Moldova Vabariigi Insarski rajooni MBOU "Mordovsko-Paevskaya keskkool".
Lõpetanud: Pantileikina Nadežda,
11. klassi õpilane
Juht: Kadõškina N.V.,
matemaatika õpetaja
Sisukord
Sissejuhatus……………………………………………………………………………………….
I peatükk. Trigonomeetrilistest võrranditest……………………………………..…5
1) Trigonomeetriliste võrrandite põhitüübid ja nende lahendamise meetodid:
1. Kõige lihtsamateks taandatud võrrandid. ………………………………………..5
2. Ruutarvuks taandavad võrrandid………………………………….5
3. Homogeensed võrrandid acosx + b sin x = 0……………………………………6
4. Võrrandid kujul acosx + b sin x = c, c≠ 0……………………………………7
5. Faktoriseerimisega lahendatud võrrandid………………………….7
6. Mittestandardsed võrrandid…………………………………………………….8
II peatükk. Trigonomeetria põhimõisted ja valemid……………………….8-10
II peatükk I. Väljapakutud võrrandid Mineviku ühtsed riigieksamid aastat…………………10-14
Järeldus……………………………………………………………………………………….14
Lisa……………………………………………………………..…………………………..15-17
Kirjandus……………………………………………………………………………………………..18
Sissejuhatus
« Ainus viis teadmisteni viimine on tegevus...”
Bernardi näitus
Töö asjakohasus.
Mõne kuu pärast lõpetan kooli.
Et edasise valikuga probleeme ei tekiks elutee, vajalik saada koolitunnistus ja koolitunnistuse saamiseks tuleb läbida kaks kohustuslik eksam V Ühtne riigieksami vorm- ja üks neistmatemaatika. Mis ma ikka öelda saan? lõpueksamid- otsustav periood iga koolilapse elus, millest sõltub mitte ainult tunnistuse viimane hinne, vaid ka tema tööalane tulevik, sissetulek ja karjäär.
Vallaline Riigieksam- See oluline test enne kolimist uus elu ja vastuvõtt ülikooli või kolledžisse. Eriti oluline on see heade punktidega läbida.Matemaatika ühtne riigieksam on tõsine katsumus ja ilma korraliku vundamendita ei saa õpilane korralikku tulemust nõuda.
Kuidas vältida eksamil läbi kukkumist ja häid hindeid? Selleks tuleb ülesanded hästi lahendada. Ma ei pretendeeri maksimaalne punktisumma Küll aga valmistun hoolega. Ja ma märkasin, et isegi C osa esimeses ülesandes, nimelt trigonomeetriliste võrrandite ja nende süsteemide lahendamisel, teen vigu.Esmapilgul on ülesanne C1 suhteliselt lihtne võrrand või võrrandisüsteem, mis võib sisaldada trigonomeetrilisi funktsioone,Üks peamisi lähenemisviise nende lahendamisel on nende järjestikune lihtsustamine, et taandada need ühele või mitmele kõige lihtsamale.Miks ma siis eksin?
Teema asjakohasus määrab asjaolu, et õpilased peavad mõistma teatud trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodeid.
Seetõttu seadsin endale järgmisesihtmärk:
Süstematiseerida ja laiendada trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodite kasutamisega seotud teadmisi ja oskusi.
Õppeobjekt on trigonomeetriliste võrrandite uurimine ühtse riigieksami ülesannetes.
Õppeaine- on trigonomeetriliste võrrandite lahendus
Seega peamine eesmärk seda kirjutades kursusetöö on trigonomeetriliste võrrandite ja nende süsteemide uurimine, nende lahendamise meetodid.
Vastavalt uuringu eesmärkidele, objektile ja subjektile määratletakse: ülesanded:
1). Õppige kõiki aadressil pakutavaid trigonomeetriliste võrrandite lahendamisega seotud ülesandeid Ühtne riigieksam töötab eelmistel aastatel ja esinemisel diagnostiline töö;
2) Trigonomeetriliste võrrandite lahendamise õppemeetodid.
3). Tuvastage peamine võimalikud vead selliste võrrandite lahendamisel;
4). Uurige selliste vigade tegemise põhjust.
6). Järeldusi tegema.
Oma töös lahendan mitmeid trigonomeetrilisi võrrandeid, näitan võimalikke vigu nende lahendamisel ja püüan vastata järgnevale küsimused:
1). Kas C1 tüüpi ülesannete täitmisel on võimalik vigu vältida?
2) Kui ma harjutan seda tüüpi võrrandite lahendamist, siis saan
Kas selliseid ülesandeid on võimalik vigadeta täita?
Sel eesmärgil uurisin kõiki demosid ja treeningülesanded veetis meiega, Ühtse riigieksami materjalid eelnevad aastad;
uuritud teatmeallikaid;
iseseisvalt lahendatud ülesandeid Internetist;
raskuste korral konsulteeris oma õpetajaga;
Õppisin tulemusi analüüsima ja õigesti vormistama.
Peatükk I. Trigonomeetrilistest võrranditest.
1) Definitsioon 1. Trigonomeetriline võrrand on võrrand, mis sisaldab tunnuse all muutujat trigonomeetrilised funktsioonid.
Kõige lihtsamad trigonomeetrilised võrrandid on võrrandid tüüp patt x = a,
cos x=a, tg x=a, ctg x = a.
Sellistes võrrandites on muutuja trigonomeetrilise funktsiooni märgi all ja on antud arv.
Trigonomeetrilise võrrandi lahendamine koosneb kahest etapist: võrrandi teisendamine selle lihtsaima kuju saamiseks ja saadud lihtsaima trigonomeetrilise võrrandi lahendamine.
2) Trigonomeetriliste võrrandite põhitüübid.
Võrrandid on taandatud kõige lihtsamateks.
Lahenda võrrand
Lahendus:
Vastus:
Ruutarvuks taandavad võrrandid.
1) Lahendage võrrand 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.
Vastus:
Homogeensed võrrandid: asinx + bcosx = 0
a sin 2 x + b sinxcosx + c sest 2x = 0.
Lahendage võrrand 2sinx – 3cosx = 0
Lahendus: Olgu cosx = 0, siis 2sinx = 0 ja sinx = 0 – vastuolu
et sin 2 x + cos 2 x = 1. See tähendab, et cosx ≠ 0 ja saame võrrandi jagada cosx-ga.
Saame
Vastus:
Näide: Lahenda võrrand
Lahendus: 
Vastus:
Faktoriseerimisega lahendatud võrrandid.
Priper: Lahendage võrrand sin2x – sinx = 0.
Lahendus: kasutades valemit sin2x = 2sinxcosx, saame
2sinxcosx – sinx = 0,
sinx (2cosx – 1) = 0.
Korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga.
Vastus:
Mittestandardsed võrrandid.
Lahendage võrrand cosx = X 2 + 1.
Lahendus:
Vaatame funktsioone
Peatükk II. Trigonomeetria põhimõisted ja valemid.
Trigonomeetrilised võrrandid- iga matemaatikaeksami kohustuslik teema.
KOHTAx, kui palju piina trigonomeetria õppimine õpilastes tekitab.
Teatud raskused tekivad ka siis, kui läheduses on õpetajamatemaatika ja selgitab iga pisiasja. See on arusaadav, ainult põhivalemid neid on üle kahekümne. Ja kui nende tuletised kokku lugeda... Õpilane satub arvutustes segadusse ega mäleta mehhanisme, mille abil need valemid võimaldavad leida nt. .
Teate valemeid – teil on lihtne otsustada. Kui te ei tea, ei saa te aru, isegi kui nad teile valemi annavad.Te ei pea lihtsalt teadma valemit, vaid peate teadma, kus seda saab rakendada, kuidas seda avada ja mis on valemi olemus, ning selleks peate lahendama näiteid spetsiaalselt nende probleemide jaoks, mis on raske lahendada.
Alguses mulle tundustrigonomeetria on igav valemite ja graafikute komplekt. Uute trigonomeetria kontseptsioonide ja trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetoditega tutvudes veendusin aga iga kord, kui huvitav ja paeluv on trigonomeetria maailm.
Esiteks, trigonomeetriliste võrrandite edukaks lahendamiseks peate hästi teadma trigonomeetrilised valemid, mitte ainult peamised, vaid ka täiendavad (trigonomeetriliste funktsioonide summa teisendamine korrutiseks ja toodete summaks, kraadide vähendamise valemid ja muud),alates kasutamisest Ühtse riigieksami petulehed Ja Mobiiltelefonid keelatud
(1. lisa)
Teiseks , me peame selgelt teadma standardvalemid kõige lihtsamate trigonomeetriliste võrrandite juured (kasulik meeles pidada või saada, kasutades trigonomeetriline ring võrrandite juurte lihtsustatud valemid)
Kõik need võrrandid lahendatakse valemite abil, mida peaksite teadma. Need on valemid:
a) Funktsioony= pattx. Funktsioon on piiratud: see on vahemikus [-1; 1]. See tähendab, et võrrandite lahendamisel nagusinx=2 võisinxsinx
1) sinx =a,x= (-1) n kaarsin a +n,n 
Z
2) sinx = - a,x= (-1) n+1 kaarsin a +n,n Z
Samuti peate teadma erijuhtumeid: 1)
sinx =- 1, 
2)sinx =0,
3)sinx =
a,
Samuti tuleb osata lahendadakahe seeria juurte kujul
2. Funktsioon y = cos x . Funktsioon on piiratud: see on vahemikus [-1; 1]. See tähendab, et võrrandite lahendamisel nagucosx=2 võicosx=-5 vastuseks selgub: juurteta. Funktsiooni y= valemidcosx:
1. cosx =a, X=± arccos a+2n,n Z
2.cos x=-a, X=±( - arccos a)+2n,n Z
Erijuhtumid: 1.
cosx =-1,
X =
+2
n,
n Z
2.
cosx = 0,
3. cosx =1, X= 2n,n Z
3. Funktsioony= tgx.
On ainult üks valem, ilma erijuhtudeta:tgx = ± a .
X = ±
arctan a+n,n Z
Kolmandaks peate teadma trigonomeetriliste funktsioonide väärtusi;
(2. lisa)
Neljandaks, Kui võrrandis on trigonomeetriline funktsioon radikaali märgi all, siis on selline trigonomeetriline võrrand irratsionaalne. Sellistes võrrandites peate järgima kõiki reegleid, mida kasutatakse tavavõrrandite lahendamisel. irratsionaalsed võrrandid(arvestatud pindala vastuvõetavad väärtused nii võrrand ise kui ka paarisastme juurest vabastatuna).
V. Eelmiste aastate ühtsel riigieksamil pakutud võrrandid.
"Lahendusmeetod on hea, kui me suudame algusest peale ette näha - ja hiljem seda kinnitada -, et seda meetodit järgides saavutame eesmärgi."
Leibniz
1. Ruutarvuks taandavad võrrandid.
C1. Lahenda võrrand: 
Lahendus: kasutades põhilist trigonomeetrilist identiteeti,kirjutame võrrandi ümber kujul
Asendaminecos=
tvõrrand taandub ruutarvuks:2t 2
+ 9
t-5 =0, millel on juuredt 1
= ½ jat 2
= -5. Tulles tagasi muutuja x juurde, saame 
,
Teisel võrrandil puuduvad juured alates |cosx |≥1 ja esimesest x =± 
+6k, k Z
Vastus: =± +6k, k Z
Järeldus: Uue muutuja sisseviimisel tuleb sellega arvestada patuväärtused x ja cos x on segmendiga piiratud 
, muidu tekivad kõrvalised juured.
2. Faktoriseerimisega lahendatud võrrandid
Ülesanne C1 (2011)
a) Lahenda võrrand
b) Märkige lõigu juurde kuuluva võrrandi juured 
Lahendus: a) lahendage vasakpoolne külg:
rühmitada ja välja viia ühine kordaja väljaspool sulgusid, saame
Võrrandil 1) pole lahendusi.
Teine võrrand on homogeenne, seda saab lahendada, jagades liikme liikmega cosx ≠0, saame 
, kus 
b) 
Vastus: a) 
b) 
Järeldus:
1. Seda tüüpi võrrandi lahendamisel tuleb esiteks teada, et |sin x|≤1 ja |cosx |≤1 ning võrrandil sinx =-2 pole lahendeid;
2. Teiseks põhjendage jagamist cosx ≠о (sest kui cosx = 0, siis sin x = 0, kuid see on võimatu;
kolmandaks on mõistlik valida antud intervalli kuuluvad juured
3
.Võrrand redutseerimisvalemite rakendamiseks
C1 (2010) Arvestades võrrandit
a) lahendage võrrand;
b 
) Märkige segmenti kuuluvad juured
Lahendus: redutseerimisvalemeid kasutades saame:
sin 2 x – cos x =0,
2 sinx cosx- cosx =0,
Koos osx (2 sinx -1) = 0, millest cosx = 0 või sinx = ½,
b) Leidke k väärtused, mille juurde juured kuuluvad
määratud intervall. Juurte valimiseks. antud intervalli kuuludes esitame lahenduse kujul:
b 
) Leidke k väärtused, mille juures juured kuuluvad määratud intervalli.
2)
Selle ebavõrdsuse lahendamine, tervik
me ei saa k väärtusi.
Vastus: a)
b) 
Järeldus:
Seda tüüpi võrrandi lahendamisel on vaja teada antud võrrandi valemeid ja seda õigesti rakendada; oskama lahendust esitada 
kaheks juurte seeriaks; valida õiged juured, mis kuuluvad antud segmenti.
4. Trigonomeetriliste võrrandite süsteemid
C1 (2010).
Lahenda võrrandisüsteem 
Lahendus: O.D.Z 
Murd on võrdne nulliga, kui lugeja on 0 ja nimetaja ei ole 0.
Võrrandist 2sin 2 x – 3 sinx +1 =0, lahendades uue muutuja sisseviimisega, leiame
või sin x =1.
1) Lase , Siis 
ja y = cos x = 
›0 (kasutades põhilist trigonomeetriline identiteet)
või 
Ja 
- otsust pole.
2) Lase sinx = 1, siis y = cos x = 0 – lahendus puudub.
Vastus: ja y =
Järeldus: 1) on vaja arvestada trigonomeetriliste piirangutega
funktsioonid
2) Salvestage ja arvestage O.D.Z.
5. C1 (USE 2011) Lahendage võrrand:
O.D.Z. – cos x ≥ 0, sin x ≤ 0.
4sin 2 x + 12 sinx + 5 = 0 või cos x =0
sinx = t 
4 t 2 + 12 t + 5 = 0, kust t 1 = -½, t 2 = -
sinx = -½ sinx=- - pole lahendust
x = 
x = 
võttes arvesse O.D.Z. x =
Vastus: x =
Järeldus: kirjutage vastus üles, võttes arvesse O.D.Z.
KOKKUVÕTE
Tehtud töös uurisin trigonomeetriliste võrrandite lahendusi, kaalusin soovitusi trigonomeetriliste võrrandite lahendamiseks, trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodeid ning kaalusin nende lahendamisel võimalikke vigu.
ma tulin järgmised järeldused:
1. C1 tüüpi ülesanded testivad trigonomeetriliste võrrandite lahendamise oskust. Need ülesanded on tõepoolest lihtsad, mis annab liigse enesekindluse ja uinutab tähelepanu. Nende ülesannete ainus raskus seisneb selles, et pärast võrrandi või võrrandisüsteemi lahendamist visake kõrvale kõrvalised juured.
2.
Ülesanne C1 on kõige rohkem lihtne ülesanne rühm C. Selle lahendamisel tülikad teisendused ja keerukad arvutused. Kui need ilmuvad, peate kohe peatuma, kontrollima lahendust ja proovima mõista, mis siin valesti on.
3. LõppkokkuvõttesPeamine nõue on, et lahendus peab olema matemaatiliselt kirjaoskaja ja sellest arutluskäik selge.Peate püüdma oma otsust lühidalt ja selgelt kirja panna, kuid mis kõige tähtsam - õigesti!
4. Ja mis kõige tähtsam, selleks, et õppida võrrandeid vigadeta lahendama, peate need lahendama! Lõppude lõpuks, nagu Polya ütles, "Kui soovite õppida ujuma, sukelduge julgelt vette ja kui soovite õppida probleeme lahendama, peate need lahendama!"
1. liide (trigonomeetria põhivalemid)
1) põhiline trigonomeetriline identiteetpatt 2 α + cos 2 α = 1,
Jagades selle võrrandi vastavalt koosinuse ja siinuse ruuduga, saame
2) topeltargumendi valemidpatt2α =2pattα cos α,
cos 2α =cos 2 α - patt 2 α ,
Cos 2α = 1-2sin 2 α,
3) astme vähendamise valemid: 
4) kahe argumendi summa ja erinevuse valemid:
patt(α+ β )= pattα cosβ + cos α pattβ
patt(α- β )= pattα cos β - cos α patt β
cos(α+ β )= cosα cos β + patt α patt β
cos(α- β )= pattα cos β + pattα patt β
5) Taandusvalemid
Taandusvalemeid nimetatakse valemiteks järgmist tüüpi:
Trigonomeetriliste võrrandite summad ja erinevused
Pariteet
koosinus-paaris, siinus, puutuja ja kotangens, see on:
Järjepidevus
Siinus ja koosinus -
. Tangent ja on
,kootangens 0; ±π; ±2π;…
Perioodilisus
Funktsioonidy = cosx, y = pattx -
Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.
Isikuandmete kogumine ja kasutamine
Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.
Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.
Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me seda teavet kasutada võime.
Milliseid isikuandmeid me kogume:
- Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, aadressi Meil jne.
Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:
- Meie poolt kogutud isiklik informatsioon võimaldab meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsed pakkumised, tutvustusi ja muid üritusi ning eelseisvaid sündmusi.
- Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
- Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, nagu auditeerimine, andmeanalüüs ja erinevaid uuringuid et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
- Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.
Teabe avaldamine kolmandatele isikutele
Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.
Erandid:
- Vajadusel vastavalt seadusele, kohtumenetlus, V kohtuprotsess ja/või avalike taotluste või taotluste alusel valitsusagentuurid Vene Föderatsiooni territooriumil - avaldage oma isikuandmed. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
- Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.
Isikuandmete kaitse
Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas halduslikud, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.
Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil
Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.
Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.
Isikuandmete kogumine ja kasutamine
Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.
Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.
Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me seda teavet kasutada võime.
Milliseid isikuandmeid me kogume:
- Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, e-posti aadressi jne.
Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:
- Kogutud isikuandmed võimaldavad meil teiega ühendust võtta unikaalsete pakkumiste, tutvustuste ja muude sündmuste ning eelseisvate sündmustega.
- Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
- Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
- Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.
Teabe avaldamine kolmandatele isikutele
Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.
Erandid:
- Vajadusel - vastavalt seadusele, kohtumenetlusele, kohtumenetluses ja/või Venemaa Föderatsiooni territooriumil asuvate avalike taotluste või valitsusasutuste taotluste alusel - oma isikuandmeid avaldada. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
- Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.
Isikuandmete kaitse
Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas halduslikud, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.
Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil
Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.