កើតវា។
តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ y = f(x)?
1. ជួសជុលតម្លៃនៃ \(x\) ស្វែងរក \(f(x)\)
2. ផ្តល់អាគុយម៉ង់ \(x\) បង្កើន \(\Delta x\) ទៅកាន់ ចំណុចថ្មី។\\ (x+ \\ Delta x \\), ស្វែងរក \\ (f (x + \\ Delta x) \\)
3. ស្វែងរកការបន្ថែមនៃអនុគមន៍៖ \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. បង្កើតទំនាក់ទំនង \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. គណនា $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
ដែនកំណត់នេះគឺជាដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុច x ។
ប្រសិនបើអនុគមន៍ y = f(x) មានដេរីវេនៅចំនុច x នោះវាត្រូវបានគេហៅថាខុសគ្នាត្រង់ចំនុច x ។ នីតិវិធីសម្រាប់ការស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ y = f(x) ត្រូវបានគេហៅថា ភាពខុសគ្នាមុខងារ y = f (x) ។
ចូរយើងពិភាក្សាសំណួរខាងក្រោម៖ តើការបន្ត និងភាពខុសគ្នានៃមុខងារនៅចំណុចមួយមានទំនាក់ទំនងគ្នាយ៉ាងដូចម្តេច?
សូមអោយអនុគមន៍ y = f(x) ខុសគ្នាត្រង់ចំនុច x ។ បន្ទាប់មកតង់ហ្សង់មួយអាចត្រូវបានទាញទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នៅចំណុច M(x; f(x)) ហើយសូមចាំថា មេគុណមុំនៃតង់ហ្សង់គឺស្មើនឹង f "(x)។ ក្រាហ្វបែបនេះមិនអាច "បំបែក" បានទេ។ នៅចំណុច M, ឧ. មុខងារត្រូវតែបន្តនៅចំណុច x ។
ទាំងនេះគឺជាអាគុយម៉ង់ "ដៃលើ" ។ ចូរយើងផ្តល់ហេតុផលដ៏តឹងរ៉ឹងជាងនេះ។ ប្រសិនបើអនុគមន៍ y = f(x) អាចខុសគ្នាត្រង់ចំនុច x នោះសមភាពប្រហាក់ប្រហែល \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\) រក្សា។ ប្រសិនបើនៅក្នុងសមភាពនេះ \(\Delta x \) ទំនោរទៅសូន្យ បន្ទាប់មក \(\Delta y \) នឹងមានទំនោរទៅសូន្យ ហើយនេះគឺជាលក្ខខណ្ឌសម្រាប់ការបន្តនៃមុខងារនៅចំណុចមួយ។
ដូច្នេះ ប្រសិនបើមុខងារអាចខុសគ្នាត្រង់ចំនុច x នោះវានឹងបន្តនៅចំណុចនោះ។.
សេចក្តីថ្លែងការណ៍បញ្ច្រាសគឺមិនពិតទេ។ ឧទាហរណ៍៖ មុខងារ y = |x| គឺបន្តនៅគ្រប់ទីកន្លែង ជាពិសេសនៅចំណុច x = 0 ប៉ុន្តែតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នៅ “ចំណុចប្រសព្វ” (0; 0) មិនមានទេ។ ប្រសិនបើនៅចំណុចមួយចំនួន តង់សង់មិនអាចទាញទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ នោះដេរីវេមិនមាននៅត្រង់ចំណុចនោះទេ។
ឧទាហរណ៍មួយទៀត។ អនុគមន៍ \(y=\sqrt(x)\) គឺបន្តនៅលើបន្ទាត់លេខទាំងមូល រួមទាំងនៅចំណុច x = 0។ ហើយតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មាននៅចំណុចណាមួយ រួមទាំងនៅចំណុច x = 0 ប៉ុន្តែនៅចំណុចនេះតង់សង់ត្រូវគ្នានឹងអ័ក្ស y ពោលគឺវាកាត់កែងទៅនឹងអ័ក្ស abscissa សមីការរបស់វាមានទម្រង់ x = 0 ។ មេគុណជម្រាលបន្ទាត់បែបនេះមិនមានទេ ដែលមានន័យថា \(f"(0) \) ក៏មិនមានដែរ។
ដូច្នេះ យើងបានស្គាល់លក្ខណៈសម្បត្តិថ្មីនៃមុខងារ - ភាពខុសគ្នា។ តើគេអាចសន្និដ្ឋានដោយរបៀបណាពីក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ថាវាខុសគ្នា?
ចម្លើយគឺពិតជាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យខាងលើ។ ប្រសិនបើនៅចំណុចខ្លះវាអាចគូរតង់ហ្សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ដែលមិនកាត់កែងទៅនឹងអ័ក្ស abscissa នោះនៅចំណុចនេះមុខងារគឺខុសគ្នា។ ប្រសិនបើនៅចំណុចខ្លះតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មួយមិនមានទេ ឬវាកាត់កែងទៅអ័ក្ស abscissa នោះនៅចំណុចនេះ មុខងារមិនអាចខុសគ្នាបានទេ។
ច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា
ប្រតិបត្តិការនៃការស្វែងរកដេរីវេត្រូវបានគេហៅថា ភាពខុសគ្នា. នៅពេលអនុវត្តប្រតិបត្តិការនេះ ជារឿយៗអ្នកត្រូវធ្វើការជាមួយ កូតា ផលបូក ផលិតផលនៃមុខងារ ក៏ដូចជា "មុខងារនៃមុខងារ" ពោលគឺ មុខងារស្មុគស្មាញ។ ដោយផ្អែកលើនិយមន័យនៃនិស្សន្ទវត្ថុ យើងអាចទាញយកច្បាប់នៃភាពខុសគ្នាដែលធ្វើឱ្យការងារនេះកាន់តែងាយស្រួល។ ប្រសិនបើ C - ចំនួនថេរនិង f=f(x), g=g(x) គឺជាមុខងារដែលអាចផ្លាស់ប្តូរបានមួយចំនួន បន្ទាប់មកខាងក្រោមគឺពិត ច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
តារាងដេរីវេនៃមុខងារមួយចំនួន
$$ \left(\frac(1)(x)\right) " = -\frac(1)(x^2) $$$$(\sqrt(x))" = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$$$ \left(a^x \right)" = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$$$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$$$(\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$$$$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$$$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$$$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$$$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $មុខងារ ប្រភេទស្មុគស្មាញមិនតែងតែសមនឹងនិយមន័យនៃមុខងារស្មុគស្មាញនោះទេ។ ប្រសិនបើមានអនុគមន៍នៃទម្រង់ y = sin x − (2 − 3) · a r c t g x 5 7 x 10 − 17 x 3 + x − 11 នោះវាមិនអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាស្មុគស្មាញទេ មិនដូច y = sin 2 x ។
អត្ថបទនេះនឹងបង្ហាញពីគំនិតនៃមុខងារស្មុគស្មាញ និងការកំណត់អត្តសញ្ញាណរបស់វា។ ចូរយើងធ្វើការជាមួយរូបមន្តសម្រាប់ការស្វែងរកដេរីវេជាមួយនឹងឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយនៅក្នុងការសន្និដ្ឋាន។ ការប្រើប្រាស់តារាងនិស្សន្ទវត្ថុ និងច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា កាត់បន្ថយពេលវេលាក្នុងការស្វែងរកដេរីវេ។
Yandex.RTB R-A-339285-1
និយមន័យមូលដ្ឋាន
និយមន័យ ១មុខងារស្មុគ្រស្មាញ គឺជាមុខងារដែលអាគុយម៉ង់ក៏ជាមុខងារផងដែរ។
វាត្រូវបានតំណាងតាមរបៀបនេះ: f (g (x)) ។ យើងមានថាអនុគមន៍ g (x) ត្រូវបានគេចាត់ទុកថាជាអាគុយម៉ង់ f (g (x)) ។
និយមន័យ ២
ប្រសិនបើមានអនុគមន៍ f និងជាអនុគមន៍កូតង់សង់ នោះ g(x) = ln x គឺជាអនុគមន៍ លោការីតធម្មជាតិ. យើងរកឃើញថាមុខងារស្មុគស្មាញ f (g (x)) នឹងត្រូវបានសរសេរជា arctg(lnx) ។ ឬអនុគមន៍ f ដែលជាអនុគមន៍ដែលលើកទៅថាមពលទី 4 ដែល g (x) = x 2 + 2 x − 3 ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាចំនួនគត់ មុខងារសមហេតុផលយើងរកឃើញថា f (g (x)) = (x 2 + 2 x − 3) 4 .
ជាក់ស្តែង g(x) អាចស្មុគស្មាញ។ ពីឧទាហរណ៍ y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 វាច្បាស់ណាស់ថាតម្លៃ g គឺ ឫសគូបជាមួយប្រភាគ។ ការបញ្ចេញមតិនេះ។អនុញ្ញាតឱ្យត្រូវបានតំណាងថាជា y = f (f 1 (f 2 (x))) ។ ពីកន្លែងដែលយើងមាន f គឺជាអនុគមន៍ស៊ីនុស ហើយ f 1 គឺជាអនុគមន៍ដែលមានទីតាំងនៅក្រោម ឫសការ៉េ, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 − 5 - អនុគមន៍ប្រភាគប្រភាគ។
និយមន័យ ៣
កម្រិតនៃការដាក់សំបុកត្រូវបានកំណត់ដោយណាមួយ។ លេខធម្មជាតិហើយត្រូវបានសរសេរជា y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x))))))) ។
និយមន័យ ៤
គោលគំនិតនៃសមាសភាពមុខងារ សំដៅលើចំនួននៃអនុគមន៍ដែលដាក់ដោយផ្អែកតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា។ ដើម្បីដោះស្រាយ សូមប្រើរូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញនៃទម្រង់
(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)
ឧទាហរណ៍
ឧទាហរណ៍ ១រកដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញនៃទម្រង់ y = (2 x + 1) ២.
ដំណោះស្រាយ
លក្ខខណ្ឌបង្ហាញថា f គឺជាអនុគមន៍ការ៉េ ហើយ g(x) = 2 x + 1 ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាអនុគមន៍លីនេអ៊ែរ។
ចូរយើងអនុវត្តរូបមន្តដេរីវេសម្រាប់អនុគមន៍ស្មុគស្មាញ ហើយសរសេរ៖
f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 − 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1); g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 − 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4
វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកដេរីវេជាមួយនឹងទម្រង់ដើមសាមញ្ញនៃមុខងារ។ យើងទទួលបាន៖
y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1
ពីទីនេះយើងមានវា។
y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 − 1 + 4 · 1 · x 1 − 1 = 8 x + 4
លទ្ធផលគឺដូចគ្នា។
នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហានៃប្រភេទនេះ វាជាការសំខាន់ណាស់ដែលត្រូវយល់ពីកន្លែងដែលមុខងារនៃទម្រង់ f និង g (x) នឹងស្ថិតនៅ។
ឧទាហរណ៍ ២
អ្នកគួរតែស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញនៃទម្រង់ y = sin 2 x និង y = sin x 2 ។
ដំណោះស្រាយ
ការសម្គាល់អនុគមន៍ទីមួយនិយាយថា f គឺជាអនុគមន៍ការ៉េ ហើយ g(x) គឺជាអនុគមន៍ស៊ីនុស។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបានវា។
y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 − 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x
ធាតុទីពីរបង្ហាញថា f គឺជាអនុគមន៍ស៊ីនុស ហើយ g(x) = x 2 ត្រូវបានតំណាង មុខងារថាមពល. វាដូចខាងក្រោមដែលយើងសរសេរផលិតផលនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញមួយដូចជា
y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 − 1 = 2 x cos (x 2)
រូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេ y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x)))))) នឹងត្រូវបានសរសេរជា y " = f " ( f 1 ( f 2 ( f 3 ( . . )))) · . . . fn "(x)
ឧទាហរណ៍ ៣
រកដេរីវេនៃអនុគមន៍ y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) ។
ដំណោះស្រាយ
ឧទាហរណ៍នេះបង្ហាញពីការលំបាកក្នុងការសរសេរ និងកំណត់ទីតាំងនៃមុខងារ។ បន្ទាប់មក y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))))) បង្ហាញពីកន្លែងដែល f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) គឺជាអនុគមន៍ស៊ីនុស មុខងារនៃការលើក ដល់ 3 ដឺក្រេ មុខងារជាមួយលោការីត និងគោល អ៊ី អនុគមន៍អាកតង់សង់ និងលីនេអ៊ែរ។
ពីរូបមន្តសម្រាប់កំណត់មុខងារស្មុគស្មាញ យើងមាននោះ។
y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (f 4) (x)) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x)
យើងទទួលបានអ្វីដែលយើងត្រូវស្វែងរក
- f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))))) ជាដេរីវេនៃស៊ីនុសយោងទៅតាមតារាងដេរីវេ បន្ទាប់មក f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x))))) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ។
- f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x))))) ជាដេរីវេនៃអនុគមន៍ថាមពល បន្ទាប់មក f 1" (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) ។
- f 2 "(f 3 (f 4 (x))) ជាដេរីវេលោការីត បន្ទាប់មក f 2" (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) ។
- f 3 "(f 4 (x)) ជាដេរីវេនៃ Arctangent បន្ទាប់មក f 3" (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2 ។
- នៅពេលរកឃើញដេរីវេទី f 4 (x) = 2 x យក 2 ចេញពីសញ្ញានៃដេរីវេដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍ថាមពលដែលមាននិទស្សន្តស្មើនឹង 1 បន្ទាប់មក f 4" (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 ។
យើងបញ្ចូលគ្នានូវលទ្ធផលកម្រិតមធ្យម ហើយទទួលបាននោះ។
y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (f 4) (x)) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)
ការវិភាគមុខងារបែបនេះគឺនឹកឃើញដល់តុក្កតាសំបុក។ ច្បាប់នៃភាពខុសគ្នាមិនអាចតែងតែត្រូវបានអនុវត្តយ៉ាងច្បាស់លាស់ដោយប្រើតារាងដេរីវេទេ។ ជារឿយៗអ្នកត្រូវប្រើរូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ។
មានភាពខុសគ្នាខ្លះរវាងរូបរាងស្មុគស្មាញ និងមុខងារស្មុគស្មាញ។ ជាមួយនឹងសមត្ថភាពច្បាស់លាស់ក្នុងការបែងចែកនេះ ការស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុនឹងមានភាពងាយស្រួលជាពិសេស។
ឧទាហរណ៍ 4
ចាំបាច់ត្រូវពិចារណាលើការសម្ដែង ឧទាហរណ៍ស្រដៀងគ្នា. ប្រសិនបើមានអនុគមន៍នៃទម្រង់ y = t g 2 x + 3 t g x + 1 នោះវាអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាមុខងារស្មុគស្មាញនៃទម្រង់ g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 ។ . ជាក់ស្តែង ចាំបាច់ត្រូវប្រើរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេស្មុគ្រស្មាញ៖
f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 − 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 − 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g" (x) = (2 t g x + 3) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x
អនុគមន៍នៃទម្រង់ y = t g x 2 + 3 t g x + 1 មិនត្រូវបានចាត់ទុកថាស្មុគស្មាញទេ ព្រោះវាមានផលបូកនៃ t g x 2, 3 t g x និង 1 ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ t g x 2 ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញ បន្ទាប់មកយើងទទួលបានអនុគមន៍ថាមពលនៃទម្រង់ g (x) = x 2 និង f ដែលជាអនុគមន៍តង់សង់។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះបែងចែកដោយបរិមាណ។ យើងទទួលបាននោះ។
y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2)" + 3 cos 2 x
ចូរបន្តទៅការស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញ (t g x 2) ":
f " (g (x)) = (t g (g (g (x)))" = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)
យើងទទួលបាន y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2)" + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x
មុខងារនៃប្រភេទស្មុគ្រស្មាញអាចត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងមុខងារស្មុគស្មាញ ហើយមុខងារស្មុគ្រស្មាញខ្លួនឯងអាចជាធាតុផ្សំនៃមុខងារនៃប្រភេទស្មុគស្មាញមួយ។
ឧទាហរណ៍ 5
ឧទាហរណ៍ ពិចារណាមុខងារស្មុគស្មាញនៃទម្រង់ y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)
អនុគមន៍នេះអាចត្រូវបានតំណាងជា y = f (g (x)) ដែលតម្លៃនៃ f ជាអនុគមន៍នៃលោការីតគោល 3 ហើយ g (x) ត្រូវបានចាត់ទុកជាផលបូកនៃអនុគមន៍ពីរនៃទម្រង់ h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 និង k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) ។ ជាក់ស្តែង y = f (h (x) + k (x)) ។
ពិចារណាមុខងារ h(x) ។ នេះគឺជាសមាមាត្រ l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 ទៅ m (x) = e x 2 + 3 3
យើងមានថា l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) គឺជាផលបូកនៃអនុគមន៍ពីរ n (x) = x 2 + 7 និង p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) ដែល p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) គឺជាអនុគមន៍ស្មុគស្មាញដែលមានមេគុណលេខ 3 ហើយ p 1 គឺជាអនុគមន៍គូប។ p 2 ដោយអនុគមន៍កូស៊ីនុស p 3 (x) = 2 x + 1 ដោយអនុគមន៍លីនេអ៊ែរ។
យើងបានរកឃើញថា m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) គឺជាផលបូកនៃអនុគមន៍ពីរ q (x) = e x 2 និង r (x) = 3 3 ដែល q (x) = q 1 (q 2 (x)) ជាអនុគមន៍ស្មុគស្មាញ q 1 ជាអនុគមន៍ដែលមានអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល q 2 (x) = x 2 ជាអនុគមន៍ថាមពល។
នេះបង្ហាញថា h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3) ។ (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)
នៅពេលផ្លាស់ទីទៅកន្សោមនៃទម្រង់ k (x) = ln 2 x (x 2 + 1) = s (x) t (x) វាច្បាស់ណាស់ថាមុខងារត្រូវបានបង្ហាញជាទម្រង់ស្មុគស្មាញ s (x) ។ = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) ជាមួយចំនួនគត់សមហេតុផល t (x) = x 2 + 1 ដែល s 1 ជាអនុគមន៍ការេ ហើយ s 2 (x) = ln x គឺជាលោការីតជាមួយនឹងគោល e .
វាដូចខាងក្រោមថាកន្សោមនឹងយកទម្រង់ k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x) ។
បន្ទាប់មកយើងទទួលបានវា។
y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)
ដោយផ្អែកលើរចនាសម្ព័ន្ធនៃមុខងារ វាច្បាស់អំពីរបៀប និងរូបមន្តអ្វីខ្លះដែលត្រូវប្រើ ដើម្បីសម្រួលការបញ្ចេញមតិនៅពេលបែងចែកវាឱ្យកាន់តែច្បាស់។ សម្រាប់ព័ត៌មាន ភារកិច្ចស្រដៀងគ្នាហើយសម្រាប់គោលគំនិតនៃការដោះស្រាយពួកវា វាចាំបាច់ក្នុងការងាកទៅរកចំណុចនៃការបែងចែកមុខងារមួយ ពោលគឺការស្វែងរកដេរីវេរបស់វា។
ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមរំលេចវា ហើយចុច Ctrl+Enter