Funktsiooni laiendamine Taylori, Maclaurini ja Laurenti seeriateks praktiliste oskuste koolitamise saidil. Funktsiooni seeria laiendus võimaldab matemaatikutel hinnata funktsiooni ligikaudset väärtust selle määratluspiirkonna teatud hetkel. Sellist funktsiooni väärtust on palju lihtsam arvutada võrreldes Bredise tabeli kasutamisega, mis on sellel sajandil nii ebaoluline arvutitehnoloogia. Funktsiooni laiendamine Taylori seeriasse tähendab koefitsientide arvutamist enne lineaarsed funktsioonid see seeria ja kirjutage see üles õige vorm. Õpilased ajavad need kaks seeriat segamini, mõistmata, mis on üldine juhtum, ja mis on teise erijuht. Tuletame teile lõplikult meelde Maclaurini sarja - erijuhtum Taylori seeria, see tähendab, et see on Taylori seeria, kuid punktis x = 0. Kõik lühikirjed tuntud funktsioonide laiendamiseks, nagu e^x, Sin(x), Cos(x) ja teised, on Taylori seeria laiendused , kuid argumendi jaoks on punkt 0. Keerulise argumendi funktsioonide puhul on Laurent'i seeria TFCT-s kõige levinum probleem, kuna see esindab kahepoolset lõpmatut jada. See on kahe seeria summa. Soovitame vaadata lagundamise näidet otse veebisaidil; seda on väga lihtne teha, klõpsates suvalise numbriga "Näide" ja seejärel nupul "Lahendus". Just see funktsiooni laiendamine jadaks, mis on seotud suuremate jadatega, piirab algfunktsiooni teatud piirkonnas piki ordinaattelge, kui muutuja kuulub abstsisspiirkonda. Vektoranalüüs Võrreldakse veel üht huvitavat distsipliini matemaatikas. Kuna iga terminit tuleb uurida, võtab protsess üsna palju aega. Mis tahes Taylori seeriat saab seostada Maclaurini seeriaga, asendades x0 nulliga, kuid Maclaurini seeria puhul pole mõnikord ilmne, et Taylori seeriat tagurpidi kujutataks. Pole tähtis, kui palju seda on vaja teha puhtal kujul, kuid huvitav üldiseks enesearenguks. Iga Laurent'i seeria vastab täisarvudes kahepoolsele lõpmatule astmereale volitused z-a, ehk teisisõnu sama Taylori tüüpi seeria, kuid koefitsientide arvutamisel veidi erinev. Laurenti seeria konvergentsipiirkonnast räägime veidi hiljem, pärast mitmeid teoreetilisi arvutusi. Nagu eelmisel sajandil, on vaevalt võimalik funktsiooni järkjärgulist laiendamist jadaks saavutada lihtsalt tingimuste vähendamisega ühine nimetaja, kuna funktsioonid nimetajates on mittelineaarsed. Ligikaudne arvutus funktsionaalne tähtsus nõuab ülesannete seadmist. Mõelge sellele, et kui Taylori seeria argument on lineaarne muutuja, siis laienemine toimub mitmes etapis, kuid pilt on täiesti erinev, kui laiendatava funktsiooni argumendiks on kompleksne või mittelineaarne funktsioon, siis protsess sellise funktsiooni esitamine astmereas on ilmne, kuna sel viisil on seega lihtne arvutada, ehkki ligikaudne väärtus, mis tahes punktis definitsioonipiirkonnas minimaalse veaga, millel on vähe mõju edasistele arvutustele. See kehtib ka Maclaurini seeria kohta. kui teil on vaja funktsiooni hinnata null punkt. Laurenti seeriat ennast esindab siin aga laiendus lennukis mõtteliste üksustega. Samuti ei jää see eduta õige lahendusülesandeid ajal üldine protsess. Seda lähenemist matemaatikas ei tunta, kuid see on objektiivselt olemas. Selle tulemusena võite jõuda nn punktipõhiste alamhulkade järeldusele ja funktsiooni laiendamisel reas peate kasutama selle protsessi jaoks tuntud meetodeid, näiteks tuletiste teooria rakendamist. Veel kord Oleme veendunud, et õigus on õpetajal, kes tegi oma oletused järelarvutuste tulemuste kohta. Pangem tähele, et kõigi matemaatika kaanonite järgi saadud Taylori seeria on olemas ja on määratletud kogu numbriteljel, kuid kallid saiditeenuse kasutajad, ärge unustage algse funktsiooni tüüpi, sest see võib osutuda et esialgu on vaja määrata funktsiooni määratluspiirkond, st kirjutada ja jätta edasisest vaatlusest välja need punktid, kus funktsioon pole piirkonnas määratletud reaalarvud. Nii-öelda näitab see teie tõhusust probleemi lahendamisel. Nullargumendi väärtusega Maclaurini seeria konstrueerimine ei ole erand sellest, mida on öeldud. Keegi pole funktsiooni määratluspiirkonna leidmise protsessi tühistanud ja sellele tuleb suhtuda täie tõsidusega matemaatiline tehe. Põhiosa sisaldava Laurent'i seeria puhul nimetatakse parameetrit "a" isoleeritud ainsuse punktiks ja Laurent'i seeriat laiendatakse ringina - see on selle osade lähenemisalade ristumiskoht, seega järgneb vastav teoreem. Kuid kõik pole nii keeruline, kui kogenematule õpilasele esmapilgul võib tunduda. Olles uurinud Taylori seeriat, saate hõlpsasti mõista Laurenti seeriat - üldistatud juhtumit numbrite ruumi laiendamiseks. Funktsiooni mis tahes jadalaiendust saab teostada ainult funktsiooni määratluspiirkonna punktis. Arvesse tuleks võtta funktsioonide omadusi, nagu perioodilisus või lõpmatu diferentseeritavus. Samuti soovitame teil kasutada Taylori seeria valmis laienduste tabelit elementaarsed funktsioonid, kuna ühte funktsiooni saab esitada kuni kümnete erinevate võimsusseeriatena, nagu on näha meie veebikalkulaatori kasutamisest. Online sarjad Maclaurini määramine on sama lihtne kui pirnide koorimine, kui kasutate saidi ainulaadset teenust, peate lihtsalt sisestama õige kirjaliku funktsiooni ja saate esitatud vastuse mõne sekundiga, see on garanteeritud, et see on täpne ja standardne kirjalik vorm. Saate kopeerida tulemuse otse puhtasse koopiasse, et see õpetajale esitada. Õige oleks esmalt määrata kõnealuse funktsiooni analüütilisus rõngastes ja seejärel ühemõtteliselt väita, et see on Laurent'i seerias laiendatav kõigis sellistes rõngastes. Oluline on mitte kaotada sisu silmist negatiivsed jõud Laurent'i sarja liikmed. Keskenduge sellele nii palju kui võimalik. Kasutage hästi Laurenti teoreemi funktsiooni laiendamise kohta täisarvude astmetes.
Õpilastele kõrgem matemaatika peab teadma, et summa teatud jõuseeria, mis kuulub meile antud jada konvergentsivahemikku, osutub pidevaks ja piiramatuks arvuks diferentseeritud funktsioon. Tekib küsimus: kas võib öelda, et antud suvaline funktsioon f(x) on mõne astmerea summa? See tähendab, millistel tingimustel saab funktsiooni f(x) kujutada? jõuseeria? Selle küsimuse tähtsus seisneb selles, et funktsiooni f(x) on võimalik ligikaudu asendada astmerea paari esimese liikme summaga, see tähendab polünoomiga. See funktsiooni asendamine on üsna lihtne väljend- polünoom - on mugav ka teatud ülesannete lahendamisel, nimelt: integraalide lahendamisel, arvutamisel jne.
On tõestatud, et teatud funktsiooni f(x) korral, milles on võimalik arvutada tuletisi kuni (n+1) järguni, kaasa arvatud viimane, (α - R; x 0 + R) ) mingi punkt x = α, on tõsi, et valem:
See valem on oma nime saanud kuulsa teadlase Brooke Taylori järgi. Eelmisest saadud seeriat nimetatakse Maclaurini seeriaks:
Reegel, mis võimaldab Maclaurini seerias laiendada:
- Määrake esimese, teise, kolmanda... järgu tuletised.
- Arvutage välja, millega on x=0 tuletised võrdsed.
- Kirjutage selle funktsiooni jaoks üles Maclaurini seeria ja seejärel määrake selle lähenemise intervall.
- Määrake intervall (-R;R), kus on Maclaurini valemi ülejäänud osa
R n (x) -> 0 n juures -> lõpmatus. Kui selline on olemas, peab selles sisalduv funktsioon f(x) ühtima Maclaurini rea summaga.
Vaatleme nüüd Maclaurini seeriat üksikute funktsioonide jaoks.
1. Seega esimene on f(x) = e x. Loomulikult on sellisel funktsioonil oma omaduste järgi väga erinevat järku tuletisi ja f (k) (x) = e x , kus k võrdub kõigiga Asendada x = 0. Saame f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2... Eelneva põhjal näeb seeria e x välja selline:
2. Maclaurini jada funktsiooni f(x) = sin x jaoks. Teeme kohe selgeks, et kõigi tundmatute funktsioonil on tuletised, lisaks f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), kus k on mis tahes naturaalarv. See tähendab, et pärast lihtsate arvutuste tegemist võime jõuda järeldusele, et f(x) = sin x jada on järgmisel kujul:
3. Nüüd proovime vaadelda funktsiooni f(x) = cos x. Kõigi tundmatute jaoks on sellel tuletised suvalises järjekorras ja |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:
Niisiis, oleme loetletud kõige olulisemad funktsioonid, mida saab Maclaurini seerias laiendada, kuid mõne funktsiooni jaoks on neid täiendatud Taylori seeriaga. Nüüd loetleme need. Samuti väärib märkimist, et Taylori ja Maclaurini seeriad on oluliseks osaks praktilises töös kõrgema matemaatika seeriate lahendamisel. Niisiis, Taylori sari.
1. Esimene on funktsiooni f(x) = ln(1+x) jada. Nagu eelmistes näidetes, saame antud f(x) = ln(1+x) korral lisada seeriad, kasutades Maclaurini seeria üldkuju. selle funktsiooni jaoks saab aga Maclaurini seeriat saada palju lihtsamalt. Pärast teatud geomeetrilise jada integreerimist saame sellise valimi jaoks rea f(x) = ln(1+x):
2. Ja teine, mis on meie artiklis lõplik, on seeria f(x) = arctan x. Intervalli [-1;1] kuuluva x puhul kehtib laiendus:
See on kõik. Selles artiklis vaadeldi enim kasutatud Taylori ja Maclaurini seeriaid kõrgemas matemaatikas, eriti majandus- ja tehnikaülikoolides.
Kui funktsioon f(x) on mõnel intervallil, mis sisaldab punkti A, kõigi järkude tuletised, siis saab sellele rakendada Taylori valemit:
Kus r n– seeria nn jääk liige või jääk, seda saab hinnata Lagrange'i valemi abil:
, kus arv x on vahel X Ja A.
Kui mõne väärtuse eest x r n®0 kl n®¥, siis limiidis muutub Taylori valem selle väärtuse koonduvaks valemiks Taylori sari:
Seega funktsioon f(x) saab kõnealuses punktis laiendada Taylori seeriaks X, Kui:
1) tal on kõikide tellimuste tuletised;
2) konstrueeritud jada selles punktis koondub.
Kell A=0 saame seeria nimega Maclaurini lähedal:
Näide 1 f(x)= 2x.
Lahendus. Leiame funktsiooni ja selle tuletiste väärtused aadressil X=0
f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;
f¢(x) = 2x ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2 = ln2;
f¢¢(x) = 2x 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 ln 2 2 = ln 2 2;
f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2 = ln n 2.
Asendades saadud tuletiste väärtused Taylori seeria valemiga, saame:
Selle seeria lähenemisraadius on võrdne lõpmatusega, seetõttu kehtib see laiendus -¥<x<+¥.
Näide 2 X+4) funktsiooni jaoks f(x)= e x.
Lahendus. Funktsiooni e tuletiste leidmine x ja nende väärtused hetkel X=-4.
f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;
f¢(x)= e x, f¢(-4) = e -4 ;
f¢¢(x)= e x, f¢¢(-4) = e -4 ;
f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .
Seetõttu on funktsiooni nõutav Taylori seeria vorm:
See laiendus kehtib ka -¥ jaoks<x<+¥.
Näide 3 . Laiendage funktsiooni f(x)=ln x volituste seerias ( X- 1),
(st Taylori seerias punkti läheduses X=1).
Lahendus. Leia selle funktsiooni tuletised.
Asendades need väärtused valemisse, saame soovitud Taylori seeria:
Kasutades d'Alemberti testi, saate kontrollida, kas seeria koondub millal
½ X- 1½<1. Действительно,
Seeria koondub, kui ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 saame vahelduva jada, mis vastab Leibnizi kriteeriumi tingimustele. Kell X=0 funktsioon pole määratletud. Seega on Taylori rea konvergentsi piirkonnaks poolavatud intervall (0;2]).
Esitagem sel viisil saadud laiendused Maclaurini seeriasse (s.o. punkti läheduses X=0) mõne elementaarfunktsiooni jaoks:
(2) 
,
(3) 
,
( nimetatakse viimast lagunemist binoomne jada)
Näide 4 . Laiendage funktsioon astmeseeriaks
Lahendus. Laienduses (1) asendame X peal - X 2, saame:
Näide 5
. Laiendage funktsiooni Maclaurini seerias 
Lahendus. Meil on 
Kasutades valemit (4), saame kirjutada:
selle asemel asendades X valemisse -X, saame:
Siit leiame:
Sulgusid avades, sarja tingimusi ümber paigutades ja sarnaseid termineid tuues saame
See seeria läheneb intervallile
(-1;1), kuna see on saadud kahest seeriast, millest igaüks koondub selles intervallis.
Kommenteeri .
Valemeid (1)-(5) saab kasutada ka vastavate funktsioonide laiendamiseks Taylori seeriaks, s.t. funktsioonide laiendamiseks positiivsete täisarvude astmetes ( Ha). Selleks on vaja antud funktsioonil sooritada sellised identsed teisendused, et saada üks funktsioonidest (1)-(5), milles selle asemel X maksab k( Ha) m , kus k on konstantne arv, m on positiivne täisarv. Sageli on mugav muuta muutujat t=Ha ja laiendage saadud funktsiooni t suhtes Maclaurini seerias.
See meetod illustreerib teoreemi funktsiooni astmerea laienduse unikaalsuse kohta. Selle teoreemi olemus seisneb selles, et sama punkti naabruses ei ole võimalik saada kahte erinevat astmerida, mis läheneksid samale funktsioonile, olenemata sellest, kuidas seda laiendatakse.
Näide 6 . Laiendage funktsiooni Taylori seerias punkti läheduses X=3.
Lahendus. Selle probleemi saab nagu varemgi lahendada Taylori seeria definitsiooni abil, mille jaoks peame leidma funktsiooni tuletised ja nende väärtused X=3. Siiski on lihtsam kasutada olemasolevat laiendust (5):
Saadud seeria koondub kell 
või –3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.
Näide 7
. Kirjutage Taylori seeria võimsustes ( X-1) funktsioonid 
.
Lahendus.
Seeria koondub kell 
või 2< x 5 naela.
16.1. Elementaarfunktsioonide laiendamine Taylori seeriasse ja
Maclaurin
Näitame, et kui hulgal on defineeritud suvaline funktsioon 
, punkti läheduses 
sellel on palju tuletisi ja see on astmerea summa:
siis leiate selle seeria koefitsiendid.
Asendame võimsusreas 
. Siis 
.
Leiame funktsiooni esimese tuletise 
:
Kell 
:
.
Teise tuletise jaoks saame:
Kell 
:
.
Selle protseduuri jätkamine n kui saame: 
.
Nii saime astmerea kujul:
,
mida nimetatakse Taylori kõrval funktsiooni jaoks 
punkti läheduses 
.
Taylori seeria erijuhtum on Maclaurin seeria juures 
:
Ülejäänud osa Taylori (Maclaurin) seeriast saadakse põhiseeria äraviskamisel n esimesed liikmed ja seda tähistatakse kui 
. Siis funktsioon 
saab kirjutada summana n sarja esimesed liikmed 
ja ülejäänud 
:,
.
Ülejäänud on tavaliselt 
väljendatakse erinevates valemites.
Üks neist on Lagrange'i kujul:
, Kus 
.
.
Pange tähele, et praktikas kasutatakse Maclaurini seeriat sagedamini. Seega funktsiooni kirjutamiseks 
astmerea summa kujul on vajalik:
1) leida Maclaurini (Taylori) seeria koefitsiendid;
2) leida saadud astmeridade konvergentsipiirkond;
3) tõestada, et see jada koondub funktsioonile 
.
Teoreem1
(vajalik ja piisav tingimus Maclaurini seeria konvergentsi jaoks). Olgu seeria lähenemisraadius 
. Selleks, et see seeria intervallis koonduks 
funktsioneerima 
, tingimuse täitmiseks on vajalik ja piisav: 
määratud intervalliga.
2. teoreem. Kui funktsiooni mis tahes järgu tuletised 
mingis intervallis 
absoluutväärtuses piiratud sama arvuga M, see on 
, siis selles intervallis funktsioon 
saab laiendada Maclaurini sarjaks.
Näide1
.
Laiendage Taylori seerias punkti ümber 
funktsiooni.
Lahendus.
.
,;
,
;
,
;
,
.......................................................................................................................................
,
;
Lähenemispiirkond 
.
Näide2
.
Laiendage funktsiooni 
Taylori seerias punkti ümber 
.
Lahendus:
Leia funktsiooni ja selle tuletiste väärtus kohas 
.
,
;
,
;
...........……………………………
,
.
Paneme need väärtused ritta. Saame:
või 
.
Leiame selle seeria konvergentsipiirkonna. D'Alemberti testi järgi koondub jada, kui
.
Seetõttu mis tahes 
see piir on väiksem kui 1 ja seetõttu on seeria konvergentsi vahemik: 
.
Vaatleme mitmeid näiteid põhiliste elementaarfunktsioonide laiendamisest Maclaurini seerias. Tuletame meelde, et Maclaurini seeria:
.
koondub intervallile 
funktsioneerima 
.
Pange tähele, et funktsiooni laiendamiseks seeriasse on vaja:
a) leidke selle funktsiooni jaoks Maclaurini rea koefitsiendid;
b) arvutab saadud jada konvergentsiraadiuse;
c) tõestada, et saadud seeria koondub funktsioonile 
.
Näide 3. Mõelge funktsioonile 
.
Lahendus.
Arvutame funktsiooni ja selle tuletiste väärtuse at 
.
Siis on seeria arvulised koefitsiendid kujul:
kellelegi n. Asendame leitud koefitsiendid Maclaurini seeriaga ja saame: 
Leiame saadud seeria lähenemisraadiuse, nimelt:
.
Seetõttu koondub seeria intervallile 
.
See seeria läheneb funktsioonile 
mis tahes väärtuste jaoks 
, sest igal intervallil 
funktsiooni 
ja selle absoluutväärtuse tuletisinstrumentide arv on piiratud 
.
Näide4
.
Mõelge funktsioonile 
.
Lahendus.
:
Lihtne on näha, et tuletised on ühtlase järjekorraga 
, ja tuletised on paaritu järjestusega. Asendame leitud koefitsiendid Maclaurini seeriaga ja saame laienduse:
Leiame selle jada konvergentsi intervalli. D'Alemberti märgi järgi:
kellelegi 
. Seetõttu koondub seeria intervallile 
.
See seeria läheneb funktsioonile 
, sest kõik selle tuletised piirduvad ühtsusega.
Näide5
.
.
Lahendus.
Leiame funktsiooni ja selle tuletiste väärtuse at 
:
Seega on selle seeria koefitsiendid: 
Ja 
, seega:
Sarnaselt eelmisele reale, lähenemisala 
. Seeria koondub funktsioonile 
, sest kõik selle tuletised piirduvad ühtsusega.
Pange tähele, et funktsioon 
paaritu ja seeria laiendamine paaritu astmetes, funktsioon 
– ühtlane ja laienemine sarjaks ühtlastes võimsustes.
Näide6
.
Binoomseeria: 
.
Lahendus.
Leiame funktsiooni ja selle tuletiste väärtuse at 
:
Sellest on näha, et:
Asendame need koefitsientide väärtused Maclaurini seeriaga ja saame selle funktsiooni laiendamise astmereaks:
Leiame selle seeria lähenemisraadiuse:
Seetõttu koondub seeria intervallile 
. Piiravatel punktidel kl 
Ja 
jada võib olenevalt eksponendist läheneda või mitte 
.
Uuritud seeria koondub intervallile 
funktsioneerima 
, see tähendab seeriate summat 
juures 
.
Näide7
.
Laiendame funktsiooni Maclaurini seerias 
.
Lahendus.
Selle funktsiooni jadaks laiendamiseks kasutame binoomjada at 
. Saame: 
Tuginedes astmeridade omadusele (võib integreerida astmerida selle konvergentsi piirkonda), leiame selle jada vasaku ja parema külje integraali:
Leiame selle seeria lähenemisala: 
,
see tähendab, et selle seeria lähenemisala on intervall 
. Määrame jada konvergentsi intervalli otstes. Kell 
. See sari on harmooniline sari, see tähendab, et see lahkneb. Kell 
saame ühise terminiga arvuseeria 
.
Seeria koondub Leibnizi kriteeriumi järgi. Seega on selle seeria lähenemispiirkond intervall 
.
16.2. Võimsusridade rakendamine ligikaudsetes arvutustes
Ligikaudsetes arvutustes on võimsusridadel äärmiselt oluline roll. Nende abiga on koostatud trigonomeetriliste funktsioonide tabelid, logaritmitabelid, muude funktsioonide väärtuste tabelid, mida kasutatakse erinevates teadmiste valdkondades, näiteks tõenäosusteoorias ja matemaatilises statistikas. Lisaks on funktsioonide laiendamine astmereaks kasulik nende teoreetiliseks uurimiseks. Peamine probleem astmeridade kasutamisel ligikaudsetes arvutustes on vea hindamise küsimus rea summa asendamisel selle esimese summaga. n liikmed.
Vaatleme kahte juhtumit:
funktsioon on laiendatud märgi-vahelduvaks seeriaks;
funktsioon on laiendatud konstantse märgi seeriaks.
Arvutamine vahelduvate seeriate abil
Laske funktsioonil 
laiendati vahelduvvõimsuse seeriaks. Siis selle funktsiooni arvutamisel konkreetse väärtuse jaoks 
saame arvuseeria, millele saame rakendada Leibnizi kriteeriumi. Selle kriteeriumi kohaselt, kui rea summa asendatakse selle esimese summaga n termineid, siis absoluutviga ei ületa selle seeria ülejäänud osa esimest liiget, see tähendab: 
.
Näide8
.
Arvutama 
täpsusega 0,0001.
Lahendus.
Kasutame Maclaurini seeriat 
, asendades nurga väärtuse radiaanides:
Kui võrrelda antud rea esimest ja teist liiget etteantud täpsusega, siis: .
Kolmas laienemise tähtaeg:
väiksem kui määratud arvutustäpsus. Seetõttu arvutada 
piisab, kui jätta seeria kaks terminit, st
.
Seega 
.
Näide9
.
Arvutama 
täpsusega 0,001.
Lahendus.
Kasutame binoomrea valemit. Selleks kirjutame 
nagu: 
.
Selles väljendis 
,
Võrdleme seeria kõiki tingimusi määratud täpsusega. Selge see 
. Seetõttu arvutada 
piisab, kui jätta seeria kolm terminit.
või 
.
Arvutamine positiivsete seeriate abil
Näide10
.
Arvutage arv 
täpsusega 0,001.
Lahendus.
Funktsiooni jaoks reas 
asendame 
. Saame:
Hinnakem viga, mis tekib rea summa asendamisel esimese summaga 
liikmed. Paneme kirja ilmse ebavõrdsuse:
see on 2<
<3.
Используем формулу остаточного члена
ряда в форме Лагранжа:
,
.
Vastavalt probleemile tuleb leida n nii, et kehtiks järgmine ebavõrdsus: 
või 
.
Seda on lihtne kontrollida, millal n= 6:
.
Seega 
.
Näide11
.
Arvutama 
täpsusega 0,0001.
Lahendus.
Pange tähele, et logaritmide arvutamiseks võib funktsiooni jaoks kasutada seeriat 
, kuid see jada koondub väga aeglaselt ja etteantud täpsuse saavutamiseks oleks vaja võtta 9999 terminit! Seetõttu kasutatakse logaritmide arvutamiseks reeglina funktsiooni seeriat 
, mis läheneb intervallile 
.
Arvutame 
kasutades seda seeriat. Lase 
, Siis 
.
Seega 
,
Selleks, et arvutada 
antud täpsusega võtke esimese nelja liikme summa: 
.
Ülejäänud seeria 
jätame selle kõrvale. Hindame viga. See on ilmne 
või 
.
Seega piisas arvutamisel kasutatud seerias funktsiooni 9999 asemel võtta ainult neli esimest liiget. 
.
Enesediagnostika küsimused
1. Mis on Taylori sari?
2. Millises vormis oli Maclaurini sari?
3. Sõnasta teoreem funktsiooni laiendamise kohta Taylori reas.
4. Kirjutage üles põhifunktsioonide Maclaurini seeria laiendus.
5. Märkige vaadeldavate ridade konvergentsi alad.
6. Kuidas hinnata ligikaudsete arvutuste viga võimsusridade abil?
Kui funktsioonil f(x) on teatud intervalli, mis sisaldab punkti a, kõigi järkude tuletised, saab sellele rakendada Taylori valemit:
,
Kus r n– seeria nn jääk liige või jääk, seda saab hinnata Lagrange'i valemi abil:
, kus arv x on x ja a vahel.
Funktsioonide sisestamise reeglid:
Kui mõne väärtuse eest X r n→0 kl n→∞, siis piirväärtuses muutub Taylori valem selle väärtuse jaoks koonduvaks Taylori sari:
,
Seega saab funktsiooni f(x) vaadeldavas punktis x laiendada Taylori seeriaks, kui:
1) tal on kõikide järjekordade tuletised;
2) konstrueeritud jada selles punktis koondub.
Kui a = 0, saame jada nimega Maclaurini lähedal:
,
Maclaurini seeria kõige lihtsamate (elementaarsete) funktsioonide laiendamine:
Eksponentfunktsioonid
, R=∞
Trigonomeetrilised funktsioonid 
, R=∞ 
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Funktsioon actgx ei laiene x astmetes, sest ctg0=∞
Hüperboolsed funktsioonid
Logaritmilised funktsioonid
, -1
Binoomjada
.
Näide nr 1. Laiendage funktsioon astmeseeriaks f(x)= 2x.
Lahendus. Leiame funktsiooni ja selle tuletiste väärtused aadressil X=0
f(x) = 2x, f( 0)
= 2 0
=1;
f"(x) = 2x ln2, f"( 0)
= 2 0
ln2 = ln2;
f""(x) = 2x 2 2, f""( 0)
= 2 0
ln 2 2 = ln 2 2;
…
f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0)
= 2 0
ln n 2 = ln n 2.
Asendades saadud tuletiste väärtused Taylori seeria valemiga, saame:
Selle jada lähenemisraadius on võrdne lõpmatusega, seetõttu kehtib see laiendus -∞<x<+∞.
Näide nr 2. Kirjutage Taylori seeria võimsustes ( X+4) funktsiooni jaoks f(x)= e x.
Lahendus. Funktsiooni e tuletiste leidmine x ja nende väärtused hetkel X=-4.
f(x)= e x, f(-4)
= e -4
;
f"(x)= e x, f"(-4)
= e -4
;
f""(x)= e x, f""(-4)
= e -4
;
…
f(n)(x)= e x, f(n)( -4)
= e -4
.
Seetõttu on funktsiooni nõutav Taylori seeria vorm:
See laiendus kehtib ka -∞ korral<x<+∞.
Näide nr 3. Laiendage funktsiooni f(x)=ln x volituste seerias ( X- 1),
(st Taylori seerias punkti läheduses X=1).
Lahendus. Leia selle funktsiooni tuletised.
f(x)=lnx , , , ,
f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1 (n-1)!
Asendades need väärtused valemisse, saame soovitud Taylori seeria:
D'Alemberti testi abil saate kontrollida, et seeria koondub ½x-1½<1 . Действительно,
Seeria koondub, kui ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 saame vahelduva jada, mis vastab Leibnizi kriteeriumi tingimustele. Kui x=0, ei ole funktsioon defineeritud. Seega on Taylori rea konvergentsi piirkonnaks poolavatud intervall (0;2]).
Näide nr 4. Laiendage funktsioon astmeseeriaks. Näide nr 5. Laiendage funktsiooni Maclaurini seerias. Kommenteeri
.
See meetod põhineb teoreemil funktsiooni laiendamise kordumatuse kohta astmereas. Selle teoreemi olemus seisneb selles, et sama punkti läheduses ei ole võimalik saada kahte erinevat astmerida, mis läheneksid samale funktsioonile, olenemata sellest, kuidas seda laiendatakse. Näide nr 5a. Laiendage funktsiooni Maclaurini seerias ja märkige lähenemispiirkond. Murdu 3/(1-3x) võib lugeda lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summaks nimetajaga 3x, kui |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд
Näide nr 6. Laiendage funktsioon Taylori seeriaks punkti x = 3 läheduses. Näide nr 7. Kirjutage Taylori seeria funktsiooni ln(x+2) astmetes (x -1). Näide nr 8. Laiendage funktsioon f(x)=sin(πx/4) Taylori jadaks punkti x =2 läheduses. Näide nr 1. Arvutage ln(3) 0,01 täpsusega. Näide nr 2. Arvutage 0,0001 täpsusega. Näide nr 3. Arvutage integraal ∫ 0 1 4 sin (x) x täpsusega 10 -5 . Näide nr 4. Arvutage integraal ∫ 0 1 4 e x 2 täpsusega 0,001.
Lahendus. Laienduses (1) asendame x väärtusega -x 2, saame:
, -∞
Lahendus. Meil on
Kasutades valemit (4), saame kirjutada:
asendades valemis x asemel -x, saame:
Siit leiame: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Sulgusid avades, sarja tingimusi ümber paigutades ja sarnaseid termineid tuues saame
. See jada koondub intervallisse (-1;1), kuna see saadakse kahest seeriast, millest igaüks läheneb selles intervallis.
Valemeid (1)-(5) saab kasutada ka vastavate funktsioonide laiendamiseks Taylori seeriaks, s.t. funktsioonide laiendamiseks positiivsete täisarvude astmetes ( Ha). Selleks on vaja antud funktsioonil sooritada sellised identsed teisendused, et saada üks funktsioonidest (1)-(5), milles selle asemel X maksab k( Ha) m , kus k on konstantne arv, m on positiivne täisarv. Sageli on mugav muuta muutujat t=Ha ja laiendage saadud funktsiooni t suhtes Maclaurini seerias.
Lahendus. Kõigepealt leiame 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
algklassidesse:
konvergentsipiirkonnaga |x|< 1/3.
Lahendus. Selle probleemi saab nagu varemgi lahendada Taylori seeria definitsiooni abil, mille jaoks peame leidma funktsiooni tuletised ja nende väärtused X=3. Siiski on lihtsam kasutada olemasolevat laiendust (5):
=
Saadud jada läheneb või –3
Lahendus.
Seeria läheneb väärtusele , või -2< x < 5.
Lahendus. Teeme asenduseks t=x-2:
Kasutades laiendust (3), milles asendame x asemel π / 4 t, saame:
Saadud seeria koondub antud funktsioonile punktis -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞
, (-∞Ligikaudsed arvutused võimsusridade abil
Jõuseeriaid kasutatakse laialdaselt ligikaudsetes arvutustes. Nende abiga saate etteantud täpsusega arvutada juurte, trigonomeetriliste funktsioonide, arvude logaritmide ja kindlate integraalide väärtusi. Seeriaid kasutatakse ka diferentsiaalvõrrandite integreerimisel.
Mõelge funktsiooni laiendamisele astmereas:
Funktsiooni ligikaudse väärtuse arvutamiseks antud punktis X, mis kuulub näidatud seeriate konvergentsi piirkonda, jäetakse esimesed selle laiendusse n liikmed ( n– lõplik arv) ja ülejäänud terminid jäetakse kõrvale:
Saadud ligikaudse väärtuse vea hindamiseks on vaja hinnata äravisatud jääki rn (x) . Selleks kasutage järgmisi tehnikaid:
Lahendus. Kasutame laiendust, kus x=1/2 (vt eelmise teema näidet 5):
Kontrollime, kas saame ülejäänud kolme laiendusliikme järel kõrvale jätta, selleks hindame seda lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summaga:
Seega võime selle jäägi ära visata ja saada
Lahendus. Kasutame binoomjada. Kuna 5 3 on 130-le lähim täisarvu kuup, on soovitav esitada arvu 130 kujul 130 = 5 3 +5. 
kuna juba Leibnizi kriteeriumile vastava tulemuseks oleva vahelduva seeria neljas liige on nõutavast täpsusest väiksem:
, seega võib selle ja sellele järgnevatest terminitest loobuda.
Paljusid praktiliselt vajalikke kindlaid või ebaõigeid integraale ei saa arvutada Newtoni-Leibnizi valemi abil, sest selle rakendamine on seotud antiderivaadi leidmisega, millel elementaarfunktsioonides sageli avaldist ei ole. Juhtub ka seda, et antiderivaadi leidmine on võimalik, kuid see on tarbetult töömahukas. Kui aga integrandfunktsioon on laiendatud astmereaks ja integreerimise piirid kuuluvad selle jada konvergentsi intervalli, siis on integraali ligikaudne arvutamine etteantud täpsusega võimalik.
Lahendus. Vastavat määramatut integraali ei saa väljendada elementaarfunktsioonides, s.t. tähistab "mittepüsivat integraali". Newtoni-Leibnizi valemit ei saa siin rakendada. Arvutame integraali ligikaudselt.
Patu jada termini kaupa x peal x, saame: 
Integreerides selle seeria terminite kaupa (see on võimalik, kuna integreerimise piirid kuuluvad selle seeria lähenemisvahemikku), saame:
Kuna saadud seeria vastab Leibnizi tingimustele ja soovitud väärtuse saamiseks etteantud täpsusega piisab, kui võtta kahe esimese liikme summa.
Seega leiame 
.
Lahendus.
. Kontrollime, kas saame ülejäänud osa ära visata pärast saadud seeria teist liiget.
0,0001<0.001. Следовательно, 
.